24.2.2 第3课时 切线长定理与三角形的内切圆(课件PPT)-【夺冠百分百】2024-2025学年九年级全一册数学新导学课时练（人教版）河北专版

24.2.2　直线和圆的位置关系 第3课时　切线长定理与三角形 的内切圆 1.切线长 (1)经过圆外一点的圆的切线上,这点和　　　　之间线段的长,叫做这点到圆的切线长. (2)切线长定理:从圆外一点可以引圆的两条切线,它们的切线长　　　　,这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角.  2.三角形的内切圆 (1)与三角形各边都　　　 的圆叫做三角形的内切圆,圆心叫做三角形的　　　. (2)三角形的内心是三角形三条　　　 　的交点.  切点 相等 相切 内心 角平分线 目录 上页 首页 下页 知识点一　切线长定理 1.如图,PA,PB是☉O的切线,A,B为切点,BO是☉O的半径,∠ABO=32°,则∠P的度数 为(　　) A.62° B.64° C.66° D.68° 2.如图,PA,PB分别与☉O相切于A,B两点,PA=AB,则∠AOB=(　　) A.100° B.110° C.120° D.130° B C 目录 上页 首页 下页 3.如图,AB,AD,BE都是圆的切线,切点分别为C,D,E,若AD=3 cm,BE=2.5 cm,则AB=　　cm. 4.如图,PA,PB分别切☉O于点A,B,∠APB=50°,则∠AOP=　　　　.  5.如图,AB为☉O的直径,点C在AB的延长线上,CD,CE分别与☉O相切于点D,E,若AD=2, ∠DAC=∠DCA,则CE=　　　.  5.5 65°　 2 目录 上页 首页 下页 6.如图,PA,PB分别切☉O于点A,B,连接PO与☉O相交于C,连接AC,BC.求证:AC=BC. 证明:∵PA,PB分别切☉O于点A,B, ∴PA=PB,∠APC=∠BPC. 又PC=PC,∴△APC≌△BPC(SAS).∴AC=BC. 名师点睛 切线长定理包括两个方面:一是从圆外一点引的这两条切线长相等;二是这点和圆心的连线平分这两条切线的夹角.切线长相等可以判断两条线段相等,连线平分夹角可以证明角相等和求角的度数. 目录 上页 首页 下页 知识点二　三角形的内切圆 7.当一个三角形的内心与外心重合时,这个三角形一定是(　　) A.直角三角形 B.等腰直角三角形 C.钝角三角形 D.等边三角形 8.如图,☉O是△ABC的内切圆,则点O是△ABC的(　　) A.三条边的垂直平分线的交点 B.三条角平分线的交点 C.三条中线的交点 D.三条高的交点 D B 目录 上页 首页 下页 9.如图,☉O与△ABC各边分别相切于点D,E,F,△ABC的周长为20 cm,AF=5 cm,CE=3 cm,则BE=　　　 cm.  【变式】如图,☉O是△ABC 的内切圆,AB,AC分别与☉O相切于D,E两点,已知AD=1,BC=7,则△ABC的周长为(　　) A.14 B.10 C.16 D.18 2 C 目录 上页 首页 下页 10.如图,在△ABC中,∠A=80°,点O是△ABC的内心,求∠BOC的度数. 解:∠BOC=130°. 名师点睛 在解决三角形内切圆的相关问题时,常利用切线的性质,在直角三角形中借助方程来解决问题,或利用内心是角平分线的交点来进行角度的计算. 目录 上页 首页 下页 【能力提升】 1.如图,△ABC截☉O所得的弦长相等,则下列说法正确的是(　　) A.点O是△ABC的内心 B.点O是△ABC的外心 C.△ABC是正三角形 D.△ABC是等腰三角形 2.如图,点I为△ABC的内心,AB=6,AC=4,BC=3,将∠ACB平移使其顶点与点I重合,则图中阴影部分的周长为(　　) A.6 B.4 C.3 D.6.5 A A 目录 上页 首页 下页 3.如图,在△ABC中,∠BIC=125°,I是内心,O是外心,则∠BOC=　　　　.  4.如图,以正方形ABCD的AB边为直径作半圆O,过点C作直线切半圆于点F,交AD边于点E,若△CDE的周长为12,则直角梯形ABCE周长为　　　　　.  140° 14 目录 上页 首页 下页 5.(教材P102T11变式)如图,AB是☉O的直径,AM,BN分别切☉O于点A,B,CD分别交AM,BN于点D,C,DO平分∠ADC. (1)求证:CD是☉O的切线. (2)若AD=4,BC=9,求☉O的半径. (1)证明:过点O作OE⊥CD于点E,如图. ∵AM切☉O于点A,∴OA⊥AD. 又DO平分∠ADC,∴OE=OA,∴OE为☉O的半径, ∴CD是☉O的切线. (2)解:过点D作DF⊥BC于点F, 如图.∵AM,BN分别切☉O于点A,B,∴AB⊥AD,AB⊥BC, ∴四边形ABFD是矩形,∴AD=BF,AB=DF.又AD=4,BC=9, ∴FC=9-4=5. ∵AM,BN,DC分别切☉O于点A,B,E, ∴DA=DE,CB=CE,∴DC=AD+BC=4+9=13. 在Rt△DFC中,DC2=DF2+FC2, ∴DF===12, ∴AB=12,∴☉O的半径是6. 目录 上页 首页 下页 6.如图,△ABC是直角三角形,以斜边AB为直径作半圆,半圆的圆心为O,过A,C两点作半圆的切线,交点为D,连接DO交AC于点E. (1)求证:OD∥BC. (2)若AC=2BC,求证:AB=AD. 证明:(1)连接OC,如图, ∵DA,DC是半圆O的切线, ∴AD=CD,且OA⊥AD,OC⊥CD. 又OA=OC,OD=OD,∴△OAD≌△OCD(SSS), ∴∠ADO=∠CDO,即DO是∠ADC的平分线, ∴DO⊥AC. 又BC⊥AC,∴OD∥BC. (2)由(1)知:OD∥BC,DO垂直平分AC, ∴∠B=∠EOA,AE=EC.又DA⊥AO,∴∠EOA=∠EAD,∴∠EAD=∠B. ∵AC=2BC,∴BC=AE,∴△ABC≌△DAE(ASA), ∴AB=AD. 目录 上页 首页 下页 【素养闯关】 7.(教材变式探究题)在课本P103第14题中,我们研究了这样一道题:Rt△ABC中,∠C=90°,AB,BC,CA的长分别为c,a,b,求△ABC的内切圆半径r.(不用求解) 母题变式 变式一:如图1,在Rt△ABC中,∠C=90°,☉O是△ABC的内切圆,切点分别为D,E,F,AB=c,AC=b,BC=a,内切圆的半径记为r.求证:r=. 变式二:如图2,☉O是△ABC的内切圆,切点分别为D,E,F,AB=c,AC=b,BC=a.求证:BD=. 图1 图2 解:变式一:如图,连接OB,OA,OC,OD,OE,OF. ∵S△ABC=BC·OE+AC·OF+AB·OD=BC·AC, ∴ar+br+cr=ab,∴r=. 变式二:设BD=BF=x,则AF=AE=c-x,CD=CE=a-x. ∴AC=c-x+a-x=b.∴x=,即BD=. 目录 上页 首页 下页 $$