24.1.4 第1课时 圆周角定理及其推论(课件PPT)-【夺冠百分百】2024-2025学年九年级全一册数学新导学课时练（人教版）河北专版

24.1.4　圆周角 第1课时　圆周角定理及其推论 1.圆周角的概念 顶点在　　　　,并且两边都与圆　 ,我们把这样的角叫做圆周角. 2.圆周角定理及推论 (1)圆周角定理:一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的　　　　.  (2)推论:同弧或等弧所对的圆周角　　　 ;半圆(或直径)所对的圆周角　　　,90°的圆周角所对的弦是　　　　.  圆上 相交 一半 相等 直角 直径 目录 上页 首页 下页 ‹#› 知识点一　认识圆周角 1.下列图形中的角是圆周角的是(　　) A 目录 上页 首页 下页 ‹#› 知识点二　圆周角定理 2.如图,A,B,C是☉O上的三个点,若∠B=32°,则∠AOC=(　　) A.64° B.58° C.68° D.55° 3.如图,∠BOD的度数是(　　) A.55° B.110° C.125° D.150° 4.(甘孜州中考)如图,点A,B,C在☉O上,若∠C=30°,则∠ABO的度数为(　　) A.30° B.45° C.60° D.90° A B C 目录 上页 首页 下页 ‹#› 5.如图,在△ABC中,AB为☉O的直径,∠B=60°,∠BOD=100°,则∠C的度数为　　　. 6.如图,点O为所在圆的圆心,∠BOC=112°,点D在BA的延长线上,AD=AC,则∠D=　　 . 70° 28° 目录 上页 首页 下页 ‹#› 7.如图,点A,B,C为圆上三个点,且∠AOB=2∠BOC.求证:∠ACB=2∠CAB. 证明:∵∠AOB和∠ACB对同弧(), ∴∠AOB=2∠ACB. ∵∠BOC和∠CAB对同弧(), ∴∠BOC=2∠CAB. ∵∠AOB=2∠BOC,∴∠ACB=2∠CAB. 名师点睛 圆周角必须具备两个特征:①顶点在圆上;②两边都和圆相交.二者缺一不可. 目录 上页 首页 下页 ‹#› 知识点三　圆周角定理的推论 8.如图,在☉O中,OA⊥BC,∠ADB=25°,则∠AOC的度数为(　　) A.30° B.45° C.50° D.55° 【变式】如图,AB为☉O的直径,∠BED=20°,则∠ACD的度数为(　　) A.80° B.75° C.70° D.65° C C 目录 上页 首页 下页 ‹#› 9. 如图,AB为☉O的直径,C在☉O上,若∠ACO=50°,则∠ABC的度数是(　　) A.40° B.60° C.50° D.80° 10.(枣庄中考)如图,在☉O中,弦AB,CD相交于点P.若∠A=48°,∠APD=80°,则∠B的度数为(　　) A.32° B.42° C.48° D.52° A A 目录 上页 首页 下页 ‹#› 11.如图,△ABC的三个顶点都在☉O上,AB=BC,∠ABC=120°,AD为☉O的直径,AD=6,求AB的长. 名师点睛 圆周角定理及推论中的辅助线: (1)根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半,常作出圆周角所对应的圆心角; (2)根据同弧所对圆周角相等,可进行角的转化,此时常作出弧所对的圆周角; (3)当已知条件中有直径时常作出直径所对的圆周角. 解:AB=3. 目录 上页 首页 下页 ‹#› 易错点　忽略弦所对的圆周角不唯一而致错 12.已知☉O的弦AB的长等于☉O的半径,则此弦AB所对的圆周角的度数为　　　　　. 30°或150° 易错提醒 在圆中,一条弦(非直径)所对的弧有优弧和劣弧两条,所以当求弦所对的圆周角度数时应分圆周角顶点在优弧上和圆周角顶点在劣弧上两种情况讨论. 目录 上页 首页 下页 ‹#› 【能力提升】 1.(杭州中考)如图,在☉O中,半径OA,OB互相垂直,点C在劣弧AB上.若∠ABC=19°,则∠BAC=(　　) A.23° B.24° C.25° D.26° 2.如图,一块直角三角尺的30°角的顶点P落在☉O上,两边分别交☉O于A,B两点,若☉O的直径为4,则弦AB的长为(　　) A.2 B.3 C. D. D A 目录 上页 首页 下页 ‹#› 3.(烟台中考)如图,将一个量角器与一把无刻度直尺水平摆放,直尺的长边与量角器的外弧分别交于点A,B,C,D,连接AB,则∠BAD的度数为　　　　.  4.如图,以▱ABCD的顶点A为圆心,AB为半径作圆,分别交AD,BC于E,F,延长BA交☉A于G,连接GF,FE,当∠D=60°时,∠GFE=　　　　.  5.如图,△ABC的顶点都在☉O上,AD为☉O的直径,若∠BAD=50°,则∠ACB=　　　.  52.5° 30° 40° 目录 上页 首页 下页 ‹#› 6.如图,☉O的直径AB为10 cm,弦AC为6 cm,∠ACB的平分线交☉O于点D.求: (1)BC的长. (2)AD的长. 解:(1)∵AB是☉O的直径, ∴∠ACB=∠ADB=90°. 在Rt△ABC中,BC===8(cm). (2)如图,连接OD. ∵CD平分∠ACB,∴∠ACD=∠BCD. ∴∠AOD=∠BOD.∴AD=BD. 在Rt△ABD中,AD2+BD2=AB2, ∴AD=AB=×10=5(cm). 目录 上页 首页 下页 ‹#› 7.如图,AB是☉O的直径,弦CD与AB交于点E,且E是CD的中点. (1)求证:∠ADC=∠BDO. (2)若CD=4,AE=2,求☉O的半径. (1)证明:∵AB为直径,E是CD的中点, ∴OE⊥CD,∴=,∴∠ADC=∠ABD. ∵OD=OB, ∴∠BDO=∠ABD,∴∠ADC=∠BDO. (2)解:设☉O的半径为r,∴OD=OA=r. ∵AE=2,∴OE=OA-AE=r-2. ∵CD=4,E是CD的中点, ∴DE=CD=2. 由(1)知,OE⊥CD,∴∠OED=90°. 在Rt△OED中,OE2+DE2=OD2, ∴(r-2)2+(2)2=r2,解得r=3, ∴☉O的半径为3. 目录 上页 首页 下页 ‹#› 【素养闯关】 8.(结论探究题)如图,AB是☉O的直径,C为的中点,CD⊥AB于点D,交AE于点F,连接AC. (1)探究AF与CF的数量关系,并说明理由. (2)若AC=2,CD=4,求☉O的半径. 解:(1)AF=CF.理由如下:连接BC,如图. ∵AB是☉O的直径,∴∠ACB=90°,即∠ACF+∠BCD=90°. ∵CD⊥AB,∴∠B+∠BCD=90°,∴∠ACF=∠B. ∵C为的中点,∴=,∴∠B=∠CAE,∴∠ACF=∠CAE,∴AF=CF. (2)连接OC,如图. 在Rt△ACD中,根据勾股定理,得 AD===2. 设☉O的半径为r,则OD=r-2,OC=r, 在Rt△OCD中,根据勾股定理,得 OC2=CD2+OD2,即r2=42+(r-2)2,解得r=5. ∴☉O的半径为5. 目录 上页 首页 下页 ‹#› $$