特训09 期中选填压轴题（第1-6章，十四大题型）-2024-2025学年九年级数学上学期期中期末挑战满分冲刺卷（北师大版）

特训09 期中选填压轴题（第1-6章，十四大题型） 目录： 题型1：一元二次方程 题型2：特殊平行四边形求解问题 题型3：特殊平行四边形综合辨析 题型4：特殊平行四边形动态问题 题型5：特殊平行四边形最值问题 题型6：特殊平行四边形与平面直角坐标系 题型7：特殊平行四边形与函数图像 题型8：相似三角形求解问题 题型9：相似三角形综合辨析 题型10：相似三角形与方程（分类讨论） 题型11：相似三角形与特殊平行四边形综合 题型12：反比例函数综合辨析 题型13：反比例函数几何求解问题 题型14：其他概率、视图等问题 题型1：一元二次方程 1．对于一元二次方程，下列说法： ①若，则； ②若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根； ③若是方程的一个根，则一定有成立； ④若是一元二次方程的根，则 其中正确的：（    ） A．只有① B．只有①② C．①②③ D．只有①②④ 2．定义：我们把关于x的一元二次方程M：与N：（，）称为一元二次方程的一对“颠倒方程”．如的“颠倒方程”是，则下列结论不正确的是（   ） A．若方程M有实数根，则方程N也有实数根 B．若6是方程M的一个根，则方程N一定有一个根 C．若方程M和方程N有一个相同的根，则这个根一定是1 D．若，则方程M与方程N都有实数根 3．新定义，若关于x的一元二次方程：与，称为“同族二次方程”．如与是“同族二次方程”．现有关于x的一元二次方程：与是“同族二次方程”．那么代数式能取的最小值是（   ） A．2011 B．2013 C．2018 D．2023 题型2：特殊平行四边形求解问题 4．如图，在菱形中，对角线、交于点O，以为斜边作，与交于点F，连接，使得，且，若，则菱形的周长为（　　） A． B． C． D．4 5．如图，正方形的边长为，以为腰作等腰，，平分交于点G，交的延长线于点E，连接．若，则 ． 题型3：特殊平行四边形综合辨析 6．如图，P为正方形的对角线上任一点，过点P作于点E，于点F，连接．给出以下4个结论，其中，所有正确的结论是（　　） ①是等腰直角三角形；②；③；④． A．①② B．①④ C．①②④ D．①③④ 7．知图，在菱形中，对角线、交于点，点E、F分别在边、上（点E不与A、B重合）．且，、分别交于点P、Q，连结、．给出下面四个结论：①平分四边形的周长；②四边形是矩形；③平分；④当时，．上述结论中，所有正确结论的序号是 ．    8．如图，在中，， ， 把绕点A逆时针旋转得到， 点D与点B对应，点 D 恰好落在上，过E作交 的延长线于点F， 连接并延长交于点G，连接交于点 H． 下列结论： ①；  ②；③；④其中正确的有 （填正确的序号）． 题型4：特殊平行四边形动态问题 9．如图，在菱形中，，，点、分别为、上的动点，，点从点向点运动过程中，的长度（   ） A．逐渐增加 B．先减小再增加 C．恒等于 D．恒等于4 10．如图，在矩形中，为对角线的中点，．动点在线段上，动点在线段上，点，同时从点出发，以相同的速度分别向终点，（包括端点）运动．点关于，的对称点为，；点关于，的对称点为，．在整个过程中，四边形形状的变化依次是（    ） A．平行四边形矩形平行四边形菱形 B．平行四边形菱形平行四边形菱形 C．菱形矩形平行四边形菱形 D．菱形平行四边形矩形平行四边形 11．如图，在矩形中，为边的四等分点，连接，将矩形沿折叠，点落在点处，点落在点处，与交于点，连接．若，，则点到的距离为 ． 题型5：特殊平行四边形最值问题 12．如图，在菱形中，，．E是边上一动点，过点E分别作于点F，于点G，连接，则的最小值为（　　） A．2.4 B．3 C．4.8 D．4 13．如图，正方形的边长为，O是对角线上一动点（点O与端点B，D不重合），于点M，于点N，连接，则的最小值为（   ） A．1 B． C． D． 题型6：特殊平行四边形与平面直角坐标系 14．如图，在平面直角坐标系中，四边形为正方形，点坐标为，点坐标为，线段轴，点在轴上，点的坐标为，若正方形沿轴左右运动，连接、，则在运动过程中，四边形周长的最小值是（    ）    A． B． C． D． 题型7：特殊平行四边形与函数图像 15．如图1，在矩形中，P为边上一点，连结，将矩形沿折叠，记与矩形重叠部分的面积为S，设的长为x，S关于x的函数图象如图2所示，则下列说法错误的是（   ） A．当，S为关于x的一次函数 B．， C．当，S为关于x的二次函数 D．图象过点 题型8：相似三角形求解问题 16．如图，矩形中，，点在边上，且，于点，连接，的延长线交于点，交于点，则 ．    17．如图，在中，，分别以，，为边向外作正方形、、，连结，和．若，，则的面积为 ． 题型9：相似三角形综合辨析 18．如图，在中，，点为边上一动点（不与点B、C重合），垂直交于点E，垂足为点H，连接并延长交于点F，下面结论错误的是（   ） A．的最小值为 B．若是边上的中线，则 C．若平分，则 D．若，则 19．如图，正方形，点在边上，且，，垂足为，与交于点，延长至，使，有如下结论：①；②；③；④．上述结论中，正确的个数是（　　） A．个 B．个 C．个 D．个 题型10：相似三角形与方程（分类讨论） 20．如图，在中，，，，动点从点出发以每秒1个单位长度的速度沿匀速运动；同时点从点出发同样的速度沿匀速运动．当点到达点时，、同时停止运动，设运动时间为秒，当为 时，以、、为顶点的三角形是等腰三角形． 21．如图，中，，点D是边的中点，动点P从点C出发，沿的方向在边上以每秒2个单位的速度向点B移动，运动至点B即停止．连接，当点P运动时间 时，线段截为两部分所得的三角形与相似． 题型11：相似三角形与特殊平行四边形综合 22．如图，正方形中，为的中点，的垂直平分线分别交、及的延长线于点，连接，、，连接并延长交于点，则下列结论中：①；②；③；④；⑤；⑥；正确的结论的个数为（    ）    A．3 B．4 C．5 D．6 23．如图，在矩形ABCD中，，P是对角线AC上的动点，连接DP，将直线DP绕点P顺时针旋转，使旋转角等于，且，即．连接CG，则CG最小值为（    ） A． B． C． D． 24．如图，在矩形ABCD中，，F为DC边上的中点，将矩形沿AF折叠，使得点D落在点处，延长交BC于点G，在线段上取点E，使得，过点E作交BC于点P，连结PF交于点H，若，则 ． 题型12：反比例函数综合辨析 25．反比例函数和在第一象限内的图象如图所示，点在的图象上，轴，交的图象于点，轴，交的图象于点．当点在的图象上运动时，以下结论：①与的面积相等；②与始终相等；③四边形的面积不会发生变化；④当点是的中点时，点一定是的中点．其中一定正确的是（   ） A．①②③④ B．①③ C．②③④ D．①③④ 26．如图，一次函数的图象与轴、轴交于、两点，与反比例函数的图象相交于、两点，分别过、两点作轴，轴的垂线，垂足为、，连接，，，写出下列五个结论：①与的面积相等；②；③；④；⑤，其中正确结论的个数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 题型13：反比例函数几何求解问题 27．如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点的坐标为，点在轴正半轴上，点在反比例函数的图像上，过点作轴，交反比例函数的图像于点．若，则的长为 ．    28．如图，点A是平面直角坐标系中第一象限内的点，将线段绕着点A顺时针方向旋转至，以为边作菱形，边分别与反比例函数交于点E、F，且轴，，连接，当，时，k的值为 ． 题型14：其他概率、视图等问题 29．在某中学的迎国庆联欢会上有一个小嘉宾抽奖的环节，主持人把分别写有“我”、“爱”、“祖”、“国”四个字的四张卡片分别装入四个外形相同的小盒子并密封起来，由主持人随机地弄乱这四个盒子的顺序，然后请出抽奖的小嘉宾，让他在四个小盒子的外边也分别写上“我”、“爱”、“祖”、“国”四个字，最后由主持人打开小盒子取出卡片，如果每一个盒子上面写的字和里面小卡片上面写的字都不相同就算失败，其余的情况就算中奖，那么小嘉宾中奖的概率为（    ） A． B． C． D． 30．用小立方块搭成的几何体，从正面看和从上面看的形状图如下，则组成这样的几何体需要的立方块个数为(    )    A．最多需要8块，最少需要6块 B．最多需要9块，最少需要6块 C．最多需要8块，最少需要7块 D．最多需要9块，最少需要7块 ( 第 1 页 共 16 页 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 特训09 期中选填压轴题（第1-6章，十四大题型） 目录： 题型1：一元二次方程 题型2：特殊平行四边形求解问题 题型3：特殊平行四边形综合辨析 题型4：特殊平行四边形动态问题 题型5：特殊平行四边形最值问题 题型6：特殊平行四边形与平面直角坐标系 题型7：特殊平行四边形与函数图像 题型8：相似三角形求解问题 题型9：相似三角形综合辨析 题型10：相似三角形与方程（分类讨论） 题型11：相似三角形与特殊平行四边形综合 题型12：反比例函数综合辨析 题型13：反比例函数几何求解问题 题型14：其他概率、视图等问题 题型1：一元二次方程 1．对于一元二次方程，下列说法： ①若，则； ②若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根； ③若是方程的一个根，则一定有成立； ④若是一元二次方程的根，则 其中正确的：（    ） A．只有① B．只有①② C．①②③ D．只有①②④ 【答案】D 【分析】根据一元二次方程解的含义、一元二次方程根的判别式等知识逐个分析即可． 【解析】由，表明方程有实数根﹣1，表明一元二次方程有实数解，则，故①正确； ∵方程有两个不相等的实根， ∴方程有两个不相等的实根， 即a与c异号． ∴-ac>0， ∴， ∴方程必有两个不相等的实根； 故②正确； ∵是方程的一个根， ∴， 即 当时，一定有成立； 当c=0时，则不一定成立，例如：方程，则； 故③错误； ∵是一元二次方程的根， ∴， ∴， ∴， 故④正确； 故选：D． 【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式、一元二次方程的解等知识，熟练掌握这些知识是解答本题的关键． 2．定义：我们把关于x的一元二次方程M：与N：（，）称为一元二次方程的一对“颠倒方程”．如的“颠倒方程”是，则下列结论不正确的是（   ） A．若方程M有实数根，则方程N也有实数根 B．若6是方程M的一个根，则方程N一定有一个根 C．若方程M和方程N有一个相同的根，则这个根一定是1 D．若，则方程M与方程N都有实数根 【答案】C 【分析】本题主要考查了根的判别式、一元二次方程的根等知识点，根据两方程的系数找出两方程的根的关系是解题的关键． 由根的判别式可知方程M、N的根的判别式相同，从而判定A；将代入方程M中，即可得出，等式两边同时除以36即可得出，从而判定B选项；根据方程M、N有相同的根，可得出，再结合，，即可得出，求出x的值即可得出C选项；根据题意，选择两方程的一个根，代入条件即可判断D选项． 【解析】解：A．方程M：的根的判别式，方程N：的根的判别式， ∴方程M有实数根，则方程N也有实数根，故该选项正确，不符合题意； B．若6是方程M的一个根，则有：，等式两边同时除以36即可得出，即也是方程N的一个根，故该选项正确，不符合题意； C．若方程M和N有一个相同的根， ∴， ∴， ∴， ∴或，故该选项符合题意； D．假设， 方程M的根为：， 若，则， 方程N的根为：， 若，则，故该选项正确，不符合题意． 故选：C． 3．新定义，若关于x的一元二次方程：与，称为“同族二次方程”．如与是“同族二次方程”．现有关于x的一元二次方程：与是“同族二次方程”．那么代数式能取的最小值是（   ） A．2011 B．2013 C．2018 D．2023 【答案】B 【分析】根据同族二次方程的定义，可得出a和b的值，从而解得代数式的最小值． 【解析】解：与为同族二次方程． ， ， ∴， 解得：． ， 当时，取最小值为2013. 故选：B. 【点睛】此题主要考查了配方法的应用，解二元一次方程组的方法，理解同族二次方程的定义是解答本题的关键． 题型2：特殊平行四边形求解问题 4．如图，在菱形中，对角线、交于点O，以为斜边作，与交于点F，连接，使得，且，若，则菱形的周长为（　　） A． B． C． D．4 【答案】B 【分析】本题考查的是菱形的性质、直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质，掌握菱形的四条边相等、对角线互相垂直、灵活运用全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． 连接，连接，根据菱形的性质和由直角三角形的性质准备条件，根据证明，得出，设，求出，由勾股定理可得出，进一步可得出结论． 【解析】连接，连接，如图所示， ∵菱形，， ，， 在中， ， 又 ， 又 在和中， ∵ 设，， 在中， （舍去） ∴ ∴菱形的周长为， 故选：B 5．如图，正方形的边长为，以为腰作等腰，，平分交于点G，交的延长线于点E，连接．若，则 ． 【答案】 【分析】如图：过点A作于点H，连接，交于点O，先根据等腰三角形的性质和勾股定理求出的长，再求出，从而可得，，然后根据等腰三角形的性质求出的长，最后在和中，利用勾股定理求解即可． 【解析】解：如图：过点A作于点H，连接，交于点O， ∵正方形， ∴，， ∵，， ∴，平分，， ∴， ∵平分，平分， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形，， ∴， ∴， 又∵，平分， ∴垂直平分， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，， 在中，， 设，则， 在和中，， 即，解得∶， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质、等腰三角形的判定与性质、线段垂直平分线的判定与性质、勾股定理、二次根式的化简等知识点，熟练掌握等腰三角形的三线合一是解题关键． 题型3：特殊平行四边形综合辨析 6．如图，P为正方形的对角线上任一点，过点P作于点E，于点F，连接．给出以下4个结论，其中，所有正确的结论是（　　） ①是等腰直角三角形；②；③；④． A．①② B．①④ C．①②④ D．①③④ 【答案】C 【分析】 此题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质，矩形的判定和性质，全等三角形的判定和性质解本题的关键是判断出四边形是矩形. 用正方形的性质和垂直的定义判断出四边形是矩形，从而判定②正确；直接用正方形的性质和垂直得出①正确，利用全等三角形和矩形的性质得出④正确，由点P是正方形对角线上任意一点，说明和不一定相等，得出③错误. 【解析】解：∵P为正方形的对角线上任一点， ∴，， ∵过点P作于点E，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴，故②正确， ∵是正方形的对角线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形，故①正确， 在和中， ， ∴， ∴， 在矩形中，， ∴．故④正确， ∵点P是正方形对角线上任意一点， ∴不一定等于， 只有时，，故③错误， 故选：C． 7．知图，在菱形中，对角线、交于点，点E、F分别在边、上（点E不与A、B重合）．且，、分别交于点P、Q，连结、．给出下面四个结论：①平分四边形的周长；②四边形是矩形；③平分；④当时，．上述结论中，所有正确结论的序号是 ．    【答案】①③④ 【分析】根据菱形性质可以判定出四边形为平行四边形，结合等腰三角形的判定与性质可以判定出为菱形，即可判断出①②③，利用勾股定理可以求出的长从而得出结论④． 【解析】解：四边形为菱形， ， ， 四边形为平行四边形，故②四边形是矩形无法判定，不符合题意； ， 垂直平分，， ， ， 为菱形， ，即 ①平分四边形的周长，正确，符合题意； ③平分，正确，符合题意； 为菱形， ，， ， 当时，， ， ，， ，故④正确，符合题意， 综上所述，正确的结论有：①③④， 故答案为：①③④． 【点睛】本题考查了菱形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，熟练掌握相关性质定理是解题关键． 8．如图，在中，， ， 把绕点A逆时针旋转得到， 点D与点B对应，点 D 恰好落在上，过E作交 的延长线于点F， 连接并延长交于点G，连接交于点 H． 下列结论： ①；  ②；③；④其中正确的有 （填正确的序号）． 【答案】①②③④ 【分析】连接、，可证四边形是矩形，，即可判断①③；根据①③的结论可推出垂直平分，进而可得是等腰直角三角形，从而可判断②；根据勾股定理证明④的准确性． 【解析】解：连接、，如图所示： ∵，， ∴， 由旋转得：， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，，， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点D是的中点， 即，故①正确； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，故③正确； ∵，， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵，， ∴，故②正确； 设交于， ∵是等腰直角三角形，， ∴和都是等腰直角三角形， ∴， 设， ∴，， ∴，， ∴， ， ∴， ∴， ∴， ∴ 即，故④正确； 综上所述，正确的有①②③④； 故答案为：①②③④． 【点睛】本题综合考查了矩形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，二次根式的混合运算等知识点，综合性较强． 题型4：特殊平行四边形动态问题 9．如图，在菱形中，，，点、分别为、上的动点，，点从点向点运动过程中，的长度（   ） A．逐渐增加 B．先减小再增加 C．恒等于 D．恒等于4 【答案】D 【分析】本题考查菱形的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，解题的关键是正确作出辅助线，证明三角形全等． 连接，由菱形的性质推出，判定、是等边三角形，得到，由，推出，判定，得到，于是得到． 【解析】解：连接， ∵四边形是菱形， ， ∴、是等边三角形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故选：D． 10．如图，在矩形中，为对角线的中点，．动点在线段上，动点在线段上，点，同时从点出发，以相同的速度分别向终点，（包括端点）运动．点关于，的对称点为，；点关于，的对称点为，．在整个过程中，四边形形状的变化依次是（    ） A．平行四边形矩形平行四边形菱形 B．平行四边形菱形平行四边形菱形 C．菱形矩形平行四边形菱形 D．菱形平行四边形矩形平行四边形 【答案】D 【分析】根据题意，分几个运动过程分别证明四边形是菱形，平行四边形，矩形，即可求解． 【解析】解：分几个运动过程分别讨论： ①当点E，F在点O准备出发时，如图，连接，    ∵四边形是矩形， ∴， 由轴对称可得，，，， ，，，， ∴， ， ， ， ∴， ∴四边形是菱形； ②点E，F离开点O运动时， ∵当点，同时从点出发，以相同的速度分别向终点，（包括端点）运动， ∴， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴，， ∵，， ∴， 由对称可得，， ∴， ∴ 由对称可得， ∴， 同理， ∴，即 ∴四边形是平行四边形， ③连接，，当时， ∵由对称可得，， 又， ∴， ∴， 由②可知四边形是平行四边形， ∴此时四边形是矩形； ④点E，F继续运动，则四边形是平行四边形； ⑤当运动结束，即分别与重合时，如图    此时点E，，B三点重合，点F，，D三点重合， 由对称有，， ∴，即， 由对称有，， ∴，， ∵在矩形中，， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形． 综上所述，在整个过程中，四边形形状的变化依次是菱形→平行四边形→矩形→平行四边形， 故选：D 【点睛】本题考查了菱形的性质与判定，平行四边形的性质与判定，矩形的性质与判定，轴对称的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键． 11．如图，在矩形中，为边的四等分点，连接，将矩形沿折叠，点落在点处，点落在点处，与交于点，连接．若，，则点到的距离为 ． 【答案】 【分析】过点F作于H点，由矩形的性质及折叠性质得，进而在中，由勾股定理建立方程求得，从而求得，再由勾股定理得：建立方程求得，即可求得． 【解析】解：过点F作于H点，如图； ∵四边形是矩形， ∴，，； ∴； 由折叠知：； ∴， ∴； ∵为边的四等分点，且， ∴； 设，则； 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：， 即， ∴； 设，则； 由勾股定理得：，， 即， ∴， 解得：， 即； ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，勾股定理，等角对等边等知识，利用勾股定理建立方程是解题的关键． 题型5：特殊平行四边形最值问题 12．如图，在菱形中，，．E是边上一动点，过点E分别作于点F，于点G，连接，则的最小值为（　　） A．2.4 B．3 C．4.8 D．4 【答案】A 【分析】本题考查了菱形的性质，勾股定理，矩形的判定和性质，掌握特殊四边形的判定和性质是解题关键．由菱形的性质和勾股定理，得出，证明四边形是矩形，得到，当时，有最小值，利用三角形面积公式，求出的长，即可得到答案． 【解析】解：如图，连接， 四边形是菱形，，． ，，， ， ，， ， 四边形是矩形， ， 当时，有最小值， ， ， 的最小值为2.4， 故选：A． 13．如图，正方形的边长为，O是对角线上一动点（点O与端点B，D不重合），于点M，于点N，连接，则的最小值为（   ） A．1 B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了正方形以及矩形的性质，勾股定理，垂线段最短，准确计算是解题的关键． 连接，证四边形是矩形，可得，当动点运动到时，根据“垂线段最短” ，可知点到点的距离最小，则此时长度的值最小，证明此时△是等腰直角三角形，据此即可求得答案 ． 【解析】解：连接， ∵四边形是正方形， ∴， 又∵，， ∴四边形是矩形， ∴，即取最小值时，最小， ∴当时，最短， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴． 故选：A． 题型6：特殊平行四边形与平面直角坐标系 14．如图，在平面直角坐标系中，四边形为正方形，点坐标为，点坐标为，线段轴，点在轴上，点的坐标为，若正方形沿轴左右运动，连接、，则在运动过程中，四边形周长的最小值是（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查轴对称最短问题，勾股定理，正方形的性质，平行四边形的判定与性质等知识，解题的关键是学会利用轴对称解决最短问题，属于中考填空题中的压轴题．在上截取，使得，作点F关于直线的对称点，连接交直线于G，即为．此时四边形周长，当最小时，四边形周长最小， 【解析】解：∵四边形为正方形，点A坐标为，点C坐标为，线段轴，点D的坐标为， ∴，，，， 在上截取，使得，则四边形是平行四边形， ∴； 作点F关于直线的对称点，连接交直线于G，即．    此时四边形周长， 当最小时，四边形周长最小， 当点D、A、在同一直线上，即点A与点G重合时，最小，最小值为． ∵，， ∴， 即最小值为， ∴四边形ADEB周长的最小值． 故选：A． 题型7：特殊平行四边形与函数图像 15．如图1，在矩形中，P为边上一点，连结，将矩形沿折叠，记与矩形重叠部分的面积为S，设的长为x，S关于x的函数图象如图2所示，则下列说法错误的是（   ） A．当，S为关于x的一次函数 B．， C．当，S为关于x的二次函数 D．图象过点 【答案】C 【分析】根据题意，分点在矩形内部和外部两种情况讨论，根据重叠部分的面积为S，列出关系式，逐一判断即可． 【解析】解：根据题意：， 当点在矩形内部时（包含边界）， 则重叠部分的面积为， 的长为定值， 此时，S为关于x的一次函数； 由函数图象可得：当时，点刚好落在边上， ∴当，S为关于x的一次函数；故A选项说法正确； 如图，当时， 此时，与重合，则， ， 此时，四边形是矩形， ， 此时，四边形是正方形， ∴， 此时，， ∴， 当点在矩形外部时， 如图，过点P作于点H，设交于点G，则四边形是矩形， ， ∴， 设，则， 在中，，即， ， 则重叠部分的面积为， 此时，S不是关于x的二次函数；则当，S不是关于x的二次函数；故C选项说法错误； 由函数图象可得：当时，点P与点D重合， 此时，， ∴，故选项B说法正确； 当时，， ∴图象过点，故选项D说法正确； 故选：C． 【点睛】本题主要考查了正方形的判定与性质、矩形的折叠问题、函数图象，勾股定理、三角形全等的判定与性质，灵活运用知识点、运用数形结合与分类讨论是解题的关键． 题型8：相似三角形求解问题 16．如图，矩形中，，点在边上，且，于点，连接，的延长线交于点，交于点，则 ．    【答案】 【分析】证明，，证明得，推出，作于，得出是的中点，即，令，分别求出和的长度，可得出，作于，得是的中点，求出，得，即可得解． 【解析】解：∵四边形是矩形， ∴，，，，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴，， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴，，， ∴， 如图，过点作于点，延长交于点，连接， ∴点是的中点，， ∴，， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴，即， ∴，， ∴， ∴，即， ∴点是的中点，即， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴， 设，则， ∴， ∵，， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴， 过点作于点， ∴， ∴，， ∴， ∴，即， ∴点是的中点， ∵点是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：．    【点睛】本题属于相似形的综合题，考查全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，三角形中位线定理等知识点．通过作辅助线构造相似三角形是解题的关键． 17．如图，在中，，分别以，，为边向外作正方形、、，连结，和．若，，则的面积为 ． 【答案】15 【分析】充分构造勾股弦图，利用等腰三角形的性质，正方形的性质，勾股定理计算即可． 【解析】解：∵，正方形、正方形、正方形， ∴，， ∴， ∴E，B，H三点共线， ∴， ∴， ∵， ∴， 设，则， 过点A作交的延长线于点T， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴E，A，T三点共线， 过点F作交的延长线于点S， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 过点G作交的延长线于点N，延长交于点M， 同理可证， ∴， ∴， ∴， 解得（舍去）， ∴，， ∴； 过点E作交的延长线于点R，过点A作于点Q， 则四边形，四边形都是正方形， ∴， ∴， ∴， ∴， 过点F作于O， 则， ∴的面积为， 故答案为：15． 【点睛】本题考查了勾股定理，正方形的性质，三角形全等的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握勾股定理，正方形的性质，三角形全等的判定和性质是解题的关键． 题型9：相似三角形综合辨析 18．如图，在中，，点为边上一动点（不与点B、C重合），垂直交于点E，垂足为点H，连接并延长交于点F，下面结论错误的是（   ） A．的最小值为 B．若是边上的中线，则 C．若平分，则 D．若，则 【答案】A 【分析】根据当最短时，点F为的中点，即可判断出选项A；先根据勾股定理求出，再根据三角形的面积公式求出，从而可以求出，即可判断出选项B；先作辅助线，然后根据题意可推出中位线，再根据直角三角形的性质以及平行线的性质可得到两个三角形相似，即可得到线段之间的比例，即可即可判断出选项C；设出边长，作出辅助线，根据直角三角形的性质得到两个三角形全等，根据全等三角形的性质可得到边长之间的关系以及角度之间的关系，进而得到两个三角形相似，根据相似三角形的性质即可即可判断出选项D． 【解析】解：∵， ∴点H在以为直径的圆上， 当最短时，点F为的中点， ∴， ∴， ∴的最小值为：， 故选项A错误，符合题意； ∵是边上的中线， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选项B正确，不符合题意； 过点C作交的延长线于点M， ， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选项C正确，不符合题意； 当时，设，则， ∴， 过点B作交的延长线于点N， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 又， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选项D正确，不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题考查了三角形的综合题，勾股定理，三角形的面积公式，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定和性质，三角形中位线的判定与性质，熟练掌握知识点并能作出合理的辅助线是解题的关键． 19．如图，正方形，点在边上，且，，垂足为，与交于点，延长至，使，有如下结论：①；②；③；④．上述结论中，正确的个数是（　　） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】根据正方形的四条边都相等，四个角都是直角可得，，根据等角的余角相等可得，根据两角及其一角的对边对应相等的三角形全等，全等三角形的对应边相等即可得出，判断①正确；根据正方形的的对边平行可得，根据有两个角对应相等的两个三角形是相似三角形，相似三角形的对应边之比相等可得，结合题意可求得，根据直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方可求得，即可求得，判断②正确；作于，设，，则，，根据直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方可求得，根据有两个角对应相等的两个三角形是相似三角形，相似三角形的对应边之比相等可得，求得，根据等角的余角相等可得，根据有两个角对应相等的两个三角形是相似三角形，相似三角形的对应边之比相等可得，求得，推得，根据垂直平分线上的点到两端点的距离相等可得，根据等边对等角和等角的余角相等可推得，判断③正确；设的面积为，根据相似三角形的对应边之比相等，面积比等于相似比的平方可得的面积为，的面积为，即可推得，判断④错误；即可得出答案． 【解析】解：∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴，故①正确； ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，故②正确； 作于，如图： 设，，则，，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴，故③正确； 设的面积为， ∵， ∴， ∴的面积为，的面积为， ∴的面积=的面积， ∴，故④错误； 综上①②③正确，共个， 故选：C． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，等角的余角相等，利用参数表示三角形的面积是解题的关键． 题型10：相似三角形与方程（分类讨论） 20．如图，在中，，，，动点从点出发以每秒1个单位长度的速度沿匀速运动；同时点从点出发同样的速度沿匀速运动．当点到达点时，、同时停止运动，设运动时间为秒，当为 时，以、、为顶点的三角形是等腰三角形． 【答案】秒或秒或秒 【分析】根据题意分三种情况讨论：当时，首先解得，易得，过作于，证明，由相似三角形的性质可得，代入数值并求解；当时，易得，，易得并求解；当时，过作于，易知，，证明，由相似三角形的性质可得，代入数值并求解． 【解析】解：①当时，如图1， 由题意得：， 在中，，， ∴， ∴， 过作于， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，解得秒； ②当时，如图2， 由题意得：， ∴， ∴，解得秒； ③当时，如图3， 过作于， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴，解得秒． 综上所述，的值是秒或秒或秒． 故答案为：秒或秒或秒． 【点睛】本题主要考查了勾股定理、等腰三角形的性质、相似三角形的判定与性质、一元一次方程的应用等知识，熟练掌握相关知识并灵活运用是解题关键． 21．如图，中，，点D是边的中点，动点P从点C出发，沿的方向在边上以每秒2个单位的速度向点B移动，运动至点B即停止．连接，当点P运动时间 时，线段截为两部分所得的三角形与相似． 【答案】2或或或 【分析】本题主要考查相似三角形性质的运用，掌握分类讨论思想是解题的关键． 由题意可知：线段截为两部分，然后分情况运用相似三角形的性质解答即可． 【解析】解：①当点P在上，即时，， 当时，,即，解得： ； 当时，,即，解得： ； ②如图：当点P在上时，，即， 当时，,即，解得：； 当时，,即，解得：． 故答案为：2或或或． 题型11：相似三角形与特殊平行四边形综合 22．如图，正方形中，为的中点，的垂直平分线分别交、及的延长线于点，连接，、，连接并延长交于点，则下列结论中：①；②；③；④；⑤；⑥；正确的结论的个数为（    ）    A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】过作于，证明得到，可得，即可判断①；设，，得到，根据勾股定理可得，根据相似三角形的性质可得，即可判断②；延长交于，则，根据全等三角形的性质可得，求得，由，得到不垂直，即可判断③；证明，，则，与不平行，即可判断④；设正方形的边长为，则，证明，得到，，根据即可得到结论，即可判断⑤；根据相似三角形的判定和性质即可得到结论，即可判断⑥，从而得到答案． 【解析】解：如图，过作于， ，   ， 四边形是正方形， ，， ，， 四边形是矩形， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， 是的中垂线， ， ，故①正确，符合题意； 为的中点， ， ， 设，， ， ， ， ， ， 是的垂直平分线， ， ，， ， ， ， ， ， ，故②正确，符合题意； 延长交于， ，   是的垂直平分线， ， 四边形是正方形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 不垂直于，故③错误，不符合题意； 是的中垂线， ， ， ， ， 在中，是的中点， ， ， ， 当时，，但，即， ，即， 与不平行，故④错误，不符合题意； 设正方形的边长为，则，， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 在中，由勾股定理得：， ， ， 延长、于， ，   ， ， ，， ， ， ， ， ， ，故⑤正确，符合题意； ， ， ， ， ， ， ，故⑥正确，符合题意， 综上所述，正确的有：①②⑤⑥，共4个， 故选：B． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、勾股定理、线段垂直平分线的性质、正方形的性质、三角形全等的判定与性质，熟练掌握以上知识点，添加适当的辅助线，是解此题的关键． 23．如图，在矩形ABCD中，，P是对角线AC上的动点，连接DP，将直线DP绕点P顺时针旋转，使旋转角等于，且，即．连接CG，则CG最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】作于H，连接HG延长HG交CD于F，作于H，证明，得=定值，则点G在射线HF上运动，故当时，CG的值最小，再证，可知，利用等积法求出HE的长即可． 【解析】解：如图，作于H，连接HG延长HG交CD于F，作于E， ∵四边形ABCD为矩形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴=定值， ∴点G在射线HF上运动， ∴当时，CG的值最小， ∵四边形ABCD是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 在中， ∵， 由勾股定理得：， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴CG的最小值为． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质、旋转的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理以及全等三角形的判定与性质等知识，作辅助线构造相似三角形得出点G的运动路径是解题的关键． 24．如图，在矩形ABCD中，，F为DC边上的中点，将矩形沿AF折叠，使得点D落在点处，延长交BC于点G，在线段上取点E，使得，过点E作交BC于点P，连结PF交于点H，若，则 ． 【答案】 【分析】证明，，连接， 证明四边形是平行四边形，利用折叠的性质，矩形的性质，勾股定理，三角形中位线定理，平行线分线段成比例定理，平行四边形的性质，解答即可． 【解析】解：∵ 矩形ABCD中，，F为DC边上的中点，将矩形沿AF折叠，使得点D落在点处， ∴，，，， ，， ∵， ∴， ∴， 连接， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵ ∴ ∴， ∴，， ∴， 连接， 则四边形是平行四边形， ∴H为的中点，， ∴，， 过点H作于点， 则， ∴ ∴， ∴， ∴平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设，则 根据勾股定理，得， 解得， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了折叠的性质，矩形的性质，勾股定理，三角形中位线定理，平行线分线段成比例定理，平行四边形的判定和性质，熟练掌握性质和定理是解题的关键． 题型12：反比例函数综合辨析 25．反比例函数和在第一象限内的图象如图所示，点在的图象上，轴，交的图象于点，轴，交的图象于点．当点在的图象上运动时，以下结论：①与的面积相等；②与始终相等；③四边形的面积不会发生变化；④当点是的中点时，点一定是的中点．其中一定正确的是（   ） A．①②③④ B．①③ C．②③④ D．①③④ 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数系数k的几何意义、反比例函数的图象以及反比例函数图象上点的坐标特征，由点均在反比例函数的图象上，利用反比例函数系数的几何意义即可得，即可判断①；设点的坐标为，则点的坐标为，点，求出的长度，由此可得出与的关系无法确定，即可判断②；利用分割图形求面积法即可得出，即可判断③；设点的坐标为，则点的坐标为，点，由点是的中点可得出，将其带入点的坐标即可得出点是的中点，即可判断④，掌握反比例函数的图象和性质是解题的关键． 【解析】解：①∵点在反比例函数的图象上，且轴，轴， ∴，， ∴，故①正确； ②设点的坐标为，则点的坐标为，点， ∴，， ∵与的关系无法确定，故结论②错误； ③∵点在反比例函数的图象上，且轴，轴， ∴， ∴，故结论③正确； ④设点的坐标为，则点的坐标为，点， ∵点是的中点， ∴， ∴，， ∴点是的中点，故结论④正确； ∴正确的结论为①③④， 故选：． 26．如图，一次函数的图象与轴、轴交于、两点，与反比例函数的图象相交于、两点，分别过、两点作轴，轴的垂线，垂足为、，连接，，，写出下列五个结论：①与的面积相等；②；③；④；⑤，其中正确结论的个数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】设，则，根据三角形的面积求出的面积，同法求出的面积，即可判断①；由①的结论可得和两三角形边上的高相等，进而可判断②；根据全等三角形的判定即可判断③；由，可得，可判断④；证出平行四边形和平行四边形，可推出，进而可判断⑤；于是可得答案． 【解析】解：①设，则，由图象可知，， ∴的面积是：， 设，则， 由图象可知：，， 的面积是：， ∴的面积的面积，故①正确； ②和以为底，则两三角形边上的高相等， ∴，故②正确； ③∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴，而只有当时，才有， 即不一定等于，故不一定成立；故③错误； ④∵， ∴，故④正确； ⑤∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， 同理， ∴，故⑤正确． 综上，正确的结论有4个． 故选：C． 【点睛】本题是反比例函数综合题，主要考查了反比例函数的图象与性质、反比例函数系数k的几何意义、三角形的面积、全等三角形的判定以及平行四边形的判定和性质，相似三角形的判定与性质等知识，熟练掌握上述知识是解题的关键． 题型13：反比例函数几何求解问题 27．如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点的坐标为，点在轴正半轴上，点在反比例函数的图像上，过点作轴，交反比例函数的图像于点．若，则的长为 ．    【答案】/ 【分析】本题考查了矩形的性质，相似三角形的的判定和性质，坐标与图形，反比例函数图象上点的坐标特征，过点作轴于，过点作于，再过点作的延长线于，可证，得到，进而由可得，即可得点的横坐标为，得到点的纵坐标为，即得，同理可得，得到，，即得点的纵坐标为，进而得点的横坐标为，得到，再根据线段的和差关系即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【解析】解：过点作轴于，过点作于，再过点作的延长线于，则， ∴， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴点的横坐标为， ∴点的横坐标为， 把代入得，， ∴点的纵坐标为， ∴， 同理可得， ∴， ∴， ∴，， ∴点的纵坐标为， 把代入得，， ∴， ∴点的横坐标为， ∴， ∴， 故答案为：．    28．如图，点A是平面直角坐标系中第一象限内的点，将线段绕着点A顺时针方向旋转至，以为边作菱形，边分别与反比例函数交于点E、F，且轴，，连接，当，时，k的值为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了反比例函数与四边形的综合，全等三角形的判定和性质，勾股定理，反比例函数图象上点的坐标特征，菱形的性质，矩形的判定和性质等知识点．延长交x轴于点G，过点F作轴于点H，证明，得到，．根据四边形是菱形，，得到，设，则，根据勾股定理求出，求出点，即可求出，证四边形为矩形，得到，求出点，根据，，，即可求出的值，则可以得出点的坐标，根据点F在反比例函数图象上，即可得到答案． 【解析】解：延长交x轴于点G，过点F作轴于点H，如图所示， ∵轴，，， ∴轴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴，， ∵四边形是菱形，， ∴， 设，则， ∴， ∴， ∴， ∵反比例函数的图象经过点E， ∴， ∵，，， ∴四边形为矩形， ∴， ∵点F在反比例函数的图象上， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴ ， ， 解得：， ∵， ∴， ∴点， ∵点F在反比例函数的图象上， ∴， 故答案为：． 题型14：其他概率、视图等问题 29．在某中学的迎国庆联欢会上有一个小嘉宾抽奖的环节，主持人把分别写有“我”、“爱”、“祖”、“国”四个字的四张卡片分别装入四个外形相同的小盒子并密封起来，由主持人随机地弄乱这四个盒子的顺序，然后请出抽奖的小嘉宾，让他在四个小盒子的外边也分别写上“我”、“爱”、“祖”、“国”四个字，最后由主持人打开小盒子取出卡片，如果每一个盒子上面写的字和里面小卡片上面写的字都不相同就算失败，其余的情况就算中奖，那么小嘉宾中奖的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】得出总的情况数和失败的情况数，根据概率公式计算出失败率，从而得出中奖率． 【解析】解：设“我”、“爱”、“祖”、“国“四个字对应的字母为a、b、c、d，则所有的可能性为：（abcd）、（abdc）、（acbd）、（acdb）、（adbc）、（adcb）、（badc）、（bacd）、（bcad）、（bcda）、（bdac）、（bdca）、（cabd）、（cadb）、（cbad）、（cbda）、（cdab）、（cdba）、（dabc）、（dacb）、（dbac）、（dbca）、（dcab）、（dcba），则都不相同的可能有：（badc）、（bcda）、（bdac）、（cadb）、（cdab）、（cdba）、（dabc）、（dcab）、（dcba），故小嘉宾中奖的概率为：． 故选：B． 【点睛】本题考查了利用概率公式求概率．正确得出失败情况的总数是解答本题的关键．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 30．用小立方块搭成的几何体，从正面看和从上面看的形状图如下，则组成这样的几何体需要的立方块个数为(    )    A．最多需要8块，最少需要6块 B．最多需要9块，最少需要6块 C．最多需要8块，最少需要7块 D．最多需要9块，最少需要7块 【答案】C 【分析】易得这个几何体共有3层，由俯视图可知第一层正方体的个数为4，由主视图可知第二层最少为2块，最多的正方体的个数为3块，第三层只有一块，相加即可. 【解析】由主视图可得：这个几何体共有3层， 由俯视图可知第一层正方体的个数为4， 由主视图可知第二层最少为2块，最多的正方体的个数为3块， 第三层只有一块， 故：最多为3+4+1=8个 最少为2+4+1=7个 故选C 【点睛】本题考查由三视图判断几何体，熟练掌握立体图形的三视图是解题关键. 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