24.1.4 圆周角 检测题 2024--2025学年人教版九年级数学上册

24.1.4 圆周角 检测题 班级：____________ 姓名：____________ 一、填空题 1．顶点在圆上，两边都和圆相交的角叫做 ． 圆周角的特征：①顶点在 上；②两边都和圆 ． 2．下列图形中的角是圆周角的是 ． A． B． C． D． 3．如图所示，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于H，∠A=30°，OH=1，则⊙O的半径是 ． 4．如图，A，B，C是⊙O上三点，∠AOC=∠B，则∠B= 度． 5．如图，是的直径，点、在上，若，则的度数是 °． 第3题图 第4题图 第5题图 6．如图，A、B、C、D都是上的点，，垂足为E，若．则 ． 7．如图，为的直径，且，点为上半圆的一点，平分，弦，那么的面积是 ． 8．如图，是的直径，弦垂直平分，是上一点，则等于 ． 9．如图，为⊙O的弦，，则弦所对的圆周角的度数为 ．    第7题图 第8题图 第9题图 10．如图，是的外接圆，是的高，且，，，E是上一个动点，不与A，C重合，则 ． 11．如图，是的直径，弦垂直平分，则的度数为 ． 12．如图，内接于，是的直径，点是延长线上的一点，，且，若点是上的一点，与交于点，且点等分半圆时，则 ． 第10题图 第11题图 第12题图 13．如图，点、、都在上，，，的度数 ． 14．如图，内接于，，，则的直径为 ． 15．如图，点都在上，且，则的半径为 ． 16．如图，为的直径，C为上半圆的一个动点，于点E，的角平分线交于点D．且的半径为5，连结，则 ；若弦的长为6，则 ． 第14题图 第15题图 第16题图 17．如图，为的一条弦，为上一点，，将劣弧沿弦翻折，翻折后的交于点，若为翻折后的中点，则的度数为 ． 18．如图，过、、三点的圆的圆心为点，过、、三点的圆的圆心为点．如果，那么 19．如图，、是的直径，弦，交于点，，则 ．    第17题图 第18题图 第19题图 20．如图，是的直径，弧=弧=弧，若，则 °． 21．如图，和是的直径，弦．若弦，则弦的长为 ． 22．如图，是的直径，点，在上，连接，，，若，则的度数为 ． 23．如图，是的直径，点在上，于交于点，，，，则的半径为 ． 第21题图 第22题图 第23题图 24．如图，是的弦，是优弧上一动点，连接，，，分别是，的中点，连接． （1）若取得最大值，则点在线段 上； （2）若，，则的最大值为 ． 25．如图，为的直径，点、、在上，且，，则的度数为 ． 26．如图，在中，直径交弦点E，，连接．若，则 度． 第24题图 第25题图 第26题图 27．如图，P是等腰所在平面内的一点，且定长，连接，．当的长最大时，的度数为 ． 28．如图，点在圆上，，点为的中点，的值为 ． 29．如图，四边形内接于，延长交于点E，连接，若，，则的大小为 °． 30．如图，是的内接四边形，为直径，，则的度数为 ． 第28题图 第29题图 第30题图 31．如图，在每个小正方形的边长均为1的网格图中，一段圆弧经过格点A，B，C，格点A，D的连线交圆弧于点E，则的长为 ． 32．如图，在中，，，的外接圆的半径为3，D是边延长线上一点，连接，交于点E，连接．若为等腰三角形，则线段的长度为 ． 33．如图，在圆内接四边形中，，，以为轴，为轴，建立如图所示的平面直角坐标系，若点的坐标为，则圆的直径长度是 ． 第31题图 第32题图 第33题图 34．如图所示，为了验证某个机械零件的截面是个半圆，某同学用三角板放在了如下位置，通过实际操作可以得出结论，该机械零件的截面是半圆，其中蕴含的数学道理是 ． 35．如图，已知圆内接矩形的其中两边长分别为6和9，则该圆的直径为 ． 36．小方的老家有一个古色古香的圆形门，如图所示，她测得下面矩形的边长高为，的长为1米，延长线与圆门交于点E，她测得的长约为米，则图中整个门的面积为 米2（结果保留根号和） 第35题图 第36题图 37．如图，在每个小正方形的边长为1的网格中， 内接于圆，且顶点A，C均在格点上，顶点B在网格线上． ①线段 的长等于 ； ②请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出一个以为边的矩形，并简要说明点P，Q的位置是如何找到的(不要求证明) ． 38．如图，在平面直角坐标系中，经过点O，与y轴交于点，与x轴交于点，则的长为 ． 39．如图，在的内接四边形中，，，则的度数为 ． 第37题图 第38题图 第39题图 40．如图，已知四边形是的内接四边形，为延长线上一点，，则等于 ． 41．如图，圆内接四边形两组对边的延长线分别交于点E，F，且，，则 ． 42．如图，四边形内接于，过点作，交于点．若，则等于 度．   第40题图 第41题图 第42题图 43．如图，点A、B、C、D、E在上，且，则所对的圆心角度数为 ． 44．在直角中，，，，点是内一点，满足，则的最小值为 ．    第43题图 第44题图 二、解答题 45．如图所示，是的一条弦，，垂足为C，交于点D，点E在上． (1)若，求的度数； (2)在（1）的条件下，若，求的长． 46．如图，中，，以为直径的交于，交于． (1)求证：； (2)若，求和的度数． 47．如图，是的直径，弦于点E，且，点M在上，经过圆心O，连接． (1)若，求的半径； (2)若，求线段的长． 48．如图，经过三个格点． (1)在图1中，先画的中点，再在上画点，使； (2)在图2中，是格点，是上的一点．先在上画点，使得，再将绕点顺时针旋转得到，画出线段． 49．如图，在平面直角坐标系中，直线分别与轴，轴相交于、两点，点为直线在第二象限的点． (1)求、两点坐标； (2)作的外接圆，延长交于点，当时，求的半径． 50．已知：如图，内接于，为直径，的平分线交于点，交于点，于点，且交于点，连结、． (1)求证：； (2)求证：． 参考答案： 1． 圆周角 圆 相交 【解析】略 2．C 【分析】本题考查圆周角的定义．根据圆周角的定义（角的顶点在圆上，并且角的两边与圆相交的角叫做圆周角）判断即可． 【详解】解：A、图中的角的顶点不在圆上，所以图中的角不是圆周角，故本选项不符合题意； B、图中的角的顶点不在圆上，所以图中的角不是圆周角，故本选项不符合题意； C、图中的角的顶点在圆上，两边与圆相交，所以图中的角是圆周角，故本选项不符合题意； D、图中的角的顶点在圆上，但两边不与圆相交，所以图中的角不是圆周角，故本选项不符合题意． 故选：C． 3．2 【分析】连接OC，利用半径相等以及三角形的外角性质结合已知的垂直条件求得∠COH=60°，∠OCH=30°，利用30度角的直角三角形的性质即可求解． 【详解】解：连接OC， ∵OA=OC，∠A=30°， ∴∠COH=2∠A=60°， ∵弦CD⊥AB于H， ∴∠OHC=90°， ∴∠OCH=30°， ∵OH=1， ∴OC=2OH=2， 故答案为：2． 【点睛】本题考查了三角形的外角性质和含30°角的直角三角形的性质．熟练掌握半径相等是解题的关键． 4．120 【分析】连结OB，可知△OAB和△OBC都是等腰三角形，∠ABC=∠A+∠C=∠AOC，四边形内角和360゜，可求∠B． 【详解】如图，连结OB， ∵OA=OB=OC， ∴△OAB和△OBC都是等腰三角形， ∴∠A=∠OBA，∠C=∠OBC， ∴∠ABC=∠OBA+∠OBC=∠A+∠C， ∴∠A+∠C=∠ABC=∠AOC ∵∠A+ ∠ABC+∠C+∠AOC=360゜ ∴3∠ABC=360゜ ∴∠ABC=120゜ 即∠B=120゜． 故答案为：120． 【点睛】本题考查圆周角度数问题，要抓住半径相等构造两个等腰三角形，把问题转化为解∠B的方程是关键． 5． 【分析】本题主要考查了同弧（等弧）所对的圆周角是圆心角的一半，能分析出和是同弧所对的圆周角与圆心角是解题的关键． 先求出所对的圆心角度数，再根据同弧（等弧）所对的圆周角是圆心角的一半即可得出结果． 【详解】解：， ， ． 故答案为：． 6． 【分析】本题主要考查了垂径定理，圆周角定理，三角形内角和定理，熟练掌握相关的性质，是解题的关键．连接，根据，得出，证明，根据，得出，根据，求出结果即可． 【详解】解：连接，如图所示： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 7．21 【分析】连接，，过点作于点，由角平分线定义得，则是等腰直角三角形，得出，再证是等腰直角三角形得，然后由勾股定理求出，得出，最后由三角形面积公式即可得出答案． 【详解】解：如图，连接，，过点作于点，   为直径， ， 平分， ， 是等腰直角三角形， ， ，， ， ， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， 在中，由勾股定理得：， ， ， 故答案为：21． 【点睛】本题考查了圆周角定理、角平分线定义、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理等知识，熟练掌握圆周角定理和勾股定理是解题的关键． 8． 【分析】本题考查圆周角定理，线段垂直平分线的性质，等边三角形的性质，关键是由线段垂直平分线的性质推出是等边三角形，由圆周角定理推出，．由线段垂直平分线的性质推出，得到是等边三角形，因此，由圆周角定理推出，，即可得到． 【详解】解：连接，   垂直平分， ， ， 是等边三角形， ， ， 是圆的直径， ， ． 故答案为：． 9．或 【分析】此题主要考查了圆周角定理、等腰三角形的性质，熟练掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解答此题的关键．首先根据，可得，然后根据三角形的内角和定理，求得，最后根据圆周角定理，求出弦所对的圆周角是多少即可． 【详解】解：， ， ， 弦所对的圆周角的度数是：； 弦所对的优弧的度数为：， 弦所对的圆周角的度数是：； 综上，弦所对的圆周角的度数是或， 故答案为：或． 10．/45度 【分析】本题考查了勾股定理、圆周角定理、等腰直角三角形的判定与性质，连接，由勾股定理得出，证明是等腰直角三角形，得出，再由圆周角定理即可得解． 【详解】解：如图：连接， ， ∵是的高， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵和所对的弧都为弧， ∴， ∴ 故答案为：． 11．/30度 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，等边三角形的判定以及性质，圆周角定理，连接，，，由垂直平分线的性质可得出得到，再证明是等边三角形，由等边三角形的性质可得出，再利用圆周角定理即可得出答案． 【详解】解：连接，，，如下图： ∵弦垂直平分， ∴ 又， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵圆心角与圆周角都对， ∴， 故答案为：． 12． 【分析】此题考查了圆周角定理、勾股定理、等腰三角形的判定和性质、含角直角三角形的性质等知识．过F作，H为垂足，证明，得到，，求得，设，得到,勾股定理求出，由点等分半圆得到，在中，则， 解得，即可求出答案． 【详解】解：过F作，H为垂足， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴ 设， ∴， ∴, ∴， ∵点等分半圆， ∴， 在中，, ∴， ∴， 解得， ∴. 故答案为： 13．/50度 【分析】本题考查了圆周角定理和圆心角定理，掌握圆的相关性质是解题关键．根据一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半，得到，进而得到，再根据圆心角的度数等于它所对的弧的度数，即可求解． 【详解】解：， ， ， ， ， ， 的度数， 故答案为：． 14． 【分析】此题考查了圆周角定理，勾股定理．连接，，利用“同一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半”得出，再用勾股定理即可求解． 【详解】解：如图，连接，， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∵， ∴， 故答案为：． 15． 【分析】本题考查圆心角、弧、弦的关系，勾股定理，圆周角定理，关键是通过作辅助线构造直角三角形，应用勾股定理即可解决问题．作使，过作交延长线于，连接，得到，推出，由圆周角定理推出，由三角形外角的性质得到，由圆心角、弧、弦的关系得到，求出，，由勾股定理得到，求出． 【详解】解：作使，过作交延长线于，连接，过作交于， ， ， ， ∴ ∵， ∴， ∴， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 的半径是． 故答案为：． 16． 【分析】如图1，连接，由是的角平分线，可得，由，可得，则，，，由勾股定理得，；如图1，过点A作于点F，由，可得，由勾股定理得，，可求，由勾股定理得，根据，计算求解即可． 【详解】解：如图1，连接． ∵是的角平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 由勾股定理得，； 如图1，过点A作于点F， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形，， 由勾股定理得，， 解得，， 由勾股定理得， ∴． 故答案为：，． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质，平行线的判定与性质，勾股定理，圆周角定理等知识．熟练掌握等腰三角形的判定与性质，平行线的判定与性质，勾股定理，圆周角定理是解题的关键． 17． 【分析】本题考查了圆周角定理，三角形的外角性质，三角形内角和定理，连接，，，，设，通过圆周角定理和三角形的外角性质用表示出，，利用三角形内角和定理，构建方程即可求解，解题的关键是理解题意，学会利用参数，构建方程解决问题． 【详解】解：连接，，，，设，    ∵， ∴， ∴， ∴， ∵为翻折后的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，，， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴． 18．18 【分析】连接、，过，，三点的圆的圆心为，且过，，三点的圆的圆心为，，可知，，，根据圆周角定理可得，由即可求解．本题主要考查了三角形外接圆与外心，圆周角定理知识点，熟练掌握圆周角定理并巧妙使用是解决问题的关键． 【详解】解：如图，连接、， 过，，三点的圆的圆心为，且过，，三点的圆的圆心为， ， ，，， ， ， ， ， 即， ． 故答案为：． 19． 【分析】本题主要考查了平行线的性质，圆周角定理，三角形外角的性质等知识点，熟练掌握圆周角定理是解题的关键． 根据平行线的性质和已知条件可得，根据圆周角定理可得，再根据三角形外角的性质即可得出答案． 【详解】解：弦，且， ， 所对的圆周角是，圆心角是， ， ， ， 故答案为：． 20． 【分析】本题考查了等弧的圆周角相等，熟记等弧的圆周角相等是解答本题的关键． 先求出，再根据等弧的圆周角相等得到即可求解． 【详解】解：， ， 弧=弧=弧， ． 21．3 【分析】连接，根据平行线的性质及圆周角与圆心角的关系可得到，从而即可求得的长．本题考查了圆周角和圆心角和它所对弦长的关系，并且有效的结合了平行线的性质． 【详解】解：连接， ， ．， ∵， ， ． ． 故答案为：3． 22． 【分析】本题主要考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题关键．先根据圆周角定理可得，，再根据直角三角形的性质求解即可得． 【详解】解：如图，连接， 由圆周角定理得：，， 则， 故答案为：． 23． 【分析】由直径所对的圆周角是直角得到，则，再证明得到，根据等边对等角得到，则，可得，再由勾股定理求出的长即可得到答案． 【详解】解：∵是的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴的半径为， 故答案为；． 【点睛】本题主要考查了圆周角与弦之间的关系，直径所对的圆周角是直角，勾股定理，等边对等角，证明，得到是解题的关键． 24． 【分析】（1）根据中位线定理知：当取得最大值时，就取得最大值，当最大时是的直径，即可得解； （2）如图，连接并延长交于点，连接，由（1）知，求得的直径后就可以求得最大值． 【详解】解：（1）∵点，分别是，的中点， ∴， ∴当取得最大值时，就取得最大值， 当为的直径时最大，此时点在线段上， 故答案为：； （2）如图，连接并延长交于点，连接， ∵点，分别是，的中点， ∴， ∴的最大值为， ∵和所对的弧是，，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴的最大值为为． 故答案为：． 【点睛】本题考查三角形的中位线定理，等腰三角形的判定，勾股定理，同弧或等弧所对的圆周角相等，解题的关键是了解当什么时候的值最大． 25．/40度 【分析】本题主要考查了圆的性质，等弧所对的圆周角相等，圆周角定理，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理等知识点，熟练掌握圆周角定理是解题的关键． 连接，，利用圆周角定理求出，再利用等腰三角形的性质和三角形的内角和定理求出，即可得出答案． 【详解】如图，连接，， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 26．70 【分析】本题主要考查直径所对的圆周角是直角，等腰三角形的性质，连接，由直径所对的圆周角是直角可求出，由可得出，最后根据三角形定理可求出结论． 【详解】解：连接，如图， ∵是的直径， ∴ ∵　 ∴， ∵ ∴， ∴ 故答案为：70． 27． 【分析】本题考查了圆的性质、直径所对的圆周角性质以及等腰三角形的性质，理解圆的性质以及直径所对的圆周角性质，解答本题的关键；通过已知条件得点P在等腰三角形的顶点A为圆心、为半径的圆上运动，然后，利用圆的性质，当弦直径时，其长度达到最大，接着利用直径所对的圆周角性质，得出当为直径时，。 【详解】解：， 点A为圆心，为半径作圆，那么点P必然在这个圆上。 由于是圆上的一条弦， ∴当为直径时，其长度达到最大。 三点都在以为半径的上． ∵直径是圆中最长的弦， 设此时点P的位置为，连接和， 是直径， 。 当是直径（如图，点P在处）时最大， 此时，． 故答案为：． 28． 【分析】本题考查了半圆或直径所对圆周角为直角，勾股定理，根据，可得是直径，根据点为的中点，可得，根据勾股定理可得，在中，运用勾股定理即可求解． 【详解】解：如图所示，连接， ∵， ∴是直径， ∴， ∵点为的中点， ∴， ∴， 在中，， 故答案为： ． 29．50 【分析】本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．根据圆周角定理得到，求出，根据圆内接四边形的性质得到，计算即可． 【详解】解：∵是的直径， ∴， 又， ∴， ∵四边形内接于，， ∴， ∴， 故答案为：50． 30．/20度 【分析】此题考查了圆周角定理，圆内接四边形的性质，三角形内角和定理．注意掌握数形结合思想的应用． 由是直径，可得，又由圆内接四边形的性质得到，根据三角形内角和定理，即可求得答案． 【详解】解：∵是直径， ∴， 又∵是的内接四边形，， ∴， ∴． 故答案为：． 31． 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理、等腰直角三角形的判定和性质、圆周角定理等，灵活运用所学知识求解是解决本题的关键．连接，根据勾股定理的逆定理和等腰三角形的判定可得是等腰直角三角形，再根据圆周角定理和弧长的计算公式进行求解即可． 【详解】解：如图，连接， ∵，， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∵， ∴是圆的直径， ∴， ∴， 故答案为：． 32．6或或 【分析】本题考查了三角形外接圆与外心，等腰三角形的性质，勾股定理，分类讨论是解题的关键．根据勾股定理得到，①当时，②当时，③当时，根据圆内接四边形的性质和等腰三角形的性质以及勾股定理即可得到结论． 【详解】解：， 是的直径， ， ， ①当时， ， ②当时， ③当时， ， 综上所述，若为等腰三角形，线段的长度为6或或， 故答案为：6或或． 33． 【分析】本题考查圆内接四边形的性质，等腰直角三角形的性质以及圆周角定理，得到线段为圆的直径是解答的关键．圆内接四边形中，相对的角互补，结合已知条件可求出的度数，从而判定为等腰直角三角形；根据勾股定理可得的值，进而得到圆的直径． 【详解】解：四边形是圆内接四边形， ， ， ， 又， ， ， 点的坐标为， ， ． ， 线段为圆的直径， 圆的直径为． 故答案为：． 34．的圆周角所对的弦是直径 【分析】本题考查圆周角定理，掌握“的圆周角所对的弦是直径”是正确解答的关键． 根据圆周角定理进行判断即可． 【详解】解：根据“的圆周角所对的弦是直径”即可得出答案， 故答案为：的圆周角所对的弦是直径． 35． 【分析】本题主要考查了圆周角定理，勾股定理，连接，利用圆周角定理得到是圆的直径，然后根据边长利用勾股定理求得直径的长即可． 【详解】解：连接，如图所示： ∵矩形中，， ∴为的直径， 根据勾股定理得：． 故答案为：． 36． 【分析】本题考查了圆周角定理，矩形的性质，圆的面积，勾股定理解题的关键是熟练掌握圆周角定理和勾股定理； 根据矩形的性质可知则，即可知为圆形门中圆的直径，再根据勾股定理求出，进而可求解 【详解】解：依题意得： 四边形为矩形， 为圆形门中圆的直径， 在中， 有勾股定理得：， 取的中点为O，连接，如图所示： 半圆的面积为：， 在中，， 即， 扇形的面积为：， 为等边三角形， 的面积为：， 矩形的面积为： 整个门的面积为：米2 故答案为： 37． 见解析 【分析】本题考查作图—复杂作图，勾股定理、矩形的判定，解题关键是理解题意，灵活运用所学知识是关键． ①利用勾股定理解题即可； ②先根据直角所对的弦是直径确定圆心，利用对角线相等且平分的四边形是矩形作图即可． 【详解】①， ②如图， 取格点 D， 连接与圆相交于点 P，连接； 取圆与网格线的交点E，F，连接，与相交于点O；连接并延长，与圆相交于点Q； 连接， ， ， 则四边形 即为所求． 38． 【分析】本题考查了90度圆周角所对的弦为直径，勾股定理，连接，通过题意判断出为直径，圆心P在上，根据勾股定理计算出的长，从而得出结果． 【详解】解：如图，连接，   为直角，且点都在圆上， 为直径，圆心P在上， ， ， ，， ， ， 故答案为：． 39．100 【分析】本题考查的是圆内接四边形的性质，等边对等角的知识，熟知圆内接四边形的对角互补是解答此题的关键． 连接，先根据圆内接四边形的性质求出的度数，再由等边对等角的性质以及三角形内角和的定理求出的度数，由圆内接四边形的性质即可得出结论． 【详解】解：如图，连接， ∵四边形是圆内接四边形，， ∴． ∵， ∴． ∴， ∵四边形是圆内接四边形， ∴． 故答案为： 40．/度 【分析】本题主要考查圆周角定理、圆内接四边形的性质等，灵活运用以上知识点是解题的关键．根据圆周角定理先求出，再根据圆内接四边形的性质求出的度数，最后根据邻补角的定义即可求出答案． 【详解】解：， ， 四边形是的内接四边形， ， ． 故答案为：． 41． 【分析】本题考查的是圆内接四边形的性质，根据圆内接四边形的性质得到，根据三角形的外角的性质计算即可 【详解】解：∵四边形是圆内接四边形， ∴ ∵， ∴即， 解得， 故答案为： 42． 【分析】本题主要考查了圆内接四边形的性质，平行线的性质，先由两直线平行，同位角相等得到，再根据圆内接四边形对角互补进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵四边形内接于， ∴， ∴， 故答案为：． 43．/50度 【分析】本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理，连接，根据圆内接四边形的性质得到，根据题意求出，根据圆周角定理求出的度数． 【详解】解：如图，连接，，， 四边形为的内接四边形， ， ∵， ∴， ∴， 的度数为， 故答案为：． 44．2 【分析】本题考查点与圆位置关系、圆周角定理、最短问题等知识，解题的关键是确定点P位置，学会求圆外一点到圆的最小、最大距离．首先证明点P在以为直径的上，连接与交于点P，此时最小，利用勾股定理求出即可解决问题． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点P在以为直径的上，连接交于点D，此时最小， ∴， 在中，∵，，， ∴， ∴． 故答案为：2．    45．(1) (2) 【分析】本题考查了圆周角定理、垂径定理、勾股定理等知识点．灵活运用垂径定理是解答关键． （1）如图：连接，由垂径定理可得，则，再根据圆周角定理求得的度数． （2）设，则，求出，得到，则，解得，由勾股定理得到，最后根据即可解答． 【详解】（1）解：如图：连接， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：设，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 46．(1)见解析 (2)， 【分析】本题考查了圆内接四边形对角互补，直径所对的圆周角是直角、等腰三角形性质以及三角形内角和定理等知识． （1）连接，先由圆周角定理得，则，再由等腰三角形的性质得即可得出结论； （2）先求出，根据三角形内角和定理求出，等腰三角形的性质得，再由三角形外角的性质求出，再根据四边形是的内接四边形，结合，即可得出的度数． 【详解】（1）证明：连接，如图所示： 是的直径， ， ， ， ． （2）解：是的直径， ∴ ∵， ∴ ∵， ∴ ∴ ∵四边形是的内接四边形 ∴ 又∵ ∴． 【点睛】本题考查了圆内接四边形对角互补，直径所对的圆周角是直角、等腰三角形性质以及三角形内角和定理和外角的性质等知识． 47．(1)13 (2) 【分析】本题主要考查圆周角定理、垂径定理、勾股定理，作出辅助线，熟练掌握相关的判定和性质，是解题的关键． （1）设的半径长为r，则，根据勾股定理得出，即，求出r即可； （2）连接，证明，得出，设的半径长为r，根据勾股定理得出，解方程，求出结果即可． 【详解】（1）解：设的半径长为r， 则， ∵是的直径，弦于点E，且， ∴， ∴， 即， 解得，， 即的半径是13； （2）解：连接，如图所示： ∵， ∴， ∵是的直径，弦于点E，且， ∴， ∴， ∴， 设的半径长为r， 则， 解得，或（舍去）， ∴． 48．(1)作图见解析 (2)作图见解析 【分析】（1）作弦的垂直平分线，交于点，即是的中点，再作弦的垂直平分线，交于点，连接即可得到； （2）延长交于点，连接并延长交于点，作射线，由直径所对的圆周角是直角即可得到，再以点为圆心、为半径画弧，交射线于或交射线于，即可得到线段． 【详解】（1）解：如图所示： 点、点即为所求； （2）解：如图所示： 点、线段即为所求． 【点睛】本题考查复杂作图，涉及垂直平分线的尺规作图、圆的性质、圆周角定理、尺规作图作等线段等知识，熟练掌握基本尺规作图及圆的性质是解决问题的关键． 49．(1)， (2) 【分析】本题考查一次函数与坐标轴的交点问题，圆周角定理，勾股定理，全等三角形的判定和性质： （1）分别令，求出、两点坐标即可； （2）圆周角定理，得到，证明，得到，进而求出半径即可． 【详解】（1）解：∵， ∴当时，，当时，，解得：， ∴， （2）∵，， ∴， ∴， 由题意，得：为的直径， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴的半径为． 50．(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据角平分线的定义可得，再利用等弧所对的圆周角相等可得，然后利用等量代换即可解答； （2）根据直径所对的圆周角是直角可得，再利用同角的余角相等可得，然后利用三角形外角的性质可得，从而可得，最后根据等角对等边，即可解答． 【详解】（1）证明：平分， ， ， ； （2）证明：为的直径， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ． 【点睛】本题考查了圆周角定理及其推论，三角形外角的性质，等角对等边等知识，熟练掌握圆周角定理是解题的关键． 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$