21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系(课件PPT)-【夺冠百分百】2024-2025学年九年级全一册数学新导学课时练（人教版）河北专版

21.2.4　一元二次方程的根与系数的关系 一元二次方程的根与系数的关系 方程ax2+bx+c=0(a≠0,b2-4ac≥0)的两个根x1,x2和系数a,b,c有如下关系:x1+x2=　　　, x1x2=　　　.  即两个根的和等于　　 　系数与　　 　系数的比的相反数;两个根的积等于　　　与 　　　　系数的比.  -　 　　 一次项 　 二次项 常数项 二次项 目录 上页 首页 下页 ‹#› 知识点一　根与系数的关系及求有关代数式的值 1.(正向)已知一元二次方程x2+2x-1=0的两实数根为x1,x2,则x1x2的值为(　　) A.2 B.-2 C.1 D.-1 2.(逆向)已知x1,x2是关于x的一元二次方程x2+bx+c=0的两个根,且x1+x2=5,x1x2=6,则该一元二次方程是(　　) A.x2+5x+6=0 B.x2-5x+6=0 C.x2-6x+5=0 D.x2-6x-5=0 3.方程2x2+(k+1)x-6=0的两根和是-2,则k的值是(　　) A.3 B.-3 C.0 D.1 D B A 目录 上页 首页 下页 ‹#› 4.已知x1,x2是方程x2-4x-3=0的两根,则=　　　　.  5.根据一元二次方程的根与系数的关系,求下列方程两个根x1,x2的和与积: (1)x2-5x-2=0. (2)3x2-2x-3=0. (3)4x-3=6x2. - 名师点睛 (1)利用根与系数的关系求未知字母(或代数式)的值的步骤: ①算:计算出两根的和与积. ②变:将所求的未知字母(或代数式)表示成两根的和与积的形式. ③代:代入求值. (2)注意事项:一元二次方程必须有两个实数根,二次项系数a≠0. 解:(1)x1+x2=5,x1x2=-2. (2)x1+x2=,x1x2=-1. (3)x1+x2=,x1x2=. 目录 上页 首页 下页 ‹#› 知识点二　已知一元二次方程的一个根求另一个根及字母系数的取值或范围 6.已知关于x的一元二次方程x2-6x+k=0的一个根是1,则另一个根是(　　) A.5 B.-5 C.-6 D.-7 7.已知关于x的一元二次方程x2+3x-m=0的一个根是x=1,则m的值为(　　) A.2 B.4 C.-4 D.-2 8.若一元二次方程x2-(a+1)x+a=0的两个实数根分别是b,2,则b-a=(　　) A.-1 B.1 C.3 D.-4 A B A 目录 上页 首页 下页 ‹#› 9.若方程2x2+x-2m+1=0有一正实根和一负实根,则m的取值范围是(　　) A.m≥ B.m> C.m> D.m≥ 10.已知x1,x2是一元二次方程x2-2x+k+2=0的两个实数根. (1)求k的取值范围. B 解:∵一元二次方程x2-2x+k+2=0有两个实数根, ∴Δ=(-2)2-4×1×(k+2)=-4k-4≥0, 解得k≤-1. 目录 上页 首页 下页 ‹#› (2)是否存在实数k,使得等式+=k-2成立?如果存在,请求出k的值;如果不存在,请说明理由. 名师点睛 已知方程的一根:(方法一)直接代入原方程,得到一个关于未知系数(参数)的方程,解方程求出未知系数(参数)的值.(方法二)利用根与系数的关系列出有关另一根与字母系数的方程或方程组求解. 解:存在. ∵x1,x2是一元二次方程x2-2x+k+2=0的两个实数根, ∴x1+x2=2,x1x2=k+2. ∵+=k-2, ∴==k-2. 整理,得k2-6=0, 解得k1=-,k2=. 又∵k≤-1,∴k=-. 目录 上页 首页 下页 ‹#› 易错点　忽视判别式的取值范围 11.方程x2-x+1=0与方程x2-5x-1=0的所有实数根的和是(　　) A.6 B.5 C.3 D.2 易错提醒 应用根与系数的关系时,必须满足一元二次方程有实数根,即b2-4ac≥0,忽视判别式的取值范围易出现结果错误. B 目录 上页 首页 下页 ‹#› 【能力提升】 1.设m,n分别为一元二次方程2x2-5x+3=0的两个实数根,则m+n+mn的值为(　　) A.4 B.-4 C.-2 D.2 【变式】已知x1,x2是关于x的一元二次方程x2+bx-3=0的两根,且满足x1+x2-3x1x2=5,那么b的值为(　　) A.4 B.-4 C.3 D.-3 2.方程x2-(k2-4)x+k+1=0的两实数根互为相反数,则k的值应为(　　) A.±4 B.±2 C.2 D.-2 A A D 目录 上页 首页 下页 ‹#› 3.关于x的方程2x2+mx+n=0的两个根是-2和1,则nm的值为(　　) A.16 B.-16 C.8 D.-8 4.若m,n分别是一元二次方程x2-4x+1=0的两个根,则m2-3m+n的值为(　　) A.3 B.4 C.5 D.6 5.若一元二次方程x2-(2m+3)x+m2=0有两个不相等的实数根x1,x2,且x1+x2=x1x2,则m的值是(　　) A.-1 B.3 C.2或-1 D.-3或1 A A B 目录 上页 首页 下页 ‹#› 6.已知关于x的一元二次方程x2+mx+n=0的两个实数根分别为x1=-2,x2=4,则m-n的值是　　　　.  7.若实数a,b满足a2-8a+5=0,b2-8b+5=0,则+的值为　　　　.  8.已知关于x的方程x2+2x+m-2=0. (1)当该方程的一个根为0时,求m的值及方程的另一根. (2)若该方程有两个不等的实数根,求符合条件的正整数m的值. 6 2或-20 解:(1)当x=0时,0+0+m-2=0, ∴m=2, ∴x2+2x=0, ∴x=0或x=-2, 即方程的另一根是-2. (2)∵关于x的方程x2+2x+m-2=0有两个不等的实数根, ∴Δ=22-4(m-2)=-4m+12>0, ∴m<3. ∵m为正整数, ∴m=1,2. 目录 上页 首页 下页 ‹#› 9.已知关于x的一元二次方程 x2+(2m+1)x+m2-2=0. (1)若该方程有两个实数根,求m的最小整数值. (2)若方程的两个实数根为x1,x2,且(x1-x2)2+m2=21,求m的值. 解:(1)根据题意,得Δ=(2m+1)2-4(m2-2)≥0, 解得m≥-,所以m的最小整数值为-2. (2)根据题意,得x1+x2=-(2m+1),x1x2=m2-2, ∵(x1-x2)2+m2=21, ∴(x1+x2)2-4x1x2+m2=21, ∴(2m+1)2-4(m2-2)+m2=21, 整理得m2+4m-12=0,解得m1=2,m2=-6, ∵m≥-,∴m的值为2. 目录 上页 首页 下页 ‹#› 【素养闯关】 10.(核心素养·推理能力)已知关于x的方程x2-(k+2)x+2k=0. (1)求证:k取任何实数值,方程总有实数根. (2)若Rt△ABC的斜边长a=3,另两边长b,c恰好是这个方程的两个根,求△ABC的周长. (1)证明:Δ=(k+2)2-8k=(k-2)2≥0, 所以k取任何实数值,方程总有实数根. (2)解:∵Rt△ABC的斜边长a=3, ∴a2=b2+c2,即9=(b+c)2-2bc. ∵b,c是方程x2-(k+2)x+2k=0的两个根, ∴b+c=k+2,bc=2k, ∴9=(k+2)2-2×2k,解得k=±. 当k=-时,b+c=2-(不合题意,舍去), 当k=时,b+c=2+. 故△ABC的周长为a+b+c=5+. 目录 上页 首页 下页 ‹#› $$