专题3.3 双曲线（特色专题卷）-2024-2025学年高二数学特色专题卷（人教A版2019选择性必修第一册）

专题3.3 双曲线 考试时间：120分钟；满分：150分 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷试题共19题，单选8题，多选3题，填空3题，解答5题，满分150分，限时150分钟，试卷紧扣教材，细分题组，精选一年好题，两年真题，练基础，提能力！ 1． 选择题（共8小题，满分40分，每小题5分） 1．（24-25高二下·安徽·开学考试）已知双曲线过点，渐近线为，则双曲线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先利用双曲线共渐近线方程为再代入点，求双曲线方程. 【详解】由已知设双曲线的方程为将代入得，故双曲线方程为 故选：D 2．（23-24高二上·宁夏银川·期末）方程表示双曲线，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据双曲线标准方程的特征，得到不等式，解不等式即可求出实数的取值范围. 【详解】因为方程表示双曲线， 所以有，解得. 故选：A 【点睛】本题考查了已知方程表示双曲线求参数取值范围问题，考查了数学运算能力. 3．（2024·四川德阳·一模）已知双曲线的离心率为，其一条渐近线被圆截得的线段长为，则实数的值为 A．3 B．1 C． D．2 【答案】D 【详解】分析：由离心率公式，可得a=b，求得渐近线方程，以及圆的圆心和半径，求得圆心到直线的距离，由弦长公式，解方程可得所求值． 详解：由题可得：c=，即有a=b，渐近线方程为y=±x，圆（x-m）2+y2=4（m＞0）的圆心为（m，0），半径为2，可得圆心到直线的距离为d=，则直线被圆截得的弦长为，解得m=2（-2舍去），故选D． 点睛：本题考查双曲线的性质：渐近线方程和离心率，考查直线和圆相交的弦长公式的运用，考查运算能力，属于中档题． 4．（2024·云南昆明·模拟预测）若双曲线与直线没有交点，则双曲线离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】已知直线斜率与渐近线斜率比较，建立基本量的不等关系即可. 【详解】因为双曲线的一条渐近线为，直线可化为， 由题意可得，即； 又因为，所以 故选:C． 5．（23-24高二下·广西河池·期末）已知双曲线的左､右焦点分别是，焦距为，以线段为直径的圆在第一象限交双曲线于点，则双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据圆的直径得出垂直关系，再根据正弦值得出边长，结合双曲线定义可得2a，计算渐近线即可. 【详解】    因为线段为直径的圆在第一象限交双曲线于点 所以， 则渐近线方程为． 故选:B． 6．（2024·全国·高考真题）已知是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且，则C的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据双曲线的定义及条件，表示出，结合余弦定理可得答案. 【详解】因为，由双曲线的定义可得， 所以，； 因为,由余弦定理可得， 整理可得，所以，即. 故选：A 【点睛】关键点睛：双曲线的定义是入手点，利用余弦定理建立间的等量关系是求解的关键. 7．（24-25高三上·贵州贵阳·阶段练习）双曲线的左、右焦点分别为，，P为双曲线右支上一点，I是的内心，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由已知可得，结合双曲线的定义和标准方程，即可求解. 【详解】如图，设内切圆的半径为r， 由，得， 整理得.因为P为双曲线右支上一点， 所以，，所以. 故选:C.    【点睛】本题考查双曲线的标准方程，以及双曲线定义和性质的应用，属于基础题. 8．（24-25高三上·河北邯郸·阶段练习）设，是双曲线的左､右焦点，过的直线交双曲线的左支于，两点，若直线为双曲线的一条渐近线，，则的值为（    ） A．11 B．12 C．14 D．16 【答案】C 【分析】根据双曲线的标准方程可得,再由双曲线的定义可得，得到,再根据得到答案. 【详解】根据双曲线的标准方程， 得,由直线为双曲线的一条渐近线， 得,解得,得. 由双曲线的定义可得①， ②， ①②可得, 因为过双曲线的左焦点的直线交双曲线的左支于,两点, 所以,得. 故选：C.    2． 多选题（共3小题，满分18分，每小题6分） 9．（23-24高二上·安徽合肥·期末）已知曲线C：，则（    ） A．存在m，使C表示圆 B．当时，则C的渐近线方程为 C．当时，则C的焦点是， D．当C表示双曲线时，则或 【答案】AD 【分析】由圆方程的特征得到，从而判断A；利用双曲线渐近线公式判断B；由题意得，从而由椭圆方程特征得到焦点在轴上，进而判断C；由双曲线方程的特征得到，从而判断D. 【详解】A选项，当，即时，为圆，故A正确； B选项，当时，，故渐近线方程为，故B错误； C选项，当时，则，显然C的焦点在轴上，故C错误； D选项，当C表示双曲线时，，则或，故D正确. 故选：AD. 10．（23-24高二下·浙江温州·期末）在等腰梯形中，，且，以下选项正确的为（    ） A． B．等腰梯形外接圆的面积为 C．若双曲线以为左右焦点，过两点，则其离心率为 D．若椭圆以为左右焦点，过两点，则其离心率为 【答案】ACD 【分析】过点作，过点作，交于点、，即可求出线段的长度，从而求出，利用勾股定理逆定理可得，即可得到等腰梯形外接圆的直径即为，即可判断B，根据数量积的定义及运算律判断A，根据椭圆、双曲线的定义判断C、D； 【详解】解：过点作，过点作，交于点、， 因为，，， 所以，所以，则，， 所以，所以，即，同理可得， 所以等腰梯形外接圆的直径即为，所以外接圆的面积为，故B错误； 所以 ，故A正确； 对于C：若双曲线以为左右焦点，过两点，所以， 所以，所以离心率，故C正确； 对于D：若椭圆以为左右焦点，过两点，所以， 所以，所以离心率，故D正确； 故选：ACD 11．（24-25高三上·江苏泰州·阶段练习）双曲线的方程为，分别为左右焦点，为双曲线上一点，且，直线：与交于A，两点，则（    ） A．或 B．的离心率为 C．的渐近线与圆相切 D．满足的直线有3条 【答案】CD 【分析】先得出双曲线的，判断出点在左支上，由双曲线的定义，可判断选项A；由双曲线的离心率公式可判断选项B；求出双曲线的渐近线方程，由直线和圆的位置关系可判断选项C；分别讨论A，两点分别在左右支上和都在右支上，结合弦的最小值，可判断选项D. 【详解】由双曲线的方程为，则在双曲线中 选项A，当点在右支上时，， 由，所以点在左支上， 则，所以选项A不正确. 选项B.双曲线的离心率为，所以选项B不正确. 选项C.双曲线的渐近线方程为 圆的半径为1，圆心为到渐近线的距离为 所以的渐近线与圆相切，故选项C正确. 选项D. 由直线：恒过点，即直线：过双曲线的右焦点. 若直线与双曲线的右支相交于A，两点，当轴时， 由，所以此时满足条件的直线有2条. 若直线与双曲线的左、右支各有一个交点，此时 则满足条件的直线即为，故此时只有一条直线满足条件. 综上所述：满足条件的直线有3条，故选项D正确 故选：CD 3． 填空题（共3小题，满分15分，每小题5分） 12．（24-25高二上·江苏南通·阶段练习）已知直线l与双曲线交于A、B两点，且弦的中点为，则直线l的方程为 ． 【答案】 【分析】设出A，B两点的坐标，代入双曲线方程，然后利用点差法得到直线l的斜率即可求解直线方程． 【详解】设，， 则，， 又， ， 两式相减，得， 即，整理得， 直线l的斜率为， 直线l的方程为， 化简得，经检验满足题意. 故答案为：. 13．（24-25高二上·四川广安·阶段练习）直线与双曲线C：的左支交于两点，则直线的斜率的取值范围为 . 【答案】 【分析】将直线方程与双曲线方程联立，根据一元二次方程根与系数关系、根的判别式进行求解即可. 【详解】将直线方程与双曲线方程联立，得， 因为直线与双曲线C：的左支交于两点， 所以设两点的横坐标分别为， 则有 根据题意于是有：， 故答案为： 14．（23-24高二上·四川眉山·期末）实数满足，则点到直线的距离的取值范围是 ． 【答案】 【分析】分段讨论去绝对值判断出表示的图形，可得出表示的图形在和之间，利用平行线间距离公式即可求出. 【详解】实数满足， 当时，方程为，表示一段圆弧， 当时，方程为，表示双曲线的一部分， 当时，方程为，表示双曲线的一部分， 当时，方程为，不表示任何图形， 画出表示的图形， 可知双曲线的一条渐近线为，和平行， 设和平行且和圆在第一象限相切的直线为， 则，解得， 可得表示的图形在和之间， 则和的距离为， 和的距离为， 则结合图形可得点到直线的距离的取值范围是. 故答案为：. 【点睛】本题考查解析几何的综合问题，解题的关键是得出表示的图形，数形结合可求出. 4． 解答题（共5小题，第15题13分，第16、17题15分，第18、19题17分，满分77分） 15．（24-25高二·全国·课后作业）如图所示，已知定圆F1：(x+5)2+y2=1，定圆F2：(x-5)2+y2=42，动圆M与定圆F1，F2都外切，求动圆圆心M的轨迹方程. 【答案】=1. 【解析】先求出两个圆的圆心坐标和半径，设动圆M的半径为R，利用已知条件得到|MF2|-|MF1|=3<10=|F1F2|，得到点M的轨迹是以F1，F2为焦点的双曲线的左支，即可得到动圆圆心M的轨迹方程. 【详解】圆F1：(x+5)2+y2=1，圆心F1(-5，0)，半径r1=1； 圆F2：(x-5)2+y2=42，圆心F2(5，0)，半径r2=4. 设动圆M的半径为R， 则有|MF1|=R+1，|MF2|=R+4， ∴|MF2|-|MF1|=3<10=|F1F2|. ∴点M的轨迹是以F1，F2为焦点的双曲线的左支， 且a=，c=5， 于是b2=c2-a2=. ∴ 动圆圆心M的轨迹方程为=1. 【点睛】本题主要考查了双曲线的定义.考查了圆心的轨迹方程.属于较易题. 16．（24-25高二·上海·假期作业）根据下列条件，求双曲线的标准方程： (1)，经过点； (2)与双曲线1有相同的焦点，且经过点； (3)与双曲线有公共的渐近线，且过点． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）设出双曲线的标准方程，代入已知条件求解即可； （2）根据焦点设出双曲线的方程，代入经过的点计算即可； （3）设双曲线的方程，代入点的坐标，联立解参数即可. 【详解】（1）由， 当焦点在x轴上时，设所求双曲线的标准方程为， 把点A的坐标代入，得，不符合题意； 当焦点在y轴上时，设所求双曲线的标准方程为， 把点A的坐标代入，得．故所求双曲线的标准方程为． （2）法一： ∵双曲线1的焦点在轴上， ∴设所求双曲线的标准方程为， ∴，即① ∵双曲线经过点，∴．② 由①②得，故双曲线的标准方程为． 法二： 设所求双曲线的方程为． ∵双曲线过点，∴， 解得或（舍去）． 故双曲线的标准方程为． （3）设所求双曲线的方程为. 将点代入双曲线方程得，解得， 因此，所求双曲线的标准方程为. 17．（23-24高二上·甘肃张掖·期末）已知命题：方程表示焦点在轴上的椭圆，命题：双曲线的离心率 （1）若命题为真命题，求实数的取值范围． （2）若命题中有且只有一个为真命题，求实数的取值范围． 【答案】（1）；（2）或． 【分析】（1）直接利用双曲线的性质和命题的真假判定参数的取值范围； （2）利用圆锥曲线的定义和方程的性质的应用及真值表的应用判定参数的取值范围． 【详解】（1）若命题q：双曲线的离心率为真命题， 则，即， （2）若命题p：方程表示焦点在y轴上的椭圆为真命题， 则，解得， 由(1)可知若命题q：双曲线的离心率为真命题， 则， 因为命题p，q中有且只有一个为真命题，则p，q一真一假． 当p真q假时，；当p假q真时，， 综上所述，实数m的取值范围是或． 18．（23-24高二上·福建南平·期中）已知点和，动点到，两点的距离之差的绝对值为2，记点的轨迹为. （1）求轨迹的方程； （2）设与直线交于两点，，求线段的长度. 【答案】（1）；（2）. 【解析】（1）设，由于，，利用双曲线的定义求解即可； （2）直线和双曲线方程联立消，利用韦达定理以及弦长公式求解即可. 【详解】（1）设， 则， 所以点的轨迹为双曲线， 且，， 则，， 所以轨迹的方程为； （2）由， 得， 因为， 所以直线与双曲线有两个交点， 设，， 则，， 故. 所以线段的长度为. 19．（24-25高二上·广东惠州·阶段练习）已知双曲线的焦距为4，且过点． (1)求双曲线的方程； (2)过双曲线的左焦点分别作斜率为的两直线与，直线交双曲线于两点，直线交双曲线于两点，设分别为与的中点，若，证明：直线过定点． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）由题意得，再将代入双曲线方程，结合可求出，从而可求出双曲线方程 （2）设直线方程为，，将直线方入双曲线方程化简后利用根与系数的关系，结合中点坐标公式可表示点M的坐标，再利用表示出点N的坐标，再表示出直线MN的方程，可求得直线MN过定点，从而可求得答案. 【详解】（1）由题意得，得，所以， 因为点在双曲线上，所以，解 得， 所以双曲线方程为． （2），设直线方程为， ， 由，得， 则， 所以，所以的中点， 因为，所以用代换，得， 当，即时，直线的方程为，过点， 当时，， 直线的方程为， 令，得， 所以直线也过定点． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题3.3 双曲线 考试时间：120分钟；满分：150分 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷试题共19题，单选8题，多选3题，填空3题，解答5题，满分150分，限时150分钟，试卷紧扣教材，细分题组，精选一年好题，两年真题，练基础，提能力！ 1． 选择题（共8小题，满分40分，每小题5分） 1．（24-25高二下·安徽·开学考试）已知双曲线过点，渐近线为，则双曲线的方程为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二上·宁夏银川·期末）方程表示双曲线，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（2024·四川德阳·一模）已知双曲线的离心率为，其一条渐近线被圆截得的线段长为，则实数的值为 A．3 B．1 C． D．2 4．（2024·云南昆明·模拟预测）若双曲线与直线没有交点，则双曲线离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高二下·广西河池·期末）已知双曲线的左､右焦点分别是，焦距为，以线段为直径的圆在第一象限交双曲线于点，则双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 6．（2024·全国·高考真题）已知是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且，则C的离心率为（    ） A． B． C． D． 7．（24-25高三上·贵州贵阳·阶段练习）双曲线的左、右焦点分别为，，P为双曲线右支上一点，I是的内心，且，则（    ） A． B． C． D． 8．（24-25高三上·河北邯郸·阶段练习）设，是双曲线的左､右焦点，过的直线交双曲线的左支于，两点，若直线为双曲线的一条渐近线，，则的值为（    ） A．11 B．12 C．14 D．16   2． 多选题（共3小题，满分18分，每小题6分） 9．（23-24高二上·安徽合肥·期末）已知曲线C：，则（    ） A．存在m，使C表示圆 B．当时，则C的渐近线方程为 C．当时，则C的焦点是， D．当C表示双曲线时，则或 10．（23-24高二下·浙江温州·期末）在等腰梯形中，，且，以下选项正确的为（    ） A． B．等腰梯形外接圆的面积为 C．若双曲线以为左右焦点，过两点，则其离心率为 D．若椭圆以为左右焦点，过两点，则其离心率为 11．（24-25高三上·江苏泰州·阶段练习）双曲线的方程为，分别为左右焦点，为双曲线上一点，且，直线：与交于A，两点，则（    ） A．或 B．的离心率为 C．的渐近线与圆相切 D．满足的直线有3条 3． 填空题（共3小题，满分15分，每小题5分） 12．（24-25高二上·江苏南通·阶段练习）已知直线l与双曲线交于A、B两点，且弦的中点为，则直线l的方程为 ． 13．（24-25高二上·四川广安·阶段练习）直线与双曲线C：的左支交于两点，则直线的斜率的取值范围为 . 14．（23-24高二上·四川眉山·期末）实数满足，则点到直线的距离的取值范围是 ． 4． 解答题（共5小题，第15题13分，第16、17题15分，第18、19题17分，满分77分） 15．（24-25高二·全国·课后作业）如图所示，已知定圆F1：(x+5)2+y2=1，定圆F2：(x-5)2+y2=42，动圆M与定圆F1，F2都外切，求动圆圆心M的轨迹方程. 16．（24-25高二·上海·假期作业）根据下列条件，求双曲线的标准方程： (1)，经过点； (2)与双曲线1有相同的焦点，且经过点； (3)与双曲线有公共的渐近线，且过点． 17．（23-24高二上·甘肃张掖·期末）已知命题：方程表示焦点在轴上的椭圆，命题：双曲线的离心率 （1）若命题为真命题，求实数的取值范围． （2）若命题中有且只有一个为真命题，求实数的取值范围． 18．（23-24高二上·福建南平·期中）已知点和，动点到，两点的距离之差的绝对值为2，记点的轨迹为. （1）求轨迹的方程； （2）设与直线交于两点，，求线段的长度. 19．（24-25高二上·广东惠州·阶段练习）已知双曲线的焦距为4，且过点． (1)求双曲线的方程； (2)过双曲线的左焦点分别作斜率为的两直线与，直线交双曲线于两点，直线交双曲线于两点，设分别为与的中点，若，证明：直线过定点． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$