24.1.2 垂直于弦的直径(课件PPT)-【夺冠百分百】2024-2025学年九年级全一册数学新导学课时练（人教版）河北专版

24.1.2　垂直于弦的直径 1.圆的对称性 圆是轴对称图形,它的对称轴有　　　　条,任何一条　　　　所在的直线都是它的对称轴.  2.垂径定理及推论 (1)垂直于弦的直径　　　　弦,并且　　　　弦所对的两条弧.  (2)　　　　弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且　　　　弦所对的两条弧.  【温馨提示】“平分弦的直径垂直于弦”是假命题. 无数 直径 平分 平分 平分 平分 目录 上页 首页 下页 知识点一　圆的对称性 1.圆的对称轴有(　　) A.0条 B.1条 C.2条 D.无数条 2.下列结论正确的是(　　) A.经过圆心的直线是圆的对称轴 B.直径是圆的对称轴 C.与圆相交的直线是圆的对称轴 D.与直径相交的直线是圆的对称轴 D A 目录 上页 首页 下页 知识点二　垂径定理及其推论 3.如图,AB是☉O的直径,弦CD⊥AB,垂足为M,下列结论不成立的是(　　) A.CM=DM B.= C.∠ACD=∠ADC D.OM=MD 4.如图,AB是☉O的直径,弦CD⊥AB于点E,若AB=10,AE=1,则弦CD的长是(　　) A.5 B.6 C.7 D.8 【变式】如图,AB是☉O的直径,弦CD⊥AB,垂足为E,若BE=CD=8,则☉O的半径的长是(　　) A.5 B.4 C.3 D.2 D B A 目录 上页 首页 下页 5.如图,☉O的直径为10,弦AB的长为6,P为弦AB上的动点,则线段OP长的取值范围 是(　　) A.3≤OP≤5 B.4<OP<5 C.4≤OP≤5 D.3<OP<5 6.如图,以点P为圆心的圆弧与x轴交于A,B两点,点P的坐标为(4,4),点A的坐标为(2,0),则点B的坐标为　　　　.   C (6,0) 目录 上页 首页 下页 7.如图,AB是☉O的直径,CD为弦,AB⊥CD,垂足为H,连接BC,BD. (1)求证:BC=BD. (2)已知CD=6,OH=2,求☉O的半径长. 名师点睛 垂径定理常作的辅助线: 一是过圆心作弦的垂线,二是连接圆心和弦的一端(即半径),这样把半径、圆心到弦的距离、弦的一半构建在一个直角三角形中,运用勾股定理求解. (1)证明:∵AB是☉O的直径,CD为弦,AB⊥CD, ∴CH=DH,∴AB垂直平分CD,∴BC=BD. (2)解:连接OC(图略),∵AB是☉O的直径,CD为弦,AB⊥CD,CD=6, ∴CH=3,∴OC===. 即☉O的半径长为. 目录 上页 首页 下页 知识点三　垂径定理及其推论的应用 8.如图,石拱桥的桥顶到水面的距离CD为8 m,桥拱半径OC为5 m,则水面宽AB为(　　) A.4 m B.5 m C.6 m D.8 m 9.一条排水管的截面如图所示,已知排水管的半径OB=10,水面宽AB=16,则排水管中的水最深是　　　　.  D 4 目录 上页 首页 下页 10.一块圆形宣传标志牌如图所示,点A,B,C在☉O上,CD垂直平分AB于点D.现测得AB=8 dm,DC=2 dm,求圆形标志牌的半径. 名师点睛 应用垂径定理解决实际问题时,常连接半径或作垂直于弦的半径(或弦心距),构造出直角三角形,然后利用勾股定理列出方程,解方程求出未知线段的长度. 解:圆形标志牌的半径为5 dm. 目录 上页 首页 下页 易错点　用垂径定理求解时考虑不全面 11.AB,CD是直径为26的☉O中的两条平行弦,且AB=10,CD=24,则这两条平行弦之间的距离为　　　　.  易错提醒 利用垂径定理求解无图的计算问题时,要考虑多解的可能性,必要时画出图形帮助求解,防止漏解. 7或17 目录 上页 首页 下页 【能力提升】 1.如图,在△ABC中,已知∠ACB=130°,∠BAC=20°,BC=2,以点C为圆心,CB为半径的圆交AB于点D,则BD的长为(　　) A. B.2 C. D.4 2.(广西中考)赵州桥是当今世界上建造最早,保存最完整的中国古代单孔敞肩石拱桥.如图,主桥拱呈圆弧形,跨度约为37 m,拱高约为7 m,则赵州桥主桥拱半径R约为(　　) A.20 m B.28 m C.35 m D.40 m B B 目录 上页 首页 下页 3.已知☉O的直径CD=10 cm,AB是☉O的弦,AB⊥CD,垂足为M,且AB=8 cm,则AC的长为(　　) A.2 cm B.4 cm C.2 cm或4 cm D.2或4 cm 4.文化广场周围有一些大理石球.小明想知道其中一个球的半径,于是找了两块厚10 cm的砖塞在球的两侧(如图),并量得两砖之间的距离是60 cm.请你利用所学的几何知识,求出大理石球的半径(要写出计算过程). C 解:根据题意可以建立圆中垂径定理的模型如图: AC=60 cm,BD=10 cm,设半径为r cm, ∵OB⊥AC, ∴AD=AC=30 cm, 在Rt△ADO中,AD2+OD2=OA2, 可得302+(r-10)2=r2, 解得r=50. 答:大理石球的半径为50 cm. 目录 上页 首页 下页 5.如图,∠PAC=30°,在射线AC上顺次截取AD=3 cm,DB=10 cm,以DB为直径作☉O交射线AP于E,F两点,求线段EF的长. 解:过点O作OH⊥EF于点H,连接OF, 如图,则EH=FH. 在Rt△AOH中,AO=AD+OD=3+5=8(cm),∠A=30°, 则OH=OA=4(cm). 在Rt△OHF中,OH=4 cm,OF=5 cm, ∴HF==3(cm), 则EF=2HF=6 cm. ∴线段EF的长是6 cm. 目录 上页 首页 下页 【素养闯关】 6.如图,有一座圆弧形拱桥,它的跨度AB为60 m,拱高PM为18 m,当洪水泛滥到跨度只有30 m时,就要采取紧急措施,若某次洪水中,拱顶离水面只有4 m,即PN=4 m时,试通过计算说明是否需要采取紧急措施. 解:设圆弧所在圆的圆心为O,连接OA,OA',设半径为x m, 则OA=OA'=OP, 由垂径定理可知AM=BM,A'N=B'N, ∵AB=60 m,∴AM=30 m,且OM=OP-PM=(x-18)m. 在Rt△AOM中,由勾股定理可得AO2=OM2+AM2, 即x2=(x-18)2+302,解得x=34, ∴ON=OP-PN=34-4=30(m). 在Rt△A'ON中,由勾股定理可得A'N===16(m), ∴A'B'=32 m>30 m, ∴不需要采取紧急措施. 目录 上页 首页 下页 $$