精品解析：2024-2025学年苏科版八年级上册数学期中练习卷

2024年苏科版八年级上册数学期中练习卷 （练习范围：第1、2、3章） 一、选择题（每小题3分，合计24分） 1. 全民阅读有助于提升一个国家、一个民族精神力量．图书馆是开展全民阅读的重要场所．以下是我省四个地市的图书馆标志，其文字上方的图案是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】如果一个图形沿着某条直线对折后，直线两旁的部分能够重合，则称这个图形是轴对称图形，这条直线叫做对称轴；根据这个概念判断即可． 【详解】解：根据轴对称图形的概念知，C选项中文字上方的图案是轴对称图形， 故选：C． 【点睛】本题考查了轴对称图形，理解此概念是关键． 2. 如图，在中，，，．以为一条边向三角形外部作正方形，则正方形的面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据勾股定理解得的值，再结合正方形的面积公式解题即可． 【详解】在中，，，， 以为一条边向三角形外部作的正方形的面积为， 故选：D． 【点睛】本题考查勾股定理的应用，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键． 3. 某城市几条道路的位置关系如图所示，道路，道路AB与AE的夹角∠BAE＝50°．城市规划部门想新修一条道路CE，要求CF＝EF，则∠E的度数为（ ） A. 23° B. 25° C. 27° D. 30° 【答案】B 【解析】 【分析】先根据平行线的性质，由得到∠BAE=∠DFE=50°，然后根据三角形外角性质计算∠E的度数． 【详解】解：∵，∠BAE＝50°， ∴∠BAE=∠DFE=50°， ∵CF＝EF， ∴∠C=∠E， ∵∠DFE=∠C+∠E=50°， ∴∠E=25°． 故选：B． 【点睛】本题考查了平行线的性质，等腰三角形的性质，以及三角形的外角性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 4. 如图，的垂直平分线交于点，若，则的度数是（ ） A. 25° B. 20° C. 30° D. 15° 【答案】D 【解析】 【分析】根据等要三角形的性质得到∠ABC，再根据垂直平分线的性质求出∠ABD，从而可得结果． 【详解】解：∵AB=AC，∠C=∠ABC=65°， ∴∠A=180°-65°×2=50°， ∵MN垂直平分AB， ∴AD=BD， ∴∠A=∠ABD=50°， ∴∠DBC=∠ABC-∠ABD=15°， 故选D． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和垂直平分线的性质，解题的关键是掌握相应的性质定理． 5. 在和中，，，．若，则的度数为（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，含度角的直角三角形的性质；过A作于点G，过作于点，求得，分两种情况讨论，利用全等三角形的判定和性质即可求解． 【详解】解：过A作于点G，过作于点， ∵， ∴， 当在点G的两侧，在点的两侧时，如图， ∵，， ∴， ∴； 当在点G的两侧，在点的同侧时，如图， 同理， ∴， ∴， 综上，的值为或． 故选：C． 6. 如图，在△ABC中，AB=AC，△ADE的顶点D，E分别在BC，AC上，且∠DAE=90°，AD=AE，若∠C+∠BAC=145°，则∠EDC的度数为（　　） A. 17.5° B. 12.5° C. 12° D. 10° 【答案】D 【解析】 【分析】由AB=AC知∠B=∠C，据此得2∠C+∠BAC=180°，结合∠C+∠BAC=145°可知∠C=35°，根据∠DAE=90°、AD=AE知∠AED=45°，利用∠EDC=∠AED-∠C可得答案． 【详解】∵AB=AC， ∴∠B=∠C， ∴∠B+∠C+∠BAC=2∠C+∠BAC=180°， 又∵∠C+∠BAC=145°， ∴∠C=35°， ∵∠DAE=90°，AD=AE， ∴∠AED=45°， ∴∠EDC=∠AED-∠C=10°， 故选D． 【点睛】本题主要考查等腰直角三角形，解题的关键是掌握等腰直角三角形和等腰三角形的性质及三角形的内角和定理、外角的性质． 7. 在等腰三角形中，，若中线将该三角形的周长分为5和3两个部分，则该等腰三角形的底边长为（ ） A. B. 4 C. 或4 D. 或4 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，三角形中线的定义，三角形的三边关系，掌握三角形的任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边是解题关键．设腰长，底边长，结合三角形中线的定义，列二元一次方程组，求出、的值，再根据三角形的三边关系检验即可． 【详解】解：设腰长，底边长， 是中线， ， 中线将该三角形的周长分为5和3两个部分， 或， 或， 解得：或， 当等腰三角形腰长为，底边长为时，，可以组成三角形； 当等腰三角形腰长为，底边长为时，，不可以组成三角形； 该等腰三角形的底边长为， 故选：A． 8. 如图，在长方形中，，，延长到点E，使，连接，动点P从点B出发，以每秒2个单位的速度沿向终点A运动，设点P的运动时间为t秒，当t的值为（　　）秒时，与全等． A. 1 B. 1或3 C. 1或7 D. 3或7 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质．根据题意，分两种情况进行讨论，根据题意得出和即可求得． 【详解】解：由题意得：， 若，， 根据证得， ，即， 若，， 根据证得， ，即． 当t的值为1或7秒时．与全等． 故选：C． 二、填空题（每小题3分，合计30分） 9. 如图，在中，，，，点是的中点，求_______． 【答案】5 【解析】 【分析】本题主要考查由勾股定理，直角三角形斜边上的中线，求解的长是解题的关键．由勾股定理可求解的长，再利用直角三角形斜边上的中线可求解． 【详解】解：连接， 在中，，，， ， 点是的中点， ． 故答案为：5． 10. 如图，已知，且B，D，E三点在同一条直线上，若，，则的度数为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是三角形的外角的性质，全等三角形的性质，先证明，再利用三角形的外角的性质可得答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， 故答案为： 11. 如图，，与的平分线相交于点P，过点P作于点E，若，则两平行线与之间的距离为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，平行线间的距离的定义，过点作于，交于，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得，，再根据平行线之间的距离的定义判断出的长即为、间的距离． 【详解】解：如图，过点作于，交于，则，两平行线与之间的距离为的长， ∵， ∴，即， 是的平分线，，，， ， 是的平分线，， ， 平行线与间的距离为． 故答案为：4． 12. 如图，在△ACB中，C=90°，AB的垂直平分线交AB、AC于点M、N，若AC=8，BC=4，则NC的长度为_________． 【答案】3 【解析】 【分析】连接BN，设CN=x，在中应用勾股定理即可求解． 【详解】连接BN，设CN=x ∵MN为AB的垂直平分线 ∴AN=BN=8-x ∴在中， 即：，解得x=3 故答案为3． 【点睛】本题考查看垂直平分线的性质和勾股定理，熟练掌握垂直平分线的性质和推论是本题的关键． 13. 在中，，，点D在边上，连接，若为直角三角形，则的度数是________． 【答案】或 【解析】 【分析】由题意可求出，故可分类讨论①当时和②当时，进而即可求解． 【详解】解：∵，， ∴． ∵为直角三角形， ∴可分类讨论：①当时，如图1， ∴； ②当时，如图2， 综上可知的度数是或． 故答案为：或． 【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质，三角形内角和定理．解答本题的关键是明确题意，利用等腰三角形的性质和分类讨论的数学思想解答． 14. 《九章算术》中提出了如下问题：“今有户不知高、广，竿不知长短，横之不出四尺，从之不出二尺，邪之适出．问户高、广、邪各几何？”这段话的意思如 下：现在有一扇门，不知道它的高和宽；有一根竹竿，不知道它的长短，将竹竿横着放，比门宽长出4尺；将竹竿竖着放，比门高长出2尺；将竹竿斜着放，与门对角线恰好长度相等．问这扇门的高、宽和对角线长各是多少？若设竿长为x尺，则可列方程为：_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，根据题意建立方程是解题的关键．由题意竿长尺，则门高为尺，门宽为尺，门的对角线长为尺，根据勾股定理即可列出方程． 【详解】解：由题意竿长尺，则门高为尺，门宽为尺，门的对角线长为尺，根据题意： ， 故答案为：． 15. 直角三角形中，直角边a，b，斜边为c，则______（填>，<，=） 【答案】 【解析】 【分析】利用勾股定理和不等式性质证明即可． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案：． 【点睛】本题主要考查了不等式基本性质和勾股定理，解题的关键是熟练掌握勾股定理，在一个直角三角形中，两条直角边分别为a、b，斜边为c，那么． 16. 如图，已知平分，，交于点C，于点D，于点E，M是的中点，若，，则的长为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用、角平分线的性质、等腰三角形的判定、直角三角形斜边上的中线性质等知识；由角平分线的性质得出，，，由勾股定理得出，由平行线的性质得出，得出，证出，得出，由勾股定理求出，再由直角三角形斜边上的中线性质即可得出答案． 【详解】解∶∵平分，于点D，于点E， ，， 于点D 则为直角三角形，且M是的中点， 故答案为∶5． 17. 如图，中，D是的中点，交于，则_______． 【答案】10 【解析】 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质以及角平分线的性质的运用，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形，依据全等三角形对应边相等进行求解，解题时注意：角平分线上的点到角两边的距离相等；线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等． 先连接，过作于，根据角平分线的性质以及中垂线的性质，得出，进而判定，即可得到，据此列出方程，求得的值，即可得到长． 【详解】解：连接，过作于， ∵是的中点，， ∴垂直平分， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 设，则， ， 解得， ， 故答案为：10． 18. 如图，P是内一点，且，M、N分别是射线、上的动点，连接、、．若周长的最小值为，则的度数为________． 【答案】##30度 【解析】 【分析】本题考查了轴对称的性质，等边三角形的判定和性质，最短线段问题，利用轴对称的性质，将的最小值转化为的长是解题关键．分别作点关于的对称点，关于的对称点，连接、、、、，由轴对称的性质可知，，，，，，得到当、、、四点共线时，有最小值为的长，即的最小值为的长，证明是等边三角形，再根据即可求解． 【详解】解：如图，分别作点关于的对称点，关于的对称点，连接、、、、， 由轴对称的性质可知，，，，，， ， 当、、、四点共线时，有最小值为的长，即的最小值为的长， 周长的最小值为， 的最小值为，即， ， 是等边三角形， ， ， 故答案为：． 三、解答题（本题共10小题，合计96分） 19. 如图，B是的中点，，.求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】根据已知条件证得，，然后证明，应用全等三角形的性质得到． 【详解】证明：∵B是的中点， ∴， ∵， ∴， 在和中， ∴， ∴． 【点睛】此题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键． 20. 如图，已知，，，点P为边上一点且． （1）请用直尺和圆规在边上求作一点E，使；（要求：保留作图痕迹，不写作法） （2）求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）线段的垂直平分线与的交点即为所求的点E； （2）设，则，利用勾股定理解即可求出的长． 【小问1详解】 解：如图所示，线段的垂直平分线与的交点即为所求的点E； 理由：由线段垂直平分线的性质可知， 因此． 【小问2详解】 解：设，则， 在中，， 即， 解得， 即的长为． 【点睛】本题考查尺规作图——作线段的垂直平分线，垂直平分线的性质，勾股定理解直角三角形等，解题的关键是掌握垂直平分线的作图方法． 21. 作图题. （1）如图，在图①所给的方格纸中，每个小正方形的边长都是1，标号为①②③的三个三角形均为格点三角形(顶点在方格的顶点处)，请按要求将图②中的指定图形分割成三个三角形，使它们与标号为①②③的三个三角形分别对应全等(分割线画成实线); （2）如图③，在边长为1个单位长度的小正方形组成的正方形网格中，点，，都在小正方形的顶点上. ①在图中画出与关于直线成轴对称的; ②请在直线上找一点，使得的距离之和最小. 【答案】（1）见解析 （2）①见解析；②见解析 【解析】 【分析】考查作图—轴对称变换, 轴对称—最短路线问题，掌握两点之间线段最短是解题的关键． （1）根据图①中三角形的边长将图中②的图形分割即可； （2）①作出各点关于直线的对应点，再顺次连接即可； ②连接交直线于点，则点即为所求点． 【小问1详解】 解：如图2所示 ， 【小问2详解】 ①如图3所示 . ②点的位置如图3所示. 22. 《西江月》中描述：平地秋千未起，踏板一尺离地，送行二步恰竿齐，五尺板高离地…；翻译成现代文为：如图，秋千静止的时候，踏板离地高一尺（尺）将它往前推进两步（尺），此时踏板升高离地五尺（尺），求秋千绳索的长度． 【答案】秋千绳索的长度为尺． 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的实际应用，设尺，表示出的长，在中，利用勾股定理列出关于的方程，求出方程的解即可，学会利用参数构建方程，熟练掌握勾股定理的应用是解题的关键． 【详解】解：设尺， 由题意得四边形是长方形，尺，， ∵尺， ∴（尺）， ∴（尺）， 在中，由勾股定理得， ∴，解得：， 答：秋千绳索的长度为尺． 23. 如图，等腰直角三角板如图放置．直角顶点C直线m上，分别过点A、B作AE⊥直线m于点E，BD⊥直线m于点D． ①求证：； ②若设△AEC三边分别为a、b、c，利用此图证明勾股定理． 【答案】①证明见解析；②见解析. 【解析】 【分析】①通过AAS证得，根据全等三角形的对应边相等证得结论； ②利用等面积法证得勾股定理． 【详解】①证明：∵， ∴． ∵， ∴． 在△AEC与△BCD中， ∴． ∴； ②解：由①知： ∴ ． 又∵ ． ∴． 整理，得． 【点睛】主要考查了同角余角相等，全等三角形的判定和性质，勾股定理的证明，解本题的关键是判断两三角形全等． 24. 如图，△ABC 中，AD 是高，CE 是中线，点 G 是 CE 的中点，DG⊥CE，点 G 为垂足． （1）求证：DC=BE； （2）若∠AEC=66°，求∠BCE 的度数． 【答案】（1）证明见解析；（2）22°． 【解析】 【分析】（1）连接DE．由是的中点，得到是的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质得到由是的斜边上的中线，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到，即可得到． （2）由得到，由得到 根据三角形外角性质得到 则 由此根据外角的性质来求的度数． 【详解】（1）如图，连接DE． ∵是的中点，， ∴是的垂直平分线， ∴． ∵是高，是中线， ∴是的斜边上的中线， ∴． ∴； （2）∵， ， ． 【点睛】本题考查直角三角形斜边的中线的性质，线段垂直平分线的性质，三角形外角的性质以及等腰三角形的性质．正确的连接辅助线是解题关键． 25. （1）如图（1），已知CE与AB交于点E，AC＝BC，∠1＝∠2．求证：△ACE≌△BCE． （2）如图（2），已知CD的延长线与AB交于点E，AD＝BC，∠3＝∠4．探究AE与BE的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）证明见解析；（2）AE=BE；理由见解析 【解析】 【分析】（1）根据SAS可得出答案； （2）在CE上截取CF＝DE，证明△ADE≌△BCF（SAS），可得出AE＝BF，∠AED＝∠CFB，则可得出BE＝BF．结论得证． 【详解】（1）证明：在△ACE和△BCE中， ∵， ∴△ACE≌△BCE（SAS）； （2）AE＝BE． 理由如下： 在CE上截取CF＝DE， 在△ADE和△BCF中， ∵， ∴△ADE≌△BCF（SAS）， ∴AE＝BF，∠AED＝∠CFB， ∵∠AED+∠BEF＝180°，∠CFB+∠EFB＝180°， ∴∠BEF＝∠EFB， ∴BE＝BF， ∴AE＝BE． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 26. 如图①，在长方形中，将长方形折叠，使点B 落在边（含端点）上，落点记为E，这时折痕与边或者边（含端点）交于点F，然后展开铺平，则以B，E，F为顶点的三角形称为长方形的“折痕三角形”． （1）长方形的任意一个“折痕三角形”的形状是 三角形； （2）当“折痕三角形”的顶点E的位置如图②所示时，作出这个“折痕三角形”，（尺规作图，保留作图痕迹，并写出作法） （3）如图③，在长方形中，，当“折痕三角形”的顶点F和点C重合 时，设折痕与交于点N，求的长． 【答案】（1）等腰 （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】此题主要考查了折叠变换，熟练掌握长方形性质，折叠性质，尺规作图——作线段的垂直平分线，勾股定理的应用，是解决问题的关键． （1）根据折叠可得，进而可得是等腰三角形； （2）根据折痕是的垂直平分线，可得，因此即为所求作； （3）由折叠可得，由勾股定理计算出，进而可得，设，则，再利用勾股定理计算出x的值，即可得到答案． 【小问1详解】 解：如图①， 根据折叠可得， ∴是等腰三角形． 故答案为：等腰． 【小问2详解】 如图②， 连接，分别以B、E为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧相交于点G、H． 作直线交边于点F． 连接． 即可得到折痕． 【小问3详解】 如图③， 设， ∵长方形中，， 由折叠可得：， ∴． ∴． ∵，， ∴． 解得：． 故． 27. 如图，在中，，垂足分别为D、E，F为中点，与分别交于点G，H，． （1）求证：； （2）求证：． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】（1）根据三角形的内角和定理求出，推出，根据证出即可． （2）根据和F为中点，得出垂直平分，推出，根据和得出，在中，由勾股定理即可推出答案． 【小问1详解】 证明：∵， ∴． ∴． 在和中， ∵， ∴． ∴． 【小问2详解】 证明：连接， ∵F为的中点，， ∴垂直平分． ∴． ∵，， ∴． 在和中， ∵， ∴． ∴． 在中，由勾股定理得：． ∴． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，勾股定理，等角对等边，三角形内角和定理等知识，证明三角形全等是解题的关键． 28. 如图，矩形ABCD中，AB＝9，AD＝4. E为CD边上一点，CE＝6. 点P从点B出发，以每秒1个单位的速度沿着边BA向终点A运动，连接PE．设点P运动的时间为t秒． （1）求AE的长； （2）当t为何值时，△PAE为直角三角形； （3）是否存在这样的t，使EA恰好平分∠PED，若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）5；（2）6或；（3）存在，t=，理由见解析 【解析】 【分析】（1）在直角△ADE中，利用勾股定理进行解答； （2）需要分类讨论：AE为斜边和AP为斜边两种情况下的直角三角形； （3）假设存在．利用角平分线的性质，平行线的性质以及等量代换推知：∠PEA=∠EAP，则PE=PA，由此列出关于t的方程，通过解方程求得相应的t的值即可． 【详解】解：（1）∵矩形ABCD中，AB=9，AD=4， ∴CD=AB=9，∠D=90°， ∴DE=9﹣6=3， ∴AE==5； （2）①若∠EPA=90°，BP=CE=6，∴t=6； ②若∠PEA=90°，如图， 过点P作PH⊥PH⊥CD于H，∵四边形ABCD是矩形， ∴∠B=∠C=90°， ∴四边形BCHP是矩形， ∴CH=BP=t，PH=BC=4， ∴HE=CE-CH=6-t， 在Rt△PHE中，PE2=HE2+PH2=（6-t）2+42， ∵∠PEA=90°， 在Rt△PEA中，根据勾股定理得，PE2+AE2=AP2， ∴（6-t）2+42+52=（9-t）2，， 解得t=． 综上所述，当t=6或t=时，△PAE为直角三角形； （3）假设存在． ∵EA平分∠PED， ∴∠PEA=∠DEA． ∵CD∥AB， ∴∠DEA=∠EAP， ∴∠PEA=∠EAP， ∴PE=PA， ∴， 解得t=． ∴满足条件的t存在，此时t=． 【点睛】此题是四边形综合题，主要考查了矩形的判定和性质，勾股定理，解一元二次方程，用勾股定理建立方程是解本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024年苏科版八年级上册数学期中练习卷 （练习范围：第1、2、3章） 一、选择题（每小题3分，合计24分） 1. 全民阅读有助于提升一个国家、一个民族的精神力量．图书馆是开展全民阅读的重要场所．以下是我省四个地市的图书馆标志，其文字上方的图案是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，在中，，，．以为一条边向三角形外部作正方形，则正方形的面积是（ ） A B. C. D. 3. 某城市几条道路的位置关系如图所示，道路，道路AB与AE的夹角∠BAE＝50°．城市规划部门想新修一条道路CE，要求CF＝EF，则∠E的度数为（ ） A. 23° B. 25° C. 27° D. 30° 4. 如图，的垂直平分线交于点，若，则的度数是（ ） A. 25° B. 20° C. 30° D. 15° 5. 在和中，，，．若，则的度数为（ ） A. B. C. 或 D. 或 6. 如图，在△ABC中，AB=AC，△ADE的顶点D，E分别在BC，AC上，且∠DAE=90°，AD=AE，若∠C+∠BAC=145°，则∠EDC的度数为（　　） A. 17.5° B. 12.5° C. 12° D. 10° 7. 在等腰三角形中，，若中线将该三角形的周长分为5和3两个部分，则该等腰三角形的底边长为（ ） A B. 4 C. 或4 D. 或4 8. 如图，在长方形中，，，延长到点E，使，连接，动点P从点B出发，以每秒2个单位速度沿向终点A运动，设点P的运动时间为t秒，当t的值为（　　）秒时，与全等． A. 1 B. 1或3 C. 1或7 D. 3或7 二、填空题（每小题3分，合计30分） 9. 如图，在中，，，，点是的中点，求_______． 10. 如图，已知，且B，D，E三点在同一条直线上，若，，则的度数为___________． 11. 如图，，与的平分线相交于点P，过点P作于点E，若，则两平行线与之间的距离为___________． 12. 如图，在△ACB中，C=90°，AB的垂直平分线交AB、AC于点M、N，若AC=8，BC=4，则NC的长度为_________． 13. 在中，，，点D在边上，连接，若为直角三角形，则的度数是________． 14. 《九章算术》中提出了如下问题：“今有户不知高、广，竿不知长短，横之不出四尺，从之不出二尺，邪之适出．问户高、广、邪各几何？”这段话的意思如 下：现在有一扇门，不知道它的高和宽；有一根竹竿，不知道它的长短，将竹竿横着放，比门宽长出4尺；将竹竿竖着放，比门高长出2尺；将竹竿斜着放，与门对角线恰好长度相等．问这扇门的高、宽和对角线长各是多少？若设竿长为x尺，则可列方程为：_____． 15. 直角三角形中，直角边a，b，斜边为c，则______（填>，<，=） 16. 如图，已知平分，，交于点C，于点D，于点E，M是的中点，若，，则的长为__________． 17. 如图，中，D是的中点，交于，则_______． 18. 如图，P是内一点，且，M、N分别是射线、上的动点，连接、、．若周长的最小值为，则的度数为________． 三、解答题（本题共10小题，合计96分） 19. 如图，B是的中点，，.求证：． 20. 如图，已知，，，点P为边上一点且． （1）请用直尺和圆规在边上求作一点E，使；（要求：保留作图痕迹，不写作法） （2）求的长． 21. 作图题. （1）如图，在图①所给的方格纸中，每个小正方形的边长都是1，标号为①②③的三个三角形均为格点三角形(顶点在方格的顶点处)，请按要求将图②中的指定图形分割成三个三角形，使它们与标号为①②③的三个三角形分别对应全等(分割线画成实线); （2）如图③，在边长为1个单位长度小正方形组成的正方形网格中，点，，都在小正方形的顶点上. ①在图中画出与关于直线成轴对称的; ②请在直线上找一点，使得的距离之和最小. 22. 《西江月》中描述：平地秋千未起，踏板一尺离地，送行二步恰竿齐，五尺板高离地…；翻译成现代文为：如图，秋千静止的时候，踏板离地高一尺（尺）将它往前推进两步（尺），此时踏板升高离地五尺（尺），求秋千绳索的长度． 23. 如图，等腰直角三角板如图放置．直角顶点C在直线m上，分别过点A、B作AE⊥直线m于点E，BD⊥直线m于点D． ①求证：； ②若设△AEC三边分别为a、b、c，利用此图证明勾股定理． 24. 如图，△ABC 中，AD 是高，CE 是中线，点 G 是 CE 的中点，DG⊥CE，点 G 为垂足． （1）求证：DC=BE； （2）若∠AEC=66°，求∠BCE 的度数． 25. （1）如图（1），已知CE与AB交于点E，AC＝BC，∠1＝∠2．求证：△ACE≌△BCE． （2）如图（2），已知CD的延长线与AB交于点E，AD＝BC，∠3＝∠4．探究AE与BE的数量关系，并说明理由． 26. 如图①，在长方形中，将长方形折叠，使点B 落在边（含端点）上，落点记为E，这时折痕与边或者边（含端点）交于点F，然后展开铺平，则以B，E，F为顶点的三角形称为长方形的“折痕三角形”． （1）长方形的任意一个“折痕三角形”的形状是 三角形； （2）当“折痕三角形”顶点E的位置如图②所示时，作出这个“折痕三角形”，（尺规作图，保留作图痕迹，并写出作法） （3）如图③，在长方形中，，当“折痕三角形”的顶点F和点C重合 时，设折痕与交于点N，求的长． 27. 如图，在中，，垂足分别为D、E，F为中点，与分别交于点G，H，． （1）求证：； （2）求证：． 28. 如图，矩形ABCD中，AB＝9，AD＝4. E为CD边上一点，CE＝6. 点P从点B出发，以每秒1个单位的速度沿着边BA向终点A运动，连接PE．设点P运动的时间为t秒． （1）求AE的长； （2）当t为何值时，△PAE为直角三角形； （3）是否存在这样的t，使EA恰好平分∠PED，若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$