专题01 解直角三角形重要模型之实际应用模型-2024-2025学年九年级数学下册常见几何模型全归纳之模型解读与提分精练（浙教版）

专题01 解直角三角形重要模型之实际应用模型 解直角三角形是中考的重要内容之一（也可理解为相似三角形的一种特殊情况），直角三角形边、角关系的知识是解直角三角形的基础。将实际问题转化为数学问题是关键，通常是通过作高线或垂线转化为解直角三角形问题，在解直角三角形时要注意三角函数的选取，避免计算复杂。在解题中，若求解的边、角不在直角三角形中，应先添加辅助线,构造直角三角形。为了提高解题和得分能力，本专题重点讲解解直角三角形的实际应用模型。 【知识储备】 图1 图2 图3 图4 图5 如图1，30°-60°-90°三边比值； 如图2，45°-45°-90°三边比值 如图3，30°-30°-120°三边比值；如图4，30°-45°-105°三边比值 如图5，45°-60°-75°三边比值。 上面五个结论在于练习勾股定理和方程，没有用到三角函数。其实三角函数相关题目的辅助线也类似，即作垂线，把角放在直角三角形中来研究。最后希望大家能够自己动手计算并研究这些特殊角度三角形的三边比值。 2 模型1.背靠背模型 2 模型2.母子模型 7 模型3.拥抱模型 13 16 模型1.背靠背模型 背靠背模型：如图，若三角形中有已知角时，则通过在三角形内作高CD，构造出两个直角三角形求解，其中公共边（高）CD是解题的关键。 图1 图2 图3 图4 图5 重要等量关系：如图1，CD为公共边，则AD+BD=AB；如图2，CE=DA，CD=EA，则CE+BD=AB； 如图3，CD=EF，CE=DF，则AD+CE+BF=AB；如图4，DE=BF，BD=EF，则AE+EF=AF； 如图5，BE=CF，CE=BF，则AE+EB=AB。 例1．（2024·山西·模拟预测）“天水麻辣烫”火了！如图，太原的小李乘坐高铁由太原南去天水吃麻辣烫时，在距离铁轨100米的B处观察他所乘坐的由太原南开往天水的“和谐号”动车．他观察到，当“和谐号”动车车头在A处时，恰好位于B处的北偏东方向上；10秒钟后，动车车头到达C处，恰好位于B处的西北方向上．根据所学知识，该时段动车的平均速度是 米/秒． 例2．（2024·安徽·三模）如图1是某地红色广场标牌，将其红色主体部分拍象为图2，，，，米，米，求该标牌的高（精确到米，参考数据：，，， 例3．（2024·海南海口·模拟预测）河边新建成了一座美丽的大桥．某学校数学兴趣小组组织了一次测桥墩高度的活动，如图，桥墩刚好在坡度的斜坡边，斜坡长为48米，在点处测得桥墩最高点的仰角为，平行于水平线，长为米． (1) ， ．(2)求点到直线的距离；(3)求桥墩的高（结果保留位小数）．（，，，） 例4．（2024·四川宜宾·中考真题）宜宾地标广场位于三江汇合口（如图1，左侧是岷江，右侧是金沙江，正面是长江）．某同学在数学实践中测量长江口的宽度，他在长江口的两岸选择两个标点C、D，在地标广场上选择两个观测点A、B（点A、B、C、D在同一水平面，且）．如图2所示，在点A处测得点C在北偏西方向上，测得点D在北偏东方向上；在B处测得点C在北偏西方向上，测得点D在北偏东方向上，测得米．求长江口的宽度的值（结果精确到1米）．（参考数据：，，，，，） 模型2.母子模型 图1 图2 图3 图4 母子模型：若三角形中有已知角，通过在三角形外作高BC，构造有公共直角的两个三角形求解，其中公共边BC是解题的关键。 重要等量关系：如图1，BC为公共边，AD+DC=AC；如图2，BC为公共边，DC- BC= DB； 如图3，DF=EC，DE=FC，BF+DE=BC，AE+DF=AC；如图4，AF=CE，AC=FE，BC+AF= BE。 图5 图6 图7 图8 图9 如图5，BE+EC= BC；如图6，EC- BC= BE；如图7，AC=FG，AF=CG，AD+DC=FG，BC+AF= BG； 如图8，BC=FG，BF=CG，AC+BF=AG，EF+ BC= EG； 如图9，BC=FG，BF=CG，EF+BC=EG，BD+DF= BF，AC+ BD+ DF=AG。 例1.（24-25九年级上·山东德州·阶段练习）某宾馆为庆祝开业，在楼前悬挂了许多宣传条幅，如图所示，一条幅从楼顶处放下，在楼前点处拉直固定，小明为了测量此条幅的长度，他先在楼前处测得楼顶点的仰角为，再沿方向前进米到达处，测得点的仰角为，已知点到大厦的距离米，，请根据以上数据求条幅的长度（结果保留整数．参考数据：，，) 例2．（2023·浙江台州·三模）建筑物上有一旗杆，由距的处观察旗杆顶部的仰角，观察底部的仰角为，求旗杆的高度．（结果精确到；参考数据： 例3．（2024·湖南长沙·模拟预测）如图，某数学兴趣小组用无人机测量奇楼的高度，先将无人机垂直上升至距水平地面的点P处，测得奇楼顶端A的俯角为，再将无人机沿水平方向飞行到达点Q处，测得奇楼底端B的俯角为．（结果精确到，参考数据： ）．(1)求的长度；(2)求奇楼的高度．    例4．（2024·宁夏银川·模拟预测）5G时代，万物互联．互联网、大数据、人工智能与各行业应用深度融合，助力数字经济发展，共建智慧生活．网络公司在改造时，把某一5G信号发射塔建在了山坡的平台上，已知山坡的坡度为．身高的小明站在A处测得塔顶M的仰角是，向前步行到达B处，再沿斜坡步行至平台点C处，测得塔顶M的仰角是，若在同一平面内，且 和分别在同一水平线上，则发射塔的高度约为（    ）（结果精确到，参考数据：，，，，，） A． B． C． D． 例5．（2023·浙江温州·一模）甲、乙两幢完全一样的房子如图1，小聪与弟弟住在甲幢，为测量对面的乙幢屋顶斜坡，之间的距离，制定如下方案：两幢房子截面图如图2，，小聪在离屋檐处的点处水平放置平面镜（平面镜的大小忽略不计），弟弟在离点水平距离的点处恰好在镜子中看到乙幢屋顶，此时测得弟弟眼睛与镜面的竖直距离．下楼后，弟弟直立站在处，测得地面点与，，在一条直线上，，，，则甲、乙两幢间距 ，乙幢屋顶斜坡，之间的距离为 ． 例6.（2024·安徽宣城·三模）如图，某机器人在一次操作时，将手臂，，依次展开，测得，垂直于地面，，，求操作手臂的最高点到地面的距离（结果保留根号）． 模型3.拥抱模型 拥抱模型：如图，分别解两个直角三角形，其中公共边BC是解题的关键。 图1 图2 图3 图4 重要等量关系：如图1，BC为公共边；如图2，BF+ FC+CE=BE；如图3，BC+ CE= BE； 如图4，AB=GE，AG=BE，BC+CE=AG, DG+AB= DE。 例1．（2024九年级下·浙江·专题练习）长沙电视塔位于长沙市岳麓区岳麓山峰顶，其功能集广播电视信号发射与旅游观光于一身，登塔可鸟瞰长沙全貌．为测量电视塔的高度，数学综合实践小组同学先在电视塔附近一栋楼房的底端A点处观测电视塔顶端C处的仰角是，然后在安全人员的引导下去该楼房顶端B点处观测电视塔底部D处的俯角是．已知楼房高约是．（结果用根号表示） (1)求楼房与电视塔底部距离的长；(2)求电视塔的高度． 例2．（2022·湖南株洲·中考真题）如图1所示，某登山运动爱好者由山坡①的山顶点A处沿线段至山谷点处，再从点处沿线段至山坡②的山顶点处．如图2所示，将直线视为水平面，山坡①的坡角，其高度为0.6千米，山坡②的坡度，于，且千米． (1)求的度数；(2)求在此过程中该登山运动爱好者走过的路程． 例3．（2024·陕西西安·模拟预测）在数学综合实践活动中，小林和小溪利用所学的数学知识测量学校花坛内一棵大树的高度，树的底部不可直接到达，两人讨论后采用以下方法进行测量：如图，小林把支架EF放在离树适当距离的水平地面上的点处，再把镜子水平放在支架EF上的点处，然后沿着直线后退至点处，这时恰好在镜子里看到树的顶端，即，然后小林又在C处用测倾器测得树的顶端A处的仰角为度；小溪用皮尺分别测量及小林目高的长．已知于点于点于点米，米，米，请你利用测得的数据求出这棵树的高度（结果保留整数．参考数据：，） 1．（2024·广东深圳·模拟预测）如图，港珠澳大桥是粤港澳大湾区的标志性工程，是世界上最长的跨海大桥．项目于2009年12月30日开工建设，2016年9月15日完成竣工验收．被誉为“当代桥梁建设的巅峰之作”．某校九年级学生为了测量该主塔的高度，站在B处看塔顶A，仰角为，然后向后走160米（米），到达C处，此时看塔顶A，仰角为，则该主塔的高度是（　　） A．160 B． C．200 D． 2．（2023·广东清远·二模）季华路文华公园里的电视塔是佛山城市中轴线的标志性建筑物．如图，在地面上的点A，C处分别测得电视塔塔顶B的仰角均为度，且点A，C，D在同一直线上，若测得米，则塔高是（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 3．（2024·四川德阳·中考真题）某校学生开展综合实践活动，测量一建筑物的高度，在建筑物旁边有一高度为10米的小楼房，小李同学在小楼房楼底处测得处的仰角为，在小楼房楼顶处测得处的仰角为．（在同一平面内，在同一水平面上），则建筑物的高为（    ）米 A．20 B．15 C．12 D． 4．（2024·湖北武汉·模拟预测）如图，建筑物上有一旗杆，从与相距的D处观测旗杆顶部A的仰角为，观测旗杆底部B的仰角为，旗杆的高度为 ．（结果保留小数点后一位，，，） 5．（2024·湖北武汉·模拟预测）某商场从安全和便利的角度出发，为提升顾客的购物体验，准备将自动扶梯由原来的阶梯式改造成斜坡式，如图，已知商场的层高为，坡角为，改造后的斜坡式自动扶梯的坡角，请你计算改造后的自动扶梯增加的占地长度 （结果精确到，参考数据：，，） 6．（2024·四川广元·中考真题）小明从科普读物中了解到，光从真空射入介质发生折射时，入射角的正弦值与折射角的正弦值的比值叫做介质的“绝对折射率”，简称“折射率”．它表示光在介质中传播时，介质对光作用的一种特征． (1)若光从真空射入某介质，入射角为，折射角为，且，，求该介质的折射率； (2)现有一块与（1）中折射率相同的长方体介质，如图①所示，点A，B，C，D分别是长方体棱的中点，若光线经真空从矩形对角线交点O处射入，其折射光线恰好从点C处射出．如图②，已知，，求截面的面积． 7．（2024·天津·中考真题）综合与实践活动中，要用测角仪测量天津海河上一座桥的桥塔的高度（如图①）．某学习小组设计了一个方案：如图②，点依次在同一条水平直线上，，垂足为．在处测得桥塔顶部的仰角（）为，测得桥塔底部的俯角（）为，又在处测得桥塔顶部的仰角（）为． (1)求线段的长（结果取整数）； (2)求桥塔的高度（结果取整数）．参考数据：． 8．（2024·四川遂宁·中考真题）小明的书桌上有一个型台灯，灯柱高，他发现当灯带与水平线夹角为时（图1），灯带的直射宽为，但此时灯的直射宽度不够，当他把灯带调整到与水平线夹角为时（图2），直射宽度刚好合适，求此时台灯最高点到桌面的距离．（结果保留1位小数）（） 9．（2024·陕西咸阳·模拟预测）法门寺文化景区地处陕西省宝鸡市的法门镇，法门寺又名“真身宝塔”，被誉为皇家寺庙，因安置释迦牟尼佛指骨舍利而成为举国仰望的佛教圣地，被誉为“护国真身宝塔”．为了测量这座宝塔的高度，某校数学应用实践小组做了如下的探索：小明站在D处，用测角仪测得宝塔顶端A的仰角为；然后，小明在点N处竖立高2.4米的标杆，接着沿走到点F，恰好看到标杆顶端M和宝塔顶端A在一条直线上．已知小明的眼睛到地面的距离米，米，米．测量示意图如图所示，已知点D、B、N、F在一条直线上，，，，，求这座宝塔的高度．（参考数据：，，） 10．（2024·山西长治·模拟预测）下表是在综合与实践课上，刘老师指导学生测量建筑物的高度测量数据： 课题：测量建筑物的高度 ①建筑物前有一段斜坡，斜坡的坡度； ②在斜坡的底部A测得建筑物顶点C的仰角为； ③斜坡长； ④在点B测得建筑物顶点C的仰角为． 求建筑物的高度．（参考数据：，） 请根据以上数据求出建筑物的高度． 11．（2024·福建泉州·模拟预测）某课外活动小组进行综合实践活动． 【问题】测量如图1所示斜坡的坡角．【思考】“转化”是解决问题的一种常用的思想方法．当斜坡角度不能直接测量时，可“转化”为可度量的角进行测量． 【创新】该活动小组制作了如图2所示的矩形测角仪，量角器固定在矩形板上，将用细线和铅锤做成的重锤线顶端固定在量角器中心点（矩形顶点）处．测量时，将矩形板的边放在斜坡上，如图3，此时重锤线在量角器上对应的刻度即为坡角的度数． （1）请说出该矩形测角仪的数学原理：______，并用图3进行证明． 【应用】小组成员进一步实践，发现可以利用矩形测角仪测量计算高度； （2）如图4，小明在点M处观测树顶，使眼睛、矩形测角仪的边、树顶在同一直线上，观测矩形测角仪上的示数，仰角；小明继续沿正对着大树的方向前进，在点N处观测树顶的仰角．已知小明的眼睛离地面，求大树的高度（精确到）．（参考数据：，，） 12．（2024·贵州·模拟预测）小军同学想利用所学的“锐角三角函数”知识测量一段两岸平行的河流宽度．他先在河岸设立A，B两个观测点，然后选定对岸河边的一棵树记为点M．过点M作， 垂足为N， 测得，． (1)设米， 则的长为 ． (用含x的代数式表示) (2)请你依据所测数据求出这段河流的宽度(结果精确到 )． 参考数据：， 13．（2024·贵州毕节·三模）为建设美好公园休息区，增强民众生活幸福感，如图1，某公园服务中心在文化活动室墙外安装遮阳篷，便于民众休憩．在如图2的侧面示意图中，遮阳篷靠墙端离地高度记为，遮阳篷AB长为6米，与水平面的夹角为．    (1)求点A到墙面的距离；(2)当太阳光线与地面的夹角为时，量得影长为米，求遮阳篷靠墙端离地的高度．（结果精确到米；参考数据：，，） 14．（2024·贵州遵义·模拟预测）打篮球是学生的校园基本体育运动项目之一．如图①是一副篮球架实物图，如图②是它的示意图，其中主拉杆，点在同一直线上，与水平线之间的夹角为，主拉杆与底座上边缘之间的夹角为，水平横梁，篮筐P与水平横梁同高，底座，支撑立柱与底座边沿在同一竖直线上．（参考数据：，结果精确到） (1)求篮板到支撑立柱的水平距离．(2)求篮筐P离地面的竖直高度． 15．（2024·海南海口·一模）数学活动小组欲测量山坡上一棵大树的高度，如图，于点E，在A处测得大树底端C的仰角为，沿水平地面前进30米到达B处，测得大树顶端D的仰角为，测得山坡坡角．（参考数据：，，，） 求：(1) °，斜坡 m；(2)这棵大树的高度（结果取整数）． 16．（2024·山东·校考二模）如图，在楼与楼之间有一旗杆，从顶部点处经过旗杆顶部点恰好看到楼的底部点，且俯角为45°，从楼顶部点处经过旗杆顶部点恰好看到楼的点，米，且俯角为30°，已知楼高39米，求旗杆的高度．（结果精确到1米） 17．（2023·辽宁抚顺·模拟预测）张老师家的洗手盆上装有一种抬启式水龙头（如图①），完全开启后，把手与水平线的夹角为，此时把手端点A、出水口点B和落水点C在同一直线上，洗手盆及水龙头示意图如图②，其相关数据为，求的长．（结果精确到，参考数据： ， ， ，） 18．（2024九年级上·浙江·专题练习）高风中学校门口安装有汽车出入道闸．道闸关闭时，如图1，四边形为矩形，长3米，长1米，与水平地面垂直．道闸打开的过程中，边固定，连杆分别绕点A，D转动，且边始终与边平行．(1)如图2，当道闸打开至时，边上一点P，P到D的距离为2米，P到地面的距离为1.1米，求点D到地面的距离的长． (2)在（1）的条件下，一辆轿车过道闸，已知轿车的宽为1.9米，高为1.5米．当道闸打开至时，轿车能否驶入校区？请说明理由．（参考数据：） 19．（2024·四川成都·模拟预测）如图，小光为测量学校旗杆的高度，从距旗杆正前方处的点C出发，沿斜面坡度为的斜坡前进到达点D，在点D处安置测角仪，测得旗杆顶部A的仰角为，已知点A，B，C，D，E在同一平面内，，，求旗杆的高度．（结果精确到．参考数据：，，，） 20．（2024·山东青岛·模拟预测）如图，为某旅游景区的最佳观景点，游客可从处乘坐缆车先到达小观景平台观景，然后再由处继续乘坐缆车到达处，返程时从处乘坐升降电梯直接到达处，已知：于，，米，米，米，，，求的高度．（精确到米）（参考数据：；；；；；） 21．（2024·天津河北·一模）某校综合与实践活动中，要利用测角仪测量一建筑物的高度．如图，在建筑物与教学楼之间的操场上取一观测点C，点E，点C，建筑物底部A在同一条水平直线上，已知观测点C至教学楼出口E的距离．某组同学在观测点C处分别测得建筑物楼顶B的仰角为，教学楼顶D的仰角为，在教学楼顶D处测得建筑物底部A的俯角为． (1)求教学楼的高；(2)设建筑物的高度为h（单位：m）． ①用含有h的式子表示线段的长（结果保留根号）； ②求建筑物的高度（取，取，取，结果取整数）． 22．（2024·山东临沂·模拟预测）某地广播电视塔由塔体(含塔座、塔身、塔楼)和桅杆两部分组成，如图1． 某数学兴趣小组的同学们开展了测量塔体部分高度的实践活动，过程如下： 【制订方案】如图2，在塔座底部所在的水平面上，选取两个不同的测量地点A，B，分别由甲、乙两组同学测量塔体顶端点D和桅杆天线顶部点C的仰角，丙组同学测量这两个测量地点之间的距离． 【实地测量】水平地面上测量地点A，B与塔体底端(点团)在同一条直战上，线段AE，BF分别表示测角俊支架，线段表示质杆天线，表示塔体． 测量一：甲组同学在A处测量一次，测得塔体质端点D的仰角为； 测量二：乙组同学在B处测量一次，测得郎杆天线顶部点C的仰角为”； 测量三：丙姐同学测量了三次，数据如下： 测量项目 第一次 第二次 第三次 A，B之间的距离 (1)丙组同学三次测量A，B之间距离的平均值为____________； (2)已知塔顶部桅杆天线高，测角仪支架高，求塔体的高度(结果精确到．参考数据：，，)： (3)从减小误差的角度考虑，你认为哪个小组的测量方法更合理？请说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！4 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 解直角三角形重要模型之实际应用模型 解直角三角形是中考的重要内容之一（也可理解为相似三角形的一种特殊情况），直角三角形边、角关系的知识是解直角三角形的基础。将实际问题转化为数学问题是关键，通常是通过作高线或垂线转化为解直角三角形问题，在解直角三角形时要注意三角函数的选取，避免计算复杂。在解题中，若求解的边、角不在直角三角形中，应先添加辅助线,构造直角三角形。为了提高解题和得分能力，本专题重点讲解解直角三角形的实际应用模型。 【知识储备】 图1 图2 图3 图4 图5 如图1，30°-60°-90°三边比值； 如图2，45°-45°-90°三边比值 如图3，30°-30°-120°三边比值；如图4，30°-45°-105°三边比值 如图5，45°-60°-75°三边比值。 上面五个结论在于练习勾股定理和方程，没有用到三角函数。其实三角函数相关题目的辅助线也类似，即作垂线，把角放在直角三角形中来研究。最后希望大家能够自己动手计算并研究这些特殊角度三角形的三边比值。 2 模型1.背靠背模型 2 模型2.母子模型 7 模型3.拥抱模型 13 16 模型1.背靠背模型 背靠背模型：如图，若三角形中有已知角时，则通过在三角形内作高CD，构造出两个直角三角形求解，其中公共边（高）CD是解题的关键。 图1 图2 图3 图4 图5 重要等量关系：如图1，CD为公共边，则AD+BD=AB；如图2，CE=DA，CD=EA，则CE+BD=AB； 如图3，CD=EF，CE=DF，则AD+CE+BF=AB；如图4，DE=BF，BD=EF，则AE+EF=AF； 如图5，BE=CF，CE=BF，则AE+EB=AB。 例1．（2024·山西·模拟预测）“天水麻辣烫”火了！如图，太原的小李乘坐高铁由太原南去天水吃麻辣烫时，在距离铁轨100米的B处观察他所乘坐的由太原南开往天水的“和谐号”动车．他观察到，当“和谐号”动车车头在A处时，恰好位于B处的北偏东方向上；10秒钟后，动车车头到达C处，恰好位于B处的西北方向上．根据所学知识，该时段动车的平均速度是 米/秒． 【答案】 【分析】作于点，在中利用三角函数求得的长，在中，利用三角函数求得的长，则即可求得，进而求得速度．本题考查解直角三角形的应用方向角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解答本题的关键． 【详解】解：作于点． 在中，，∴ （米），（米）， 同理，（米）．则（米）． 则平均速度是（米秒），故答案为：． 例2．（2024·安徽·三模）如图1是某地红色广场标牌，将其红色主体部分拍象为图2，，，，米，米，求该标牌的高（精确到米，参考数据：，，， 【答案】高约为7.6米 【分析】本题考查解直角三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．过点作，垂足为，过点作，垂足为，根据垂直定义可得，再根据题意可得：米，，然后利用直角三角形的两个锐角互余可得，从而可得，最后在中，利用锐角三角函数的定义求出和的长，从而求出的长，再在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而利用线段的和差关系进行计算，即可解答． 【详解】解：过点作，垂足为，过点作，垂足为，， 由题意得：米，，，， ，， 在中，米，（米，（米， 米，（米， 在中，（米， （米，该标牌的高约为7.6米． 例3．（2024·海南海口·模拟预测）河边新建成了一座美丽的大桥．某学校数学兴趣小组组织了一次测桥墩高度的活动，如图，桥墩刚好在坡度的斜坡边，斜坡长为48米，在点处测得桥墩最高点的仰角为，平行于水平线，长为米． (1) ， ．(2)求点到直线的距离； (3)求桥墩的高（结果保留位小数）．（，，，） 【答案】(1)，(2)24米(3)米 【分析】本题考查了直角三角形的性质、锐角三角函数、解直角三角形等知识点，熟知解直角三角形的方法和步骤是解题的关键．（1）延长交于点E，过点C作于点F，则，，，可得，在中，根据，可得； （2）在中，根据直角三角形的性质，即可求解；（3）在中，可得 米，从而得到米，在中，可得 米，即可求解． 【详解】（1）解：如图，延长交于点E，过点C作于点F，则，，， ∴．∴， 在中，，即，∴；故答案为：，； （2）解：在中，，米，∴米； （3）解：在中，，米，∴米， 由（1）得：米，∵米，∴米， 在中，，∴米， ∴米，即桥墩的高为米． 例4．（2024·四川宜宾·中考真题）宜宾地标广场位于三江汇合口（如图1，左侧是岷江，右侧是金沙江，正面是长江）．某同学在数学实践中测量长江口的宽度，他在长江口的两岸选择两个标点C、D，在地标广场上选择两个观测点A、B（点A、B、C、D在同一水平面，且）．如图2所示，在点A处测得点C在北偏西方向上，测得点D在北偏东方向上；在B处测得点C在北偏西方向上，测得点D在北偏东方向上，测得米．求长江口的宽度的值（结果精确到1米）．（参考数据：，，，，，） 【答案】长江口的宽度为米. 【分析】如图，过作于，过作于，过作于，而，可得四边形，都是矩形，由题意可得：，，证明，可得，设，，再利用三角函数建立方程组求解即可. 【详解】解：如图，过作于，过作于，过作于，而， ∴四边形，都是矩形，∴，，，， ∵由题意可得：，， ∴，， ∵，∴，∴，设，， ∴，即， ，即， ∴，∴，∴， ∴，∴；∴长江口的宽度为米. 【点睛】本题考查的是解直角三角形的实际应用，矩形的判定于性质，全等三角形的判定与性质，作出合适的辅助线是解本题的关键. 模型2.母子模型 图1 图2 图3 图4 母子模型：若三角形中有已知角，通过在三角形外作高BC，构造有公共直角的两个三角形求解，其中公共边BC是解题的关键。 重要等量关系：如图1，BC为公共边，AD+DC=AC；如图2，BC为公共边，DC- BC= DB； 如图3，DF=EC，DE=FC，BF+DE=BC，AE+DF=AC；如图4，AF=CE，AC=FE，BC+AF= BE。 图5 图6 图7 图8 图9 如图5，BE+EC= BC；如图6，EC- BC= BE；如图7，AC=FG，AF=CG，AD+DC=FG，BC+AF= BG； 如图8，BC=FG，BF=CG，AC+BF=AG，EF+ BC= EG； 如图9，BC=FG，BF=CG，EF+BC=EG，BD+DF= BF，AC+ BD+ DF=AG。 例1.（24-25九年级上·山东德州·阶段练习）某宾馆为庆祝开业，在楼前悬挂了许多宣传条幅，如图所示，一条幅从楼顶处放下，在楼前点处拉直固定，小明为了测量此条幅的长度，他先在楼前处测得楼顶点的仰角为，再沿方向前进米到达处，测得点的仰角为，已知点到大厦的距离米，，请根据以上数据求条幅的长度（结果保留整数．参考数据：，，) 【答案】米 【分析】本题考查解直角三角形的应用，设米．根据，得到，然后在中得到求得，然后在中，利用勾股定理求得即可．解题的关键是从实际问题中整理出直角三角形并求解． 【详解】解：设米，∵，，， ∴，∴， 在中，，，∴， ∴，∴， 又∵，在中，（米），∴条幅的长度约为米． 例2．（2023·浙江台州·三模）建筑物上有一旗杆，由距的处观察旗杆顶部的仰角，观察底部的仰角为，求旗杆的高度．（结果精确到；参考数据： 【答案】旗杆的高度为米 【分析】本题主要考查仰俯角解直角三角形，根据题意可得，，设，在中，根据的正切值即可求解． 【详解】解：根据题意，，，∴， 设，则， 在中，，∴，解得，， ∴的高度约为米，即旗杆的高度为米． 例3．（2024·湖南长沙·模拟预测）如图，某数学兴趣小组用无人机测量奇楼的高度，先将无人机垂直上升至距水平地面的点P处，测得奇楼顶端A的俯角为，再将无人机沿水平方向飞行到达点Q处，测得奇楼底端B的俯角为．（结果精确到，参考数据： ）．    (1)求的长度；(2)求奇楼的高度． 【答案】(1)(2)奇楼的高度约为 【分析】本题考查解直角三角形的实际应用，勾股定理的应用， （1）延长交的延长线于点C，用三角函数解即可得到， （2）在中求解，即可得到． 【详解】（1）解：延长交的延长线于点C，则，．    在中，，则，∴ （2）解：∵，， 在中，，， ， ，即奇楼的高度约为． 例4．（2024·宁夏银川·模拟预测）5G时代，万物互联．互联网、大数据、人工智能与各行业应用深度融合，助力数字经济发展，共建智慧生活．网络公司在改造时，把某一5G信号发射塔建在了山坡的平台上，已知山坡的坡度为．身高的小明站在A处测得塔顶M的仰角是，向前步行到达B处，再沿斜坡步行至平台点C处，测得塔顶M的仰角是，若在同一平面内，且 和分别在同一水平线上，则发射塔的高度约为（    ）（结果精确到，参考数据：，，，，，） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．如图，设C点处垂线与B处视线交点为F，过点F作于L，过点E作于I，延长交的延长线于H，设，，利用三角形函数构建方程求出x即可解决问题． 【详解】解：如图，设C点处垂线与B处视线交点为F，过点F作于L，过点E作于I，延长交的延长线于H， 设，， 在中，∵，∴， ∵，∴，，在中，， ∵，，∴，则， 在中，，∵， ， ∴，则，∴，解得．故选：B． 例5．（2023·浙江温州·一模）甲、乙两幢完全一样的房子如图1，小聪与弟弟住在甲幢，为测量对面的乙幢屋顶斜坡，之间的距离，制定如下方案：两幢房子截面图如图2，，小聪在离屋檐处的点处水平放置平面镜（平面镜的大小忽略不计），弟弟在离点水平距离的点处恰好在镜子中看到乙幢屋顶，此时测得弟弟眼睛与镜面的竖直距离．下楼后，弟弟直立站在处，测得地面点与，，在一条直线上，，，，则甲、乙两幢间距 ，乙幢屋顶斜坡，之间的距离为 ． 【答案】 25 【分析】本题考查解直角三角形的实际应用及分析问题、解决问题的能力．利用数学知识解决实际问题是中学数学的重要内容．解决此问题的关键在于正确理解题意的基础上建立数学模型，把实际问题转化为数学问题．过点作交于点，交于点，根据，利用三角形函数解直角三角形即可解得． 【详解】解：如图，交于，过点作交于点，交于点， 则四边形是矩形，， 由题意得，，即，， ，设， ，即，，， ，∴，解得：， ，故答案为：． 例6.（2024·安徽宣城·三模）如图，某机器人在一次操作时，将手臂，，依次展开，测得，垂直于地面，，，求操作手臂的最高点到地面的距离（结果保留根号）． 【答案】操作手臂的最高点到地面的距离为． 【分析】本题考查了解直角三角形的应用．过点作，垂足为，过点作，垂足为，过点作，垂足为，根据题意可得：，，，从而可得，进而可得，然后利用角的和差关系可得，从而分别在和中，利用锐角三角函数的定义求出和的长，后利用线段的和差关系进行计算，即可解答． 【详解】解：过点作，垂足为，过点作，垂足为，过点作，垂足为，由题意得：，，， ，，， ，， 在中，，， 在中，，，， 操作手臂的最高点到地面的距离为． 模型3.拥抱模型 拥抱模型：如图，分别解两个直角三角形，其中公共边BC是解题的关键。 图1 图2 图3 图4 重要等量关系：如图1，BC为公共边；如图2，BF+ FC+CE=BE；如图3，BC+ CE= BE； 如图4，AB=GE，AG=BE，BC+CE=AG, DG+AB= DE。 例1．（2024九年级下·浙江·专题练习）长沙电视塔位于长沙市岳麓区岳麓山峰顶，其功能集广播电视信号发射与旅游观光于一身，登塔可鸟瞰长沙全貌．为测量电视塔的高度，数学综合实践小组同学先在电视塔附近一栋楼房的底端A点处观测电视塔顶端C处的仰角是，然后在安全人员的引导下去该楼房顶端B点处观测电视塔底部D处的俯角是．已知楼房高约是．（结果用根号表示） (1)求楼房与电视塔底部距离的长；(2)求电视塔的高度． 【答案】(1)楼房与电视塔底部距离的长为；(2)电视塔的高度为． 【分析】（1）由的高及在楼房顶端B点处观测电视塔底部D处的俯角是，用锐角三角函数解直角三角形即可；（2）由（1）中求得的长度及在楼房底端A点处观测电视塔顶端C处的仰角是，用锐角三角函数解直角三角形即可． 【详解】（1）解：顶端B点处观测电视塔底部D处的俯角是，， 在中，，，（m）， 答：楼房与电视塔底部距离的长为； （2）在楼房底端A点处观测电视塔顶端C处的仰角是，， 在中，， （m）．答：电视塔的高度为． 【点睛】本题考查解直角三角形，解题的关键是理解仰角和俯角，根据直角三角形中已知线段长度和特殊角的锐角三角函数值，求得对应线段的长度，要求牢记特殊角的锐角三角函数值． 例2．（2022·湖南株洲·中考真题）如图1所示，某登山运动爱好者由山坡①的山顶点A处沿线段至山谷点处，再从点处沿线段至山坡②的山顶点处．如图2所示，将直线视为水平面，山坡①的坡角，其高度为0.6千米，山坡②的坡度，于，且千米． (1)求的度数；(2)求在此过程中该登山运动爱好者走过的路程． 【答案】(1)105°(2) 【分析】（1）根据山坡②的坡度，可求，即可求解； （2）由余弦值和正弦值分别求出BC、AC即可求解； 【详解】（1）解：∵山坡②的坡度，∴，∴， ∵，∴， （2）∵，，∴，∴千米， ∵，，∴，∴， ∴该登山运动爱好者走过的路程．． 【点睛】本题主要考查锐角三角函数的综合应用，掌握锐角三角函数的相关知识是解题的关键． 例3．（2024·陕西西安·模拟预测）在数学综合实践活动中，小林和小溪利用所学的数学知识测量学校花坛内一棵大树的高度，树的底部不可直接到达，两人讨论后采用以下方法进行测量：如图，小林把支架EF放在离树适当距离的水平地面上的点处，再把镜子水平放在支架EF上的点处，然后沿着直线后退至点处，这时恰好在镜子里看到树的顶端，即，然后小林又在C处用测倾器测得树的顶端A处的仰角为度；小溪用皮尺分别测量及小林目高的长．已知于点于点于点米，米，米，请你利用测得的数据求出这棵树的高度（结果保留整数．参考数据：，） 【答案】8米 【分析】题目主要考查解三角形的应用，过点C作于点H，则米，利用相似三角形的判定和性质得出，再由正切函数建立方程解得，结合图形即可求解，理解题意，熟练掌握解三角形的应用是解题关键． 【详解】解：过点C作于点H，则米， 由题意得：米，（米）， ， ∴即，∴，∴， ∵，∴，解得：， ∴（米）． 1．（2024·广东深圳·模拟预测）如图，港珠澳大桥是粤港澳大湾区的标志性工程，是世界上最长的跨海大桥．项目于2009年12月30日开工建设，2016年9月15日完成竣工验收．被誉为“当代桥梁建设的巅峰之作”．某校九年级学生为了测量该主塔的高度，站在B处看塔顶A，仰角为，然后向后走160米（米），到达C处，此时看塔顶A，仰角为，则该主塔的高度是（　　） A．160 B． C．200 D． 【答案】D 【分析】本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 过点作，垂足为，先根据三角形的外角性质可得，从而可得米，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，即可解答． 【详解】解：过点作，垂足为， 是的一个外角，，， ， ， 米， 在中，（米）， 该主塔的高度是米， 故选：D． 2．（2023·广东清远·二模）季华路文华公园里的电视塔是佛山城市中轴线的标志性建筑物．如图，在地面上的点A，C处分别测得电视塔塔顶B的仰角均为度，且点A，C，D在同一直线上，若测得米，则塔高是（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】C 【分析】本题考查的是等腰三角形的判定与性质，锐角的正切的含义，先求解，由可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵米，， ∴米， ∴， ∴米； 故选C 3．（2024·四川德阳·中考真题）某校学生开展综合实践活动，测量一建筑物的高度，在建筑物旁边有一高度为10米的小楼房，小李同学在小楼房楼底处测得处的仰角为，在小楼房楼顶处测得处的仰角为．（在同一平面内，在同一水平面上），则建筑物的高为（    ）米 A．20 B．15 C．12 D． 【答案】B 【分析】本题考查的是解直角三角形的实际应用，如图，过作于，则四边形为矩形，设，而，可得，，结合，再解方程即可． 【详解】解：如图，过作于， 依题意， ∴四边形为矩形， ∴，， 设，而， ∴， ∵， ∴， 解得：， 经检验是原方程的解，且符合题意； ∴， 故选B 4．（2024·湖北武汉·模拟预测）如图，建筑物上有一旗杆，从与相距的D处观测旗杆顶部A的仰角为，观测旗杆底部B的仰角为，旗杆的高度为 ．（结果保留小数点后一位，，，） 【答案】 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数定义是解题的关键． 根据正切的定义，得出，再根据三角形的内角和定理，结合等腰三角形的定义，得出是等腰直角三角形，进而得出，再根据线段之间的数量关系，计算即可得出答案． 【详解】解：由题意得：，，，， 在中， ， ∴， 在中，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴． ∴旗杆的高度为． 故答案为：． 5．（2024·湖北武汉·模拟预测）某商场从安全和便利的角度出发，为提升顾客的购物体验，准备将自动扶梯由原来的阶梯式改造成斜坡式，如图，已知商场的层高为，坡角为，改造后的斜坡式自动扶梯的坡角，请你计算改造后的自动扶梯增加的占地长度 （结果精确到，参考数据：，，） 【答案】m/10.3米 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用坡度坡角问题，熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．根据含角的直角三角形的性质求出，，根据正切的定义求出，再计算即可． 【详解】解：在中，，， ， ， 在中，，， ， 则， 答：改造后的自动扶梯增加的占地长度的长约为 6．（2024·四川广元·中考真题）小明从科普读物中了解到，光从真空射入介质发生折射时，入射角的正弦值与折射角的正弦值的比值叫做介质的“绝对折射率”，简称“折射率”．它表示光在介质中传播时，介质对光作用的一种特征． (1)若光从真空射入某介质，入射角为，折射角为，且，，求该介质的折射率； (2)现有一块与（1）中折射率相同的长方体介质，如图①所示，点A，B，C，D分别是长方体棱的中点，若光线经真空从矩形对角线交点O处射入，其折射光线恰好从点C处射出．如图②，已知，，求截面的面积． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用，勾股定理等知识， （1）根据，设，则，利用勾股定理求出，进而可得，问题即可得解； （2）根据折射率与（1）的材料相同，可得折射率为，根据，可得，则有，在中，设，，问题随之得解． 【详解】（1）∵， ∴如图， 设，则，由勾股定理得，， ∴， 又∵， ∴， ∴折射率为：． （2）根据折射率与（1）的材料相同，可得折射率为， ∵， ∴， ∴． ∵四边形是矩形，点O是中点， ∴，， 又∵， ∴， 在中，设，， 由勾股定理得，， ∴． 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴截面的面积为：． 7．（2024·天津·中考真题）综合与实践活动中，要用测角仪测量天津海河上一座桥的桥塔的高度（如图①）．某学习小组设计了一个方案：如图②，点依次在同一条水平直线上，，垂足为．在处测得桥塔顶部的仰角（）为，测得桥塔底部的俯角（）为，又在处测得桥塔顶部的仰角（）为． (1)求线段的长（结果取整数）； (2)求桥塔的高度（结果取整数）．参考数据：． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了解直角三角形的应用，数形结合是解题的关键． （1）设，在中，．在中，．则．解方程即可； （2）求出，根据即可得到答案． 【详解】（1）解：设，由，得． ，垂足为， ． 在中，， ． 在中，， ． ． 得． 答：线段的长约为． （2）在中，， ． ． 答：桥塔的高度约为． 8．（2024·四川遂宁·中考真题）小明的书桌上有一个型台灯，灯柱高，他发现当灯带与水平线夹角为时（图1），灯带的直射宽为，但此时灯的直射宽度不够，当他把灯带调整到与水平线夹角为时（图2），直射宽度刚好合适，求此时台灯最高点到桌面的距离．（结果保留1位小数）（） 【答案】此时台灯最高点到桌面的距离为 【分析】本题考查了解直角三角形的应用；在图1中，，在图2中求得，进而根据灯柱高，点到桌面的距离为，即可求解． 【详解】解：由已知，， 在图1中， ∵ ∴ ∴四边形是平行四边形， ∴ 在中， 在图2中，过点作于点， ∴ ∵灯柱高， 点到桌面的距离为 答：此时台灯最高点到桌面的距离为． 9．（2024·陕西咸阳·模拟预测）法门寺文化景区地处陕西省宝鸡市的法门镇，法门寺又名“真身宝塔”，被誉为皇家寺庙，因安置释迦牟尼佛指骨舍利而成为举国仰望的佛教圣地，被誉为“护国真身宝塔”．为了测量这座宝塔的高度，某校数学应用实践小组做了如下的探索：小明站在D处，用测角仪测得宝塔顶端A的仰角为；然后，小明在点N处竖立高2.4米的标杆，接着沿走到点F，恰好看到标杆顶端M和宝塔顶端A在一条直线上．已知小明的眼睛到地面的距离米，米，米．测量示意图如图所示，已知点D、B、N、F在一条直线上，，，，，求这座宝塔的高度．（参考数据：，，） 【答案】这座宝塔的高度为46.8米 【分析】本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，解决本题的关键是掌握仰角俯角定义． 过点E作于点Q，交于点P，由，可得延长经过点C，设，则，在中，解直角三角形求出，然后证明出，得到，然后代数求解即可． 【详解】解：过点E作于点Q，交于点P，由，可得延长经过点C， 则，，，． 设，则， 在中，， ， ， ．                      ，， ， ，即，                     解得：，则． 答：这座宝塔的高度为46.8米． 10．（2024·山西长治·模拟预测）下表是在综合与实践课上，刘老师指导学生测量建筑物的高度测量数据： 课题：测量建筑物的高度 ①建筑物前有一段斜坡，斜坡的坡度； ②在斜坡的底部A测得建筑物顶点C的仰角为； ③斜坡长； ④在点B测得建筑物顶点C的仰角为． 求建筑物的高度．（参考数据：，） 请根据以上数据求出建筑物的高度． 【答案】36米 【分析】本题考查的是解直角三角形的实际应用，过点B作于点，于点F，则四边形是矩形，设，，再利用三角函数求解，，再进一步求解即可． 【详解】解：如图，过点B作于点，于点F，则四边形是矩形， ，． 在中，的坡度， ． 设，， 在中，由勾股定理得：． ，解得：． ， 在中，， ， ． 在中，， ， ． 即：，解得：．经检验，符合题意； ． 答：建筑物的高度约为36米． 11．（2024·福建泉州·模拟预测）某课外活动小组进行综合实践活动． 【问题】测量如图1所示斜坡的坡角． 【思考】“转化”是解决问题的一种常用的思想方法．当斜坡角度不能直接测量时，可“转化”为可度量的角进行测量． 【创新】该活动小组制作了如图2所示的矩形测角仪，量角器固定在矩形板上，将用细线和铅锤做成的重锤线顶端固定在量角器中心点（矩形顶点）处．测量时，将矩形板的边放在斜坡上，如图3，此时重锤线在量角器上对应的刻度即为坡角的度数． （1）请说出该矩形测角仪的数学原理：______，并用图3进行证明． 【应用】小组成员进一步实践，发现可以利用矩形测角仪测量计算高度； （2）如图4，小明在点M处观测树顶，使眼睛、矩形测角仪的边、树顶在同一直线上，观测矩形测角仪上的示数，仰角；小明继续沿正对着大树的方向前进，在点N处观测树顶的仰角．已知小明的眼睛离地面，求大树的高度（精确到）．（参考数据：，，） 【答案】（1）该矩形测角仪的数学原理是：等角的余角相等，理由见解答；（2）大树的高度约为． 【分析】本题考查了解直角三角形的应用坡度坡角问题，仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． （1）延长交于点，交于点，根据题意可得：，从而可得，进而可得，然后根据矩形的性质可得，从而可得，再根据对顶角相等可得，从而利用等角的余角相等可得，即可解答； （2）根据题意可得：，，，然后设，则，在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，再在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而列出关于的方程，进行计算即可解答． 【详解】解：（1）该矩形测角仪的数学原理是：等角的余角相等， 理由：如图：延长交于点，交于点， 由题意得：， ， ， 四边形是矩形， ， ， ， ； （2）由题意得：，，， 设， ， 在中，， ， 在中，， ， ， 解得：， ， 大树的高度约为． 12．（2024·贵州·模拟预测）小军同学想利用所学的“锐角三角函数”知识测量一段两岸平行的河流宽度．他先在河岸设立A，B两个观测点，然后选定对岸河边的一棵树记为点M．过点M作， 垂足为N， 测得，． (1)设米， 则的长为 ． (用含x的代数式表示) (2)请你依据所测数据求出这段河流的宽度(结果精确到 )． 参考数据：， 【答案】(1)米 (2)这段河流的宽度约为米 【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用： （1）直接解即可得到答案； （2）解得到米，则可建立方程，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：在中，， ∴米， 故答案为：米； （2）解：在中，， ∴米， ∵， ∴， 解得， ∴这段河流的宽度约为米． 13．（2024·贵州毕节·三模）为建设美好公园休息区，增强民众生活幸福感，如图1，某公园服务中心在文化活动室墙外安装遮阳篷，便于民众休憩．在如图2的侧面示意图中，遮阳篷靠墙端离地高度记为，遮阳篷AB长为6米，与水平面的夹角为．    (1)求点A到墙面的距离； (2)当太阳光线与地面的夹角为时，量得影长为米，求遮阳篷靠墙端离地的高度．（结果精确到米；参考数据：，，） 【答案】(1)点A到墙面的距离约为米 (2)遮阳篷靠墙端的离地高度约为米 【分析】本题考查了，解直角三角形的应用，解题的关键是：连接辅助线构造直角三角形． （1）作，在中，根据三角函数，求出的长，即可求解， （2）作，依次求出，,的长，在中，根据三角函数，求出的长，即可求解， 【详解】（1）解：如图，过点A作，垂足为F，    在中，米，，， ∴（米）， ∴点A到墙面的距离约为米． （2）解：如图，过点A作，垂足为G． ∵，， ∴四边形是矩形， ∴，米， ∵米， ∴（米）， 在中，，， ∴（米）， ∴米， 在中，米，，， ∴（米），   ∴（米）． 故遮阳篷靠墙端的离地高度约为米． 14．（2024·贵州遵义·模拟预测）打篮球是学生的校园基本体育运动项目之一．如图①是一副篮球架实物图，如图②是它的示意图，其中主拉杆，点在同一直线上，与水平线之间的夹角为，主拉杆与底座上边缘之间的夹角为，水平横梁，篮筐P与水平横梁同高，底座，支撑立柱与底座边沿在同一竖直线上．（参考数据：，结果精确到） (1)求篮板到支撑立柱的水平距离． (2)求篮筐P离地面的竖直高度． 【答案】(1)篮板到支撑立柱的水平距离约为 (2)篮筐P离地面的竖直高度约是 【分析】此题考查了解直角三角形的应用， （1）过点N作于点S，求出，利用即可求出答案； （2）过点作于点R，作于点T，则，，根据即可求出篮筐P离地面的竖直高度． 【详解】（1）解：如图所示，过点N作于点S， 则， ∴， ∴ 即篮板HF到支撑立柱CM的水平距离约为． （2）过点作于点R，作于点T， 则，， ∴篮筐P离地面的竖直高度约是 即篮筐P离地面的竖直高度约是 15．（2024·海南海口·一模）数学活动小组欲测量山坡上一棵大树的高度，如图，于点E，在A处测得大树底端C的仰角为，沿水平地面前进30米到达B处，测得大树顶端D的仰角为，测得山坡坡角．（参考数据：，，，） 求： (1) °，斜坡 m； (2)这棵大树的高度（结果取整数）． 【答案】(1)15；30 (2)这棵大树的高度约为20米． 【分析】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是熟练运用勾股定理以及锐角三角函数的定义． （1）利用三角形的外角性质可求得的度数，由等腰三角形的判定和性质得到； （3）先求出的长度，然后利用锐角三角函数的定义可求出的长度，进而即可求解. 【详解】（1）解：由题意，得，米，， ∴， ∴米， 故答案为：15；30； （2）解：在中，，米， ∴（米），， 在中，， ∴（米）， ∴（米）， ∴这棵大树的高度约为20米． 16．（2024·山东·校考二模）如图，在楼与楼之间有一旗杆，从顶部点处经过旗杆顶部点恰好看到楼的底部点，且俯角为45°，从楼顶部点处经过旗杆顶部点恰好看到楼的点，米，且俯角为30°，已知楼高39米，求旗杆的高度．（结果精确到1米） 【答案】12米 【分析】过点G作GP⊥CD于点P，与EF相交于点H．设EF的长为x米，在Rt△GEH中利用锐角三角函数的定义可得出GH的长，再由BD＝BF+FD＝GH+FD列方程即可． 【详解】解：过点作于点，与相交于点．设的长为米，由题意可知，米，米， 又∵， ∴米，米， 在中，， ∵，即 ∴米， ∵， ∴， 解得，（米）． 答：旗杆的高度约为12米． 【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键． 17．（2023·辽宁抚顺·模拟预测）张老师家的洗手盆上装有一种抬启式水龙头（如图①），完全开启后，把手与水平线的夹角为，此时把手端点A、出水口点B和落水点C在同一直线上，洗手盆及水龙头示意图如图②，其相关数据为，求的长．（结果精确到，参考数据： ， ， ，） 【答案】． 【分析】此题考查了解直角三角形的应用，过点A作于点G，过点M作于点N，则四边形为矩形，得到，在中，，，得到，则，即可得到答案． 【详解】解：过点A作于点G，过点M作于点N， 则四边形为矩形， ∴， 在中，， ， ∴， ∵， ∴， ∴． 答：的长约为． 18．（2024九年级上·浙江·专题练习）高风中学校门口安装有汽车出入道闸．道闸关闭时，如图1，四边形为矩形，长3米，长1米，与水平地面垂直．道闸打开的过程中，边固定，连杆分别绕点A，D转动，且边始终与边平行． (1)如图2，当道闸打开至时，边上一点P，P到D的距离为2米，P到地面的距离为1.1米，求点D到地面的距离的长． (2)在（1）的条件下，一辆轿车过道闸，已知轿车的宽为1.9米，高为1.5米．当道闸打开至时，轿车能否驶入校区？请说明理由．（参考数据：） 【答案】(1) (2)不能，见解析 【分析】本题考查解直角三角形的应用，熟练掌握锐角三角函数是解题关键． （1）先根据锐角三角函数求出的长，再求出的长即可解答； （2）当时，，求出此时的长，再与轿车的宽进行比较即可解答． 【详解】（1）解：过点作于点，如图； 在中，，， ， ， ∵， ∴四边形是矩形， ； （2）解：轿车不能驶入小区，理由如下： 当时，，， ， ， 在中，， ∵ ∴四边形是矩形， ∴， ∵四边形为矩形，长3米， ∴， ， ， 轿车不能驶入小区． 19．（2024·四川成都·模拟预测）如图，小光为测量学校旗杆的高度，从距旗杆正前方处的点C出发，沿斜面坡度为的斜坡前进到达点D，在点D处安置测角仪，测得旗杆顶部A的仰角为，已知点A，B，C，D，E在同一平面内，，，求旗杆的高度．（结果精确到．参考数据：，，，） 【答案】旗杆的高度约为 【分析】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，坡度坡角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．延长交于点F，过点E作，垂足为G，根据题意可得：，，，，再根据已知易得：在中，，从而可得，然后利用含30度角的直角三角形的性质可求出和的长，从而求出和的长，再在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，最后利用线段的和差关系进行计算即可解答． 【详解】解：延长交于点F，过点E作，垂足为G， 由题意得：，，，， 斜坡的坡度为， ， 在中，， ， ， ，， ， ， ， 在中，， ， ， 答：旗杆的高度约为． 20．（2024·山东青岛·模拟预测）如图，为某旅游景区的最佳观景点，游客可从处乘坐缆车先到达小观景平台观景，然后再由处继续乘坐缆车到达处，返程时从处乘坐升降电梯直接到达处，已知：于，，米，米，米，，，求的高度．（精确到米）（参考数据：；；；；；） 【答案】米． 【分析】题考查的是解直角三角形的应用．根据已知和余弦的概念求出的长，得到的长，根据正切的概念求出的长，求和得到答案． 【详解】解：过点作的垂线，垂足分别为，延长交于点， ， （米）， （米）， （米）， ， （米）， ， （米）， （米）， （米）． 21．（2024·天津河北·一模）某校综合与实践活动中，要利用测角仪测量一建筑物的高度．如图，在建筑物与教学楼之间的操场上取一观测点C，点E，点C，建筑物底部A在同一条水平直线上，已知观测点C至教学楼出口E的距离．某组同学在观测点C处分别测得建筑物楼顶B的仰角为，教学楼顶D的仰角为，在教学楼顶D处测得建筑物底部A的俯角为． (1)求教学楼的高； (2)设建筑物的高度为h（单位：m）． ①用含有h的式子表示线段的长（结果保留根号）； ②求建筑物的高度（取，取，取，结果取整数）． 【答案】(1)教学楼的高为 (2)①的长为；②建筑物的高度约为 【分析】（1）由题意知，，则，然后求解作答即可； （2）①由题意知，根据，求解作答即可；②如图，过点作，垂足为．则四边形是矩形，，由，可得，计算求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴． ∴， ∴教学楼的高为． （2）①解：∵， ∴， ∴， ∴的长为． ②解：如图，过点作，垂足为．则四边形是矩形， ∴， ∴，即， ∴， ∴建筑物的高度约为． 【点睛】本题考查了三角形内角和定理，等角对等边，正切，矩形的判定与性质．熟练掌握三角形内角和定理，等角对等边，正切，矩形的判定与性质是解题的关键． 22．（2024·山东临沂·模拟预测）某地广播电视塔由塔体(含塔座、塔身、塔楼)和桅杆两部分组成，如图1． 某数学兴趣小组的同学们开展了测量塔体部分高度的实践活动，过程如下： 【制订方案】如图2，在塔座底部所在的水平面上，选取两个不同的测量地点A，B，分别由甲、乙两组同学测量塔体顶端点D和桅杆天线顶部点C的仰角，丙组同学测量这两个测量地点之间的距离． 【实地测量】水平地面上测量地点A，B与塔体底端(点团)在同一条直战上，线段AE，BF分别表示测角俊支架，线段表示质杆天线，表示塔体． 测量一：甲组同学在A处测量一次，测得塔体质端点D的仰角为； 测量二：乙组同学在B处测量一次，测得郎杆天线顶部点C的仰角为”； 测量三：丙姐同学测量了三次，数据如下： 测量项目 第一次 第二次 第三次 A，B之间的距离 (1)丙组同学三次测量A，B之间距离的平均值为____________； (2)已知塔顶部桅杆天线高，测角仪支架高，求塔体的高度(结果精确到．参考数据：，，)： (3)从减小误差的角度考虑，你认为哪个小组的测量方法更合理？请说明理由． 【答案】(1) (2)塔体的高度约为； (3)丙组，理由见解析 【分析】（1）根据三次测量结果直接求平均值就可以得到答案； （2）如图，延长交于点，则，设，解直角三角形即可得到结论； （3）乙组得到测量方法更合理，因为多次测量的结果取平均值可以减小误差． 【详解】（1）解： 答：丙组同学三次测量，之间距离的平均值为； （2）解：如图，延长交于点，则，     ， ． 设，则， ， ， 在中，， 则， 即， 解得， 则， 答：塔体的高度约为； （3）解：丙组的测量方法更合理．因为对多次测量结果取平均值可以减小误差． 【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用-仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！3 学科网（北京）股份有限公司 $$