2025年1月广东省高中合格性学业水平考试数学模拟测试（五）

2025年1月份广东高中学业水平考试模拟试卷 1、 选择题:（本大题共12小题，每小题6分，共72分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．已知集合，集合，则的子集个数为（ ） A．2 B．4 C．8 D．16 2．下列各式正确的是（ ） A． B． C． D． 3．函数 的零点所在的区间是（ ） A． B． C． D． 4．已知，则（ ） A． B． C． D． 5．在中，若，则一定为（ ） A．等边三角形 B．钝角三角形 C．锐角三角形 D．直角三角形 6．下列命题正确的是（ ） A．若，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 7．已知是两条不重合的直线，为两个不同的平面，则下列说法正确的是（ ） A．若，是异面直线，那么与相交 B．若//,，则 C．若，则// D．若//，则 8．甲、乙两名学生的六次数学测验成绩(百分制)的茎叶图如图所示． ①甲同学成绩的中位数大于乙同学成绩的中位数； ②甲同学的平均分比乙同学的平均分高； ③甲同学的平均分比乙同学的平均分低； ④甲同学成绩的方差小于乙同学成绩的方差． 上面说法正确的是(　　) A．③④ B．①②④ C．②④ D．①③④ 9．书架上有两套我国四大名著，现从中取出两本.设事件表示“两本都是《红楼梦》”；事件表示“一本是《西游记》，一本是《水浒传》”；事件表示“取出的两本中至少有一本《红楼梦》”.下列结论正确的是（ ） A．与是互斥事件 B．与是互斥事件 C．与是对立事件 D．，，两两互斥 10．若复数满足，则（ ） A. 1 B. 5 C. 7 D. 25 11．下列函数为奇函数的是（ ） A. B. C. D. 12.已知奇函数的图象经过点，则的解析式可能为（     ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共6小题，每小题6分，共36分） 13.从分别写有1，2，3，4，5的5张卡片中无放回随机抽取2张，则抽到的2张卡片上的数字之和是偶数的概率为 . 14.若，则的最小值为___________. 15.一元二次不等式的解集是，则的值是 16．在中，是方程的两根，则_______． 17．已知向量夹角为，且，，则_______. 18．已知圆锥的母线长为2，其侧面展开图是一个半圆，则该圆锥的体积为______． 三、解答题（本大题共4个大题，第19－21题各10分，第22题12分，共42分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.） 19..在锐角△ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c，且． (1)求角C的大小； (2)若，且，求△ABC的周长． 20.中国移动通信公司早前推出“全球通”移动电话资费“个性化套餐”,具体方案如下： 方案代号 基本月租（元） 免费时间（分钟） 超过免费时间的话费（元/分钟） 1 30 48 0．60 2 98 170 0．60 3 168 330 0．50 4 268 600 0．45 5 388 1000 0．40 6 568 1700 0．35 7 788 2588 0．30 （1）写出“套餐”中方案的月话费（元）与月通话量（分钟）（月通话量是指一个月内每次通话用时之和）的函数关系式； （2）学生甲选用方案，学生乙选用方案，某月甲乙两人的电话资费相同,通话量也相同，求该月学生甲的电话资费； （3）某用户的月通话量平均为320分钟，则在表中所列出的七种方案中，选择哪种方案更合算，说明理由. 21.某社区组织了垃圾分类知识竞赛活动，从所有参赛选手中随机抽取20人，将他们的得分技能，，，，分组，绘成频率分布直方图（如图） (1)求x的值； (2)分别求出抽取的人中得分落在唱和内的人数； (3)估计所有参赛选手得分的平均数、中位数、众数． 22．如图，已知平面，四边形为矩形，四边形为直角梯形，，AB∥CD，，． （1）求证：平面； （2）求三棱锥的体积． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年1月份广东高中学业水平考试模拟试卷 解析版 注：本卷共22小题，满分150分。 一、单选题（本大题共15小题，每小题6分，满分90分） 1．已知集合，集合，则的子集个数为（ ） A．2 B．4 C．8 D．16 【答案】C 【解析】 试题分析：由，解得，所以，所以，所以的子集个数为，故选C． 考点：1、不等式的解法；2、集合的交集运算；3、集合的子集． 2．下列各式正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 【分析】 根式化简及零指数意义. 【详解】 对于A，，当为负数时等式不成立，故A不正确； 对于B，，当时无意义，故B不正确； 对于C，，左边为正，右边为负，故C不正确； 对于D，，故D正确. 故选：D. 【点睛】 根式化简注意根指数的奇偶性. 4．已知，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 分析：先将根据二倍角公式化简即可求值. 详解：由题可得： =3 故选D. 点睛：考查三角函数的二倍角公式的运用，属于基础题. 5．在中，若，则一定为（ ） A．等边三角形 B．钝角三角形 C．锐角三角形 D．直角三角形 【答案】B 【解析】 分析：将条件的原式移项，结合三角和差公式即可得出结论. 详解：由题可知：，故为锐角，由三角形的内角和为180°可知C为钝角，故三角形为钝角三角形，所以选B. 点睛：考查三角和差公式的应用，结合三角形的内角和结论即可，属于基础题. 9．下列命题正确的是（ ） A．若，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 【答案】C 【解析】 【分析】 根据每个选项的条件取特殊值或利用不等式的基本性质判断即可． 【详解】 对．取，则不成立，故错误； 对．当，时，不成立，故错误； 对．，，，，故正确； 对．根据，，取，则不成立，故错误． 故选：C． 11．已知是两条不重合的直线，为两个不同的平面，则下列说法正确的是（ ） A．若，是异面直线，那么与相交 B．若//,，则 C．若，则// D．若//，则 【答案】D 【解析】 【分析】 采用逐一验证法，结合线面以及线线之间的位置关系，可得结果. 【详解】 若，是异面直线, 与也可平行，故A错 若//，， 也可以在内，故B错 若 也可以在内，故C错 若//， 则，故D对 故选：D 【点睛】 本题主要考查线面以及线线之间的位置关系，属基础题. 13．甲、乙两名学生的六次数学测验成绩(百分制)的茎叶图如图所示． ①甲同学成绩的中位数大于乙同学成绩的中位数； ②甲同学的平均分比乙同学的平均分高； ③甲同学的平均分比乙同学的平均分低； ④甲同学成绩的方差小于乙同学成绩的方差． 上面说法正确的是(　　) A．③④ B．①②④ C．②④ D．①③④ 【答案】A 【解析】 由茎叶图知甲同学的成绩为72,76,80,82,86,90；乙同学的成绩为69,78,87,88,92,96.故甲同学成绩的中位数小于乙同学成绩的中位数，①错； 计算得甲同学的平均分为81，乙同学的平均分为85，故甲同学的平均分比乙同学的平均分低，因此②错、③对；计算得甲同学成绩的方差小于乙同学成绩的方差，故④对． 14．书架上有两套我国四大名著，现从中取出两本.设事件表示“两本都是《红楼梦》”；事件表示“一本是《西游记》，一本是《水浒传》”；事件表示“取出的两本中至少有一本《红楼梦》”.下列结论正确的是（ ） A．与是互斥事件 B．与是互斥事件 C．与是对立事件 D．，，两两互斥 【答案】B 【解析】 【分析】 根据互斥事件、对立事件的概念，对三个事件进行分析，由此确定正确选项. 【详解】 由于事件包含于事件，与是既不是对立也不是互斥事件，与是互斥事件，与是互斥事件.所以A,C,D三个选项错误. 故选：B 【点睛】 本小题主要考查对立事件和互斥事件的辨析，属于基础题. 二、填空题 16．在中，是方程的两根，则_______． 【答案】 【解析】 【分析】 根据韦达定理以及两角和的正切公式计算即可. 【详解】 由题可知：是方程的两根 所以 所以 故答案为： 【点睛】 本题主要考查两角和的正切公式，牢记公式，细心计算，属基础题. 17．已知向量夹角为，且，，则_______. 【答案】 【解析】 由已知，根据向量数量积定义，得，又，两边平方，得，则，解得. 三、解答题 20．中国移动通信公司早前推出“全球通”移动电话资费“个性化套餐”,具体方案如下： 方案代号 基本月租（元） 免费时间（分钟） 超过免费时间的话费（元/分钟） 1 30 48 0．60 2 98 170 0．60 3 168 330 0．50 4 268 600 0．45 5 388 1000 0．40 6 568 1700 0．35 7 788 2588 0．30 （1）写出“套餐”中方案的月话费（元）与月通话量（分钟）（月通话量是指一个月内每次通话用时之和）的函数关系式； （2）学生甲选用方案，学生乙选用方案，某月甲乙两人的电话资费相同,通话量也相同，求该月学生甲的电话资费； （3）某用户的月通话量平均为320分钟，则在表中所列出的七种方案中，选择哪种方案更合算，说明理由. 【答案】(1) （2）元. （3）见解析 【解析】 试题分析：（1）根据题意分和两种情况求得关系式，写成分段函数的形式；（2）设该月甲乙两人的电话资费均为元,通话量均为分钟，分，和三种情形分别求解判断；（3）分别求出三种方案中的月话费，通过比较大小可得结论． 试题解析： (1)由题意得，当时，; 当时，． 故所求解析式为 （2）设该月甲乙两人的电话资费均为元,通话量均为分钟. ①当时, 甲乙两人的电话资费分别为元, 元,不相等； ②当时, 甲乙两人的电话资费分别为（元）, 元, ,； ③当时, 甲乙两人的电话资费分别为（元）, （元）, 解得 所以该月学生甲的电话资费元. （3）月通话量平均为320分钟，方案的月话费为：30+0.6×（320-48）=193.2（元）； 方案的月话费为：98+0.6×（320-170）=188（元）； 方案的月话费为168元. 其它方案的月话费至少为268元. 经比较, 选择方案更合算. 21．如图，已知平面，四边形为矩形，四边形为直角梯形，，AB∥CD，，． （1）求证：平面； （2）求三棱锥的体积． 【答案】（1）见解析；（2） 【解析】 【分析】 （1）过点作，垂足为，利用勾股定理证明，利用平面，证明，即可证明平面； （2）证得平面，利用，即可求解的体积. 【详解】 (1)证明：过点C作CM⊥AB，垂足为M，因为AD⊥DC， 所以四边形ADCM为矩形，所以AM＝MB＝2， 又AD＝2，AB＝4，所以AC＝2，CM＝2，BC＝2， 所以AC2＋BC2＝AB2，所以AC⊥BC，因为AF⊥平面ABCD，AF∥BE， 所以BE⊥平面ABCD，所以BE⊥AC. 又BE⊂平面BCE，BC⊂平面BCE，且BE∩BC＝B， 所以AC⊥平面BCE. (2)因为AF⊥平面ABCD，所以AF⊥CM， 又CM⊥AB，AF⊂平面ABEF， AB⊂平面ABEF，AF∩AB＝A，所以CM⊥平面ABEF. VE－BCF＝VC－BEF＝××BE×EF×CM＝×2×4×2＝. 【点睛】 本题考查线面位置关系的判定与证明，以及几何体的体积的计算，其中熟练掌握空间中线面位置关系的定义、判定、几何特征是解答的关键，其中垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型：(1)证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行；(2)证明线面垂直，需转化为证明线线垂直；(3)证明线线垂直，需转化为证明线面垂直． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 第 1 页 共 10 页 学科网（北京）股份有限公司 $$