专题7.4 期中复习——解答压轴题专项训练（压轴题专项讲练）-2024-2025学年七年级数学上册压轴题专项讲练系列（浙教版2024）

专题7.4 期中复习——解答压轴题专项训练 1．（23-24七年级上·陕西安康·期中）如图，点在数轴上分别表示有理数，两点之间的距离表示为，．例如：数轴上表示与的两点之间的距离；而，所以是表示与的两点之间的距离．利用数形结合思想回答下列问题： （1）数轴上表示和的两点之间的距离是_____________； （2）数轴上点表示的数满足，那么____________； （3）若数轴上点表示的数满足，求的值； （4）七年级学习小组在陈老师的指导下，对式子进行探究，他们先在纸上画出数轴，当数所对应的点在与之间移动时，得出结论：的值总是一个固定的值．这个结论正确吗？请说明理由． 2．（23-24七年级上·广东佛山·期中）同学们，我们在教材中学习过绝对值的概念：在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离叫做这个数的绝对值，记作．如指数轴上点到原点的距离，也可以写成；数轴上表示数的点与表示数的点的距离可记作，值为．也就是说，在数轴上，如果点表示的数记为，点表示的数记为，则、两点间的距离就可记作．利用数形结合思想回答下列问题： （1）数轴上表示和的两点之间的距离的值是________；数轴上表示与的两点之间的距离可记作________，如果这两点之间的距离为，那么________； （2）利用数轴，找出所有符合条件的整数x，使； （3）若表示有理数，直接写出：的最小值． 3．（23-24七年级上·广东深圳·期中）在数轴上，如果A点表示的数记为a，点B表示的数记为b，则A、B两点间的距离可以记作或．我们把数轴上两点之间的距离，用两点的大写字母表示，如：点A与点B之间的距离表示为．如图，在数轴上，点A，O，B表示的数为，0，． （1）直接写出结果， ， ； （2）设点P在数轴上对应的数为x． ①若点P为线段的中点，则 ； ②若点P为线段上的一个动点，则的化简结果是 ； （3）动点M从A出发，以每秒2个单位的速度沿数轴在A，B之间向右运动，同时动点N从B出发，以每秒4个单位的速度沿数轴在A，B之间往返运动，当点M运动到B时，M和N两点停止运动．设运动时间为t秒，是否存在t值，使得？若存在，请直接写出t值；若不存在，请说明理由． 4．（23-24七年级上·湖北武汉·期中）已知，两点在数轴上对应的有理数分别为，，且，满足：． （1）则________；________； （2）定义：若点为数轴上，两点之间一点，且到，两点的距离满足：其中一个距离是另一个距离的2倍，则称为，两点的“友好点”． ①求，两点的“友好点”在数轴上对应的有理数； ②点以每秒4个单位长度的速度从点出发，沿数轴向右运动，同时点以每秒1个单位长度的速度从点出发，沿数轴向右运动，当点、相遇则停止运动．设运动时间为秒，若整个运动过程中，，，三点中有一点是另两点的“友好点”，求值． 5．（23-24七年级上·吉林·期中）如图，数轴上有三个点，对应的数分别是，满足，动点从出发，以每秒1个单位的速度向终点运动，设运动时间为秒． （1）求的值； （2）写出点表示的数（用含的式子表示）； （3）若点到点的距离是点到点的距离的2倍，求点对应的数； （4）当点运动到点时，点从点出发，以每秒3个单位的速度向点运动，点到达点后，再立即以同样的速度返回，当两点相遇时，两点停止运动．直接写出在点开始运动后第几秒时，两点之间的距离为4． 6．（23-24七年级上·福建泉州·期中）我们规定：在数轴上，若点M到点A的距离是2，则称点M为点A的“青春点”；若点N到点A、B的距离之和是5，则称点N为点A、B的“奋斗中心”． （1）若点A表示最大的负整数，则点A的“青春点”M表示的数是 ； （2）如图1，点A表示的数是，点B表示的数是2，若点N为点A、B的“奋斗中心”，求满足条件的点N所表示的整数的和； （3）如图2，点A、B、N在数轴上表示的数分别是、1、4，点P从点A出发，以2个单位/秒的速度沿数轴向右运动，同时点Q从点B出发，以1个单位/秒的速度沿数轴向右运动，求经过几秒点N是点P、Q的“奋斗中心”． 7．（23-24七年级上·河南信阳·期中）如图，数轴上点A，C对应的数分别为a，c，且a，c满足，点B对应的数为． （1）求数a，c； （2）点A，B沿数轴同时出发向右匀速运动，点A速度为2个单位长度/秒，点B速度为1个单位长度/秒，设运动时间为t秒，运动过程中，当A，B两点到原点O的距离相等时，求t的值； （3）在（2）的条件下，点B运动到点C后立即以原速返回，到达自己的出发点后停止运动，点A运动至点C后也以原速返回，到达自己的出发点后又折返向点C运动，当点B停止运动时，点A随之停止运动，请直接写出在此运动过程中A，B两点同时到达的点在数轴上所表示的数． 8．（23-24七年级上·广东梅州·期中）数轴上点表示，点表示6，点表示12，点表示18．如图，将数轴在原点和点、处各折一下，得到一条“折线数轴”．在“折线数轴”上，把两点所对应的两数之差的绝对值叫这两点间的和谐距离．例如，点和点在折线数轴上的和谐距离为个单位长度．动点从点出发，以2个单位秒的速度沿着折线数轴的正方向运动，从点运动到点期间速度变为原来的一半，过点后继续以原来的速度向终点运动；点从点出发的同时，点从点出发，一直以1.5个单位秒的速度沿着“折线数轴”负方向向终点运动，其中一点到达终点时，两点都停止运动．设运动的时间为秒． （1）当秒时，、两点在折线数轴上的和谐距离为 　　；当点、都运动到折线段上时，、两点间的和谐距离　　（用含有的代数式表示）；、两点间的和谐距离　　（用含有的代数式表示）；　　时，、两点相遇； （2）当M、O两点在折线数轴上的和谐距离与N、B两点在折线数轴上的和谐距离相等时，求t的值． 9．（23-24七年级上·广东广州·期中）已知数轴上两点对应的数分别是6，，为数轴上三个动点，点从A点出发，速度为每秒2个单位，点从点出发，速度为点的3倍，点从原点出发，速度为每秒1个单位． （1）若点向右运动，同时点向左运动，求多长时间点与点相距46个单位？ （2）若点同时都向右运动，求多长时间点到点的距离相等？ （3）若点同时运动，当时间满足时，两点之间（包括两点），两点之间（包括两点），两点之间（包括两点）分别有47个、37个、10个整数点，请直接写出的值． 10．（23-24七年级上·湖北武汉·期中）如图，A、B两点在数轴上对应的有理数分别是a、b，且．    （1）请直接写出： ______， ______； （2）动点M从A点出发以2单位/秒的速度向左运动，动点N从B点出发以4单位/秒的速度向左运动，动点T从原点O出发以a单位/秒的速度向左运动（），三个动点同时出发，设运动时间为秒． ①请用含a或的式子表示： 动点M对应的数为______， 动点N对应的数为______， 动点T对应的数为______； ②若在运动过程中，正好先后两次出现的情况，且两次间隔的时间为秒，求a的值； ③若在运动过程中，恰好只有一次的情况，请直接写出满足条件a的值或a的取值范围是______． 11．（23-24七年级上·广东深圳·期中）如图，在数轴上原点O表示数0，A点表示的数是a，B点表示的数是b，且．    （1）已知点C是线段的中点，求线段的长； （2）在（1）的条件下，若动点P从点B出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向右运动，同时动点Q从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左运动，设它们的运动时间为t．若线段的中点为D，求当t为何值时，线段的长为1个单位长度； （3）在（2）的条件下，当（P在Q右侧）时，P立即掉头以每秒2个单位的速度沿数轴向左运动，点Q继续按原速原方向运动，当时，求点P表示的数． 12．（23-24七年级上·湖北武汉·期中）如图1，点A，B，C是数轴上从左到右排列的三个点，分别对应的数为，b，8．某同学将刻度尺如图2放置，使刻度尺上的数字0对齐数轴上的点A，发现点B对齐刻度，点C对齐刻度．我们把数轴上点A到点C的距离表示为，同理，A到点B的距离表示为．    （1）在图1的数轴上，　　个长度单位；在图2中刻度尺上，　　；数轴上的1个长度单位对应刻度尺上的 　　；刻度尺上的对应数轴上的 　　个长度单位； （2）在数轴上点B所对应的数为b，若点Q是数轴上一点，且满足，请通过计算，求b的值及点Q所表示的数； （3）点，分别从，出发，同时向右匀速运动，点的运动速度为5个单位长度秒，点的速度为3个单位长度秒，设运动的时间为秒．在，运动过程中，若的值不会随的变化而改变，请直接写出符合条件的的值． 13．（23-24七年级上·广东广州·期中）若点在数轴上对应的数分别为，其中是最小的正整数，满足，请回答问题： （1）请直接写出的值； （2）在数轴上是否存在点，使得？若存在，求出点对应的数；若不存在，请说明理由； （3）若点同时开始在数轴上分别以每秒1个单位长度，每秒3个单位长度，每秒4个单位长度沿着数轴负方向运动．经过秒后，是否存在常数，使得为定值？若存在，请求出的值以及这个定值；若不存在，请说明理由． 14．（23-24七年级上·福建泉州·期中）如图1，在数轴上点表示数，点表示数，表示点和点之间的距离，且、满足． （1）、两点之间的距离=____________； （2）若在数轴上存在一点，且，则点表示的数是___________； （3）如图2，若在原点处及处各放一挡板，甲、乙两球同时从、两处分别以3个单位/秒，2个单位/秒的速度向左运动；乙球每次碰到挡板后（忽略球的大小，可看作一点）均以原来速度向相反方向运动，甲球在乙球第一次碰到挡板后，以2个单位/秒的速度向相反方向运动直至碰到挡板，此时两球同时停止运动，设甲球运动的时间为（秒），当其中一球到原点距离是另一球到原点距离的2倍时，求此时甲球所在位置对应的数． 15．（23-24七年级上·广东广州·期中）“幸福是奋斗出来的”，在数轴上，若F到A的距离刚好是3，则F点叫做A的“幸福点”；若F到A、B的距离之和为6，则F叫做A和B的“幸福中心”． （1）若点A表示的数为，则A的幸福点F所表示的数应该是________； （2）如图1，M、N为数轴上两点，点M所表示的数为4，点N所表示的数为，若点F就是M和N的幸福中心，则F所表示的所有数中，整数之和为________； （3）如图2， A、B、C为数轴上三点，点A所表示的数为，点B所表示的数为4，点C所表示的数为8． ①若点P，Q分别从点A，B以每秒2个单位长度的速度向右运动，点R从点C出发，以每秒3个单位长度的速度向左运动，经过________秒时，点R是P和Q的幸福中心； ②若点P从点A以每秒2个单位长度的速度向左运动，点Q、R分别从点B、C以每秒3个单位长度和每秒4个单位长度的速度向右运动，是否存在常数m，使得为定值？若存在，请求出m值以及这个定值；若不存在，请说明理由． 16．（23-24七年级上·河南新乡·期中）（1）知识呈现： 我们知道，绝对值的性质是“正数的绝对值等于它本身，负数的绝对值等于它的相反数，0的绝对值是0”． ①若，则______； ②若，则______； （2）拓展延伸： ①若，则______； ②若，则______； （3）结论应用： ①计算： ②如图，数轴上有a、b、c三点，化简．      17．（23-24七年级上·湖北孝感·期中）观察是数学抽象的基础，在数学探究学习中，我们要善于通过观察发现规律，进而解决问题，请你擦亮眼睛，开动脑筋，解答下列问题 ； ； ； （1）按以上规律，第个等式为：______；第个等式为：______（用含的式子表示，为正整数）； （2）按此规律，计算的值； （3）探究计算：的值． 18．（23-24七年级上·山东济南·期中）【概念学习】 规定：求若干个相同的有理数均不等的除法运算叫做除方，如，等类比有理数的乘方，我们把记作，读作“的圈次方”，记作，读作“的圈次方”． 一般地，把记作，读作“的圈次方”． 【初步探究】 （1）直接写出计算结果： ． 【深入思考】 我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，那有理数的除方运算也可以转化为乘方运算． （2）试一试：仿照上面的算式，将下列运算结果直接写成幂的形式． ； ． （3）将一个非零有理数的圈次方写成幂的形式： ． （4）利用（3）的结论计算： 19．（23-24七年级上·广东广州·期中）我市某小区居民使用自来水2023年标准缴费如下（水费按月缴纳）： 用户月用水量 单价 不超过的部分 元 超过但不超过的部分 元 超过的部分 元 （1）当时， ①某户1月份用了的水，求该户1月份应缴纳的水费__________元． ②某户4月份用了的水，求该户4月份应缴纳的水费__________元． ③某户8月份用了的水，求该户8月份应缴纳的水费__________元． （2）设某户月用水量为，当时，该户应缴纳的水费为__________元（用含，的式子表示）． （3）当时，甲、乙两户一个月共用水，已知甲户缴纳的水费超过了24元，设甲户这个月用水，试求甲，乙两户一个月共缴纳的水费（用含的式子表示） 20．（23-24七年级上·广东广州·期中）水果批发市场梨的价格如下表： 购买梨（千克） 单价 不超过10千克的部分 6元/千克 超过10千克但不超出20千克的部分 5元/千克 超出20千克的部分 4元千克 （1）小明第一次购买梨5千克．需要付费________元；小明第二次购买梨x千克（x超过10千克但不超过20千克），需要付费________元（用含x的式子表示，并化成最简形式）； （2）若小强买梨花了54元，则小强购买梨________千克；若小强买梨花了105元，则小强购买梨________千克；若小强买梨花了130元，则小强购买梨________千克； （3）小强分两次共购买50千克梨，且第一次购买的数量为a千克，请问小强两次购买梨共需要付费多少元？（用含a的式子表示）． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题7.4 期中复习——解答压轴题专项训练 1．（23-24七年级上·陕西安康·期中）如图，点在数轴上分别表示有理数，两点之间的距离表示为，．例如：数轴上表示与的两点之间的距离；而，所以是表示与的两点之间的距离．利用数形结合思想回答下列问题： （1）数轴上表示和的两点之间的距离是_____________； （2）数轴上点表示的数满足，那么____________； （3）若数轴上点表示的数满足，求的值； （4）七年级学习小组在陈老师的指导下，对式子进行探究，他们先在纸上画出数轴，当数所对应的点在与之间移动时，得出结论：的值总是一个固定的值．这个结论正确吗？请说明理由． 【思路点拨】 （1）利用两点间距离公式计算即可； （2）根据绝对值的意义解答即可； （3）由可知式子表示有理数对应的点到对应的点和到对应的点的距离之和，进而根据得到的值为与之间的距离，据此即可求解； （4）同理（3）即可说明； 本题考查了数轴上两点间距离，绝对值的意义，掌握绝对值的意义是解题的关键． 【解题过程】 （1）解：数轴上表示和的两点之间的距离是， 故答案为：； （2）解：∵， ∴或， ∴，， 故答案为：或； （3）解：∵， ∴式子表示有理数对应的点到对应的点和到对应的点的距离之和， ∵，即在和之间， ∴的值为与之间的距离， ∴； （4）解：正确，理由如下： ∵， ∴式子表示有理数对应的点到对应的点和到对应的点的距离之和， ∵数所对应的点在与之间移动， ∴的值为与之间的距离， 即， ∴数所对应的点在与之间移动时，的值总是一个固定的值． 2．（23-24七年级上·广东佛山·期中）同学们，我们在教材中学习过绝对值的概念：在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离叫做这个数的绝对值，记作．如指数轴上点到原点的距离，也可以写成；数轴上表示数的点与表示数的点的距离可记作，值为．也就是说，在数轴上，如果点表示的数记为，点表示的数记为，则、两点间的距离就可记作．利用数形结合思想回答下列问题： （1）数轴上表示和的两点之间的距离的值是________；数轴上表示与的两点之间的距离可记作________，如果这两点之间的距离为，那么________； （2）利用数轴，找出所有符合条件的整数x，使； （3）若表示有理数，直接写出：的最小值． 【思路点拨】 （1）根据题意所述，运用类比的方法即可得出答案． （2）分三种情况讨论，结合数轴，即可求解． （3）根据（2）的结论，得出表示到，，，的点的距离的和，进而可得当时取得最小值，即可求解． 【解题过程】 （1）数轴上表示和的两点之间的距离的值是； 数轴上表示与的两点之间的距离可记作， 如果这两点之间的距离为， 即 解得： 或； 故答案为：，，或； （2）解：如图，在数轴上，表示数的点记为，表示的点记为，表示的点记为，则表示，． 如图，当点在点的左侧时，，不符合题意；    如图，当点在点的右侧时，，不符合题意；    如图，当点在点、之间（包括、两个端点）时，，符合题意．所以，．    又因为是整数， 所以，的值为，，，． （3）解：∵表示到，，，的点的距离的和， 当时，有最小值， 最小值为： 3．（23-24七年级上·广东深圳·期中）在数轴上，如果A点表示的数记为a，点B表示的数记为b，则A、B两点间的距离可以记作或．我们把数轴上两点之间的距离，用两点的大写字母表示，如：点A与点B之间的距离表示为．如图，在数轴上，点A，O，B表示的数为，0，． （1）直接写出结果， ， ； （2）设点P在数轴上对应的数为x． ①若点P为线段的中点，则 ； ②若点P为线段上的一个动点，则的化简结果是 ； （3）动点M从A出发，以每秒2个单位的速度沿数轴在A，B之间向右运动，同时动点N从B出发，以每秒4个单位的速度沿数轴在A，B之间往返运动，当点M运动到B时，M和N两点停止运动．设运动时间为t秒，是否存在t值，使得？若存在，请直接写出t值；若不存在，请说明理由． 【思路点拨】 （1）根据数轴上两点之间的距离的计算方法，即可得到答案； （2）①根据想断中点的定义，得到，列方程并求解，即得答案； ②若点P为线段上的一个动点，则，根据两点之间的距离的计算方法，即得答案； （3）先求出点M表示的数，的长，然后分和两种情况，分别求出的长，再列方程分别求解，即得答案． 【解题过程】 （1）（1），， 故答案为：，． （2）①点P为线段的中点， ， ， 解得； 故答案为：1． ②点P为线段上的一个动点， ； 故答案为：． （3）点M表示的数为，， 当时，点N表示的数为，， 当时，点N表示的数为，， 当时，|解得或； 当时，，解得或；． 存在t值，，，7或，使得． 4．（23-24七年级上·湖北武汉·期中）已知，两点在数轴上对应的有理数分别为，，且，满足：． （1）则________；________； （2）定义：若点为数轴上，两点之间一点，且到，两点的距离满足：其中一个距离是另一个距离的2倍，则称为，两点的“友好点”． ①求，两点的“友好点”在数轴上对应的有理数； ②点以每秒4个单位长度的速度从点出发，沿数轴向右运动，同时点以每秒1个单位长度的速度从点出发，沿数轴向右运动，当点、相遇则停止运动．设运动时间为秒，若整个运动过程中，，，三点中有一点是另两点的“友好点”，求值． 【思路点拨】 本题是新定义题型，主要考查了数轴，绝对值以及偶次幂的非负性的应用，理解新定义，进行分类讨论是解题的关键． （1）直接根据绝对值的非负性，偶次方的非负性即可得出答案； （2）①设点M表示的数为m，然后根据友好点的定义求解即可； ②根据题意得点P表示的数是，点Q表示的数是，然后分点B在P、Q之间；点B在P、Q的左侧讨论即可． 【解题过程】 （1）解：∵，，， ∴，， ∴，． 故答案为：，12； （2）①设点M表示的数为m， 根据题意得或， 解得或， 所以A、B两点的和谐点M在数轴上对应的有理数是6或0． ②设运动的时间为x秒，点P表示的数是，点Q表示的数是， 当B在P、Q之间时， 根据题意，得或， 解得或4； 当点B在P、Q的左侧时， 根据题意，得或， 解得或， 综上，当t的值为3或4或或时，，，三点中有一点是另两点的“友好点”． 5．（23-24七年级上·吉林·期中）如图，数轴上有三个点，对应的数分别是，满足，动点从出发，以每秒1个单位的速度向终点运动，设运动时间为秒． （1）求的值； （2）写出点表示的数（用含的式子表示）； （3）若点到点的距离是点到点的距离的2倍，求点对应的数； （4）当点运动到点时，点从点出发，以每秒3个单位的速度向点运动，点到达点后，再立即以同样的速度返回，当两点相遇时，两点停止运动．直接写出在点开始运动后第几秒时，两点之间的距离为4． 【思路点拨】 （1）根据非负数的性质解答即可； （2）用点 表示的数加上点 的路程即可； （3）表示出 的距离，列出方程求出 ，从而求出点对应的数； （4）分类讨论：当点在点的右侧，且点还没追上点时；当点在点的左侧，且点 追上点后时；当点到达点后，且点在点左侧时，分别列出方程求解即可． 【解题过程】 （1）解：， ，， ，； （2）由题意得，点表示的数是， （3）点到点的距离是点到点的距离的2倍， ， 即， 解得或， 当时，； 当时，； 点对应的数为4或； （4）点运动到点的时间为秒， 设在点开始运动后第秒时，、两点之间的距离为4， 当点在点的右侧，且点还没追上点时，， 解得； 当点在点的左侧，且点追上点后时，， 解得； 当点到达点后，且点在点左侧时，， 解得； 综上，当点开始运动后第5、9、12.5秒时，、两点之间的距离为4． 6．（23-24七年级上·福建泉州·期中）我们规定：在数轴上，若点M到点A的距离是2，则称点M为点A的“青春点”；若点N到点A、B的距离之和是5，则称点N为点A、B的“奋斗中心”． （1）若点A表示最大的负整数，则点A的“青春点”M表示的数是 ； （2）如图1，点A表示的数是，点B表示的数是2，若点N为点A、B的“奋斗中心”，求满足条件的点N所表示的整数的和； （3）如图2，点A、B、N在数轴上表示的数分别是、1、4，点P从点A出发，以2个单位/秒的速度沿数轴向右运动，同时点Q从点B出发，以1个单位/秒的速度沿数轴向右运动，求经过几秒点N是点P、Q的“奋斗中心”． 【思路点拨】 本题为新定义问题，考查了数轴上上的点表示有理数，绝对值方程等知识，理解新定义，根据题意设出未知数，列出方程是解题关键． （1）先确定点A表示的数是﹣1，设M表示的数是x，根据“青春点”的定义得到绝对值方程，解方程即可求解； （2）设点N表示的数为y，即可得到，根据N表示的数是整数，得到y的值为，求和即可求解； （3）设经过z秒，点N是点P、Q的“奋斗中心”，得到经过z秒，点P表示的数是，点Q表示的数是，根据“奋斗中心”的定义列出方程，解方程即可求解． 【解题过程】 （1）解：∵点A表示最大的负整数， ∴点A表示的数是， 设M表示的数是x，则， 解得或1， ∴点A的“青春点”M表示的数是﹣3或1， 故答案为：或1； （2）解：设点N表示的数为y， ∵A，B间的距离为5， ∴， ∵N表示的数是整数， ∴y的值为， ∴满足条件的点N所表示的整数的和为； （3）解：设经过z秒，点N是点P、Q的“奋斗中心”． 根据题意可知，经过z秒，点P表示的数是，点Q表示的数是， 由题意知，， ∴， ∴， ∴， ∴或， 解得或， ∴经过秒或秒，点N是点P、Q的“奋斗中心”． 7．（23-24七年级上·河南信阳·期中）如图，数轴上点A，C对应的数分别为a，c，且a，c满足，点B对应的数为． （1）求数a，c； （2）点A，B沿数轴同时出发向右匀速运动，点A速度为2个单位长度/秒，点B速度为1个单位长度/秒，设运动时间为t秒，运动过程中，当A，B两点到原点O的距离相等时，求t的值； （3）在（2）的条件下，点B运动到点C后立即以原速返回，到达自己的出发点后停止运动，点A运动至点C后也以原速返回，到达自己的出发点后又折返向点C运动，当点B停止运动时，点A随之停止运动，请直接写出在此运动过程中A，B两点同时到达的点在数轴上所表示的数． 【思路点拨】 （1）由非负数和为零的条件可得，，即可求解； （2）运动后，A表示的数是，B表示的数是，可得，即可求解； （3）①第一次追上时，可得方程，解方程可求解；②到达后返回与相遇时，可得方程，解方程可求解；③到达后返回，到达出发点又折返向点运动时，可得方程，解方程可求解． 【解题过程】 （1）解： ， ，， ，； （2）解：运动后，A表示的数是，B表示的数是， 根据题意得：， 或， 解得或， 答：A，B两点到原点O的距离相等时，t的值为秒或1秒； （3）解：①第一次追上时， ， 解得， 此时同时达到的点表示的数为： ； ②到达后返回与相遇时， ， 解得， 此时同时达到的点表示的数为： ； ③到达后返回，到达出发点又折返向点运动时， ， 解得， 此时同时达到的点表示的数为： ； 综上所述，在此运动过程中，两点同时到达的点在数轴上所表示的数为或或． 8．（23-24七年级上·广东梅州·期中）数轴上点表示，点表示6，点表示12，点表示18．如图，将数轴在原点和点、处各折一下，得到一条“折线数轴”．在“折线数轴”上，把两点所对应的两数之差的绝对值叫这两点间的和谐距离．例如，点和点在折线数轴上的和谐距离为个单位长度．动点从点出发，以2个单位秒的速度沿着折线数轴的正方向运动，从点运动到点期间速度变为原来的一半，过点后继续以原来的速度向终点运动；点从点出发的同时，点从点出发，一直以1.5个单位秒的速度沿着“折线数轴”负方向向终点运动，其中一点到达终点时，两点都停止运动．设运动的时间为秒． （1）当秒时，、两点在折线数轴上的和谐距离为 　　；当点、都运动到折线段上时，、两点间的和谐距离　　（用含有的代数式表示）；、两点间的和谐距离　　（用含有的代数式表示）；　　时，、两点相遇； （2）当M、O两点在折线数轴上的和谐距离与N、B两点在折线数轴上的和谐距离相等时，求t的值． 【思路点拨】 本题考查数轴、绝对值、一元一次方程的应用，解题的关键是用含的代数式表示点运动后所表示的数及分类讨论． （1）当秒时，点表示的数是，点表示的数是15，即可表示出、两点在折线数轴上的和谐距离；由题意知，时，点、都在折线段上运动，点表示的数为，点表示的数为，进而可得出答案． （2）分，和，并根据题意列方程求解即可． 【解题过程】 （1）当时，点表示的数是，点表示的数是15， 、两点在折线数轴上的和谐距离为． 由题意可知，4秒时点运动到点，点运动到点，12秒时点运动到点， 时，点、都在折线段上运动， 点表示的数为， 点表示的数为， ，两点间的和谐距离， ，两点间的和谐距离． ，相遇时，两点表示的数相同， ， 解得． 故答案为：19；；；8.8． （2）由（1）知，时点运动到点，点运动到点， 当时，不存在、两点在折线数轴上的和谐距离与、两点在折线数轴上的和谐距离相等； 当，即点在折线段上运动时， 可得， 解得或， 当时，点从点向点运动，速度为2个单位秒，不存在、两点在折线数轴上的和谐距离与、两点在折线数轴上的和谐距离相等， 综上所述，或． 9．（23-24七年级上·广东广州·期中）已知数轴上两点对应的数分别是6，，为数轴上三个动点，点从A点出发，速度为每秒2个单位，点从点出发，速度为点的3倍，点从原点出发，速度为每秒1个单位． （1）若点向右运动，同时点向左运动，求多长时间点与点相距46个单位？ （2）若点同时都向右运动，求多长时间点到点的距离相等？ （3）若点同时运动，当时间满足时，两点之间（包括两点），两点之间（包括两点），两点之间（包括两点）分别有47个、37个、10个整数点，请直接写出的值． 【思路点拨】 本题主要考查了点在数轴上的移动，熟练掌握数轴上两点间的距离公式，动点表示的数的表示，列方程，是解题的关键． （1）利用M、N之间的距离为最初的距离加上各自行驶的路程即可得到一个关于t的方程，解方程即可得出答案； （2）先将M，N，P三点在数轴上的位置用含t的代数式表示出来，然后分点N在点P左侧和点N在点P右侧两种情况分别讨论即可； （3）根据M，N，P之间整数点的个数，可以确定出M，N，P三点的位置，从而找到的值． 【解题过程】 （1）解：设运动时间为t秒， 由题意可得：， ∴， ∴运动4秒点M与点N相距46个单位； （2）解：设运动时间为t秒， 由题意可知：M点运动到，N点运动到，P点运动到t， 由，得， 解得或13， ∴运动13秒或72秒时点P到点M，N的距离相等； （3）解：由题意可得：M、N、P三点之间整数点的多少可看作它们之间距离的大小，M、N两点距离最大，M、P两点距离最小，可得出M、P两点向右运动，N点向左运动． 当秒时， P在4，M在14，N在， 再往前一点，之间的距离即包含10个整数点，之间有37个整数点； ②当N继续以6个单位每秒的速度向左移动，P点向右运动， 若N点移动到时， 此时N、P之间仍为37个整数点， 若N点过了−33时， 此时N、P之间为38个整数点， 故（秒）， ∴秒，秒． 10．（23-24七年级上·湖北武汉·期中）如图，A、B两点在数轴上对应的有理数分别是a、b，且．    （1）请直接写出： ______， ______； （2）动点M从A点出发以2单位/秒的速度向左运动，动点N从B点出发以4单位/秒的速度向左运动，动点T从原点O出发以a单位/秒的速度向左运动（），三个动点同时出发，设运动时间为秒． ①请用含a或的式子表示： 动点M对应的数为______， 动点N对应的数为______， 动点T对应的数为______； ②若在运动过程中，正好先后两次出现的情况，且两次间隔的时间为秒，求a的值； ③若在运动过程中，恰好只有一次的情况，请直接写出满足条件a的值或a的取值范围是______． 【思路点拨】 （1）根据绝对值的非负性即可作答； （2）①向左运动用减法运算，向右运动用加法运算：则动点M对应的数为，动点N对应的数为，动点T对应的数为； ②当M与N重合时，，，根据两次间隔的时间为秒，可知另一次是在或时；可得，或，即可解得答案； ③时，M与N重合，此时，根据在运动过程中，恰好只有一次的情况，故当时，T在M的左侧，有，当时，T不能是的中点，可知N不能追上T，有． 【解题过程】 （1）解：∵， ∴，， 解得，； （2）解：①根据题意，因为动点M从A点出发以2单位/秒的速度向左运动， 所以动点M对应的数为， 因为动点N从B点出发以4单位/秒的速度向左运动， 所以动点N对应的数为， 因为动点T从原点O出发以a单位/秒的速度向左运动 动点T对应的数为； ②当M与N重合时，， ∴ 解得， ∵两次间隔的时间为秒， ∴另一次是在或时； 当时， 则，， ∴， 解得； 当时， 则，， ∴， 解得， ∴a的值为2或； ③由②知，当时，M与N重合，此时， ∵在运动过程中，恰好只有一次的情况， ∴当时，T不能是的中点，即当时，T在M的左侧， ∴， 解得； 当时，T也不能是的中点，即N不能追上T， 故T的速度要大于等于N的速度， ∴， 综上所述，． 11．（23-24七年级上·广东深圳·期中）如图，在数轴上原点O表示数0，A点表示的数是a，B点表示的数是b，且．    （1）已知点C是线段的中点，求线段的长； （2）在（1）的条件下，若动点P从点B出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向右运动，同时动点Q从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左运动，设它们的运动时间为t．若线段的中点为D，求当t为何值时，线段的长为1个单位长度； （3）在（2）的条件下，当（P在Q右侧）时，P立即掉头以每秒2个单位的速度沿数轴向左运动，点Q继续按原速原方向运动，当时，求点P表示的数． 【思路点拨】 （1）利用绝对值的非负性先计算，的值，然后根据线段中点的定义解题即可； （2）根据动点的运动速度和方向表示出点P和点Q表示的数，然后根据线段中点的定义得到点D表示的数，然后表示长解题即可； （3）根据题意先表示出和，根据得到方程解题即可． 【解题过程】 （1）∵， ∴，， ∴，， ∴，，， ∵点C是线段的中点， ∴， ∴； （2）∵动点P从点B以每秒4个单位长度的速度沿数轴向右运动，动点Q从点A以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左运动，运动时间为t， ∴点P运动路程为，点Q运动路程为， ∴点P表示的数为，点Q表示的数为， ∵点D为线段的中点，点C表示的数是， ∴点D表示的数为， ∴， ∴或， 解得：或， ∴当t为或时，线段的长为1个单位长度； （3）当（P在Q右侧）时， ， 此时，点P表示的数为，点Q表示的数为， ∴，， ∵P掉头后的速度为每秒2个单位，点Q继续按原速每秒2个单位按原方向运动， 设此时之后，点P运动路程为x， ∴点Q运动路程为x， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴或， 解得：或， ∵点P表示的数为， 又∵，， ∴点P表示的数为或． 12．（23-24七年级上·湖北武汉·期中）如图1，点A，B，C是数轴上从左到右排列的三个点，分别对应的数为，b，8．某同学将刻度尺如图2放置，使刻度尺上的数字0对齐数轴上的点A，发现点B对齐刻度，点C对齐刻度．我们把数轴上点A到点C的距离表示为，同理，A到点B的距离表示为．    （1）在图1的数轴上，　　个长度单位；在图2中刻度尺上，　　；数轴上的1个长度单位对应刻度尺上的 　　；刻度尺上的对应数轴上的 　　个长度单位； （2）在数轴上点B所对应的数为b，若点Q是数轴上一点，且满足，请通过计算，求b的值及点Q所表示的数； （3）点，分别从，出发，同时向右匀速运动，点的运动速度为5个单位长度秒，点的速度为3个单位长度秒，设运动的时间为秒．在，运动过程中，若的值不会随的变化而改变，请直接写出符合条件的的值． 【思路点拨】 （1）等于、两点对应的数相减的绝对值，观察图，可得，用在刻度尺上的数值除以数轴上的长度单位，可得数轴上的1个长度单位对应刻度尺上的多少厘米，1厘米除以数轴上的1个长度单位对应刻度尺上的厘米，即刻度尺上的对应数轴上的多少长度单位； （2）到在刻度尺上是1.2厘米，对应在数轴上有两个长度单位，可得的值，由于，可以列式求得点所表示的数； （3）根据列出式子，的值不会随的变化而改变，所以的系数为0，可求得的值． 【解题过程】 （1）， 刻度尺上的数字0对齐数轴上的点，点对齐刻度， 在图2中刻度尺上，， ， 数轴上的1个长度单位对应刻度尺上的， ， 刻度尺上的对应数轴上的个单位长度， 故答案为：10，6，0.6，； （2）点对齐刻度， 数轴上点所对应的数为，， ，， 设点在数轴上对应的点为，则， ， 解得：或， 点所表示的数为4或12， 的值是0，点所表示的数为4或12； （3）由题意得，点追上点前，即， ，， ， 的值不会随的变化而改变， ， 解得：， 点追上点后，即， ，，， ， 的值不会随的变化而改变， ， 解得：， 或． 13．（23-24七年级上·广东广州·期中）若点在数轴上对应的数分别为，其中是最小的正整数，满足，请回答问题： （1）请直接写出的值； （2）在数轴上是否存在点，使得？若存在，求出点对应的数；若不存在，请说明理由； （3）若点同时开始在数轴上分别以每秒1个单位长度，每秒3个单位长度，每秒4个单位长度沿着数轴负方向运动．经过秒后，是否存在常数，使得为定值？若存在，请求出的值以及这个定值；若不存在，请说明理由． 【思路点拨】 （1）由绝对值和偶次方的非负性可求出的值； （2）设点表示的数为，分在之间、在点左边、在之间、在点右边四种情况考虑，由利用两点间的距离公式，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论； （3）表示出点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为，分①当，即时，②当时，进行讨论，分别表示出，再根据是定值，确定出的值即可． 【解题过程】 （1）解：， ，， ，, 是最小的正整数, ． （2）解：设点表示的数为， ， ①在之间， ， ， ； ②在左边， ， ， ； ③在之间， ， ， （舍去）； ④在的右边， ， ， （舍去）； 综上所述，或 点对应的数为：或； （3）解：存在， 运动时间为 ， 由题意，点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为， ①当，即时， ， ， ， 为定值， ， ， ； ②当时， ， ， ， 为定值， ， ， ； 综上所述，存在常数，使得为定值；当时，为定值；当时，为定值． 14．（23-24七年级上·福建泉州·期中）如图1，在数轴上点表示数，点表示数，表示点和点之间的距离，且、满足． （1）、两点之间的距离=____________； （2）若在数轴上存在一点，且，则点表示的数是___________； （3）如图2，若在原点处及处各放一挡板，甲、乙两球同时从、两处分别以3个单位/秒，2个单位/秒的速度向左运动；乙球每次碰到挡板后（忽略球的大小，可看作一点）均以原来速度向相反方向运动，甲球在乙球第一次碰到挡板后，以2个单位/秒的速度向相反方向运动直至碰到挡板，此时两球同时停止运动，设甲球运动的时间为（秒），当其中一球到原点距离是另一球到原点距离的2倍时，求此时甲球所在位置对应的数． 【思路点拨】 （1）根据绝对值的非负性可由推得，，即可求得，的值，、两点间的距离即为； （2）先考虑什么情况下能使，当在左侧时，，无法满足，故只存在两种情况， 在中间或在的右侧，设点表示的数为，分情况讨论，列出相对应的、的代数式，根据列一元一次方程即可求解； （3）根据题意分时段讨论，先梳理出甲球和乙球改变方向运动的具体时间点，可将时间段分为 、、进行讨论，设甲球运动点为点，乙球运动点为点，根据甲球和乙球运动的方向和速度列出、关于的代数式，根据题中要求，其中一球到原点距离是另一球到原点距离的两倍可得或，将代数式代入列一元一次方程求解即可求得对应的值，再将其代入的代数式中可求得对应的的值，因为甲球始终在数轴的负半轴上运动，则甲球所在位置对应的数应为负数，综合三个时间段的讨论结果即可求得所有满足条件的甲球所在位置对应的数． 【解题过程】 （1）解：由可得，， 可解得，， 则、两点间的距离为， 故答案为：． （2）解：要使，在中间或在的右侧， 设点表示的数为， 当在中间时， ，, 则有， 解得， 即当在中间时，点表示的数是； 当在的右侧时， ，， 则有， 解得， 即当在的右侧时，点表示的数是． 故答案为：或． （3）解：依题得：乙球从到用时为，此时甲球已从向左运动了个单位长度，此时甲球的位置为，甲球改变速度，则其回到点需要，而当甲球开始向原点运动时，乙球开始从到用时，则乙还需从到再运动，设甲球运动点为点，乙球运动点为点，综上，可分以下三个时间段求解： 当时， 甲球所在位置到原点距离， 乙球所在位置到原点距离， 则有时，， 解得，此时，甲球所在位置所对应的数为； 时，， 解得，此时，甲球所在位置所对应的数为； 当时， 甲球所在位置到原点距离， 乙球所在位置到原点距离， 则有时，， 解得，此时，甲球所在位置所对应的数为； 时，， 解得，所以该情况不成立； 当时， 甲球所在位置到原点距离， 乙球所在位置到原点距离， 则有时，， 解得，所以该情况不成立； 时，， 解得，此时，甲球所在位置所对应的数为． 综上，甲球所在位置对应的数为或或或． 15．（23-24七年级上·广东广州·期中）“幸福是奋斗出来的”，在数轴上，若F到A的距离刚好是3，则F点叫做A的“幸福点”；若F到A、B的距离之和为6，则F叫做A和B的“幸福中心”． （1）若点A表示的数为，则A的幸福点F所表示的数应该是________； （2）如图1，M、N为数轴上两点，点M所表示的数为4，点N所表示的数为，若点F就是M和N的幸福中心，则F所表示的所有数中，整数之和为________； （3）如图2， A、B、C为数轴上三点，点A所表示的数为，点B所表示的数为4，点C所表示的数为8． ①若点P，Q分别从点A，B以每秒2个单位长度的速度向右运动，点R从点C出发，以每秒3个单位长度的速度向左运动，经过________秒时，点R是P和Q的幸福中心； ②若点P从点A以每秒2个单位长度的速度向左运动，点Q、R分别从点B、C以每秒3个单位长度和每秒4个单位长度的速度向右运动，是否存在常数m，使得为定值？若存在，请求出m值以及这个定值；若不存在，请说明理由． 【思路点拨】 （1）设点F表示的数为x，根据幸福点的定义列出方程，解方程即可得到答案； （2）设点F表示的数为m，根据幸福中心的定义列出方程，再讨论m的取值范围，去绝对值求出当时，，由此求出满足题意的整数m，再求和即可得到答案； （3）①设经过t秒时，点R是P和Q的幸福中心，则点P表示的数为，点Q表示的数为，点R表示的数为，根据幸福中心的定义得到，然后讨论m的取值范围，去绝对值求解即可；②设运动时间为t，则点P表示的数为，点Q表示的数为，点R表示的数为，求出，，，进而求出，再根据的值与t无关，则，解得，进而求出定值的值即可． 【解题过程】 （1）解：设点F表示的数为x， 由题意得，， ∴或， ∴或， ∴A的幸福点F所表示的数应该是或1， 故答案为：或1； （2）解：设点F表示的数为m， 由题意得， ∴， 当时，，不符合题意； 当时，，符合题意； 当时，，不符合题意； ∴当时，，即此时点F和点M和点N的幸福中心， ∴满足题意的整数m有， ∴F所表示的所有数中，整数之和为， 故答案为：7； （3）解：①设经过t秒时，点R是P和Q的幸福中心， ∴点P表示的数为，点Q表示的数为，点R表示的数为， ∵点R是P和Q的幸福中心， ∴， ∴， 当时，， 解得，符合题意； 当时，，不符合题意； 当时，， 解得，符合题意； 综上所述，经过秒或秒，点R是P和Q的幸福中心； 故答案为：或； ②设运动时间为t， ∴点P表示的数为，点Q表示的数为，点R表示的数为， ∴，，， ∴ ， ∵的值为定值， ∴的值与t无关， ∴， ∴， ∴， ∴当时，的值为定值30． 16．（23-24七年级上·河南新乡·期中）（1）知识呈现： 我们知道，绝对值的性质是“正数的绝对值等于它本身，负数的绝对值等于它的相反数，0的绝对值是0”． ①若，则______； ②若，则______； （2）拓展延伸： ①若，则______； ②若，则______； （3）结论应用： ①计算： ②如图，数轴上有a、b、c三点，化简．    【思路点拨】 本题考查了有理数的绝对值的性质，运用性质化简计算，有理数加减运算及整式的加减； 绝对值的性质是“正数的绝对值等于它本身，负数的绝对值等于它的相反数，0的绝对值是0”．运用性质回答问题（1）（2）．观察数轴，判断，，的正负，利用（2）的结论，完成（3）； 关键是性质的灵活运用． 【解题过程】 解：（1）①若，则； ②若，则； 故答案为：，． （2）①若， 则， 所以； ②若， 则， 所以； 故答案为：，． （3）① ． ②由数轴可知：，． ，，． ．   17．（23-24七年级上·湖北孝感·期中）观察是数学抽象的基础，在数学探究学习中，我们要善于通过观察发现规律，进而解决问题，请你擦亮眼睛，开动脑筋，解答下列问题 ； ； ； （1）按以上规律，第个等式为：______；第个等式为：______（用含的式子表示，为正整数）； （2）按此规律，计算的值； （3）探究计算：的值． 【思路点拨】 （1）根据已给三个等式反映出的规律写出第个等式，第个等式即可； （2）利用（1）的规律分别将每个分数写出差的形式，再计算即可； （3）找出三个连续奇数乘积的倒数与三个奇数的倒数间的关系，再利用这种关系对每个分数进行变形，并计算即可； 本题考查了数字变化类规律探究，有理数的混合运算，解题的关键是理解题意，找出三个连续奇数乘积的倒数与三个奇数的倒数间的关系． 【解题过程】 （1）解：由规律可得，第个等式为， 第个等式为， 故答案为：，； （2）解：原式 ， ， ； （3）解：∵， ∴原式 ， ， ， ， ． 18．（23-24七年级上·山东济南·期中）【概念学习】 规定：求若干个相同的有理数均不等的除法运算叫做除方，如，等类比有理数的乘方，我们把记作，读作“的圈次方”，记作，读作“的圈次方”． 一般地，把记作，读作“的圈次方”． 【初步探究】 （1）直接写出计算结果： ． 【深入思考】 我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，那有理数的除方运算也可以转化为乘方运算． （2）试一试：仿照上面的算式，将下列运算结果直接写成幂的形式． ； ． （3）将一个非零有理数的圈次方写成幂的形式： ． （4）利用（3）的结论计算： 【思路点拨】 本题主要考查有理数的乘方运算，解题的关键是理解题中所给的新定义运算； （1）根据题中所给新定义运算直接进行求解即可； （2）根据题中所给运算可进行求解； （3）由（1）（2）可求解； （4）根据（3）中结论及有理数的运算可进行求解． 【解题过程】 解：（1） ； 故答案为； （2）； ； 故答案为，； （3）； 故答案为； （4） ． 19．（23-24七年级上·广东广州·期中）我市某小区居民使用自来水2023年标准缴费如下（水费按月缴纳）： 用户月用水量 单价 不超过的部分 元 超过但不超过的部分 元 超过的部分 元 （1）当时， ①某户1月份用了的水，求该户1月份应缴纳的水费__________元． ②某户4月份用了的水，求该户4月份应缴纳的水费__________元． ③某户8月份用了的水，求该户8月份应缴纳的水费__________元． （2）设某户月用水量为，当时，该户应缴纳的水费为__________元（用含，的式子表示）． （3）当时，甲、乙两户一个月共用水，已知甲户缴纳的水费超过了24元，设甲户这个月用水，试求甲，乙两户一个月共缴纳的水费（用含的式子表示） 【思路点拨】 （1）根据所给的收费标准进行分段计算，可以分别计算出该用户1月份，4月份，8月份应缴纳的水费； （2）根据所给的收费标准进行分段计算，可以计算出当时，该用户应缴纳的水费； （3）分当时，当时，当时，三种情况根据所给的收费标准讨论求解即可． 【解题过程】 （1）解：由题意可知： ①某用户1月份用了水，则该用户这个月应缴纳的水费为：（元）； 故答案为：6； ②某用户4月份用了水，则该用户这个月应缴纳的水费为：（元）； 故答案为：27； ③某用户8月份用了水，则该用户这个月应缴纳的水费为：（元）； 故答案为：60； （2）由题意可得： （元）， ∴当时，该户应缴纳的水费为元， 故答案为：； （3）∵， ∴， 当时，甲用水量超过但不超过，乙用水量超过， ∴甲、乙两用户一个月共缴纳的水费为： ； 当时，甲的用水量超过，乙的用水量超过但不超过， ∴甲、乙两用户一个月共缴纳的水费为： ； 当时，甲的用水量超过，乙的用水量不超过， ∴甲、乙两用户一个月共缴纳的水费为： ； 综上所述，当时，甲、乙两用户一个月共缴纳的水费为元；当时，甲、乙两用户一个月共缴纳的水费为元；当时，甲、乙两用户一个月共缴纳的水费为元． 20．（23-24七年级上·广东广州·期中）水果批发市场梨的价格如下表： 购买梨（千克） 单价 不超过10千克的部分 6元/千克 超过10千克但不超出20千克的部分 5元/千克 超出20千克的部分 4元千克 （1）小明第一次购买梨5千克．需要付费________元；小明第二次购买梨x千克（x超过10千克但不超过20千克），需要付费________元（用含x的式子表示，并化成最简形式）； （2）若小强买梨花了54元，则小强购买梨________千克；若小强买梨花了105元，则小强购买梨________千克；若小强买梨花了130元，则小强购买梨________千克； （3）小强分两次共购买50千克梨，且第一次购买的数量为a千克，请问小强两次购买梨共需要付费多少元？（用含a的式子表示）． 【思路点拨】 本题考查列代数式，分段收费的问题；要注意购买的千克数在哪个段，就按哪个段的价格算总费用；总费用单价数量； （1）5千克在“不超过10千克的部分”按6元千克收费；第二次购买梨x千克（x超过10千克但不超过20千克），按6元/千克、5元/千克分段收费； （2）由小强买梨花了元可知，买梨的千克数不超过10千克，按单价为6元/千克收费； 由小强买梨花了105元可知，买梨的千克数超过10千克但不超出20千克，按6元/千克、5元/千克分段收费；由小强买梨花了130元可知，买梨的千克数超出20千克，按6元/千克、5元/千克、4元/千克分段收费； （3）由两次共购买50千克，且第一次购买的数量为a千克可知，的取值范围不确定，需要用分类讨论的思想进行解答， 当时，分别算第一次和第二次的总费用； 当时，注意第一次购买有2段费用，第二次购买有3段费用，然后再相加； 分类讨论思想的运用是解题的关键． 【解题过程】 （1）解：千克在“不超过10千克的部分”按6元千克收费， 元； 第二次购买梨x千克（x超过10千克但不超过20千克）， 元 故答案为：，； （2）由小强买梨花了元可知，买梨的千克数不超过10千克，单价为6元/千克， 故小强购买梨千克； 由小强买梨花了105元可知，买梨的千克数超过10千克但不超出20千克， 故小强购买梨千克； 由小强买梨花了130元可知，买梨的千克数超出20千克， 故小强购买梨千克； 故答案为：9，19，25； （3）两次共购买50千克，且第一次购买的数量为a千克， 第二次购买千克， 当，时，需要付费为： 元， 当，时，需要付费为： 元， 故当时，小强两次购买梨共需要付费元； 当时，小强两次购买梨共需要付费元． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 6 学科网（北京）股份有限公司 $$