22.1.4　二次函数y＝ax²＋bx＋c的图象和性质　第2课时　求二次函数的解析式 课件 2024-2025学年人教版数学九年级上册

第22章　二次函数 22.1　二次函数的图象和性质 22.1.4　二次函数y＝ax2＋bx＋c 的图象和性质　 第2课时　求二次函数的解析式 1. 二次函数的三种形式 一般式 （ a ， b ， c 为常数，且 a ≠0） 顶点式 （ a ≠0），其中 点 ⁠为顶点坐标，对称轴为直 线 ⁠ 交点式 （ a ≠0），其 中 x 1， x 2是抛物线与 x 轴的交点的 ⁠ y ＝ ax 2＋ bx ＋ c 　 y ＝ a （ x － h ）2＋ k 　 （ h ， k ）　 x ＝ h 　 y ＝ a （ x － x 1）（ x － x 2）　 横坐标　 知识导航 注意：求二次函数的解析式一般用待定系数法，但要根 据不同条件，设出恰当的解析式： （1）若给出抛物线上任意三点，通常可设一般式 y ＝ ax 2＋ bx ＋ c （ a ≠0）； （2）若给出抛物线的顶点坐标、对称轴或最值，通常 可设顶点式 y ＝ a （ x － h ）2＋ k （ a ≠0）； （3）若给出抛物线与 x 轴的交点、对称轴与 x 轴的交点 间的距离，通常可设交点式 y ＝ a （ x － x 1）（ x － x 2） （ a ≠0）. 知识导航 2. 用待定系数法求二次函数解析式的一般步骤 （1）设出二次函数解析式； （2）代入条件得出关于待定系数的方程或方程组； （3）解方程或方程组得出待定系数的值； （4）把求出的待定系数的值代回设出的解析式. 知识导航 题型一　用待定系数法求二次函数的解析式 例1　 根据下列条件，求二次函数的解析式. （1）图象经过 A （3，0）， B （2，－3），C （0，－3）三点； 解：（1）设二次函数的解析式为 y ＝ ax 2＋ bx ＋ c （ a ≠0），把（3，0），（2，－3），（0，－3）分别代入，得解得 ∴该二次函数的解析式为 y ＝ x 2－2 x －3. 设二次函数的解析式为 y ＝ a （ x －3）2－4， 典例导思 （2）图象经过（0，－2），（－1，0）和（3，0） 三点； 解：（2）由于已知抛物线与 x 轴的交点坐标， 则可设交点式 y ＝ a （ x ＋1）（ x －3）. 把（0，－2）代入，解得 a ＝ ， ∴该二次函数的解析式为 y ＝ （ x ＋1）（ x －3）＝ x 2－ x －2. 设二次函数的解析把点（1，8）代入，得 a ＝3. 典例导思 （3）已知抛物线的顶点坐标为（2，3）且经过点（1， 4）； 解：（3）由于已知顶点坐标， 则可设顶点式 y ＝ a （ x －2）2＋3. 将（1，4）代入，解得 a ＝1， ∴该二次函数的解析式为 y ＝（ x －2）2＋3＝ x 2－4 x ＋7. 设二次函数的解析∴该二次函数的解析式为 典例导思 （4）二次函数的最低点的纵坐标是－4，且经过点 （1，8）和（5，8）. 解：（4）由题意可知，对称轴为直线 x ＝ ＝3. 设二次函数的解析 y ＝3（ x －3）2－4＝3 x 2－18 x ＋23. 典例导思 1. （1）已知二次函数 y ＝ ax 2＋ bx ＋ c （ a ≠0）的图象 上部分点的横坐标 x 与纵坐标 y 的对应值如下表所示： x … －1 0 2 4 … y … －5 1 1 m … 则这个二次函数的解析式为 ， m 的值为 ⁠； y ＝－2 x 2＋4 x ＋1　 －15　 典例导思 （2）如图，该二次函数的解析式为 ⁠ ⁠. [第1（2）题] y ＝－ x 2－2 x ＋ 3　 典例导思 2. 根据下列条件，分别求出对应的二次函数的解析式. （1）已知二次函数的图象经过点 A （0，－1）， B （1，0）， C （－1，2）； 解：（1）设此二次函数的解析式为 y ＝ ax 2＋ bx ＋ c ， 由于函数图象过点（0，－1），可知 c ＝－1. ∵其图象过（1，0），（－1，2）两点，可得 解得 ∴所求二次函数的解析式为 y ＝2 x 2－ x －1. 典例导思 （2）已知抛物线的顶点坐标为（1，－3），且与 y 轴交 于点（0，1）； 解：（2）∵抛物线的顶点为（1，－3）， ∴设此二次函数的解析式为 y ＝ a （ x －1）2－3. ∵抛物线与 y 轴交于点（0，1）， ∴1＝ a （0－1）2－3，解得 a ＝4. ∴所求二次函数的解析式为 y ＝4（ x －1）2－3＝4 x 2－8 x ＋1. 典例导思 （3）已知抛物线与 x 轴交于点 M （－3，0）， N （5，0），且与 y 轴交于点 P （0，－3）. 解：（3）∵抛物线与 x 轴交于点 M （－3，0）， N （5，0），∴设此二次函数的解析式为 y ＝ a （ x ＋3）（ x －5）. ∵抛物线与 y 轴交于点 P （0，－3）， ∴－3＝ a （0＋3）（0－5），解得 a ＝ . ∴所求二次函数的解析式为 y ＝ （ x ＋3）（ x －5）＝ x 2－ x －3. 典例导思 题型二　二次函数与几何 例2　 如图，已知抛物线 y ＝ ax 2＋ bx ＋ c （ a ≠0）经过 点 A （3，0）， B （－1，0）， C （0，－3）. （1）求该抛物线的解析式； 解：（1）把（3，0），（－1，0）， （0，－3）代入抛物线解析式，得 解得 ∴该抛物线的解析式为 y ＝ x 2－2 x －3. 典例导思 （2）若点 Q 在 x 轴上，点 P 在抛物线上，存在以点 B ， C ， Q ， P 为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出 点 P 的坐标，并写出其中一个点 P 的坐标的求解过程. 解：（2）分两种情况考虑： 设 Q （ x ，0）， P （ m ， m 2－2 m －3）. ①当 BC 为平行四边形的一边时，则点 P 到 x 轴的距离与点 C 到 x 轴的距离相等，即点 P 到 x 轴的距离为3，∴点 P 的纵坐标为3或－3. 当 m 2－2 m －3＝3时，解得 m ＝1± ， 即 P （1＋ ，3）或 P （1－ ，3）； 典例导思 当 m 2－2 m －3＝－3时，解得 m ＝0（舍去）或2. 即 P （2，－3）. ②当 BC 为平行四边形的对角线时， ∵ B （－1，0）， C （0，－3）， ∴线段 BC 的中点坐标为 ， 即平行四边形的对称中心为 ， 则 m 2－2 m －3＝－3，解得 m ＝0（舍去）或2， 即 P （2，－3）. 综上所述，点 P 的坐标为（1＋ ，3）或（1－ ， 3）或（2，－3）. 典例导思 3. 如图，已知抛物线 y ＝ ax 2＋4 x ＋ c 经过 A （2，0）， B （0，－6）两点，其对称轴与 x 轴交于点 C . （1）求该抛物线和直线 BC 的解析式； （第3题）　　 典例导思 解：（1）将 A （2，0）， B （0，－6） 代入抛物线的解析式，得 解得 ∴抛物线的解析式为 y ＝－ x 2＋4 x －6. 其对称轴为 x ＝4，∴点 C 的坐标为（4，0）. 设直线 BC 的解析式为 y ＝ kx ＋ b （ k ≠0）. （第3题）　　 典例导思 将点 B ， C 的坐标代入，得 解得 ∴直线 BC 的解析式为 y ＝ x －6. （第3题）　　 典例导思 （2）在该抛物线的对称轴上存在点 P ，使得△ PAB 的 周长最小，求出点 P 的坐标； 解：（2）∵抛物线的对称轴为直线 x ＝4， ∴点 A （2，0）关于抛物线对称轴的对 称点A'的坐标为A'（6，0）. 连接A'B，交直线 x ＝4于点 P ， 此时△ PAB 的周长最小. 设直线A'B的解析式为 y ＝ mx ＋ n （ m ≠0）， （第3题）　　 典例导思 把A'（6，0）和 B （0，－6）代入，得 解得 即直线A'B的解析式为 y ＝ x －6， 把 x ＝4代入直线A'B的解析式， 求得点 P 的坐标为（4，－2）. （第3题）　　 典例导思 （3）设抛物线与直线 BC 相交于点 D ，在该抛物线的对 称轴上存在一点 Q ，使得△ ABQ 的面积等于△ ABD 的 面积.请直接写出点 Q 的坐标，并写出其中一个点 Q 的坐 标的求解过程. 解：（3）如答案图，过点 Q 作 QE ∥ x 轴 交 AB 于点 E ， （答案图） 典例导思 联立解得 ∴点 D 的坐标为 .∵ AC ＝4－2＝2， ∴ S △ ABD ＝ ×2× ＝ . 设直线 AB 的解析式为 y ＝k'x＋b'（k'≠0）， 把 A （2，0）， B （0，－6）代入，得 （答案图） 典例导思 解得 ∴直线 AB 的解析式为 y ＝3 x －6. 设点 Q 的坐标为（4， t ），则 E ， ∴ EQ ＝ ， ∴ S △ ABQ ＝ ×[0－（－6）]× ＝ ， 解得 t ＝－ 或 t ＝ ， ∴点 Q 的坐标为 或 . （答案图） 典例导思 $$