特训08 期中解答压轴题（全国精选，五大模块）-2024-2025学年九年级数学上学期期中期末挑战满分冲刺卷（北师大版）

特训08 期中解答压轴题（全国精选，五大模块） 目录： 模块1：特殊平行四边形 模块2：特殊平行四边形与平面直角坐标系 模块3：相似三角形 模块4：相似三角形与特殊平行四边形 模块5：反比例函数 模块1：特殊平行四边形 1．（24-25九年级上·全国·期中）如图1，四边形为正方形，为对角线上一点，连接，． (1)求证：； (2)如图2，过点作，交边于点，以，为邻边作矩形，连接． ①求证：矩形是正方形； ②若正方形的边长为，，求正方形的边长． 2．（23-24九年级下·山东淄博·期中）整体思想是中学数学解题的重要方法之一，贯穿于数学学习的全过程．对于问题1，王老师给出了如下的提示：连接，利用与面积之和是菱形面积的，可求出的值． （1）如图1，在菱形中，对角线的长分别为和，点为对角线上一动点（不与点重合），过点分别作和的垂线，垂足为点和，求的值，请你写出求解过程． 灵活应用以上方法解决问题： （2）如图2，若为矩形，点分别在边上，将矩形沿直线折叠，使点恰好与点重合，点落在点处．点为线段上一动点（不与点重合），过点分别作直线的垂线，垂足分别为和，以为邻边作平行四边形，若，求平行四边形的周长； （3）如图3，当点是等边外一点时，过点分别作直线的垂线，垂足分别为点．若，请直接写出的面积． 3．（24-25九年级上·吉林长春·阶段练习）如图①，在等边三角形中，点D为边的中点，以为边向下作等边三角形，连接，与的延长线交于点F． 【感知猜测】边与边的数量关系_____________，_____________°． 【证明发现】如图②，将绕点A旋转，与相交于点F，以上结论是否成立，并说明理由； 【拓展应用】如图③，矩形中，，E、F分别在边、上，且为等边三角形，点M是边上的一点，且，以为边向下作等边三角形，则的最小值为_____________． 模块2：特殊平行四边形与平面直角坐标系 4．（24-25九年级上·四川成都·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，点A，B分别在x轴，y轴正半轴上，，点（A点在C点的左侧），连接，过点A作的垂线，过点C作x轴的垂线，两条垂线交于点D，已知，直线交x轴于点E． (1)求直线的解析式； (2)延长到点M，交的延长线于点N，连接，若，求的长； (3)如图2，在直线上找一点G，直线上找一点P，直线上找一点Q，使得四边形是菱形，求出P点的坐标． 5．（24-25九年级上·北京·阶段练习）在平面直角坐标系中，Q是x轴正半轴上一点，对于四边形边上的点P和图形W（点P不在x轴上），给出如下定义：若，将图形W绕点P逆时针旋转得到图形M，则称图形M是图形和点P的“关联图”． 如图，点，，，． (1)点，，，中，在四边形和点的“关联图”上的点是__________； (2)已知点，． ①若线段关于点P的“关联图”在四边形的内部（包含边界），设点P的横坐标的最小值为m，纵坐标的最大值为n，直接写出的值__________； ②当关于点P的“关联图”和都在四边形的内部（包含边界）时，锐角的最大值是，请直接写出t的取值范围__________． 模块3：相似三角形 6．（23-24九年级下·吉林长春·期中）【问题初探】（1）数学活动课上，张老师给出如下问题：如图①，在中，，，点是边上一点，连结，在右侧作，使，，连结．求证：． ①小智同学从和都是等腰直角三角形这个条件出发给出如下解题思路：通过证明，将转化为． ②小慧同学从结论的角度出发给出另外一种解题思路：如图②，在线段上截取，连结，通过证明，将转化为． 请你选择一名同学的解题思路，写出证明过程． 【拓展延伸】（2）如图③，在正方形中，是边上一动点（点不与点重合），将线段绕点顺时针旋转90°得到线段，连结、，若，则周长的最小值为________． 7．（23-24九年级下·辽宁铁岭·期中）在中，，．点是平面内不与点A，C重合的任意一点．连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接． (1)【观察猜想】 如图1，当时，线段与的数量关系是___________，直线与直线相交所成的较小角的度数是___________； (2)【类比探究】 如图2，当时，请写出的值及直线与直线相交所成的较小角的度数，并就图2的情形说明理由． (3)【解决问题】 当时，若点E，F分别是的中点，点P在直线上，当，且点C，P，D在同一直线上时，请直接写出线段的长． 8．（23-24九年级下·重庆开州·期中）如图，在中，，点D为一点，连接． (1)如图1，若，，求的长； (2)如图2，过点A作于点E，交于点M，于点G，交于点N，求证： ； (3)如图3，将沿翻折至处，在上取点F，连接，过点E作交于点G，交于点H，连接，若，，求的最小值． 9．（23-24九年级下·湖北武汉·期中）在中，，，为上的一点（不与端点重合），过点作交于点，得到． (1)【问题发现】如图1，当时，为的中点时，与的数量关系为__________； (2)【类比探究】如图2，当时，绕点顺时针旋转，连接，，则在旋转过程中与之间的数量关系是否发生变化？请说明理由； (3)【拓展延伸】在（2）的条件下，已知，，当绕点顺时针旋转至，，三点共线时，请直接写出线段的长． 模块4：相似三角形与特殊平行四边形 10．（23-24九年级下·山东青岛·期中）如图，点在四边形的边上． (1)如图①，当四边形是正方形时，过点作，垂足为，交于点．则与的关系是________； (2)当四边形是矩形，，时， ①如图②，点是上的一点．过点作，垂足为．点恰好落在对角线上，求的值________； ②如图③，点是上的一点，过点作，垂足为，点恰好落在对角线上，延长、交于点．当时，________． 11．（23-24九年级下·海南省直辖县级单位·期中）如图1，在矩形中，，，点是对角线上的动点（与点不重合），连接，过点作，交边于点． (1)当时，求证：； (2)点在运动过程中，的值是否发生变化？如果变化，请指出是如何变化，如果不变，请求出的值； (3)当等腰三角形时，求的长； (4)如图2，当为的中点时，连接交于点，将沿翻折得到，连接交于点，求的值． 12．（24-25九年级上·四川成都·阶段练习）如图1，在矩形中（），为线段上一点，将沿折叠得到，点恰好在线段上． (1)求证：四边形是正方形； (2)如图2，将图1中的矩形纸片沿过点的直线折叠，使得点恰好落在上的点处，为折痕，延长交线段于点．若，，求的长； (3)小丽同学用不同形状的矩形纸片（），按照题中（2）的方法折叠并延长，发现有些点不在线段上，若要使点落在线段上（不含端点），请直接写出的取值范围． 13．（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）问题提出：如图1，点E是菱形的边上的一点，，将线段绕点E顺时针旋转至，连接、，交于点G，探究与的数量关系． 问题探究： （1）先将问题特殊化，如图2，当时，在上截取，使得．连接，______． （2）再探究一般情形，如图1，求与的数量关系． 问题解决： （3）如图3，某公园计划在一片足够大的空地上修建一个五边形花园，其中菱形区域种植向日葵，区域种植薰衣草，为提高观赏体验现计划给该花园修建三条笔直的通道、、，通道的入口为点A，游客可走通道观赏花海，交于点G，同时计划在点G处修建一个拍照打卡地，通道与长度相等且夹角为，米，，点F在上且，请你通过计算帮助公园设计者确定点G、E之间的距离为多少？ 模块5：反比例函数 14．（22-23九年级上·四川成都·阶段练习）已知：如图，直线与函数的图像交于A，B两点，且与x，y轴分别交于C，D两点． (1)若直线与直线平行，且面积为2，求m的值； (2)若的面积是的面积的倍，过A作轴于E，过B作轴于F，与交于H点． ①求的值； ②求k与m之间的函数关系式． (3)若点P坐标为，在（2）的条件下，是否存在k，m，使得为直角三角形，且，若存在，求出k，m的值；若不存在，请说明理由． 15．（24-25九年级上·重庆·开学考试）已知反比例函数，直线，直线与反比例函数交于点，与x轴交于点C． (1)求直线的解析式； (2)过点C 作x轴的垂线，上有一动点M，过点M作y轴的垂线段与y轴交于点N，连接，求的最小值和此时M点的坐标； (3)在（2）问的前提下，当取得最小值时，作点M 关 于x 轴的对称点Q在坐标轴上有一动点P，若，求点P 的坐标，并写出其中一种情况的过程． 16．（23-24九年级下·四川成都·期中）如图①，一次函数的图像交反比例函数图像于点，，交轴于点，点为． (1)求反比例函数的解析式； (2)如图②，点为反比例函数在第一象限图像上的一点，过点作轴垂线，交一次函数图像于点，连接，若是以为底边的等腰三角形，求的面积； (3)如图③，将一次函数的图像绕点顺时针旋转交反比例函数图像于点，，求点的坐标． 17．（23-24九年级上·四川成都·期末）如图1，反比例函数与一次函数交于，B两点． (1)求反比例函数与一次函数的解析式； (2)如图2，若点E是反比例函数第四象限上一点，当面积最小时，在直线上存在两点，且，求四边形周长的最小值？ (3)如图3，在（2）问条件下，连接，分别交y轴，x轴于C点，D点，连接交x轴于点H，在反比例函数上是否存在一点P，使？若存在，请求出点P的横坐标的范围；若不存在，请说明理由． ( 第 1 页 共 16 页 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 特训08 期中解答压轴题（全国精选，五大模块） 目录： 模块1：特殊平行四边形 模块2：特殊平行四边形与平面直角坐标系 模块3：相似三角形 模块4：相似三角形与特殊平行四边形 模块5：反比例函数 模块1：特殊平行四边形 1．（24-25九年级上·全国·期中）如图1，四边形为正方形，为对角线上一点，连接，． (1)求证：； (2)如图2，过点作，交边于点，以，为邻边作矩形，连接． ①求证：矩形是正方形； ②若正方形的边长为，，求正方形的边长． 【答案】(1)见解析 (2)①见解析；② 【分析】（1）根据正方形的性质证明，即可解决问题； （2）①作于，于，得到，然后证，则，即可证明； ②证明，可得，，证明，连接，根据勾股定理即可解决问题． 【解析】（1）证明：四边形为正方形， ，， 在和中， ， ， ； （2）解：①如图，作于，于， 正方形中，， 四边形是矩形， ， 点是正方形对角线上的点， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， 四边形是矩形， 矩形是正方形； ②正方形和正方形， ，，， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， 在中，． ， ， 如图，连接， ， 是等腰直角三角形， ． 正方形的边长为． 【点睛】此题主要考查了正方形的判定与性质，矩形的判定与性质，三角形的全等的性质和判定，勾股定理，角平分线的性质，解本题的关键是根据题中所给条件正确作出辅助线构造全等三角形． 2．（23-24九年级下·山东淄博·期中）整体思想是中学数学解题的重要方法之一，贯穿于数学学习的全过程．对于问题1，王老师给出了如下的提示：连接，利用与面积之和是菱形面积的，可求出的值． （1）如图1，在菱形中，对角线的长分别为和，点为对角线上一动点（不与点重合），过点分别作和的垂线，垂足为点和，求的值，请你写出求解过程． 灵活应用以上方法解决问题： （2）如图2，若为矩形，点分别在边上，将矩形沿直线折叠，使点恰好与点重合，点落在点处．点为线段上一动点（不与点重合），过点分别作直线的垂线，垂足分别为和，以为邻边作平行四边形，若，求平行四边形的周长； （3）如图3，当点是等边外一点时，过点分别作直线的垂线，垂足分别为点．若，请直接写出的面积． 【答案】（1）的值为；（2）平行四边形的周长为；（3）的面积为 【分析】（1）如图所示，连接，根据对角线可求出菱形的面积，的面积，根据即可求解； （2）根据矩形的性质，折叠的性质可求出的长，是等腰三角形，可求出，如图所示，连接，过点作与点，可求出的面积，根据，可求出的值，最后根据平行四边形的性质即可求解； （3）如图所示，过点作于点，连接，根据等边三角形的性质可得，根据可求出的值，由此即可求解． 【解析】解：（1）如图所示，连接， ∵四边形是菱形，对角线的长分别为和， ∴，菱形的面积， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， 如图所示，连接，设对角线交于点， ∴， 在直角中，， ∴， ∴， ∴的值为； （2）∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵折叠，且， ∴，，， ∴， ∴，即是等腰三角形， ∵， ∴， ∴，且， 在直角中，， ∴， 如图所示，连接，过点作与点， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴，且， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴平行四边形的周长为； （3）如图所示，过点作于点，连接， ∵是等边三角形， ∴，，， ∴， ∵， ∴ ， ∵，即， ∴， 解得，， ∴， ∴的面积为． 【点睛】本题主要考查菱形的性质，矩形的性质，等边三角形的性质，折叠的性质，平行四边形的性质，几何图形面积的计算方法，掌握特殊四边形的性质，几何图形面积的构造与计算方法是解题的关键． 3．（24-25九年级上·吉林长春·阶段练习）如图①，在等边三角形中，点D为边的中点，以为边向下作等边三角形，连接，与的延长线交于点F． 【感知猜测】边与边的数量关系_____________，_____________°． 【证明发现】如图②，将绕点A旋转，与相交于点F，以上结论是否成立，并说明理由； 【拓展应用】如图③，矩形中，，E、F分别在边、上，且为等边三角形，点M是边上的一点，且，以为边向下作等边三角形，则的最小值为_____________． 【答案】感知猜测：；60；证明发现：成立；见解析；拓展应用： 【分析】感知猜测：证明，得出，，求出； 证明发现：证明，得出，，根据，，得出即可； 拓展应用：过点N作于点H，连接，，证明，得出，得出当最小时，最小，根据垂线段最短，得出当时，最小，证明四边形为矩形，得出，，求出，得出． 【解析】解：感知猜测：∵和为等边三角形， ∴，， ， ∵点D为边的中点， ∴，， ∴， ∴，， ∴； 证明发现：成立；理由如下： ∵和为等边三角形， ∴，， ， ∴， 即， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴； 拓展应用：过点N作于点H，连接，，如图所示： 则， ∵和为等边三角形， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴当最小时，最小， ∵垂线段最短， ∴当时，最小， 即与H重合时，最小， ∵矩形中， ∴， ∴四边形为矩形， ∴，， ∵为等边三角形，， ∴， ∴， ∴， 即的最小值为． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，矩形的判定和性质，勾股定理，三角形全等的判定和性质，三角形内角和定理的应用，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的判定和性质． 模块2：特殊平行四边形与平面直角坐标系 4．（24-25九年级上·四川成都·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，点A，B分别在x轴，y轴正半轴上，，点（A点在C点的左侧），连接，过点A作的垂线，过点C作x轴的垂线，两条垂线交于点D，已知，直线交x轴于点E． (1)求直线的解析式； (2)延长到点M，交的延长线于点N，连接，若，求的长； (3)如图2，在直线上找一点G，直线上找一点P，直线上找一点Q，使得四边形是菱形，求出P点的坐标． 【答案】(1) (2)； (3)或 【分析】（1）由，得到，再由已知求出，即可得到，用待定系数法求直线的解析式即可； （2）先求得，利用两点之间的距离公式求得和的长，再证明是等腰直角三角形，据此求解即可； （3）求出直线解析式为；设，，，为菱形对角线，，列出方程组，解得或，进而求出的值即可． 【解析】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 设直线的解析式为， ∴， ∴， ∴直线的解析式为； （2）解：∵，轴， ∴点的横坐标为3， ∵， 同理直线的解析式为， ∴当时，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴； （3）解：设直线解析式为， 把点D坐标代入求得：， 则直线解析式为：； 设，，， ∵四边形是菱形，， ∴为菱形对角线，， ∴， 解得或， 当时，则， ， ； 当时，则， ， ； ∴P点的坐标为或． 【点睛】本题是一次函数的综合题，熟练掌握一次函数的图象及性质，待定系数法求一次函数解析式，全等三角形的性质，等腰三角形的判定，菱形的性质，两点之间的距离公式，分类讨论，准确地计算是解题的关键． 模块3：相似三角形 5．（24-25九年级上·北京·阶段练习）在平面直角坐标系中，Q是x轴正半轴上一点，对于四边形边上的点P和图形W（点P不在x轴上），给出如下定义：若，将图形W绕点P逆时针旋转得到图形M，则称图形M是图形和点P的“关联图”． 如图，点，，，． (1)点，，，中，在四边形和点的“关联图”上的点是__________； (2)已知点，． ①若线段关于点P的“关联图”在四边形的内部（包含边界），设点P的横坐标的最小值为m，纵坐标的最大值为n，直接写出的值__________； ②当关于点P的“关联图”和都在四边形的内部（包含边界）时，锐角的最大值是，请直接写出t的取值范围__________． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】（1）由题意得：，此时正方形绕点逆时针旋转得到的关联图形仍为正方形，的对应点为，的对应点为，点的对应点，点的对应点，即可确定； （2）①分类讨论，分别讨论点在正方形的四条边上，画出示意图进行分析，找出临界状态，多动点，固定变量，一个一个分析即可； ②由①可知，只有P落在或边上，关于点P的“关联图”才在正方形内部，要使关于点P的“关联图”和都在四边形的内部，且的最大值为，故P一定会在上，当，此时不能增大，即移动点G时，不能使得仍然落在正方形内部，则此临界状态时，一定落在上．由可知点在直线上运动，记为直线，记直线与轴交于点，过点作，由勾股定理建立方程即可求解，当点落在上时，，均可满足在正方形内部，综上所述：． 【解析】（1）解：如图， 由题意得：，此时正方形绕点逆时针旋转得到的关联图形仍为正方形，的对应点为，的对应点为，点的对应点，点的对应点， 当时，连接，记与轴交于点， 则， 而， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点的对应点， 同理可证明点的对应点， ∴，在四边形和点的“关联图”上， 故答案为：，； （2）解：①当点在上时，连接， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， 当点与点重合时，即，此时点的对应点在上，且，如图： 随着点在上运动，画图可知在正方形内部运动，直至点落在上，如图： 如上图，此时， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴当点在上运动时，， 当点在边上时，此时，即点在两个端点处，取得最小值和最大值，， 随着增大，作图可发现会远离，如图： 当点运动到，点恰好落在点，但此时点仍在正方形的外部， ∴当点在边上时，线段关于点的“关联图”不可能在正方形的内部； 当点在边运动时， ∵，会更加远离正方形，如图： ∴点在边运动时，线段关于点的“关联图”不可能在正方形的内部； 当点在边上时， ∵， ∴，如图： 当点运动到中点时，此时落在点处，点落在点处，随着点P继续接近点，始终在正方形内，如图： ∴点在边上时，， 综上所述：点横坐标最小值为0，纵坐标最大值为， ∴， 故答案为：； ②由①可知，只有P落在或边上，关于点P的“关联图”才在正方形内部， ∴要使关于点P的“关联图”和都在四边形的内部，且的最大值为， ∴P一定会在上， 如图所示，当，此时不能增大，即移动点G时，不能使得仍然落在正方形内部，则此临界状态时，一定落在上． 由可知点在直线上运动，记为直线，记直线与轴交于点， 过点作， ∴在中，由勾股定理得：， ∵，轴， ∴， ∴， ∴， 设， 则在中，由勾股定理得：， ∴， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴在中，由勾股定理得：， 在中，， 由旋转得， ∴， ∴， 解得：， 当点落在上时，，均可满足在正方形内部， ∴综上所述：． 故答案为：． 【点睛】本题考查正方形的性质，旋转变换，勾股定理，全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质等，难度很大，重点理解题意，根据旋转的不变性，进行画图分析，对分类讨论的思想要求较高． 6．（23-24九年级下·吉林长春·期中）【问题初探】（1）数学活动课上，张老师给出如下问题：如图①，在中，，，点是边上一点，连结，在右侧作，使，，连结．求证：． ①小智同学从和都是等腰直角三角形这个条件出发给出如下解题思路：通过证明，将转化为． ②小慧同学从结论的角度出发给出另外一种解题思路：如图②，在线段上截取，连结，通过证明，将转化为． 请你选择一名同学的解题思路，写出证明过程． 【拓展延伸】（2）如图③，在正方形中，是边上一动点（点不与点重合），将线段绕点顺时针旋转90°得到线段，连结、，若，则周长的最小值为________． 【答案】（）证明见解析；（）． 【分析】（）选择小智同学的解题思路：由等腰直角三角形的性质可得，，，，进而得到，，即可得到，得到，即可求证； 选择小慧同学的解题思路：在线段上截取，连接，可得，又根据等腰直角三角形的性质可得，进而得，，由得，得到，即可证明，得到； （）在线段延长线上截取，连接、、，根据【问题初探】可知是的角平分线，由将军饮马模型可知，，当A、P、三点共线时，取最小值，即可求解． 【解析】解：（）选择小智同学的解题思路： ∵，， ∴，， ∵，， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴； 选择小慧同学的解题思路： 如图，在线段上截取，连接， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 即； （）如图，在线段延长线上截取，连接、、， 由【问题初探】可知：， 又∵在正方形中，， ∴， ∴与时关于的对称， ∴， ∴，当A、P、三点共线时，取最小值，； ∴周长的最小值为：. 【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，勾股定理，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，将军饮马模型，正确作出辅助线是解题的关键． 7．（23-24九年级下·辽宁铁岭·期中）在中，，．点是平面内不与点A，C重合的任意一点．连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接． (1)【观察猜想】 如图1，当时，线段与的数量关系是___________，直线与直线相交所成的较小角的度数是___________； (2)【类比探究】 如图2，当时，请写出的值及直线与直线相交所成的较小角的度数，并就图2的情形说明理由． (3)【解决问题】 当时，若点E，F分别是的中点，点P在直线上，当，且点C，P，D在同一直线上时，请直接写出线段的长． 【答案】(1)， (2)； (3)或 【分析】（）观察猜想：由“”可证，可得，，即可求解； （）类比探究：通过证明，可得， ，即可求解； （）分点在线段上和点在线段上，两种情况进行讨论求解即可． 【解析】（1）解：，， 是等边三角形， ，， 由旋转的性质得，，， 是等边三角形， ，， ， ，， ， ，， 如图中，延长交的延长线于，设交于点， 在和中， ，， ， 直线与直线相交所成的较小角的度数是； 故答案为：，； （2）如图中，设交于点， ∵，，线段绕点逆时针旋转得到线段， ∴，， ，， ， ， ， ，， ， ， ∴直线与直线相交所成的小角的度数为； （3）解：如图，当点在线段上时， ∵点E，F分别是的中点， ， ∵，，线段绕点逆时针旋转得到线段， ∴， ， ，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 同法（2）可得：，， ∴， 如图中，当点在线段上时，同法可证：，，， ∴， ∴； 综上：或． 【点睛】本题考查了旋转变换，等边三角形的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形或相似三角形解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题． 8．（23-24九年级下·重庆开州·期中）如图，在中，，点D为一点，连接． (1)如图1，若，，求的长； (2)如图2，过点A作于点E，交于点M，于点G，交于点N，求证： ； (3)如图3，将沿翻折至处，在上取点F，连接，过点E作交于点G，交于点H，连接，若，，求的最小值． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】（1）过点D作于点K，则，可得是等腰直角三角形，从而得到，再由，可得，从而得到，进而得到，即可求解； （2）证明，可得，作交于点Q，再证明，可得，即可求证； （3）取中点M，连接，连接交于点N，作于点P，设交于点Q．证明，可得，设，则，设，则，根据， ∴，可得，再由勾股定理可得，然后根据点M为的中点，，可得，从而得到，进而得到 ，即可求解． 【解析】（1）解：如图，过点D作于点K，则， ∵， ∴，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴，     ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）证明：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 作交于点Q， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：如图，取中点M，连接，连接交于点N，作于点P，设交于点Q． 由轴对称的性质得：，垂直平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴， 设，则， 设，则， 同理， ∴， ∴，即， 解得：或（舍去）， ∴， ∴， ∴， ∵点M为的中点，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 当且仅当点A，H，M三点共线时，取得最小值，最小值为． 【点睛】本题为几何综合题，主要考查了等腰直角三角形的性质、全等三角形判定与性质、勾股定理、相似三角形的判定性质、几何变换、解直角三角形等重要知识点．熟练掌握常用几何定理和模型是解决问题的关键． 9．（23-24九年级下·湖北武汉·期中）在中，，，为上的一点（不与端点重合），过点作交于点，得到． (1)【问题发现】如图1，当时，为的中点时，与的数量关系为__________； (2)【类比探究】如图2，当时，绕点顺时针旋转，连接，，则在旋转过程中与之间的数量关系是否发生变化？请说明理由； (3)【拓展延伸】在（2）的条件下，已知，，当绕点顺时针旋转至，，三点共线时，请直接写出线段的长． 【答案】(1) (2)与之间的数量关系不变，，理由见解析 (3)线段的长为或 【分析】（1）当时，，可得，由，得出，可得，利用等量代换即可得出答案； （2）通过证明，可得，即可解题； （3）根据题意分两种情况讨论，当旋转至直线上方时，当旋转至直线下方时，结合勾股定理即可求解． 【解析】（1）解：当时，， ， ， 为的中点， ， ， ， ， ， ， ， ； （2）解：与之间的数量关系不变，，理由如下： 当时，， ，， 由勾股定理得：，同理， ， 由旋转得：，即， ， 又， ， ， ； （3）解：，， ，， 由勾股定理可得：，， 绕点顺时针旋转至，，三点共线， ，，， ， 当旋转至直线上方时，如图，； 当旋转至直线下方时，如图，； 综上所述，线段的长为或． 【点睛】本题是相似形综合题，考查了直角三角形的性质，等腰直角三角形的性质，旋转的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，灵活运用这些性质进行推理是本题的关键． 模块4：相似三角形与特殊平行四边形 10．（23-24九年级下·山东青岛·期中）如图，点在四边形的边上． (1)如图①，当四边形是正方形时，过点作，垂足为，交于点．则与的关系是________； (2)当四边形是矩形，，时， ①如图②，点是上的一点．过点作，垂足为．点恰好落在对角线上，求的值________； ②如图③，点是上的一点，过点作，垂足为，点恰好落在对角线上，延长、交于点．当时，________． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】（1）由正方形的性质及可得，，，则，即可证明； （2）①作于点，于点，可证明，则，再证明，即可求出的值； ②连接、，通过证明、，推得，再证明，即可根据相似三角形的对应边成比例求出的长． 【解析】（1）解：，理由如下， 证明：如图①，四边形是正方形， ， 于点， ， ， ， ， ． 故答案为：； （2）解：①如图②，作于点，于点，则， 四边形是矩形， ， 四边形是矩形， ， 于点， ， ， ， ， ， ， ∴， ， ， 同理， ， ， ， ，， ； 故答案为：； ②如图3，连接、， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】此题重点考查全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、正方形的性质、矩形的判定与性质等知识，此题综合性较强，属于考试压轴题． 11．（23-24九年级下·海南省直辖县级单位·期中）如图1，在矩形中，，，点是对角线上的动点（与点不重合），连接，过点作，交边于点． (1)当时，求证：； (2)点在运动过程中，的值是否发生变化？如果变化，请指出是如何变化，如果不变，请求出的值； (3)当等腰三角形时，求的长； (4)如图2，当为的中点时，连接交于点，将沿翻折得到，连接交于点，求的值． 【答案】(1)见详解 (2) (3) (4) 【分析】（1）连接，利用即可证明，即有结论成立； （2）过点作于点，过点作于点，利用矩形的性质证明，有，得；进一步证明，有，结合题意即可求得； （3）分两种情况：当点F在线段上时，连接交于点H，可证得垂直平分，利用面积法求得，即可求得，利用即可； （4）连接交于点，利用勾股定理求得，结合（2）知，求得和，根据平行得，得，则，由折叠的性质可知，，可证得，求得和，再次利用，则有即可． 【解析】（1）证明：如图，连接，在矩形中，， 又， ， ∵，， ∴， ； （2）的值不变； 过点作于点，过点作于点，如图， 四边形是矩形， ， ，． ， ，即， ， ， 又， ， ， 由①②可得， ∵，， ； （3）①当点F在线段上时， 由图可知，， ∴当为等腰三角形时，， 连接交于点H， ∵， ∴， ∵， ∴，则， ∴垂直平分， ∵四边形为矩形， ∴， 根据勾股定理可得：， ∵， ∴，解得， 根据勾股定理可得：， ∴， ∴； 即． （4）连接交于点， 点是的中点， ， 在中，， 由（2）知， ， 在中，，， 又∵， ， ， ， 由折叠的性质可知，， 又， ∴， ， ， ，， 又∵， ， ， 故． 【点睛】本题主要考查全等三角形的判定和性、矩形的性质、相似三角形的判定和性质、垂直平分线的性质、等腰三角形的判定和性质和折叠的性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质和做辅助线是解题的关键． 12．（24-25九年级上·四川成都·阶段练习）如图1，在矩形中（），为线段上一点，将沿折叠得到，点恰好在线段上． (1)求证：四边形是正方形； (2)如图2，将图1中的矩形纸片沿过点的直线折叠，使得点恰好落在上的点处，为折痕，延长交线段于点．若，，求的长； (3)小丽同学用不同形状的矩形纸片（），按照题中（2）的方法折叠并延长，发现有些点不在线段上，若要使点落在线段上（不含端点），请直接写出的取值范围． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）矩形的性质得到，折叠得到，进而推出四边形是正方形即可； （2）过点作，则四边形为矩形，得到，易得为等腰直角三角形，得到，根据矩形的性质，折叠的性质，勾股定理，求出，进而求出，设，在中，利用勾股定理，求出的值，证明，推出，设，根据求出值，进而求出，再根据线段的和差关系求出的长即可； （3）令，，由题意得：，得到，利用勾股定理结合相似三角形的判定和性质，求出重合时，的值，即可得出结论． 【解析】（1）证明：∵矩形， ∴， ∵折叠， ∴， ∴四边形为矩形， ∵， ∴矩形为正方形； （2）解：过点作，则四边形为矩形， ∴， ∵四边形为正方形， ∴，， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵矩形， ∴， ∴， ∵折叠， ∴， 在中，， ∴， 设，则：， 在中，，解得：， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴设， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）令，，由题意得：， ， 由（2）得：， ， 当点与重合时： ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ， 解得：， ． 【点睛】本题考查矩形与折叠，正方形的判定和性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，综合性强，难度较大，属于压轴题，熟练掌握相关知识点，利用相似三角形的判定和性质进行求解，是解题的关键． 13．（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）问题提出：如图1，点E是菱形的边上的一点，，将线段绕点E顺时针旋转至，连接、，交于点G，探究与的数量关系． 问题探究： （1）先将问题特殊化，如图2，当时，在上截取，使得．连接，______． （2）再探究一般情形，如图1，求与的数量关系． 问题解决： （3）如图3，某公园计划在一片足够大的空地上修建一个五边形花园，其中菱形区域种植向日葵，区域种植薰衣草，为提高观赏体验现计划给该花园修建三条笔直的通道、、，通道的入口为点A，游客可走通道观赏花海，交于点G，同时计划在点G处修建一个拍照打卡地，通道与长度相等且夹角为，米，，点F在上且，请你通过计算帮助公园设计者确定点G、E之间的距离为多少？ 【答案】（1）；（2）；（3）米 【分析】（1）延长过点F作，证明即可得出结论． （2）在上截取，使，连接，证明，通过边和角的关系即可证明． （3）过点作的垂线交的延长线于点，在上截取，使，连接，作于点O，由，求出米，米，同理（2）得：，推出，根据等腰三角形及勾股定理求出米，得到米，再求出米，米，通过证明，得到，设米，则米，米，即可求解． 【解析】（1）解：过点F作交延长线于H，如图所示： ∴， ∴，， ∴， 在和中 ， ∴， ∴，， ∵四边形是菱形，， ∴四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：45； （2）解：在上截取，使，连接． ， ， ， ， ． ． ∵四边形是菱形， ∴，， ，， ， ． ， 即； （3）解：过点作的垂线交的延长线于点，在上截取，使，连接，作于点O，如图所示： ∵四边形为菱形，米， 米， ， 米，米， 同理（2）得：， ， ，， ， ， ∴， ∵， ∴， ∴米， 根据勾股定理得：即， 解得：米（负值舍去）， 米， 米， ， ∴， ， ∴ 米， ∴米， ， ∴由（2）知，． ， ， ， ， 设米，则米，米， ， 解得：， 米． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质，正方形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，勾股定理，三线合一定理，全等三角形的性质与判定等等，正确作出辅助线构造全等三角形和相似三角形是解题的关键． 模块5：反比例函数 14．（22-23九年级上·四川成都·阶段练习）已知：如图，直线与函数的图像交于A，B两点，且与x，y轴分别交于C，D两点． (1)若直线与直线平行，且面积为2，求m的值； (2)若的面积是的面积的倍，过A作轴于E，过B作轴于F，与交于H点． ①求的值； ②求k与m之间的函数关系式． (3)若点P坐标为，在（2）的条件下，是否存在k，m，使得为直角三角形，且，若存在，求出k，m的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)①；②m与k的关系式为（） (3)存在，，或， 【分析】（1）利用两直线平行得到，从而得到点，设点，根据的面积求出a的值，从而得到点A的坐标，根据待定系数法即可求出m的值； （2）①设，（其中，），由得到，根据三角形的面积公式可推出，而，即可求解； ②由得到，进而有，联立与得，根据根与系数的关系得到，，代入后得到，从而； （3）过点B作轴于点N，，可证明，根据相似三角形的性质得到，即，变形得到，利用得到，进而，由（2）有，，代入后得到，求解即可得到m，k的值，从而可解答． 【解析】（1）解：∵直线与直线平行， ∴， 对于直线，令，则， ∴， ∴， 设， ∵，即， ∴， ∴， ∵点在函数的图像上， ∴； （2）解： ①设，（其中，） ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． ②对于直线，令，则， ∴， ∴， 由①有， ∴，即， 联立与得， ∴，， ∴，即， ∴m与k的关系式为（）． （3）解：存在k，m，使得为直角三角形，且． 过点B作轴于点N， 若，则 ， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∵，， ∴，， ∴， 即， 由（2）有，， ∴，解得，， 当时，； 当时，； ∴存在k，m，使得为直角三角形，且． 【点睛】本题考查反比例函数与一次函数的综合问题，涉及待定系数法，一元二次方程根与系数的关系，相似三角形的判定及性质，三角形的面积等，解题的关键是熟练掌握反比例函数图像上点的坐标特征和一次函数图像上点的坐标特征；会求反比例函数与一次函数的交点坐标，灵活运用根与系数的关系；会利用相似比计算线段的长． 15．（24-25九年级上·重庆·开学考试）已知反比例函数，直线，直线与反比例函数交于点，与x轴交于点C． (1)求直线的解析式； (2)过点C 作x轴的垂线，上有一动点M，过点M作y轴的垂线段与y轴交于点N，连接，求的最小值和此时M点的坐标； (3)在（2）问的前提下，当取得最小值时，作点M 关 于x 轴的对称点Q在坐标轴上有一动点P，若，求点P 的坐标，并写出其中一种情况的过程． 【答案】(1) (2)的最小值为； (3)或或 【分析】（1）利用反比例函数解析式求出A、B坐标，再利用待定系数法求出直线的解析式即可； （2）先求出点C的坐标，进而求出点M的横坐标，则；如图所示，过点B作，连接，则，证明四边形是平行四边形，得到，则当A、M、H三点共线时，有最小值，即此时有最小值，最小值为，利用勾股定理得到，则的最小值为；求出直线解析式为，进而可得； （3）根据关于x轴对称的点横坐标相同，纵坐标互为相反数得到，如图3-1所示，当点P在x轴上时，则，可得轴，则点P的坐标为； 如图3-2所示，在直线上且在点Q上方找一点K，连接使得，设，由勾股定理得到，解方程得到，同理可得直线解析式为，则直线与x轴，y轴分别交于，，由等边对等角得到，则当点P在射线（不包括A）上时都满足题意，再由P在坐标轴上，可得点P的坐标为或． 【解析】（1）解：在中，当时，；当时，， ∴， 把代入中得：， 解得， ∴直线的解析式为； （2）解：在中，当时，， ∴， ∵直线轴， ∴点M的横坐标为1， ∵轴， ∴； 如图所示，过点B作，连接，则， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴当A、M、H三点共线时，有最小值，即此时有最小值，最小值为， ∵， ∴， ∴的最小值为； 设直线解析式为， 把代入中得：， 解得， ∴直线解析式为， 在中，当时，， ∴； （3）解；由（2）知， ∵点M与点Q关于原点对称， ∴， ∵， ∴轴， 如图3-1所示，当点P在x轴上时， ∵， ∴， ∴轴， ∵， ∴点P的坐标为； 如图3-2所示，在直线上且在点Q上方找一点K，连接使得， 设， ∴， 解得， ∴， 同理可得直线解析式为， 在中，当时，；当时，， ∴直线与x轴，y轴分别交于，， ∵， ∴，即， ∴当点P在射线（不包括A）上时都满足题意， 又∵P在坐标轴上， ∴点P的坐标为或； 综上所述，点P的坐标为或或． 【点睛】本题主要考查了反比例函数与一次函数综合，勾股定理，平行四边形的性质与判定，等边对等角，一次函数与几何综合，坐标与图形变化—轴对称等等，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． 16．（23-24九年级下·四川成都·期中）如图①，一次函数的图像交反比例函数图像于点，，交轴于点，点为． (1)求反比例函数的解析式； (2)如图②，点为反比例函数在第一象限图像上的一点，过点作轴垂线，交一次函数图像于点，连接，若是以为底边的等腰三角形，求的面积； (3)如图③，将一次函数的图像绕点顺时针旋转交反比例函数图像于点，，求点的坐标． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）首先确定点坐标，然后根据待定系数法求反比例解析式即可； （2）设点的坐标为，则点，根据题意，是以为底边的等腰三角形，则点在的垂直平分线上，易得，解得的值，进而确定点，的坐标，然后根据三角形面积公式求解即可； （3）设一次函数的图像与轴交于点，过点作于，过作轴于，过点作，交延长线于点，证明，由全等三角形的性质可得，，设，易得，求解即可确定点坐标，进而可利用待定系数法解得直线的解析式，联立直线的解析式与反比例函数解析式，求解即可获得答案． 【解析】（1）解：对于一次函数， 当时，可有， ∴点， 将点的坐标代入反比例函数表达式， 可得 ， 即反比例函数表达式为； （2）设点的坐标为，则点， 若是以为底边的等腰三角形，则点在的垂直平分线上， 则有 ， 解得（舍去）或， ∴，， 则； （3）设一次函数的图像与轴交于点，过点作于，过作轴于，过点作，交延长线于点，如下图， 对于一次函数， 令，可有，即的坐标为， 令，可有，解得，即的坐标为， 由题意可知，一次函数的图像绕点顺时针旋转交反比例函数图像于点，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，，轴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，， 设， ∵ ，， ∴，，，， ∴可有，解得， ∴， 设直线的解析式为， 将点，代入， 可得，解得， ∴直线的解析式为， 联立直线的解析式与反比例函数解析式， 可得，可得， 整理可得， 解得，（不合题意，舍去）， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了反比例函数与一次函数综合应用、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、解一元二次方程等知识，综合性强，难度较大，解题关键是综合运用相关知识，并运用数形结合的思想分析问题． 17．（23-24九年级上·四川成都·期末）如图1，反比例函数与一次函数交于，B两点． (1)求反比例函数与一次函数的解析式； (2)如图2，若点E是反比例函数第四象限上一点，当面积最小时，在直线上存在两点，且，求四边形周长的最小值？ (3)如图3，在（2）问条件下，连接，分别交y轴，x轴于C点，D点，连接交x轴于点H，在反比例函数上是否存在一点P，使？若存在，请求出点P的横坐标的范围；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)或或 【分析】（1）运用待定系数法即可求得答案； （2）当面积最小时，经过点平行于直线的直线与 有且只有一个公共点，利用一元二次方程根与系数关系可得直线的解析式为，进而可得，作点关于直线的对称点， 过点作轴交直线于，连接 ，将点沿直线向左上平移个单位得到点，连接交直线于点, 将点沿直线向右下平移个单位得到点，则此时四边形的周长最小，利用两点间距离公式即可求得答案； （3）当点P在第四象限时，如图，过点作于点，延长至, 使，过点作轴于，可得 ，从而求得点，得出直线的解析式为，联立方程求得点L的横坐标，可得；当点在第二象限时，如图，过点作于，延长至，使，过点作轴于，同理可得 【解析】（1）把代入 得， ， 把 代入 得 ， 解得： ， ； （2）由 ，得 ， ∴， 当面积最小时，经过点平行于直线的直线与有且只有一个公共点， 设过点平行于直线的直线解析式为， 则 ，即 ， ， ∴或(舍去)， ∵直线的解析式为， 由 ， 解得:， ∴， 作点关于直线的对称点，过点作轴交直线于, 连接， 则 ，由对称性可得，将点沿直线向左上平移个单位得到点，连接交直线于点，将点沿直线向右下平移个单位得到点，则此时四边形的周长最小，如图， ，则为平行四边形，则，四边形的周长为最小， ∵将点E沿直线向左上平移个单位，相当于向左平移个单位，向上平移个单位, 即， ， ， ∴四边形的周长最小值； （3）在反比例函数上是否存在一点，使，且或 理由如下： ， ∴直线的解析式为 直线的解析式为， ， ， 当点P在第四象限时，当时，始终有； 当点在第二象限时，如图，过点作于，延长至，使 , 过点作轴于， 则 ， ， ，即 ， ， 同理可得： ， ， ， ∴直线的解析式为， 联立得， 解得：或(舍去)， 或； 综上所述，在反比例函数上存在一点，使 则或或 【点睛】本题是反比例函数综合题，考查了待定系数法，一次函数和反比例函数的图象和性质，轴对称一最小值问题，相似三角形的判定和性质等，正确添加辅助线是解题关键． ( 第 1 页 共 16 页 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$