24.1.4 第2课时 圆内接四边形(课件PPT)-【夺冠百分百】2024-2025学年九年级全一册数学新导学课时练（人教版）河北专版

24.1.4　圆周角 第2课时　圆内接四边形 1.圆内接多边形的定义 如果一个多边形的所有顶点都在　 　　上,这个多边形叫做圆内接多边形,这个圆叫做这个多边形的　　　　　.  2.圆内接四边形的性质 圆内接四边形的对角　　　　.  同一个圆 外接圆 互补 目录 上页 首页 下页 知识点　圆内接四边形的性质 1.已知在圆的内接四边形ABCD中,∠A∶∠B∶∠C=2∶3∶7,则∠D等于(　　) A.40° B.60° C.100° D.120° 2.如图,四边形ABCD内接于☉O,若∠A=40°,则∠C=(　　) A.110° B.120° C.135° D.140° D D 目录 上页 首页 下页 3.如图,四边形ABCD内接于☉O,若∠BOD=100°,则∠DAB的度数为(　　) A.50° B.80° C.100° D.130° 4.如图,四边形ABCD内接于☉O,点P为边AD上任意一点(点P不与点A,D重合),连接CP.若∠B=120°,则∠APC的度数可能为(　　) A.30° B.45° C.50° D.65° D D 目录 上页 首页 下页 5.如图,四边形ABCD是☉O的内接正方形,点P是上不同于点C的任意一点,则∠BPC的度数是(　　) A.22.5° B.45° C.30° D.50° 6.如图,四边形ABCD内接于☉O,E为直径CD延长线上一点,且AB∥CD,若∠C=60°,CD=4,则∠ADE的度数为　　　　,AD的长为 　　　　.  B 120° 2 目录 上页 首页 下页 7.如图,已知A,B,C,D是☉O上的四点,延长DC,AB相交于点E,若BC=BE.求证:△ADE是等腰三角形. 证明:∵四边形ABCD是圆内接四边形, ∴∠A+∠BCD=180°.又∠BCD+∠BCE=180°, ∴∠A=∠BCE. ∵BC=BE,∴∠BCE=∠E, ∴∠A=∠E,∴AD=DE, ∴△ADE是等腰三角形. 名师点睛 圆内接四边形的对角互补,并且任何一个外角都等于它的相邻内角的对角,这一结论在探求角的相等或互补关系时常常用到. 目录 上页 首页 下页 【能力提升】 1.如图,等边△ABC的顶点A在☉O上,边AB,AC与☉O分别交于点D,E,点F是劣弧DE上一点,且与D,E不重合,连接DF,EF,则∠DFE的度数为(　　) A.115° B.118° C.120° D.125° 2.如图,四边形ABCD内接于☉O,DE是☉O的直径,连接BD.若∠BCD=2∠BAD,则∠BDE的度数是(　　) A.25° B.30° C.32.5° D.35° C B 目录 上页 首页 下页 3.如图,四边形ABCD内接于☉O,延长CO交☉O于点E,连接BE.若∠A=110°,∠E=70°,则∠OCD=　　　度.  4.如图,四边形ABCD内接于☉O,OC=4,AC=4. (1)求点O到AC的距离. (2)求∠ADC的度数. 50 解:(1)如图,作OM⊥AC于点M, ∵AC=4,∴AM=CM=2. ∵OC=4,∴OM==2. (2)连接OA, ∵OM=MC,∠OMC=90°,∴∠MOC=∠MCO=45°. ∵OA=OC,∴∠OAM=45°,∴∠AOC=90°, ∴∠B=∠AOC=45°. ∵四边形ABCD内接于☉O, ∴∠ADC+∠B=180°, ∴∠ADC=135°. 目录 上页 首页 下页 5.已知☉O的直径为10,四边形ABDC内接于☉O,AD平分∠CAB. (1)如图1,若BC为☉O的直径,求BD的长. (2)如图2,若∠BDC=120°,求BD的长. 图1 　　　图2 解:(1)∵BC是☉O的直径,∴∠BDC=90°. ∵AD平分∠CAB,∴∠BAD=∠CAD,∴BD=CD. 在Rt△BDC中,斜边BC=10,由勾股定理, 得BD2+CD2=BC2, ∴2BD2=102,解得BD=5. (2)如图,连接OB,OD, ∵四边形ABDC内接于☉O, ∴∠BDC+∠BAC=180°. ∵∠BDC=120°,∴∠BAC=60°. ∵AD平分∠BAC,∴∠BAD=∠BAC=30°,∴∠BOD=2∠BAD=60°. ∵☉O直径是10,∴半径OB=OD=5,∴△BOD是等边三角形,∴BD=OB=5. 目录 上页 首页 下页 【素养闯关】 6.如图1,在☉O中,弦AD平分圆周角∠BAC,我们将圆中以A为公共点的三条弦BA,CA,DA构成的图形称为圆中“爪形A”,如图2,四边形ABCD内接于圆,AB=BC. (1)求证:圆中存在“爪形D”. (2)若∠ADC=120°,求证:AD+CD=BD. 图1 　图2 证明:(1)∵AB=BC,∴=, ∴∠ADB=∠CDB,∴DB平分圆周角∠ADC, ∴圆中存在“爪形D”. (2)如图,延长DC至点E,使得CE=AD,连接BE, ∵∠A+∠DCB=180°,∠ECB+∠DCB=180°, ∴∠A=∠ECB. ∵CE=AD,AB=BC,∴△BAD≌△BCE(SAS), ∴∠E=∠ADB. ∵∠ADC=120°,∴∠E=∠ADB=∠CDB=60°, ∴△BDE是等边三角形, ∴DE=BD,即AD+CD=BD. 目录 上页 首页 下页 $$