21.3 第3课时 用一元二次方程解决几何图形问题(课件PPT)-【夺冠百分百】2024-2025学年九年级全一册数学新导学课时练（人教版）河北专版

21.3　实际问题与一元二次方程 第3课时　用一元二次方程 解决几何图形问题 面积问题 (1)不规则图形问题:采用割补法或平移变换对不规则图形进行变换,使问题简化. (2)动点问题:把动的点进行转换变为线段的长度,依据等量关系运用面积公式及勾股定理求解. 目录 上页 首页 下页 ‹#› 知识点一　一般图形问题 1.已知矩形ABCD的面积为1,长比宽长2,则该矩形的长为(　　) A.+1 B.-1 C.2- D.1- 2.用一条长为60 cm的绳子围成一个面积为a cm2的长方形,a的值不可能为(　　) A.240 B.225 C.60 D.30 A A 目录 上页 首页 下页 ‹#› 知识点二　边框与甬道问题 3.王叔叔从市场上买了一块长80 cm、宽70 cm的矩形铁皮,准备制作一个工具箱.如图,他将矩形铁皮的四个角各剪掉一个边长为x cm的正方形后,剩余的部分刚好能围成一个底面积为3 000 cm2的无盖长方形工具箱,根据题意列方程为(　　) A.(80-x)(70-x)=3 000 B.80×70-4x2=3 000 C.(80-2x)(70-2x)=3 000 D.80×70-4x2-(70+80)x=3 000 4.(传统文化)《田亩比类乘除捷法》中提出这样一个问题:直田积八百六十四步,只云阔不及长一十二步,问阔及长各几步.意思是:矩形面积864平方步,宽比长少12步,问宽和长各几步.你来解决这道古算题,可以求得矩形的长为　　　　步.  5.(教材P26T12变式)如图,在一块长32米、宽20米的矩形地面上修建三条入口宽度相等的小路,每条小路的两边是互相平行的,且其中一条小路与矩形地面的一边平行.若使剩余部分的面积为570平方米,则小路的入口宽度为　　　　米.  C 36 1 目录 上页 首页 下页 ‹#› 6.某地计划对矩形广场进行扩建改造.如图,原广场长50 m,宽40 m,要求扩充后的矩形广场长与宽的比为3∶2.扩充区域的扩建费用每平方米30元,扩建后在原广场和扩充区域都铺设地砖,铺设地砖费用每平方米100元.如果计划总费用642 000元,扩充后广场的长和宽应分别是多少米? 名师点睛 若图形是三角形、矩形、正方形等规则图形,则直接应用面积公式列出方程;若图形是不规则图形,则采用割补法,使其成为规则的图形,再应用面积公式列方程求解. 解:设扩充后广场的长为3x m,则宽为2x m. 依题意,得3x•2x•100+30(3x•2x-50×40)=642 000, 解得x1=30,x2=-30(不合题意,舍去). 所以3x=90,2x=60. 答:扩充后广场的长为90 m,宽为60 m. 目录 上页 首页 下页 ‹#› 知识点三　动点问题 7.如图,在矩形ABCD中,AB=6,BC=8,点E从点A出发,以1个单位/秒的速度向点B移动,同时,点F从点B出发,以2个单位/秒的速度向点C移动,求经过多久后△EBF的面积为5个平方单位. 名师点睛 解决动点问题要先分析出动点的运行轨迹,把相应线段的数量关系表示出来是解决此类问题的关键.用“静”的方法来处理“动”的问题是解决运动型数学问题的思维技巧. 解:设x秒后△EBF的面积为5个平方单位,依题意,得 (6-x)×2x=5. 整理得x2-6x+5=0. 解得x1=1,x2=5. 当x=5时,2x=10>8,舍去. 所以x=1. 答:1秒后△EBF的面积为5个平方单位. 目录 上页 首页 下页 ‹#› 【能力提升】 1.如图,某小区计划在一个长16 m,宽9 m的矩形场地ABCD上,修建若干条同样宽的小路,竖直的与AB平行,水平的与AD平行,其余部分种草.已知草坪部分的总面积为112 m2,设小路宽 x m,若x满足方程x2-17x+16=0,则修建的示意图是(　　) A B C D 2.如图,已知长方形ABCD的面积为1,长与宽之差为1,则该长方形的周长为(　　) A.2 B. C.2 D. C C 目录 上页 首页 下页 ‹#› 3.如图,将边长为40 cm的正方形硬纸板的四个角各剪掉一个同样大小的正方形,剩余部分折成一个无盖的盒子(纸板的厚度忽略不计).若该无盖盒子的底面积为900 cm2,盒子的容积是(　　) A.3 600 cm3 B.4 000 cm3 C.4 500 cm3 D.9 000 cm3 4.如图,在Rt△ABC中,∠B=90°,AB=12 cm,AC=13 cm,点M从点A出发沿边AB向点B以2 cm/s的速度移动,点N从点B出发沿BC边向点C以1 cm/s的速度移动.当一个点先到达终点时,另一个点也停止运动,当△MBN的面积为9 cm2时,点M,N的运动时间为(　　) A.2 s B.3 s C.4 s D.5 s C B 目录 上页 首页 下页 ‹#› 5.如图,在矩形ABCD中,AB=15 cm,AD=5 cm,动点P,Q分别从点A,C同时出发,点P以3 cm/s的速度向点B移动,一直到点B为止,点Q以2 cm/s的速度向点D移动(点P停止移动时,点Q也停止移动).设移动时间为t(s).连接PQ. (1)当t为何值时,P,Q两点间的距离为13 cm? (2)四边形APQD的形状可能为矩形吗?若可能,求出t的值;若不可能,请说明理由. 解:(1)设出发t秒时P,Q两点间的距离是13 cm, 则AP=3t,CQ=2t,作QM⊥AB于点M, 则PM=|15-2t-3t|=|15-5t|, (15-5t)2+52=132, 解得t=0.6或t=5.4(舍去). 答:当t为0.6秒时,P,Q两点间的距离为13 cm. (2)四边形APQD的形状有可能为矩形.理由如下: 当四边形APQD为矩形时,则AP=DQ, 即3t=15-2t, 解得t=3. 答:当t=3时四边形APQD为矩形. 目录 上页 首页 下页 ‹#› 【素养闯关】 6.(变式题)(1)如图1,用篱笆靠墙围成矩形花圃ABCD,墙可利用的最大长度为15 m,一面利用旧墙,其余各边都用篱笆围成,且篱笆总长为24 m,若围成的花圃面积为40 m2,求BC的长. 图1 　 　　图2 解:设BC的长为x m,则AB的长为 m. 根据题意,得x·=40,整理,得x2-24x+80=0. 解得x1=4,x2=20. ∵20>15,∴x2=20舍去.∴BC的长为4 m. 目录 上页 首页 下页 ‹#› 母题变式 (2)变式一:如图2,若其余条件不变,花圃在BC边上有一个宽度为1 m的小门,且围成的花圃面积为50 m2,求BC的长. 解:设BC的长为y m,则AB的长为 m. 根据题意,得y·=50,整理,得y2-25y+100=0. 解得y1=5,y2=20. ∵20>15,∴y2=20舍去.∴BC的长为5 m. 目录 上页 首页 下页 ‹#› (3)变式二:如图3,若在花圃中间用一道篱笆隔成两个小矩形(篱笆总长不变),且围成的花圃总面积为45 m2,求BC的长. 图3 　图4 解:设BC的长为a m,则AB的长为 m. 根据题意,得a·=45, 整理,得a2-24a+135=0. 解得a1=9,a2=15.∴BC的长为9 m或15 m. 目录 上页 首页 下页 ‹#› (4)变式三:如图4,若在花圃中间用三道篱笆隔成四个小矩形(篱笆总长不变),请你判断能否成功围成面积为45 m2的花圃?如果能,求BC的长;如果不能,请说明理由. 解:不能围成.理由如下: 设BC的长为b m,则AB的长为 m. 根据题意,得b·=45, 整理,得b2-24b+225=0. ∵Δ=(-24)2-4×1×225=-324<0, ∴该方程无实数根. ∴不能围成面积为45 m2的花圃. 目录 上页 首页 下页 ‹#› $$