第04章 实数 章节测试练习卷 -2024-2025学年八年级上学期数学核心知识点与常见题型通关讲解练（苏科版）

第04章 实数 章节测试练习卷 （考试时间：90分钟 试卷满分：100分） 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一．选择题：（本大题共10题，每题3分，满分30分） 1．下列实数中，无理数为（   ） A．0.3 B． C． D．2 2．计算：（    ） A． B． C．3 D．5 3．下列说法中错误的是 A．实数分为有理数、无理数和 0 B．无理数就是无限不循环小数 C．不是分数 D．的立方根为 4．下列四个数中，绝对值最大的实数是（    ） A．3 B． C． D．0 5．已知，，，则（    ） A． B． C． D． 6．下列结论正确的是（    ） A．9的平方根是3 B． C． D．±2是8的立方根 7．下列各式中，正确的是（    ） A．＞-3.141 B．＜ C．-2＞-3＞0 D．0.33 ＜｜-0.67｜＜ 8．一个正数的平方根是2a－3与5－a，则这个正数的值是（    ） A．64 B．36 C．81 D．49 9．下列各数中比3大比4小的实数是（    ） A． B． C． D． 10．下列四个实数中，最大的实数是（   ） A．         B．-1 C．0     D． 第Ⅱ卷 二．填空题：（本大题共8题，每题2分，满分16分） 11．如果a＜＜a+1，那么整数a＝ ． 12．把精确到百分位小数可近似为 ． 13．规定一种关于a、b的运算：a*b=,那么3 *（-2）= ． 14．若一个正数的平方根是和，则m的值是 ． 15．若实数a＋5的一个平方根是，b的立方根是，则2a＋b的值是 ． 16．对于“新运算”与有：，则 ． 17．观察下列等式：，，，，，，……，根据这个规律，则 的末尾数字是 18．下列数：6，，，0，，，，（每两个9之间依次多一个0），中属于整数集合的有 ；属于负分数集合的有 ；属于无理数的有 ． 三．解答题：（本大题共8题，19-23题每题6分，24-26题每题8分，满分54分） 19．计算：． 20．在数轴上表示下列数（要准确画出来），并用“＜”把这些数连接起来． －(－4)，－|－3.5|，，0，＋(＋2.5)，1 21．已知一直角三角形的两直角边长分别为1，2，斜边长为． (1)根据一直角三角形，写出关于的方程， 并说明是有理数吗？为什么？ (2)估计的值(结果精确到十分位)，并用计算器验证你的估计． (3)如果结果精确到百分位呢？ 22．如图所示，有个完全相同的等腰直角三角形，其腰长为cm，用这个等腰直角三角形拼成一个大正方形．    (1)请画出拼成的正方形，并求出该正方形的面积和边长； (2)在（）的基础下，嘉嘉想把该正方形剪出一个面积为的长方形，且长是宽的倍．这个想法能实现吗？ 23．某市在招商引资期间，把已倒闭的油泵厂出租给外地某投资商，该投资商为减少固定资产投资，将原来900平方米的正方形场地改建成735平方米的长方形场地，且其长、宽的比为． (1)求原来正方形场地的周长； (2)如果把原来正方形场地的铁栅栏围墙全部利用，围成新场地的长方形围墙，那么这些铁栅栏是否够用？试利用所学知识说明理由． 24．对任意一个四位正整数数m，若其千位与百位上的数字之和为9，十位与个位上的数字之和也为9，那么称m为“重九数”，如：1827、3663．将“重九数”m的千位数字与十位数字对调，百位数字与个位数字对调，得到一个新的四位正整数数n，如：m＝2718，则n＝1827，记D（m，n）＝m+n． （1）请写出两个四位“重九数”：　 　，　 　． （2）求证：对于任意一个四位“重九数”m，其D（m，n）可被101整除． （3）对于任意一个四位“重九数”m，记f（m，n）＝，当f（m，n）是一个完全平方数时，且满足m＞n，求满足条件的m的值． 25．小丽手中有块长方形的硬纸片，其中长比宽多，长方形的周长是．    (1)求长方形的长和宽； (2)现小丽想用这块长方形的硬纸片，沿着边的方向裁出一块长与宽的比为，面积为的新纸片作为他用．试判断小丽能否成功，并说明理由． 26．2023中国红色旅游博览会在于都举办，全国各地游客追随而来，纷纷走进长征源头、红色圣地于都，开展红色主题研学活动，开启红色文化之旅．在江西馆门口离地面一定高度的墙上D处，装有一个由传感器控制的迎宾门铃，人只要移动到该门口及以内时，门铃就会自动发出“于都欢迎您”的语音．如图，一个身高的学生刚走到B处（学生头顶在A处），门铃恰好自动响起，此时测得迎宾门铃与地面的距离和到该生头顶的距离相等．    (1)请你计算迎宾门铃距离地面多少米？ (2)若该生继续向前走，此时迎宾门铃距离该生头顶多少米？ ( 2 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第04章 实数 章节测试练习卷 （考试时间：90分钟 试卷满分：100分） 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一．选择题：（本大题共10题，每题3分，满分30分） 1．下列实数中，无理数为（   ） A．0.3 B． C． D．2 【答案】C 【知识点】无理数 【分析】根据无理数的定义对选项进行分析即可得到答案. 【详解】0.3、和2都是有理数，是无理数，故答案为C. 【点睛】本题考查无理数的定义，解题的关键是掌握无理数的定义. 2．计算：（    ） A． B． C．3 D．5 【答案】D 【知识点】求一个数的算术平方根 【分析】根据算术平方根的定义可得出正确的答案． 【详解】解： 故选：D 【点睛】本题考查算术平方根．负数没有算术平方根，零的算术平方根是零，正数的算数平方根是正数． 3．下列说法中错误的是 A．实数分为有理数、无理数和 0 B．无理数就是无限不循环小数 C．不是分数 D．的立方根为 【答案】A 【知识点】实数的分类、无理数、求一个数的立方根、立方根概念理解 【分析】根据实数、立方根、分数和无理数的定义逐个判断即可． 【详解】解：A、实数包括有理数、无理数，故A符合题意； B、无理数就是无限不循环小数，故B不符合题意； C、是无理数，不是分数，故C不符合题意； D、的立方根为，故D不符合题意； 故选A． 【点睛】本题考查实数的有关概念，利用实数的分类是解题关键，也考查了立方根． 4．下列四个数中，绝对值最大的实数是（    ） A．3 B． C． D．0 【答案】B 【知识点】实数的大小比较、求一个数的绝对值 【分析】本题主要考查了实数大小的比较和绝对值的定义，先求出各数的绝对值，再根据实数的大小比较方法进行判断即可． 【详解】解：，，， ∵， ∴绝对值最大的实数是． 故选：B． 5．已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】立方根的实际应用 【分析】将变形为，结合已知等式即可求解． 【详解】已知， ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查立方根的应用，解题关键是借助已知等式求解． 6．下列结论正确的是（    ） A．9的平方根是3 B． C． D．±2是8的立方根 【答案】C 【知识点】求一个数的立方根、求一个数的平方根、求一个数的算术平方根 【分析】根据平方根的定义立方根的定义依次判断． 【详解】解：A. 9的平方根是±3，故该选项错误； B. ，故该选项错误； C. ，故该选项正确； D. 2是8的立方根，故该选项错误； 故选：C． 【点睛】此题考查了求一个数的平方根，求一个数的立方根，正确理解平方根和立方根的定义是解题的关键． 7．下列各式中，正确的是（    ） A．＞-3.141 B．＜ C．-2＞-3＞0 D．0.33 ＜｜-0.67｜＜ 【答案】B 【分析】根据实数的大小的方法是：负数＜0＜正数；两个负数，绝对值大的反而小，即可得出答案． 【详解】解：A、-π＜-3.141，故本选项错误； B. ＜，故本选项正确； C. 0＞-2＞-3，故本选项错误； D. 0.33 ＜＜｜-0.67｜，故本选项错误； 故选：B 【点睛】此题考查了实数的大小比较，比较有理数的大小的方法是：（1）负数＜0＜正数；（2）两个负数，绝对值大的反而小． 8．一个正数的平方根是2a－3与5－a，则这个正数的值是（    ） A．64 B．36 C．81 D．49 【答案】D 【知识点】平方根概念理解、已知一个数的平方根，求这个数 【分析】根据正数的两个平方根互为相反数列式求出a的值，进而可求出这个这个数. 【详解】∵一个正数的平方根是2a－3与5－a， ∴2a－3+5－a=0， ∴a=-2， ∴5－a=5-（-2）=7， ∴这个正数的值是49. 故选D. 【点睛】本题考查了平方根的意义，如果个一个数x的平方等于a，即x2=a,那么这个数x叫做a的平方根，正数a的平方根记作.正数a有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根. 9．下列各数中比3大比4小的实数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】无理数的大小估算 【分析】估计各个选项中实数的大小，即可得到答案． 【详解】解：A.， ，故此选项不符合题意； B.，故此选项不符合题意； C.， ，故此选项符合题意； D.， ，故此选项不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了无理数的估算，准确估算无理数的大小是解题的关键． 10．下列四个实数中，最大的实数是（   ） A．         B．-1 C．0     D． 【答案】A 【知识点】实数的大小比较 【分析】正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小，据此判断即可． 【详解】∵|﹣2|＞＞0＞﹣1， ∴所给的四个实数中，最大的实数是|﹣2|． 故选A． 【点睛】此题主要考查了实数大小比较的方法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：正实数＞0＞负实数，两个负实数绝对值大的反而小． 第Ⅱ卷 二．填空题：（本大题共8题，每题2分，满分16分） 11．如果a＜＜a+1，那么整数a＝ ． 【答案】3 【知识点】无理数的大小估算 【分析】首先估算大小，再确定整数a的值即可． 【详解】∵, , , ∴整数a=3． 故答案是：3. 【点睛】考查了估算无理数的大小，其常见的思维方法：用有理数逼近无理数，求无理数的近似值． 12．把精确到百分位小数可近似为 ． 【答案】 【知识点】求一个数的近似数 【分析】本题考查了求近似数，掌握四舍五入法求近似数是解题的关键． 【详解】解：把精确到百分位小数可近似为， 故答案为：． 13．规定一种关于a、b的运算：a*b=,那么3 *（-2）= ． 【答案】5 【详解】因为a*b=，所以3 *（-2）= 14．若一个正数的平方根是和，则m的值是 ． 【答案】 【知识点】平方根的应用 【分析】根据平方根的定义可得，解方程即可求解． 【详解】解：∵一个正数的平方根是和， ∴ 解得：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了平方根的定义，掌握一个正数的平方根有两个,它们是互为相反数的关系是解题的关键． 15．若实数a＋5的一个平方根是，b的立方根是，则2a＋b的值是 ． 【答案】0 【知识点】已知一个数的立方根，求这个数、已知一个数的平方根，求这个数 【分析】根据平方根和立方根的概念求出a，b的值，再代入计算即可； 【详解】 解得 【点睛】此题考查了利用平方根和立方根的概念解决相关问题的能力，关键是能准确理解并运用平方根和立方根的概念 16．对于“新运算”与有：，则 ． 【答案】1 【知识点】新定义下的实数运算、含乘方的有理数混合运算 【分析】根据题目中给出的信息，列出算式进行计算即可． 【详解】解：根据题意得： ． 【点睛】本题主要考查了新定义运算，解题的关键是理解题意，列出相应的算式，准确计算． 17．观察下列等式：，，，，，，……，根据这个规律，则 的末尾数字是 【答案】0 【知识点】与实数运算相关的规律题 【分析】根据已知算式得出规律，求出505×（2+4+8+6）的结果，即可得出答案． 【详解】解：∵21=2，22=4，23=8，24=16，25=32；26=64， 2020÷4=505， ∴505×（2+4+8+6）=10100， ∴21+22+23+24+25+……+22020的末尾数字为0， 故答案为0． 【点睛】本题考查了尾数特征和数字变化类，能根据已知算式得出规律是解此题的关键． 18．下列数：6，，，0，，，，（每两个9之间依次多一个0），中属于整数集合的有 ；属于负分数集合的有 ；属于无理数的有 ． 【答案】 6，0 ， ，（每两个9之间依次多一个0） 【知识点】实数的分类 【分析】本题考查实数的分类及定义，根据实数的分类及定义即可求得答案． 【详解】解：属于整数集合的有6，0； 属于负分数集合的有，； 属于无理数的有，（每两个9之间依次多一个0）； 故答案为：6，0；，，（每两个9之间依次多一个0）． 三．解答题：（本大题共8题，19-23题每题6分，24-26题每题8分，满分54分） 19．计算：． 【答案】 【知识点】负整数指数幂、零指数幂、实数的混合运算、有理数的乘方运算 【分析】本题考查实数的运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键； 利用负整数指数幂，零指数幂及有理数的乘方进行计算即可； 【详解】解：原式 20．在数轴上表示下列数（要准确画出来），并用“＜”把这些数连接起来． －(－4)，－|－3.5|，，0，＋(＋2.5)，1 【答案】画图见解析，－|－3.5|<0<<1<＋(＋2.5)< －(－4) 【知识点】实数的大小比较 【分析】首先根据在数轴上表示数的方法，在数轴上表示出所给的各数；然后根据当数轴方向朝右时，右边的数总比左边的数大，把这些数由小到大用“＜”号连接起来即可． 【详解】如图，以OA为半径画弧，与数轴的交点位置即为的位置. －|－3.5|<0< <1 <＋(＋2.5)< －(－4) 【点睛】此题主要考查了实数大小比较的方法，在数轴上表示数的方法，以及数轴的特征：一般来说，当数轴方向朝右时，右边的数总比左边的数大，要熟练掌握． 21．已知一直角三角形的两直角边长分别为1，2，斜边长为． (1)根据一直角三角形，写出关于的方程， 并说明是有理数吗？为什么？ (2)估计的值(结果精确到十分位)，并用计算器验证你的估计． (3)如果结果精确到百分位呢？ 【答案】(1)，不是有理数，是无理数 (2) (3) 【知识点】无理数的大小估算、计算器——平方根和立方根、平方根的应用 【分析】本题考查了平方根的应用、无理数的估算，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由题意得出，再求出的值，判断即可得出答案； （2）估算出，结合，，，即可得出答案； （3）结合，即可得出答案． 【详解】（1）解：由题意得：， ∴， ∴，（不符合题意，舍去）， 故不是有理数，是无理数； （2）解：∵， ∴，即， ∵，，，， ∴； （3）解：∵，， ∴． 22．如图所示，有个完全相同的等腰直角三角形，其腰长为cm，用这个等腰直角三角形拼成一个大正方形．    (1)请画出拼成的正方形，并求出该正方形的面积和边长； (2)在（）的基础下，嘉嘉想把该正方形剪出一个面积为的长方形，且长是宽的倍．这个想法能实现吗？ 【答案】(1)图形见解析，正方形的面积为，长为； (2)不能． 【知识点】算术平方根的实际应用 【分析】（）根据题意，画出图形即可，计算个等腰直角三角形的面积和即可求出正方形的面积，进而求出正方形的边长； （）设长方形的宽为，求出长方形的长，与正方形的边长比较即可判断求解； 本题考查了算术平方根的应用，一元二次方程的应用，根据题意，找到等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 【详解】（1）解：如图，即为所拼成的正方形，    由题意可得，正方形的面积为， ∴正方形的边长为； （2）解：设长方形的宽为，则长为， 由题意可得，， 解得， ∴长为， ∴这个想法不能实现． 23．某市在招商引资期间，把已倒闭的油泵厂出租给外地某投资商，该投资商为减少固定资产投资，将原来900平方米的正方形场地改建成735平方米的长方形场地，且其长、宽的比为． (1)求原来正方形场地的周长； (2)如果把原来正方形场地的铁栅栏围墙全部利用，围成新场地的长方形围墙，那么这些铁栅栏是否够用？试利用所学知识说明理由． 【答案】(1) (2)够用，理由见解析 【知识点】算术平方根的实际应用 【分析】本题主要考查了算术平方根的实际应用. （1）先求出原正方形场地的边长，进而求出其周长即可； （2）设新长方形场地的长和宽分别为，，根据长方形面积公式得到方程，解方程得到新长方形场地的长和宽分别为，，则新长方形场地的周长为，再根据，即可得到结论． 【详解】（1）解：∵原来正方形场地的面积为， ∴原来正方形场地的边长为， ∴原来正方形场地的周长为； （2）解：这些铁栅栏够用，理由如下： 设新长方形场地的长和宽分别为，， 由题意得：， ∴（负值舍去）， ∴新长方形场地的长和宽分别为，， ∴新长方形场地的周长为， ∵， ∴这些铁栅栏够用． 24．对任意一个四位正整数数m，若其千位与百位上的数字之和为9，十位与个位上的数字之和也为9，那么称m为“重九数”，如：1827、3663．将“重九数”m的千位数字与十位数字对调，百位数字与个位数字对调，得到一个新的四位正整数数n，如：m＝2718，则n＝1827，记D（m，n）＝m+n． （1）请写出两个四位“重九数”：　 　，　 　． （2）求证：对于任意一个四位“重九数”m，其D（m，n）可被101整除． （3）对于任意一个四位“重九数”m，记f（m，n）＝，当f（m，n）是一个完全平方数时，且满足m＞n，求满足条件的m的值． 【答案】（1）3645，7263；（2）见解析；（3）9054、8163、6318、5427、4536 【知识点】不等式的解集、因式分解的应用、通过对完全平方公式变形求值、新定义下的实数运算 【分析】（1）根据“重九数“定义写出两个符合要求的数即可； （2）将m的各个数位上的数字用字母表示，得出D（m，n）的表达式，一定有因数101； （3）先得出f（m，n）的表达式，再根据完全平方数的特征得出不定方程，解不定方程即可求出m的值． 【详解】解：（1）根据“重九数“定义写出两个符合要求的数即可，3645，7263，（答案不唯一，符合题意即可）， 故答案为：3645，7263； （2）证明：设任意一个“重九数“m为，（a，b，c，d均为1～9的自然数），则n为， ∴D（m，n）＝m+n＝1000a+100b+10c+d+1000c+100d+10a+b＝101（10a+10c+b+d）， ∴D（m，n）可被101整除； （3）由（2）可知，对于任意的“重九数“m＝，有D（m，n）＝101（10a+10c+b+d）， ∴f（m，n）＝10a+10c+b+d， ∵a+b＝9，c+d＝9， ∴b＝9﹣a，d＝9﹣c， ∴f（m，n）＝10a+10c+b+d＝10a+10c+9﹣a+9﹣c＝9a+9c+18＝9（a+c+2）， ∵f（m，n）是完全平方数，9是完全平方数， ∴a+c+2是完全平方数， ∵1≤a≤9，1≤c≤9，且m＞n， ∴a＞c，5≤a+c+2≤19， ∴a+c+2＝9或16， 当a+c+2＝9时，解得或或． 当a+c+2＝16时，解得或． 综上所述，满足要求的m的值有：9054、8163、6318、5427、4536． 【点睛】本题以新定义的命题形式考查了整数的位值原理、整除、因式分解、完全平方数、不定方程等知识点，正确理解“重九数”的含义、熟悉完全平方数的性质以及会解不定方程是解答本题的关键． 25．小丽手中有块长方形的硬纸片，其中长比宽多，长方形的周长是．    (1)求长方形的长和宽； (2)现小丽想用这块长方形的硬纸片，沿着边的方向裁出一块长与宽的比为，面积为的新纸片作为他用．试判断小丽能否成功，并说明理由． 【答案】(1)长方形的长和宽分别为和 (2)能，理由见解析 【知识点】几何问题(一元一次方程的应用)、利用平方根解方程 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用．读懂题意，正确的列出方程，是解题的关键． （1）设长为cm，根据长比宽多，长方形的周长是，列出方程进行求解即可； （2）设裁出的新纸片的长为，则宽为，根据面积为，列出方程进行求解即可． 【详解】（1）解：设长方形的长为，则宽为， 由题意，得：， 解得：， ∴， 答：长方形的长和宽分别为和； （2）能成功，理由如下： 设裁出的新纸片的长为，则宽为， 由题意，得：， 解得：（负值舍掉）， ∴新的长方形的长为，宽为， ∵， ∴小丽能成功． 26．2023中国红色旅游博览会在于都举办，全国各地游客追随而来，纷纷走进长征源头、红色圣地于都，开展红色主题研学活动，开启红色文化之旅．在江西馆门口离地面一定高度的墙上D处，装有一个由传感器控制的迎宾门铃，人只要移动到该门口及以内时，门铃就会自动发出“于都欢迎您”的语音．如图，一个身高的学生刚走到B处（学生头顶在A处），门铃恰好自动响起，此时测得迎宾门铃与地面的距离和到该生头顶的距离相等．    (1)请你计算迎宾门铃距离地面多少米？ (2)若该生继续向前走，此时迎宾门铃距离该生头顶多少米？ 【答案】(1)迎宾门铃距离地面 (2)此时迎宾门铃距离该生头顶 【知识点】用勾股定理解三角形 【分析】本题考查勾股定理的应用，理解题意，构造直角三角形是解答的关键． （1）作于点，设迎宾门铃距离地面，利用求解x值即可； （2）如图2，利用勾股定理求得即可． 【详解】（1）解：由题意知，， 如图1，作于点，则，      设迎宾门铃距离地面，则， 在中，由勾股定理得：，即， 解得：.6． 迎宾门铃距离地面． （2）解：如图2，为该生向前走后的位置，则，    ，由（1）可知，， 在中，由勾股定理得：，即， 解得， 此时迎宾门铃距离该生头顶． ( 2 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$