专题5.5 导数的综合应用大题专项训练【七大题型】2024-2025学年高二数学举一反三系列（人教A版2019选择性必修第二册）

专题5.5 导数的综合应用大题专项训练【七大题型】 【人教A版（2019）】 姓名：___________班级：___________考号：___________ 题型一 利用导数研究函数的极值 1．（2024·广东·模拟预测）已知函数． (1)当时，求的极值； (2)讨论的单调性． 2．（24-25高三上·广东广州·阶段练习）已知函数，，是常数. (1)若在存在单调递减区间，求的取值范围. (2)若函数在处有极大值，求的值. 3．（24-25高三上·江苏南通·阶段练习）已知函数. (1)讨论的单调性； (2)若函数有极小值，且极小值大于，求实数的取值范围. 4．（24-25高二上·全国·课后作业）已知函数． (1)当时，求函数的极值； (2)讨论的单调性． 5．（24-25高三上·山西忻州·阶段练习）已知函数. (1)当时，求的极值； (2)若存在两个极值点. （i）求的取值范围； （ii）证明：. 题型二 利用导数研究函数的最值 6．（24-25高三上·广西·阶段练习）已知函数. (1)讨论的单调性； (2)若存在最大值，且最大值小于0，求的取值范围. 7．（24-25高三上·河南·阶段练习）已知函数的图象在点处的切线与直线垂直. (1)求的值; (2)已知在区间上的最小值为，求在区间上的最大值. 8．（24-25高三上·广东揭阳·阶段练习）已知函数. (1)求函数在点 处的切线方程； (2)求函数在上的最大值与最小值. 9．（24-25高二上·全国·课后作业）已知函数. (1)当时，证明：； (2)若函数和有相同的最小值，求. 10．（24-25高三上·辽宁大连·阶段练习）已知函数（），（）. (1)求的最小值； (2)求的最小值； (3)证明：． 题型三 导数中的函数零点（方程根）问题 11．（24-25高三上·湖南邵阳·阶段练习）已知函数， (1)若，求在点处的切线方程. (2)若有两个零点，求a的取值范围. 12．（23-24高二下·四川遂宁·阶段练习）已知函数在处取得极值，其中． (1)求的值； (2)当时，方程有两个不等实数根，求实数k的取值范围． 13．（24-25高三上·全国·阶段练习）已知函数， (1)当时，求在上的最大值； (2)求的零点个数． 14．（24-25高三上·四川成都·阶段练习）已知函数，其中为自然对数的底数． (1)当时，求的单调区间； (2)若方程有两个不同的根． （i）求的取值范围； （ii）证明：． 15．（24-25高三上·湖南长沙·阶段练习）已知函数，. (1)当时，求的极值； (2)若函数有2个不同的零点，. （i）求的取值范围； （ii）证明：. 题型四 利用导数证明不等式 16．（24-25高三上·北京·阶段练习）已知函数. (1)若，求曲线在点处的切线方程； (2)求函数的单调区间； (3)若，证明：当时，. 17．（24-25高二上·全国·课后作业）已知函数. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)证明：. 18．（24-25高三上·云南·阶段练习）已知函数. (1)若为增函数，求的取值范围； (2)若有两个极值点，证明：. 19．（2024·四川·一模）已知函数. (1)若在上单调递减，求的取值范围； (2)若，证明：. 20．（24-25高三上·四川·开学考试）已知函数. (1)若，求曲线在处的切线方程； (2)若时，求的取值范围； (3)若，证明：当时，. 题型五 导数中的不等式恒成立、存在性问题 21．（23-24高三下·山东济宁·开学考试）已知函数， (1)设，求的极小值； (2)对于任意的，都有，求的取值范围. 22．（24-25高三上·辽宁大连·期中）已知函数，，. (1)讨论的单调性； (2)若对任意恒成立，求实数的取值范围. 23．（24-25高三上·宁夏石嘴山·期中）已知函数其中为常数. (1)求在处的切线方程； (2)若，使成立，求的最小值. 24．（24-25高三上·全国·阶段练习）已知函数，，其中，. (1)若在处取得极值，求的值； (2)讨论函数的单调性： (3)若对任意，当时，不等式恒成立，求的取值范围. 25．（2024高三·全国·专题练习）已知函数 (1)求的单调区间； (2)设，若对任意，均存在，使得，求实数的取值范围． 题型六 利用导数研究双变量问题 26．（23-24高二下·天津·期末）已知函数为的导函数，已知曲线在处的切线的斜率为3. (1)求的值； (2)证明：当时，； (3)若对任意两个正实数，且，有，求证：. 27．（2024·河南商丘·模拟预测）已知函数的定义域为，其导函数． (1)求曲线在点处的切线的方程，并判断是否经过一个定点； (2)若，满足，且，求的取值范围． 28．（24-25高三上·四川绵阳·阶段练习）已知. (1)当时，求的单调递增区间； (2)若有两个极值点，. （i）求的取值范围； （ii）证明：. 29．（2024·河南·二模）已知函数，. (1)讨论的单调性； (2)当时，若对于任意的，总存在，使得，求的取值范围. 30．（2024高三·全国·专题练习）已知函数（是自然对数的底数）. (1)讨论函数的单调性； (2)若有两个零点分别为. ①求实数的取值范围； ②求证：. 题型七 利用导数解决实际问题 31．（24-25高三上·北京·阶段练习）现有一张长为40，宽为30的长方形铁皮，准备用它做成一只无盖长方体铁皮盒，要求材料利用率为，不考虑焊接处损失.如图，在长方形的一个角剪下一块正方形铁皮，作为铁皮盒的底面，用余下材料剪拼后作为铁皮盒的侧面，设长方体的底面边长为，高为cm，体积为. (1)求出与的关系式； (2)求该铁皮盒体积的最大值. 32．（24-25高三上·广东深圳·阶段练习）已知某公司生产某品牌服装的年固定成本为10万元，每生产一千件需另投入2.7万元，设该公司年内共生产该品牌服装千件并全部销售完，销售收入为万元，且. （注：年利润=年销售收入年总成本） (1)写出年利润W（万元）关于年产量（千件）的函数解析式； (2)年产量为多少千件时，该公司在这一品牌服装的生产中所获年利润最大？ 33．（23-24高三·江苏苏州·假期作业）如图，某城市小区有一个矩形休闲广场，米，广场的一角是半径为16米的扇形BCE绿化区域，为了使小区居民能够更好的在广场休闲放松，现决定在广场上安置两排休闲椅，其中一排是穿越广场的双人靠背直排椅MN（宽度不计），点M在线段AD上，并且与曲线CE相切；另一排为单人弧形椅沿曲线CN（宽度不计）摆放．已知双人靠背直排椅的造价每米为2a元，单人弧形椅的造价每米为a元，记锐角，总造价为W元． (1)试将W表示为的函数，并写出的取值范围； (2)问当AM的长为多少时，能使总造价W最小． 34．（23-24高二下·全国·课堂例题）如图（1），一边长为48cm的正方形铁皮，四角各截去一个大小相同的小正方形，然后折起，可以做成一个无盖长方体容器，如图（2），所得容器的容积V（单位：）是关于截去的小正方形的边长x（单位：cm）的函数. (1)随着x的变化，容积V是如何变化的？ (2)截去的小正方形的边长为多少时，容器的容积最大？最大容积是多少？ 35．（23-24高三上·安徽·期中）南京玄武湖号称“金陵明珠”，是我国仅存的皇家园林湖泊．在玄武湖的一角有大片的荷花，每到夏季，荷花飘香，令人陶醉．夏天的一个傍晚，小胡和朋友游玄武湖，发现观赏荷花只能在岸边，无法深入其中，影响观赏荷花的乐趣，于是他便有了一个愿景：若在玄武湖一个盛开荷花的一角（该处岸边近似半圆形，如图所示）设计一些栈道和一个观景台，观景台在半圆形的中轴线上（图中与直径垂直，与不重合），通过栈道把连接起来，使人行在其中，犹如置身花海之感．已知，栈道总长度为函数． (1)求； (2)若栈道的造价为每米5万元，试确定观景台的位置，使实现该愿景的建造费用最小（观景台的建造费用忽略不计），并求出实现该愿景的建造费用的最小值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题5.5 导数的综合应用大题专项训练【七大题型】 【人教A版（2019）】 姓名：___________班级：___________考号：___________ 题型一 利用导数研究函数的极值 1．（2024·广东·模拟预测）已知函数． (1)当时，求的极值； (2)讨论的单调性． 【解题思路】（1）利用导数求得的极值. （2）先求得，对进行分类讨论，从而求得的单调区间. 【解答过程】（1）当时，， 所以在区间上单调递增， 在区间上单调递减， 所以的极大值是， 极小值为. （2），， 当时，单调递增； 当时，在区间上单调递增， 在区间上单调递减. 当时，在区间上单调递增， 在区间上单调递减. 综上：当时，在上单调递增； 当时，在区间上单调递增，在区间上单调递减. 当时，在区间上单调递增，在区间上单调递减. 2．（24-25高三上·广东广州·阶段练习）已知函数，，是常数. (1)若在存在单调递减区间，求的取值范围. (2)若函数在处有极大值，求的值. 【解题思路】（1）即在上有解，即可求出求的取值范围. （2）求导因式分解后可得当时，有极大值，故此时，所以. 【解答过程】（1）因为， 所以， 当时，，或. 若，当变化时，，的变化情况如下表所示： 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 由题意，在存在单调递减区间， 所以在上有解， 在上单调递减，所以， 解得，或，即. 若，当变化时，，的变化情况如下表所示： 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 则在不存在单调递减区间. 若，，在上单调递增，不存在减区间. 综上所述，的取值范围是. （2）因为. 当，即，或时，函数可能有极值. 由题意，当时，函数有极大值，所以. 由（1）知，当时，有极大值，此时，所以. 当时，， 令，可得：或， 令，可得：， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以函数在处有极大值. 3．（24-25高三上·江苏南通·阶段练习）已知函数. (1)讨论的单调性； (2)若函数有极小值，且极小值大于，求实数的取值范围. 【解题思路】（1）利用导数与函数单调性的关系，分类讨论的取值范围即可得解； （2）利用（1）中的结论，分类讨论的取值范围，得到关于的不等式，结合构造函数法与导数即可得解. 【解答过程】（1）函数的定义域为， ， 当时，令，得或，令，得， 所以的递增区间是和，递减区间是； 当时，恒成立，所以的递增区间是； 当时，令，得或，令得， 所以的递增区间是和，递减区间是； 当时，令得，令得， 所以的递增区间是，递减区间是. （2）由（1）知：若函数有极小值，则， 当或时，在取得极小值， 又， 所以，解得，则； 当时，在取得极小值， 又， 所以，即， 令，则，， 令，得；令，得， 所以函数在上单调递增，上单调递减， 且， 所以由，可得； 综上，或，即的取值范围是. 4．（24-25高二上·全国·课后作业）已知函数． (1)当时，求函数的极值； (2)讨论的单调性． 【解题思路】（1）当时，求得，得出函数的单调区间，进而求得函数的极值； （2）求得，分和，分类讨论，结合导数的符号，进而得到函数的单调区间. 【解答过程】（1）解：当时，，可得， 令，则；令，则， 所以当时，单调递增，当时，单调递减， 所以函数在处取得极小值，无极大值． （2）解：由函数，可得， 当时，，所以在上单调递增； 当时，令，则， 所以当时，单调递减； 当时，单调递增， 综上，当时，在上单调递增； 当时，在区间内单调递减，在区间内单调递增． 5．（24-25高三上·山西忻州·阶段练习）已知函数. (1)当时，求的极值； (2)若存在两个极值点. （i）求的取值范围； （ii）证明：. 【解题思路】（1）求导，利用导数求的单调性和极值； （2）（i）求导可得，构建，由题意可知在内有两个变号零点，结合导数分析函数零点即可得结果；（ⅱ）由（i）可知，，且，构建，利用导数求最值即可. 【解答过程】（1）当时，， 可知的定义域为，且， 当时，；当时，当； 可知在上单调递减，在上单调递增， 所以的极小值为，无极大值. （2）（i）由题意可得：的定义域为， 且， 设，可知在内有两个变号零点， 则， 当，；当时，； 可知在上单调递减，在上单调递增， 则的最小值为， 且当趋近于时，趋近于， 当时，则，可得， 可得，即当趋近于时，趋近于， 可得，解得， 所以实数的取值范围为； （ii）由（i）可知，，且， 所以， 设，显然，又， 因为，则，可知在上单调递减， 且，可得， 所以. 题型二 利用导数研究函数的最值 6．（24-25高三上·广西·阶段练习）已知函数. (1)讨论的单调性； (2)若存在最大值，且最大值小于0，求的取值范围. 【解题思路】（1）求出函数的导数，再按分类讨论求出的单调区间. （2）由（1）的信息，求出最大值，再建立 不等式并构造函数，利用导数单调性求解即得. 【解答过程】（1）显然，的定义域为，求导得， 当时，在上单调递增； 当时，由，得，令，得， 则在上单调递增，在上单调递减， 所以当时，的单调递增区间是； 当时，的单调递增区间是，单调递减区间是. （2）由（1）知，当且仅当时，存在最大值，且最大值为.， 设，求导得，函数在上单调递增， 又，则由，得， 所以的取值范围为. 7．（24-25高三上·河南·阶段练习）已知函数的图象在点处的切线与直线垂直. (1)求的值; (2)已知在区间上的最小值为，求在区间上的最大值. 【解题思路】（1）根据导数的几何意义求解； （2）利用导数判断的单调性，结合的最小值为，求出，并求出最大值. 【解答过程】（1）由已知，得， 由题知，解得. （2）由（1）可知，，， 的变化情况如表所示： 1 2 + 0 - 0 + 极大值 极小值 ，，， 即在区间上的最大值为1. 8．（24-25高三上·广东揭阳·阶段练习）已知函数. (1)求函数在点 处的切线方程； (2)求函数在上的最大值与最小值. 【解题思路】（1）根据导数的几何意义求解即可； （2）先利用导数分析函数的单调性，进而求解即可. 【解答过程】（1）由，得， 所以，又， 所以函数在处的切线方程为：，即. （2）由，令，解得或， 令，解得， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以当时，最小，且最小值为， 因为，，故最大值为. 9．（24-25高二上·全国·课后作业）已知函数. (1)当时，证明：； (2)若函数和有相同的最小值，求. 【解题思路】（1）利用导数工具研究函数的单调性，进而得函数即可得证； （2）利用导数分别求出函数和的单调性，进而得和，令得，构造函数，再利用导数求出在区间上是单调递增的且即可得解. 【解答过程】（1）当时，， 令，得，令，得， 所以在区间内单调递减，在区间内单调递增， 所以有最小值，所以当时，. （2）由题，因为为减函数，所以为增函数， 当时，单调递减，故无最小值，不符合； 当时，令得， 所以当时，单调递减； 当时，单调递增， 故. 又，令得， 所以当时，单调递减， 当时，单调递增， 故， 因为和有相同的最小值，所以，即， 整理得，设函数， 则， 所以在区间内单调递增，又， 所以是函数的唯一零点，即为方程的唯一实根， 综上所述，. 10．（24-25高三上·辽宁大连·阶段练习）已知函数（），（）. (1)求的最小值； (2)求的最小值； (3)证明：． 【解题思路】（1）求出函数的导函数，即可求出函数的单调性，从而求出函数的最小值； （2）先求导数，确定导函数零点，根据导函数符号确定函数单调性，进而确定函数最值； （3）先构造函数，，再求导数，转化研究，利用导数可得，最后利用放缩得单调递增，根据单调性证得结果. 【解答过程】（1）因为，， 则，所以在上单调递增， 所以. （2）因为，， 则，令，得， 故在区间上，的唯一零点是， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 故在区间上，的极小值为， 当时，， 所以的最小值为. （3）要证当时，， 即证当时，， 因为 ， 由（1）可知是上的增函数， ∴，即， ∴ ， ∴. 即是上的增函数，， 故当时，. 题型三 导数中的函数零点（方程根）问题 11．（24-25高三上·湖南邵阳·阶段练习）已知函数， (1)若，求在点处的切线方程. (2)若有两个零点，求a的取值范围. 【解题思路】（1）把代入，求出导数，利用导数的几何意义求出切线方程. （2）求导后，分别在、和的情况下，求得单调性和最值，结合零点存在定理可确定符合题意的取值范围. 【解答过程】（1）当时，，求导得，则，而， 所以函数的图象在点处的切线方程为. （2）函数的定义域为R，求导得， ①当时，恒成立，函数在上单调递增，至多有一个零点，不合题意； ②当时，由，解得， 当时，；当时，， 函数在上单调递减，在上单调递增， 则， 当时，，则，则至多有一个零点，不合题意； 当时，，则，而，则在上有唯一零点； 由（1）知，当时，，函数在上单调递增， 当时，，即， 当时，，在上有唯一零点； 因此当时，有两个不同零点， 所以实数的取值范围为. 12．（23-24高二下·四川遂宁·阶段练习）已知函数在处取得极值，其中． (1)求的值； (2)当时，方程有两个不等实数根，求实数k的取值范围． 【解题思路】（1）先求导函数，再依据题意求解检验即可. （2）由（1）得和，接着研究在上的正负从而得在上的单调性，根据单调性数形结合即可得解. 【解答过程】（1）由求导得， 依题意可知，即，解得， 此时，， 由得或， 当时，，函数递增， 当时，，函数递减， 故时，函数取得极大值，故. （2）由（1）得，， 令，解得或，因， 故当时，函数递减，当时，函数递增， 当时，取得极小值，无极大值，所以， 所以在区间上，的最大值为或，而， 所以在区间上的最大值为，最小值为， 作出函数与直线的图像，如图，    由图知. 13．（24-25高三上·全国·阶段练习）已知函数， (1)当时，求在上的最大值； (2)求的零点个数． 【解题思路】（1）求导，根据单调性即可求解最值， （2）参数分离，构造函数，求导确定函数的单调性，即可求解. 【解答过程】（1），， 令，则单调递减，且 从而，，单调递增；，，单调递减． 故，最大值为1， （2）令，则由，故， 令，则 从而在上单调递减，在上单调递减． 若，当时，，若，当时，； 若，当时，，当时，． 从而当时，与有一个交点， 时，与有两个交点 故时，有一个零点；时有两个零点． 14．（24-25高三上·四川成都·阶段练习）已知函数，其中为自然对数的底数． (1)当时，求的单调区间； (2)若方程有两个不同的根． （i）求的取值范围； （ii）证明：． 【解题思路】（1）求函数的导函数及其零点，分区间分析导函数的正负，结合导数与单调性的关系求单调区间； （2）方程可化为，结合（1）确定函数的性质，由条件确定的取值范围； （3）设，由（i），由已知，法一：先证明时结论成立，构造函数，，并证明，由此可得，结合的单调性证明，再结合基本不等式证明当时，结论成立；法二：构造函数，证明当时，，由此可证，结合的单调性证明，再结合基本不等式证明结论. 【解答过程】（1）由题意得，，则， 由，解得． 当时，单调递增， 当时，单调递减； 综上，在区间内单调递增，在区间内单调递减； （2）（i）由，得， 设， 由（1）得在区间内单调递增，在区间内单调递减， 又，当时，，且当时，， 所以当时，方程有两个不同的根，即方程有两个不同的根， 故的取值范围是．                                      （ii）不妨设，则，且． 法一： 当时，结合（i）知，即； 当时，． 设 则 所以在区间内单调递增， 则，即， 所以 又在区间内单调递减， 所以，即， 又，所以， 故，所以，得证． 法二： 设，， 则， 所以在区间内单调递增，又， 所以，即． 又，所以， 又在区间内单调递减． 所以，即， 又，所以，得证． 15．（24-25高三上·湖南长沙·阶段练习）已知函数，. (1)当时，求的极值； (2)若函数有2个不同的零点，. （i）求的取值范围； （ii）证明：. 【解题思路】（1）将代入函数解析式，求导，判断其单调性，进而得出极值； （2）（i）化简函数的解析式，令，问题可转化为在有2个零点，，再利用导数研究函数的性质即可得出答案； （ii）等价于证明，再利用极值点偏移法即可得证． 【解答过程】（1）时，， ， 令， ，；，， 在单调递减，单调递增， 时，，，则， ，，时，， 时，；，， 在单调递减，在单调递增， 的极小值为，无极大值. （2）（i），， 令，， ，在单调递增， 令，即在有2个零点，，且，， ， 时，，在单调递增，不存在2个零点， ， 时，；时，， 在单调递减，在单调递增， 时，；时，， ，. （ii）设，，， 由（i）知，，即证：，即证：， ，，在单调递增， 即证：， ，， 令，， 即证：，， 令，， ，在单调递减，， ，在单调递增，. 题型四 利用导数证明不等式 16．（24-25高三上·北京·阶段练习）已知函数. (1)若，求曲线在点处的切线方程； (2)求函数的单调区间； (3)若，证明：当时，. 【解题思路】（1）借助导数的几何意义计算可得其切线斜率，即可得其切线方程； （2）分及，结合导数讨论即可得； （3）构造函数，多次求导研究其单调性即可得. 【解答过程】（1）当时，， 则， ，则， 即曲线在点处的切线方程为， 即； （2）， 当时，恒成立，故在上单调递减； 当时，若，则，若，则， 故在上单调递减，在上单调递增； （3）令， ， 令，则， 令，则恒成立， 故在上单调递增， 则， 故在上单调递增， 则， 故在上单调递增， 则，即. 17．（24-25高二上·全国·课后作业）已知函数. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)证明：. 【解题思路】（1）求出和，利用点斜式可写出所求切线的方程； （2）讨论和两种情况下，分别通过构造新函数和利用导数求出单调性，进而完成证明. 【解答过程】（1）因为，所以，又， 所以曲线在点处的切线方程为，即． （2）当时，令，则， 所以在上单调递减， 所以，即， 又，所以， 令，则， 记，则， 所以在区间内单调递增，所以， 所以在区间内单调递增，所以，即， 所以当时，； 当时，令， 则， 由于当时，，，则， 令，则， 所以在区间上单调递增，所以，所以， 所以在区间上单调递减，所以， 故当时，． 综上，． 18．（24-25高三上·云南·阶段练习）已知函数. (1)若为增函数，求的取值范围； (2)若有两个极值点，证明：. 【解题思路】（1），由题意得恒成立，，求导分析的单调性，即的单调性，求出的最值，即可求解. （2）由（1）知，当时，有两个极值点，设，则，设，求导得出的单调性，可得，继而可得，即，由的单调性可得，继而即可证明. 【解答过程】（1）为增函数，则恒成立， 设，则， 令，则， 当时，，所以在上单调递减； 当时，，所以在上单调递增， 所以是函数的极小值点， 故当，即恒成立， 所以当为增函数，的取值范围为. （2），，，由（1）知当， 即时，有两个极值点， 故，设，则， 设， 则， 故在上单调递增，所以， 所以，又， 故， 所以， 又在上单调递减， 故， 所以. 19．（2024·四川·一模）已知函数. (1)若在上单调递减，求的取值范围； (2)若，证明：. 【解题思路】（1）根据题意可得在区间上恒成立，构造函数，求得其最大值，即可得到结果； （2）根据题意要证等价于证明，构造函数，利用导数求出其最小值，从而可求解. 【解答过程】（1）由，则， 因为在上单调递减，所以在上恒成立， 所以，即， 构造函数，所以， 当时，；当时，， 所以在区间上单调递增，在区间上单调递减， 所以当时取得极大值也是最大值，即，所以， 所以的取值范围为. （2）解法一：由题意得的定义域为， 当时，要证，即证：，等价于证明 构造函数，即证； 所以，令， 因为函数的对称轴为，所以在上单调递增， 且，，所以存在，使， 所以当时，，即， 当时，，即， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以当时，有极小值也是最小值， 又因为，得，所以， 令，则在上恒成立， 所以在上单调递减，所以，即， 所以即证，所以可证. 解法二：若，， 令，则， 当时，，单调递减；当时，，单调递增； 所以，所以， 所以. 20．（24-25高三上·四川·开学考试）已知函数. (1)若，求曲线在处的切线方程； (2)若时，求的取值范围； (3)若，证明：当时，. 【解题思路】（1）利用导数的几何意义，求出切线斜率即可得解； （2）利用导数求出函数的单调性，得到极值，转化为极大值小于0即可得解； （3）转化为证明，构造关于的函数，利用导数求最小值，再由导数求关于的函数的最小值，由不等式的传递性可得证. 【解答过程】（1）当时，， 则，所以， 又，所以切线方程为. （2）， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减， 所以，又， 所以，即， 所以的取值范围为. （3）由可得， 即证当，时，， 令， 则， 由可知，，故在上单调递减， 所以， 令，则， 当时，，，所以， 故在上单调递增，所以， 所以，即， 所以成立. 题型五 导数中的不等式恒成立、存在性问题 21．（23-24高三下·山东济宁·开学考试）已知函数， (1)设，求的极小值； (2)对于任意的，都有，求的取值范围. 【解题思路】（1）求出，分别令求得的范围，可得函数的增区间，令求得的范围，可得函数的减区间，结合单调性可求得函数的极小值； （2）由（1）知，在上单调递增，在上单调递减，.讨论当时，当时两种情况，分别利用对数以及函数的单调性，求出函数最值，从而可筛选出符合题意的实数的取值范围. 【解答过程】（1），. 令，∴， ∴在上为增函数，又. ∵当时，；当时，， ∴的单调递减区间为，单调递增区间为， ∴. （2）由（1）知，在上单调递增，在上单调递减， ∴. 当时，，在上单调递增，，满足条件； 当时，. 又∵， ∴，使得， 此时，，；，， ∴在上单调递减，，都有，不符合题意. 综上所述，实数的取值范围为. 22．（24-25高三上·辽宁大连·期中）已知函数，，. (1)讨论的单调性； (2)若对任意恒成立，求实数的取值范围. 【解题思路】（1）函数求导，根据参数进行分类，讨论函数的单调性即得. （2）由原不等式恒成立转化为恒成立，设，就参数分类讨论，找到使恒成立时的情况，即得的取值范围. 【解答过程】（1）函数的定义域为， 求导得 当时，由，得；由，得， 函数在上单调递减，在上单调递增； 当时，，恒成立，函数在上单调递增； 当时，由，得；由，得， 函数在上单调递减，在，上单调递增； 当时，由，得；由，得， 函数在上单调递减，在和上单调递增， 所以时，的递减区间是，递增区间是； 时，的递增区间是，无递减区间； 时，的递增区间是和，递减区间是； 时，的递增区间是和，递减区间是. （2）由，得， 由，得，当时，不等式显然成立， 设，， 则， 当时，，函数在上单调递增，则； 当时，设， 则方程有两根，，于是， 当时，，则，在上单调递减， 又，则当时，，不满足条件， 所以的取值范围是. 23．（24-25高三上·宁夏石嘴山·期中）已知函数其中为常数. (1)求在处的切线方程； (2)若，使成立，求的最小值. 【解题思路】（1）根据导数的几何意义求解即可； （2）由题意，将其等价转化为在有解，即， 令，进而利用导数分析单调性求解即可. 【解答过程】（1）由，得， 则， 故所求切线方程为，即. （2），使成立， 即，使成立， 则在有解，即. 令，， 令得；令得， 故在单调递增，在单调递减， 所以， 则，故的最小值为. 24．（24-25高三上·全国·阶段练习）已知函数，，其中，. (1)若在处取得极值，求的值； (2)讨论函数的单调性： (3)若对任意，当时，不等式恒成立，求的取值范围. 【解题思路】（1）根据极值点求得，并进行验证. （2）先求得，然后对进行分类讨论，从而求得的单调区间. （3）由（2）求得的最小值，利用导数求得的最大值，再结合已知条件来求得的取值范围. 【解答过程】（1）令， 由题意，. 由已知得，解得， 此时， 易知在区间上单调递增，在上单调递减， 则函数在处取得极小值，因此. （2）由题意， 其中，， ①当，即，在上单调递减，在上单调递增. ②当，即，则在上单调递减. 综上，当时，的单调递减区间为； 当时，的单调递减区间为，单调递增区间为. （3）当时，由（2）可知当时，函数取得最小值， 即， 由，可得在上单调递增， 即当时，， 对任意，当时，不等式恒成立， 则必有，即，解得， 所以k的取值范围是. 25．（2024高三·全国·专题练习）已知函数 (1)求的单调区间； (2)设，若对任意，均存在，使得，求实数的取值范围． 【解题思路】（1）求导，根据导数分情况讨论导函数零点情况及函数单调性； （2）对任意，均存在，使得，即可转化为，分别求最大值即可得不等式，解不等式. 【解答过程】（1）由， 得， 又， 所以令，解得，， 当时，， 即时，，单调递增；时，，单调递减；时，，单调递增； 当时，，恒成立，在上单调递增； 当时，， 即时，，单调递增，时，，单调递减；时，，单调递增； 综上所述， 当时，的单调递增区间为和，单调递减区间为； 当时，的单调递增区间为，无单调递减区间； 当时，的单调递增区间为和，单调递减区间为； （2）由已知对任意，均存在，使得， 即可转化为， 又，， 当时取最大值为， 由（1）得， 当时，在上单调递增， 即当时，取最大值为， 所以，解得，即； 当时，在上单调递增，在上单调递减， 即当时，取最大值为， 设，，则， 故在上为减函数， 所以， 即，成立， 综上所述，. 题型六 利用导数研究双变量问题 26．（23-24高二下·天津·期末）已知函数为的导函数，已知曲线在处的切线的斜率为3. (1)求的值； (2)证明：当时，； (3)若对任意两个正实数，且，有，求证：. 【解题思路】（1）由求得值； （2）设，利用导数确定其单调性后可证； （3）不妨设，令，由进行转化后把用表示，把要证不等式化为关于的不等式，再利用导数进行证明． 【解答过程】（1）由，可知， 因为在处的切线斜率为3， 所以. 所以. （2）证明：由（1）知， 不妨设，则. 令 因为， 所以在上单调递增，. 故， 所以在上单调递增，， 所以. （3）由（1）知， 不妨设，令 由即得，即. 即，则， 所以， 要证. 设，则. 则在上单调递减，，故成立. 27．（2024·河南商丘·模拟预测）已知函数的定义域为，其导函数． (1)求曲线在点处的切线的方程，并判断是否经过一个定点； (2)若，满足，且，求的取值范围． 【解题思路】（1）利用求导法则得，根据条件及导数的几何意义、直线的点斜式计算即可； （2）利用导函数有两个零点得出的关系及范围，消元化简得 ，构造函数，利用导数研究其单调性及最值即可. 【解答过程】（1）因为， 所以（c为常数）． 因为，所以， 所以． 又， 所以曲线在点处的切线的方程为， 即， 所以经过定点． （2）令，可得． 因为，满足，且， 所以关于的方程有两个不相等的正实数根， 则， 所以 ， 令函数， 则， 令，得， 因为当时，， 当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以， 又当时，， 所以的取值范围为， 即的取值范围为． 28．（24-25高三上·四川绵阳·阶段练习）已知. (1)当时，求的单调递增区间； (2)若有两个极值点，. （i）求的取值范围； （ii）证明：. 【解题思路】（1）首先求函数的导数，化简后求的解集； （2）（ⅰ）首先求函数的导数，令，换元后转化为方程有两个正根，利用判别式以及韦达定理，求参数的取值范围； （ⅱ）首先求，根据（1）的换元结果，以及韦达定理，转化为关于的函数，并构造函数，利用导数判断函数的单调性，转化为函数的最大值，即证明不等式. 【解答过程】（1）当时，， ， 当，即时，， 故单调递增区间为； （2），令，即， 令，，则、是方程的两个正根， 则，即， 有，，即， （ii） ， 要证，即证， 令， 则， 令，则， 则在上单调递减， 又，， 故存在，使，即，则当时，，当时，， 故在上单调递增，在上单调递减， 则， 又，则，故， 即，即. 29．（2024·河南·二模）已知函数，. (1)讨论的单调性； (2)当时，若对于任意的，总存在，使得，求的取值范围. 【解题思路】（1）首先求函数的导数并化简，讨论和两种情况下函数的单调性；（2）根据题意将不等式转化为，分别求函数的最值，即可求解. 【解答过程】（1），. 当时，恒成立，在上单调递减； 当时，由，解得，即在上单调递增， 由，解得，即在上单调递减. （2）当时，由（1）知， ，恒成立，在上单调递增，所以， 由题意知，即. 设，则，所以为增函数， 又，所以， 即的取值范围是. 30．（2024高三·全国·专题练习）已知函数（是自然对数的底数）. (1)讨论函数的单调性； (2)若有两个零点分别为. ①求实数的取值范围； ②求证：. 【解题思路】（1）根据题意，求导即可得到结果； （2）①根据题意，将问题转化为有两个零点，然后利用导数，分类讨论即可得到的取值范围； ②根据题意，将问题转化为，再由①中的结论，即只需证，然后构造函数求导即可得到证明. 【解答过程】（1）由题意可得，， 当时，，在上单调递增； 当时，由解得，由解得， 所以，在上单调递减，在上单调递增. 综上，当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在上单调递增. （2）①等价于有两个零点， 令，则，在时恒成立，∴在时单调递增， ∴有两个零点，等价于有两个零点. ∵ ，∴当时，，单调递增，不可能有两个零点； 当时，令，得，单调递增， 令，得，单调递减，∴， 若，得，此时恒成立，没有零点； 若，得，此时有一个零点； 若，得，∵，， 记，则， 记，则， 所以在上单调递增，所以，即， 故在上单调递增，所以， 即， ∴在，上各存在一个零点，符合题意， 综上，的取值范围为. ②因为，不等式两边同时取对数化简可得， 要证即证：， 即证，由（2）中①知，，∴只需证. ∵，，∴，， ∴ ，只需证. 设，令， 则，∴只需证 ， 即证 ， 令，，则 ，， 即当时， 成立.∴，即. 题型七 利用导数解决实际问题 31．（24-25高三上·北京·阶段练习）现有一张长为40，宽为30的长方形铁皮，准备用它做成一只无盖长方体铁皮盒，要求材料利用率为，不考虑焊接处损失.如图，在长方形的一个角剪下一块正方形铁皮，作为铁皮盒的底面，用余下材料剪拼后作为铁皮盒的侧面，设长方体的底面边长为，高为cm，体积为. (1)求出与的关系式； (2)求该铁皮盒体积的最大值. 【解题思路】（1）由题意得到，化简得到，并由实际情境得到； （2）表达出，求导得到其单调性，进而得到最大值. 【解答过程】（1）因为材料利用率为， 所以，即； 因为长方形铁皮长为40，宽为30，故， 综上，，； （2）铁皮盒体积， ，令，得 的变化情况如下： 20 + 0 - 在上为增函数，在上为减函数， 则当时，取最大值， 最大值为. 32．（24-25高三上·广东深圳·阶段练习）已知某公司生产某品牌服装的年固定成本为10万元，每生产一千件需另投入2.7万元，设该公司年内共生产该品牌服装千件并全部销售完，销售收入为万元，且. （注：年利润=年销售收入年总成本） (1)写出年利润W（万元）关于年产量（千件）的函数解析式； (2)年产量为多少千件时，该公司在这一品牌服装的生产中所获年利润最大？ 【解题思路】（1）由题意得，进而求解即可； （2）利用导数和基本不等式求解即可. 【解答过程】（1）由题意. （2）①当时，， 则，当时，；当时，； 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 所以当时，取最大值，且. ②当时，， 当且仅当，即时，. 综合①､②知时，取最大值. 所以当年产量为9千件时，该公司在这一品牌服装生产中获利最大. 33．（23-24高三·江苏苏州·假期作业）如图，某城市小区有一个矩形休闲广场，米，广场的一角是半径为16米的扇形BCE绿化区域，为了使小区居民能够更好的在广场休闲放松，现决定在广场上安置两排休闲椅，其中一排是穿越广场的双人靠背直排椅MN（宽度不计），点M在线段AD上，并且与曲线CE相切；另一排为单人弧形椅沿曲线CN（宽度不计）摆放．已知双人靠背直排椅的造价每米为2a元，单人弧形椅的造价每米为a元，记锐角，总造价为W元． (1)试将W表示为的函数，并写出的取值范围； (2)问当AM的长为多少时，能使总造价W最小． 【解题思路】（1）总造价由两部分组成，根据弧长公式可求得，而切线长需构造直角三角形或借助坐标求解，最后由线段长为正，可得的取值范围； （2）利用导数求函数最值，先求导数，确定导函数零点，分析函数单调性，确定极值点，即最值点即可得答案. 【解答过程】（1）解：过N作AB的垂线，垂足为F，过M作NF的垂线，垂足为G， 在中，，则， 在中，，则， 由题意易得， 所以， ； （2）解：， 令，得，又，所以， 所以当时，，单调递减；当时，，单调递增． 所以当时，总造价W最小，最小值为，此时，，， 所以当米时，能使总造价W最小． 34．（23-24高二下·全国·课堂例题）如图（1），一边长为48cm的正方形铁皮，四角各截去一个大小相同的小正方形，然后折起，可以做成一个无盖长方体容器，如图（2），所得容器的容积V（单位：）是关于截去的小正方形的边长x（单位：cm）的函数. (1)随着x的变化，容积V是如何变化的？ (2)截去的小正方形的边长为多少时，容器的容积最大？最大容积是多少？ 【解题思路】（1）首先写出V关于x的函数解析式，然后利用导数研究函数的单调性即可求解； （2）根据函数的单调性即可求得最大值及自变量的取值. 【解答过程】（1）根据题意可得，由实际情况可知函数的定义域为. 根据导数公式表及导数的运算法则可得 ，解方程，得，（舍）， 令得，令得， 所以当时，函数单调递增；当时，函数单调递减. （2）当时，函数单调递增；当时，函数单调递减， 因此，是函数的极大值点也是最大值点，此时， 所以当截去的小正方形的边长为8cm时，得到的容器容积最大，最大容积为8192. 35．（23-24高三上·安徽·期中）南京玄武湖号称“金陵明珠”，是我国仅存的皇家园林湖泊．在玄武湖的一角有大片的荷花，每到夏季，荷花飘香，令人陶醉．夏天的一个傍晚，小胡和朋友游玄武湖，发现观赏荷花只能在岸边，无法深入其中，影响观赏荷花的乐趣，于是他便有了一个愿景：若在玄武湖一个盛开荷花的一角（该处岸边近似半圆形，如图所示）设计一些栈道和一个观景台，观景台在半圆形的中轴线上（图中与直径垂直，与不重合），通过栈道把连接起来，使人行在其中，犹如置身花海之感．已知，栈道总长度为函数． (1)求； (2)若栈道的造价为每米5万元，试确定观景台的位置，使实现该愿景的建造费用最小（观景台的建造费用忽略不计），并求出实现该愿景的建造费用的最小值． 【解题思路】（1）在直角三角形中，由边角关系分别表达，进而求出，则可得栈道总长度； （2）利用导数研究函数单调性求最值即可. 【解答过程】（1）由题意知，，， 则，， 所以. 所以栈道总长度为 （2）建造栈道的费用为，则， 令，得，又，解得， 当时， ，当时， ， 则在单调递减，在单调递增， 故， 此时， 故观景台位于离岸边半圆弧中点的距离为米时，建造费用最小，最小费用为万元. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$