28.2.2 第1课时 俯角、仰角与解直角三角形(课件PPT)-【夺冠百分百】2024-2025学年九年级全一册数学新导学课时练（人教版）河北专版

28.2.2　应用举例 第1课时　俯角、仰角与 解直角三角形 如图,在进行高度测量时,视线与水平线所成的角叫做视角,当视线在水平线　　　　方时,这种视角叫做仰角;当视线在水平线的下方时,叫做　　　　.  上 俯角 目录 上页 首页 下页 ‹#› 知识点一　利用解直角三角形解决简单问题 1.如图,测得一商场自动扶梯的长为l,自动扶梯与地面所成的角为θ,则该自动扶梯到达的高度h为(　　) A.l·sin θ B. C.l·cos θ D. 2.如图,沿AC方向修隧道,为了加快施工进度,要在小山的另一边同时施工,从AC上的一点B取∠ABD=145°,BD=500 m,∠D=55°,使A,C,E在一条直线上,那么开挖点E与D的距离是(　　) A.500sin 55° m B.500cos 35° m C.500cos 55° m D.500tan 55° m A C 目录 上页 首页 下页 ‹#› 【变式】如图,沿AB方向架桥BD,以桥两端B,D出发,修公路BC和DC,测得∠ABC=150°, BC=1 800 m,∠BCD=105°,则公路DC的长为(　　) A.900 m B.900 m C.900 m D.1 800 m 3.如图是矗立在高速公路边水平地面上的交通警示牌,经过测量得到如下数据:AM=4 m,AB=8 m,∠MAD=45°,∠MBC=30°,则CD的长为　　　　m.(结果保留根号)  B (4-4) 目录 上页 首页 下页 ‹#› 4.知识小提示:要想使人安全地攀上斜靠在墙面上的梯子的顶端,梯子与地面所成的角α一般要满足53°≤α≤72°.如图,现有一架长4 m 的梯子AB斜靠在一竖直的墙AO上. (1)当人安全使用这架梯子时,求梯子顶端A与地面距离的最大值. (参考数据:sin 53°≈0.80,cos 53°≈0.60,tan 53°≈1.33,sin 72°≈0.95,cos 72°≈0.31,tan 72°≈3.08,sin 66°≈0.91,cos 66°≈0.41,tan 66°≈2.25) 解:53°≤α≤72°,当α=72°时,AO取最大值, 在Rt△AOB中,sin∠ABO=, ∴AO=AB·sin∠ABO=4×sin 72°≈4×0.95=3.8(m), ∴梯子顶端A与地面的距离的最大值为3.8 m. 目录 上页 首页 下页 ‹#› (2)当梯子底端B距离墙面1.64 m时,计算∠ABO的度数?并判断此时人是否能安全使用这架梯子? (参考数据:sin 53°≈0.80,cos 53°≈0.60,tan 53°≈1.33,sin 72°≈0.95,cos 72°≈0.31,tan 72°≈3.08,sin 66°≈0.91,cos 66°≈0.41,tan 66°≈2.25) 解:在Rt△AOB中,cos∠ABO==1.64÷4=0.41, ∵cos 66°≈0.41, ∴∠ABO=66°. ∵53°≤α≤72°, ∴人能安全使用这架梯子. 名师点睛 应用解直角三角形解决实际问题时,先审清题意,画出图形,再根据图形特点,把实际问题转化为解直角三角形问题,最后应用解直角三角形知识求出答案. 目录 上页 首页 下页 ‹#› 知识点二　利用仰角、俯角解决实际问题 5.数学兴趣小组利用无人机测量学校旗杆高度,已知无人机的 飞行高度为40 m,当无人机与旗杆的水平距离是45 m时,观测 旗杆顶部的俯角为30°,则旗杆的高度约为　　　m.(结果精 确到 1 m,参考数据:≈1.41,≈1.73)  6.南洞庭大桥是南益高速上的重要桥梁,小芳同学在校外实践活动中对此开展测量活动.如图,在桥外一点A测得大桥主架与水面的交汇点C的俯角为α,大桥主架的顶端D的仰角为β,已知测量点与大桥主架的水平距离AB=a,则此时大桥主架顶端离水面的高CD为(　　) A.asin α+asin β B.acos α+acos β C.atan α+atan β D.+ 14 C 目录 上页 首页 下页 ‹#› 【变式】嘉琪家对面新建了一幢图书大厦,她在自家窗口A处测得大厦顶部的仰角为45°,大厦底部的俯角为30°,如图所示,嘉琪量得两幢楼之间的距离为20 m. (1)求出嘉琪家的高度AE. (2)求出大厦的高度BD. 【变式】解:(1)在Rt△ADE中,∠ADE=30°,tan ∠ADE=, ∴AE=DE·tan 30°=20×=20(m),∴嘉琪家的高度AE为20 m. (2)∵AC⊥BD,BD⊥DE,AE⊥DE,∴四边形AEDC是矩形, ∴AC=DE=20 m,AE=CD=20 m. 在Rt△ABC中,∠BAC=45°,∴BC=AC=20 m, ∴BD=BC+CD=(20+20)(m). ∴大厦的高度BD为(20+20)m. 名师点睛 解决仰角、俯角问题时,若三角形不是直角三角形,可通过添加辅助线,构造直角三角形来解决,最终结果要按要求取近似值. 目录 上页 首页 下页 ‹#› 【能力提升】 1.无人机低空遥感技术已广泛应用于农作物监测.如图,某农业特色品牌示范基地用无人机对一块试验田进行监测作业时,在距地面高度为135 m的A处测得试验田右侧边界N处俯角为43°,无人机垂直下降40 m至B处,又测得试验田左侧边界M处俯角为35°,则M,N之间的距离为(　　)(参考数据:tan 43°≈0.9,sin 43°≈0.7,cos 35°≈0.8, tan 35°≈0.7,结果保留整数) A.188 m B.269 m C.286 m D.312 m C 目录 上页 首页 下页 ‹#› 2.如图,一架长为6 m的梯子AB斜靠在一竖直的墙AO上,这时测得∠ABO=70°,如果梯子的底端B外移到D,则梯子顶端A下移到C,这时又测得∠CDO=50°,那么AC的长度约为 　　　　m.(sin 70°≈0.94,sin 50°≈0.77,cos 70°≈0.34,cos 50°≈0.64)  3.如图,从楼顶A处看楼下荷塘C处的俯角为45°,看楼下荷塘D处的俯角为60°,已知楼高AB为30 m,则荷塘的宽CD为　 　　m.(结果保留根号)  1.02 (30-10) 目录 上页 首页 下页 ‹#› 4.如图1是一台手机支架,图2是其侧面示意图,AB,BC可分别绕点A,B转动,测量知BC=8 cm,AB=16 cm.当AB,BC转动到∠BAE=60°,∠ABC=50°时,点C到AE的距离为　　　　cm. (结果保留小数点后一位,参考数据:sin 70°≈0.94,≈1.73)  5.如图,从地面上的点A看一山坡上的电线杆PQ,测得杆顶端点P的仰角是45°,向前走6 m到达点B,测得杆顶端点P和杆底端点Q的仰角分别是60°和30°.则该电线杆PQ的高度是　　　　m.(结果可保留根号)  6.3 (6+2) 图1 　　图2 目录 上页 首页 下页 ‹#› 6.数学课外学习小组利用矩形建筑物ABED测量广场灯塔CF的高,如图所示,在点B处测得灯塔顶端C的仰角为28°,在点D处测得灯塔顶端C的仰角为45°,已知AB=10 m,AD=30 m.求灯塔CF的高度.(结果保留整数,参考数据:tan 28°≈0.53,cos 28°≈0.88,sin 28°≈0.47,≈1.41) 解:如图,延长BE交CD于点G,交CF于点H, 在Rt△DEG中,∠EDG=45°, ∴EG=DE=10 m.∠EGD=45°. 设CH=x m, 在Rt△CGH中,∠CGH=∠EGD=45°, ∴GH=CH=x m. 在Rt△CBH中,∠CBH=28°, ∴tan∠CBH=,即: =0.53. 解得x≈45.1. ∴灯塔的高CF=45.1+10=55.1≈55(m). 答:灯塔CF的高为55 m. 目录 上页 首页 下页 ‹#› 【素养闯关】 7.(核心素养·应用意识)小强洗漱时的侧面示意图如图所示,洗漱台(矩形ABCD)靠墙摆放,高AD=80 cm,宽AB=48 cm,小强身高166 cm,下半身FG=100 cm,洗漱时身体前倾,下半身与地面的夹角∠FGK=80°,上半身与下半身所成夹角∠EFG=125°,脚与洗漱台距离GC=15 cm,点D,C,G,K在同一直线上. (1)求此时小强腰部点F到墙AD的距离. 解:如图,过点F作FN垂直于墙于点N,作FM⊥AD于点M. 在Rt△FGN中,∵∠FGK=80°,FG=100 cm, ∴GN=FG·cos ∠FGK=100·cos 80°≈17(cm), ∴DN=DC+CG+GN=48+15+17=80(cm). ∵FN⊥DK,FM⊥AD, ∴∠FMD=∠FND=90°. ∵四边形ABCD是矩形,∴∠D=90°, ∴四边形MDNF是矩形. ∵MF=DN=80(cm), ∴此时小强腰部点F到墙的距离为80 cm. 目录 上页 首页 下页 ‹#› (2)此时小强头部点E是否恰好在洗漱盆AB的中点O的正上方?若是,请说明理由;若不是,则他应向前还是向后移动多少厘米,使头部点E恰好在洗漱盆AB的中点O的正上方?(计算过程及结果的长度均精确到1 cm.参考数据:sin 80°≈0.98,cos 80°≈0.17,≈1.41) 解:此时小强头部点E没有在洗漱盆AB中点O的正上方. 如图,过点E作EP⊥AB于点P,延长OB交FN于点H. ∵∠EFG=125°, ∴∠EFM=125°+10°-90°=45°. ∵EF=166-FG=166-100=66(cm), ∴FQ=66·cos 45°≈47(cm),∴PH=FQ=47(cm). ∵AB=48 cm,点O为AB的中点, ∴AO=BO=24(cm). ∵GN=17 cm,CG=15 cm, ∴OH=24+15+17=56(cm). ∵56>47, ∴此时小强头部点E没有在洗漱盆AB中点O的正上方. ∵OP=OH-PH=56-47=9(cm).∴他应向前移动9 cm. 目录 上页 首页 下页 ‹#› $$