期中测试卷01（测试范围：第1-4章）-2024-2025学年九年级数学上学期期中期末挑战满分冲刺卷（北师大版）

2024-2025年九年级数学上册期中测试卷01（测试范围：第1-4章） 一、单选题 1．下列关于的方程中，一定是一元二次方程的是（） A． B． C． D． 2．若，则下列比例式成立的是（　　） A． B． C． D． 3．下列说法正确的是（    ） A．菱形的四个内角都是直角 B．矩形的对角线互相垂直 C．正方形的每一条对角线平分一组对角 D．平行四边形是轴对称图形 4．小王、小李和小张3名都报名参加所在社区的志愿工作，但社区根据实际情况只需要他们中的2人．有人建议他们采用随机抽签的方式确定参加人，则小王和小李同时参加的概率为（    ） A． B． C． D． 5．如图，两条直线和被三条平行线所截，交点分别为A、B、C和D、E、F，若，，则的长为（    ） A． B．5 C．6 D．8 6．我国对教育经费的投入一直在增长，在某地的政府工作报告中，2022年的教育投入是2500万元，2024年将投入3600万元，设该地投入教育经费的年平均增长率为x，根据题意列方程，则下列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 7．如图，已知，那么添加下列一个条件后，仍无法判定的是（   ） A． B． C． D． 8．关于的一元二次方程有实数根，则满足（   ） A． B．且 C．且 D． 9．如图，折叠长方形的一边，使点落在边上的点处，若，，则长（   ） A． B． C． D． 10．如图，正方形的边在的边上，顶点D、G分别在边 上，已知的边长15厘米，高为10厘米，则正方形的边长是（  ） A．4厘米 B．5厘米 C．6厘米 D．8厘米 二、填空题 11．一个事件经过5000次试验，它的频率是0.32，它的概率估计值是 ．（精确到0.01） 12．如图，在菱形中，，则的度数为 ． 13．已知点M为线段的黄金分割点，且，若，则 ． 14．如图，为了测量学校旗杆的高度，小东用长的竹竿做测量工具．移动竹竿，使旗杆顶端的影子与竹竿顶端的影子恰好落在地面上的同一点，此时，竹竿与这一点相距，与旗杆相距，则旗杆的高为 ． 15．一个三角形的两边长分别为3和6，第三边是方程的一个根，则这个三角形的周长是 ． 16．如图，以点为位似中心，将放大后得到；，，那么与四边形的面积之比为 ．    17．已知a是方程的一个根，则 ． 18．如图，正方形的边长为，点分别在边上，平分连接，分别交于点，，且，有下列四个结论：①垂直平分；②；③；④若点是边上的一个动点，则的最小值为，其中正确的有 ．    三、解答题 19．用适当的方法解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 20．如图，在宽为，长为的矩形耕地上，修筑同样宽的三条道路，把耕地分成大小相等的六块作试验田，要使试验田面积为，求道路的宽度． 21．已知：平行四边形的两边的长是关于的方程的两个实数根． (1)试说明：无论取何值方程总有两个实数根； (2)当为何值时，四边形是菱形？求出这时菱形的边长． 22．一个不透明的口袋里装有分别标有汉字“喜”、“迎”、“峰”、“会”的四个小球，除汉字不同之外，小球没有任何区别，每次摸球前先搅拌均匀再摸球． 若从中任取一个球，求球上的汉字刚好是“峰”的概率； 从中任取一球，不放回，再从中任取一球，请用树状图或列表法，求取出的两个球上的汉字恰能组成“喜迎”或“峰会”的概率． 23．如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，．    (1)作出关于轴的轴对称图形； (2)以原点为位似中心，在轴的右侧画出的一个位似，使它与的相似比为，并分别写出点，的对应点，的坐标； (3)请直接写出的面积为______． 24．如图，在菱形中，对角线与相交于点，过点作的平行线，过点作的平行线，两直线相交于点． (1)求证：四边形是矩形． (2)若，，求菱形的面积． 25．如图，在中，点D，E，F分别在边上，，． (1)求证：． (2)若，，求的长． 26．直角三角形在平面直角坐标系中的位置如图所示，，的长是方程的两个根（）．将绕原点O顺时针旋转得到，点的对应点为，连接．点E从点D出发，以每秒个单位长度的速度沿着射线运动，设点E运动的时间为t秒，过点E作轴于点F，以为斜边向左作等腰直角三角形，连接． (1)求点的坐标； (2)设的面积为，求S与t的关系式； (3)在平面内是否存在点H，使以C，D，G，H为顶点的四边形为正方形？若存在，请直接写出点H的坐标；若不存在，请说明理由． 27．【阅读】如图1，若，且点B，D，C在同一直线上，则我们把与称为旋转相似三角形． 【理解】（1）如图2，和是等边三角形，点D在边上，连接．求证：与是旋转相似三角形． 【应用】（2）如图3，与是旋转相似三角形，，求证：． 【拓展】（3）如图4，是四边形的对角线，，试在边上确定一点E，使得四边形是矩形，并说明理由． ( 第 1 页 共 16 页 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025年九年级数学上册期中测试卷01（测试范围：第1-4章） 一、单选题 1．下列关于的方程中，一定是一元二次方程的是（） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是一元二次方程的定义，熟知只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程是解题的关键． 根据一元二次方程的定义对各选项进行逐一分析即可． 【解析】A、中，当时不是一元二次方程，不符合题意； B、含有两个未知数，不是一元二次方程，不符合题意； C、是一元二次方程，符合题意； D、含有分式，不是一元二次方程，不符合题意． 故选：C． 2．若，则下列比例式成立的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用比例的基本性质，把每一个选项中的比例式化成等积式即可解答． 【解析】解：A．因为，所以，故A符合题意； B．因为，所以，故B不符合题意； C．因为，所以，故C不符合题意； D．因为，所以，故D不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的基本性质是解题的关键． 3．下列说法正确的是（    ） A．菱形的四个内角都是直角 B．矩形的对角线互相垂直 C．正方形的每一条对角线平分一组对角 D．平行四边形是轴对称图形 【答案】C 【分析】根据菱形的性质、矩形的性质、正方形的性质、平行四边形的性质和轴对称图形的定义即可求解． 【解析】解：A．菱形的四个内角不一定都是直角，不符合题意； B．矩形的对角线不一定互相垂直，不符合题意； C．正方形的每一条对角线平分一组对角，正确，符合题意； D．平行四边形不一定是轴对称图形，不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了菱形的性质、矩形的性质、正方形的性质、平行四边形的性质和轴对称图形的定义，熟练掌握基础知识是解题的关键． 4．小王、小李和小张3名都报名参加所在社区的志愿工作，但社区根据实际情况只需要他们中的2人．有人建议他们采用随机抽签的方式确定参加人，则小王和小李同时参加的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了列表法与树状图法，以及概率公式，弄清题意是解本题的关键．列表得出所有等可能的情况数，找出小王和小李同时参加的情况数，再根据概率公式即可得出答案． 【解析】解：列表如下： 所有等可能的情况有6种，其中小王和小李同时参加的情况数有2种， 小王和小李同时参加的概率为， 故选：． 5．如图，两条直线和被三条平行线所截，交点分别为A、B、C和D、E、F，若，，则的长为（    ） A． B．5 C．6 D．8 【答案】A 【分析】此题考查了平行线分线段成比例定理．根据平行线分线段成比例得到，又由，即可得到答案． 【解析】解：∵两条直线和被三条平行线所截，，， ∴， ∴, 故选：A 6．我国对教育经费的投入一直在增长，在某地的政府工作报告中，2022年的教育投入是2500万元，2024年将投入3600万元，设该地投入教育经费的年平均增长率为x，根据题意列方程，则下列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元二次方程是实际应用——增长率问题，解题的关键是掌握：增长率问题中可以设基数为a，平均增长率为x，增长的次数为n，则增长后的结果为；而增长率为负数时，则降低后的结果为． 【解析】解：设该地投入教育经费的年平均增长率为x， 根据题意列方程， 故选：B． 7．如图，已知，那么添加下列一个条件后，仍无法判定的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了相似三角形的判定，先求出两三角形的一对相等的角是确定其他条件的关键，注意掌握相似三角形的几种判定方法． 【解析】解：， ， A．添加，可用两角法判定，故本选项错误； B．添加，可用两角法判定，故本选项错误； C．添加，可用两边及其夹角法判定，故本选项错误； D．添加，不能判定，故本选项正确； 故选：D． 8．关于的一元二次方程有实数根，则满足（   ） A． B．且 C．且 D． 【答案】C 【分析】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根． 利用一元二次方程的定义和根的判别式的意义得到得且，然后求出两不等式的公共部分即可． 【解析】解：根据题意得且， 解得且． 故选：C． 9．如图，折叠长方形的一边，使点落在边上的点处，若，，则长（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】主要考查了翻折变换的性质及其应用问题，如图，根据勾股定理求出的长；进而求出的长度；由题意得；利用勾股定理列出关于的方程，解方程即可解决问题，；解题的关键是灵活运用有关定理来分析、判断、推理或解答． 【解析】解：四边形为矩形， ；； 由题意得：，，； 由勾股定理得：， ， ； 在中，由勾股定理得：， 解得：， ． 故选：B． 10．如图，正方形的边在的边上，顶点D、G分别在边 上，已知的边长15厘米，高为10厘米，则正方形的边长是（  ） A．4厘米 B．5厘米 C．6厘米 D．8厘米 【答案】C 【分析】由得，利用相似三角形对应边上高的比等于相似比列方程求解即可． 【解析】解：设正方形的边长为x． ∵正方形得， ∴，即， ∵， ∴． ∵ ∴ ∴． ∵ ∴，即， ∵ ， ∴，解得． 故正方形的边长是6cm． 故选C． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、正方形的性质等知识点．由平行线得到相似三角形并利用相似三角形的性质是解答本题的关键． 二、填空题 11．一个事件经过5000次试验，它的频率是0.32，它的概率估计值是 ．（精确到0.01） 【答案】0.32 【分析】用频率估计概率即可． 【解析】解：∵一个事件经过5000次试验，它的频率是0.32， ∴它的概率估计值是0.32， 故答案为：0.32． 【点睛】本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率． 12．如图，在菱形中，，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查菱形的性质，根据菱形的对边平行可得，再由菱形的对角线平分一组对角可求出． 【解析】解：∵四边形是菱形， ∴ ∴， ∵ ∴ ∵是菱形的对角线， ∴， 故答案为：． 13．已知点M为线段的黄金分割点，且，若，则 ． 【答案】/ 【分析】根据黄金分割点的定义，知是较长线段；则，代入数据即可得出的长． 【解析】解：∵点M为线段的黄金分割点，且，， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查黄金分割的定义，解题的关键是熟知把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，他们的比值叫做黄金比． 14．如图，为了测量学校旗杆的高度，小东用长的竹竿做测量工具．移动竹竿，使旗杆顶端的影子与竹竿顶端的影子恰好落在地面上的同一点，此时，竹竿与这一点相距，与旗杆相距，则旗杆的高为 ． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，由题意得出，推出，再由相似三角形的判定与性质计算即可得出答案，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【解析】解：如图： ， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴旗杆的高为， 故答案为：． 15．一个三角形的两边长分别为3和6，第三边是方程的一个根，则这个三角形的周长是 ． 【答案】13 【分析】本题考查了解一元二次方程，三角形三边关系．先解一元二次方程，根据三角形三边关系确定第三边的长，进而即可求解． 【解析】解：， ∴， 解得：． 当时，三边为3，4，6，能组成三角形， ∴这个三角形的周长为； 当时，三边为2，3，6，不能组成三角形， 故答案为：13． 16．如图，以点为位似中心，将放大后得到；，，那么与四边形的面积之比为 ．    【答案】 【分析】本题考查了位似变换，利用位似性质得到，然后根据相似三角形的性质求解． 【解析】解： ∵以点为位似中心，将放大后得到 ∴ ∴ 故答案为：. 17．已知a是方程的一个根，则 ． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程的解、分式的化简求值，由题意得，把代入得，，即，，，再把式子代入求解即可． 【解析】解：∵a是方程的一个根， 把代入得，， ∴，，即，， ∴， 故答案为：． 18．如图，正方形的边长为，点分别在边上，平分连接，分别交于点，，且，有下列四个结论：①垂直平分；②；③；④若点是边上的一个动点，则的最小值为，其中正确的有 ．    【答案】①②④ 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，四点共圆，圆周角定理，相似三角形的判定和性质，勾股定理，轴对称最短线段问题，三角形的面积，证明，得，进而可得，，进而证明，得到，即可判断①；连接，证明得到，可得四边形在以为直径的圆上，进而可得，得到，即得，进而由得，即可判断②；延长至，使，过点作于点，则点与点关于对称，连接交于点，此时点使取最小值，即为的长，证明可得，又利用正方形的性质可得，即得，进而得，，利用勾股定理得，据此即可判断④；利用三角形面积公式可得，即可判断③；正确作出辅助线是解题的关键． 【解析】解：∵四边形是正方形， ∴，， 在和中， ， ∴, ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， 在和中'， ， ∴， ∴， ∴垂直平分，故①正确； 连接，如图，    ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴四边形在以为直径的圆上， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，故②正确； 延长至，使，过点作于点，如图，则点与点关于对称，    连接交于点，此时点使取最小值，即为的长， 在和中， ， ∴， ∴， ∵四边形是正方形，， ∴ ， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴在中， ， ∴的最小值是，故④正确； ∵，， ∴，故③错误； 综上，正确的有①②④， 故答案为：①②④． 三、解答题 19．用适当的方法解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了解一元二次方程，根据方程的特点选择恰当的方法是解题的关键； （1）用配方法解即可； （2）用因式分解法求解即可； （3）用因式分解法求解即可； （4）用因式分解法求解即可； 【解析】（1）解：配方得： 即， 所以； （2）解：分解因式得：， 则， 解得： （3）解：移项并分解因式得： 则， 所以； （4）解：分解因式得：， 则， 20．如图，在宽为，长为的矩形耕地上，修筑同样宽的三条道路，把耕地分成大小相等的六块作试验田，要使试验田面积为，求道路的宽度． 【答案】道路的宽为． 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找出题中的等量关系是解本题的关键．耕地的面积矩形耕地的面积三条道路的面积道路重叠部分的两个小正方形的面积．如果设道路宽，可根据此关系列出方程求出的值，然后将不合题意的舍去即可． 【解析】解：设道路宽为， 根据题意，得：， 整理，得：， 解得：，， 经检验，是原方程的解，但，不符合题意，舍去； 答：道路的宽为． 21．已知：平行四边形的两边的长是关于的方程的两个实数根． (1)试说明：无论取何值方程总有两个实数根； (2)当为何值时，四边形是菱形？求出这时菱形的边长． 【答案】(1)证明见解析 (2)2 【分析】此题主要考查了一元二次方程的解法以及菱形的性质和根的判别式等知识，得出的值是解题关键． （1）利用根的判别式求出的符号进而得出答案； （2）利用菱形的性质以及一元二次方程的解法得出答案． 【解析】（1）证明：方程， ， 无论取何值方程总有两个实数根； （2）解：四边形是菱形， ， ， ， 方程为， ， 即菱形的边长为2． 22．一个不透明的口袋里装有分别标有汉字“喜”、“迎”、“峰”、“会”的四个小球，除汉字不同之外，小球没有任何区别，每次摸球前先搅拌均匀再摸球． 若从中任取一个球，求球上的汉字刚好是“峰”的概率； 从中任取一球，不放回，再从中任取一球，请用树状图或列表法，求取出的两个球上的汉字恰能组成“喜迎”或“峰会”的概率． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）直接利用概率公式求解即可求得答案； （2）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与取出的两个球上的汉字恰能组成“喜迎”或“峰会”的情况，再利用概率公式即可求得答案； 【解析】解：（1）∵有汉字“喜”、“迎”、“峰”、“会”的四个小球，任取一球，共有4种不同结果，∴球上汉字是“峰”的概率为 （2）画树状图如下：    所有等可能的情况有12种，其中取出的两个球上的汉字恰能组成“喜迎”或“峰会”的情况有4种， 取出的两个球上的汉字恰能组成“喜迎”或“峰会”的概率： 【点睛】此题考查了列表法或树状图法求概率．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．注意掌握放回试验与不放回实验的区别． 23．如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，．    (1)作出关于轴的轴对称图形； (2)以原点为位似中心，在轴的右侧画出的一个位似，使它与的相似比为，并分别写出点，的对应点，的坐标； (3)请直接写出的面积为______． 【答案】(1)见解析 (2)见解析，   (3)10 【分析】本题考查轴对称变换，位似变换，正确掌握位似图形的性质得出对应点位置是解答本题的关键． （1）根据轴对称的性质得出对应点位置，再顺次连接即可； （2）直接利用位似比得出对应点位置，再顺次连接即可，最后根据所画出图形即得出其对应坐标； （3）用长方形减去周围三个小直角三角形的面积即可求解． 【解析】（1）解：如图所示，即为所求；    （2）解：如图所示，即为所求；    由图可知，，； （3）的面积为， 故答案为：10． 24．如图，在菱形中，对角线与相交于点，过点作的平行线，过点作的平行线，两直线相交于点． (1)求证：四边形是矩形． (2)若，，求菱形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)菱形的面积 【分析】本题考查了矩形的判定与性质，菱形的性质： （1）先证四边形是平行四边形，再由菱形的性质得，即可得出结论； （2）由矩形的性质得，，继而可得菱形对角线长，再由菱形面积公式求出面积即可． 【解析】（1）证明：，， 四边形是平行四边形， 四边形是菱形， ， ， 四边形是矩形； （2）解：四边形是矩形， ，， ，， ，， 四边形是菱形， ，， 菱形的面积． 25．如图，在中，点D，E，F分别在边上，，． (1)求证：． (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)8 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质与判定： （1）由平行线的性质得到，再由相似三角形的判定定理证明即可； （2）先得到，再证明，据此根据相似三角形对应边成比例进行求解即可． 【解析】（1）证明：∵，， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 26．直角三角形在平面直角坐标系中的位置如图所示，，的长是方程的两个根（）．将绕原点O顺时针旋转得到，点的对应点为，连接．点E从点D出发，以每秒个单位长度的速度沿着射线运动，设点E运动的时间为t秒，过点E作轴于点F，以为斜边向左作等腰直角三角形，连接． (1)求点的坐标； (2)设的面积为，求S与t的关系式； (3)在平面内是否存在点H，使以C，D，G，H为顶点的四边形为正方形？若存在，请直接写出点H的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)存在，点的坐标为或，理由见解析 【分析】（1）求出方程分别得出的长，根据旋转的性质得出，则结论可得； （2）根据题意可得、均为等腰直角三角形，设点E运动的时间为t秒， 则，，然后分时；时；根据三角形面积公式得出关系是即可； （3）先根据等腰直角三角形的性质得出点在射线上运动，然后分：当以C，D，G，H为顶点的正方形以为对角线时；当以C，D，G，H为顶点的正方形以为边时；两种情况进行讨论，根据正方形的性质以及全等三角形的判定与性质得出点的坐标，然后验证是否在射线上，若在，则点存在；若不在，则点不存在；据此解答即可． 【解析】（1）解：， 解得：， ∵，的长是方程的两个根（）， ∴， ∴点， ∵将绕原点O顺时针旋转得到， ∴， ∴点； （2）∵， ∴为等腰直角三角形， ∵轴， ∴为等腰直角三角形， 设点E运动的时间为t秒， 则，， 当时，， ∴； 当时，， ∴， 综上所述：； （3）存在，点的坐标为或， 理由如下： ∵， ∴， 如图，过点作于点， 当时，点，则， ∴点， 当时，点，则， ∴点， 当时，点，则， ∴点， 设直线的解析式为， 则， 解得：， ∴直线的解析式为， 当时，， 所以点在直线上， 由此可知点在射线上运动， 如图： 当以C，D，G，H为顶点的正方形以为对角线时， ， ∴， 过点作轴于点，过点作交延长线于点， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 设点横坐标为，即，则， ∴在中，， 即， 解得：，（舍）， ∴， ∴点， ∵点在射线上， ∴此正方形存在， 过点作轴于， 同理可得：， ∴， ∴点的坐标为； 当以C，D，G，H为顶点的正方形以为边时， 过点作轴于点， 同理可得， ∴， ∴点， ∵点在射线上， ∴此正方形存在， 同理可得， ∴， ∴， 综上所述，点的坐标为或． 【点睛】本题考查了旋转的性质，函数解析式，正方形的性质，全等三角形的判定与性质，求一次函数解析式等知识点，灵活运用所学知识点解题是关键，注意分类讨论． 27．【阅读】如图1，若，且点B，D，C在同一直线上，则我们把与称为旋转相似三角形． 【理解】（1）如图2，和是等边三角形，点D在边上，连接．求证：与是旋转相似三角形． 【应用】（2）如图3，与是旋转相似三角形，，求证：． 【拓展】（3）如图4，是四边形的对角线，，试在边上确定一点E，使得四边形是矩形，并说明理由． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）过点A作，垂足为E，则四边形是矩形，理由见解析 【分析】（1）根据和是等边三角形，可得，，即有，利用点B、D、C在同一直线，可判断与是旋转相似三角形； （2 ）根据与是旋转相似三角形，得，即有，，可证，得，可得，根据可得．可证，即可求证； （3）过点A作，垂足为E，连接，可证得，可得，，可证，可求得，，设，则，可得方程，可得，根据利用勾股定理逆定理可得是直角三角形，可证四边形是矩形． 【解析】证明：∵和是等边三角形， ∴， ∴，， ∴， ∵点D在边上， ∴点B、D、C在同一直线， ∴与是旋转相似三角形； （2）证明：与是旋转相似三角形， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）解：过点A作，垂足为E，则四边形是矩形， 理由：连接， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 设，则， 在中，， ∴，解得， ∴， ∵， ∴， ∴是直角三角形， ∴， ∵， ∴四边形是矩形． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，全等的判定与性质，矩形的判定，勾股定理的应用，解方程等知识点，解题的关键是利用相似三角形解决问题，属于中考常考题型． ( 第 1 页 共 16 页 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$