22.3 第1课时 二次函数与图形面积问题(课件PPT)-【夺冠百分百】2024-2025学年九年级全一册数学新导学课时练（人教版）河北专版

22.3　实际问题与二次函数 第1课时　二次函数与 图形面积问题 1.二次函数y=ax2+bx+c的最值 (1)如果a>0,当x=　　　　时,函数有最小值,最小值为y=　　　　.  (2)如果a<0,当x=　　　　时,函数有最大值,最大值为y=　　　　.  2.利用二次函数求解图形面积时,一般先结合图形的面积公式建立函数关系式,再结合二次函数的性质求解.求解图形的面积时常常根据不同的情况采取不同的办法:①规则图形的面积由面积公式直接计算(如圆、三角形、平行四边形等).②不规则图形的面积多采用分割法求得,即把图形分割为几个规则图形的面积,再求它们的和或差.解这类问题时要注意自变量的取值范围,保证自变量和函数具有实际意义. -　 　　 -　 　 目录 上页 首页 下页 ‹#› 知识点一　求二次函数的最值 1.(正向)函数y=x2-x+ 的最小值是(　　) A. B.- C. D.- 2.(逆向)二次函数y=x2+4x+a的最小值是5,则a的值是(　　) A.5 B.6 C.7 D.9 C D 目录 上页 首页 下页 ‹#› 知识点二　图形的面积问题 3.已知一个直角三角形两直角边之和为20 cm,则这个直角三角形的最大面积为(　　) A.25 cm2 B.50 cm2 C.100 cm2 D.不确定 4.如图,小明的叔叔要靠墙(足够长)用20 m的栅栏围一个矩形鸡舍,要使所围的矩形面积最大,长和宽分别为(　　) A.10 m,10 m B.15 m,5 m C.16 m,4 m D.18 m,2 m 5.用总长为a米的材料做成如图1所示的矩形窗框,设窗框的宽为x米,窗框的面积为y平方米,y关于x的函数图象如图2,则a的值是(　　) A.16 B.12 C.8 D.4 B A B 图1　 　　图2 目录 上页 首页 下页 ‹#› 6.如图,在△ABC中,∠C=90°,AB=10 cm,BC=8 cm,点P从点A沿AC向点C以1 cm/s的速度运动,同时点Q从点C沿CB向点B以2 cm/s的速度运动 (点Q运动到点B停止),在运动过程中,四边形PABQ的 面积最小值为　　　　cm2.  7.如图,利用135°的墙角修建一个四边形ABCD的花坛, 使得AD∥BC,∠C=90°,如果新建围墙折线B-C-D总长15 米,那么当CD=　　　　米时,花坛的面积会达到最大.  8.如图,线段AB=6,点C是AB上一点,点D是AC的中点,分别以AD,DC,CB为边作正方形,则AC=　　　　时,三个正方形的面积之和最小.  15 5 4 目录 上页 首页 下页 ‹#› 9.如图,四边形ABCD是一块边长为2 m的正方形铁板,在边AB上选取一点M,分别以AM和MB为边截取两块相邻的正方形板材,当AM的长为何值时,截取的板材面积最小? 解:设AM的长为x m,则BM的长为(2-x)m, 以AM和BM为边的两个正方形的面积之和为y m2, 根据题意,得y=x2+(2-x) 2 =2x2-4x+4=2(x-1) 2+2. ∵a=2>0, ∴当x=1时,y有最小值,最小值是2. ∴当AM=1 m时,截取的板材面积最小,最小面积为2 m2. 目录 上页 首页 下页 ‹#› 10.(教材P57T7变式)如图,要建一个矩形仓库ABCD,一边靠墙(墙长22 m),并在BC边上开一道2 m宽的门,现在可用的材料为38 m长的木板. (1)若仓库的面积为150 m2,求AB. (2)当仓库的面积最大时,求AB,并指出仓库的最大面积. 解:(1)设AB的长为x m,则AD=(38+2-2x)m, 根据题意,得x(38+2-2x)=150,解得x1=15,x2=5, 当x1=15时,AD=10,当x2=5时,AD=30>22(不合题意舍去),∴AB=15. (2)设仓库的面积为y平方米, 根据题意,得y=x(38+2-2x)=-2x2+40x=-2(x-10)2+200, ∵a=-2<0,38+2-2×10=20<22,∴当x=10时,y最大=200. 答:当AB=10时,仓库的最大面积为200平方米. 名师点睛 (1)根据面积公式关系列出二次函数的解析式. (2)把解析式化为顶点式 y=a(x-h)2+k,然后利用二次函数的性质确定最大值. (3)注意实际问题中自变量的取值范围,实际问题的最大值应在自变量的取值范围内取得. 目录 上页 首页 下页 ‹#› 【能力提升】 1.某农场拟建两间矩形饲养室,一面靠现有墙(墙足够长),中间用一道墙隔开,并在如图所示的三处各留1 m宽的门,已知计划中的材料可建墙体(不包括门)总长为27 m,则能建成的饲养室面积最大为(　　) A.75 m2 B. m2 C.48 m2 D. m2 2.九年级(2)班的师生计划在劳动实践基地内种植蔬菜,老师买回来8米长的围栏,准备围成一边靠墙(墙足够长)的菜园,为了让菜园面积尽可能大,同学们提出了围成矩形、等腰三角形(底边靠墙)、半圆形这三种方案,最佳方案是(　　) A.方案1 B.方案2 C.方案3 D.方案1或方案2 A C 目录 上页 首页 下页 ‹#› 3.一养鸡专业户计划用116 m长的篱笆围成如图所示的三间长方形鸡舍,门MN宽2 m,门PQ和RS的宽都是1 m,围成的鸡舍面积最大是　　　　m2.  450 目录 上页 首页 下页 ‹#› 4.(菏泽中考)某学校为美化学校环境,打造绿色校园,决定用篱笆围成一个一面靠墙(墙足够长)的矩形花园,用一道篱笆把花园分为A,B两块(如图所示),花园里种满牡丹和芍药.学校已定购篱笆120米. (1)设计一个使花园面积最大的方案,并求出其最大面积. (2)在花园面积最大的条件下,A,B两块内分别种植牡丹和芍药,每平方米种植2株,已知牡丹每株售价25元,芍药每株售价15元,学校计划购买费用不超过5万元,求最多可以购买多少株牡丹? 解:(1)设垂直于墙的边为x米,围成的矩形面积为S平方米, 则平行于墙的边为(120-3x)米, 根据题意,得 S=x(120-3x)=-3x2+120x=-3(x-20)2+1 200, ∵-3<0,∴当x=20时,S取最大值1 200, ∴120-3x=120-3×20=60, ∴垂直于墙的边为20米,平行于墙的边为60米,花园面积最大为1 200平方米. (2)设购买牡丹m株,则购买芍药1 200×2-m=(2 400-m)株, ∵学校计划购买费用不超过5万元, ∴25m+15(2 400-m)≤50 000,解得m≤1 400, ∴最多可以购买1 400株牡丹. 目录 上页 首页 下页 ‹#› 【素养闯关】 5.在校园嘉年华中,九年级同学将对一块长20 m,宽10 m的场地进行布置,设计方案如图所示.阴影区域为绿化区(四块全等的矩形),空白区域为活动区,且4个出口宽度相同,其宽度不小于4 m,不大于8 m.设出口宽度均为x(m),活动区面积为y(m2). (1)求y关于x的函数解析式. 解:根据题意,得y=20×10-4×× =200-(20-x)(10-x) =200-200+30x-x2 =-x2+30x, ∴y与x的函数解析式为y=-x2+30x(4≤x≤8). 目录 上页 首页 下页 ‹#› (2)当x取多少时,活动区面积最大?最大面积是多少? 解:由(1),知y=-x2+30x=-(x-15)2+225, ∵-1<0, ∴当x<15时,y随x的增大而增大, ∵4≤x≤8, ∴当x=8时,y有最大值,最大值为176, ∴当x取8 m时,活动区面积最大,最大面积是176 m2. 目录 上页 首页 下页 ‹#› (3)若活动区布置成本为10元/m2,绿化区布置成本为8元/m2,布置场地的预算不超过1 850元,当x为整数时,请求出符合预算且使活动区面积最大的x值及此时的布置成本. 解:设布置场地所用费用为w元, 则w=10(-x2+30x)+8[200-(-x2+30x)] =-10x2+300x+1 600+8x2-240x =-2x2+60x+1 600, 令w=1 850, 即-2x2+60x+1 600=1 850, 解得x=25或x=5, ∵4≤x≤8, ∴4≤x≤5, ∵活动区域面积为y=-x2+30x,-1<0,对称轴为x=15, ∴当x=5时,活动区面积最大,此时的布置成本为1 850元. 目录 上页 首页 下页 ‹#› $$