安徽省合肥中锐学校高中部2024-2025学年高二上学期数学周考试卷4

合肥中锐学校高中部2024-2025学年上学期周清4 高二数学 参考答案 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分。每小题只有一个选项符合题目的要求） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 A D B D D B D B 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分。每小题有多个选项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 题号 9 10 11 答案 BCD ACD ACD 3、 填空题（本大题共3小题，共15分） 12. + 13. 14. 1.【答案】A【解析】直线，即， 设该直线的倾斜角为，则直线的斜率为，因为，所以.故选：A. 2.【答案】D【解析】点A关于平面的对称点的坐标是，故选：D． 3.【答案】B【解析】因为，且， 所以存在实数m，使得，即，所以，解得.故选：B 4.【答案】D【详解】因为焦点在轴上的椭圆的短轴长为， 所以，则，又，所以，所以离心率.故选：D 5. 【答案】D 【解析】由已知可得，，解得.代入 化简可得，.根据两条平行线之间的距离公式可得，.故选：D. 6.【答案】B 【详解】由题意可知该圆的圆心为，圆的直径为，则半径为， 所以圆的方程为，即.故选：B． 7.【答案】D【详解】因为方程表示椭圆，所以，解得， 8.【答案】B【详解】设经过圆内一点且被圆截得弦长最短的直线的斜率为，直线的斜率为， 由题意得，，因为，所以， 所以圆内一点且被圆截得弦长最短的直线的方程为，即，故选：B． 9.【答案】BCD【详解】对于A项，空间任意的三个不共面的向量才可以作为一组基底，故A错误； 对于B项，若，则、与任何向量都共面，故不能构成空间的一组基底，故B正确； 对于C项，若、、不能构成空间的一组基底，则、、共面， 又、、过相同的点，则、、、四点共面，故C正确； 对于D项，若，，共面，则，可知，，共面， 与为空间向量的一组基底相矛盾，故，，可以构成空间向量的一组基底. 10.【答案】ACD【详解】将把转化为标准方程, 则，如图所示： 对于A：圆心C的坐标为，故A正确； 对于B：当点在圆上，则有， 化简得，解得.即，所以直线的斜率为，故B错误； 对于C：因为，所以点在圆外，故C正确； 对于D：因为， ， 所以，即，故D正确.故选：ACD. 11.【答案】ACD【解析】对于A，三棱锥的体积等于三棱锥的体积， 是定值，A正确； 以为坐标原点，分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，设，则 对于B，，使得与所成的角满足： ， 因为，故，故， 而，B错误； 对于C，平面的法向量， 所以直线与平面所成角的正弦值为：， 因为，故 故， 而，， 故即的取值范围为，C正确； 对于D，，由， 可得，化简可得， 在平面内，令，得，令，得，则P的轨迹的长度为 ，D正确；故选：ACD. 12.【答案】 + 【详解】由题意可知动点M的轨迹为椭圆，由方程可知， 椭圆上任意一点到两定点的距离之和为， 由椭圆定义可知，为椭圆两焦点，且长轴长，焦距， 则，短轴长，，故点M的轨迹方程为 + 1. 13.【答案】【详解】由可得，，圆心为， 由可得，，圆心为， 根据圆的对称性可知，即为线段的中垂线，故其方程为：，即. 14.【答案】【详解】函数， 则函数在上单调递增，在上单调递减，函数图象如下所示： 当时，即，当时，则， 表示曲线上的点 与连线的斜率，令， 又，，由图可得或， 即的取值范围为. 故答案为： 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤） 15.（13分）【答案】(1)；(2). 【解析】（1）依题意，，， 由与垂直，得，解得， 所以. （2）由（1）知，，， 所以在上的投影向量为. 16.（15分）【答案】(1)(2) 【详解】（1）由题意可设， 则，即，且，可得， 所以椭圆方程为. （2）设， 将直线与椭圆联立，得，解得或 所以弦长. 17.（15分）【答案】(1) (2) 【详解】（1）点在圆上，设直线方程为， 因为相切，所以，解得， 所以直线的方程为. （2）由（1）的，设直线与圆交于，两点， 所以，即， 即，即， 即，即，两边平方得到， 即，解得或者. 则求直线的斜率的取值范围为或者. 18.（17分）【答案】(1)(2)【详解】（1）已知，因为，所以.点在椭圆上，将其代入椭圆方程，可得，即，解得. 又因为，，，所以. 所以椭圆的标准方程为. （2）因为，所以的面积，则.根据椭圆定义，. 由勾股定理可得. 又，即. 在椭圆中有，将变形为，即，解得. 19.（17分）【答案】(1)证明见解析(2)（i）；（ii）存在，． 【详解】（1）取PD的中点N，连接AN，MN，如图所示：∵M为棱PC的中点， ∴，∵，∴， ∴四边形ABMN是平行四边形，∴， 又平面PAD，平面PAD，∴平面PAD． （2）∵，∴，∴， ∵平面平面ABCD，平面平面，平面PDC， ∴平面ABCD， 又AD，平面ABCD，∴，而，， ∴以点D为坐标原点，DA，DC，DP所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系， 如图：则， ∵M为棱PC的中点，∴ （i），设平面BDM的一个法向量为， 则，令，则，∴， 平面PDM的一个法向量为， ∴， 根据图形得二面角为钝角， 则二面角的余弦值为. （ii）假设在线段PA上存在点Q，使得点Q到平面BDM的距离是， 设， 则， 由（2）知平面BDM的一个法向量为，， ∴点Q到平面BDM的距离是， ∴，∴． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 合肥中锐学校高中部2024-2025学年上学期周考试卷 高二数学试题(范围：空间向量+直线与圆+椭圆) 时间: 120分钟 分值: 150分 1、 单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，每小题只有一个选项符合题意） 1.直线的倾斜角是（    ） A． B． C． D． 2.已知，则点A关于平面的对称点的坐标是（    ） A． B． C． D． 3.已知向量，，若，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 4.已知焦点在轴上的椭圆的短轴长为，则其离心率为（     ） A． B． C． D． 5.两条平行直线和间的距离为，则的值分别为（    ） A． B． C． D． 6.已知圆的内接正方形的一条对角线上的两个顶点的坐标分别是，，则这个圆的方程为（    ） A． B． C． D． 7.若方程表示椭圆，则m的取值范围为（   ） A． B． C． D． 8.已知点，圆，则经过圆内一点且被圆截得弦长最短的直线的方程为（    ） A． B． C． D． 2、 多选题（本大题共3小题，共18分，在每小题有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9.给出下列命题，其中正确的有（    ） A．空间任意三个向量都可以作为一组基底 B．已知向量，则、与任何向量都不能构成空间的一组基底 C．、、、是空间四点，若、、不能构成空间的一组基底，则、、、共面 D．已知是空间向量的一组基底，则也是空间向量的一组基底 10.已知圆及点，则下列说法正确的是（    ） A．圆心的坐标为 B．若点在圆上，则直线的斜率为 C．点在圆外 D．若是圆上任一点，则的取值范围为． 11.如图，在棱长为2的正方体中，点P是正方体的上底面内（不含边界）的动点，点Q是棱的中点，则以下命题正确的是（    ） A．三棱锥的体积是定值 B．存在点P，使得与所成的角为 C．直线与平面所成角的正弦值的取值范围为 D．若，则P的轨迹的长度为 3、 填空题（本大题共3小题，共15分） 12. 如果动点满足，则点的轨迹方程为 ． 13.若圆：和圆：的交点为A，B，则线段的中垂线方程为 . 14.已知曲线，则的取值范围是 ． 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤） 15.（本小题13分）已知点，，，设，，． (1)若实数使与垂直，求值． (2)求在上的投影向量． 16.（本小题15分）已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，其中左焦点为，长轴长为4． (1)求椭圆C的方程； (2)直线l：与椭圆C交于不同两点P、Q，求弦长． 17.（本小题15分）已知圆：，. (1)过点作圆的切线，求直线的方程 (2)过点作直线与圆相交，所得弦长不小于，求直线的斜率的取值范围. 18.（本小题17分）已知，分别是椭圆C：（）的左、右焦点，P为C上一点. (1)若，点P的坐标为，求椭圆C的标准方程； (2)若，的面积为4，求b的值. 19.（本小题17分）如图，在四棱锥中，平面平面ABCD，，，M为棱PC的中点． (1)证明：平面PAD； (2)若， （i）求二面角的余弦值； （ii）在线段PA上是否存在点Q，使得点Q到平面BDM的距离是？若存在，求出PQ的值；若不存在，说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $$