专题5.8 三角函数的图象与性质的综合应用大题专项训练【七大题型】-2024-2025学年高一数学举一反三系列（人教A版2019必修第一册）

专题5.8 三角函数的图象与性质的综合应用大题专项训练【七大题型】 【人教A版（2019）】 姓名：___________班级：___________考号：___________ 题型一 正弦函数、余弦函数的图象的应用 1．（23-24高三上·黑龙江牡丹江·阶段练习）已知函数的部分图象如图所示． (1)求，的值； (2)求函数在区间上的最大值和最小值． 2．（23-24高一上·贵州黔东南·阶段练习）已知函数的部分图象如图所示． （1）求函数的解析式； （2）求函数的单调递减区间． 3．（2024·河南·三模）已知函数. （1）完成下列表格，并用五点法在下面直角坐标系中画出在上的简图； 0 （2）求不等式的解集. 4．（23-24高一下·辽宁大连·阶段练习）函数的部分图像如图所示. (1)求的解析式； (2)若，求的值； (3)若恒成立，求的取值范围. 5．（23-24高一下·广东中山·阶段练习）已知的一段图象如下图所示． (1)求函数的解析式； (2)求函数的单调减区间； (3)，求函数的值域． 题型二 正弦函数、余弦函数的性质的应用 用向量证明线段垂直 用向量证明线段垂直 6．（24-25高三上·江西·阶段练习）已知函数． (1)求的单调递增区间； (2)当时，求的最值． 7．（24-25高二上·湖南·阶段练习）已知函数在区间上单调递减且， (1)求的解析式； (2)求使成立的的取值范围. 8．（24-25高一上·上海·单元测试）已知函数. (1)求函数的最小正周期； (2)求函数的严格减区间； (3)若时，的最小值为–2，求a的值. 9．（23-24高一下·河南南阳·期中）已知在上是单调函数，函数的图象关于点中心对称，且对任意的，都有. (1)求解析式； (2)若函数在上有两个零点，，求的值. 10．（23-24高一下·江西萍乡·期末）已知函数（，）在区间上单调递增，，且______.从下列两个条件中选择一个补充在题中的横线上，再解答. ①；②，在区间上至少有2个零点. (1)求函数的解析式； (2)对任意的，恒成立，求实数的取值范围. 【注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.】 题型三 正切函数的图象与性质的应用 11．（24-25高一上·上海·课堂例题）设函数. (1)求函数的定义域、最小正周期和单调区间； (2)求不等式的解集； (3)作出函数在一个周期内的简图. 12．（24-25高一上·全国·课后作业）已知函数． (1)求的单调递减区间； (2)试比较与的大小． 13．（23-24高一下·河南·阶段练习）函数，已知函数的图象与x轴相邻两个交点的距离为，且图象关于点对称． (1)求的单调区间； (2)求不等式的解集． 14．（24-25高一·全国·课后作业）已知函数，． (1)若，求的最小正周期与函数图像的对称中心； (2)若在上是严格增函数，求的取值范围； (3)若方程在上至少存在2022个根，且b－a的最小值不小于2022，求的取值范围． 15．（2024高一上·全国·专题练习）已知函数，其中. (1)若，求函数的最小正周期以及函数图象的对称中心. (2)若函数在上单调递增，求的取值范围. (3)若函数在（且）满足：方程在上至少存在2023个根.且在所有满足上述条件的中，的最小值不小于2023，求的取值范围. 题型四 正弦型函数、余弦型函数的综合应用 16．（24-25高三上·宁夏银川·阶段练习）设函数. (1)求最小正周期及单调递增区间； (2)求在上的最值. 17．（23-24高一下·北京·阶段练习）已知函数． (1)求函数的最小正周期和最大值； (2)求函数在上的单调区间． 18．（23-24高一上·浙江衢州·期末）已知函数，. (1)当时，求函数的最小值； (2)若的最大值为1，求实数的值； (3)对于任意，不等式都成立，求实数的范围. 19．（23-24高一下·湖南衡阳·阶段练习）已知函数． (1)求的值； (2)若，求的最大值和最小值； (3)若，讨论根的情况． 20．（23-24高一下·上海·期中）已知函数（）.    (1)化简的解析式，并写出函数的最小正周期； (2)求函数的单调增区间； (3)用五点法画出函数，的图像；若函数在内有两个相异的零点，求实数k的取值范围. 题型五 正切型函数的综合应用 21．（23-24高一下·河南南阳·阶段练习）已知函数. (1)求不等式的解集； (2)设函数，对任意的恒成立，求的取值范围. 22．（23-24高一下·江西抚州·阶段练习）设函数，已知函数的图象与x轴相邻两个交点的距离为，且图象关于点对称. (1)求的单调区间； (2)求不等式的解集. 23．（23-24高一上·安徽滁州·期末）设函数f(x)＝tan(ωx＋φ)，已知函数y＝f(x)的图象与x轴相邻两个交点的距离为，且图象关于点M对称． （1）求f(x)的解析式； （2）求f(x)的单调区间； （3）求不等式－1≤f(x)≤的解集． 24．（23-24高一下·上海虹口·期末）已知函数，其中. (1)若，求函数的最小正周期以及函数图象的对称中心； (2)若在闭区间上是严格增函数，求正实数的取值范围. 25．（23-24高一下·上海闵行·期中）已知函数，其中， （1）若，求函数的最小正周期以及函数图像的对称中心； （2）若函数在上严格递增，求的取值范围； （3）若函数在（且）满足：方程在上至少存在2021个根，且在所有满足上述条件的中，的最小值不小于2021，求的取值范围． 题型六 三角函数的零点问题 26．（2024·上海·高考真题）已知， (1)设，求解:的值域; (2)的最小正周期为，若在上恰有3个零点，求的取值范围. 27．（23-24高一下·安徽淮北·阶段练习）已知函数，. (1)若，求实数的值； (2)若函数有两个零点，求实数的取值范围. 28．（23-24高一上·广东广州·期末）已知函数，. (1)求函数的单调递增区间； (2)若函数在区间上有两个零点，求的取值范围. (3)若函数有且仅有3个零点，求所有零点之和. 29．（24-25高二上·山东日照·开学考试）设a为常数，函数． (1)当时，求函数的值域； (2)若函数在区间上有两个不同的零点，求实数a的取值范围； (3)当时，设n为正整数，在区间上恰有2024个零点，求所有可能的正整数n的值． 30．（23-24高一下·山东日照·期中）已知函数，其中为常数． (1)当，时，若，求的值； (2)设函数在上有两个零点， ①求t的取值范围； ②证明：． 题型七 三角函数的实际应用 31．（23-24高一下·山东济宁·期中）摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施游客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往上转，可以从高处俯瞰四周景色。如图1，某摩天轮最高点距离地面高度为120m，直径为110m，设置有48个座舱，开启后按逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，转一周大约需要30min. (1)如图2，建立平面直角坐标系，游客甲在P处坐上摩天轮的座舱，开始转动tmin后距离地面的高度为Hm，求转动一周的过程中，H关于t的函数解析式； (2)求游客甲在开始转动10min后距离地面的高度； (3)如图2，若甲、乙两人先后分别坐在两个相邻的座舱里，两人的位置分别用点A，B表示，在运行一周的过程中，求经过tmin后，乙距离地面的高度的函数解析式，并求出两人距离地面高度相等的时刻t(精确到0.1). （参考公式：) 32．（24-25高三上·贵州六盘水·阶段练习）近年来，六盘水市认真践行“绿水青山就是金山银山”生态文明理念，围绕良好的生态禀赋和市场需求，深挖冷水鱼产业发展优势潜力，现已摸索出以虹鳟、鲟鱼等养殖为主方向．为扩大养殖规模，某鲟鱼养殖场计划在如图所示的扇形区域OMN内修建矩形水池ABCD，矩形一边AB在OM上，点C在圆弧MN上，点D在边ON上，且，米，设．    (1)求扇形OMN的面积； (2)求矩形ABCD的面积； (3)当为何值时，取得最大值，并求出这个最大值． 33．（24-25高三上·北京·阶段练习）海水受日月引力会产生潮汐．以海底平面为基准，涨潮时水面升高，退潮时水面降低．现测得某港口某天的时刻与水深的关系表如下所示：（3.1时即为凌晨3点06分） 时刻：x（时） 0 3.1 6.2 9.3 12.4 15.5 18.6 21.7 24 水深：y（米） 5.0 7.4 5.0 2.6 5.0 7.4 5.0 2.6 4.0 (1)根据以上数据，可以用函数来近似描述这一天内港口水深与时间的关系，求出这个函数的解析式； (2)某条货船的吃水深度（水面高于船底的距离）为4.2米．安全条例规定，在本港口进港和在港口停靠时，船底高于海底平面的安全间隙至少有2米，根据（1）中的解析式，求出这条货船最早可行的进港时间及这条货船一天最多可以在港口中停靠的总时长． 34．（23-24高一下·江西萍乡·期中）筒车发明于隋而盛于唐，是山地灌溉中一种古老的提水设备，距今已有1000多年的历史，它以水流作动力，取水灌田.如图，为了打造传统农耕文化，某景区的景观筒车直径12米，有24个盛水筒均匀分布，分别寓意一年12个月和24节气，筒车转一周需48秒，其最高点到水面的距离为10米，每一个盛水筒都做逆时针匀速圆周运动，盛水筒（视为质点）的初始位置到水面的距离为7米. (1)盛水筒经过秒后到水面的距离为米，求筒车转动一周的过程中，关于的函数解析式； (2)为了把水引到高处，在筒车中心正上方距离水面8米处正中间设置一个宽4米的水平盛水槽，筒车受水流冲击转到盛水槽正上方后，把水倒入盛水槽，求盛水筒转一圈的过程中，有多长时间能把水倒入盛水槽.（参考数据：） 35．（23-24高一下·上海嘉定·期中）如图，有一块边长为3m的正方形铁皮，其中阴影部分是一个半径为2m的扇形，设这个扇形已经腐蚀不能使用，但其余部分均完好，工人师傅想在未被腐蚀的部分截下一块其边落在与上的矩形铁皮，使点在弧上．设，矩形的面积为．    (1)求关于的函数表达式； (2)求的最大值及取得最大值时的值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题5.8 三角函数的图象与性质的综合应用大题专项训练【七大题型】 【人教A版（2019）】 姓名：___________班级：___________考号：___________ 题型一 正弦函数、余弦函数的图象的应用 1．（23-24高三上·黑龙江牡丹江·阶段练习）已知函数的部分图象如图所示． (1)求，的值； (2)求函数在区间上的最大值和最小值． 【解题思路】（1）根据图象直接可得与函数的最小正周期，从而求出. （2）由（1）可得函数解析式，根据的取值范围求出的取值范围，再根据正弦函数的性质计算可得. 【解答过程】（1）解：由图象知，由图象得函数的最小正周期为， 则由得． （2）解：由（1）知， ，， ， ． 当，即时，取得最大值1； 当，即时，取得最小值． 2．（23-24高一上·贵州黔东南·阶段练习）已知函数的部分图象如图所示． （1）求函数的解析式； （2）求函数的单调递减区间． 【解题思路】（1）根据函数图象可得，求出函数的最小正周期，可求得的值，将点的坐标代入函数的解析式，结合的取值范围可求得的值，进而可得出函数的解析式； （2）解不等式可得出函数的单调递减区间. 【解答过程】（1）由图可知，， 函数的周期为，解得． 可得，代入点的坐标有，． 又由，有，有，得． 故函数的解析式为； （2）令，解得， 故函数的单调递减区间为． 3．（2024·河南·三模）已知函数. （1）完成下列表格，并用五点法在下面直角坐标系中画出在上的简图； 0 （2）求不等式的解集. 【解题思路】（1）结合特殊角的三角函数值，可完成表格，进而求得函数在的大致图象； （2）由，得到，当时，求得，结合余弦函数的周期，即可求解. 【解答过程】（1）由函数，可得完成表格如下： 0 1 1 可得在的大致图象如下： （2）由，可得，即， 当时，由，得. 又由函数的最小正周期为， 所以原不等式的解集为(). 4．（23-24高一下·辽宁大连·阶段练习）函数的部分图像如图所示. (1)求的解析式； (2)若，求的值； (3)若恒成立，求的取值范围. 【解题思路】（1）根据图象中特殊点的坐标，结合余弦型函数的周期公式进行求解即可； （2）根据诱导公式可求解； （3）根据函数零点的定义，结合余弦型函数的有界性分类讨论进行求解即可. 【解答过程】（1）由图可得， 函数过点， 所以，则， 解得， 又，则，所以； （2）若，即， 而； （3）因为，所以， 则，令， 设，则恒成立， 由二次函数的图象性质可知，只需， 解得，故的取值范围为. 5．（23-24高一下·广东中山·阶段练习）已知的一段图象如下图所示． (1)求函数的解析式； (2)求函数的单调减区间； (3)，求函数的值域． 【解题思路】（1）由图象可知，求出，从而可求出的值，再将代入函数中可求出的值； （2）由可求出函数减区间； （3）由求出的范围，再结合正弦函数的性质可求出其值域. 【解答过程】（1）由图象可知，则， 所以，得， 所以， 因为的图象过点， 所以，得， 得， 因为，所以， 所以； （2）由，得 ， 所以， 所以的递减区间为； （3）由，得， 所以， 所以，即， 所以， 所以的值域为. 题型二 正弦函数、余弦函数的性质的应用 用向量证明线段垂直 用向量证明线段垂直 6．（24-25高三上·江西·阶段练习）已知函数． (1)求的单调递增区间； (2)当时，求的最值． 【解题思路】（1）利用余弦型函数的性质，解不等式可得出函数的单调递增区间； （2）由可求得的取值范围，结合余弦型函数的基本性质可求得的最大值、最小值及其对应的值. 【解答过程】（1）令，得， 所以函数的单调递增区间是； （2）令，则由可得， 所以当，即时，， 当时，即时，. 即当时，函数取最小值；时，函数取最大值. 7．（24-25高二上·湖南·阶段练习）已知函数在区间上单调递减且， (1)求的解析式； (2)求使成立的的取值范围. 【解题思路】（1）根据题意先可以确定函数的最小正周期，进而得到的值，进而代值计算，从而求解； （2）根据正弦函数的性质解不等式即可. 【解答过程】（1）在区间上单调递减， 且， 的最小正周期， 解得. ， 由“五点法”可知. . （2）由（1）可知， ， ， 解得， 的取值范围是. 8．（24-25高一上·上海·单元测试）已知函数. (1)求函数的最小正周期； (2)求函数的严格减区间； (3)若时，的最小值为–2，求a的值. 【解题思路】（1）直接利用周期公式求解； （2）对函数变形后，由可求出函数的减区间； （3）由求出的范围，再利用正弦函数的性质求出其最小值，从而可求出a的值. 【解答过程】（1）函数的最小正周期为. （2）. 由（）， 得（）， 所以的严格减区间为（）. （3）由，得， 所以， 所以， 所以， 所以的最小值为， 所以. 9．（23-24高一下·河南南阳·期中）已知在上是单调函数，函数的图象关于点中心对称，且对任意的，都有. (1)求解析式； (2)若函数在上有两个零点，，求的值. 【解题思路】（1）根据函数的对称性求周期求参，再根据最值求参即可得出解析式； （2）根据零点结合对称性得出参数值，再应用解析式求函数值. 【解答过程】（1）由题对任意，都有，故当时，取得最大值. 因为在是单调函数，且的图象关于点对称， 所以得，所以 又因为函数在时取得最大值，所以，， 即，.因为，所以， 所以：. （2）因为，令，则 在内的图象如图所示，    由题函数在有两个零点，， 即与在内有两个交点，， 数形结合可得：，，即， 所以. 10．（23-24高一下·江西萍乡·期末）已知函数（，）在区间上单调递增，，且______.从下列两个条件中选择一个补充在题中的横线上，再解答. ①；②，在区间上至少有2个零点. (1)求函数的解析式； (2)对任意的，恒成立，求实数的取值范围. 【注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.】 【解题思路】（1）选条件①，根据最值以及零点，结合单调性可得，即可求解，选择②，根据单调性以及零点可得，即可求解，即可求解解析式， （2）利用整体法，结合三角函数的性质可得,即可利用换元法，即可分离参数，由基本不等式求解最值. 【解答过程】（1）选条件①; 由题知，的最大值为2， 在上单调递增，，， 则，解得，，所以， 又，所以，又，所以， 所以； 选条件②,因为，在区间上至少有2个零点，所以， 又因为在上单调递增，所以，即， 所以，，所以， 又，所以，又，所以， 所以； （2）因为，所以，则， 令，则在内恒成立，即在内恒成立， 令，，由基本不等式可知，当且仅当时取等号，即， 所以实数的取值范围为. 题型三 正切函数的图象与性质的应用 11．（24-25高一上·上海·课堂例题）设函数. (1)求函数的定义域、最小正周期和单调区间； (2)求不等式的解集； (3)作出函数在一个周期内的简图. 【解题思路】（1）由整体代换即可求出正切函数的定义域，由周期公式可得最小正周期，由单调性解不等式可得单调增区间. （2）由（1）中的单调性解不等式，可得其解集. （3）利用五点作图法即可得一个周期内的简图. 【解答过程】（1）由， 得（）， ∴的定义域是, ∵， ∴最小正周期， 由（），得（）. ∴函数的单调增区间是（）. 所以函数定义域是，最小正周期，单调增区间是（）. （2）由，得（）. 解得（）. ∴不等式的解集是. （3）令，则； 令，则； 令，则. ∴函数的图像与x轴的一个交点坐标是，在这个交点左、右两侧相邻的两条渐近线方程分别是，. 从而得函数在一个周期内的简图如下： 12．（24-25高一上·全国·课后作业）已知函数． (1)求的单调递减区间； (2)试比较与的大小． 【解题思路】（1）先应用诱导公式化简再应用正切函数的单调性求解； （2）先求函数值再结合函数的单调性比较大小. 【解答过程】（1）， 由，得． 因为在上单调递增， 所以在上单调递减． 故原函数的单调递减区间为． （2） ， ， 因为，且在上单调递增， 所以，所以． 13．（23-24高一下·河南·阶段练习）函数，已知函数的图象与x轴相邻两个交点的距离为，且图象关于点对称． (1)求的单调区间； (2)求不等式的解集． 【解题思路】（1）由三角函数的性质求出，令，即可求出的单调区间； （2）由，解不等式即可得出答案. 【解答过程】（1）由题意知，函数的最小正周期为， 因为，所以，所以 因为函数的图象关于点对称， 所以，，即，， 因为，所以，故． 令，，得，， 所以函数的单调递增区间为，，无单调递减区间． （2）由（1）知，．由， 得，， 即，   所以不等式的解集为：. 14．（24-25高一·全国·课后作业）已知函数，． (1)若，求的最小正周期与函数图像的对称中心； (2)若在上是严格增函数，求的取值范围； (3)若方程在上至少存在2022个根，且b－a的最小值不小于2022，求的取值范围． 【解题思路】（1）根据正切函数的图象和性质即得； （2）由题可得，进而即得； （3）根据正切函数的图象和性质可得b－a的最小值，然后结合条件可得，进而即得. 【解答过程】（1）由题可得， 所以函数的最小正周期为 ， 由，可得， 所以函数的图像的对称中心 ； （2）因为在上是严格增函数， 所以， 所以，又， 所以； （3）因为， 所以，，至少存在2022个根， 所以可得b－a至少包含2021个周期，即， 所以b－a的最小值为，又b－a的最小值不小于2022， 所以， 所以． 15．（2024高一上·全国·专题练习）已知函数，其中. (1)若，求函数的最小正周期以及函数图象的对称中心. (2)若函数在上单调递增，求的取值范围. (3)若函数在（且）满足：方程在上至少存在2023个根.且在所有满足上述条件的中，的最小值不小于2023，求的取值范围. 【解题思路】（1）由题意利用正切函数的周期性和对称性，得出结论； （2）由题意利用正切函数的单调性，求得的范围； （3）由题意利用正切函数的周期性和零点，正切函数的图象，求得的范围． 【解答过程】（1）当时，， ∴的最小正周期为． 令，得， 故的图象的对称中心为． （2）∵，∴， ∴若函数在上单调递增， 则，求得，即的取值范围为． （3）因为方程在上至少存在2023个根， 即当时，至少有2023个根， 即当时，至少有2023个根， 即当时，至少有2023个根， 故至少包含2022个最小正周期，且在所有满足上述条件的中，的最小值不小于2023， 即， ∴． 题型四 正弦型函数、余弦型函数的综合应用 16．（24-25高三上·宁夏银川·阶段练习）设函数. (1)求最小正周期及单调递增区间； (2)求在上的最值. 【解题思路】（1）根据二倍角以及三角函数两角和与差的正、余弦公式将转化为，利用定义求最小正周期和单调递增区间即可 （2）首先可根据得出，然后根据正弦函数的性质即可求出最值. 【解答过程】（1）根据题意可得 ， 设最小正周期为，则， 令，解之可得， 所以最小正周期是，单调递增区间 （2）因为得出， 故当时，即，有最小值，最小值为， 当时，即时，有最大值，最大值为. 17．（23-24高一下·北京·阶段练习）已知函数． (1)求函数的最小正周期和最大值； (2)求函数在上的单调区间． 【解题思路】（1）根据三角函数恒等变换公式和辅助角公式化简原式，即可求出答案； （2）先计算出原式单调区间，再代入取值范围. 【解答过程】（1）因为 ； 所以函数的最小正周期为，函数的最大值为； （2）设，解得． 所以函数的单调递减区间是， 又因为， 所以分别取和1，取交集可得在上的单调递减区间为和． 设，解得． 所以函数的单调递增区间是， 又因为， 所以取，取交集可得在上的单调递增区间为． 18．（23-24高一上·浙江衢州·期末）已知函数，. (1)当时，求函数的最小值； (2)若的最大值为1，求实数的值； (3)对于任意，不等式都成立，求实数的范围. 【解题思路】（1）代入后配方，结合二次函数的性质和余弦函数的值域求解即可； （2）配方后再根据对称轴的情况分类讨论即可； （3）令，利用对勾函数的单调性求出最值即可； 【解答过程】（1）当时，， 因为， 所以当时，函数有最小值，最小值为， （2）因为， 当，即时， 则当时，函数的最大值为， 解得（舍去），或； 当即时，则当时，函数有最大值，即，解得； 当时，即时，则当时，函数有最大值， 即，解得（舍去）. 综上，或5. （3）因为， 令，由，得， 则， 因为都成立， 所以都成立， 所以在上恒成立， 姐在恒成立， 设， 由对勾函数的性质易知函数在上为减函数， 所以， 所以. 19．（23-24高一下·湖南衡阳·阶段练习）已知函数． (1)求的值； (2)若，求的最大值和最小值； (3)若，讨论根的情况． 【解题思路】（1）根据函数解析式求得的值. （2）化简的解析式，然后根据三角函数最值的求法求得正确答案. （3）通过分离常数法，结合三角函数的图象来求得正确答案. 【解答过程】（1）依题意，， 所以. （2） . 由于，所以， 当时，取得最小值为， 当时，取得最大值为. （3）由上述分析可知， 由于，所以，所以. 依题意，所以，， 由得， 则，画出在区间上的图象如下图所示， 由于，， 结合图象可知方程有个根. 20．（23-24高一下·上海·期中）已知函数（）.    (1)化简的解析式，并写出函数的最小正周期； (2)求函数的单调增区间； (3)用五点法画出函数，的图像；若函数在内有两个相异的零点，求实数k的取值范围. 【解题思路】（1）化简函数为，结合最小正周期的公式，即可求解； （2）由（1）知，结合三角函数的性质，即可求解； （3）根据五点作图法，画出函数的图象，根据题意，转化为和的图象在内有两个不同的交点，结合图象，即可求解. 【解答过程】（1）解：由函数， 所以函数的最小正周期为. （2）解：由（1）知， 令，解得， 所以函数的单调递增区间. （3）解：由，可得， 列表： 1 3 1 1 描点、连线    由函数在内有两个相异的零点， 即在内有两个相异的实根， 即和的图象在内有两个不同的交点， 因为，可得， 当时，即，可得； 当时，即，可得； 当时，即，可得， 要使得和的图象在内有两个不同的交点， 结合图象，可得，解得，即实数的取值范围为.    题型五 正切型函数的综合应用 21．（23-24高一下·河南南阳·阶段练习）已知函数. (1)求不等式的解集； (2)设函数，对任意的恒成立，求的取值范围. 【解题思路】（1）根据正切函数的图象和性质，解不等式； （2）首先求函数的值域，再换元为函数，转化为讨论对称轴与定义域的关系，求函数的最小值问题，即可求解. 【解答过程】（1）不等式，即，则， 从而， 解得， 故不等式的解集为. （2）因为，所以，所以， 所以，即. 设，则. 设函数，则. 当，即时，在上单调递增， 则，解得，又，所以，即不符合题意. 当，即时，在上单调递减，在上单调递增， 则，解得， 又，所以. 当，即时，在上单调递减， 则，解得， 又，所以. 综上，的取值范围是. 22．（23-24高一下·江西抚州·阶段练习）设函数，已知函数的图象与x轴相邻两个交点的距离为，且图象关于点对称. (1)求的单调区间； (2)求不等式的解集. 【解题思路】（1）根据函数周期性，结合函数图象过的点的坐标，代值计算即可求得参数，则解析式可求；利用整体法代换法，即可求得函数的单调区间； （2）根据（1）中所求解析式，利用正切函数的单调性，即可解得不等式. 【解答过程】（1）由题意知，函数f(x)的最小正周期为T＝， 即，因为ω>0，所以ω＝2，从而f(x)＝tan(2x＋φ)， 因为函数y＝f(x)的图象关于点M对称， 所以2×＋φ＝，k∈Z，即φ＝＋，k∈Z. 因为0<φ<，所以φ＝，故f(x)＝tan. 令－＋kπ<2x＋<＋kπ，k∈Z，得， 即 所以函数的单调递增区间为，k∈Z，无单调递减区间． （2）由（1）知，f(x)＝tan.由－1≤tan≤， 得Z，即Z 所以不等式－1≤f(x)≤的解集为. 23．（23-24高一上·安徽滁州·期末）设函数f(x)＝tan(ωx＋φ)，已知函数y＝f(x)的图象与x轴相邻两个交点的距离为，且图象关于点M对称． （1）求f(x)的解析式； （2）求f(x)的单调区间； （3）求不等式－1≤f(x)≤的解集． 【解题思路】（1）根据函数周期性，结合函数图象过的点的坐标，代值计算即可求得参数，则解析式可求； （2）利用整体法，即可求得函数的单调区间； （3）根据（1）中所求解析式，利用正切函数的单调性，即可求得不等式. 【解答过程】（1）由题意知，函数f(x)的最小正周期为T＝， 即， 因为ω>0，所以ω＝2， 从而f(x)＝tan(2x＋φ)． 因为函数y＝f(x)的图象关于点M对称， 所以2×＋φ＝，k∈Z， 即φ＝＋，k∈Z. 因为0<φ<，所以φ＝， 故f(x)＝tan. （2）令－＋kπ<2x＋<＋kπ，k∈Z， 得， 即 所以函数的单调递增区间为，k∈Z，无单调递减区间． （3）由（1）知，f(x)＝tan. 由－1≤tan≤， 得 即 所以不等式－1≤f(x)≤的解集为. 24．（23-24高一下·上海虹口·期末）已知函数，其中. (1)若，求函数的最小正周期以及函数图象的对称中心； (2)若在闭区间上是严格增函数，求正实数的取值范围. 【解题思路】（1）利用正切函数的周期性和对称性求解； （2）利用正切函数的单调性求出的范围. 【解答过程】（1）∵，∴函数的最小正周期为, 令,Z,解得，Z, ∴函数图象的对称中心为,Z. （2）∵在闭区间上是严格增函数， ∴， ∴，且ω为正实数，解得. 25．（23-24高一下·上海闵行·期中）已知函数，其中， （1）若，求函数的最小正周期以及函数图像的对称中心； （2）若函数在上严格递增，求的取值范围； （3）若函数在（且）满足：方程在上至少存在2021个根，且在所有满足上述条件的中，的最小值不小于2021，求的取值范围． 【解题思路】（1）由题意利用正切函数的周期性和对称性，得出结论． （2）由题意利用正切函数的单调性，求得的范围． （3）由题意利用正切函数的周期性和零点，正切函数的图象，求得的范围． 【解答过程】解：（1）由于，，， 的最小正周期为， 令，求得，， 故的图象的对称中心为，，． （2）若函数在，上严格递增，则，求得， 即的范围为． （3）方程在，上至少存在2021个根， 故当，时，至少有2021个根， 即，，至少有2021个根， 即当，时， 至少有2021个根． 且在所有满足上述条件的，中，的最小值不小于2021， 故至少包含2020个周期，即， 所以． 题型六 三角函数的零点问题 26．（2024·上海·高考真题）已知， (1)设，求解:的值域; (2)的最小正周期为，若在上恰有3个零点，求的取值范围. 【解题思路】（1）利用三角函数的性质结合换元法求出单调性，再求解值域即可. （2）利用三角函数的性质求解参数即可. 【解答过程】（1）因为，所以， 因为，所以令， 由正弦函数性质得在上单调递增，在上单调递减， 所以，故， （2）由题意得，所以，可得， 当时，，，即，， 当时，，不符合题意， 当时，，符合题意， 当时，，符合题意， 当时，，符合题意， 所以， 即，故. 27．（23-24高一下·安徽淮北·阶段练习）已知函数，. (1)若，求实数的值； (2)若函数有两个零点，求实数的取值范围. 【解题思路】（1）根据，计算求值，即得答案； （2）令，则可得，即，求出，结合以及正弦函数的单调性，讨论t的取值范围，确定解的个数，即可求得答案. 【解答过程】（1）由题意知， 故， ∴，∴. （2）令，因为，故， 则， 由得， ∵在上是增函数，在上是减函数， 且，，， ∴时，有两个值；或时，有一个值， ∴时，，（-1不合题意），函数只有1个零点， 时，，要有2个零点，需有，∴， 时，，要有2个零点，需有，∴， 综上，有两个零点时，的取值范围是. 28．（23-24高一上·广东广州·期末）已知函数，. (1)求函数的单调递增区间； (2)若函数在区间上有两个零点，求的取值范围. (3)若函数有且仅有3个零点，求所有零点之和. 【解题思路】（1）根据正弦函数的单调增区间即可得出答案； （2）由题可知在区间内有两个相异的实根，即图像与的图像有两个不同的交点结合图像可得结果. （3）关于成中心对称，而关于成中心对称，设三个零点为，则，即可得出答案. 【解答过程】（1）由，得. 故函数的单调递增区间为： （2）若函数在区间上有两个零点， 令，即与在区间上有两个交点， 令，由，则， 即与在区间上有两个交点， 画出与在区间上的图象，如下：    由图可知：. （3）函数有且仅有3个零点， 因为关于成中心对称， 而关于成中心对称， 设三个零点为，则， 所以所有零点之和. 29．（24-25高二上·山东日照·开学考试）设a为常数，函数． (1)当时，求函数的值域； (2)若函数在区间上有两个不同的零点，求实数a的取值范围； (3)当时，设n为正整数，在区间上恰有2024个零点，求所有可能的正整数n的值． 【解题思路】（1）利用换元法结合三角函数值域，由二次函数性质即可得出函数的值域； （2）根据零点个数可得函数在上仅有一个零点，再由二次函数根的分布可得； （3）由二次函数根的个数及其符号并对参数的取值范围分类讨论，利用三角函数图象性质可得不同区间内的零点个数，即可得出结果. 【解答过程】（1）由题意， 令，则， 当时，， 所以当时，取最大值； 当时，取最小值， 所以的值域为； （2）由题意函数在区间上有两个不同的零点， 即函数在上仅有一个零点，因为， 由零点存在性定理，只需，得； 所以实数a的取值范围为. （3）因为，所以有两个零点， 又，不妨 当时，得，即或； 由三角函数图象性质可知在（k为正整数）内零点个数为，在内零点个数为， 因为，所以； 当时，在（k为正整数）内零点个数为， 在内零点个数为，若，此时不存在n； 当时，则，在（k为正整数）内零点个数为， 因为，所以； 综上n的所有可能值为1012，1349． 30．（23-24高一下·山东日照·期中）已知函数，其中为常数． (1)当，时，若，求的值； (2)设函数在上有两个零点， ①求t的取值范围； ②证明：． 【解题思路】（1）将代入后可得，结合范围计算即可得解； （2）①借助换元法，结合二次函数的性质计算即可得；②由韦达定理可得，，结合三角函数在上的单调性与①中所得计算有，即可得，即可得证. 【解答过程】（1）由，则， 当时，，而， 故或（舍），故， （2）①令，因为，所以，则， 则， 由在上单调递增， 故关于的方程在上有两个不相等实数根， 即有， 解得，即的取值范围为； ②令，， 则，为关于的方程的两根， 则有，， 所以，， 所以， 即， 即有，由①知， 故，又，故， 由于，则，故， 又在上单调递增，故， 即. 题型七 三角函数的实际应用 31．（23-24高一下·山东济宁·期中）摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施游客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往上转，可以从高处俯瞰四周景色。如图1，某摩天轮最高点距离地面高度为120m，直径为110m，设置有48个座舱，开启后按逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，转一周大约需要30min. (1)如图2，建立平面直角坐标系，游客甲在P处坐上摩天轮的座舱，开始转动tmin后距离地面的高度为Hm，求转动一周的过程中，H关于t的函数解析式； (2)求游客甲在开始转动10min后距离地面的高度； (3)如图2，若甲、乙两人先后分别坐在两个相邻的座舱里，两人的位置分别用点A，B表示，在运行一周的过程中，求经过tmin后，乙距离地面的高度的函数解析式，并求出两人距离地面高度相等的时刻t(精确到0.1). （参考公式：) 【解题思路】（1）设座舱距离地面最近的位置为点P，以轴心为原点，与地面平行的直线为x轴建立直角坐标系. 设时，游客甲位于点P，根据求出各参数得解析式； （2）代入（1）中解析式计算可得； （3）结合，由甲的高度求得乙的高度，利用对称性或由求得两人距离地面高度相等的时刻． 【解答过程】（1）如图，设座舱距离地面最近的位置为点P，以轴心为原点，与地面平行的直线为x轴建立直角坐标系. 设时，游客甲位于点P，因为转盘直径为110m，所以，以OP为终边的角为；根据摩天轮转一周大约需要30min，可知座舱转动的角速度为，又摩天轮最高点距离地面高度为120m，最低点距离地面高度为 由题意可得. H关于t的函数解析式为. （2）由（1）可知时， . 所以，游客甲在开始转动10min后距离地面的高度约为92.5m. （3）如图，甲、乙两人的位置分别用点A，B表示，则，经过后甲距离地面的高度为，点B相对于A始终落后，此时乙距离地面的高度为 ， 两人距离地面高度相等的时刻， 方法一：甲、乙分别位于最高点的两侧，并且具有对称性的时刻，两人距离地面高度相等因为转一周大约需要30min，，所以甲从最低点开始转动，转过，乙从最低点开始转动，转过， 此时时间为. 所以，两人距离地面高度相等的时刻t约为15.3 方法二：即时，即， 可得，解得. 所以，两人距离地面高度相等的时刻t约为15.3 方法三：甲乙距离地面的高度差为 ， 利用，可得： ， 当时，，由题意可知：， 解得. 所以，两人距离地面高度相等的时刻t约为15.3. 32．（24-25高三上·贵州六盘水·阶段练习）近年来，六盘水市认真践行“绿水青山就是金山银山”生态文明理念，围绕良好的生态禀赋和市场需求，深挖冷水鱼产业发展优势潜力，现已摸索出以虹鳟、鲟鱼等养殖为主方向．为扩大养殖规模，某鲟鱼养殖场计划在如图所示的扇形区域OMN内修建矩形水池ABCD，矩形一边AB在OM上，点C在圆弧MN上，点D在边ON上，且，米，设．    (1)求扇形OMN的面积； (2)求矩形ABCD的面积； (3)当为何值时，取得最大值，并求出这个最大值． 【解题思路】（1）由扇形面积公式可得； （2）利用直角三角形利用半径与分别表示出，进而可得矩形面积表达式； （3）利用辅助角公式将化简变形，结合角的范围求最大值可得. 【解答过程】（1）由题意，，扇形半径即米， 则扇形OMN的面积为平方米. （2）在中，，， 在中，，则， ∴ 则停车场面积 ，. 所以 ，其中． （3） ，其中． 由， 则当时，即时，. 当时，取得最大值，最大值为. 33．（24-25高三上·北京·阶段练习）海水受日月引力会产生潮汐．以海底平面为基准，涨潮时水面升高，退潮时水面降低．现测得某港口某天的时刻与水深的关系表如下所示：（3.1时即为凌晨3点06分） 时刻：x（时） 0 3.1 6.2 9.3 12.4 15.5 18.6 21.7 24 水深：y（米） 5.0 7.4 5.0 2.6 5.0 7.4 5.0 2.6 4.0 (1)根据以上数据，可以用函数来近似描述这一天内港口水深与时间的关系，求出这个函数的解析式； (2)某条货船的吃水深度（水面高于船底的距离）为4.2米．安全条例规定，在本港口进港和在港口停靠时，船底高于海底平面的安全间隙至少有2米，根据（1）中的解析式，求出这条货船最早可行的进港时间及这条货船一天最多可以在港口中停靠的总时长． 【解题思路】（1）由公式可求，由表格可得周期，进而求，代入最高点可求； （2）由题意可知进港条件为 ，解不等式即可. 【解答过程】（1）由表格可知y的最大值为7.4，最小值为2.6， 所以， 由表格可知， 所以， 所以， 将点代入可得：， 所以， 解得， 因为，所以， 所以. （2）货船需要的安全水深为 米, 所以进港条件为 . 令 , 即, 所以, 解得, 因为， 所以时，, 时， 因为（时） 时 2 分, （时） 时 10 分. （时） 时 26 分，（时） 时 34 分. 因此，货船可以在 1 时 2 分进港，早晨 5 时 10 分出港；或在下午 13 时 26 分进港，下午 17 时 34 分出港. 则该货船最早进港时间为1时2分，停靠总时长为8小时16分钟. 34．（23-24高一下·江西萍乡·期中）筒车发明于隋而盛于唐，是山地灌溉中一种古老的提水设备，距今已有1000多年的历史，它以水流作动力，取水灌田.如图，为了打造传统农耕文化，某景区的景观筒车直径12米，有24个盛水筒均匀分布，分别寓意一年12个月和24节气，筒车转一周需48秒，其最高点到水面的距离为10米，每一个盛水筒都做逆时针匀速圆周运动，盛水筒（视为质点）的初始位置到水面的距离为7米. (1)盛水筒经过秒后到水面的距离为米，求筒车转动一周的过程中，关于的函数解析式； (2)为了把水引到高处，在筒车中心正上方距离水面8米处正中间设置一个宽4米的水平盛水槽，筒车受水流冲击转到盛水槽正上方后，把水倒入盛水槽，求盛水筒转一圈的过程中，有多长时间能把水倒入盛水槽.（参考数据：） 【解题思路】（1）首先以点为原点，建立平面直角坐标系，利用三角函数表示； （2）由题意转化为，转化为三角不等式问题，即可求解. 【解答过程】（1）以简车中心为原点，与水面平行的直线为轴建立平面直角坐标系， 由题知，， 又筒车半径为6，点的纵坐标为3，则， 由题知，，解得，， 故，； （2）如图，作弦平行且等于盛水槽，则在中， ，，，则， 则距离水面的高度， 盛水筒转到盛水槽的正上方（即之间），能把水倒入盛水槽， 即当时符合题意， 则，即，解得， 因为，所以盛水筒转一圈的过程中，能把水倒入盛水槽的时间为秒. 35．（23-24高一下·上海嘉定·期中）如图，有一块边长为3m的正方形铁皮，其中阴影部分是一个半径为2m的扇形，设这个扇形已经腐蚀不能使用，但其余部分均完好，工人师傅想在未被腐蚀的部分截下一块其边落在与上的矩形铁皮，使点在弧上．设，矩形的面积为．    (1)求关于的函数表达式； (2)求的最大值及取得最大值时的值． 【解题思路】（1）延长交于，延长交于，根据边角关系得出，，再求即可； （2）令，由正弦函数的性质得出的范围，再由二次函数的性质即可得解. 【解答过程】（1）延长交于，延长交于， 由是正方形，是矩形，可知，， 由，可得，， 所以，， 故； （2）令由，可得， 所以， 则， 因为，， 所以，所以， 所以当，即或，即或时，取得最大值， 所以，此时或.    原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$