28.2.2 第2课时 坡角、方向角与解直角三角形(课件PPT)-【夺冠百分百】2024-2025学年九年级全一册数学新导学课时练（人教版）河北专版

28.2.2　应用举例 第2课时　坡角、方向角 与解直角三角形 1.方向角问题 指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的角叫做　　　　角.北偏东45°实际上就是　　　方向.  2.坡度与坡角问题 坡面的　　　　 与　 　　　的比叫做斜面坡度.若坡面与水平面的夹角为α,则坡度i与坡角α之间的关系是　　 　　.  方向 东北 铅直高度 水平宽度 i=tan α 目录 上页 首页 下页 知识点一　方向角问题 1.如图,一艘轮船位于灯塔P的北偏东60°方向上,与灯塔P的距离为30海里的A处,轮船沿正南方向航行一段时间后,到达位于灯塔P的南偏东30°方向上的B处,则此时轮船所在位置B处与灯塔P之间的距离为(　　) A.60海里 B.45海里 C.20 海里 D.30 海里 D 目录 上页 首页 下页 2.如图,琪琪一家驾车从A地出发,沿着北偏东60°的方向行驶,到达B地后沿着南偏东50°的方向行驶来到C地,且C地恰好位于A地正东方向上,则下列说法正确的是(　　) A.B地在C地的北偏西40°方向上 B.A地在B地的南偏西60°方向上 C.∠ACB=50° D.sin∠BAC= 3.如图,一艘轮船位于灯塔P的南偏东60°方向,距离灯塔50海里的A处,它沿正北方向航行一段时间后,到达位于灯塔P的北偏东45°方向上的B处,此时B处与灯塔P的距离为 　　　　海里;AB=　　　 　海里.(结果保留根号)  B 25 (25+25) 目录 上页 首页 下页 4.如图,某船由西向东航行,在点A处测得小岛O在北偏东60°方向上,船航行了10海里后到达点B.这时测得小岛O在北偏东45°方向上,船继续航行到点C时,测得小岛O恰好在船的正北方,求此时船到小岛的距离.(结果保留根号) 解:设OC=x海里, 在Rt△OBC中,∠OBC=45°, ∴BC=OC=x海里, 在Rt△OAC中,∠OAC=30°, ∴AC===x(海里), ∵AC-BC=10,∴x-x=10, 解得x==5(+1). 答:船与小岛的距离是5(+1)海里. 名师点睛 解决方向角问题的步骤:(1)弄清方向角的含义.(2)确定方向标,根据题意画出图形.(3)把实际问题转化为解直角三角形问题. 目录 上页 首页 下页 知识点二　坡度与坡角问题 5.如图,AB是河堤横断面的迎水坡,堤高AC=,水平距离BC=1,则斜坡AB的坡度为(　　) A. B. C.30° D.60° 【变式】如图,河堤横断面迎水坡AB坡度是1∶2,堤高BC=4 m,则坡面AB的长度是(　　) A.8 m B.16 m C.4 m D.4 m 6.如图,一个小球由地面沿着坡度i=1∶2的坡面向上前进了10 m,此时小球距离地面的高度为　　　m.  A C 2 目录 上页 首页 下页 7.某大型超市有斜坡式的自动扶梯,人站在自动扶梯上,沿着斜坡方向前进13 m时,在铅垂方向上升了5 m,如果自动扶梯所在的斜坡的坡度i=1∶m,那么m=　　　　.  【变式】如图,某商场准备将自动扶梯改造成斜坡式.已知商场的层高AB为6 m,∠ACB为45°,改造后扶梯AD的坡度是1∶2,则改造后扶梯AD相比改造前AC增加的长度是(　　) A.6 m B.(12-6)m C.(6-4)m D.(6-6)m D 目录 上页 首页 下页 8.如图,水坝的横断面为梯形ABCD,已知上底长CB=5 m,迎水面坡度为1∶,背水面坡度为1∶1,坝高为4 m,求坝底AD和迎水面CD的长及坡角α和β的度数. 解:过点C作CE⊥AD于点E,过点B作BF⊥AD于点F,如图所示. 则四边形BCEF是矩形,有BC=EF=5 m,CE=BF=4 m. ∴tan α==, ∴DE=4 m,∠α=30°,CD==8(m). tan β=1∶1=BF∶AF, ∴AF=4 m,∠β=45°. ∴AD=DE+EF+AF=(9+4)m. 目录 上页 首页 下页 【能力提升】 1.如图,某渔船正在海上P处捕鱼,先向北偏东30°的方向航行10 km到A处,然后右转40°再航行5 km到B处.在点A的正南方向,点P的正东方向的C处有一条船,也计划驶往B处,那么它的航向是(　　) A.北偏东10° B.北偏东30° C.北偏东35° D.北偏东40° C 目录 上页 首页 下页 2.如图,在一次数学实践活动中,小明同学要测量一座与地面垂直的古塔AB的高度,他从古塔底部点B处前行30 m到达斜坡CE的底部点C处,然后沿斜坡CE前行20 m到达最佳测量点D处,在点D处测得塔顶A的仰角为30°,已知斜坡的斜面坡度i=1∶,且点A,B,C,D,E在同一平面内,小明同学测得古塔AB的高度是(　　) A.(10+20)m B.(10+10)m C.20 m D.40 m 3.有一处斜坡如图所示,分为MO=NO=8 m的两段,MO段的坡度为1∶1,NO段的坡度为1∶,则∠MON=　　　　°.若将两段斜坡建造成台阶,且每一级台阶的高度不超过15 cm,则这一处斜坡最少可以建造的台阶数为　　　　级.(参考数据:≈1.41,≈ 1.73)  A 165 65 目录 上页 首页 下页 4.如图,某海岸边有B,C两个码头,C码头位于B码头的正东方向,距离B码头60海里.甲、乙两船同时从A岛出发,甲船向位于A岛正北方向的B码头航行,乙船向位于A岛北偏东30°方向的C码头航行,当甲船到达距离B码头45海里的E处时,乙船位于甲船北偏东60°方向的D处,求此时乙船与C码头之间的距离.(结果保留根号) 解:如图,分别延长BC,ED交于点F, 由题意,得∠B=90°,∠A=30°,∠BED=60°, ∴∠ADE=∠BED-∠A=30°,∠F=90°-∠BED=30°. ∵∠CDF=∠ADE=30°, ∴∠CDF=∠F, ∴CD=CF. 在Rt△BEF中,∠BED=60°,BE=45海里, ∴BF=BE·tan 60°=45(海里), ∴CF=BF-BC=(45-60)(海里), ∴CD=(45-60)海里. 答:此时乙船与C码头之间的距离为(45-60)海里. 目录 上页 首页 下页 【素养闯关】 5.如图,某登山队沿山坡AB—BC上山后,再沿山坡CD下山.已知山坡AB的坡度为i=1∶2.4,山坡BC的坡度为i=1∶0.75,山坡CD的坡角∠D=30°,且山顶点C到水平面AD的距离为1 000 m,点B到水平面AD的距离为200 m. (1)求山坡AB—BC的长. 解:如图,过点C作CE⊥AD于E,过点B作BF⊥AD于F,BG⊥CE于G, 则四边形BFEG为矩形,∴BG=EF,GE=BF. 由题意可知:CE=1 000 m,GE=BF=200 m. ∵山坡AB的坡度为i=1∶2.4,∴AF=200×2.4=480(m). 由勾股定理得:AB===520(m). ∵CE=1 000 m,GE=200 m,∴CG=800 m. ∵山坡BC的坡度为i=1∶0.75, ∴BG=0.75×800=600(m), ∴BC==1 000(m). ∴山坡AB—BC的长为1 000+520=1 520(m). 答:山坡AB—BC的长为1 520 m. 目录 上页 首页 下页 (2)已知登山队上山的速度保持不变,且下山速度是上山速度的2倍,若下山比上山少用26 min,求下山的速度. 解:设下山的速度为x m/min, 在Rt△CED中,∠CED=90°,∠D=30°, ∴CD=2CE=2 000 m, 由题意得=+26, 解得x=40, 经检验x=40是原方程的解. 答:下山的速度为40 m/min. 目录 上页 首页 下页 $$