专题3.3 抛物线（4类必考点）-2024-2025学年高二数学必考点分类集训系列（人教A版2019选择性必修第一册）

专题3.3 抛物线 【考点1：抛物线的定义】 1 【考点2：抛物线的标准方程与性质】 2 【考点3：抛物线的焦点弦】 3 【考点4：抛物线的实际应用】 5 【考点1：抛物线的定义】 【知识点：抛物线的定义】 平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线． [方法技巧] 利用抛物线的定义解决问题时，应灵活地进行抛物线上的点到焦点距离与其到准线距离间的等价转化．“看到准线应该想到焦点，看到焦点应该想到准线”，这是解决抛物线距离有关问题的有效途径．　　 1．（2024·广东·模拟预测）已知抛物线，则抛物线的焦点到准线的距离是（   ） A． B． C． D． 2．（23-24高二下·青海·期末）已知F为抛物线的焦点，点M在C上，且，则点M到y轴的距离为（   ） A．6 B．5 C．4 D． 3．（24-25高三上·山西吕梁·开学考试）已知抛物线的焦点为为上一点，则（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高二上·四川成都·阶段练习）已知抛物线的焦点为F，定点，P是抛物线上一个动点，则的最小值为（   ） A．3 B．4 C．5 D．8 5．（24-25高二上·上海·课后作业）若点P到点的距离比它到直线的距离大1，则点P的轨迹方程为 . 6．（23-24高二下·云南曲靖·期末）抛物线上与焦点的距离等于3的点的坐标是 . 7．（2024·湖南长沙·二模）已知圆N：，直线，圆M与圆N外切，且与直线相切，则点M的轨迹方程为 ． 8．（24-25高二上·重庆·阶段练习）已知点在圆上，动圆与圆内切并与直线相切，圆心为，则的最小值为 . 9．（24-25高三上·甘肃白银·阶段练习）已知动点在抛物线上，，则该动点到点的距离与到轴的距离之和的最小值为 . 【考点2：抛物线的标准方程与性质】 【知识点：抛物线的标准方程与性质】 图形 标准 方程 y2＝2px (p＞0) y2＝－2px (p＞0) x2＝2py (p＞0) x2＝－2py (p＞0) p的几何意义：焦点F到准线l的距离 范围 x≥0，y∈R x≤0，y∈R y≥0，x∈R y≤0，x∈R 焦点 坐标 准线 方程 x＝－ x＝ y＝－ y＝ 离心率 e＝1 焦半径 |PF|＝x0＋ |PF|＝－x0＋ |PF|＝y0＋ |PF|＝－y0＋ [方法技巧] 求抛物线的标准方程的方法 (1)定义法 根据抛物线的定义，确定p的值(系数p是指焦点到准线的距离)，再结合焦点位置，求出抛物线方程．标准方程有四种形式，要注意选择． (2)待定系数法 ①根据抛物线焦点是在x轴上还是在y轴上，设出相应形式的标准方程，然后根据条件确定关于p的方程，解出p，从而写出抛物线的标准方程． ②当焦点位置不确定时，有两种方法解决： 法一 分情况讨论，注意要对四种形式的标准方程进行讨论，对于焦点在x轴上的抛物线，为避免开口方向不确定可分为y2＝2px(p>0)和y2＝－2px(p>0)两种情况求解 法二 设成y2＝mx(m≠0)，若m>0，开口向右；若m<0，开口向左；若m有两个解，则抛物线的标准方程有两个．同理，焦点在y轴上的抛物线可以设成x2＝my(m≠0)．如果不确定焦点所在的坐标轴，应考虑上述两种情况设方程 1．（24-25高二上·全国·课后作业）已知抛物线上与焦点距离等于的点的纵坐标为，则该抛物线标准方程为（    ） A． B． C．或 D．或 2．（24-25高二上·全国·课后作业）过点且斜率为1的直线交抛物线于两点，若，则的值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．7 3．（24-25高二下·重庆·阶段练习）已知轴上一定点，和抛物线上的一动点，若恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 4．（多选）（23-24高二下·陕西榆林·期末）已知抛物线与抛物线关于轴对称，则下列说法正确的是（    ） A．抛物线的焦点坐标是 B．抛物线关于轴对称 C．抛物线的准线方程为 D．抛物线的焦点到准线的距离为8 5．（24-25高二上·全国·课后作业）抛物线的焦点坐标为 ． 6．（24-25高二上·全国·课后作业）已知抛物线的焦点为，过且斜率为的直线交于两点，若，则的准线方程为 ． 【考点3：抛物线的焦点弦】 【知识点：焦点弦的常用结论】 以抛物线y2＝2px(p>0)为例，设AB是抛物线的过焦点的一条弦(焦点弦)，F是抛物线的焦点，A(x1，y1)，B(x2，y2)，A，B在准线上的射影为A1，B1，则有以下结论： (1)x1x2＝，y1y2＝－p2； (2)若直线AB的倾斜角为θ，则|AF|＝，|BF|＝； (3)|AB|＝x1＋x2＋p＝(其中θ为直线AB的倾斜角)，抛物线的通径长为2p，通径是最短的焦点弦； (4)S△AOB＝(其中θ为直线AB的倾斜角)； (5)＋＝为定值； (6)以AB为直径的圆与抛物线的准线相切； (7)以AF(或BF)为直径的圆与y轴相切； (8)以A1B1为直径的圆与直线AB相切，切点为F，∠A1FB1＝90°； (9)A，O，B1三点共线，B，O，A1三点也共线． 1．（24-25高二上·全国·课后作业）已知抛物线的焦点为，过且斜率为的直线交于两点，若，则的准线方程为 ． 2．（24-25高三上·海南海口·阶段练习）已知抛物线的焦点为，，，为抛物线上的任意三点（异于坐标原点），，且，若直线AB，AD，BD的斜率分别为，，，则的值为 ； ． 3．（24-25高二上·江苏连云港·阶段练习）抛物线：的焦点为，直线 经过点，交于两点，交轴于点，若，则错误的是（    ） A． B．弦的中点到轴的距离为 C． D．点的坐标为 4．（多选）（24-25高二上·江苏·阶段练习）已知是抛物线上的两点，若直线过抛物线的焦点F且倾斜角为，是A，B在准线上的射影，则下列命题不正确的是（    ） A． B． C． D．为直角三角形 5．（多选）（2024·广西来宾·模拟预测）已知抛物线，过的焦点作直线，若与交于两点，，则下列结论正确的有（    ） A． B． C．或 D．线段中点的横坐标为 6．（多选）（22-23高二上·重庆铜梁·阶段练习）已知直线过抛物线的焦点F，且与抛物线C交于A，B两点，过A，B两点分别作抛物线准线的垂线，垂足分别为M，N，则下列结论错误的是（    ） A．抛物线的方程为 B．线段的长度为 C． D．线段的中点到y轴的距离为 7．（多选）（24-25高三上·河北保定·阶段练习）抛物线的准线为l，P为C上的动点，过P作圆M：的两条切线，A，B为切点，过P作l的垂线，垂足为Q，则（    ） A．当时，l与圆M相切 B．当时，的最小值为 C．当时，为定值 D．存在点P，使得为等边三角形 8．（多选）（24-25高三上·贵州·阶段练习）已知是抛物线的焦点，是的准线，点是上一点且位于第一象限，直线与圆相切于点，点在线段上，过点作的垂线，垂足为，则（    ） A． B．直线的方程为 C． D．的面积为 【考点4：抛物线的实际应用】 【知识点：抛物线的实际应用】 抛物线的几何特性在实际中应用广泛，解决此类问题的关键是根据题意(一般是根据题中所给图形)建立适当的直角坐标系，设出抛物线的标准方程，依据题意得到抛物线上一点的坐标，从而求出抛物线方程，进而解决实际问题． 1．（24-25高二上·全国·课堂例题）如图所示，花坛水池中央有一喷泉，水管，水从喷头喷出后呈抛物线状，先向上至最高点后落下，若最高点距水面2m，距抛物线的对称轴1m，则水池的直径至少应设计为 m．（精确到1m）    2．（23-24高二下·上海浦东新·期中）省级保护文物石城永宁桥位于江西省赣州市石城县高田镇永宁桥建筑风格独特，是一座楼阁式抛物线形石拱桥当石拱桥拱顶离水面时，水面宽，当水面下降时，水面的宽度为 米 3．（24-25高三下·陕西安康·阶段练习）在水平地面竖直定向爆破时，在爆破点炸开的每块碎片的运动轨迹均可近似看作是抛物线的一部分．这些碎片能达到的区域的边界和该区域轴截面的交线也是抛物线的一部分（如图中虚线所示），称该条抛物线为安全抛物线．若某次定向爆破中安全抛物线达到的最大高度为30米，碎片距离爆炸中的最远水平距离为60米，则这次爆破中，安全抛物线的焦点到其准线的距离为 米． 4．（24-25高二上·全国·课后作业）如图①，上海黄浦江上的卢浦大桥，整体呈优美的弧形对称结构.如图②，将卢浦大桥的主拱看作抛物线，江面和桥面看作水平的直线，主拱的顶端P到江面的距离为100m，且，则顶端到桥面的距离为（    ）    A．50m B． C．55m D． 5．（23-24高一上·江苏·期中）如图①，“东方之门”通过简单的几何曲线处理，将传统文化与现代建筑融为一体，最大程度地传承了苏州的历史文化．如图②，“门”的内侧曲线呈抛物线形，已知其底部宽度为80米，高度为200米．则离地面150米处的水平宽度（即CD的长）为（    ）    A．40米 B．30米 C．25米 D．20米 6．（2024·全国·模拟预测）某社会实践小组在调研时发现一座石造单孔桥（如图），该桥抛物线拱形部分的桥面跨度为21.6m，拱顶距水面10.9m，路面厚度约1m．若小组计划用绳子从桥面石栏放下摄像机取景，使其落在抛物线的焦点处，则绳子最合适的长度是（    ）    A．3m B．4m C．5m D．6m 7．（2024·山西晋城·一模）吉林雾淞大桥，位于吉林市松花江上，连接雾淞高架桥，西起松江东路，东至滨江东路．雾淞大桥是吉林市第一座自锚式混凝土悬索桥，两主塔左、右两边悬索的形状均为抛物线（设该抛物线的焦点到准线的距离为米）的一部分，左：右两边的悬索各连接着29根吊索，且同一边的相邻两根吊索之间的距离均为米（将每根吊索视为线段）．已知最中间的吊索的长度（即图中点到桥面的距离）为米，则最靠近前主塔的吊索的长度（即图中点到桥面的距离）为（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 8．（23-24高二上·四川德阳·期末）一种卫星接收天线（如图①所示）的曲面是旋转抛物面（抛物线围绕其对称轴旋转而得的一种空间曲面，抛物线的对称轴、焦点、顶点分别称为旋转抛物面的轴线、焦点、顶点），已知卫星波束以平行于旋转抛物面的轴线的方式射入该卫星接收天线经反射后聚集到焦点处（如图②所示），已知该卫星接收天线的口径（直径）为6m，深度为1m，则其顶点到焦点的距离等于（    ） A． B． C．1m D． 9．（多选）（23-24高二上·山西长治·期末）如图所示是某家用汽车远光灯示意图，其中心截口曲线是抛物线的一部分，光源在抛物线的焦点处，且灯口直径是，灯深，则（    ） A．远光灯光线按照路径射向远处 B．光源到反光镜顶点的距离是 C．与抛物线对称轴垂直的光线长度为 D．灯口上任意一点到焦点的距离是 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题3.3 抛物线 【考点1：抛物线的定义】 1 【考点2：抛物线的标准方程与性质】 5 【考点3：抛物线的焦点弦】 9 【考点4：抛物线的实际应用】 17 【考点1：抛物线的定义】 【知识点：抛物线的定义】 平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线． [方法技巧] 利用抛物线的定义解决问题时，应灵活地进行抛物线上的点到焦点距离与其到准线距离间的等价转化．“看到准线应该想到焦点，看到焦点应该想到准线”，这是解决抛物线距离有关问题的有效途径．　　 1．（2024·广东·模拟预测）已知抛物线，则抛物线的焦点到准线的距离是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据抛物线方程求出，由抛物线定义可得解. 【详解】由抛物线可得， 所以，， 故抛物线的焦点到准线的距离是. 故选：B 2．（23-24高二下·青海·期末）已知F为抛物线的焦点，点M在C上，且，则点M到y轴的距离为（   ） A．6 B．5 C．4 D． 【答案】C 【分析】根据抛物线的定义求解． 【详解】由题意及抛物线定义，点M到C的准线的距离为6， 所以点M到y轴的距离为. 故选：C． 3．（24-25高三上·山西吕梁·开学考试）已知抛物线的焦点为为上一点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将代入抛物线的方程中解得，由抛物线定义可求. 【详解】将代入，解得，由抛物线的定义可知. 故选：B 4．（24-25高二上·四川成都·阶段练习）已知抛物线的焦点为F，定点，P是抛物线上一个动点，则的最小值为（   ） A．3 B．4 C．5 D．8 【答案】C 【分析】由抛物线的定义，结合三点共线时最小即可求解. 【详解】 准线为，A在抛物线内部， 设到准线的距离为， 到准线的距离.      故选：C. 5．（24-25高二上·上海·课后作业）若点P到点的距离比它到直线的距离大1，则点P的轨迹方程为 . 【答案】 【分析】根据题意，由抛物线的定义，即可得到结果. 【详解】因为点P到点的距离比它到直线的距离大1， 所以点P到点的距离等于它到直线的距离， 由抛物线的定义可知，点的轨迹是以点为焦点，直线为准线的抛物线， 即抛物线的焦点在轴正半轴，，即， 所以点P的轨迹方程为. 故答案为： 6．（23-24高二下·云南曲靖·期末）抛物线上与焦点的距离等于3的点的坐标是 . 【答案】 【分析】求出抛物线的焦点坐标及准线方程，再借助抛物线的定义求解即可. 【详解】抛物线的焦点，准线方程为， 设所求点的坐标为，依题意，，解得，而，则， 所以所求点的坐标为. 故答案为： 7．（2024·湖南长沙·二模）已知圆N：，直线，圆M与圆N外切，且与直线相切，则点M的轨迹方程为 ． 【答案】 【分析】设动圆的半径为r，则点M到l＇：与点M到点N的距离相等，都是，再利用抛物线的定义求解. 【详解】由题意得，直线l：，且圆N：， 设圆M半径为r，则点M到l＇：与点M到点N的距离相等，都是， 故点M的轨迹是以N为焦点，以l＇为准线的抛物线，故方程为． 故答案为： 8．（24-25高二上·重庆·阶段练习）已知点在圆上，动圆与圆内切并与直线相切，圆心为，则的最小值为 . 【答案】/ 【分析】根据直线与圆、圆与圆的位置关系结合抛物线的定义确定C的轨迹，计算即可. 【详解】如图，设圆的半径为，则； 又到的距离为，则到的距离为. 所以C的轨迹是以O为焦点，以为准线的抛物线，顶点为， 则 9．（24-25高三上·甘肃白银·阶段练习）已知动点在抛物线上，，则该动点到点的距离与到轴的距离之和的最小值为 . 【答案】/ 【分析】根据抛物线的定义转化为求的最小值，数形结合即可得解. 【详解】由抛物线的方程为知，焦点为，准线方程为， 由抛物线定义知动点到点的距离与到轴的距离之和可化为，    当三点共线，且在线段上时，有最小值， 最小值为. 故答案为： 【考点2：抛物线的标准方程与性质】 【知识点：抛物线的标准方程与性质】 图形 标准 方程 y2＝2px (p＞0) y2＝－2px (p＞0) x2＝2py (p＞0) x2＝－2py (p＞0) p的几何意义：焦点F到准线l的距离 范围 x≥0，y∈R x≤0，y∈R y≥0，x∈R y≤0，x∈R 焦点 坐标 准线 方程 x＝－ x＝ y＝－ y＝ 离心率 e＝1 焦半径 |PF|＝x0＋ |PF|＝－x0＋ |PF|＝y0＋ |PF|＝－y0＋ [方法技巧] 求抛物线的标准方程的方法 (1)定义法 根据抛物线的定义，确定p的值(系数p是指焦点到准线的距离)，再结合焦点位置，求出抛物线方程．标准方程有四种形式，要注意选择． (2)待定系数法 ①根据抛物线焦点是在x轴上还是在y轴上，设出相应形式的标准方程，然后根据条件确定关于p的方程，解出p，从而写出抛物线的标准方程． ②当焦点位置不确定时，有两种方法解决： 法一 分情况讨论，注意要对四种形式的标准方程进行讨论，对于焦点在x轴上的抛物线，为避免开口方向不确定可分为y2＝2px(p>0)和y2＝－2px(p>0)两种情况求解 法二 设成y2＝mx(m≠0)，若m>0，开口向右；若m<0，开口向左；若m有两个解，则抛物线的标准方程有两个．同理，焦点在y轴上的抛物线可以设成x2＝my(m≠0)．如果不确定焦点所在的坐标轴，应考虑上述两种情况设方程 1．（24-25高二上·全国·课后作业）已知抛物线上与焦点距离等于的点的纵坐标为，则该抛物线标准方程为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】设出满足条件的点的坐标，根据已知列出方程求解即可. 【详解】设满足条件的点为， 则到的准线的距离为， 设，所以， 解得或，故所求方程为或． 故选：C 2．（24-25高二上·全国·课后作业）过点且斜率为1的直线交抛物线于两点，若，则的值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．7 【答案】D 【分析】求出直线，然后与抛物线方程联立，结合韦达定理及弦长公式即可求解. 【详解】由题得直线，设，联立得， 令，则，所以， 由， 则，解得．故D正确. 故选：D. 3．（24-25高二下·重庆·阶段练习）已知轴上一定点，和抛物线上的一动点，若恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，表示出，依题意可得恒成立，分和两种情况讨论，当时恒成立，即可得到，从而求出的取值范围. 【详解】设，则，所以 ， 因为恒成立，所以恒成立， 所以恒成立， 当时显然恒成立，当时恒成立， 所以，则，又，所以，即实数的取值范围为. 故选：B 4．（多选）（23-24高二下·陕西榆林·期末）已知抛物线与抛物线关于轴对称，则下列说法正确的是（    ） A．抛物线的焦点坐标是 B．抛物线关于轴对称 C．抛物线的准线方程为 D．抛物线的焦点到准线的距离为8 【答案】AC 【分析】依题意可得抛物线的方程为，即可得到其焦点坐标与准线方程，再根据抛物线的性质判断即可. 【详解】因为抛物线与抛物线关于轴对称，所以抛物线的方程为， 则抛物线的焦点坐标是，准线方程为，故A、C正确； 抛物线关于轴对称，故B错误；抛物线的焦点到准线的距离为4，故D错误. 故选：AC 5．（24-25高二上·全国·课后作业）抛物线的焦点坐标为 ． 【答案】 【分析】根据题意可将向右平移个单位，再向下平移个单位而得到，从而可求解. 【详解】因为， 所以抛物线可由抛物线向右平移个单位，再向下平移3个单位而得到， 又抛物线的焦点坐标为，所以抛物线的焦点坐标为. 故答案为：. 6．（24-25高二上·全国·课后作业）已知抛物线的焦点为，过且斜率为的直线交于两点，若，则的准线方程为 ． 【答案】 【分析】写出直线方程，与抛物线方程联立，消去，得到关于的一元二次方程，由韦达定理，得到，，再利用焦半径公式，表示出，根据可求得值，最后可得抛物线的准线方程. 【详解】易知，直线的方程为， 由得， 设， 则，， 所以， 解得，所以的准线方程为． 故答案为： 【考点3：抛物线的焦点弦】 【知识点：焦点弦的常用结论】 以抛物线y2＝2px(p>0)为例，设AB是抛物线的过焦点的一条弦(焦点弦)，F是抛物线的焦点，A(x1，y1)，B(x2，y2)，A，B在准线上的射影为A1，B1，则有以下结论： (1)x1x2＝，y1y2＝－p2； (2)若直线AB的倾斜角为θ，则|AF|＝，|BF|＝； (3)|AB|＝x1＋x2＋p＝(其中θ为直线AB的倾斜角)，抛物线的通径长为2p，通径是最短的焦点弦； (4)S△AOB＝(其中θ为直线AB的倾斜角)； (5)＋＝为定值； (6)以AB为直径的圆与抛物线的准线相切； (7)以AF(或BF)为直径的圆与y轴相切； (8)以A1B1为直径的圆与直线AB相切，切点为F，∠A1FB1＝90°； (9)A，O，B1三点共线，B，O，A1三点也共线． 1．（24-25高二上·全国·课后作业）已知抛物线的焦点为，过且斜率为的直线交于两点，若，则的准线方程为 ． 【答案】 【分析】写出直线方程，与抛物线方程联立，消去，得到关于的一元二次方程，由韦达定理，得到，，再利用焦半径公式，表示出，根据可求得值，最后可得抛物线的准线方程. 【详解】易知，直线的方程为， 由得， 设， 则，， 所以， 解得，所以的准线方程为． 故答案为： 2．（24-25高三上·海南海口·阶段练习）已知抛物线的焦点为，，，为抛物线上的任意三点（异于坐标原点），，且，若直线AB，AD，BD的斜率分别为，，，则的值为 ； ． 【答案】 2 0 【分析】根据三角形重心公式以及抛物线焦半径公式求解即可；根据题意求得直线的斜率，代入等式计算即可求解. 【详解】因为为抛物线上任意三点，且， 所以F为的重心，， 所以， 又，即. 因此抛物线的方程为， 则，， 两式相减得：， 所以， 同理可得，， 所以. 故答案为：2；0. 3．（24-25高二上·江苏连云港·阶段练习）抛物线：的焦点为，直线 经过点，交于两点，交轴于点，若，则错误的是（    ） A． B．弦的中点到轴的距离为 C． D．点的坐标为 【答案】D 【分析】对于A，由抛物线的方程可得焦点的坐标，进而可得的值；对于D，由向量关系和抛物线定义可得点的横坐标，代入抛物线的方程可得点的纵坐标，从而判断D；求出直线的斜率，进而求出直线的方程，与抛物线联立，求出两根之和，对于B，根据中点坐标公式，可求中点到轴的距离；对于C，再由抛物线的性质可得焦点弦的长度，从而判断C． 【详解】对于A，因为抛物线：的焦点为， 由题意，所以，即，故A正确； 对于D，如图：过点作垂直于轴， 因为，所以， 因为，所以， 所以，代入可得，故D错误； 不妨设点在轴下方， 则，所以直线的方程为：，即， 由得， 所以， 对于B，弦的中点到轴的距离为，故B正确； 对于C，，故C正确. 故选：D 4．（多选）（24-25高二上·江苏·阶段练习）已知是抛物线上的两点，若直线过抛物线的焦点F且倾斜角为，是A，B在准线上的射影，则下列命题不正确的是（    ） A． B． C． D．为直角三角形 【答案】C 【分析】对于选项A，设直线的方程为，代入，再利用韦达定理，即可得到结论；对于选项B，利用抛物线的定义和选项A中的结论，表示出即可；对于选项C，由抛物线的定义，在直角三角形中，运用余弦函数的定义，即可得到的长，同理可得的长，即可判断；对于选项D，由是A，B在准线上的射影，可求出，进而判断D正确. 【详解】对于选项A，设直线的方程为，代入， 可得，所以，，故A正确； 对于选项B，因为是过抛物线的焦点的弦， 所以由抛物线定义可得， 由选项A知，，， 所以. 即，解得， 当时，，所以， 当时，， 所以， 当时，也适合上式，所以，故B正确； 对于选项C，， 所以，同理可得， 所以，故C错误； 对于选项D，由抛物线的定义可知，，则. 因为，所以，则. 同理可得. 因为， 所以. 所以为直角三角形，选项D正确； 故选：C. 5．（多选）（2024·广西来宾·模拟预测）已知抛物线，过的焦点作直线，若与交于两点，，则下列结论正确的有（    ） A． B． C．或 D．线段中点的横坐标为 【答案】ABD 【分析】由直线，可知焦点，得的值和抛物线方程，可判断A选项；直线方程代入抛物线方程，由韦达定理结合，求出两点坐标和的值，结合韦达定理和弦长公式判断选项BCD. 【详解】抛物线的焦点在轴上， 过作直线，可知，则，得，A选项正确； 抛物线方程为，直线的方程代入抛物线方程，得. 设，，由韦达定理有，， ，得，解得或， ，则或，C选项错误； 则，线段中点的横坐标为，D选项正确； ，，B选项正确. 故选：ABD. 6．（多选）（22-23高二上·重庆铜梁·阶段练习）已知直线过抛物线的焦点F，且与抛物线C交于A，B两点，过A，B两点分别作抛物线准线的垂线，垂足分别为M，N，则下列结论错误的是（    ） A．抛物线的方程为 B．线段的长度为 C． D．线段的中点到y轴的距离为 【答案】BD 【分析】对于A，将抛物线焦点代入直线l的方程求出p即可得解；对于B，联立抛物线方程和直线l的方程可求出两交点横坐标，再由焦半径公式即可计算求解；对于C，利用抛物线的定义求得，从而判断；对于D，由抛物线定义和焦半径公式求出即为解. 【详解】对于A，由题可知在直线上， 所以，故抛物线的方程为，故A正确； 对于B，联立， 所以或，故B错误； 对于C，因为，所以， 因为轴，轴， 所以， 所以，故C正确； 对于D，因为， 所以线段的中点到y轴的距离为，故D错误. 故选：BD. 7．（多选）（24-25高三上·河北保定·阶段练习）抛物线的准线为l，P为C上的动点，过P作圆M：的两条切线，A，B为切点，过P作l的垂线，垂足为Q，则（    ） A．当时，l与圆M相切 B．当时，的最小值为 C．当时，为定值 D．存在点P，使得为等边三角形 【答案】CD 【分析】对于A，根据抛物线的准线方程以及圆的圆心坐标和半径可以判断是否相切；对于B，因为，所以可使得两点在点的异侧，根据两点之间，线段最短原理可知，当三点共线时，有最小值；对于C，已知可解得和的夹角，从而解得为定值；对于D，当时，为等边三角形，所以满足存在性． 【详解】对于A，圆M：的半径，圆心到准线的距离为， 所以，当且仅当，时， l与圆M相切，故A不正确； 对于B，如图所示： 当三点共线时，有最小值，最小值为，故B不正确； 对于C，因为，，所以由余弦定理得 ,所以， 所以＝，故C正确； 对于D，当时，，所以， 此时为等边三角形，故D正确； 故选：CD． 8．（多选）（24-25高三上·贵州·阶段练习）已知是抛物线的焦点，是的准线，点是上一点且位于第一象限，直线与圆相切于点，点在线段上，过点作的垂线，垂足为，则（    ） A． B．直线的方程为 C． D．的面积为 【答案】BC 【分析】利用勾股定理求得，根据点斜式求得直线的方程，联立直线的方程和抛物线的方程，求得横坐标，根据抛物线的定义求得，进而计算出的面积. 【详解】圆即， 是圆心为，半径的圆. 抛物线的焦点，准线为， 由于直线与圆相切，所以，A选项错误. 由于，所以， 所以直线的斜率为，方程为，即，B选项正确. 由解得，即， 根据抛物线的定义得，C选项正确. 所以的面积为，D选项错误. 故选：BC 【考点4：抛物线的实际应用】 【知识点：抛物线的实际应用】 抛物线的几何特性在实际中应用广泛，解决此类问题的关键是根据题意(一般是根据题中所给图形)建立适当的直角坐标系，设出抛物线的标准方程，依据题意得到抛物线上一点的坐标，从而求出抛物线方程，进而解决实际问题． 1．（24-25高二上·全国·课堂例题）如图所示，花坛水池中央有一喷泉，水管，水从喷头喷出后呈抛物线状，先向上至最高点后落下，若最高点距水面2m，距抛物线的对称轴1m，则水池的直径至少应设计为 m．（精确到1m）    【答案】5 【分析】以右侧抛物线顶点为坐标原点构建直角坐标系，设抛物线方程，由在抛物线上求参数，进而求得右侧水面落点坐标，根据对称性求水池的直径. 【详解】以抛物线的顶点为原点，过顶点与焦点的直线为y轴，建立平面直角坐标系．    设抛物线的方程为，则，代入方程得， 所以抛物线的方程为，又， 令，则，故， 所以，根据对称性知：水池直径为m，约为5 m. 故答案为：5. 2．（23-24高二下·上海浦东新·期中）省级保护文物石城永宁桥位于江西省赣州市石城县高田镇永宁桥建筑风格独特，是一座楼阁式抛物线形石拱桥当石拱桥拱顶离水面时，水面宽，当水面下降时，水面的宽度为 米 【答案】 【分析】建立坐标系，设出抛物线方程为，从而可得A在抛物线上，代入可求出抛物线方程，再令，即可求解． 【详解】建利坐标系如图，设抛物线方程为且， 则根据题意可知图中坐标为， 所以，可得， 所以抛物线方程为， 令，代入方程，解得， 可得到水面两点坐标分别为 所以水面的宽度为米． 故答案为： 3．（24-25高三下·陕西安康·阶段练习）在水平地面竖直定向爆破时，在爆破点炸开的每块碎片的运动轨迹均可近似看作是抛物线的一部分．这些碎片能达到的区域的边界和该区域轴截面的交线也是抛物线的一部分（如图中虚线所示），称该条抛物线为安全抛物线．若某次定向爆破中安全抛物线达到的最大高度为30米，碎片距离爆炸中的最远水平距离为60米，则这次爆破中，安全抛物线的焦点到其准线的距离为 米． 【答案】60 【分析】建立平面直角坐标系，确定抛物线方程形式，确定点的坐标，代入方程求解，即得答案. 【详解】如图，以安全抛物线达到的最大高度点为坐标原点，平行于底面的直线为x轴， 和地面垂直的直线为y轴，建立平面直角坐标系， 则抛物线方程为，由题意可知， 代入可得， 即安全抛物线的焦点到其准线的距离为60米， 故答案为：60 4．（24-25高二上·全国·课后作业）如图①，上海黄浦江上的卢浦大桥，整体呈优美的弧形对称结构.如图②，将卢浦大桥的主拱看作抛物线，江面和桥面看作水平的直线，主拱的顶端P到江面的距离为100m，且，则顶端到桥面的距离为（    ）    A．50m B． C．55m D． 【答案】A 【分析】以为坐标原点建立坐标系，设抛物线方程为，表达出点坐标，设，其中为点到桥面的距离，将坐标代入抛物线方程，求出，得到答案. 【详解】以为坐标原点，建立如图平面直角坐标系，依题意可知， 设抛物线方程为，其中为点到桥面的距离， 则,解得．      故选：A 5．（23-24高一上·江苏·期中）如图①，“东方之门”通过简单的几何曲线处理，将传统文化与现代建筑融为一体，最大程度地传承了苏州的历史文化．如图②，“门”的内侧曲线呈抛物线形，已知其底部宽度为80米，高度为200米．则离地面150米处的水平宽度（即CD的长）为（    ）    A．40米 B．30米 C．25米 D．20米 【答案】A 【分析】以底部所在的直线为x轴，以线段CD的垂直平分线所在的直线为y轴建立平面直角坐标系，用待定系数法求得外侧抛物线的解析式，则可知点C、D的横坐标，从而可得CD的长． 【详解】以底部所在的直线为x轴，以线段CD的垂直平分线所在的直线为y轴建立平面直角坐标系：   ，， 设抛物线的解析式为，将代入，得： ， 解得：， ∴抛物线的解析式为， 将代入得：， 解得：， ∴C（-20，150），， ， 故选：A 6．（2024·全国·模拟预测）某社会实践小组在调研时发现一座石造单孔桥（如图），该桥抛物线拱形部分的桥面跨度为21.6m，拱顶距水面10.9m，路面厚度约1m．若小组计划用绳子从桥面石栏放下摄像机取景，使其落在抛物线的焦点处，则绳子最合适的长度是（    ）    A．3m B．4m C．5m D．6m 【答案】B 【分析】建立适当的的平面直角坐标系，设出抛物线方程，将点的坐标代入抛物线方程可求得参数，进一步即可得解. 【详解】以拱形部分的顶点为坐标原点，水平线为x轴，垂直于轴，且方向向上，建立平面直角坐标系．    设抛物线的方程为． 易知抛物线过点，则，得， 所以，所以． 故选：B． 7．（2024·山西晋城·一模）吉林雾淞大桥，位于吉林市松花江上，连接雾淞高架桥，西起松江东路，东至滨江东路．雾淞大桥是吉林市第一座自锚式混凝土悬索桥，两主塔左、右两边悬索的形状均为抛物线（设该抛物线的焦点到准线的距离为米）的一部分，左：右两边的悬索各连接着29根吊索，且同一边的相邻两根吊索之间的距离均为米（将每根吊索视为线段）．已知最中间的吊索的长度（即图中点到桥面的距离）为米，则最靠近前主塔的吊索的长度（即图中点到桥面的距离）为（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】A 【分析】建立坐标系，求出点B横坐标，代入抛物线即可求解. 【详解】以为坐标原点，抛物线的对称轴为轴，建立如图所示的平面直角坐标系（横坐标与纵坐标的单位均为米）， 依题意可得抛物线的方程为． 因为同一边的悬索连接着29根吊索，且相邻两根吊索之间的距离均为米，则点的横坐标为， 则，所以点到桥面的距离为米． 故选：A. 8．（23-24高二上·四川德阳·期末）一种卫星接收天线（如图①所示）的曲面是旋转抛物面（抛物线围绕其对称轴旋转而得的一种空间曲面，抛物线的对称轴、焦点、顶点分别称为旋转抛物面的轴线、焦点、顶点），已知卫星波束以平行于旋转抛物面的轴线的方式射入该卫星接收天线经反射后聚集到焦点处（如图②所示），已知该卫星接收天线的口径（直径）为6m，深度为1m，则其顶点到焦点的距离等于（    ） A． B． C．1m D． 【答案】A 【分析】建立平面直角坐标系，设抛物线的标准方程为，代入点求出，进而可得答案. 【详解】如图所示，以接收天线的轴截面所在平面上建立平面直角坐标系，使接收天线的顶点（即抛物线的顶点）与原点重合，焦点在上， 设抛物线的标准方程为， 由已知得在抛物线上，所以，得， 其顶点到焦点的距离等于. 故选：A. 9．（多选）（23-24高二上·山西长治·期末）如图所示是某家用汽车远光灯示意图，其中心截口曲线是抛物线的一部分，光源在抛物线的焦点处，且灯口直径是，灯深，则（    ） A．远光灯光线按照路径射向远处 B．光源到反光镜顶点的距离是 C．与抛物线对称轴垂直的光线长度为 D．灯口上任意一点到焦点的距离是 【答案】AD 【分析】根据题意结合抛物线方程和定义分析逐项分析求解. 【详解】对于选项A：根据题意可知：远光灯光线按照路径射向远处，故A正确； 如图，以为坐标原点建立平面直角坐标系， 设抛物线方程为，可知， 可得，解得， 所以抛物线方程为，焦点坐标为， 对于选项B：光源到反光镜顶点的距离是，故B错误； 对于选项C：与抛物线对称轴垂直的光线长度为，故C错误； 对于选项D：灯口上任意一点到焦点的距离是，故D正确； 故选：AD. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$