特训13 期中必刷解答题（全国期中精选，十一大题型）-2024-2025学年高一数学期中期末挑战满分冲刺卷（人教A版2019必修第一册，浙江专用）

特训13 期中必刷解答题（全国期中精选，十一大题型） 目录： 题型1：集合与常用逻辑用语 题型2：解不等式 题型3：根据基本不等式求最值 题型4：不等式证明题 题型5：二次函数与不等式 题型6：基本不等式、函数的实际应用 题型7：结构不良题型、其他题型 题型8：函数的概念与表示 题型9：函数的图像 题型10：函数的性质 题型11：抽象函数 题型1：集合与常用逻辑用语 1．（23-24高一上·四川达州·期中）设集合，.求： (1)； (2). 【答案】(1)或 (2)或 【分析】（1）先求出，再由补集定义计算即可； （2）分别求出的补集，再由并集定义计算即可． 【解析】（1）因为集合，， 所以， 所以或； （2）因为集合，， 所以或，或， 所以或． 2．（24-25高一上·广西·期中）已知集合，. (1)当时，求； (2)若，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据集合交集、和补集的定义进行求解即可； （2）根据集合并集的运算性质，结合子集的性质进行求解即可. 【解析】（1）当时，，所以. 所以. （2）因为，所以. 所以，解得， 所以m的取值范围是. 3．（24-25高一上·黑龙江鹤岗·期中）已知，或． (1)若，求的取值范围； (2)若，求的取值范围. 【答案】(1)或 (2)或 【分析】（1）分类讨论和两种情况，结合得到参数满足条件从而求解； （2）将转化为，分类讨论和两种情况，得到参数满足条件. 【解析】（1）①若，满足，此时，解得：； ②若，则，此时需满足， 解得. 综上，的取值范围是或. （2）若，则. ①若，满足，此时； ②若，则，此时需满足或， 解得或. 综上，的取值范围是或. 4．（24-25高一上·河南·期中）已知命题. (1)若命题均为真命题，求的取值范围； (2)若和中恰有一个真命题，求的取值范围. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据全称命题为真命题求出参数的取值范围即可； （2）由题意可得有真假和假真两种情况，分别计算参数的取值范围，并取并集可得结果. 【解析】（1）当为真命题时，，解得， 当为真命题时，， 故的取值范围为. （2）当为真命题，为假命题时，得， 当为假命题，为真命题时，得， 故的取值范围为或. 5．（23-24高一上·重庆沙坪坝·期中）设全集，集合，. (1)若集合恰有一个元素，求实数的值； (2)若，，求. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）依据题意可得，计算即可. （2）根据，分别计算出，然后得到集合，最后根据补集、交集进行运算即可. 【解析】（1）集合A恰有一个元素，，解得：； （2）， ； 又， ； 即， 6．（23-24高一上·江苏宿迁·期中）已知集合． (1)当时，请判断“”是“”的什么条件；（选择“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”之一） (2)若命题“”是真命题，求实数的取值范围． 【答案】(1)充分不必要条件 (2) 【分析】（1）分别求出集合A和B，即可判断； （2）因为命题“”是真命题，所以， 然后分类讨论求出集合B，即可判定. 【解析】（1）由，得，所以， 当时，由，得，所以， 因为为的真子集，所以“”是“”的充分不必要条件. （2）因为命题“”是真命题，所以， 由，得， ①若，则，，舍去， ②若，则，，舍去， ③若，则，因为，所以， 综上，的取值范围是． 题型2：解不等式 7．（24-25高一上·浙江杭州·期中）解下列一元二次不等式.（本题答案必须用集合表示） (1)； (2). 【答案】(1)或， (2) 【分析】（1）（2）利用因式分解，结合一元二次不等式解的特征即可求解. 【解析】（1）由可得，解得或， 故不等式的解为或， （2）由可得，进而可得， 解得， 故不等式的解为. 8．（23-24高一上·广东肇庆·期中）（1）解不等式：； （2）解关于的不等式. 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）由一元二次不等式的解法求解即可； （2）分式不等式转化为一元二次不等式求解即可． 【解析】（1）不等式，即，解得， 故不等式的解集为； （2）不等式变形为，则， 解得，故不等式的解集为. 9．（23-24高一上·内蒙古赤峰·期中）求下列不等式的解集： (1) (2) (3) 【答案】(1)； (2)； (3). 【分析】（1）（2）（3）应用一元二次不等式的解法求各不等式的解集. 【解析】（1）由，则或， 所以或，故不等式解集为. （2）由，可得， 所以不等式解集为. （3）由已知，显然无解， 所以不等式解集为. 10．（23-24高一上·辽宁·期中）求下列方程组及不等式组的解集. (1)； (2). 【答案】(1) (2) 【分析】（1）代入消元法求解即可； （2）分别解出两个不等式，然后取交集. 【解析】（1）， 从而解得或， 故解集为. （2）不等式 等价于，解得， 不等式等价于，解得， 所以不等式组 的解集为. 11．（24-25高一上·辽宁辽阳·期中）已知，，且． (1)求的最大值； (2)求的最小值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）用表示，根据二次函数的性质求得正确答案. （2）利用基本不等式求得正确答案. 【解析】（1）依题意，，，且， 所以，所以， 二次函数的开口向上，对称轴为， 所以当时，取得最大值为，此时. 所以的最大值为. （2） ， 当且仅当时等号成立， 所以的最小值为. 题型3：根据基本不等式求最值 12．（23-24高一上·广东珠海·期中）已知，，. (1)求的最小值； (2)求的最小值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用基本不等式，从而求解； （2）利用，可得，然后利用基本不等式“”的应用，即可求解. 【解析】（1）由题意知，， 所以，解得， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为. （2）由，，，可得， 所以， 当且仅当，即时取等号. 故的最小值为. 13．（24-25高一上·河南·期中）已知. (1)比较与的大小; (2)若，求ab的最小值; (3)若，求的最小值. 【答案】(1) (2)49 (3)8 【分析】（1）作差比较即可； （2）利用基本不等式求解即可； （3）先用基本不等式求出，再设，把已知等式变形为的等式，然后解一元二次不等式即可； 【解析】（1）由题意得， 因为，所以, 得， （2）由，得， 因为，所以， 得，得，即， 当且仅当，即时，等号成立， 故ab的最小值为49 ， （3）由题意得， 当且仅当，等号成立， 由，得， 设，则，得， 得，即，当时，取得最小值，且最小值为8. 题型4：不等式证明题 14．（23-24高一上·安徽马鞍山·期中）已知，求证: (1); (2). 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）作“1”代换，根据基本不等式求解； （2）作“1”代换，根据基本不等式求解. 【解析】（1）， ， 当且仅当，即时等号成立. （2）， . 当且仅当时，即时等号成立. 15．（23-24高一上·陕西西安·期中）设，均为正实数． (1)求证： (2)若，证明：． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）依题意只需证明，再利用作差法证明即可； （2）由（1）得，则，即可得解. 【解析】（1），，，． 要证，即证． ， ，即，当且仅当时等号成立． （2）因为，，且， 所以，且，则，， 由（1）得， ， 当且仅当，即时等号成立． 16．（24-25高一上·上海·期中）已知a、b、c、，证明下列不等式，并指出等号成立的条件： (1)； (2)． 【答案】(1)证明见解析，当且仅当 (2)证明见解析，当且仅当 【分析】（1）利用作差法证明； （2）利用基本不等式证明； 【解析】（1）因为， ， ， 所以成立； 当且仅当时，等号成立； （2）， ． 所以． 当且仅当时，等号成立． 17．（23-24高一下·山东淄博·期中）（1）已知，求证：； （2）求证：． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析 【分析】（1）根据重要不等式可得，从而得到，同理得到其余两式，再将三式相加即可得证； （2）利用作差法证明即可. 【解析】（1）因为（当且仅当时取等号），， 所以①； 同理可得②；③； ①、②、③相加得， 所以， 又，所以， 所以，当且仅当时取等号． （2）因为 ，当且仅当时取等号， 所以， 所以， 即， 又，当时取等号， 所以，当且时取等号． 题型5：二次函数与不等式 18．（23-24高一上·江苏南京·期中）已知二次函数满足下列两个条件： ①的解集为；②的最小值为 (1)求的值； (2)求关于的不等式的解集． 【答案】(1)，，； (2)答案见解析. 【分析】（1）根据不等式解集和最值列方程组求解可得； （2）分、、三种情况讨论即可. 【解析】（1）由条件知：， 由①知：的两根为， 所以， 由②结合对称性可知： 联立，解得. （2）因为， 即， 化简得， 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为． 19．（23-24高一上·山东聊城·期中）已知实数a，b满足，，且. (1)求的最小值； (2)若不等式恒成立，求实数x的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）解法一：把变为，使用基本不等式求解即可； 解法二：把变形得，利用基本不等式中的常数代换技巧求解即可； （2）把不等式恒成立转化为不等式恒成立，利用基本不等式求解最值，从而，解一元二次不等式即可. 【解析】（1）解法一：因为，，且，则， 所以， 当且仅当，即，时等号成立， 所以的最小值为. 解法二：由，，且，得， ， 当且仅当，即，时等号成立， 所以的最小值为. （2）由可得， 由（1）可得， 所以要使不等式恒成立，只需， 即，解得， 所以实数x的取值范围为. 20．（23-24高一上·山东济宁·期中）已知关于的不等式，其解集为. (1)求该不等式的解集； (2)对，不等式恒成立，试求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）分式不等式转化为二次不等式求解即可； （2）根据不等式恒成立建立不等式求解即可. 【解析】（1）不等式等价于，即， 所以，解得， 故所求不等式的解集. （2）令， 对， 不等式恒成立等价， 即，解得. 所求实数的取值范围是. 21．（23-24高一上·四川内江·期中）已知不等式的解集为或. (1)求实数、的值； (2)若，，，并且恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）分析可知，关于的方程的两根分别为、，利用韦达定理可求得实数、的值； （2）由已知可得出，将代数式与相乘，展开后利用基本不等式求出的最小值，可得出关于实数的不等式，即可解得实数的取值范围. 【解析】（1）解：因为不等式的解集为或，则， 所以，关于的方程的两根分别为、， 由韦达定理可得，可得，由，可得， 综上所述，，. （2）解：因为，，， 所以，， 当且仅当时，即当时，等号成立，故的最小值为， 因为恒成立，则，即，解得. 因此，实数的取值范围是. 22．（23-24高一上·浙江杭州·期中）已知函数，a为常数. (1)若，解关于x的不等式； (2)若不等式对任意的恒成立，求实数a的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）代入解分式不等式即可； （2）由于不等式对任意的恒成立，则参变分离，转化为函数的最值解决即可. 【解析】（1）由题意，，即，即，故， 解得. （2）对任意，，即， 恒成立，所以. 令，则，， ， 当且仅当，即，时取“=”，所以， 故实数a的取值范围为. 23．（23-24高一上·江苏宿迁·期中）已知函数，， (1)若关于的不等式的解集为，求实数和实数的值； (2)若对，恒成立，求实数a的取值范围. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）关于的不等式的解集为，转换为，是方程的两个实数根，求值即可. （2）对，恒成立，转换为恒成立，利用恒成立知识求解即可. 【解析】（1）依题意，，即解集为， 所以，是方程的两个实数根， 将代入方程得，此时方程，另一根，即， 所以实数，. （2）若对，恒成立， 即，恒成立， 当时，上述不等式恒成立； 当时，上述不等式恒成立等价于， 而， 当且仅当，即时取等号， 即函数在上有最小值为4，则； 综上，实数的取值范围是. 题型6：基本不等式、函数的实际应用 24．（20-21高一上·山东烟台·期中）科技创新是企业发展的源动力，是一个企业能够实现健康持续发展的重要基础．某科技企业最新研发了一款大型电子设备，并投入生产应用．经调研，该企业生产此设备获得的月利润（单位：万元）与投入的月研发经费（，单位：万元）有关：当投入的月研发经费不高于36万元时，；当投入月研发经费高于36万元时，．对于企业而言，研发利润率，是优化企业管理的重要依据之一，越大，研发利润率越高，反之越小． (1)求该企业生产此设备的研发利润率的最大值以及相应月研发经费的值； (2)若该企业生产此设备的研发利润率不低于190%，求月研发经费的取值范围． 【答案】(1)200%，30 (2) 【分析】（1）根据题意，利用基本不等式和函数的单调性，分别求得来年两段上最大值，比较即可得到结论； （2）由（1）得到，结合一元二次不等式的解法，即可求得的范围，得到答案. 【解析】（1）解：由题意知，当时， ，当且仅当，即时取等号； 当时，， 在上单调递减，. 又，∴当月研发经费为30万元时，研发利润率取得最大值200%. （2）由（1）可知，此时月研发经费， 于是，令，整理得，解得：． 因此，当研发利润率不小于190%时，月研发经费的取值范围是． 25．（23-24高一上·吉林长春·期中）如图所示，将一矩形花坛扩建成一个更大的矩形花坛，使点，分别在，的延长线上，且对角线过点，已知米，米． (1)若要使矩形的面积不大于平方米，则的长应在什么范围内？ (2)当的长为多少时，矩形花坛的面积最小？并求出最小值． 【答案】(1) (2)，面积最小为平方米 【分析】（1）根据已知条件列不等式，从而求得的范围. （2）先求得花坛面积的表达式，然后利用基本不等式求得最小值. 【解析】（1）设的长为米，则米， 因为，所以， 所以矩形的面积， 因为矩形的面积不大于平方米， 所以，而，所以整理得， 解得，所以的长的取值范围是. （2）矩形花坛的面积， 当且仅当，即时，矩形花坛的面积最小为平方米． 26．（23-24高一上·广东江门·期中）为摆脱美国政府针对中国高科技企业的封锁，加强自主性，某企业计划加大对芯片研发部的投入，据了解，该企业研发部原有100名技术人员，年人均投入a万元，现把原有技术人员分成两部分：技术人员和研发人员，其中技术人员x名（且），调整后研发人员的年人均投入增加，技术人员的年人均投入调整为万元． (1)要使这名研发人员的年总投入不低于调整前100名技术人员的年总投入，求调整后的技术人员的人数最多多少人？ (2)是否存在这样的实数m，使得技术人员在已知范围内调整后，同时满足以下两个条件：①技术人员的年均投入始终不减少；②研发人员的年总投入始终不低于技术人员的年总投入． 【答案】(1) (2)存在 【分析】（1）根据题意直接列出不等式可求解； （2）由①可得，由②可得，分别利用函数单调性和基本不等式即可求解. 【解析】（1）依题意可得调整后研发人员的年人均投入为万元， 则，即，解得， 又且，所以调整后的技术人员的人数最多75人. （2）由①，即技术人员的年均投入始终不减少，则有，解得， 由②，即研发人员的年总投入始终不低于技术人员的年总投入， 则有，两边同除以，得到，整理得到， 故有， 又，当且仅当，即时取等号，所以， 又因为，当时，取得最大值7，所以， 即存在这样的满足条件，使得其范围为. 27．（24-25高一上·辽宁辽阳·期中）辽阳大果榛子外形美观、果大皮薄，深受消费者欢迎.某辽阳大果榛子网店为回馈新老顾客，提供两种购买大果榛子的优惠方案：第一种方案，每斤的售价为24元，顾客买x（）斤，每斤的售价降低x元；第二种方案，顾客买x（）斤，每斤的售价为元．已知每位顾客限购9斤大果榛子.设一名顾客按照第一种方案购买大果榛子的付款额为元，按照第二种方案购买大果榛子的付款额为元． (1)分别求函数，的解析式； (2)已知顾客甲、乙在这家网店均选择了更经济实惠的方案购买大果榛子，甲、乙的付款总额为135元，且甲购买了5斤大果榛子，试问乙购买了多少斤大果榛子？ 【答案】(1)，；，. (2)乙购买了2斤大果榛子 【分析】（1）根据题意，写出函数的解析式； （2）先求出，确定甲选择方案二购买，花费91元，得到乙花费44元，再分别讨论按照方案一和方案二乙可以购买的大果榛子斤数，得到答案. 【解析】（1）根据题意，，， ，. （2）由（1），，，所以，则甲选择方案二购买，花费91元， 则乙花费元， 若乙按照方案一购买，则，解得或，又， ，即乙可以购买2斤大果榛子， 若乙按照方案二购买，则，解得， 所以乙应该按照方案一购买，乙购买2斤大果榛子. 28．（22-23高一上·江苏镇江·期中）在园林博览会上，某公司带来了一种智能设备供采购商洽谈采购，并决定大量投放市场，已知该种设备年固定研发成本为50万元，每生产一台需另投入90元，设该公司一年内生产该设备万台且全部售完，每万台的销售收入（万元）与年产量（万台）满足如下关系式：. (1)写出年利润（万元）关于年产量（万台）的函数解析式（利润=销售收入-成本） (2)当年产量为多少万台时，该公司获得的年利润最大，并求出最大利润． 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）由利润等于销售收入减去投入成本和固定成本可得解析式； （2）分别求出分段函数每一段的最大值后比较可得结论. 【解析】（1）因为， 所以； （2）当时，， 由函数性质可知当时单调递增，所以当时，， 当时，， 由不等式性质可知， 当且仅当，即时，等号成立，所以， 综上当时，. 29．（23-24高一上·江苏宿迁·期中）新能源汽车是低碳生活的必然选择和汽车产业的发展趋势.某汽车企业为了响应国家号召，2020年积极引进新能源汽车生产设备，通过分析，全年需要投入固定成本万元.每生产（百辆）新能源汽车，需另投入成本万元，且，由市场调研知，每辆车售价万元，且生产的车辆当年能全部销售完. (1)求出年的利润（万元）关于年产量（百辆）的函数关系式；（利润销售量售价成本） (2)年产量为多少百辆时，企业所获利润最大？并求出最大利润. 【答案】(1) (2)年产量为90百辆时利润最大，最大利润为2820万元. 【分析】（1）根据利润销售量售价成本，表示出利润关于产量的关系式即可，注意单位的统一； （2）分段函数的最值问题，先分别求出两个范围内的最大值，然后比较哪个最大哪个就是整个分段函数的最大值. 【解析】（1）每辆车售价5万元，年产量（百辆）时销售收入为万元， 总成本为， 所以 . 所以年利润. （2）由（1）当时， （百辆）时（万元）， 当时， 当且仅当（百辆）时，等号成立， 因为2820万元万元, 所以年产量90百辆时利润最大，最大利润为2820万元. 题型7：结构不良题型、其他题型 30．（23-24高一上·四川成都·期中）设全集，集合，集合． (1)求； (2)有三个条件：①，②，③“”是“”的必要条件，从这三个条件中任选一个作为已知条件，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）解集合A中的不等式，得集合A，再求； （2）由题意有，利用集合的关系，分类讨论列不等式求实数的取值范围. 【解析】（1）不等式即，解得， 即，所以 （2）选条件①②③都得到， 若，有，解得，此时满足题意； 若，则有，不等式组无解； 综上：的取值范围 31．（23-24高一上·江苏宿迁·期中）已知非空集合，函数的定义域为． (1)若，求； (2)在①；②；③；这三个条件中任选一个，求满足条件的实数构成的集合． 注：如果选择多个条件分别作答，则按第一个条件的解答计分． 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）应用集合的补集与交集的运算即可； （2）分析出集合A、B的包含关系，结合数轴即可求解. 【解析】（1）由得， 当时，，或， 所以，； （2）选①，则， 由，得， 所以，解得， 所以满足条件的实数构成的集合． 选②，则， 由，得， 所以，解得， 所以满足条件的实数构成的集合． 选③， 由，得， 所以或，解得 所以满足条件的实数构成的集合． 32．（21-22高一上·江苏南京·期中）在①，②，③中，挑选一个补充到下面题目的空格处，并作答.（若挑选两个，则只对挑出的前一个评分） 已知一次函数满足，且_________（其中）. (1)求的函数关系式； (2)解不等式（其中）. 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 【分析】（1）设，表示出，根据所选条件得到方程组，求出、、，即可求出函数解析； （2）当时，不等式可化为，再对与分类讨论，求出不等式的解集； 当时，原不等式即为，再对分类讨论，即可求出不等式的解集； 【解析】（1）解：设，则，又 若选①，则，解得或，所以或 若选②，则，解得，所以； 若选③，则，解得，所以； （2）解：若选①，当，则，则即，即，即 当，即时，原不等式即，解得； 当，即时，解得； 当，即时，解得； 综上可得当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当，则，所以，即，即，当，即或时不等式的解集为； 当，即时，方程的两根为，，所以原不等式的解集为； 若选②，，则，则即，即，即 当，即时，原不等式即，解得； 当，即时，解得； 当，即时，解得； 综上可得当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 若选③，，则，则即，即，即 当，即时，原不等式即，解得； 当，即时，解得； 当，即时，解得； 综上可得当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 33．（23-24高一上·四川雅安·期中）若，，满足，则称比更远离． (1)判断“”是“比更远离”的什么条件，并说明理由； (2)已知，，，证明：比更远离2． 【答案】(1)“”是“比更远离”的充分不必要条件，理由见解析． (2)证明见解析 【分析】（1）根据充分条件和必要条件的定义判断即可. （2）结合基本不等式证明即可. 【解析】（1）解：“”是“比更远离”的充分不必要条件． 理由如下： 由，得，则， 故“”是“比更远离”的充分条件． 由比更远离，可得． 当，，时，满足，但不满足， 则“”不是“比更远离”的必要条件． 综上，“”是“比更远离”的充分不必要条件． （2）证明：因为，，所以，， 所以，当且仅当时，等号成立． 因为，，所以，， 所以，当且仅当时，等号成立． 因为，所以，当且仅当时，等号成立， 所以． 由（1）可知比更远离2． 题型8：函数的概念与表示 34．（23-24高一上·浙江·期中）已知二次函数（为实数，且） (1)若，方程有两个相等的实数根时，求函数的解析式； (2)不等式的解集是，求函数的解析式. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意得函数图象关于直线对称，结合条件“有两个相等的实数根”，列出关于的方程组，求解即可； （2）由题意得方程有实数根，且，利用韦达定理求解. 【解析】（1）， 的图象关于直线对称, 又根据条件“有两个相等的实数根”，列方程组如下： , （2）不等式即的解集是， 即方程有实数根，且， 根据韦达定理：， . 35．（24-25高一上·江西鹰潭·期中）已知函数． (1)简述图象可由的图象经过怎样平移得到； (2)证明：的图象是中心对称图形，并计算的值． 【答案】(1)答案见解析； (2)证明见解析，4048. 【分析】（1）变形函数，再利用平移变换求出变换过程. （2）利用中心对称的定义计算推理得证；再利用对称性求出函数值及和. 【解析】（1）由于， 所以的图象可由的图象先向左平移一个长度单位，再向上平移一个长度单位得到． （2）因为， 所以的图象关于中心对称； 则，，…，， 所以． 题型9：函数的图像 36．（23-24高一上·山东济宁·期中）已知幂函数的图象过点，设函数. (1)求函数的解析式、定义域，判断此函数的奇偶性； (2)根据“定义”研究函数的单调性，画出的大致图象（简图），并求其值域. 【答案】(1)，，函数既不是奇函数也不是偶函数 (2)图象见解析，值域为 【分析】（1）设出函数表达式为，将点代入即可求出，进一步可得其定义域，根据奇偶性的定义判断即可. （2）直接由函数单调性的定义判断并证明即可，根据函数单调性、特殊点即可画出的大致图象，进而可得其值域. 【解析】（1）依题意，设幂函数. 因为函数的图象过点，所以， 易得，所以. 易得函数的定义域为； 显然，函数的定义域不是关于原点对称的区间， 所以函数既不是奇函数也不是偶函数. （2）由（1）知，，. 设，且， 则 ， 因为，所以，，， 所以，即， 所以函数在区间上单调递增. 函数图象如图所示： 易得，函数的值域为. 37．（24-25高一上·云南红河·阶段练习）已知函数的解析式为 (1)画出这个函数的图象，并写出的最大值； (2)解不等式； (3)若直线（为常数）与函数的图象有两个公共点，直接写出的范围． 【答案】(1)图象见解析，最大值为4 (2)或 (3)或 【分析】（1）根据分段函数的解析式，画出函数的图象，并根据图象求最值； （2）分段求解不等式，再求并集； （3）根据图象，画出与有2个交点，求取值范围. 【解析】（1）根据分段函数的解析式，画出函数的图象， 当时，取得最大值4. （2）当时，，所以恒成立， 当时，，所以， 当时，，所以， 综上可知，或， 所以不等式的解集为或； （3） 如图，与有2个交点，则或. 38．（23-24高一上·广东深圳·期中）已知函数是定义在R上的函数，. (1)将函数写成分段函数的形式，并画出函数的图象； (2)根据图象写出值域. (3)若与有两个交点，求的取值范围. 【答案】(1)，函数图象见详解； (2) (3) 【分析】（1）根据的正负打开绝对值，写出，在给定区间上分别画出二次函数的图象； （2）数形结合，得出函数的值域； （3）结合函数得出结果. 【解析】（1）函数的解析式为， 函数图象如下图所示： （2）当时，有最小值-1，由函数的图象可知，函数的值域为； （3）的图象是保留函数横轴及横轴上方的图象，下方图像象沿轴向上对称翻折， 如图，由的图象可知，当时，直线与函数的图象的交点个数为2， 的取值范围为. 题型10：函数的性质 39．（24-25高一上·云南昆明·期中）已知函数是定义在上的奇函数． (1)判断并用定义证明在区间上的单调性； (2)解关于的不等式． 【答案】(1)在区间上单调递减，证明见解析 (2) 【分析】（1）根据奇函数的性质可得，即可求出的值，从而得到函数解析式，再根据单调性的定义证明即可； （2）依题意可得，根据函数的单调性转化为自变量的不等式，解得即可. 【解析】（1）因为函数是定义在上的奇函数， 所以，即，此时， 函数的定义域关于原点对称， 且， 为奇函数，符合题意； 在区间上单调递减，证明如下： 设任意的且， 则 ， 因为且，所以，，则， 所以，所以， 即，所以在区间上单调递减； （2）不等式，即， 又，，且在区间上单调递减， 所以，即，即，解得， 即不等式的解集为. 40．（24-25高一上·浙江杭州·期中）已知函数. (1)当，求函数的值域. (2)若任意，使得恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据单调性的定义证明函数在上单调递增，即可求解最值得解， （2）分离参数，即可根据函数的单调性求解最值求解. 【解析】（1）函数在上单调递增，证明如下： 任取，,，且， 则，， 则， ，即， 函数是,上的增函数,因此函数在单调递增， 故值域为 （2）由任意，使得恒成立可得对任意，恒成立， 由（1）的证明过程可推导函数在单调递减，故最小值为，故 41．（23-24高一上·江苏常州·期中）已知函数 (1)当时，判断的单调性并证明； (2)已知条件，条件，若是的充分条件，求实数的取值范围. 【答案】(1)在上单调递增，证明见解析 (2) 【分析】（1）利用单调性的定义证明，任取且，然后化简变形，再判断其符号，从而可得结论； （2）将问题转化为在恒成立，再转化为在恒成立，然后根据的单调性可求得结果. 【解析】（1）在上单调递增，证明如下： 任取且， 因为，所以 所以，即， 所以在上单调递增； （2）因为是的充分条件，所以若，则为真， 即在恒成立， 所以在恒成立； 由（1）知在上单调递增，所以在上单调递增， 所以，即 42．（23-24高一上·江苏南京·期中）定义在R上的函数是偶函数，是奇函数，且． (1)求函数与的解析式； (2)求函数在区间上的最小值． 【答案】(1)， (2)答案见解析 【分析】（1）由已知得，再结合是偶函数，是奇函数，可得，再与原等式联立可求出与的解析式； （2）由（1）得，然后分和两种情况讨论求解即可. 【解析】（1）根据题意，由，① 得， 又由是偶函数，是奇函数， 则有，② 联立①②可得：，． （2）根据题意，， 当时，在区间上递减， 则其最小值为， 当时，在区间上递减，上递增， 则其最小值为． 综上，当时，在区间上的最小值为， 当时，在区间上的最小值为． 43．（23-24高一上·河北邯郸·期中）已知函数 ，图象经过点 ，且 . (1)求的值； (2)用定义法证明函数 在区间 上单调递增. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据条件得到方程组，可求出答案； （2），且，变形判断符号可得结论. 【解析】（1）由题意得， 解得 （2）由（1）可知， ，且， ， 因为，所以， 又，所以， 所以，即，所以， 所以函数在区间上单调递增. 44．（23-24高一上·浙江杭州·期中）已知函数. (1)设，试比较的大小，并说明理由； (2)若关于x的不等式在其定义域上恒成立，求实数m的取值范围. 【答案】(1)，理由见解析 (2) 【分析】（1）根据函数单调性的定义证明方法，可得答案； （2）由题意整理不等式，根据二次不等式恒成立，可得答案. 【解析】（1）， 理由如下: ， 因为 ， 则 ， 所以， 即 ， 所以，即 （2）因为函数，则不等式可化为， 化简可得对一切恒成立，所以，解得， 所以的取值范围为. 45．（22-23高一上·江苏镇江·期中）已知函数是定义在上的奇函数，且. (1)求的值； (2)求函数在上的值域； (3)设，若对任意的，对任意的，使得成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)，； (2)； (3). 【分析】（1）利用奇函数的定义与，求出参数即可； （2）由（1）得，再判断单调性，然后求解即可； （3）现将“若对任意的，对任意的，使得成立”转化为“当时，恒成立”然后分类讨论求解即可. 【解析】（1）由题意： 所以. 又. 所以：，. （2）由（1）可知：. 设， 则， 因为，所以，，， 所以. 所以函数在上单调递增. 又，，所以函数在上的值域为：. （3）问题转化为，当时，恒成立. 若，则在上为增函数，由. 若，则，此时在上恒成立. 若，则在上为减函数，由. 综上可知：.即实数的取值范围是：. 题型11：抽象函数 46．（22-23高一上·全国·期中）若定义在上的函数对任意实数、恒有，当时，，且. (1)求证：为奇函数； (2)求在上的最小值； (3)解关于的不等式：. 【答案】(1)证明见解析； (2)； (3). 【分析】（1）令，可得出的值，令，结合函数奇偶性的定义可得出结论； （2）先利用函数单调性的定义证明函数为上的减函数，可知在上的最小值为，根据题意计算出的值，即可得解； （3）将所求不等式变形为，利用函数的单调性可得出关于的不等式，解之即可. 【解析】（1）证明：因为函数的定义域为， 令，则，解得. 令，则，则， 所以，函数为奇函数. （2）解：任取，则， 因为当时，，则， 由（1）知，， 即，所以，函数在上单调递减， 所以，函数在上的最小值为， 因为，， ，所以，， 即函数在上的最小值为. （3）解：由（1）知，， 所以，， 因为函数在上单调递减，则，即， 解得，即不等式的解集为. ( 第 3 页 共 8 页 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 特训13 期中必刷解答题（全国期中精选，十一大题型） 目录： 题型1：集合与常用逻辑用语 题型2：解不等式 题型3：根据基本不等式求最值 题型4：不等式证明题 题型5：二次函数与不等式 题型6：基本不等式、函数的实际应用 题型7：结构不良题型、其他题型 题型8：函数的概念与表示 题型9：函数的图像 题型10：函数的性质 题型11：抽象函数 题型1：集合与常用逻辑用语 1．（23-24高一上·四川达州·期中）设集合，.求： (1)； (2). 2．（24-25高一上·广西·期中）已知集合，. (1)当时，求； (2)若，求的取值范围. 3．（24-25高一上·黑龙江鹤岗·期中）已知，或． (1)若，求的取值范围； (2)若，求的取值范围. 4．（24-25高一上·河南·期中）已知命题. (1)若命题均为真命题，求的取值范围； (2)若和中恰有一个真命题，求的取值范围. 5．（23-24高一上·重庆沙坪坝·期中）设全集，集合，. (1)若集合恰有一个元素，求实数的值； (2)若，，求. 6．（23-24高一上·江苏宿迁·期中）已知集合． (1)当时，请判断“”是“”的什么条件；（选择“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”之一） (2)若命题“”是真命题，求实数的取值范围． 题型2：解不等式 7．（24-25高一上·浙江杭州·期中）解下列一元二次不等式.（本题答案必须用集合表示） (1)； (2). 8．（23-24高一上·广东肇庆·期中）（1）解不等式：； （2）解关于的不等式. 9．（23-24高一上·内蒙古赤峰·期中）求下列不等式的解集： (1) (2) (3) 10．（23-24高一上·辽宁·期中）求下列方程组及不等式组的解集. (1)； (2). 题型3：根据基本不等式求最值 11．（24-25高一上·辽宁辽阳·期中）已知，，且． (1)求的最大值； (2)求的最小值． 12．（23-24高一上·广东珠海·期中）已知，，. (1)求的最小值； (2)求的最小值. 13．（24-25高一上·河南·期中）已知. (1)比较与的大小; (2)若，求ab的最小值; (3)若，求的最小值. 题型4：不等式证明题 14．（23-24高一上·安徽马鞍山·期中）已知，求证: (1); (2). 15．（23-24高一上·陕西西安·期中）设，均为正实数． (1)求证： (2)若，证明：． 16．（24-25高一上·上海·期中）已知a、b、c、，证明下列不等式，并指出等号成立的条件： (1)； (2)． 17．（23-24高一下·山东淄博·期中）（1）已知，求证：； （2）求证：． 题型5：二次函数与不等式 18．（23-24高一上·江苏南京·期中）已知二次函数满足下列两个条件： ①的解集为；②的最小值为 (1)求的值； (2)求关于的不等式的解集． 19．（23-24高一上·山东聊城·期中）已知实数a，b满足，，且. (1)求的最小值； (2)若不等式恒成立，求实数x的取值范围. 20．（23-24高一上·山东济宁·期中）已知关于的不等式，其解集为. (1)求该不等式的解集； (2)对，不等式恒成立，试求实数的取值范围. 21．（23-24高一上·四川内江·期中）已知不等式的解集为或. (1)求实数、的值； (2)若，，，并且恒成立，求实数的取值范围. 22．（23-24高一上·浙江杭州·期中）已知函数，a为常数. (1)若，解关于x的不等式； (2)若不等式对任意的恒成立，求实数a的取值范围. 23．（23-24高一上·江苏宿迁·期中）已知函数，， (1)若关于的不等式的解集为，求实数和实数的值； (2)若对，恒成立，求实数a的取值范围. 题型6：基本不等式、函数的实际应用 24．（20-21高一上·山东烟台·期中）科技创新是企业发展的源动力，是一个企业能够实现健康持续发展的重要基础．某科技企业最新研发了一款大型电子设备，并投入生产应用．经调研，该企业生产此设备获得的月利润（单位：万元）与投入的月研发经费（，单位：万元）有关：当投入的月研发经费不高于36万元时，；当投入月研发经费高于36万元时，．对于企业而言，研发利润率，是优化企业管理的重要依据之一，越大，研发利润率越高，反之越小． (1)求该企业生产此设备的研发利润率的最大值以及相应月研发经费的值； (2)若该企业生产此设备的研发利润率不低于190%，求月研发经费的取值范围． 25．（23-24高一上·吉林长春·期中）如图所示，将一矩形花坛扩建成一个更大的矩形花坛，使点，分别在，的延长线上，且对角线过点，已知米，米． (1)若要使矩形的面积不大于平方米，则的长应在什么范围内？ (2)当的长为多少时，矩形花坛的面积最小？并求出最小值． 26．（23-24高一上·广东江门·期中）为摆脱美国政府针对中国高科技企业的封锁，加强自主性，某企业计划加大对芯片研发部的投入，据了解，该企业研发部原有100名技术人员，年人均投入a万元，现把原有技术人员分成两部分：技术人员和研发人员，其中技术人员x名（且），调整后研发人员的年人均投入增加，技术人员的年人均投入调整为万元． (1)要使这名研发人员的年总投入不低于调整前100名技术人员的年总投入，求调整后的技术人员的人数最多多少人？ (2)是否存在这样的实数m，使得技术人员在已知范围内调整后，同时满足以下两个条件：①技术人员的年均投入始终不减少；②研发人员的年总投入始终不低于技术人员的年总投入． 27．（24-25高一上·辽宁辽阳·期中）辽阳大果榛子外形美观、果大皮薄，深受消费者欢迎.某辽阳大果榛子网店为回馈新老顾客，提供两种购买大果榛子的优惠方案：第一种方案，每斤的售价为24元，顾客买x（）斤，每斤的售价降低x元；第二种方案，顾客买x（）斤，每斤的售价为元．已知每位顾客限购9斤大果榛子.设一名顾客按照第一种方案购买大果榛子的付款额为元，按照第二种方案购买大果榛子的付款额为元． (1)分别求函数，的解析式； (2)已知顾客甲、乙在这家网店均选择了更经济实惠的方案购买大果榛子，甲、乙的付款总额为135元，且甲购买了5斤大果榛子，试问乙购买了多少斤大果榛子？ 28．（22-23高一上·江苏镇江·期中）在园林博览会上，某公司带来了一种智能设备供采购商洽谈采购，并决定大量投放市场，已知该种设备年固定研发成本为50万元，每生产一台需另投入90元，设该公司一年内生产该设备万台且全部售完，每万台的销售收入（万元）与年产量（万台）满足如下关系式：. (1)写出年利润（万元）关于年产量（万台）的函数解析式（利润=销售收入-成本） (2)当年产量为多少万台时，该公司获得的年利润最大，并求出最大利润． 29．（23-24高一上·江苏宿迁·期中）新能源汽车是低碳生活的必然选择和汽车产业的发展趋势.某汽车企业为了响应国家号召，2020年积极引进新能源汽车生产设备，通过分析，全年需要投入固定成本万元.每生产（百辆）新能源汽车，需另投入成本万元，且，由市场调研知，每辆车售价万元，且生产的车辆当年能全部销售完. (1)求出年的利润（万元）关于年产量（百辆）的函数关系式；（利润销售量售价成本） (2)年产量为多少百辆时，企业所获利润最大？并求出最大利润. 题型7：结构不良题型、其他题型 30．（23-24高一上·四川成都·期中）设全集，集合，集合． (1)求； (2)有三个条件：①，②，③“”是“”的必要条件，从这三个条件中任选一个作为已知条件，求实数的取值范围． 31．（23-24高一上·江苏宿迁·期中）已知非空集合，函数的定义域为． (1)若，求； (2)在①；②；③；这三个条件中任选一个，求满足条件的实数构成的集合． 注：如果选择多个条件分别作答，则按第一个条件的解答计分． 32．（21-22高一上·江苏南京·期中）在①，②，③中，挑选一个补充到下面题目的空格处，并作答.（若挑选两个，则只对挑出的前一个评分） 已知一次函数满足，且_________（其中）. (1)求的函数关系式； (2)解不等式（其中）. 33．（23-24高一上·四川雅安·期中）若，，满足，则称比更远离． (1)判断“”是“比更远离”的什么条件，并说明理由； (2)已知，，，证明：比更远离2． 题型8：函数的概念与表示 34．（23-24高一上·浙江·期中）已知二次函数（为实数，且） (1)若，方程有两个相等的实数根时，求函数的解析式； (2)不等式的解集是，求函数的解析式. 35．（24-25高一上·江西鹰潭·期中）已知函数． (1)简述图象可由的图象经过怎样平移得到； (2)证明：的图象是中心对称图形，并计算的值． 题型9：函数的图像 36．（23-24高一上·山东济宁·期中）已知幂函数的图象过点，设函数. (1)求函数的解析式、定义域，判断此函数的奇偶性； (2)根据“定义”研究函数的单调性，画出的大致图象（简图），并求其值域. 37．（24-25高一上·云南红河·阶段练习）已知函数的解析式为 (1)画出这个函数的图象，并写出的最大值； (2)解不等式； (3)若直线（为常数）与函数的图象有两个公共点，直接写出的范围． 38．（23-24高一上·广东深圳·期中）已知函数是定义在R上的函数，. (1)将函数写成分段函数的形式，并画出函数的图象； (2)根据图象写出值域. (3)若与有两个交点，求的取值范围. 题型10：函数的性质 39．（24-25高一上·云南昆明·期中）已知函数是定义在上的奇函数． (1)判断并用定义证明在区间上的单调性； (2)解关于的不等式． 40．（24-25高一上·浙江杭州·期中）已知函数. (1)当，求函数的值域. (2)若任意，使得恒成立，求实数的取值范围. 41．（23-24高一上·江苏常州·期中）已知函数 (1)当时，判断的单调性并证明； (2)已知条件，条件，若是的充分条件，求实数的取值范围. 42．（23-24高一上·江苏南京·期中）定义在R上的函数是偶函数，是奇函数，且． (1)求函数与的解析式； (2)求函数在区间上的最小值． 43．（23-24高一上·河北邯郸·期中）已知函数 ，图象经过点 ，且 . (1)求的值； (2)用定义法证明函数 在区间 上单调递增. 44．（23-24高一上·浙江杭州·期中）已知函数. (1)设，试比较的大小，并说明理由； (2)若关于x的不等式在其定义域上恒成立，求实数m的取值范围. 45．（22-23高一上·江苏镇江·期中）已知函数是定义在上的奇函数，且. (1)求的值； (2)求函数在上的值域； (3)设，若对任意的，对任意的，使得成立，求实数的取值范围. 题型11：抽象函数 46．（22-23高一上·全国·期中）若定义在上的函数对任意实数、恒有，当时，，且. (1)求证：为奇函数； (2)求在上的最小值； (3)解关于的不等式：. ( 第 3 页 共 8 页 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$