专题02 解直角三角形重要模型之新定义模型-2024-2025学年九年级数学下册常见几何模型全归纳之模型解读与提分精练（浙教版）

专题02 解直角三角形重要模型之新定义模型 解直角三角形的新定义模型，是体现选拔功能的试题中对初高中知识衔接的考查。高中数学为这类试题的命制提供了广阔的空间背景，命题者将高中数学的一些概念、定理、法则、公式等初中化（用初中数学知识内容包装、初中试题命制技术设置）处理，命制出具有高中数学背景味道的试题。这类试题往往对学生思维能力和创新能力要求较高，能有效检验学生是否具备进入高中学习的潜能，所以平时教学挖掘这方面解题技能及功效尤为重要。恰当地构建模型可以拓宽解题思路，优化解题过程，丰富解题内涵。 大家在掌握几何模型时，多数同学会注重模型结论，而忽视几何模型的证明思路及方法，导致本末倒置。要知道数学题目的考察不是一成不变的，学数学更不能死记硬背，要在理解的基础之上再记忆，这样才能做到对于所学知识的灵活运用，并且更多时候能够启发我们解决问题的关键就是基于已有知识、方法的思路的适当延伸、拓展，所以学生在学习几何模型要能够做到的就是：①认识几何模型并能够从题目中提炼识别几何模型；②记住结论，但更为关键的是记住证明思路及方法；③ 明白模型中常见的易错点，因为多数题目考察的方面均源自于易错点。当然，以上三点均属于基础要求，因为题目的多变性，若想在几何学习中突出，还需做到的是，在平时的学习过程中通过大题量的训练，深刻认识几何模型，认真理解每一个题型，做到活学活用！ 2 模型1.新定义模型 2 14 模型1.新定义模型 新定义模型主要包含高中数学中的三角函数和解三角形的相关公式定理（如：正弦定理、余弦定理、面积公式、同角三角函数基本关系、和、差、二倍角公式等），而这些大部分定理（公式）也可利用初中数学知识证明。 若无特殊说明，一般认为△ABC的3个角∠A、∠B、∠C，分别对应边a、b、c； 图1 图2 图3 1）正弦定理：如图1，（其中R是三角形外接圆的半径）。 证明：作△ABC的外接圆，记圆心为O，作直径，连接，如图2， 则，，∴，∴， 同理，，，∴； 2）正弦面积公式：如图1，. 证明：如图3，过点A作AD⊥BC，垂足为D， 在中，，∴，∴， 在中，，∴．∴． 同理可得．因此有． 3）余弦定理：如图2， ． 证明：如图3，在中，，，的对边分别是，，过点A作于点， 则，即，于是． 在中，，在中，， ，整理得。 同理：；。 图4 图5 4）同角三角函数的基本关系式:，。 证明：如图4，设∠A=，∵在Rt△ABC中，∠C=90°，∴a2+b2=c2。 又∵，，∴；。 5）和（差）、二倍角角公式（只作部分公式证明）： ; （已证）. ; . （已证）. 证明：如图4，在中，在Rt△ABC中，∠C=90°，设∠A=。 如图5，取的中点，连接，即：，过点作于点，则， 利用锐角三角函数在中表示，。 ∵（等面积），即； 在中，，则。 例1．（23-24九年级上·湖南郴州·期末）阅读材料解决问题：在锐角中，的对边分别为，作 于点，在中，，，在中，，，即，． (1)证明：；(2)如图二，求（结果保留根号）；(3)如图三，在锐角中，，，又，垂足为，，求的长度． 例2．（2023秋·广东九年级期中）我们知道，直角三角形的边角关系可用三角函数来描述，那么在任意三角形中，边角之间是否也存在某种关系呢？（已知） 如图，锐角中，、、所对的边分别为a、b、c，过点C作， 在中，，∴， 在中，由勾股定理得，即， 整理可得：，同理可得：． 利用上述结论解答下列问题：（1）在中，，求a和的大小； （2）在中，，其中，求边长c的长度． 例3．（2023·山西·九年级统考期中）阅读下列内容，并解答问题：三角形的一个面积公式 小明喜欢通过多渠道学习数学知识，一天，他运用网络搜索学会了一个三角形面积公式，这个公式叙述如下：在中，已知，，，则的面积为. 请你完成以下活动：问题探究：（1）如图1，已知是锐角三角形，，，，请证明上述三角形面积公式仍然成立； 问题解决：（2）如图2，在中，，，.则的面积是______.       例4．（2023春·四川泸州·八年级校考期中）平面几何图形的许多问题，如：长度、周长、面积、角度等问题，最后都转化到三角形中解决．古人对任意形状的三角形，探究出若已知三边，便可以求出其面积．具体如下：设一个三角形的三边长分别为a、b、c，，则有下列面积公式： （海伦公式）； （秦九韶公式）．    (1)一个三角形边长依次是5、6、7，利用两个公式，可以求出这个三角形的面积； (2)学完勾股定理以后，已知任意形状的三角形的三边长也可以求出其面积．如图，在中，，，，求的面积和边上得高的长． 例5．（23-24九年级上·湖南永州·期中）关于三角函数有如下的公式： ①②； ③ 利用这些公式可以将一些不是特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数来求值，如 根据上面的知识，你可以选择适当的公式解决下面的实际问题： (1) ； ．(2)求的值； (3)如图，直升机在一建筑物上方的点处测得建筑物顶端点的俯角为，底端点的俯角为，此时直升机与建筑物的水平距离为42米，求建筑物的高．    例6．（2023秋·山东·九年级专题练习）已知：根据图中数据完成填空，再按要求答题：      如图1： ，如图2： ，如图3： ①观察上述等式，猜想：如图4，在中，，都有 ； ②如图4，在中，，，，的对边分别是，，，利用三角函数的定义和勾股定理，证明你的猜想；③已知：，且，求． 例7．（23-24九年级上·山东青岛·期末）阅读理解：通过学习三角函数，我们知道在直角三角形中，一个锐角的大小，与两条边长的比值相互唯一确定，因此边长与角的大小之间可以相互转化．类似地，可以在等腰三角形中，建立边角之间的联系．我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角正对（）．如图（1），在中，，顶角的正对记作“”，这时底边腰．容易知道一个角的大小，与这个角的正对值也是相互唯一确定的．根据上述角的正对定义，解下列问题： (1)如图（2），利用等腰直角三角形计算：______； (2)如图（3），在等腰中，，若，求的值． 例8．（2024·浙江·九年级专题练习）阅读下列材料：在学习完锐角三角函数后，老师提出一个这样的问题：如图1，在中，，求（用含的式子表示）． 聪明的小雯同学是这样考虑的：如图2，取的中点，连接，过点作于点，则，然后利用锐角三角函数在中表示出，在中表示出，则可以求出． 阅读以上内容，回答下列问题：在中，． （1）如图3，若，则__，_____； （2）请你参考阅读材料中的推导思路，求出的表达式（用含的式子表示）． 例9．（2024·宁夏银川·二模）阅读、理解、应用 研究间的角的三角函数，在初中我们学习过锐角的正弦余弦和正切三种三角函数，即在图所示的直角三角形，是锐角，那么，，．为了研究需要，我们再从另一个角度来规定一个角的三角函数的意义： 设有一个角α，我们以它的顶点作为原点，以它的始边作为轴的正半轴，建立直角坐标系（图），在角α的终边上任取一点，它的横坐标是，纵坐标是，终边可以看作是将射线绕点逆时针旋转后所得到的，和原点的距离为（总是正的）然后把角α的三角函数规定为：，，（其中，分别是点的横、纵坐标）我们知道，图的三个比值的大小与角的大小有关，而与直角三角形的大小无关，同样图中四个比值的大小也仅与角α的大小有关，三个比值的正、负取决于角α的终边所在的象限，而与点在角α的终边位置无关．比较图与图，可以看出一个角的三角函数的意义的两种规定实际上是一样的，根据第二种定义回答下列问题． (1)如图3，若，则角α的三角函数值α、α、α，其中取正值的是 ． (2)已知α是钝角，则下列说法正确的是 ． ． ． ．α ．α (3)若角α的终边与直线重合，则αα ． (4)若角α是锐角，其终边上一点且，试求和α的值． 1．（2023春·广东深圳·九年级校联考开学考试）数学中余弦定理是这样描述的：在中，、、所对的边分别为、、，则三角形中任意一边的平方等于另外两边的平方和减去这两边及这两边的夹角的余弦值的乘积的2倍，用公式可描述为：，，．在中，，，，则的值是（    ） A．5 B． C． D．2 2．（2023·北京市·九年级校考期末）关于三角函数有如下公式：sin（α+β）＝sinαcosβ+cosαsinβ，sin（α﹣β）＝sinαcosβ﹣cosαsinβ；cos（α+β）＝cosαcosβ﹣sinαsinβ，cos（α﹣β）＝cosαcosβ+sinαsinβ；tan（α+β）＝（1﹣tanαtanβ≠0），合理利用这些公式可以将一些角的三角函数值转化为特殊角的三角函数来求值，如sin90°＝sin（30°+60°）＝sin30°cos60°+cos30°sin60°＝＝1，利用上述公式计算下列三角函数①sin105°＝，②tan105°＝﹣2﹣，③sin15°＝，④cos90°＝0，其中正确的个数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．（2024·四川绵阳·一模）若规定，则sin15°=（   ） A． B． C． D． 4．（2023春·湖南湘西·八年级统考阶段练习）已知三角形的三边长分别为，求其面积问题，中外数学家曾经进行过深入研究，古希腊的几何学家海伦（，约公元50年）给出求其面积的海伦公式，其中；我国南宋时期数学家秦九韶（约1202-约1261）曾提出利用三角形的三边求其面积的秦九韶公式．若一个三角形的三边长分别为2，3，4，则其面积是（    ） A． B． C． D． 5．（2023·河北石家庄·九年级统考期中）阅读下面的材料，先完成阅读填空，再按要求答题． sin230°＋cos230°＝ ； sin245°＋cos245°＝ ； sin260°＋cos260°＝ ；…… 观察上述等式，猜想：对任意锐角A，都有sin2A＋cos2A＝ ． 6．（2023·湖南娄底·统考一模）同学们，在我们进入高中以后，还将学到下面三角函数公式：，，，．例：．若已知锐角满足条件，则 ． 7．（2023·江苏苏州·统考一模）定义：在中，，我们把的对边与的对边的比叫做的邻弦，记作，即： ．如图，若，则的值为 ． 8．（2024·湖南娄底·校考一模）规定：sin(-x)=-sinx，cos(-x)=cosx，sin(x+y)=sinx⋅cosy+cosx⋅siny． 据此判断下列等式成立的是 写出所有正确的序号 ①；②sin；③sin2x=2sinx⋅cosx；④sin(x-y)=sinx-siny． 9．（23-24九年级上·北京海淀·阶段练习）定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角的正对．例如，在中，，的正对记作．若为锐角，，则 ． 10．（23-24九年级上·湖南衡阳·期末）①sin2A+cos2A= ，②tanA•cotA= ． 11．（23-24九年级上·四川巴中·阶段练习）进入高中后，我们还会学到下面的三角函数公式： ，， ．利用这些公式求出下列三角函数值．(1)(2) 12．（23-24九年级上·山西大同·期末）阅读与思考 下面是一位同学的数学学习笔记，请仔细阅读并完成相应的任务． 三角形外接圆半径公式 如图1，为的外接圆，的，，所对的边分别为a，b，c，的半径为R，S为的面积，则有公式：． 下面是该公式的证明过程： 证明：如图1，连接并延长交于点D，连接． ∵为直径，∴（依据1）.在中，， ∵，∴（依据2），∴. 过点C作于点E，∴． 在中，，∴，∴， ∴，∴，∴． 由此得出的外接圆的半径公式为． 任务：(1)填空：材料中的依据1是指______，依据2是指______． (2)如图2，已知的面积，，，求b的值． 13．（2023年四川省广元市中考真题数学试题）“一缕清风银叶转”，某市20台风机依次矗立在云遮雾绕的山脊之上，风叶转动，风能就能转换成电能，造福千家万户．某中学初三数学兴趣小组，为测量风叶的长度进行了实地测量．如图，三片风叶两两所成的角为，当其中一片风叶与塔干叠合时，在与塔底D水平距离为60米的E处，测得塔顶部O的仰角，风叶的视角． (1)已知α，β两角和的余弦公式为： ，请利用公式计算； (2)求风叶的长度．    14．（23-24九年级上·江苏·期末）若α，β为锐角且时，现有公式：，利用此公式求解下列问题：(1)求的值； (2)若A，B为锐角且时，求的值； (3)求的值． 15．（2024·上海·一模）用含30°、45°、60°这三个特殊角的四个三角比及其组合可以表示某些实数，如： 可表示为；仿照上述材料，完成下列问题： （1）用含30°、45°、60°这三个特殊角的三角比或其组合表示，即填空： …； （2）用含30°、45°、60°这三个特殊角的三角比，结合加、减、乘、除四种运算，设计一个等式，要求：等式中须含有这三个特殊角的三角比，上述四种运算都至少出现一次，且这个等式的结果等于1，即填空： 16．（23-24九年级下·广东·期中）（1）已知∠A是锐角，求证：sin2A+cos2A＝1． （2）已知∠A为锐角，且sinA•cosA＝，求∠A的度数． 17．（2024·江苏徐州·九年级校联考阶段练习）如图（1），中，于点D．由直角三角形边角关系，可将三角形的面积公式变形为，即三角形的面积等于两边之长与夹角正弦值之积的一半    如图（2），在中，于点D，，， ∵，由公式①，得，即：． (1)请证明等式：；(2)请利用结论求出的值． 18．（2024·山东·一模）观察与思考：阅读下列材料，并解决后面的问题 在锐角△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，过A作AD⊥BC于D（如图(1)），则sinB=，sinC=，即AD＝csinB，AD＝bsinC，于是csinB＝bsinC，即，同理有：，，所以． 即：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等在锐角三角形中，若已知三个元素（至少有一条边），运用上述结论和有关定理就可以求出其余三个未知元素． 根据上述材料，完成下列各题． (1)如图(2)，△ABC中，∠B＝45°，∠C＝75°，BC＝60，则∠A＝　 　；AC＝　 　； (2)自从去年日本政府自主自导“钓鱼岛国有化”闹剧以来，我国政府灵活应对，现如今已对钓鱼岛执行常态化巡逻．某次巡逻中，如图（3），我渔政204船在C处测得A在我渔政船的北偏西30°的方向上，随后以40海里/时的速度按北偏东30°的方向航行，半小时后到达B处，此时又测得钓鱼岛A在的北偏西75°的方向上，求此时渔政204船距钓鱼岛A的距离AB．（结果精确到0.01，≈2.449） 19．（2024·贵州·统考一模）如图（1）在中，所对的边分别为，以下是某同学推理证明的过程： 证明： 根据你掌握的三角函数知识，请在图（2）中的锐角中，求证：． 20．（23-24九年级上·山西晋中·期末）下面是莉莉同学的课外数学学习笔记，请仔细阅读并完成相应任务． （1）锐角三角函数概念：在中，，，，的对边分别是，称，是两个锐角，的“正弦”，特殊情况：直角的正弦值为1，即，也就是． 由，可得，由，可得，而，于是就有． （2）其实对于任意的锐角三角形，上述结论仍然成立，即三角形各边与对角的正弦之比相等，我们称之为“正弦定理”，我们可以利用三角形面积公式证明其正确性． 证明：如图①，过点作于点，则 在中，，所以．所以． 在中，，所以．所以． 同理可得． 因此，即． 因为，每项都除以，得，即．      任务：(1)如图②，在锐角三角形中，，，，求的值； (2)求问题（1）中的面积. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！4 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 解直角三角形重要模型之新定义模型 解直角三角形的新定义模型，是体现选拔功能的试题中对初高中知识衔接的考查。高中数学为这类试题的命制提供了广阔的空间背景，命题者将高中数学的一些概念、定理、法则、公式等初中化（用初中数学知识内容包装、初中试题命制技术设置）处理，命制出具有高中数学背景味道的试题。这类试题往往对学生思维能力和创新能力要求较高，能有效检验学生是否具备进入高中学习的潜能，所以平时教学挖掘这方面解题技能及功效尤为重要。恰当地构建模型可以拓宽解题思路，优化解题过程，丰富解题内涵。 大家在掌握几何模型时，多数同学会注重模型结论，而忽视几何模型的证明思路及方法，导致本末倒置。要知道数学题目的考察不是一成不变的，学数学更不能死记硬背，要在理解的基础之上再记忆，这样才能做到对于所学知识的灵活运用，并且更多时候能够启发我们解决问题的关键就是基于已有知识、方法的思路的适当延伸、拓展，所以学生在学习几何模型要能够做到的就是：①认识几何模型并能够从题目中提炼识别几何模型；②记住结论，但更为关键的是记住证明思路及方法；③ 明白模型中常见的易错点，因为多数题目考察的方面均源自于易错点。当然，以上三点均属于基础要求，因为题目的多变性，若想在几何学习中突出，还需做到的是，在平时的学习过程中通过大题量的训练，深刻认识几何模型，认真理解每一个题型，做到活学活用！ 2 模型1.新定义模型 2 14 模型1.新定义模型 新定义模型主要包含高中数学中的三角函数和解三角形的相关公式定理（如：正弦定理、余弦定理、面积公式、同角三角函数基本关系、和、差、二倍角公式等），而这些大部分定理（公式）也可利用初中数学知识证明。 若无特殊说明，一般认为△ABC的3个角∠A、∠B、∠C，分别对应边a、b、c； 图1 图2 图3 1）正弦定理：如图1，（其中R是三角形外接圆的半径）。 证明：作△ABC的外接圆，记圆心为O，作直径，连接，如图2， 则，，∴，∴， 同理，，，∴； 2）正弦面积公式：如图1，. 证明：如图3，过点A作AD⊥BC，垂足为D， 在中，，∴，∴， 在中，，∴．∴． 同理可得．因此有． 3）余弦定理：如图2， ． 证明：如图3，在中，，，的对边分别是，，过点A作于点， 则，即，于是． 在中，，在中，， ，整理得。 同理：；。 图4 图5 4）同角三角函数的基本关系式:，。 证明：如图4，设∠A=，∵在Rt△ABC中，∠C=90°，∴a2+b2=c2。 又∵，，∴；。 5）和（差）、二倍角角公式（只作部分公式证明）： ; （已证）. ; . （已证）. 证明：如图4，在中，在Rt△ABC中，∠C=90°，设∠A=。 如图5，取的中点，连接，即：，过点作于点，则， 利用锐角三角函数在中表示，。 ∵（等面积），即； 在中，，则。 例1．（23-24九年级上·湖南郴州·期末）阅读材料解决问题：在锐角中，的对边分别为，作 于点，在中，，，在中，，，即，． (1)证明：；(2)如图二，求（结果保留根号）；(3)如图三，在锐角中，，，又，垂足为，，求的长度． 【答案】(1)见解析(2)(3)10 【分析】本题考查解直角三角形的应用，掌握直角三角形的边角关系，即锐角三角函数的定义是解决问题的前提．（1）根据题目提供的方法进行证明即可；（2）根据（1）的结论，直接进行计算即可．（3）根据（1）的结论，可直接进行计算求出，利用三角函数求出，再分别利用勾股定理求出即可． 【详解】（1）解：过点作于点，在中，，， 又，，即； （2）解：如图：，， 由得，，， 如图一：作于点，在中，由于，， 在中，由于，，， ； （3）解：由，可设，则 ，，又，，， 又，，，， 由勾股定理可得：，． 例2．（2023秋·广东九年级期中）我们知道，直角三角形的边角关系可用三角函数来描述，那么在任意三角形中，边角之间是否也存在某种关系呢？（已知） 如图，锐角中，、、所对的边分别为a、b、c，过点C作， 在中，，∴， 在中，由勾股定理得，即， 整理可得：，同理可得：． 利用上述结论解答下列问题：（1）在中，，求a和的大小； （2）在中，，其中，求边长c的长度． 【答案】（1），；（2） 【分析】（1）根据给出的公式，把已知条件代入计算，求出a的值，根据勾股定理的逆定理证明直角三角形，根据等腰直角三角形的性质即可得到答案； （2）把数据代入相应的公式，得到关于c的一元二次方程，解方程得到答案． 【详解】解：（1）在中，，∴， ∵，即，∴为直角三角形，，又∵，∴； （2）∵， ∴，化简得，解得，，∵，∴． 【点睛】本题考查的是新定义和解直角三角形的知识，理解新定义并正确运用新定义的公式是解题的关键，注意应熟记特殊角的三角函数值． 例3．（2023·山西·九年级统考期中）阅读下列内容，并解答问题：三角形的一个面积公式 小明喜欢通过多渠道学习数学知识，一天，他运用网络搜索学会了一个三角形面积公式，这个公式叙述如下：在中，已知，，，则的面积为. 请你完成以下活动：问题探究：（1）如图1，已知是锐角三角形，，，，请证明上述三角形面积公式仍然成立； 问题解决：（2）如图2，在中，，，.则的面积是______.       【答案】（1）证明见解析；（2）9 【分析】（1）过点作于点，解，求出AD，即可；（2）同理求出AD的长度，运用求解即可. 【详解】（1）证明：如图，过点作于点，    在中，.∵，∴. （2）在△ABC中，∵，，，∴. 【点睛】本题考查了三角形的面积公式，解题的关键是做辅助线，通过解直角三角形表示出三角形对应边上的高. 例4．（2023春·四川泸州·八年级校考期中）平面几何图形的许多问题，如：长度、周长、面积、角度等问题，最后都转化到三角形中解决．古人对任意形状的三角形，探究出若已知三边，便可以求出其面积．具体如下：设一个三角形的三边长分别为a、b、c，，则有下列面积公式： （海伦公式）； （秦九韶公式）．    (1)一个三角形边长依次是5、6、7，利用两个公式，可以求出这个三角形的面积； (2)学完勾股定理以后，已知任意形状的三角形的三边长也可以求出其面积．如图，在中，，，，求的面积和边上得高的长． 【答案】(1)(2)的面积为84；边上得高的长为12 【分析】（1）利用两个公式分别代入即可； （2）设，则，利用勾股定理得，，即，求解得，即，再利用勾股定理求解，然后利用三角形面积公式求出其面积即可． 【详解】（1）解：， 由海伦公式可得； 由秦九昭公式可得． （2）解：设，则， ，，， ，解得；∴ ∴．∴． 【点睛】此题考查了勾股定理以及三角形面积求法，正确掌握三角形面积公式和勾股定理是解题的关键． 例5．（23-24九年级上·湖南永州·期中）关于三角函数有如下的公式： ①②； ③ 利用这些公式可以将一些不是特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数来求值，如 根据上面的知识，你可以选择适当的公式解决下面的实际问题：    (1) ； ．(2)求的值； (3)如图，直升机在一建筑物上方的点处测得建筑物顶端点的俯角为，底端点的俯角为，此时直升机与建筑物的水平距离为42米，求建筑物的高． 【答案】(1)，(2)(3)建筑物的高为米 【分析】本题考查俯角的定义，三角函数．（1）根据公式②，①即可；（2）根据公式③即可； （3）过点作于点，先由俯角的正切值及求得，再由俯角的正切值及求得，的长由二者相减即可求得．本题的关键是能借助俯角构造直角三角形并解直角三角形． 【详解】（1）解：， ， 故答案为：，； （2）解：； （3）如图，过点作于点，则，    ∵，∴四边形是矩形，∴， ，， ∵在中，，∴米， ∵在中，，∴米， ∴米．答：建筑物的高为米． 例6．（2023秋·山东·九年级专题练习）已知：根据图中数据完成填空，再按要求答题：      如图1： ，如图2： ，如图3： ①观察上述等式，猜想：如图4，在中，，都有 ； ②如图4，在中，，，，的对边分别是，，，利用三角函数的定义和勾股定理，证明你的猜想；③已知：，且，求． 【答案】1，1，1①1②见解析③ 【分析】根据正弦函数的定义，计算即可得出结果；①由上计算可想到在中，，都有；②在中，，利用锐角三角函数的定义得出，，则，根据勾股定理得到，从而证明； ③利用关系式，结合已知条件，进行求解． 【详解】由图可知： 故答案为：1，1，1． ①观察上述等式，可猜想： 故答案为：1． ②在中， ∵， ∴ ∵∴ ∴ ③∵， ∴ 【点睛】本题侧重考查互余两角三角函数值，掌握三角函数的定义是解题的关键． 例7．（23-24九年级上·山东青岛·期末）阅读理解：通过学习三角函数，我们知道在直角三角形中，一个锐角的大小，与两条边长的比值相互唯一确定，因此边长与角的大小之间可以相互转化．类似地，可以在等腰三角形中，建立边角之间的联系．我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角正对（）．如图（1），在中，，顶角的正对记作“”，这时底边腰．容易知道一个角的大小，与这个角的正对值也是相互唯一确定的．根据上述角的正对定义，解下列问题： (1)如图（2），利用等腰直角三角形计算：______； (2)如图（3），在等腰中，，若，求的值． 【答案】(1)(2)． 【分析】本题考查解直角三角形，勾股定理，理解题中关于角的正对的定义是解题的关键． （1）根据题中正对的定义即可解决问题．（2）根据题中正对的定义即可解决问题． 【详解】（1）解：由题知，因为是等腰直角三角形，所以． 则，即．故答案为：； （2）解：过点作的垂线，垂足为， 因为，，则，所以． 在中，，所以， 在中，．所以． 例8．（2024·浙江·九年级专题练习）阅读下列材料： 在学习完锐角三角函数后，老师提出一个这样的问题：如图1，在中，，求（用含的式子表示）． 聪明的小雯同学是这样考虑的：如图2，取的中点，连接，过点作于点，则，然后利用锐角三角函数在中表示出，在中表示出，则可以求出． 阅读以上内容，回答下列问题：在中，． （1）如图3，若，则__，_____； （2）请你参考阅读材料中的推导思路，求出的表达式（用含的式子表示）． 【答案】（1）；；（2） 【分析】（1）根据勾股定理求得，再根据三角函数的定义即可求得和，再根据求解即可；（2）取的中点，连接，过点作于点，则，，在中表示出，勾股定理求得，即可求解． 【详解】解：（1）由勾股定理可得： 由三角函数的定义可得， 由材料可得：故答案为； （2）取的中点，连接，过点作于点，如下图： 则，，， 在中，，在中，， 在中，，则 则 故答案为 【点睛】此题考查了三角函数定义的应用，解题的关键是是熟练掌握三角函数的定义，作辅助线作所求角的直角三角形． 例9．（2024·宁夏银川·二模）阅读、理解、应用 研究间的角的三角函数，在初中我们学习过锐角的正弦余弦和正切三种三角函数，即在图所示的直角三角形，是锐角，那么，，．为了研究需要，我们再从另一个角度来规定一个角的三角函数的意义： 设有一个角α，我们以它的顶点作为原点，以它的始边作为轴的正半轴，建立直角坐标系（图），在角α的终边上任取一点，它的横坐标是，纵坐标是，终边可以看作是将射线绕点逆时针旋转后所得到的，和原点的距离为（总是正的）然后把角α的三角函数规定为：，，（其中，分别是点的横、纵坐标）我们知道，图的三个比值的大小与角的大小有关，而与直角三角形的大小无关，同样图中四个比值的大小也仅与角α的大小有关，三个比值的正、负取决于角α的终边所在的象限，而与点在角α的终边位置无关．比较图与图，可以看出一个角的三角函数的意义的两种规定实际上是一样的，根据第二种定义回答下列问题． (1)如图3，若，则角α的三角函数值α、α、α，其中取正值的是 ． (2)已知α是钝角，则下列说法正确的是 ． ． ． ．α ．α (3)若角α的终边与直线重合，则αα ． (4)若角α是锐角，其终边上一点且，试求和α的值． 【答案】(1)α(2)A(3)或(4)的值为；α的值为 【分析】（1）由点在第四象限，推出，根据，即可判断； （2）根据三角函数的定义分析求解即可；（3）分两种情形讨论即可解决问题； （4）根据α是锐角，终边上一点在第一象限，，进而得，进而得解得或（舍去），从而即可得解． 【详解】（1）解：∵，∴点在第四象限，∴， ∵，∴， ∴取取正值的是，故答案为：； （2）解：α是钝角，则α的终边在第二象限，∴，，而， ∴，故正确； ∵，，∴，故不正确； ∵，，，∴，故不正确；，故不正确；故答案为：； （3）解：由角α的终边与直线重合，设角α终边上一点为，∴， 当时，，，，∴； 当时，，，，∴； 故答案为：或； （4）解：∵角α是锐角，∴终边上一点在第一象限，，∴， ∵，∴，解得或（舍去）； 经检验，是原方程的解，∴的值为；∴，∴的值为． 【点睛】本题考查一次函数综合题、三角函数的定义、勾股定理、解直角三角形等知识，解题的关键是理解题意，学会用分类讨论的思想思考问题，学会利用参数解决问题，属于中考创新题目． 1．（2023春·广东深圳·九年级校联考开学考试）数学中余弦定理是这样描述的：在中，、、所对的边分别为、、，则三角形中任意一边的平方等于另外两边的平方和减去这两边及这两边的夹角的余弦值的乘积的2倍，用公式可描述为：，，．在中，，，，则的值是（    ） A．5 B． C． D．2 【答案】C 【分析】根据题目中给出的信息列式解答即可． 【详解】解：根据题意得： ， ∴或（舍去），故C正确．故选：C． 【点睛】本题考查新定义计算，特殊角的三角函数值，余弦定理，解题的关键是理解题意，熟练进行计算． 2．（2023·北京市·九年级校考期末）关于三角函数有如下公式：sin（α+β）＝sinαcosβ+cosαsinβ，sin（α﹣β）＝sinαcosβ﹣cosαsinβ；cos（α+β）＝cosαcosβ﹣sinαsinβ，cos（α﹣β）＝cosαcosβ+sinαsinβ；tan（α+β）＝（1﹣tanαtanβ≠0），合理利用这些公式可以将一些角的三角函数值转化为特殊角的三角函数来求值，如sin90°＝sin（30°+60°）＝sin30°cos60°+cos30°sin60°＝＝1，利用上述公式计算下列三角函数①sin105°＝，②tan105°＝﹣2﹣，③sin15°＝，④cos90°＝0，其中正确的个数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】直接利用已知公式法分别代入计算得出答案． 【详解】①sin105°=sin（60°+45°）=sin60°cos45°+cos60°sin45°= =，故此选项正确； ②tan105°=tan（60°+45°）== ==-2-，故此选项正确； ③sin15°=sin（60°-45°）=sin60°cos45°-cos60°sin45°==，故此选项正确； ④cos90°=cos（45°+45°）=cos45°cos45°-sin45°sin45°==0，故此选项正确； 故正确的有4个．故选D． 【点睛】此题主要考查了特殊角的三角函数值以及公式的应用，正确应用公式是解题关键． 3．（2024·四川绵阳·一模）若规定，则sin15°=（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意把15°化为45°-30°，代入特殊角的三角函数值计算即可． 【详解】解：由题意得，sin15°=sin（45°-30°）=sin45°cos30°-cos45°sin30° 故选D 【点睛】本题考查的是特殊角的三角函数值以及新定义，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键． 4．（2023春·湖南湘西·八年级统考阶段练习）已知三角形的三边长分别为，求其面积问题，中外数学家曾经进行过深入研究，古希腊的几何学家海伦（，约公元50年）给出求其面积的海伦公式，其中；我国南宋时期数学家秦九韶（约1202-约1261）曾提出利用三角形的三边求其面积的秦九韶公式．若一个三角形的三边长分别为2，3，4，则其面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】把分别代入题目所给两个公式，即可进行解答． 【详解】解：法一：∵，∴， ∴； 法二：∵，∴；故选：B． 【点睛】本题主要考查了求代数式的值，解题的关键是掌握已知字母的值求代数式值的方法． 5．（2023·河北石家庄·九年级统考期中）阅读下面的材料，先完成阅读填空，再按要求答题． sin230°＋cos230°＝ ； sin245°＋cos245°＝ ； sin260°＋cos260°＝ ； …… 观察上述等式，猜想：对任意锐角A，都有sin2A＋cos2A＝ ． 【答案】 1 1 1 1 【详解】sin230°＋cos230°＝=1 ， sin245°＋cos245°＝=1 ， sin260°＋cos260°＝=1 ， 即可猜想出：对任意锐角，都有 故答案为：1；1；1；1 6．（2023·湖南娄底·统考一模）同学们，在我们进入高中以后，还将学到下面三角函数公式：，，，．例：．若已知锐角满足条件，则 ． 【答案】 【分析】先根据求出，把变为，然后根据计算即可． 【详解】解：如图，在中，    ∵，∴． ∵，∴．∵为锐角，∴． ∵ ∴．故答案为：． 【点睛】本题考查了三角函数的运算，正确理解所给计算公式是解答本题的关键． 7．（2023·江苏苏州·统考一模）定义：在中，，我们把的对边与的对边的比叫做的邻弦，记作，即： ．如图，若，则的值为 ． 【答案】 【分析】如图，作，垂足为H，然后根据三角函数的定义即可可解答． 【详解】解：如图，作，垂足为H， 在中，，即， 在中，，即， 所以．故答案为． 【点睛】本题考查了解直角三角形，熟练掌握三角函数的定义是解题的关键． 8．（2024·湖南娄底·校考一模）规定：sin(-x)=-sinx，cos(-x)=cosx，sin(x+y)=sinx⋅cosy+cosx⋅siny． 据此判断下列等式成立的是 写出所有正确的序号 ①；②sin；③sin2x=2sinx⋅cosx；④sin(x-y)=sinx-siny． 【答案】②③ 【分析】利用题中的规定判断即可． 【详解】解：①cos（−60°）＝cos60°＝，原等式不成立； ②sin75°＝sin（45°＋30°）＝sin45°·cos30°＋cos45°·sin30°＝ ，原等式成立； ③sin2x＝sin（x＋x）＝sinx·cosx＋cosx·sinx＝2sinx⋅cosx，原等式成立； ④sin（x−y）＝sin[x+（−y）]＝sinx⋅cos(−y) ＋cosx⋅sin(−y)＝sinx⋅cosy−cosx⋅siny，原等式不成立． 故答案为：②③． 【点睛】此题考查了三角函数，弄清题中的规定是解本题的关键． 9．（23-24九年级上·北京海淀·阶段练习）定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角的正对．例如，在中，，的正对记作．若为锐角，，则 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查三角函数和勾股定理的应用．过点B作，垂足为D，再由勾股定理求出；，再由勾股定理求出，进而求出． 【详解】解：在中，过点B作，垂足为D， ∵， 设为，为， 则， 则， 则， 则sad=， 故答案为：． 10．（23-24九年级上·湖南衡阳·期末）①sin2A+cos2A= ，②tanA•cotA= ． 【答案】 1 1 【详解】如图，设Rt△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C所对的边分别为， 则sinA= ，cosA=，tanA=，cotA=，， ∴（1）sin2A+cos2A=； （2）tanA•cotA=. 点睛：解答本题的要点是：画出符合要求的图形，结合锐角三角形函数的定义和勾股定理进行推理计算即可得到答案. 11．（23-24九年级上·四川巴中·阶段练习）进入高中后，我们还会学到下面的三角函数公式： ，， ．利用这些公式求出下列三角函数值．(1)(2) 【答案】(1)(2) 【分析】本题主要考查特殊角的三角函数值的应用，解题的关键是根据题目中所给公式对待求式进行变形； （1）根据，把写成，将其展开，再根据特殊角的函数值进行计算即可得到结果；（2）根据，把写成，将其展开，再根据特殊角的函数值进行计算即可得到结果． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 12．（23-24九年级上·山西大同·期末）阅读与思考 下面是一位同学的数学学习笔记，请仔细阅读并完成相应的任务． 三角形外接圆半径公式 如图1，为的外接圆，的，，所对的边分别为a，b，c，的半径为R，S为的面积，则有公式：． 下面是该公式的证明过程： 证明：如图1，连接并延长交于点D，连接． ∵为直径， ∴（依据1）. 在中，， ∵， ∴（依据2）， ∴. 过点C作于点E， ∴． 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 由此得出的外接圆的半径公式为． 任务： (1)填空：材料中的依据1是指______，依据2是指______． (2)如图2，已知的面积，，，求b的值． 【答案】(1)直径所对的圆周角是直角；同弧所对的圆周角相等 (2) 【分析】本题考查圆周角定理的推论，解直角三角形，作辅助线构造直角三角形是解题的关键． （1）利用直径所对的圆周角是直角可以得到，然后根据同弧所对的圆周角相等得到，然后利用解直角三角形解题即可； （2）连接并延长交于点，连接，根据阅读中的结论得到半径R，然后利用解题即可． 【详解】（1）解：依据为直径所对的圆周角是直角， 依据为同弧所对的圆周角相等， 故答案为：直径所对的圆周角是直角；同弧所对的圆周角相等； （2）解：根据阅读结可得， 连接并延长交于点，连接， ∵AF为直径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 13．（2023年四川省广元市中考真题数学试题）“一缕清风银叶转”，某市20台风机依次矗立在云遮雾绕的山脊之上，风叶转动，风能就能转换成电能，造福千家万户．某中学初三数学兴趣小组，为测量风叶的长度进行了实地测量．如图，三片风叶两两所成的角为，当其中一片风叶与塔干叠合时，在与塔底D水平距离为60米的E处，测得塔顶部O的仰角，风叶的视角．    (1)已知α，β两角和的余弦公式为： ，请利用公式计算； (2)求风叶的长度． 【答案】(1)(2)风叶的长度为米 【分析】（1）根据题中公式计算即可；（2）过点A作，连接，，先根据题意求出，再根据等腰对等边证明，结合第一问的结论用三角函数即可求，再证明四边形是矩形，即可求出． 【详解】（1）解：由题意可得：， ∴； （2）解：过点A作，连接，，如图所示，    由题意得：米，，∴米，， ∵三片风叶两两所成的角为，∴，∴， 又∵，∴，∴，∴米， ∵，，∴，由（1）得：， ∴米，∴米， ∵，，，∴四边形是矩形，∴米， ∵三片风叶两两所成的角为，且三片风叶长度相等，∴， ∴米，∴风叶的长度为米． 【点睛】本题考查解直角三角形的实际应用，正确理解题意和作出辅助线是关键． 14．（23-24九年级上·江苏·期末）若α，β为锐角且时，现有公式：，利用此公式求解下列问题： (1)求的值； (2)若A，B为锐角且时，求的值； (3)求的值． 【答案】(1) (2)2 (3) 【分析】本题考查解直角三角形，特殊角的三角函数值，解题的关键是利用公式解决问题． （1）利用公式根据特殊角的三角函数值求解即可； （2）利用公式求解即可； （3）利用（2）中结论求解即可． 【详解】（1）（1） ； （2）当时，， 即 ； （3）由（2）可知，， ∴原式． 15．（2024·上海·一模）用含30°、45°、60°这三个特殊角的四个三角比及其组合可以表示某些实数，如： 可表示为；仿照上述材料，完成下列问题： （1）用含30°、45°、60°这三个特殊角的三角比或其组合表示，即填空： …； （2）用含30°、45°、60°这三个特殊角的三角比，结合加、减、乘、除四种运算，设计一个等式，要求：等式中须含有这三个特殊角的三角比，上述四种运算都至少出现一次，且这个等式的结果等于1，即填空： 【答案】（1），，； （2）； 【详解】试题分析：答案不唯一，根据30°、45°、60°这三个特殊角的三角比，进行加、减、乘、除四种运算组合即可. 试题解析：（1）==； （2）1=. 考点：特殊角的三角比. 16．（23-24九年级下·广东·期中）（1）已知∠A是锐角，求证：sin2A+cos2A＝1． （2）已知∠A为锐角，且sinA•cosA＝，求∠A的度数． 【答案】（1）见解析；（2）∠A＝45° 【分析】（1）利用三角函数的定义即可得出结论； （2）利用三角函数的定义得出c2=2ab，再用勾股定理得出a2+b2=c2，得到a2+b2=2ab，进而得出a=b，即可得出结论． 【详解】解：如图， 在Rt△ABC中，sinA＝，cosA＝，根据勾股定理得，a2+b2＝c2， （1）证明：sin2A+cos2A＝（）2+（）2＝＝1， （2）∵sinA•cosA＝， ∴×= ∴c2＝2ab， ∴a2+b2＝2ab，即：（a﹣b）2＝0， ∴a＝b， 在Rt△ABC中，tanA＝＝1，∠A＝45°． 【点睛】考查了同角三角函数关系和特殊角的三角函数值．熟记锐角三角函数的定义进行解答即可． 17．（2024·江苏徐州·九年级校联考阶段练习）如图（1），中，于点D．由直角三角形边角关系，可将三角形的面积公式变形为，即三角形的面积等于两边之长与夹角正弦值之积的一半    如图（2），在中，于点D，，， ∵，由公式①，得，即：． (1)请证明等式：；(2)请利用结论求出的值． 【答案】(1)见解析(2) 【分析】由题意知，，，由，两边同时除以得，，代入求解即可； （2）根据，计算求解即可． 【详解】（1）证明：由题意知，，， ∵， 两边同时除以得，， ∴； （2）解：由题意知，； 【点睛】本题考查了锐角三角函数的应用．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 18．（2024·山东·一模）观察与思考：阅读下列材料，并解决后面的问题 在锐角△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，过A作AD⊥BC于D（如图(1)），则sinB=，sinC=，即AD＝csinB，AD＝bsinC，于是csinB＝bsinC，即，同理有：，，所以． 即：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等在锐角三角形中，若已知三个元素（至少有一条边），运用上述结论和有关定理就可以求出其余三个未知元素． 根据上述材料，完成下列各题． (1)如图(2)，△ABC中，∠B＝45°，∠C＝75°，BC＝60，则∠A＝　 　；AC＝　 　； (2)自从去年日本政府自主自导“钓鱼岛国有化”闹剧以来，我国政府灵活应对，现如今已对钓鱼岛执行常态化巡逻．某次巡逻中，如图（3），我渔政204船在C处测得A在我渔政船的北偏西30°的方向上，随后以40海里/时的速度按北偏东30°的方向航行，半小时后到达B处，此时又测得钓鱼岛A在的北偏西75°的方向上，求此时渔政204船距钓鱼岛A的距离AB．（结果精确到0.01，≈2.449） 【答案】（1）60，20；（2）渔政船距海岛A的距离AB约为24.49海里． 【分析】（1）利用题目总结的正弦定理，将有关数据代入求解即可； （2）在△ABC中，分别求得BC的长和三个内角的度数，利用题目中总结的正弦定理求AC的长即可． 【详解】（1）由正玄定理得：∠A＝60°，AC＝20； 故答案为60°，20； （2）如图： 依题意，得BC＝40×0.5＝20(海里)． ∵CD∥BE， ∴∠DCB＋∠CBE＝180°. ∵∠DCB＝30°，∴∠CBE＝150°. ∵∠ABE＝75°，∴∠ABC＝75°， ∴∠A＝45°. 在△ABC中，， 即， 解得AB＝10≈24.49(海里)． 答：渔政船距海岛A的距离AB约为24.49海里． 【点睛】本题考查了方向角的知识，更重要的是考查了同学们的阅读理解能力，通过材料总结出学生们没有接触的知识，并根据此知识点解决相关的问题，是近几年中考的高频考点． 19．（2024·贵州·统考一模）如图（1）在中，所对的边分别为，以下是某同学推理证明的过程： 证明： 根据你掌握的三角函数知识，请在图（2）中的锐角中， 求证：． 【答案】见解析． 【分析】作于点，作于点，利用锐角三角函数的定义求解即可； 【详解】作于点，作于点，如图所示： 在中， ， 在中， ， ， ， 在中，， 在中，， ， ， ． 【点睛】本题主要考查了解直角三角形，准确利用锐角三角函数定义求解是解题的关键． 20．（23-24九年级上·山西晋中·期末）下面是莉莉同学的课外数学学习笔记，请仔细阅读并完成相应任务． （1）锐角三角函数概念：在中，，，，的对边分别是，称，是两个锐角，的“正弦”，特殊情况：直角的正弦值为1，即，也就是． 由，可得，由，可得，而，于是就有． （2）其实对于任意的锐角三角形，上述结论仍然成立，即三角形各边与对角的正弦之比相等，我们称之为“正弦定理”，我们可以利用三角形面积公式证明其正确性． 证明：如图①，过点作于点，则 在中，， 所以． 所以． 在中，， 所以． 所以． 同理可得． 因此，即． 因为，每项都除以，得，即．      任务： (1)如图②，在锐角三角形中，，，，求的值； (2)求问题（1）中的面积. 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解直角三角形，在直角三角形中，由已知元素求出未知元素的过程就是解直角三角形，准确进行计算是解此题的关键． （1）由题意得出，代入数据进行计算即可得出，求解即可； （2）过点作于点，在中，求出，在中，求出，从而得出，最后再由，计算即可得出答案． 【详解】（1）解：，，，， ，即， 解得：； （2）解：如图，过点作于点，   ， 在中，，， ， 在中，，， ， ， ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！4 学科网（北京）股份有限公司 $$