22.1.4 第2课时 用待定系数法求二次函数的解析式(课件PPT)-【夺冠百分百】2024-2025学年九年级全一册数学新导学课时练（人教版）河北专版

22.1.4　二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质 第2课时　用待定系数法求二次函数的解析式 1.二次函数的解析式 (1)一般式:　　　 　　　　 .  (2)顶点式:　　　　　　　　　 .  (3)交点式:　　　　　　　 　　.  2.用待定系数法确定函数解析式 (1)设出函数解析式.若已知三个点的坐标,可设函数解析式为　　 　　　　　,若已知顶点坐标,可设函数解析式为　 .  (2)把抛物线上的点的坐标代入设出的函数解析式,列出方程或方程组,并解出未知系数的值. y=ax2+bx+c(a≠0) y=a(x-h)2+k(a≠0) y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0) y=ax2+bx+c(a≠0) y=a(x-h)2+k(a≠0) 目录 上页 首页 下页 ‹#› 知识点一　用“一般式”确定二次函数的解析式 1.已知二次函数y=ax2+4x+c,当x等于-2时,函数值是-1;当x=1时,函数值是5.则此二次函数的表达式为(　　) A.y=2x2+4x-1 B.y=x2+4x-2 C.y=-2x2+4x+1 D.y=2x2+4x+1 2.若y=ax2+bx+c,则由表格中信息可知,y与x之间的函数解析式是(　　) A.y=x2-4x+3 B.y=x2-3x+4 C.y=x2-3x+3 D.y=x2-4x+8 A x -1 0 1 ax2     1 ax2+bx+c 8 3   A 目录 上页 首页 下页 ‹#› 3.已知抛物线y=ax2+bx+c经过A,B,C三点,其图象如图. (1)求抛物线的解析式. (2)求出抛物线的顶点坐标. 名师点睛 设二次函数解析式为y=ax2+bx+c,把三个点的坐标代入,列出三元一次方程组,解方程组求出待定系数的值,写出函数解析式. 解:(1)y=-x2+x+2. (2)(,. 目录 上页 首页 下页 ‹#› 知识点二　用“顶点式”确定二次函数的解析式 4.若抛物线的形状、开口方向与y=x2-4x+3相同,顶点在(-2,1),则解析式为(　　) A.y=(x-2)2+1 B.y=(x+2)2-1 C.y=(x+2)2+1 D.y=-(x+2)2+1 5.已知二次函数y=-x2+bx+c的图象的最高点为(1,-3),则b与c的值是(　　) A.b=2,c=4 B.b=2,c=-4 C.b=-2,c=4 D.b=-2,c=-4 【变式】已知二次函数y=x2+bx+c的顶点坐标是(1,2),则b+c的值为　　　　.  C B 1 目录 上页 首页 下页 ‹#› 6.已知某抛物线过点A(2,0),对称轴为x=4,顶点在直线y=x-1上,求此抛物线的解析式. 解:∵当x=4时,y=x-1=3, ∴抛物线的顶点坐标为(4,3), 设抛物线解析式为y=a(x-4)2+3, 把A(2,0)代入,得a×(2-4)2+3=0, 解得a=-, ∴抛物线解析式为y=-(x-4)2+3. 名师点睛 若已知二次函数的顶点坐标,则可设二次函数解析式为y=a(x-h)2+k,把顶点坐标及除顶点外的另一点坐标代入,解方程组求出待定系数的值,写出函数解析式. 目录 上页 首页 下页 ‹#› 知识点三　用“交点式”确定二次函数的解析式 7.如图,抛物线与x轴交于点(-1,0)和(3,0),与y轴交于点(0,-3),则此抛物线对应函数的解析式为(　　) A.y=x2+2x+3 B.y=x2-2x-3 C.y=x2-2x+3 D.y=x2+2x-3 8.抛物线y=ax2+bx+c与x轴的两个交点的横坐标为3和-1,其形状、开口方向与抛物线y=-2x2相同,则y=ax2+bx+c的函数解析式为(　　) A.y=-2x2-x+3 B.y=-2x2+4x+5 C.y=-2x2+4x+8 D.y=-2x2+4x+6 B D 目录 上页 首页 下页 ‹#› 9.已知抛物线y=x2-bx+c经过A(-1,0),B(3,0)两点. (1)求抛物线的解析式(用一般式表示)和顶点坐标. (2)当-1≤x≤4时,求y的取值范围. 解:(1)∵抛物线与x轴的交点坐标为A(-1,0),B(3,0), ∴抛物线解析式为y=(x+1)(x-3), 即y=x2-2x-3. ∵y=x2-2x-3=(x-1)2-4, ∴抛物线的顶点坐标为(1,-4). (2)∵当x=-1时,y=x2-2x-3=0, 当x=4时,y=x2-2x-3=5, 而x=1时,y有最小值-4, ∴当-1≤x≤4时,y的取值范围为-4≤y≤5. 名师点睛 若已知二次函数与x轴的两个交点坐标(x1,0),(x2,0),则可设函数解析式为y=a(x-x1)(x-x2),代入另一已知点的坐标即可求出函数解析式. 目录 上页 首页 下页 ‹#› 易错点　抛物线的位置不确定时未分类讨论而漏解 10.如果抛物线经过点A(2,0)和B(-1,0),且与y轴交于点C.若OC=2,则这条抛物线的解析式是　　　　 　　　　　.  易错提醒 求二次函数的解析式时,若二次函数图象上某个点的位置不确定,应进行分类讨论. y=-x2+x+2或y=x2-x-2 目录 上页 首页 下页 ‹#› 【能力提升】 1.已知A(0,3),B(2,3)是抛物线y=-x2+bx+c上两点,则该抛物线的顶点坐标是　　　　. 2.函数y=-x2+bx+c的图象如图所示,下列几个结论:①对称轴为x=2;②当x>0时,y随x的增大而增大;③函数解析式为y=-x2+4x,其中正确的结论有　　　　.(填序号)  (1,4) ①③ 目录 上页 首页 下页 ‹#› 3.已知:二次函数y=ax2+bx+c中的x,y满足下表: (1)m的值为　　　　.  (2)此函数的解析式为　　　　　　　　.  (3)若0<x<4时,则y的取值范围为　　　　　　　　　.  4.(陷阱题)已知二次函数的图象经过原点及点(-,-,且图象与x轴的另一交点到原点的距离为1,则该二次函数的解析式为　　 　　.  -5 x -2 -1 1 3 4 7 y -5 0 4 0 m -32 y=-x2+2x+3 -5<y≤4 y=x2+x或y=-x2+x 目录 上页 首页 下页 ‹#› 5.已知x与y之间的函数关系式为y=ax2+bx+1(其中a,b是常数),且有下列对应关系: (1)求y与x之间的函数关系式. (2)若点(3,n),点(m,n+10)均在抛物线y=ax2+bx+1上,求m的值. 解:(1)由题意,得 解得 ∴y与x之间的函数关系式为y=2x2-4x+1. (2)∵点(3,n)在抛物线y=2x2-4x+1上, ∴n=2×32-4×3+1=7, ∴n+10=17. ∵点(m,n+10)在抛物线y=2x2-4x+1上, ∴17=2m2-4m+1, ∴m1=4,m2=-2. x 1 -2 y -1 17 目录 上页 首页 下页 ‹#› 6.如图,二次函数的图象与x轴交于A(-3,0)和B(1,0)两点,交y轴于点C(0,3),点C,D是二次函数图象上的一对对称点,一次函数的图象过点B,D. (1)求二次函数的解析式. (2)根据图象直接写出使一次函数值大于二次函数值的x的取值范围. 解:(1)设二次函数的解析式为y=a(x+3)(x-1), 把C(0,3)代入,得a×3×(-1)=3,解得a=-1, 所以抛物线解析式为y=-(x+3)(x-1),即y=-x2-2x+3. (2)当y=3时,-x2-2x+3=3,解得x1=0,x2=-2, 则点D坐标为(-2,3), 观察函数图象,得当x<-2或x>1时,一次函数值大于二次函数值. 目录 上页 首页 下页 ‹#› 【素养闯关】 7.我们称顶点相同的抛物线为共顶抛物线,已知抛物线C1:y=x2-2x+2. (1)下列四个抛物线中,与C1是共顶抛物线的是　　　　(填序号).  ①y=3x2-6x+4;②y=-3x2+6x-1; ③y=-2x2+4x-1;④y=2x2+1. 解:∵抛物线C1:y=x2-2x+2=(x-1)2+1, ∴顶点为(1,1), ①y=3x2-6x+4=3(x-1)2+1,顶点为(1,1),所以①是; ②y=-3x2+6x-1=-3(x-1)2+2,顶点为(1,2),所以②不是; ③y=-2x2+4x-1=-2(x-1)2+1,顶点为(1,1),所以③是; ④y=2x2+1,顶点为(0,1),所以④不是. 故答案为①③. 目录 上页 首页 下页 ‹#› (2)若抛物线C2:y=ax2-2ax+c(a≠0)与C1是共顶抛物线,且抛物线C2经过点(-1,3),求抛物线C2的解析式. 解:抛物线C2:y=ax2-2ax+c, y=a(x2-2x+1-1)+c, y=a(x-1)2-a+c,顶点为(1,-a+c), 由抛物线C2:y=ax2-2ax+c(a≠0)与C1是共顶抛物线得-a+c=1,① ∵抛物线C2经过点(-1,3), ∴a+2a+c=3,即3a+c=3,② 由①②构成方程组 解得 ∴抛物线C2的解析式为y=x2-x+. 目录 上页 首页 下页 ‹#› $$