第22章二次函数检测卷-2024—2025学年人教版数学九年级上册

第22章二次函数检测卷-2024-2025学年数学九年级上册人教版 一、单选题 1．下列抛物线的最小值为的是（    ） A． B． C． D． 2．二次函数的顶点坐标为（   ） A． B． C． D． 3．设点，，是抛物线上的三点，则、、的大小关系为（    ） A． B． C． D． 4．已知一次函数（为常数）的图象如图所示，则函数的大致图象是（    ） A． B． C． D． 5．如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点，分别在轴、轴的正半轴上，抛物线经过，两点，若，则矩形的的周长为（    ） A．2 B．3 C．4 D．3 6．为了美观，在加工太阳镜时将下半部分轮廓制作成抛物线的形状（如图所示），对应的两条抛物线关于轴对称，轴，，最低点在轴上，高，，则右轮廓所在抛物线的解析式为（    ） A． B． C． D． 7．若点在抛物线上，其中，则不等式的解为（   ） A．或 B． C．或 D． 8．抛物线的对称轴是直线，且过点顶点位于第二象限，其部分图象如图所示给出以下判断：①，且；②；③；④；⑤直线与抛物线两个交点的横坐标分别为，，则．其中正确的个数有（　　）    A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 二、填空题 9．已知二次函数，用配方法可化为的形式是 ． 10．已知抛物线的顶点在轴上，则 ． 11．飞机着陆后滑行的距离（单位：）与滑行的时间（单位：）的函数解析式是，那么飞机着陆后滑行 才能停下来． 12．已知抛物线与x轴的一个交点为，则代数式的值为 ． 13．如图，已知抛物线与直线的两个交点坐标分别为、，则关于x的不等式的解集是 ．    14．如图，抛物线交轴于，两点，交轴于点，点为抛物线的顶点，点关于抛物线的对称轴的对称点为，点，分别在轴和轴上，则四边形周长的最小值为 ． 三、解答题 15．已知二次函数． (1)求二次函数图象的对称轴； (2)在平面直角坐标系中，画出二次函数的图象； (3)当时，结合图象直接写出函数的最大值和最小值． 16．已知二次函数的图象经过点． (1)求此二次函数的表达式； (2)求出该抛物线的顶点坐标，并直接写出随的增大而减小时，自变量的取值范围． 17．某商店经营一种成本为每千克40元的水产品，据市场调查，每天的销售量y（千克）与销售单价x（元）之间存在函数关系．设该商店销售这种水产品每天的销售利润为w元． (1)求w与x之间的函数关系式；（不要求写出自变量x的取值范围） (2)每千克水产品的销售单价定为多少元时，该商店销售这种水产品每天的销售利润最大？ 18．二次函数的图象与x轴交于A，B两点（A在B左侧），与y轴交于点C． (1)求A，B的坐标； (2)若，点D是该二次函数在第一象限图象上的动点，作轴，交二次函数的图象于另一点E，作点D关于y轴的对称点F．那么线段的长是否为定值，请说明理由； (3)若点P是该二次函数图象上的动点（不与A，B，C重合），作直线，分别与y轴交于点M，N，在P点运动的过程中，是否为定值，说明理由． 19．如图，抛物线经过点，对称轴为直线，点G坐标为，点C在边上运动，延长交抛物线于点B，连结，分别记，的面积为，． (1)求该抛物线表达式． (2)若点，均在抛物线上，且，，请比较，大小，并说明理由． (3)记，直线的表达式为，求t关于函数表达式，并求t的最大值． 20．图1是合肥逍遥津公园内的一座拱桥，跨度为，拱顶离地面高，拱桥的形状可以近似地看成一条抛物线．    (1)以的中点为坐标原点建立如图2所示的平面直角坐标系，请求出该拱桥所在抛物线的表达式； (2)当水面宽度小于或等于时，需要采取紧急措施，禁止游客进入．现在水面距离拱顶为，是否需要采取紧急措施？并说明理由． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C A D C C B A D 1．C 【分析】本题考查二次函数的最值、二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答． 将选项中抛物线解析式化为顶点式即可得到抛物线的最值，从而可以解答本题． 【详解】A、∵， ∴抛物线开口向上，顶点为， ∴函数有最小值1，不合题意； B、∵， ∴抛物线开口向上，顶点为， ∴函数有最小值，不合题意； C、∵， ．∴抛物线开口向上，顶点为， ∴函数有最小值，符合题意； D、， ∴抛物线开口向下，顶点为， ∴函数有最大值，不合题意． 故选：C． 2．A 【分析】本题考查了二次函数的顶点式．熟练掌握二次函数的顶点式是解题的关键． 根据，求解作答即可． 【详解】解：∵， ∴顶点坐标为， 故选：A． 3．D 【分析】本题考查了二次函数图象上的点的坐标特征，二次函数的增减性，利用增减性比较函数值的大小，由题意可得对称轴为轴，则关于轴的对称点为，根据二次函数的增减性可得函数值的大小关系． 【详解】解：抛物线解析式为， 对称轴为轴 ∵关于对称轴轴对称点为， ∴是抛物线上点， 又∵， 当时，随的增大而减小， ，点，，是抛物线上的三点， ， 故选：D． 4．C 【分析】本题主要考查二次函数的图象与系数的关系、二次函数图象的性质，根据一次函数的图象可得，则二次函数的图象开口朝上，与y轴的交点的纵坐标为，对称轴为，以此即可判断． 【详解】解：由一次函数（a为常数）的图象可知， ∴二次函数的图象开口朝上，故A选项不符合题意； ∵二次函数的图象与y轴的交点的纵坐标为， ∴二次函数的图象交于y轴正半轴，故D选项不符合题意； ∵二次函数的图象的对称轴为，， ∴抛物线的对称轴在y轴的右侧，故B选项不符合题意，C选项符合题意． 故选：C． 5．C 【分析】本题考查了矩形的性质和二次函数的图像与性质．首先根据抛物线与轴交点的横坐标为求出交点的纵坐标，再根据矩形的长与宽的关系求出点的坐标，把点的坐标代入抛物线求出的值，即可求出矩形的长与宽，从而可求矩形的周长． 【详解】解：把代入， 可得：， 点的坐标是， ， ， ， 点的坐标是， 把点的坐标是， 点的坐标是， 代入， 可得：， 整理得：， 提公因式可得：， 整理得：， 解得：，， 当时，，不成立， 故应舍去， 当时，，， 矩形的周长为． 故选：C． 6．B 【分析】本题考查了二次函数的应用，先根据B、D关于y轴对称，得出D点坐标为，再求出左边抛物线的顶点C的坐标为，则右边抛物线的顶点F的坐标为，设右边抛物线的解析式为，代入即可得出答案． 【详解】解：∵高，，B、D关于y轴对称， ∴D点坐标为， ∵轴，，最低点C在x轴上， ∴关于直线对称， ∴左边抛物线的顶点C的坐标为， ∴右边抛物线的顶点F的坐标为， 设右边抛物线的解析式为， 把代入得，解得， 故右边抛物线的解析式为， 故选：B． 7．A 【分析】本题考查了二次函数的性质，以及解不等式，先由点在抛物线上得，再将其代入不等式，再根据，得出解集即可． 【详解】解：∵点在抛物线上， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴或， ∴或， 故选：A． 8．D 【分析】本题考查二次函数与系数的关系，二次函数图象上的点的特征，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．根据二次函数的图象和性质一一判断即可． 【详解】解：∵抛物线对称轴，经过点， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴且，故①错误， ∵抛物线对称轴，经过， ∴和关于对称轴对称， ∴时，， ∴，故②正确， ∵抛物线与x轴交于， ∴时，， ∴， ∵， ∴，即，故③错误， ∵，， ∴，故④正确， ∵直线与抛物线两个交点的横坐标分别为， ∴方程的两个根分别为， ∴， ， ∴，故⑤错误，正确的个数为2个． 故选：D． 9． 【分析】本题主要考查了把二次函数解析式化为顶点式，直接利用配方法求解即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 10． 【分析】本题主要考查二次函数的性质，化为顶点式可求得抛物线的顶点坐标，可得到关于的方程，可求得的值． 【详解】解：， 抛物线顶点坐标为， 抛物线的顶点在轴上， ，解得， 故答案为：． 11． 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，滑行距离最远时，飞机才停下来，据此利用二次函数的性质求出有最大值时，的值即可得到答案． 【详解】解：∵，， ∴当时，有最大值， ∴飞机着陆后滑行才能停下来， 故答案为：． 12． 【分析】本题考查了抛物线上点的坐标特征以及求代数式的值，整体思想的应用是解题关键．将点代入抛物线，得到，再整体代入求值即可． 【详解】解：抛物线与x轴的一个交点为， ， ， ， 故答案为：． 13． 【分析】此题主要考查了二次函数与不等式，根据图形抛物线与直线的两个交点情况可知，不等式的解集为抛物线的图象不在直线图象的上方对应的自变量的取值范围． 【详解】解：抛物线与直线的两个交点坐标分别为、， 由图象可知，关于的不等式的解集是， 故答案为：． 14．/ 【分析】本题主要考查了二次函数综合，轴对称最短路径问题，勾股定理，先求出顶点D的坐标为，对称轴为直线，再求出，则由对称性可得，利用勾股定理求出；作点D关于y轴的对称点H，作点E关于x轴的对称点T，连接，则，，可推出当H、F、G、T四点共线时，最小，即此时四边形的周长最小，最小值为，据此利用勾股定理求出的长即可得到答案． 【详解】解：∵抛物线解析式为， ∴顶点D的坐标为，对称轴为直线， 在中，当，， ∴， ∵点关于抛物线的对称轴的对称点为， ∴， ∴； 如图所示，作点D关于y轴的对称点H，作点E关于x轴的对称点T，连接， ∴，， ∴四边形的周长， ∴当H、F、G、T四点共线时，最小，即此时四边形的周长最小，最小值为， ∵， ∴四边形的周长最小值为． 故答案为：． 15．(1)直线 (2)见解析 (3)函数最大值为0，最小值为 【分析】本题考查二次函数的性质、二次函数的最值、二次函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． （1）将函数解析式化为顶点式，即可得到该函数的对称轴； （2）写出该函数图象上的五个点，即可画出函数图象； （3）根据（2）中画出的函数图象，即可写出最大值和最小值． 【详解】（1）解：二次函数， 抛物线的对称轴为直线； （2）解：， 该函数的顶点坐标为，与轴的交点为，，与轴交于点，过点， 函数图象如图所示； （3）解：观察图象得，当自变量时， 当时，取最小值，此时，当时，取最大值，此时， 当时，． 即：函数最大值为0，最小值为． 16．(1) (2)；，该函数的随的增大而减小 【分析】（1）把坐标代入确定出的值，即可求得二次函数的表达式； （2）把解析式化成顶点式即可求得顶点坐标，然后根据二次函数的性质得到结论． 此题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的图象与性质，熟练掌握待定系数法是解本题的关键． 【详解】（1）解： 二次函数的图象经过点， ， 解得， 二次函数的解析式． （2）解：由， 对称轴是直线，顶点坐标是， 抛物线开口向上， 当时，该函数的随的增大而减小． 17．(1) (2)每千克水产品的销售单价定为70元时，该商店销售这种水产品每天的销售利润最大 【分析】此题考查了二次函数的实际应用，二次函数的最值，正确理解题意列出函数关系式是解题的关键． （1）根据利润=每件的利润乘以件数计算即可求出函数解析式； （2）将函数解析式化为顶点式，根据二次函数的性质解答． 【详解】（1）解：由题意得 ， 与x之间的函数关系式为； （2）解： ， ∵，抛物线开口向下， ∴当时，w有最大值， 答：每千克水产品的销售单价定为70元时，该商店销售这种水产品每天的销售利润最大． 18．(1) (2)是定值，理由见解析 (3)是定值，理由见解析 【分析】（1）令得到，解方程即可； （2）由得对称轴为直线，设，则，由点关于轴对称，则，故； （3）设，求得直线，则，同理直线，则，故，则，故是定值，且为． 【详解】（1）解：当，则， ∴， ∴或， ∴； （2）解：长是定值，理由如下： 由得对称轴为直线， 设，则由题意得：， ∴， ∵点关于轴对称， ∴， ∴； （3）解：是定值，理由如下： 当时，， ∴ 设，直线， 代入得：， 解得：， ∴直线， 当，， ∴， 设直线， 代入得：， 解得：， ∴直线， 当时，， ∴， ∴， ∴， ∴是定值，且为． 【点睛】本题考查了二次函数与一次函数的综合问题，涉及函数的图象与性质，与坐标轴的交点问题，二次函数的对称性，难度较大，计算较复杂，正确化简计算是解题的关键． 19．(1) (2)，理由见解析 (3)； 【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质，二次函数的最值问题，灵活掌握相关知识是解答本题的关键． （1）根据抛物线的对称轴方程可求出，再把代入，可求出，从而可得抛物线的解析式为； （2）分别把，代入得，，将化简得，求出，代入，求出或，取舍后得，再求出，，进行比较即可； （3）运用待定系数法求出直线的解析式为，设点的坐标为，由点在上得，求得，由得，配方后可得结论． 【详解】（1）解：由题意，得，解得． 把点代入，得． ∴抛物线表达式为． （2）解：∵点，均在抛物线上， ∴，， ， 又， ∴， 解得，或． ， ， ． （3）解：设直线表达式为， 把，代入，得： ， 解得，， 所以，直线表达式为， 点C在边上运动， ∴设． ∵点C在直线上， ，化简，得， ． 即． ∵， ∴抛物线开口向下，函数有最大值， ∴当时，． 20．(1) (2)需要，理由见解析 【分析】本题考查了二次函数的应用． （1）利用待定系数法求解即可； （2）计算出时对应的x的值，进而计算出水面宽度，即可判断． 【详解】（1）解：由题意知，，， ，，顶点， 设抛物线解析式为， 将代入，得：， 解得， 拱桥所在抛物线的表达式为； （2）解：需要，理由如下： ， 将代入，得：， 解得， 水面宽度为， 需要采取紧急措施． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$