解三角形中的最值与范围问题学案-2025届高三数学一轮复习

新高考数学一轮复习 第四章　三角函数 第八节　解三角形中的最值与范围问题 一、 命题规律及备考策略 【命题规律】本节内容是新高考卷的常考内容，设题稳定，难度较中等偏上，分值为13-15分 【备考策略】1会利用基本不等式和相关函数性质解决三角形中的最值及范围问题 2会利用正余弦定理及面积公式解决三角形的综合问题 【命题预测】本节内容一般给以大题来命题、考查正余弦定理和三角形面积公式在解三角形中的应用，同时也结合基本不等式和相关函数性质等知识点求解范围及最值，需重点复习。 解三角形中的最值或范围问题，通常涉及与边长、周长有关的范围问题，与面积有关的范围问题，或与角度有关的范围问题，一直是高考的热点与重点，主要是利用三角函数、正余弦定理、三角形面积公式、基本不等式等工具研究三角形问题，解决此类问题的关键是建立起角与边的数量关系． 二、知识梳理 解三角形最值及范围问题中常用到的关联知识点 1. 基本不等式 ，当且仅当时取等号，其中叫做正数，的算术平均数， 叫做正数，的几何平均数，通常表达为：（积定和最小），应用条件：“一正，二定，三相等” 基本不等式的推论 重要不等式 （和定积最大） 当且仅当时取等号 当且仅当时取等号 2. 辅助角公式及三角函数值域 形如，，其中， 对于，类函数，叫做振幅，决定函数的值域，值域为，有时也会结合其他函数的性质和单调性来求解最值及范围 3. 三角形中的边角关系 （1） 构成三角形的条件是任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边 （2） 在三角形中，大边对大角，小边对小角 （3） 在三角形中,边角以及角的三角函数值存在等价关系: 即 注意：在锐角中，任意一个角的正弦大于另一个角的余弦，如。 事实上，由，即得。由此对任意锐角，总有。 三、课堂考点突破 题型一　利用基本不等式求最值(范围) 例1 (2022·新高考全国Ⅰ)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知＝. (1)若C＝，求B； (2)求的最小值． 变式训练 1.在△ABC中，sin2A－sin2B－sin2C＝sin Bsin C. (1)求A； (2)若BC＝3，求△ABC周长的最大值． 题型二　转化为三角函数求最值(范围) 例2 已知△ABC为锐角三角形，且cos A＋sin B＝(sin A＋cos B)． (1)若C＝，求A； (2)已知点D在边AC上，且AD＝BD＝2，求CD的取值范围． 变式训练 2 .在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且＝，a＝3. (1)若BC边上的高等于1，求cos A； (2)若△ABC为锐角三角形，求△ABC面积的取值范围． 题型三　转化为其他函数求最值(范围) 例3 已知锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且＝. (1)若A＝，求B； (2)若asin C＝1，求＋的最大值． 变式训练 3.已知△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足＝. (1)若C＝，求B； (2)求的取值范围． 题型四 利用导数法 [例4]　(2022·全国乙卷)函数f(x)＝cos x＋(x＋1)·sin x＋1在区间[0，2π]上的最小值、最大值分别为(　　) A．－， B．－， C．－，＋2 D．－，＋2 变式训练 4．△ABC的三个内角为A，B，C，求当A为何值时，cos A＋2cos 取得最大值，并求出这个最大值． 5．记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知cos C＋(cos B－2sin B)cos A＝0. (1)求cos A的值； (2)若b＋c＝1，求a的取值范围． 四、课后作业 一、单项选择题 1．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若B＝，a＝4，且三角形有两解，则b的取值范围是(　　) A．(2，＋∞) B．(2，4) C．(0,4) D．(4,3) 2．(2023·昆明模拟)在△ABC中，∠ABC＝，D为边AC上一点，∠DBC＝且BD＝2，则△ABC面积的最小值为(　　) A. B. C．2 D. 3．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，记△ABC的面积为S，若c2＝6S，则的最小值为(　　) A. B. C．1 D.－3 4．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c,8sin Asin B＋cos C＝0，则的最大值是(　　) A. B．－ C. D．－ 二、多项选择题 5．已知△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a(sin A－sin B)＝csin C－bsin B，则下列说法正确的是(　　) A．C＝ B．若△ABC的面积为，则c的最小值为2 C．若c＝2，则△ABC的周长的最大值为6 D．若b＝3，c＝2，则满足条件的△ABC有且仅有一个 6．已知a，b，c分别是锐角△ABC三个内角A，B，C的对边，若(c－2asin B)sin C＝(bsin B－asin A)，则下列选项正确的是(　　) A．B＝ B．cos Acos C的取值范围是 C.的取值范围是 D．若BD平分∠ABC交AC于点D，且BD＝1，则4a＋c的最小值为3 三、填空题 7．在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若c2＝a(a＋b)，则sin A的取值范围是________． 8．(2022·全国甲卷)已知△ABC中，点D在边BC上，∠ADB＝120°，AD＝2，CD＝2BD.当取得最小值时，BD＝________. 四、解答题 9．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2bsin＝a＋c. (1)求B； (2)若△ABC为锐角三角形，且b＝2，求其周长的取值范围． 10．请从①asin B－bcos Bcos C＝ccos2B；②(sin A－sin C)2＝sin2B－sin Asin C；③＝a这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并加以解答(如未作出选择，则按照选择①评分．选择的编号请填写到答题卡对应位置上) 在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若________， (1)求角B的大小； (2)若△ABC为锐角三角形，c＝1，求a2＋b2的取值范围． 11．已知△ABC的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，且b2＋2c2－2a2＝0. (1)若tan C＝，求A的大小； (2)当A－C取得最大值时，试判断△ABC的形状． 12.如图，有一景区的平面图是一个半圆形，其中O为圆心，直径AB的长为2 km，C，D两点在半圆弧上，且BC＝CD，设∠COB＝θ. (1)当θ＝时，求四边形ABCD的面积； (2)若要在景区内铺设一条由线段AB，BC，CD和DA组成的观光道路，则当θ为何值时，观光道路的总长l最长？并求出l的最大值． 第 1 页 共 3 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 新高考数学一轮复习 第四章　三角函数 第一节　解三角形中的最值与范围问题 一、 命题规律及备考策略 【命题规律】本节内容是新高考卷的常考内容，设题稳定，难度较中等偏上，分值为13-15分 【备考策略】1会利用基本不等式和相关函数性质解决三角形中的最值及范围问题 2会利用正余弦定理及面积公式解决三角形的综合问题 【命题预测】本节内容一般给以大题来命题、考查正余弦定理和三角形面积公式在解三角形中的应用，同时也结合基本不等式和相关函数性质等知识点求解范围及最值，需重点复习。 解三角形中的最值或范围问题，通常涉及与边长、周长有关的范围问题，与面积有关的范围问题，或与角度有关的范围问题，一直是高考的热点与重点，主要是利用三角函数、正余弦定理、三角形面积公式、基本不等式等工具研究三角形问题，解决此类问题的关键是建立起角与边的数量关系． 二、知识梳理 解三角形最值及范围问题中常用到的关联知识点 1. 基本不等式 ，当且仅当时取等号，其中叫做正数，的算术平均数， 叫做正数，的几何平均数，通常表达为：（积定和最小），应用条件：“一正，二定，三相等” 基本不等式的推论 重要不等式 （和定积最大） 当且仅当时取等号 当且仅当时取等号 2. 辅助角公式及三角函数值域 形如，，其中， 对于，类函数，叫做振幅，决定函数的值域，值域为，有时也会结合其他函数的性质和单调性来求解最值及范围 3. 三角形中的边角关系 （1） 构成三角形的条件是任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边 （2） 在三角形中，大边对大角，小边对小角 （3） 在三角形中,边角以及角的三角函数值存在等价关系: 即 注意：在锐角中，任意一个角的正弦大于另一个角的余弦，如。 事实上，由，即得。由此对任意锐角，总有。 三、课堂考点突破 题型一　利用基本不等式求最值(范围) 例1 (2022·新高考全国Ⅰ)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知＝. (1)若C＝，求B； (2)求的最小值． 解　(1)因为＝， 所以＝， 所以＝， 所以cos Acos B＝sin B＋sin Asin B， 所以cos(A＋B)＝sin B， 所以sin B＝－cos C＝－cos ＝. 因为B∈，所以B＝. (2)由(1)得cos(A＋B)＝sin B， 所以sin＝sin B，且0<A＋B<， 所以0<B<，0<－(A＋B)<， 所以－(A＋B)＝B，解得A＝－2B， 由正弦定理得＝ ＝＝ ＝＝ ＝＝4cos2B＋－5 ≥2－5＝4－5， 当且仅当cos2B＝时取等号， 所以的最小值为4－5. 变式训练 1.在△ABC中，sin2A－sin2B－sin2C＝sin Bsin C. (1)求A； (2)若BC＝3，求△ABC周长的最大值． 解　(1)由正弦定理和已知条件得 BC2－AC2－AB2＝AC·AB.① 由余弦定理得BC2＝AC2＋AB2－2AC·ABcos A．② 由①②得cos A＝－. 因为0<A<π，所以A＝. (2)由正弦定理及(1)得 ＝＝＝2， 从而AC＝2sin B， AB＝2sin(π－A－B)＝3cos B－sin B. 故BC＋AC＋AB＝3＋sin B＋3cos B ＝3＋2sin. 又0<B<， 所以当B＝时，△ABC的周长取得最大值，为3＋2. 题型二　转化为三角函数求最值(范围) 例2 已知△ABC为锐角三角形，且cos A＋sin B＝(sin A＋cos B)． (1)若C＝，求A； (2)已知点D在边AC上，且AD＝BD＝2，求CD的取值范围． 解　(1)因为cos A＋sin B＝(sin A＋cos B)， 所以cos A－sin A＝cos B－sin B， 即cos＝cos， 又A∈，B∈， 所以<A＋<，<B＋<， 所以A＋＝B＋，即B＝A＋， 又A＋B＋C＝π，C＝， 所以A＋A＋＋＝π，即A＝. (2)因为AD＝BD＝2，所以∠DBA＝∠A， 又∠ABC＝A＋，可得∠DBC＝， 在△DBC中，＝， 所以CD＝＝， 在△ABC中，sin C＝sin(A＋B)＝sin， 因为△ABC为锐角三角形， 所以解得<A<， 所以<2A＋<，<sin<1， 所以∈(1,2)，即CD的取值范围为(1,2)． 变式训练 2 .在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且＝，a＝3. (1)若BC边上的高等于1，求cos A； (2)若△ABC为锐角三角形，求△ABC面积的取值范围． 解　(1)由正弦定理，＝＝， 所以sin B＝cos B，则tan B＝1， 又0<B<π，所以B＝， 因为S△ABC＝ah＝acsin B， 所以×3×1＝×3×c×，解得c＝， 又由余弦定理，得b2＝a2＋c2－2accos B＝32＋()2－2×3××＝5， 解得b＝， 所以cos A＝＝ ＝－. (2)由正弦定理有＝＝， 且由(1)可知B＝， 所以c＝＝＝， 又因为△ABC为锐角三角形， 所以解得<A<， 所以0<<1，所以<c<3， 所以S△ABC＝acsin B＝×3×c×＝c∈， 所以△ABC面积的取值范围是. 题型三　转化为其他函数求最值(范围) 例3 已知锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且＝. (1)若A＝，求B； (2)若asin C＝1，求＋的最大值． 解　(1)由题意知＝， 所以sin(A－B)cos C＝sin(A－C)cos B， 所以sin Acos Bcos C－cos Asin Bcos C ＝sin Acos Ccos B－cos Asin Ccos B， 所以cos Asin Bcos C＝cos Asin Ccos B， 因为A＝，所以sin Bcos C＝sin Ccos B， 所以tan B＝tan C， 因为B，C∈，所以B＝C， 由A＝，所以B＝. (2)由(1)知B＝C，所以sin B＝sin C，b＝c， 因为asin C＝1，所以＝sin C， 由正弦定理得asin C＝csin A＝bsin A＝1， 所以＝sin A， 因为A＝π－B－C＝π－2C， 所以＝sin A＝sin 2C， 所以＋＝sin2C＋sin22C＝＋(1－cos22C)＝－cos22C－cos 2C＋， 因为△ABC为锐角三角形，且B＝C， 则有<C<，得<2C<π， 所以－1<cos 2C<0， 由二次函数的性质可得，当cos 2C＝－时，＋取得最大值，所以＋的最大值为. 变式训练 3.已知△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足＝. (1)若C＝，求B； (2)求的取值范围． 解　(1)由＝，及正弦定理可得， ＝，即c2＝b2＋ab， ∵C＝，∴c2＝a2＋b2， ∴b2＋ab＝a2＋b2，解得a＝b，即A＝B， 又C＝，∴B＝. (2)由(1)知，c2＝b2＋ab， ∴a＝，c>b， 由三角形三边关系可得 代入化简可得b<c<2b， ∴＝＝＋－1， 令x＝，则x∈(1,2)，f(x)＝x2＋x－1,1<x<2， ∴f(x)＝2－∈(1,5)， ∴＋－1∈(1,5)， ∴的取值范围是(1,5)． 题型四 利用导数法 [例4]　(2022·全国乙卷)函数f(x)＝cos x＋(x＋1)·sin x＋1在区间[0，2π]上的最小值、最大值分别为(　　) A．－， B．－， C．－，＋2 D．－，＋2 [解析]　函数f(x)的导数f′(x)＝－sin x＋sin x＋(x＋1)cos x＝(x＋1)cos x，x∈[0，2π]. 令f′(x)＝0，得x＝或x＝. 当x∈时，f′(x)＞0，函数f(x)单调递增； 当x∈时，f′(x)＜0，函数f(x)单调递减； 当x∈时，f′(x)＞0，函数f(x)单调递增． 故当x＝时，函数f(x)有极大值f＝＋2；当x＝时，函数f(x)有极小值f＝－. 又因为f(0)＝2，f(2π)＝2，所以函数f(x)在区间[0，2π]上的最小值为－，最大值为＋2，故选D. 变式训练 4．△ABC的三个内角为A，B，C，求当A为何值时，cos A＋2cos 取得最大值，并求出这个最大值． [解]　由A＋B＋C＝π，得＝－， 则cos ＝sin . 所以cos A＋2cos ＝cos A＋2sin ＝1－2sin2＋2sin. 令t＝sin ，由0<A<π，可得0<<，t∈(0，1)，则原式可看作关于t的二次函数， 即原式＝－2＋. 当t＝，即sin ＝，A＝时，cos A＋2cos 取得最大值，最大值为. 5．记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知cos C＋(cos B－2sin B)cos A＝0. (1)求cos A的值； (2)若b＋c＝1，求a的取值范围． [解]　(1)因为cos C＋(cos B－2sin B)cos A＝0，cos C＝－cos (A＋B)＝－cos A cos B＋sin A sin B， 所以－cos A cos B＋sin A sin B＋cos A cos B－2sin B cos A＝0，即sin A sin B－2sin B cos A＝0. 又0<B<π，0<A<π，所以sin B≠0，sin A＝2cos A>0，A为锐角， sin A＝2cos A sin2A＋cos2A＝1，所以9cos2A＝1，cosA＝. (2)由余弦定理知，a2＝b2＋c2－2bc cos A＝(b＋c)2－bc. 因为bc≤，所以a2≥(b＋c)2＝，所以a≥，当且仅当b＝c＝时等号成立． 又a<b＋c＝1，所以a的取值范围为. 四、课后作业 一、单项选择题 1．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若B＝，a＝4，且三角形有两解，则b的取值范围是(　　) A．(2，＋∞) B．(2，4) C．(0,4) D．(4,3) 答案　B 解析　由题意，△ABC有两解需满足asin B<b<a，即2<b<4. 2．(2023·昆明模拟)在△ABC中，∠ABC＝，D为边AC上一点，∠DBC＝且BD＝2，则△ABC面积的最小值为(　　) A. B. C．2 D. 答案　D 解析　根据等面积法，S＝acsin ＝×2c＋×2asin ，即ac＝c＋a， 即ac＝4c＋2a≥2，即ac≥， 当且仅当4c＝2a，即a＝，c＝时等号成立． 故S＝acsin ＝ac≥×＝. 3．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，记△ABC的面积为S，若c2＝6S，则的最小值为(　　) A. B. C．1 D.－3 答案　B 解析　∵c2＝6S，∴c2＝6×absin C＝3absin C， 由余弦定理c2＝a2＋b2－2abcos C， 得a2＋b2－2abcos C＝3absin C， 即a2＋b2＝2abcos C＋3absin C， 两边同除以ab得＋＝2cos C＋3sin C ＝sin(C＋φ)≤，其中tan φ＝， 设＝x，x>0，即0<x＋≤， ∴≤x≤， ∴的最小值为. 4．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c,8sin Asin B＋cos C＝0，则的最大值是(　　) A. B．－ C. D．－ 答案　B 解析　在△ABC中，cos C＝cos[π－(A＋B)]＝－cos(A＋B)＝－cos Acos B＋sin Asin B， 因为8sin Asin B＋cos C＝0， 所以8sin Asin B－cos Acos B＋sin Asin B＝0， 则9sin Asin B＝cos Acos B， 所以tan Atan B＝＝，且A，B均为锐角，故tan A，tan B>0， 由余弦定理的推论，得cos C＝， 所以＝＝tan C ＝tan[π－(A＋B)]＝－tan(A＋B) ＝－· ＝－(tan A＋tan B)， 又tan A＋tan B≥2＝， 当且仅当tan A＝tan B＝时等号成立， 所以的最大值是－×＝－. 二、多项选择题 5．已知△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a(sin A－sin B)＝csin C－bsin B，则下列说法正确的是(　　) A．C＝ B．若△ABC的面积为，则c的最小值为2 C．若c＝2，则△ABC的周长的最大值为6 D．若b＝3，c＝2，则满足条件的△ABC有且仅有一个 答案　BC 解析　∵a(sin A－sin B)＝csin C－bsin B， ∴由正弦定理可得a(a－b)＝c2－b2， 即a2＋b2－c2＝ab， 对于A选项，由余弦定理的推论，可得 cos C＝＝， ∵0<C<π，∴C＝，故A错误； 对于B选项，由题可知absin C＝ab＝， ∴ab＝4， 由余弦定理可得c2＝a2＋b2－2abcos C＝a2＋b2－ab≥2ab－ab＝ab＝4， ∴c≥2，当且仅当a＝b＝2时等号成立， 故c的最小值为2，故B正确； 对于C选项，c2＝a2＋b2－2abcos C＝a2＋b2－ab＝(a＋b)2－3ab＝4， ∵ab≤，∴≤4， ∴a＋b≤4，当a＝b时等号成立， ∵c＝2，∴a＋b>2，∴4<a＋b＋c≤6， 则△ABC的周长的最大值为6，故C正确； 对于D选项，由余弦定理可得c2＝a2＋b2－2abcos C， 即8＝a2＋9－3a，即a2－3a＋1＝0， 解得a＝， 则满足条件的△ABC有2个，故D错误． 6．已知a，b，c分别是锐角△ABC三个内角A，B，C的对边，若(c－2asin B)sin C＝(bsin B－asin A)，则下列选项正确的是(　　) A．B＝ B．cos Acos C的取值范围是 C.的取值范围是 D．若BD平分∠ABC交AC于点D，且BD＝1，则4a＋c的最小值为3 答案　AC 解析　对于A，由正弦定理得(c－2asin B)c＝(b2－a2)， ∴(a2＋c2－b2)＝2acsin B， ∴·＝cos B＝sin B， ∴tan B＝，又B∈，∴B＝，A正确； 对于B，cos Acos C＝cos Acos [π－(A＋B)]＝ －cos Acos(A＋B)＝－cos Acos ＝－cos A ＝sin Acos A－cos2A ＝sin 2A－cos 2A－ ＝sin－， ∵△ABC为锐角三角形，∴ 解得<A<， ∴<2A－<，∴<sin≤1， ∴0<sin－≤， 即cos Acos C的取值范围为，B错误； 对于C，由正弦定理得 ＝＝＝＝＝＋·， 由B知<A<，∴＝＋， 又tan A∈，∴∈(0，)， ∴＋∈， 即∈，C正确； 对于D，∵S△ABC＝S△ABD＋S△BDC， ∴acsin ＝csin ＋asin ， 即ac＝c＋a，∴a＋c＝ac， 即＋＝， ∴4a＋c＝(4a＋c)＝≥＝3(当且仅当＝，即c＝2a时取等号)， 当c＝2a时，由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accos B＝5a2－2a2＝3a2， ∴a2＋b2＝c2，即△ABC为直角三角形，不合题意， ∴4a＋c>3，D错误． 三、填空题 7．在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若c2＝a(a＋b)，则sin A的取值范围是________． 答案　 解析　由c2＝a(a＋b)，得c2＝a2＋ab，由余弦定理得c2＝a2＋b2－2abcos C， ∴a2＋ab＝a2＋b2－2abcos C，即b＝a＋2acos C， 由正弦定理得sin A＋2sin Acos C＝sin B， ∵B＝π－(A＋C)， ∴sin A＋2sin Acos C＝sin B＝sin Acos C＋cos Asin C，即sin A＝sin(C－A)． ∵c2＝a2＋ab，∴c>a，∴C－A>0， 又△ABC为锐角三角形， ∴0<A<，0<C－A<， ∴A＝C－A，解得C＝2A， 又0<A<，0<B＝π－3A<，0<C＝2A<， ∴<A<，∴sin A∈. 8．(2022·全国甲卷)已知△ABC中，点D在边BC上，∠ADB＝120°，AD＝2，CD＝2BD.当取得最小值时，BD＝________. 答案　－1 解析　设BD＝k(k>0)，则CD＝2k. 根据题意作出大致图形，如图． 在△ABD中，由余弦定理得AB2＝AD2＋BD2－2AD·BDcos∠ADB＝22＋k2－2×2k·＝k2＋2k＋4. 在△ACD中，由余弦定理得 AC2＝AD2＋CD2－2AD·CDcos∠ADC＝22＋(2k)2－2×2×2k·＝4k2－4k＋4， 则＝ ＝ ＝4－＝4－ ＝4－. ∵k＋1＋≥2(当且仅当k＋1＝， 即k＝－1时等号成立)， ∴≥4－＝4－2＝(－1)2， ∴当取得最小值－1时，BD＝k＝－1. 四、解答题 9．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2bsin＝a＋c. (1)求B； (2)若△ABC为锐角三角形，且b＝2，求其周长的取值范围． 解　(1)因为2bsin＝a＋c， 由正弦定理可得 2sin Bsin＝sin A＋sin C， 即2sin B＝sin A＋sin(A＋B)， 整理得sin Bsin A＝sin A＋cos Bsin A， 又A∈(0，π)，所以sin A≠0， 所以sin B－cos B＝1，即sin＝， 又B∈(0，π)，所以B－∈， 所以B－＝，即B＝. (2)由(1)知B＝，又b＝2， 由正弦定理，得＝＝＝， 所以a＝sin A，c＝sin C， 所以a＋c＝(sin A＋sin C) ＝ ＝＝4sin， 在锐角△ABC中， ⇒<A<，则<A＋<， 所以<sin≤1，则2<a＋c≤4， 故△ABC的周长的取值范围为(2＋2,6]． 10．请从①asin B－bcos Bcos C＝ccos2B；②(sin A－sin C)2＝sin2B－sin Asin C；③＝a这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并加以解答(如未作出选择，则按照选择①评分．选择的编号请填写到答题卡对应位置上) 在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若________， (1)求角B的大小； (2)若△ABC为锐角三角形，c＝1，求a2＋b2的取值范围． 解　(1)若选①， 因为asin B－bcos Bcos C＝ccos2B， 由正弦定理得sin Asin B＝sin Bcos Bcos C＋sin Ccos2B， 即sin Asin B＝cos B(sin Bcos C＋sin Ccos B)＝cos Bsin(B＋C)， 所以sin Asin B＝cos Bsin A， 由A∈(0，π)，得sin A≠0，所以sin B＝cos B， 即tan B＝， 因为B∈(0，π)，所以B＝. 若选②， 由(sin A－sin C)2＝sin2B－sin Asin C， 化简得sin2A＋sin2C－sin2B＝sin Asin C. 由正弦定理得a2＋c2－b2＝ac， 即＝，所以cos B＝. 因为B∈(0，π)，所以B＝. 若选③， 因为＝a，由正弦定理得＝sin A， 即sin Bsin A＝sin A(1＋cos B)， 因为0<A<π，所以sin A≠0， 所以sin B＝1＋cos B，所以sin＝， 又因为－<B－<， 所以B－＝，所以B＝. (2)在△ABC中，由正弦定理＝＝， 得a＝，b＝， 由(1)知，B＝， 又с＝1，代入上式得a＝，b＝， 所以a2＋b2＝c2＋2abcos C＝1＋2cos C＝1＋cos C＝1＋cos C＝1＋cos C ＝1＋×cos C ＝1＋＋. 因为△ABC为锐角三角形， 所以解得C∈， 所以tan C>，所以∈(0，)， 所以a2＋b2＝1＋＋ ＝2＋∈(1,7)． 11．已知△ABC的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，且b2＋2c2－2a2＝0. (1)若tan C＝，求A的大小； (2)当A－C取得最大值时，试判断△ABC的形状． [解]　(1)∵b2＋2c2－2a2＝0，即b2＝2(b2＋c2－a2)，∴cos A＝＝＝， ∴4sin C cos A＝sin B＝sin (A＋C)＝sin A cos C＋cos A sin C，即tan A＝3tan C. 当tan C＝时，tan A＝3tan C＝1， 又A∈(0，π)，∴A＝. (2)由(1)知，tan A＝3tan C，∴0<C<A<， tan (A－C)＝＝＝≤＝，当且仅当＝3tan C，即tan C＝，C＝时等号成立，∴tan (A－C)的最大值为. 又0<A－C<，∴A－C的最大值为， 此时A＝，∴B＝. ∴△ABC为直角三角形． 12.如图，有一景区的平面图是一个半圆形，其中O为圆心，直径AB的长为2 km，C，D两点在半圆弧上，且BC＝CD，设∠COB＝θ. (1)当θ＝时，求四边形ABCD的面积； (2)若要在景区内铺设一条由线段AB，BC，CD和DA组成的观光道路，则当θ为何值时，观光道路的总长l最长？并求出l的最大值． [解]　(1)连接OD，因为BC＝CD，所以∠COD＝∠COB＝，∠AOD＝. 所以四边形ABCD的面积S＝S△BOC＋S△COD＋S△DOA＝2××1×1×sin ＋×1×1×sin ＝＋. (2)由题意，在△BOC中，∠BCO＝， 由正弦定理得＝＝， 所以BC＝CD＝＝2sin . 同理，在△AOD中，∠OAD＝∠COB＝θ，∠DOA＝π－2θ， 由正弦定理得＝， 所以DA＝＝2cos θ. 所以l＝2＋4sin ＋2cos θ＝2＋4sin ＋2，其中0<θ<. 令t＝sin，则0<t<. 所以l＝2＋4t＋2(1－2t2)＝4＋4t－4t2＝－4＋5，所以当t＝，即θ＝时，l取得最大值5. 第 1 页 共 3 页 学科网（北京）股份有限公司 $$