精品解析：江苏省宿迁市宿城区2024—2025学年上学期九年级期中考试数学试题

2024—2025学年度第一学期九年级10月数学试卷 （总分：150分，时长：120分钟） 一、选择题（共8小题，每小题3分，满分24分．每个小题只有一个选项是正确的，请把正确选项的字母涂在答题卡相应的位置） 1. 下列函数中一定是二次函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了二次函数的定义，解题的关键是掌握二次函数的定义．根据二次函数的定义逐个判断即可，形如的函数为二次函数． 【详解】解：A．是一次函数，不是二次函数，故本选项不符合题意； B．当时，函数不是二次函数，故本选项不符合题意； C．不是二次函数，故本选项不符合题意； D．是二次函数，故本选项符合题意； 故选：D． 2. 一组数据26，32，32，36，46，■7，52进行统计分析，其中一个两位数的十位上的数字被墨水涂污看不到，则下列统计量与被涂污数字无关的是（　　） A. 平均数 B. 中位数 C. 众数 D. 方差 【答案】C 【解析】 【分析】平均数是一组数据总和除以总数；中位数是将一组数据按照一定顺序排列后,取最中间这个数或最中间两个数的平均数；众数是指一组数据中出现次数最多的数；方差是一组数据中每个数据与这组数据平均数差的平方的平均数.利用平均数、中位数、方差和众数的定义对各选项进行判断． 【详解】解：因为平均数是一组数据总和除以总数；中位数是将一组数据按照一定顺序排列后,取最中间这个数或最中间两个数的平均数；众数是指一组数据中出现次数最多的数；方差是一组数据中每个数据与这组数据平均数差的平方的平均数.所以这组数据的平均数、方差和中位数都与第6个数有关，而这组数据的众数与第6个数无关． 故选C． 【点睛】本题主要考查平均数、中位数、众数、方差的定义,解决本题的关键是要熟练掌握平均数,中位数,众数,方差的定义． 3. 如图，为的直径，为上两点，若，则的大小为（　　）． A. 60° B. 50° C. 40° D. 20° 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意连接AD，再根据同弧的圆周角相等，即可计算的的大小. 【详解】解：连接， ∵为的直径， ∴． ∵， ∴， ∴． 故选B． 【点睛】本题主要考查圆弧的性质，同弧的圆周角相等,这是考试的重点，应当熟练掌握． 4. 某一芯片实现国产化后，经过两次降价，每块芯片单价由256元降为196元．若两次降价的百分率相同，设每次降价的百分率为x，根据题意列方程得（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，解题的关键是根据题意找到等式两边的平衡条件，这种价格问题主要解决价格变化前后的平衡关系，列出方程．设每次降价的百分率为，根据降价后的价格＝降价前的价格×（1降价的百分率），则第一次降价后的价格是，第二次后的价格是，据此即可列方程求解． 【详解】解：设每次降价的百分率为，根据题意得： ． 故选：A． 5. 下列说法正确的是（ ） A. 两个半圆是等弧 B. 相等的圆心角所对的弧相等 C. 三角形的外心到三角形的三边距离相等 D. 等弧所对的圆心角相等 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了三角形的外心，等弧的概念，圆心角与弧的关系，熟练掌握知识点是解题的关键．分别根据三角形的外心，半圆，等弧的概念，圆心角与弧的关系去判断即可． 【详解】解：A、能够重合的弧是等弧，而两个半圆不一定重合，故本选项不符合题意； B、同圆或等圆中相等的圆心角所对的弧相等，选项说法错误，不符合题意； C、三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等，选项不符合题意； D、等弧所对的圆心角相等，选项说法正确，符合题意． 故选：D． 6. 如图，在一张纸片中，，O是它的内切圆．小明用剪刀沿着的切线剪下一块三角形，则的周长为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了三角形的内切圆，勾股定理，切线的性质、切线长定理等知识，解决本题的关键是掌握切线的性质和切线长定理． 设与相切于点M，切设的内切圆切三边于点、、，连接、、，则，设的半径为r，证得四边形是正方形，则，根据是的切线，可得，，求出再求出内切圆的半径，进而可得的周长． 【详解】解：如图，设与相切于点M，切设的内切圆切三边于点、、，连接、、，则，设的半径为r， ∴， ∴四边形是正方形， ∴， ∵是的切线， ∴， ∵，，， ∴ 由切线长定理可知，, ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的周长． 故选：B． 7. 已知一组数据的平均数是4，方差是3，那么另一组数据，，，，的平均数和方差分别是（ ） A. 5，12 B. 5，3 C. 6，12 D. 6，3 【答案】A 【解析】 【分析】根据方差和平均数的变化规律可得：数据，，，，的平均数是，方差是，再进行计算即可． 【详解】解：的平均数是4，方差是3， 数据，，，，的平均数是， 方差是， 故选：A． 【点睛】本题考查了平均数和方差的特点，若在原来数据前乘以或除以同一个数，平均数也乘以同一个数，而方差要乘以这个数的平方，若数据都加上或减去同一个数，平均数也加上或减去同一个数，方差不变，即数据的波动情况不变． 8. 如图，正方形中，，E是的中点．以点C为圆心，长为半径画圆，点P是上一动点，点F是边上一动点，连接，若点Q是的中点，连接，，则的最小值为（ ） A. B. C. 6 D. 【答案】B 【解析】 【分析】取点B关于直线的对称点M，连接，两线交于点O，连接，，，过O作于点N，根据勾定理求出，结合四点共线时最小即可得到答案； 【详解】解：取点B关于直线的对称点M，连接，两线交于点O，连接，，，，过O作于点N， ∵正方形，E是的中点． ∴，，， ∵点Q是的中点， ∴， ∴点Q在以O为圆心，半径为1的圆上运动， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴， ∵， ∴当、 、、四点共线时的值最小， ， ∴的最小值为： ， 故选：B． 【点睛】本题考查轴对称最小距离和问题，正方形的轴对称性质，圆上动点最小距离问题，勾股定理，解题的关键是找到点Q的轨迹． 二、填空题（本大题有10小题，每小题3分，共30分． 9. 一组数据：，0，3，1，5，2的极差为_____． 【答案】7 【解析】 【分析】本题主要考查了求一组数据的极差，根据极差是一组数据中最大的数与最小的数的差进行求解即可． 【详解】解；由题意得，这组数据的最大值为5，最小值为， ∴极差为， 故答案为：7． 10. 在一个不透明的口袋中放入只有颜色不同的白球6个，黑球4个，黄球n个，搅匀后随机摸出一个球恰好是黄球的概率是．则n=_____． 【答案】5 【解析】 【分析】根据口袋中装有白球6个，黑球4个，黄球n个，故球的总个数为6+4+n，再根据黄球的概率公式列式解答即可． 【详解】解：∵口袋中装有白球6个，黑球4个，黄球n个，∴球的总个数为6+4+n， ∵从中随机摸出一个球，摸到黄球的概率为， ∴ ， 解得，n=5． 故答案为5． 【点睛】本题主要考查概率公式，如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=． 11. 如图，是的直径，点D在的延长线上，切于点C，若，则的度数为____． 【答案】##26度 【解析】 【分析】本题主要考查了切线的性质，圆周角定理，三角形内角和定理，熟知切线的性质与圆周角定理是解题的关键．连接，利用切线的性质得到，根据三角形内角和定理得到，即可利用圆周角定理求出的度数． 【详解】解：如图所示，连接， ∵是的切线， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 12. 用一根长为的铁丝围成一个半径为r的扇形，则扇形的面积y与它的半径r之间的函数关系式是_____． 【答案】， 【解析】 【分析】本题主要考查扇形面积的计算公式、二次函数的概念，熟记公式并根据扇形的面积是解题关键．将扇形的弧长用r表式出来，再根据扇形面积公式写出函数表达式即可． 【详解】解：∵用一根长为的铁丝围成一个半径为的扇形， ∴扇形的弧长为：， ∴扇形的面积与它的半径之间的函数关系式为：， ∵，且， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：，． 13. 圆锥的底面半径为，高为，那么这个圆锥的侧面积是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了圆锥的底面周长、母线长和侧面积的计算，熟练掌握相关公式是解题的关键．先根据圆锥的底面半径和高，利用勾股定理求出母线长，再根据圆锥侧面积公式求解即可． 【详解】解：如图， 底面半径为，高为，则底面周长等于， 由勾股定理得，母线长， 那么侧面面积， 故答案为：． 14. 如图，将一个飞镖随机投掷到的方格纸中，则飞镖落在阴影部分的概率为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了几何概率，确定阴影部分的面积在整个图形中占的比例成为解题的关键． 用阴影部分的面积除以总面积即可解答． 【详解】解：∵的方格纸的面积为，阴影部分面积为， ∴飞镖落在阴影区域的概率是． 故答案为：． 15. 如图，正方形、等边三角形内接于同一个圆，则的度数为_____． 【答案】##30度 【解析】 【分析】连接与交于点，连接，根据正方形、等边三角形内接于同一个圆，得到点为圆心，则，，求出，即可得到的度数为． 【详解】解：连接与交于点，连接， ∵四边形是正方形，是等边三角形， ∴，，， ∵正方形、等边三角形内接于同一个圆， ∴点为圆心， ∴， ∴， ∴的度数为． 16. 如图，正六边形ABCDEF的边长为2cm，点P为这个正六边形内部的一个动点，则点P到这个正六边形各边的距离之和为______cm 【答案】6 【解析】 【详解】试题解析：如图所示，过P作PH⊥BC于H， 根据正六边形的性质可知，∠BPC=60°， 即∠BPH=∠BPC=×60°=30°，BH=BC=×2=1cm； ∴PH= ∴正六边形各边的距离之和=6PH=6×=6cm． 考点：正多边形和圆． 17. 设x，y是一个直角三角形两条直角边的长，且，则这个直角三角形的外接圆面积为_____． 【答案】 【解析】 【分析】设这个直角三角形的斜边为，根据勾股定理，得到，将其代入，解得，即得到这个直角三角形的外接圆直径，进而求得这个直角三角形的外接圆面积． 【详解】解：设这个直角三角形的斜边为， 由题意得，， ∵， ∴， 令， 则有，， 整理得，， 解得，， ∴，， ∵， ∴， ∴，即， ∵为直角三角形的斜边， ∴， ∵，， ∴， ∴这个直角三角形的外接圆直径为，半径为， ∴这个直角三角形的外接圆面积为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了勾股定理，换元法解一元二次方程以及三角形的外接圆的相关性质及面积，灵活运用以上知识点是解题的关键． 18. 半圆O与平面直角坐标系交于点，点C在上运动（不与A，B重合），连接，与的平分线交于点D，则C从A点运动到B点的过程中，点D的运动路径长为____． 【答案】 【解析】 【分析】作的外接圆，记为，连接，可求，则点在以点为圆心的上运动，那么C从A点运动到B点的过程中，点D的运动路径长为以为圆心的的长度，由圆周角定理得：，与，，那么在中，由勾股定理求得，再由弧长公式即可求解． 【详解】解：作的外接圆，记为，连接， 由题意得，为直径，则， ∴， ∵与的平分线交于点D， ∴， ∴ ∴ ∴， ∴点在以点为圆心的上运动， ∴C从A点运动到B点的过程中，点D的运动路径长为以为圆心的的长度， 由圆周角定理得：， ∵，， ∴在中，由勾股定理求得， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了圆周角定理，勾股定理，求弧长，三角形的内角和定理和角平分线的定义，难度较大，熟练掌握知识点，识别“定弦定角”模型是解题的关键． 三、解答题（本大题有10小题，共96分．解答时应写出文字说明或演算步骤．） 19. 解方程： （1）． （2） 【答案】（1），； （2）， 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键． （1）把方程化为，再利用配方法解一元二次方程即可； （2）变形后方程为，再利用因式分解法解一元二次方程即可． 【小问1详解】 解：， 则， ∴，即， ∴， ∴，； 【小问2详解】 解：， ∴， ∴，即， ∴或， ∴，． 20. 如图，在的内接四边形中，，点在上． （1） ； （2）求的度数． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了圆内接四边形的性质、等边对等角、三角形内角和定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据圆内接四边形的性质进行计算即可得出答案； （2）连接，由等边对等角结合三角形内角和定理得出，再由圆内接四边形的性质进行计算即可得出答案． 【小问1详解】 解：在的内接四边形中，， ， 故答案为：； 【小问2详解】 解：如图，连接， ， ， ， 四边形是的内接四边形， ， ． 21. 已知关于的一元二次方程． （1）若方程有实数根，求实数的取值范围； （2）若方程两实数根为，且满足，求实数的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）一元二次方程有实数根，则根的判别式，建立关于m的不等式，求出m的取值范围，根据根的判别式得到关于m的不等式是解题的关键； （2）根据根与系数的关系得到，又求出和，根据，由，即可得到结果．熟练掌握根与系数关系是解题的关键． 【小问1详解】 方程有实数根， ， ， 即； 【小问2详解】 为该方程的两个实数根， ， 又， 解得， ∵， ． 22. 中国古代有着辉煌的数学成就，：《周髀算经》，：《九章算术》，：《海岛算经》，：《孙子算经》等是我国古代数学的重要文献． （1）小聪想从这4部数学名著中随机选择1部阅读，则他选中《九章算术》的概率为___________； （2）某中学拟从这4部数学名著中选择2部作为“数学文化”校本课程学习内容，求恰好选中：《周髀算经》和：《海岛算经》的概率．（用树状图或列表的方法） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比． （1）根据小聪选择的数学名著有四种可能，而他选中《九章算术》只有一种情况，再根据概率公式详解即可； （2）此题需要两步完成，所以可采用树状图法或者采用列表法求解． 【小问1详解】 解：∵小聪想从这4部数学名著中随机选择1部阅读， 则他选中《九章算术》的概率为． 故答案为：； 【小问2详解】 解：记恰好选中：《周髀算经》和：《海岛算经》为事件M． 根据题意可以画出如下的树状图： 由树状图可以看出，所有可能的结果有12种，并且这12种结果出现的可能性相等，所有等可能的结果中，满足事件M的结果有2种， ∴ 23. 某校同学组织了一次经典朗读比赛，甲、乙两队各10人的比赛成绩如下表（10分制）： 甲 乙 （1）甲队成绩的中位数是 分，乙队成绩的众数是 分； （2）已知乙队的平均成绩是9分，请计算乙队的方差； （3）已知甲队成绩的方差是分2，则成绩较为整齐的是 队． 【答案】（1）；10； （2）； （3）乙队 【解析】 【分析】此题主要考查了众数、中位数的定义以及方差． （1）利用中位数的定义以及众数的定义分别求出即可； （2）利用方差公式得出即可； （3）利用方差的意义进而得出即可． 【小问1详解】 解：把甲队的成绩从小到大排列为：7，7，8，9，9，10，10，10，10，10，最中间两个数的平均数是（分）， 则中位数是分； 乙队成绩中10出现了次，出现的次数最多， 则乙队成绩的众数是10分； 故答案为：，10； 【小问2详解】 解：乙队的平均成绩是9分， 则方差是：； 【小问3详解】 解：∵，即乙队方差小于甲队方差， ∴乙队成绩较为整齐． 24. 如图，在中，，以为直径的分别交、于点D、G，过点D作于点E，交的延长线于点F． （1）求证：与相切； （2）当时，求阴影部分的面积． 【答案】（1） 证明： ， ， ， ， ， ， ， ， 是⊙O的切线． （2） 【解析】 【分析】本题考查的是等腰三角形的性质，平行线的判定，切线的判定，等边三角形的判定与性质，勾股定理的应用，求解扇形的面积，熟练掌握圆的基本知识是解本题的关键． （1）由可得，再由可得，等量代换可得，根据同位角相等两条直线平行可得，又因为，根据垂直于两条平行线中的一条，与另一条也垂直，得到，即可证明结论； （2）先证明，可得，，利用含的直角三角形的性质与勾股定理可得，，结合，从而可得答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵，则， ∴， ∴， 又， ∴， ∴，， ∴，， ∴ ． 25. 在圆O中，点A，B，C均在⊙O上，请仅用无刻度直尺按要求画图： （1）在图1中，以点C为顶点作一锐角，使该锐角与∠CAB互余； （2）在图2中，弦AD∥BC且AD≠BC，过点A作一直线将△ABC的面积平分． 【答案】（1） 如图1，∠BCE为所作； （2） 如图2，直线AF为所作． 【解析】 【分析】（1）作直径CE，连接BE，∠BCE即为所求； （2）连接CD交AB于点J，作直线OJ交BC于点F，作直线AF，直线AF即为所求． 【小问1详解】 解： ， 是直径， ， ， ∠BCE与∠CAB互余； 【小问2详解】 解：， ， ， ， ， 垂直平分， 则是的中线， 将△ABC的面积平分． 【点睛】本题考查作图﹣复杂作图，圆周角定理，垂径定理，三角形的面积等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 26. “抖音”平台爆红网络，某电商在“抖音”上直播带货，已知该产品的进货价为70元/件，为吸引流量，该电商在直播中承诺自家商品价格永远不会超过99元/件，根据一个月的市场调研，商家发现当售价为110元/件时，日销售量为20件，售价每降低1元，日销售量增加2件；设商家降了x元． （1）当产品售价为105元/件时，销售量为______件； （2）该产品每件降价多少元时，电商每天可盈利1200元？ （3）该产品的售价每件应定为多少，电商每天可盈利最大并求出最大值？ 【答案】（1）30 （2）该产品的每件降价应为20元． （3）该产品的售价每件应定为元，电商每天可盈利最大，最大利润为元． 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用以及二次函数的应用，解题的关键在于读懂题意，找准等量关系． （1）根据“当售价为110元/件时，日销售量为20件，售价每降低1元，日销售量增加2件”列式计算，即可解题； （2）根据“每天可盈利1200元”，结合单件利润乘以销售数量等于总利润建立方程求解，即可解题； （3）设电商每天可盈利元，根据单件利润乘以销售数量等于总利润，再建立二次函数模型，结合二次函数的性质可得答案． 【小问1详解】 解：由题知，（件）； 当销售量为105元时，销售量为30元； 【小问2详解】 解：根据题意得：， 整理得：， 解得：，， ∵该电商在直播中承诺自家商品价格永远不会超过99元/件， ∴不符合题意，舍去，则， 答：该产品的每件降价应为20元． 【小问3详解】 解：设电商每天可盈利元，则 ， ∵， ∴当时，最大利润为：（元）， ∴该产品的售价每件应定为元，电商每天可盈利最大，最大利润为元． 27. 我们在八年级上册曾经探索：把一个直立的火柴盒放倒（如图1），通过对梯形ABCD面积的不同方法计算，来验证勾股定理．a、b、c分别是和的边长，易知且，这时我们把关于x的形如的一元二次方程称为“勾氏方程”． 请解决下列问题： （1）（填“是”或“不是”）“勾氏方程”； （2）求证：关于x的“勾氏方程”必有实数根； （3）如图2，的半径为5，、是位于圆心O异侧的两条平行弦，，关于x的方程是“勾氏方程”，连接， ①求的度数． ②直接写出的长：_____． 【答案】（1）是 （2） 证明：∵关于的方程是“勾氏方程”， ∴构成直角三角形，c是斜边， ∴， ∵， ∴， ∴关于的“勾氏方程”必有实数根． （3）①；② 【解析】 【分析】（1）根据“勾氏方程”的定义即可判断； （2）利用勾股定理以及“勾氏方程”的定义即可解决问题； （3）①如图，连接，，作于E，作的延长线交于F，利用勾股定理求出，在利用全等三角形的判断与性质推导出即可解决问题．②直接利用勾股定理求解即可． 【小问1详解】 解：是 “勾氏方程”，理由如下： ∵中，， ∴， ∴，能构成直角三角形， ∴方程是“勾氏方程”； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：①连接，，作于E，作的延长线交于F，如图： ∵关于x的方程是“勾氏方程”， ∴，5构成直角三角形，5是斜边， ∴ ∵，， ∴，， ∴，， ∴，即， 又， ∴， ∴， ∴ ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． ②连接， ∵，， ∴． 【点睛】本题考查了勾股定理、一元二次方程根的判别式、全等三角形的判定及性质、圆周角定理等知识，解题关键是挖掘新定义中最本质的关系：勾氏方程满足，利用这个关系即可转化边并证明边相等． 28. 【了解概念】 我们知道，折线段是由两条不在同一直线上且有公共端点的线段组成的图形．如图1，线段、组成折线段．若点在折线段上，，则称点是折线段的中点． （1）如图2，的半径为2，是的切线，为切点，点是折线段的中点．若，则　　； （2）【定理证明】阿基米德折弦定理：如图3，和是的两条弦（即折线段是圆的一条折弦），，点是的中点，从向作垂线，垂足为，求证：是折弦的中点； 【变式探究】 （3）如图4，若点是的中点，【定理证明】中的其他条件不变，则、、之间存在怎样的数量关系？请直接写出结论． 【灵活应用】 （4）如图5，是的直径，点为上一定点，点为上一动点，且满足，若，，则　　． 【答案】（1）3 （2） 证明：在上截取，连接、、、， 点是的中点， ， ， （SAS）， ， ， ， ， 是折弦的中点； （3） （4）或 【解析】 【分析】（1）根据角所对的直角边等于斜边的一半，求出，再由所给的定义求出的长即可； （2）在上截取，连接、、、，可证明，得到，再由垂径定理得到，则有，即可证明是折弦的中点； （3）仿照（2）的方法，在上截取，连接、、、，证明，可得到； （4）分两种情况讨论：当点在上时，过点作交于点，由，求出，再由勾股定理求出；当点在上时，如图6，，过点作交于点，由，求出，再由勾股定理求出． 【小问1详解】 解：是的切线，为切点， ， ， ，， ， ， 是折线段的中点， ， 故答案为：3； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：，理由如下： 如图，在上截取，连接、、、， 点是的中点， ， ， （SAS）， ， ， ， ， ； 【小问4详解】 解：是的直径， ， ，， ， 当点在上时，如图， ， ， 过点作交于点， ， ， ； 当点在上时，如图，， 过点作交于点， ， ， ； 综上所述：的长为或， 故答案为：或． 【点睛】本题考查圆的综合应用，熟练掌握同弧或等弧所对的圆周角相等，垂径定理，三角形全等的判定及性质，理解阿基米德折弦定理是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024—2025学年度第一学期九年级10月数学试卷 （总分：150分，时长：120分钟） 一、选择题（共8小题，每小题3分，满分24分．每个小题只有一个选项是正确的，请把正确选项的字母涂在答题卡相应的位置） 1. 下列函数中一定是二次函数的是（ ） A. B. C. D. 2. 一组数据26，32，32，36，46，■7，52进行统计分析，其中一个两位数的十位上的数字被墨水涂污看不到，则下列统计量与被涂污数字无关的是（　　） A. 平均数 B. 中位数 C. 众数 D. 方差 3. 如图，为的直径，为上两点，若，则的大小为（　　）． A. 60° B. 50° C. 40° D. 20° 4. 某一芯片实现国产化后，经过两次降价，每块芯片单价由256元降为196元．若两次降价的百分率相同，设每次降价的百分率为x，根据题意列方程得（ ） A. B. C. D. 5. 下列说法正确的是（ ） A. 两个半圆是等弧 B. 相等的圆心角所对的弧相等 C. 三角形的外心到三角形的三边距离相等 D. 等弧所对的圆心角相等 6. 如图，在一张纸片中，，O是它的内切圆．小明用剪刀沿着的切线剪下一块三角形，则的周长为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 7. 已知一组数据的平均数是4，方差是3，那么另一组数据，，，，的平均数和方差分别是（ ） A. 5，12 B. 5，3 C. 6，12 D. 6，3 8. 如图，正方形中，，E是的中点．以点C为圆心，长为半径画圆，点P是上一动点，点F是边上一动点，连接，若点Q是的中点，连接，，则的最小值为（ ） A. B. C. 6 D. 二、填空题（本大题有10小题，每小题3分，共30分． 9. 一组数据：，0，3，1，5，2的极差为_____． 10. 在一个不透明的口袋中放入只有颜色不同的白球6个，黑球4个，黄球n个，搅匀后随机摸出一个球恰好是黄球的概率是．则n=_____． 11. 如图，是的直径，点D在的延长线上，切于点C，若，则的度数为____． 12. 用一根长为的铁丝围成一个半径为r的扇形，则扇形的面积y与它的半径r之间的函数关系式是_____． 13. 圆锥的底面半径为，高为，那么这个圆锥的侧面积是_____． 14. 如图，将一个飞镖随机投掷到的方格纸中，则飞镖落在阴影部分的概率为_____． 15. 如图，正方形、等边三角形内接于同一个圆，则的度数为_____． 16. 如图，正六边形ABCDEF的边长为2cm，点P为这个正六边形内部的一个动点，则点P到这个正六边形各边的距离之和为______cm 17. 设x，y是一个直角三角形两条直角边的长，且，则这个直角三角形的外接圆面积为_____． 18. 半圆O与平面直角坐标系交于点，点C在上运动（不与A，B重合），连接，与的平分线交于点D，则C从A点运动到B点的过程中，点D的运动路径长为____． 三、解答题（本大题有10小题，共96分．解答时应写出文字说明或演算步骤．） 19. 解方程： （1）． （2） 20. 如图，在的内接四边形中，，点在上． （1） ； （2）求的度数． 21. 已知关于的一元二次方程． （1）若方程有实数根，求实数的取值范围； （2）若方程两实数根为，且满足，求实数的值． 22. 中国古代有着辉煌的数学成就，：《周髀算经》，：《九章算术》，：《海岛算经》，：《孙子算经》等是我国古代数学的重要文献． （1）小聪想从这4部数学名著中随机选择1部阅读，则他选中《九章算术》的概率为___________； （2）某中学拟从这4部数学名著中选择2部作为“数学文化”校本课程学习内容，求恰好选中：《周髀算经》和：《海岛算经》的概率．（用树状图或列表的方法） 23. 某校同学组织了一次经典朗读比赛，甲、乙两队各10人的比赛成绩如下表（10分制）： 甲 乙 （1）甲队成绩的中位数是 分，乙队成绩的众数是 分； （2）已知乙队的平均成绩是9分，请计算乙队的方差； （3）已知甲队成绩的方差是分2，则成绩较为整齐的是 队． 24. 如图，在中，，以为直径的分别交、于点D、G，过点D作于点E，交的延长线于点F． （1）求证：与相切； （2）当时，求阴影部分的面积． 25. 在圆O中，点A，B，C均在⊙O上，请仅用无刻度直尺按要求画图： （1）在图1中，以点C为顶点作一锐角，使该锐角与∠CAB互余； （2）在图2中，弦AD∥BC且AD≠BC，过点A作一直线将△ABC的面积平分． 26. “抖音”平台爆红网络，某电商在“抖音”上直播带货，已知该产品的进货价为70元/件，为吸引流量，该电商在直播中承诺自家商品价格永远不会超过99元/件，根据一个月的市场调研，商家发现当售价为110元/件时，日销售量为20件，售价每降低1元，日销售量增加2件；设商家降了x元． （1）当产品售价为105元/件时，销售量为______件； （2）该产品每件降价多少元时，电商每天可盈利1200元？ （3）该产品的售价每件应定为多少，电商每天可盈利最大并求出最大值？ 27. 我们在八年级上册曾经探索：把一个直立的火柴盒放倒（如图1），通过对梯形ABCD面积的不同方法计算，来验证勾股定理．a、b、c分别是和的边长，易知且，这时我们把关于x的形如的一元二次方程称为“勾氏方程”． 请解决下列问题： （1）（填“是”或“不是”）“勾氏方程”； （2）求证：关于x的“勾氏方程”必有实数根； （3）如图2，的半径为5，、是位于圆心O异侧的两条平行弦，，关于x的方程是“勾氏方程”，连接， ①求的度数． ②直接写出的长：_____． 28. 【了解概念】 我们知道，折线段是由两条不在同一直线上且有公共端点的线段组成的图形．如图1，线段、组成折线段．若点在折线段上，，则称点是折线段的中点． （1）如图2，的半径为2，是的切线，为切点，点是折线段的中点．若，则　　； （2）【定理证明】阿基米德折弦定理：如图3，和是的两条弦（即折线段是圆的一条折弦），，点是的中点，从向作垂线，垂足为，求证：是折弦的中点； 【变式探究】 （3）如图4，若点是的中点，【定理证明】中的其他条件不变，则、、之间存在怎样的数量关系？请直接写出结论． 【灵活应用】 （4）如图5，是的直径，点为上一定点，点为上一动点，且满足，若，，则　　． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $