第22章 专题集训三 二次函数与几何图形综合(课件PPT)-【夺冠百分百】2024-2025学年九年级全一册数学新导学课时练（人教版）河北专版

专题集训三　二次函数 与几何图形综合 方法指导 (1)求图形面积要先求出图形各顶点坐标,再转化为规则图形面积进行计算; (2)已知图形面积求动点坐标要根据面积公式求出动点的纵(横)坐标,再代入二次函数表达式求出横(纵)坐标; (3)求线段长或图形面积的最大值要先确定关于线段长或图形面积的二次函数解析式,再根据二次函数的性质求解; (4)解决二次函数与三角形、四边形等图形的综合问题时,常设出动点的坐标,再根据对应图形的性质列方程求解. 目录 上页 首页 下页 ‹#› 类型一　二次函数与图形面积 1.(求图形面积)如图,在平面直角坐标系中,已知抛物线y=-x2+x+4与x轴正半轴交于点B,与y轴交于点A.如果M为抛物线的顶点,连接AM,BM,求四边形AOBM的面积. 解:当x=0时,y=4,所以点A的坐标为(0,4). 当y=0时,-x2+x+4=0,解得x1=-2,x2=8, 所以点B的坐标为(8,0). ∵y=-x2+x+4=-(x-3)2+,∴M(3,). 作MD⊥x轴于D,如图. S四边形AOBM=S梯形AODM+S△BDM=×(4+)×3+×5×=31. 目录 上页 首页 下页 ‹#› 2.(由图形面积求动点坐标)如图,二次函数y=ax2-4x+c的图象经过坐标原点,与x轴交于点A(-4,0). (1)求二次函数的解析式. (2)在抛物线上存在点P,满足S△AOP=8,试求出点P的坐标. 解:(1)把点O(0,0),A(-4,0)代入y=ax2-4x+c,得 解得 ∴二次函数的解析式为y=-x2-4x. (2)∵点A的坐标为(-4,0),∴AO=4. 设点P到x轴的距离为h,则S△AOP=×4h=8,解得h=4. ①当点P在x轴上方时,-x2-4x=4,解得x1=x2=-2, ∴点P的坐标为(-2,4). ②当点P在x轴下方时,-x2-4x=-4, 解得x1=-2+2,x2=-2-2, ∴点P的坐标为(-2+2,-4)或(-2-2,-4). 综上所述,点P的坐标为(-2,4)或(-2+2,-4)或(-2-2,-4). 目录 上页 首页 下页 ‹#› 3.(求图形面积的最值)如图,已知抛物线y=-x2+2x+3与x轴交于A,B两点(点A在点B的左边),与y轴交于点C,连接BC.点P为线段BC上一点(不与B,C重合),PM∥y轴,且PM交抛物线于点M,交x轴于点N,求△BCM面积的最大值. 解:令y=0,即-x2+2x+3=0,解得x=3或x=-1. ∴A(-1,0),B(3,0). 当x=0时,y=3.∴C(0,3). 设直线BC的解析式为y=kx+b,则有 解得 ∴直线BC的解析式为y=-x+3. 设P(x,-x+3),则M(x,-x2+2x+3), ∴PM=(-x2+2x+3)-(-x+3)=-x2+3x. ∴S△BCM=PM•OB=(-x2+3x)×3=-(x-)2+. ∴当x=时,△BCM面积的最大值为. 目录 上页 首页 下页 ‹#› 类型二　二次函数与线段相关问题 4.(求线段长的最值)如图,直线y=x+2与抛物线y=2x2-8x+6相交于点A和B,点P是线段AB上异于A,B的动点,过点P作PC⊥x轴于点D,交抛物线于点C.是否存在这样的点P,使线段PC的长有最大值?若存在,求出这个最大值;若不存在,请说明理由. 解:存在点P,使线段PC的长有最大值. 联立得或 所以A(,,B(4,6). 设点P的坐标为(n,n+2),则点C的坐标为(n,2n2-8n+6), ∴PC=(n+2)-(2n2-8n+6) =-2n2+9n-4=-2(n-)2+. ∵<n<4,∴当n=时,线段PC有最大值,最大值为. 目录 上页 首页 下页 ‹#› 类型三　二次函数与特殊图形 5.(直角三角形)如图,抛物线y=x2+bx-2与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C,且A(-1,0).判断△ABC的形状,并证明你的结论. 解:△ABC是直角三角形. 证明:∵点A(-1,0)在抛物线y=x2+bx-2上, ∴×(-1)2+b×(-1)-2=0,解得b=-. ∴抛物线的解析式为y=x2-x-2. 当x=0时,y=-2,∴C(0,-2),OC=2. 当y=0,即x2-x-2=0时,x1=-1,x2=4, ∴B(4,0).所以OA=1,OB=4,AB=5. ∵AB2=25,AC2=OA2+OC2=5,BC2=OC2+OB2=20, ∴AC2+BC2=AB2, ∴△ABC是直角三角形. 目录 上页 首页 下页 ‹#› 6.(等腰三角形)如图,抛物线y=-x2+x+2与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C,抛物线的对称轴交x轴于点D.在抛物线的对称轴上是否存在点P,使△PCD是以CD为腰的等腰三角形?如果存在,求出点P的坐标;如果不存在,请说明理由. 解:存在点P,使△PCD是以CD为腰的等腰三角形. 把x=0代入解析式,得点C的坐标为(0,2). ∵抛物线的对称轴为x=-=, ∴点D的坐标为(,0). ∴CD===. 如图,当CP=CD时,则P1(,4); 当DP=DC时,则P2(,),P3(,-). 综上所述,满足条件的点P的坐标为(,4)或(,)或(,-). 目录 上页 首页 下页 ‹#› 7.(平行四边形)如图,已知抛物线y=-x2-2x+3与x轴交于点A,B,与y轴交于点C,顶点为P.若以A,C,P,M为顶点的四边形是平行四边形,求点M的坐标. 解:在y=-x2-2x+3中,当x=0时,y=3, ∴C(0,3). 令y=0,即-x2-2x+3=0,解得x1=-3,x2=1. ∴A(-3,0),B(1,0). ∵y=-x2-2x+3=-(x+1)2+4, ∴顶点P的坐标为(-1,4). 如图,分别作△PAC的三边的平行线,三条直线两两相交, 产生3个符合条件的点M1,M2,M3. ∵AM1􀰿CP,且C(0,3),P(-1,4),A(-3,0), ∴M1(-4,1). ∵AM2􀰿PC,且P(-1,4),C(0,3),A(-3,0), ∴M2(-2,-1). ∵CM3􀰿AP,且A(-3,0),P(-1,4),C(0,3), ∴M3(2,7). 综上所述,点M的坐标为(-4,1)或(-2,-1)或(2,7). 目录 上页 首页 下页 ‹#› $$