第四章 概率与统计（单元复习 压轴题专练）-2024-2025学年高二数学单元速记•巧练（人教B版2019选择性必修第二册）

第四章 概率与统计（压轴题专练） 题型一：条件概率的求算 1．某次跳水比赛甲、乙、丙、丁、戊5名跳水运动员进入跳水比赛决赛，现采用抽签法决定决赛跳水顺序，在“运动员甲不是第一个出场，运动员乙不是最后一个出场”的前提下，“运动员丙第一个出场”的概率为（    ） A． B． C． D． 2．甲、乙两名射击手组队完成一项任务，需要对同一目标各射击一次，已知两人的命中率分别为和0.6，若已知目标已被击中，且是被甲击中的概率为0.8，则（    ） A． B． C． D． 3．《易经》是中国传统文化中的精髓，下图是易经后天八卦图（含乾、坤、巽、震、坎、离、艮、兑八卦），每一卦由三根线组成（表示一根阳线，表示一根阴线），从八卦中任取两卦，记事件“两卦的六根线中恰有三根阳线”，“至少有一卦恰有两根阳线”，则（    ） A． B． C． D． 4．在“最强大脑”的双英对抗赛中，甲、乙两人同时挑战100秒记忆力项目，根据以往甲、乙两人同场对抗挑战该项目的记录统计分析，在对抗挑战中甲挑战成功的概率，乙挑战成功的概是，甲、乙均未挑战成功的概率，则在甲挑战成功的条件下，乙挑战成功的概率为（    ） A． B． C． D． 5．在某次流感疫情爆发期间，A，B，C三个地区均爆发了流感，经调查统计A，B，C地区分别有的人患过流感，且A，B，C三个地区的人数的比为．现从这三个地区中随机选取一人，则此人患过流感的概率为（     ） A． B． C． D． 6．在某次游戏中，甲、乙分别用弓箭对准同一个弓箭靶，两人同时射箭．已知甲、乙中靶的概率分别为0.5，0.4，且两人是否中靶互不影响，若弓箭靶被射中，则只被甲射中的概率为（    ） A． B． C． D． 题型二：利用贝叶斯公式求概率 1．某学校有两家餐厅，王同学第1天选择餐厅就餐的概率是，若第1天选择餐厅，则第2天选择餐厅的概率为；若第1天选择餐厅就餐，则第2天选择餐厅的概率为；已知王同学第2天是去餐厅就餐，则第1天去餐厅就餐的概率为（     ） A． B． C． D． 2．某校高三（1）班和（2）班各有40名同学，其中参加数学兴趣社团的学生分别有10人和8人，现从这两个班中随机抽取一名同学，若抽到的是参加数学兴趣社团的学生，则他来自高三（1）班的概率是（    ） A． B． C． D． 3．若某地区一种疾病的患病率是0.05，现有一种试剂可以检验被检者是否患病.已知该试剂的准确率为95%，即在被检验者患病的前提下用该试剂检测，有95%的可能呈现阳性；该试剂的误报率为0.5%，即在被检验者未患病的情况下用该试剂检测，有0.5%的可能会误报阳性.现随机抽取该地区的一个被检验者，已知检验结果呈现阳性，则此人患病的概率为（ ） A． B． C． D． 4．英国数学家贝叶斯在概率论研究方面成就显著，根据贝叶斯统计理论，随机事件A，B存在如下关系：.若某地区一种疾病的患病率是0.05，现有一种试剂可以检验被检者是否患病.已知该试剂的准确率为95%，即在被检验者患病的前提下用该试剂检测，有95%的可能呈现阳性；该试剂的误报率为0.5%，即在被检验者未患病的情况下用该试剂检测，有0.5%的可能会误报阳性.现随机抽取该地区的一个被检验者，已知检验结果呈现阳性，则此人患病的概率为（    ） A． B． C． D． 5．假设甲袋中有3个白球和2个红球，乙袋中有2个白球和2个红球.现从甲袋中任取2个球放入乙袋，混匀后再从乙袋中任取2个球.已知从乙袋中取出的是2个白球，则从甲袋中取出的也是2个白球的概率为（ ） A． B． C． D． 6．某单位选派一支代表队参加市里的辩论比赛，现有“初心”“使命”两支预备队.选哪支队是随机的，其中选“初心”队获胜的概率为0.8，选“使命”队获胜的概率为0.7，单位在比赛中获胜的条件下，选“使命”队参加比赛的概率为（    ） A． B． C． D． 题型三：服从二项分布的随机变量概率最大问题 1．已知，记使取最大值时的的值为．把这9个数字排成一列，则的左、右两侧都有数字，且与相邻的数字都比大的排列种数为（    ） A． B． C． D． 2．某学校在假期组织30位学生前往北京､上海､广州､深圳､杭州､苏州､成都､重庆8个城市参加研学活动.每个学生可自由选择8个城市中的任意1个（不要求每个城市必须要有学生选择）.若每位学生选择去每个城市的概率都相等且互不影响，则有（    ）个学生选择前往北京或上海研学的概率最大. A．6 B．7 C．8 D．9 3．如图是一块高尔顿板的示意图，在一块木板上钉着若干排相互平行但相互错开的圆柱形小木钉，小木钉之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃．将小球从顶端放入，小球下落的过程中，每次碰到小木钉后都等可能地向左或向右落下，最后落入底部的格子中．记格子从左到右的编号分别为，用表示小球最后落入格子的号码，若，则（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 4．已知随机变量，若使的值最大，则（    ）． A．6或7 B．7或8 C．5或6 D．7 5．某综艺节目中，有一个盲拧魔方游戏，就是玩家先观察魔方状态并进行记忆，记住后蒙住眼睛快速还原魔方．为了解某市盲拧魔方爱好者的水平状况，某兴趣小组在全市范围内随机抽取了100名盲拧魔方爱好者进行调查，得到的情况如表所示： 用时/秒 男性人数 17 21 13 9 女性人数 8 10 16 6 以这100名盲拧魔方爱好者用时不超过10秒的频率，代替全市所有盲拧魔方爱好者用时不超过10秒的概率，每位盲拧魔方爱好者用时是否超过10秒相互独立．若该兴趣小组在全市范围内再随机抽取20名盲拧魔方爱好者进行测试，其中用时不超过10秒的人数最有可能（即概率最大）是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 6．经检测一批产品中每件产品的合格率为，现从这批产品中任取5件，设取得合格产品的件数为，则以下选项正确的是（    ） A．的可能取值为1，2，3，4，5 B． C．的概率最大 D．服从超几何分布 题型四：利用正态分布3σ原则求概率 1．若随机变量，则下列选项错误的是（    ） A． B． C． D． 2．已知随机变量，，那么的值为（   ） A． B． C． D． 3．设，这两个正态分布密度曲线如图所示，若，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 4．某市高二年级男生的身高（单位：cm）近似服从正态分布，女生的身高单位：近似服从正态分布，则下列说法正确的是（    ） A．男生身高高于185cm的概率超过 B．女生身高低于161cm的概率不超过 C．女生身高在的概率为 D．女生身高在的人数和男生身高在的人数一样多 5．已知随机变量，且，则的最小值为（    ） A．5 B． C． D． 6．已知，则（    ） （注：若随机变量，则） A．0.1587 B．0.8413 C．1 D．0.4206 题型五 ： 独立事件的乘法公式 1．下列命题正确的是（    ） A．设A，B是两个随机事件，“A与是互斥事件”是“与互为对立事件”的充分不必要条件 B．若，则事件A，B相互独立与A，B互斥一定不能同时成立 C．若三个事件A，B，C两两独立，则满足 D．若事件A，B相互独立，，则 2．甲、乙两个不透明的袋子中分别装有两种颜色不同但是大小相同的小球，甲袋中装有5个红球和5个绿球；乙袋中装有4个红球和6个绿球.先从甲袋中随机摸出一个小球放入乙袋中，再从乙袋中随机摸出一个小球，记表示事件“从甲袋摸出的是红球”，表示事件“从甲袋摸出的是绿球”，记表示事件“从乙袋摸出的是红球”，表示事件“从乙袋摸出的是绿球”.下列说法正确的是（   ） A．是互斥事件 B．是独立事件 C． D． 3．某校进行一项问卷调查，为了调动学生参与的积极性，凡参与者均有机会获得奖品.学校设置了3个不同颜色的抽奖箱，每个箱子中的小球质地均匀，大小相同，其中红色箱子放有2个红球，2个黄球，2个绿球，黄色箱子放有2个黄球，1个绿球，绿色箱子放有1个黄球，2个绿球.参与者先从红色箱子中随机抽取1个小球，将其放入与小球颜色相同的箱子中，再从放入小球的箱子中随机抽取1个小球，如此重复，抽取3个小球，抽奖结束.若抽取的3个小球颜色全不相同为一等奖，3个小球颜色全部相同为二等奖，其他情况没有奖品.已知甲同学参与了问卷调查，则（    ） A．甲第一次取到红球的条件下，获得一等奖的概率为 B．甲第一次取到黄球的条件下，获得二等奖的概率为 C．甲获奖的条件下，第一次取到绿球的概率为 D．甲第一次取球取到红球获奖的概率最大 4．某公司计划招聘一名技术人员，招聘方式如下：应聘者从公司准备的6道题目中依次选择任意2道题解答，2道题全答对就录用，否则不予录用．已知应聘者甲会做其中的4道题，记事件为“第一题答对”，事件为“第二题答错”，事件为“甲被录用”，则（    ） A． B． C． D． 5．已知为随机事件，，则下列说法正确的有（    ） A．若相互独立，则 B．若相互独立，则 C．若两两独立，则 D．若互斥，则 6．随机事件满足，则下列说法正确的是（    ） A．事件互不独立 B． C． D． 题型六：利用全概率公式求概率 1．南昌二中一直有个优秀的传统“毕业学习经验分享会”：每届高考结束后，各班推荐优秀学生代表与下一届学生进行学习经验分享．2024届高三年级班号依次为0，1，2，…，27，高三0班推荐2名男生和2名女生，其余各班均推荐1名男生和1名女生参加分享会；第一场分享会的4名学生嘉宾是从高三0班的优秀学生代表中选出的2名和高三1班的2名优秀学生代表共同形成，第二场分享会的4名学生嘉宾是从上一场4名嘉宾中选出的2名和高三2班的2名优秀学生代表共同形成，…，按照这样的方式，依次进行到第二十七场分享会． (1)求在第一场分享会学生嘉宾中有2名男生的概率； (2)求在第二场分享会学生嘉宾中有2名男生的概率． 2．某学校有，两家餐厅，王同学开学第1天（9月1日）午餐时去餐厅用餐的概率是.如果第1天去餐厅，那么第2天继续去餐厅的概率为；如果第1天去餐厅，那么第2天去餐厅的概率为，如此往复. (1)计算王同学第2天去餐厅用餐的概率. (2)记王同学第天去餐厅用餐概率为，求； (3)求九月（30天）王同学去餐厅用餐的概率大于去餐厅用餐概率的天数. 3．为抽查车辆文明驾驶情况，在某路口设有高清摄像头，对经过的车辆进行抓拍．抓拍系统设定：经过该路口的每一辆车被抓拍的概率均为 但为保证抽查量，设定前2 辆车经过该路口都没有被抓拍时，第 3辆车必被抓拍．假设汽车依次通过该路口． (1)从某一时刻开始，记第n辆车经过该路口时被抓拍的概率为 求 (2)当任意连续有2辆车经过该路口时， 表示 2 辆车均未被抓拍的概率， 表示第1辆车未被抓拍，且第2 辆车被抓拍的概率， 表示第1辆车被抓拍，且第2辆车未被抓拍的概率， 表示2 辆车均被抓拍的概率． ①试用 和 表示 ②求 的值． 4．某运动队为评估短跑运动员在接力赛中的作用，对运动员进行数据分析，运动员甲在接力赛中跑第一棒、第二棒、第三棒、第四棒四个位置，统计以往多场比赛，其出场率与出场时比赛获胜率如下表所示. 比赛位置 第一棒 第二棒 第三棒 第四棒 出场率 0.2 0.3 0.3 0.2 比赛胜率 0.6 0.8 0.7 0.7 (1)当甲出场比赛时，求该运动队获胜的概率； (2)当甲出场比赛时，在该运动队获胜的条件下，求甲跑第四棒的概率. 5．采购员要购买10个一包的电器元件．他的采购方法是：从一包中随机抽查3个，如果这3个元件都是好的，他才买下这一包．假定含有4个次品的包数占，而其余包中各含1个次品．求： (1)采购员拒绝购买的概率； (2)在采购员拒绝购买的条件下，抽中的一包中含有4个次品的概率． 6．某企业生产手机加密芯片，有3台机器生产同一型号的芯片，质量合格的为正品，不合格的为次品，第1台生产的次品率为，第2，3台生产的次品率均为，将生产出来的芯片混放在一起，已知第1，2，3台机器生产的芯片数分别占总数的． (1)任取一个芯片，求它是正品的概率； (2)任取一个芯片，如果它是次品，求它分别是第1，2，3台机器生产的概率． 题型七：求二项分布分布列及期望与方差 1．某试验机床生产了12个电子元件，其中8个合格品，4个次品.从中随机抽出4个电子元件作为样本，用X表示样本中合格品的个数. (1)若有放回的抽取，求X的分布列； (2)若不放回的抽取，求样本中合格品的比例与总体中合格品的比例之差的绝对值不超过的概率. X 0 1 2 3 4 P 2．一个袋子中装有60个大小、质地完全相同的球，其中有20个黄球、40个白球，从中随机地摸出10个球作为样本，用表示样本中黄球的个数. (1)有放回地摸球，求的分布列； (2)不放回地摸球，求的分布列. 0 1 10 0 1 10 3．小王积极响应国家鼓励青年创业的号召，和朋友合伙开了一家小型工厂，该工厂有4台大型机器，在一年中，一台机器至多出现1次故障，且每台机器是否出现故障是相对独立的，出现故障时需要1名工人进行维修，每台机器出现故障需要维修的概率为． (1)若出现故障的机器台数为X，求X的分布； (2)该厂至少有多少名工人才能保证每台机器在任何时刻同时出现故障时，能及时维修的概率不小于90％？ X P 4．历史悠久的杨柳青年画，全称“杨柳青木版年画”，属木版印绘制品，是我国著名民间传统木版年画．它起源于明代崇祯年间，距今已有近400年的历史，是首批国家级非物质文化遗产．杨柳青年画制作特别之处是它采用“印画结合”的独特工艺，制作程序大致是：创稿、分版、刻版、套印、彩绘、装裱，前期工序与其他木彼年画大致相同，而杨柳青年画的后期制作艺术风格迥然不同．一个优秀的作品除了需要有很好的素材外，更要有制作上的技术要求，已知某年工艺画师在后期套印、彩绘、装裱每个环节制作成功的概率分别为，只有当每个环节制作都成功才认为是一次优秀制作． (1)设事件“制作一件优秀作品”，求事件A的概率； (2)若该工艺画师进行3次制作，事件”恰有一件优秀作品”，求事件B的概率； (3)若该工艺画师制作3次，其中优秀作品数为X，求X的分布列和数学期望． X 0 1 2 3 P 5．某大型企业准备把某一型号的零件交给甲工厂或乙工厂生产.经过调研和试生产，质检人员抽样发现：甲工厂试生产的一批零件的合格品率为：乙工厂试生产的另一批零件的合格品率为；若将这两批零件混合放在一起，则合格品率为. (1)混合零件中甲厂零件和乙厂零件的比例是多少？ (2)从混合放在一起的零件中随机抽取4个，用频率估计概率，记这4个零件中来自甲工厂的个数为，求的分布列和数学期望. 0 1 2 3 4 6．某工厂制造甲、乙、丙三件产品，制造过程必须先后经过两道工序.当第一道工序完成并合格后方可进入第二道工序，两道工序过程相互独立.根据该厂现有的技术水平，经过第一道工序后，甲、乙、丙三件合格的概率依次为，，经过第二道工序后，甲、乙、丙三件产品合格的概率依次为，，. (1)求第一道工序完成后至少有一件产品合格的概率； (2)若前后两道工序均合格的产品为合格产品，记合格产品的个数为，求随机变量的分布列与数学期望. 0 1 2 3 P 题型八：求超几何分布分布列及期望与方差 1．袋中有8个白球，2个黑球，这些球除颜色外完全相同，从中随机地连续抽取3次，每次取1个球，求； (1)有放回抽样时，取到黑球的次数X的分布列； (2)不放回抽样时，取到黑球的个数Y的分布列． X 0 1 2 3 P Y 0 1 2 P 2．台风是我国东部沿海地区夏秋季节常见的自然灾害，当台风来临之际，沿海居民点的居民必须提前进行疏散.某地有关部门为了解居民疏散所需时间，在当地随机抽取100处居民点进行疏散所需时间的调查，所得数据如下表： 疏散时间（最接近的时间，取整数）单位：小时 12 13 14 15 16 17 18 频率 0.04 0.05 0.25 0.35 0.18 0.10 0.03 (1)根据以上数据，视频率为概率，估计这一地区居民点疏散所需时间的均值和方差； (2)根据工作安排，需要在超过16小时的13个居民点中再抽取5个进行深入调查，从而寻求缩短疏散时间的办法.设为抽到的居民点中疏散时间为18小时的居民点数量，求的分布列. 0 1 2 3 3．某中学将举行趣味运动会．某班共有8名同学报名参加“四人五足”游戏，其中男同学4名，女同学4名．按照游戏规则，每班只能选4名同学参加这个游戏，因此要从这8名报名的同学中随机选出4名． (1)求选出的4名同学中有男生的概率； (2)记选出的4名同学中女同学的人数为X，求随机变量X的分布列及数学期望． 4．某校准备从报名的7位教师（其中男教师4人，女教师3人）中选3人去边区支教． (1)设所选3人中女教师的人数为X，写出X的分布列，求X的数学期望及方差； (2)若选派的三人依次到甲、乙、丙三个地方支教，求甲地是男教师的情况下，乙地为女教师的概率． 所以X的分布列为： X 0 1 2 3 P 5．设甲盒有3个白球，2个红球，乙盒有2个白球，3个红球，现从甲盒任取2球放入乙盒，再从乙盒任取1球． (1)记随机变量X表示从甲盒取出的红球个数，求X的分布列； (2)求从乙盒取出的1个球为红球的概率． X 0 1 2 P 6．某药厂研制了治疗某种疾病的新药，该药的治愈率为p，现用该药给10位病人治疗，记被治愈的人数为X． (1)若，从这10人中随机选2人进行用药访谈，求被选中的治愈人数Y的分布列； (2)已知，集合{概率最大}，且A中仅有两个元素，求． Y 0 1 2 P 题型九：线性回归方程所有考点 1．近些年来，短视频社交软件日益受到追捧，用户可以通过软件选择歌曲，拍摄音乐短视频，创作自己的作品.某用户对自己发布的视频个数x与收到的点赞个数之和y之间的关系进行了分析研究，得到如下数据： x 3 4 5 6 7 y 45 50 60 65 70 (1)计算x，y的相关系数r（计算结果精确到0.01），并判断是否可以认为发布的视频个数与收到的点赞数之和的相关性很强； (2)请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程. 参考公式：，，.参考数据：，. 2．某医科大学实习小组为研究实习地昼夜温差与感冒人数之间的关系，分别到当地气象部门和某医院抄录了1月至3月每月5日、20日的昼夜温差情况与因感冒而就诊的人数，得到如表资料： 日期 1月5日 1月20日 2月5日 2月20日 3月5日 3月20日 昼夜温差x（℃） 10 11 13 12 8 6 就诊人数y（个） 22 25 29 26 16 12 该小组确定的研究方案是：先从这6组数据中随机选取4组数据求线性回归方程，再用剩余的2组数据进行检验． 参考公式：，． (1)求剩余的2组数据都是20日的概率； (2)若选取的是1月20日、2月5日、2月20日、3月5日这4组数据． ①请根据这4组数据，求出y关于x的线性回归方程； ②若某日的昼夜温差为7℃，请预测当日就诊人数．（结果保留整数）． 3．为了更好的开展高中数学综合实践课的教学，结合高中数学与物理紧密联系的特点，某高级中学数学组与物理组进行联合教学实践活动，在一次实践活动中，某班学生分成五组进行物理实验(研究某物理现象中两个物理量､之间的关系)，得到五组数据如下表所示 组号 1 2 3 4 5 物理量 12 11 13 10 9 物理量 27 25 29 24 20 （1）为了减少一定的运算量，同学们决定用前三组的数据研究两个物理量､的线性回归方程，并由该回归方程预估第4，5组物理量的值，若产生的残差的绝对值不超过1，则认为本次实践活动成功，请问本次实践活动是否成功？并说明理由； （2）老师打算从这五组学生中随机选取两组学生进行校本科研课题《数学与物理深度融合研究》的问卷调查，记组号差的绝对值为，求随机事件“”发生的概率. 参考公式：，. 4．某地区2021年清明节前后3天每天下雨的概率为50%，通过模拟实验的方法来计算该地区这3天中恰好有2天下雨的概率．用随机数x（，且）表示是否下雨：当时表示该地区下雨，当时，表示该地区不下雨，从随机数表中随机取得20组数如下： 332  714  740  945  593  468  491  272  073  445 992  772  951  431  169  332  435  027  898  719 （1）求出m的值，并根据上述数表求出该地区清明节前后3天中恰好有2天下雨的概率； （2）从2012年到2020年该地区清明节当天降雨量（单位：）如表：（其中降雨量为0表示没有下雨）． 时间 2012年 2013年 2014年 2015年 2016年 2017年 2018年 2019年 2020年 年份t 1 2 3 4 5 6 7 8 9 降雨量y 29 28 26 27 25 23 24 22 21 经研究表明：从2012年至2021年，该地区清明节有降雨的年份的降雨量y与年份t成线性回归，求回归直线方程，并计算如果该地区2021年（）清明节有降雨的话，降雨量为多少？（精确到0.01） 参考公式：，． 参考数据：，，，． 5．有一种速度叫中国速度，有一种骄傲叫中国高铁.中国高铁经过十几年的发展，取得了举世瞩目的成就，使我国完成了从较落后向先进铁路国的跨越式转变.中国的高铁技术不但越来越成熟，而且还走向国外，帮助不少国家修建了高铁.高铁可以说是中国一张行走的名片.截至到2020年，中国高铁运营里程已经达到3.9万公里.下表是2013年至2020年中国高铁每年的运营里程统计表，它反映了中国高铁近几年的飞速发展： 年份 2013 2014 2015 2016 2017 2018 2019 2020 年份代码 1 2 3 4 5 6 7 8 运营里程万公里 1.3 1.6 1.9 2.2 2.5 2.9 3.5 3.9 根据以上数据，回答下面问题. （1）甲同学用曲线y=bx+a来拟合，并算得相关系数r1=0.97，乙同学用曲线y=cedx来拟合，并算得转化为线性回归方程所对应的相关系数r2=0.99，试问哪一个更适合作为y关于x的回归方程类型，并说明理由； （2）根据（1）的判断结果及表中数据，求y关于x的回归方程(系数精确到0.01). 参考公式：用最小二乘法求线性回归方程的系数公式：；参考数据：令 6．某机构为了解某大学中男生的体重单位：)与身高x(单位：)是否存在较好的线性关系，该机构搜集了7位该校男生的数据，得到如下表格： 序号 1 2 3 4 5 6 7 身高() 161 175 169 178 173 168 180 体重() 52 62 54 70 66 57 73 根据表中数据计算得到关于的线性同归方程为 （1）求 （2）已知且当时，回归方程的拟合效果非常好；当时，回归方程的拟合效果良好.试问该线性回归方程的拟合效果是非常好还是良好？说明你的理由.参考数据： 题型十：非线性回归的处理技巧 1．某人新房刚装修完，为了监测房屋内空气质量的情况，每天在固定的时间测一次甲醛浓度（单位：mg/m3），连续测量了10天，所得数据绘制成散点图如下：用表示第天测得的甲醛浓度，令，经计算得，，. (1)由散点图可知，与可用指数型回归模型进行拟合，请利用所给条件求出回归方程；（系数精确到0.01） (2)已知房屋内空气中的甲醛浓度的安全范围是低于0.08 mg/m3，则根据（1）中所得回归模型，该新房装修完第几天开始达到此标准？（参考数据：） 附：，. 2．肥胖不仅影响形体美，而且给生活带来不便，此外还有关节软组织损伤､心脏病､糖尿病､脂肪肝､痛风等危害.小王通过运动和节食进行减肥，并将时间x（单位：周）和体重（单位：）记录制作如下统计表： 1 2 3 4 6 8 90.1 87.6 87.2 86.2 84.2 84.3 (1)若和满足经验回归模型，求； (2)求该模型的决定系数，并判断该经验回归方程是否有价值（认为有价值）； (3)当某组数据残差的绝对值不超过0.3时，称该组数据为“身材有效管理数据”，现从这六组数据中任意抽取两组，设抽取的“身材有效管理数据”的个数为，求的分布列和期望. 附：经验回归方程中，， 参考数据：. 1 2 3 4 6 8 90.1 87.6 87.2 86.2 84.2 84.3 90 88 86.8 86 84.8 84 0.01 0.16 0.16 0.04 0.36 0.09 12.25 1 0.36 0.16 5.76 5.29 0 1 2 3．某研发团队实现了从单点光谱仪到超光谱成像芯片的跨越.为制定下一年的研发投入计划，该研发团队需要了解年研发资金投入量（单位：亿元）对年销售额（单位：亿元）的影响.结合近12年的年研发资金投入量和年销售额，该团队建立了两个函数模型：①，②，其中均为常数，为自然对数的底数.经对历史数据的初步处理，得到散点图如图.令，计算得到如下数据.    20 66 770 200 14 460 4.20 3125000 0.308 21500 (1)设变量和变量的样本相关系数为，变量和变量的样本相关系数为，请从样本相关系数的角度，选择一个与相关性较强的模型. (2)（i）根据（1）的选择及表中数据，建立关于的经验回归方程（系数精确到0.01）； （ii）若下一年销售额需达到80亿元，预测下一年的研发资金投入量. 附：；样本相关系数；经验回归方程，其中. 4．放行准点率是衡量机场运行效率和服务质量的重要指标之一.某机场自2012年起采取相关策略优化各个服务环节，运行效率不断提升.以下是根据近10年年份数与该机场飞往A地航班放行准点率（）（单位：百分比）的统计数据所作的散点图及经过初步处理后得到的一些统计量的值. 2017.5 80.4 1.5 40703145.0 1621254.2 27.7 1226.8 其中，. (1)根据散点图判断，与哪一个适宜作为该机场飞往A地航班放行准点率y关于年份数x的经验回归方程类型（给出判断即可，不必说明理由），并根据表中数据建立经验回归方程，由此预测2023年该机场飞往A地的航班放行准点率； (2)已知2023年该机场飞往A地､B地和其他地区的航班比例分别为0.2､0.2和0.6.若以（1）中的预测值作为2023年该机场飞往A地航班放行准点率的估计值，且2023年该机场飞往B地及其他地区（不包含A､B两地）航班放行准点率的估计值分别为和，试解决以下问题： （i）现从2023年在该机场起飞的航班中随机抽取一个，求该航班准点放行的概率； （ii）若2023年某航班在该机场准点放行，判断该航班飞往A地的概率.（保留3位小数） 附：对于一组数据，，…，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为， 参考数据：，，. 5．某公司为了解年研发资金（单位：亿元）对年产值（单位：亿元）的影响，对公司近8年的年研发资金和年产值（，）的数据对比分析中，选用了两个回归模型，并利用最小二乘法求得相应的关于的经验回归方程： ①；②． (1)求的值； (2)已知①中的残差平方和，②中的残差平方和，请根据决定系数选择拟合效果更好的经验回归方程，并利用该经验回归方程预测年研发资金为20亿元时的年产值． 参考数据：，，，． 参考公式；刻画回归模型拟合效果的决定系数． 6．广东省深圳市是全国七大电动车生产基地之一，拥有完整的产业链和突出的设计优势.某电动车公司为了抢占更多的市场份额，计划加大广告投入.该公司近5年的年广告费（单位：百万元）和年销售量（单位：百万辆）关系如图所示： 令，数据经过初步处理得： 44 4.8 10 40.3 1.612 19.5 8.06 现有①和②两种方案作为年销售量关于年广告费的回归分析模型，其中，，，均为常数. (1)请从相关系数的角度，分析哪一个模型拟合程度更好？（不能整除的相关系数保留2位小数） (2)根据（1）的分析选取拟合程度更好的回归分析模型及表中数据，求出关于的回归方程，并预测年广告费为6（百万元）时，产品的年销售量是多少？ 附：①相关系数，回归直线中公式分别为，， ②参考数据：，，，. 题型十一：独立性检验（列联表） 1．双十一购物狂欢节，是指每年11月11日的网络促销日，源于淘宝商城（天猫）2009年11月11日举办的网络促销活动，已成为中国电子商务行业的年度盛事．某生产商为了了解其生产的产品在不同电商平台的销售情况，统计了A，B两个电商平台各十个网络销售店铺的销售数据： A电商平台 64 71 81 70 79 69 82 73 75 60 B电商平台 60 80 97 77 96 87 76 83 94 96 (1)填写下面关于店铺个数的2×2列联表，并根据列联表判断是否有的把握认为销售量与电商平台有关； 销售量 销售量 总计 A电商平台 B电商平台 总计 (2)生产商要从这20个网络销售店铺销售量前五名的店铺中，随机抽取三个店铺进行销售返利，其中恰好有两个店铺的销售量在95以上的概率是多少？ 附：，其中． P k 销售量 销售量 总计 A电商平台 2 8 10 B电商平台 6 4 10 总计 8 12 20 2．中国共产党第二十届中央委员会第三次全体会议，于2024年7月15日至18日在北京举行.全会提出，中国式现代化是物质文明和精神文明相协调的现代化.必须增强文化自信，发展社会主义先进文化，弘扬革命文化，传承中华优秀传统文化，加快适应信息技术迅猛发展新形势，培育形成规模宏大的优秀文化人才队伍，激发全民族文化创新创造活力.为此，某学校举办了“传承中华优秀传统文化”宣传活动，学校从全体学生中抽取了100人对该宣传活动的了解情况进行问卷调查，统计结果如下： 男 女 合计 了解 20 不了解 20 40 合计 (1)将列联表补充完整； (2)根据的独立性检验，能否认为该校学生对该宣传活动的了解情况与性别有关联？ (3)若把上表中的频率视作概率，现从了解该活动的学生中随机抽取3人参加传统文化知识竞赛.记抽取的3人中女生人数为，求随机变量的分布列和数学期望. 附：，其中 0.100 0.050 0.010 0.001 2.706 3.841 6.635 10.828 男 女 合计 了解 40 20 60 不了解 20 20 40 合计 60 40 100 0 1 2 3 3．某大学生创客实践基地，甲、乙两个团队同时生产创新产品，现对其生产的产品进行质量检验． (1)为测试其生产水准，从甲、乙生产的产品中各抽检15个样本，评价结果如图所示． 甲 乙 总和 合格 不合格 总和 15 15 30 0.100 0.050 0.010 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 现将“一、二、三等”视为产品质量合格，其余为产品质量不合格，请完善列联表，开说明根据小概率值的独立性检验，能否认为“产品质量与生产团队有关”； (2)将甲，乙生产的产品各自进行包装，每5个产品包装为一袋，现从中抽取一袋检测（假定抽取的这袋产品来自甲生产的概率为，来自乙生产的概率为，检测结果显示这袋产品中恰有4件合格品，求该袋产品由甲团队生产的概率．（以（1）中各自产品的合格频率代替各自产品的合格概率） 甲 乙 总和 合格 12 6 18 不合格 3 9 12 总和 15 15 30 4．为提高学生的身体素质，某校决定开展一次学生自愿报名参加的体能训练活动.已知该校学生人数为，参加体能训练活动的男生人数为，不参加体能训练活动的男生人数为，参加体能训练活动的女生人数为. (1)若该校有1200名学生，根据题意完成如图所示的列联表，并依据小概率值的独立性检验，分析学生参加体能训练活动的意愿与性别是否有关联； 参加 不参加 合计 男生 女生 (2)按是否参加体能训练活动，采用按比例分配的分层随机抽样方法从该校男生中抽取14人，再从这14人中随机抽取2人，设这2人中参加体能训练活动的人数为，求的分布列和数学期望. 参考公式：，其中. 0.1 0.05 0.01 0.001 2.706 3.841 6.635 10.828 参加 不参加 合计 男生 400 300 700 女生 300 200 500 0 1 2 5．某品牌方便面每袋中都随机装入一张卡片卡片有、、三种，规定：如果集齐、、卡片各一张，便可获得一份奖品． (1)已知该品牌方便面有两种口味，为了了解这两种口味方便面中卡片所占比例情况，小明收集了以下调查数据： 口味 口味 合计 卡片 非卡片 合计 依据小概率值的独立性检验，分析以上数据，能否据此推断“该品牌方便面中卡片所占比例与方便面口味有关”？ (2)根据中华人民共和国反不正当竞争法，经营者举办有奖销售，应当向购买者明示奖品种类、中奖概率、奖品金额或者奖品种类、兑奖时间和方式经小明查询，该方便面中卡片、卡片和卡片的比例分别为，，若小明一次购买袋该方便面． ①求小明中奖的概率 ②若小明未中奖，求小明未获得卡的概率． 附：，， 6．2024年4月25日，第18届北京国际汽车展览会在中国国际展览中心开幕，本届展会以“新时代新汽车”为主题，在展览会上国内新能源车引得了国内外车友的关注.为了解人们的买车意向，在车展现场随机调查了50名男观众和50名女观众，已知男观众中有40人偏向燃油车，女观众中有20人偏向燃油车，剩余被调查的观众则偏向新能源车. (1)根据已知条件，填写下列列联表，并根据小概率值的独立性检验，判断男观众和女观众买车意向的偏向情况是否有差异； 偏向燃油车 偏向新能源车 男观众 女观众 (2)现按比例用分层随机抽样的方法从被调查的偏向燃油车的观众中抽取9人，再从这9人中随机抽取4人，记表示这4人中女观众的人数，求的分布列和数学期望. 附：. 0.1 0.05 0.01 0.001 2.706 3.841 6.635 10.828 偏向燃油车 偏向新能源车 总计 男观众 40 10 50 女观众 20 30 50 总计 60 40 100 0 1 2 3 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 8 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 8 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第四章 概率与统计（压轴题专练） 题型一：条件概率的求算 1．某次跳水比赛甲、乙、丙、丁、戊5名跳水运动员进入跳水比赛决赛，现采用抽签法决定决赛跳水顺序，在“运动员甲不是第一个出场，运动员乙不是最后一个出场”的前提下，“运动员丙第一个出场”的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先甲最后一个出场或甲在中间出场分类讨论求出方法数，再求出此时运动员丙第一个出场的方法数，然后由概率公式计算． 【详解】“运动员甲不是第一个出场，运动员乙不是最后一个出场”可分为甲最后一个出场或甲在中间出场， 方法数为， 在“运动员甲不是第一个出场，运动员乙不是最后一个出场”的前提下，“运动员丙第一个出场”， 即“运动员丙第一个出场，运动员乙不是最后一个出场”，方法数为， 因此所求概率为． 故选：A． 2．甲、乙两名射击手组队完成一项任务，需要对同一目标各射击一次，已知两人的命中率分别为和0.6，若已知目标已被击中，且是被甲击中的概率为0.8，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】运用对立事件的概率公式求出，再结合条件概率计算即可. 【详解】记“甲击中”为事件，“乙击中”为事件，“目标被击中”为事件， 则， 已知目标已被击中，且是被甲击中的概率为 ，解得． 故选：C. 3．《易经》是中国传统文化中的精髓，下图是易经后天八卦图（含乾、坤、巽、震、坎、离、艮、兑八卦），每一卦由三根线组成（表示一根阳线，表示一根阴线），从八卦中任取两卦，记事件“两卦的六根线中恰有三根阳线”，“至少有一卦恰有两根阳线”，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据条件概率计算公式求得正确答案. 【详解】由八卦图可知，八卦中全为阳线和全为阴线的卦各有一个， 两阴一阳和两阳一阴的卦各有三个， 所以， 所以. 故选：C 4．在“最强大脑”的双英对抗赛中，甲、乙两人同时挑战100秒记忆力项目，根据以往甲、乙两人同场对抗挑战该项目的记录统计分析，在对抗挑战中甲挑战成功的概率，乙挑战成功的概是，甲、乙均未挑战成功的概率，则在甲挑战成功的条件下，乙挑战成功的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意由概率的加法公式可得，再由条件概率公式计算即可得出结果. 【详解】记甲挑战成功为事件A，乙挑战成功为事件B， 则，，， 由概率加法公式知， 可得， 则在甲挑战成功的条件下，乙挑战成功的概率为． 故选：B． 5．在某次流感疫情爆发期间，A，B，C三个地区均爆发了流感，经调查统计A，B，C地区分别有的人患过流感，且A，B，C三个地区的人数的比为．现从这三个地区中随机选取一人，则此人患过流感的概率为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】记事件D：选取的这个人患了流感，记事件E：此人来自A地区，记事件F：此人来自B地区，记事件G：此人来自C地区，则，且彼此互斥，然后根据条件依次得到、、、、、的值，然后根据全概率公式公式求解即可. 【详解】记事件D：选取的这个人患了流感，记事件E：此人来自A地区， 记事件F：此人来自B地区，记事件G：此人来自C地区， 则，且彼此互斥， 由题意可得，，， ，，， 由全概率公式可得 . 故选：A. 6．在某次游戏中，甲、乙分别用弓箭对准同一个弓箭靶，两人同时射箭．已知甲、乙中靶的概率分别为0.5，0.4，且两人是否中靶互不影响，若弓箭靶被射中，则只被甲射中的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意可知，求的是条件概率，根据条件概率的概率计算公式计算即可. 【详解】设事件“甲中靶”，“乙中靶”，“弓箭靶被射中”， 则，，所以，，． 所以． 所以． 故选：B． 题型二：利用贝叶斯公式求概率 1．某学校有两家餐厅，王同学第1天选择餐厅就餐的概率是，若第1天选择餐厅，则第2天选择餐厅的概率为；若第1天选择餐厅就餐，则第2天选择餐厅的概率为；已知王同学第2天是去餐厅就餐，则第1天去餐厅就餐的概率为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用互斥事件的概率加法公式、积事件的乘法公式进行计算求解. 【详解】设“王同学第i天去A餐厅就餐”，“王同学第i天去B餐厅就餐”，， 依题意，，，，则， 由有：， 因为，所以 ， 所以. 故选：B. 2．某校高三（1）班和（2）班各有40名同学，其中参加数学兴趣社团的学生分别有10人和8人，现从这两个班中随机抽取一名同学，若抽到的是参加数学兴趣社团的学生，则他来自高三（1）班的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设事件后根据题干得到，，，，由全概率公式求得，由乘法公式得到，由条件概率公式得到. 【详解】设事件为“抽到的学生来自高三（1）班”，事件为“抽到的学生来自高三（2）班”，事件为“抽到的学生参加数学兴趣社团”， 则，，，， 由全概率公式得， 由乘法公式得， 由条件概率公式得， 故选：B. 3．若某地区一种疾病的患病率是0.05，现有一种试剂可以检验被检者是否患病.已知该试剂的准确率为95%，即在被检验者患病的前提下用该试剂检测，有95%的可能呈现阳性；该试剂的误报率为0.5%，即在被检验者未患病的情况下用该试剂检测，有0.5%的可能会误报阳性.现随机抽取该地区的一个被检验者，已知检验结果呈现阳性，则此人患病的概率为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设出事件，利用条件概率和全概率公式得到，使用贝叶斯公式即可得解. 【详解】设检验结果呈现阳性为事件，此人患病为事件， ， ， 则. 故选：C 4．英国数学家贝叶斯在概率论研究方面成就显著，根据贝叶斯统计理论，随机事件A，B存在如下关系：.若某地区一种疾病的患病率是0.05，现有一种试剂可以检验被检者是否患病.已知该试剂的准确率为95%，即在被检验者患病的前提下用该试剂检测，有95%的可能呈现阳性；该试剂的误报率为0.5%，即在被检验者未患病的情况下用该试剂检测，有0.5%的可能会误报阳性.现随机抽取该地区的一个被检验者，已知检验结果呈现阳性，则此人患病的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设出事件，利用条件概率和全概率公式得到，使用贝叶斯公式得到答案. 【详解】设检验结果呈现阳性为事件，此人患病为事件， ， ， 则. 故选：C 5．假设甲袋中有3个白球和2个红球，乙袋中有2个白球和2个红球.现从甲袋中任取2个球放入乙袋，混匀后再从乙袋中任取2个球.已知从乙袋中取出的是2个白球，则从甲袋中取出的也是2个白球的概率为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，先分析求解设从甲中取出个球，其中白球的个数为个的事件为，事件的概率为，从乙中取出个球，其中白球的个数为2个的事件为，事件的概率为，再分别分析三种情况求解即可 【详解】设从甲中取出个球，其中白球的个数为个的事件为，事件的概率为，从乙中取出个球，其中白球的个数为2个的事件为，事件的概率为，由题意： ①，； ②，； ③，； 根据贝叶斯公式可得，从乙袋中取出的是2个白球，则从甲袋中取出的也是2个白球的概率为 故选：C 6．某单位选派一支代表队参加市里的辩论比赛，现有“初心”“使命”两支预备队.选哪支队是随机的，其中选“初心”队获胜的概率为0.8，选“使命”队获胜的概率为0.7，单位在比赛中获胜的条件下，选“使命”队参加比赛的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用条件概率公式、全概率公式列式计算得解. 【详解】依题意，记选“初心”队为事件，选“使命”队为事件，该单位获胜为事件， 则, 因此， 所以选“使命”队参加比赛的概率. 故选：D 题型三：服从二项分布的随机变量概率最大问题 1．已知，记使取最大值时的的值为．把这9个数字排成一列，则的左、右两侧都有数字，且与相邻的数字都比大的排列种数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二项分布的概率公式得到，即可求出取最大值时的值即，再计算排列数即可. 【详解】因为，则（且）， 所以， 当时，，当时，， 所以时，最大，所以， 首先将排到中间个位置中的一个位置， 再从、、、、、六个数字中选两个数字排在的左右， 其余数字全排列即可，所以符合条件的排列种数为． 故选：C． 2．某学校在假期组织30位学生前往北京､上海､广州､深圳､杭州､苏州､成都､重庆8个城市参加研学活动.每个学生可自由选择8个城市中的任意1个（不要求每个城市必须要有学生选择）.若每位学生选择去每个城市的概率都相等且互不影响，则有（    ）个学生选择前往北京或上海研学的概率最大. A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】B 【分析】设有个学生选择前往北京或上海研学，由题意可得服从二项分布，再根据二项分布的概率公式结合不等式组法求解即可. 【详解】设有个学生选择前往北京或上海研学， 由题意可得每个学生选择前往北京或上海研学的概率， 则， 设有个学生选择前往北京或上海研学的概率最大， 则， 即， 即， 解得， 又，所以， 所以有个学生选择前往北京或上海研学的概率最大. 故选：B. 3．如图是一块高尔顿板的示意图，在一块木板上钉着若干排相互平行但相互错开的圆柱形小木钉，小木钉之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃．将小球从顶端放入，小球下落的过程中，每次碰到小木钉后都等可能地向左或向右落下，最后落入底部的格子中．记格子从左到右的编号分别为，用表示小球最后落入格子的号码，若，则（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【分析】由题意，服从二项分布，，代入公式可得结果． 【详解】每下落一层向左或向右落下等可能，概率均为， 每一层均要乘以，共做10次选择， 故服从二项分布，， 又， 令最大， 则， 即, 解得，又因为，所以, 所以， ，且． 故选：B． 4．已知随机变量，若使的值最大，则（    ）． A．6或7 B．7或8 C．5或6 D．7 【答案】A 【分析】根据题意，利用二项分布的性质，以及独立重复试验的概率计算公式，结合，求得的范围，进而得到答案. 【详解】因为随机变量，可得，其中， 由，解得， 当时，可得，所以， 当时，可得， 所以和的值最大. 故选：A． 5．某综艺节目中，有一个盲拧魔方游戏，就是玩家先观察魔方状态并进行记忆，记住后蒙住眼睛快速还原魔方．为了解某市盲拧魔方爱好者的水平状况，某兴趣小组在全市范围内随机抽取了100名盲拧魔方爱好者进行调查，得到的情况如表所示： 用时/秒 男性人数 17 21 13 9 女性人数 8 10 16 6 以这100名盲拧魔方爱好者用时不超过10秒的频率，代替全市所有盲拧魔方爱好者用时不超过10秒的概率，每位盲拧魔方爱好者用时是否超过10秒相互独立．若该兴趣小组在全市范围内再随机抽取20名盲拧魔方爱好者进行测试，其中用时不超过10秒的人数最有可能（即概率最大）是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】求出1名盲拧魔方爱好者用时不超过10秒的概率，确定，即可表示出，列不等式组求最大时k的值，即可得答案. 【详解】根据题意得，1名盲拧魔方爱好者用时不超过10秒的概率为， 设随机抽取的20名盲拧魔方爱好者中用时不超过10秒的人数为， 则，其中， 时，； 显然，即不可能为最大值， 当时，由得， 化简得，解得， 又这20名盲拧魔方爱好者中用时不超过10秒的人数最有可能是5， 故选：C． 6．经检测一批产品中每件产品的合格率为，现从这批产品中任取5件，设取得合格产品的件数为，则以下选项正确的是（    ） A．的可能取值为1，2，3，4，5 B． C．的概率最大 D．服从超几何分布 【答案】C 【分析】的可能取值包括0可判断A；可判断B；随机变量，，若取得最大值时,则有，，求出的值可判断C；服从二项分布可判断D. 【详解】对于A，的可能取值为0，1，2，3，4，5，故A错误； 对于B，，故B错误； 对于D，由题意，随机变量，故D不正确； 对于C，随机变量，， 若取得最大值时，则: ， 则，解得，则． 故的概率最大，所以C正确； 故选：C. 题型四：利用正态分布3σ原则求概率 1．若随机变量，则下列选项错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】运用正态分布的概率、期望、方差性质，结合期望、方差结论逐个验证即可. 【详解】对于A选项，变量，这里，所以，A选项正确. 对于B选项，因为正态分布图象关于对称，. 根据正态分布的对称性，，B选项正确. 对于C选项，若，则.对于， 根据期望的性质.所以，C选项正确. 对于D选项，若，则，对于， 根据方差的性质.所以， D选项错误. 故选：D. 2．已知随机变量，，那么的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据已知条件得出，且有，进而根据对称性求得即可. 【详解】已知随机变量，， 则，， 根据正态密度曲线的对称性得出 故选：A. 3．设，这两个正态分布密度曲线如图所示，若，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】抓住平均数和标准差这两个关键量，结合正态曲线的图形特征分析即可． 【详解】由题可知两曲线分别关于对称，的分布曲线“高瘦”，的分布曲线“矮胖”， 所以由图可知，，A错误； ，故的曲线关于对称，且与的分布曲线一样“矮胖”，故，B错误； 因为，所以，C错误； ，D正确． 故选：D. 4．某市高二年级男生的身高（单位：cm）近似服从正态分布，女生的身高单位：近似服从正态分布，则下列说法正确的是（    ） A．男生身高高于185cm的概率超过 B．女生身高低于161cm的概率不超过 C．女生身高在的概率为 D．女生身高在的人数和男生身高在的人数一样多 【答案】B 【分析】利用正态分布的计算公式结合对称性逐项判断即可. 【详解】，A错误； ，B正确； ，C错误； 女生身高在和男生身高在的概率一样，人数未知，D错误． 故选：B 5．已知随机变量，且，则的最小值为（    ） A．5 B． C． D． 【答案】D 【分析】根据正态分布的对称性求得，利用基本不等式求得正确答案. 【详解】根据正态分布的知识得，则， ， 当且仅当，即时取等. 故选：D 6．已知，则（    ） （注：若随机变量，则） A．0.1587 B．0.8413 C．1 D．0.4206 【答案】C 【分析】根据正态分布的性质及所给条件求解即可. 【详解】因为， 所以， 因为， 所以， 所以， 故选：C 题型五 ： 独立事件的乘法公式 1．下列命题正确的是（    ） A．设A，B是两个随机事件，“A与是互斥事件”是“与互为对立事件”的充分不必要条件 B．若，则事件A，B相互独立与A，B互斥一定不能同时成立 C．若三个事件A，B，C两两独立，则满足 D．若事件A，B相互独立，，则 【答案】BD 【分析】通过运用互斥事件、独立事件以及充分条件和必要条件，即可解答. 【详解】A选项：互斥事件是指两个事件不可能同时发生，而对立事件是指两个互斥事件中必有一个发生，互斥事件是对立事件的必要条件，但对立事件是互斥事件的充分条件，所以“A与是互斥事件”是“与互为对立事件”的必要不充分条件，故A选项错误； B选项：若事件A，B相互独立与A，B互斥同时成立，那么若事件A，B相互独立，则；若事件A，B互斥，则，两者矛盾，故B选项正确； C选项：考虑投掷两个骰子，记事件为第一个骰子的点数为奇数，事件为第二个骰子点数为奇数，事件为两个骰子的点数之和为奇数，于是有，,故C选项错误； D选项：由题意， 又因为事件,相互独立，所以故D选项正确； 故选：BD. 2．甲、乙两个不透明的袋子中分别装有两种颜色不同但是大小相同的小球，甲袋中装有5个红球和5个绿球；乙袋中装有4个红球和6个绿球.先从甲袋中随机摸出一个小球放入乙袋中，再从乙袋中随机摸出一个小球，记表示事件“从甲袋摸出的是红球”，表示事件“从甲袋摸出的是绿球”，记表示事件“从乙袋摸出的是红球”，表示事件“从乙袋摸出的是绿球”.下列说法正确的是（   ） A．是互斥事件 B．是独立事件 C． D． 【答案】ACD 【分析】根据互斥事件的定义可判断A；求出是否相等可判断B；计算出可判断C；计算出可判断D. 【详解】对于A，依题意，因为每次只摸出一个球，， 所以，是互斥事件，故A正确； 对于B，，， 则， 所以，故B错误； 对于C，，故C正确； 对于D，，故D正确. 故选：ACD. 3．某校进行一项问卷调查，为了调动学生参与的积极性，凡参与者均有机会获得奖品.学校设置了3个不同颜色的抽奖箱，每个箱子中的小球质地均匀，大小相同，其中红色箱子放有2个红球，2个黄球，2个绿球，黄色箱子放有2个黄球，1个绿球，绿色箱子放有1个黄球，2个绿球.参与者先从红色箱子中随机抽取1个小球，将其放入与小球颜色相同的箱子中，再从放入小球的箱子中随机抽取1个小球，如此重复，抽取3个小球，抽奖结束.若抽取的3个小球颜色全不相同为一等奖，3个小球颜色全部相同为二等奖，其他情况没有奖品.已知甲同学参与了问卷调查，则（    ） A．甲第一次取到红球的条件下，获得一等奖的概率为 B．甲第一次取到黄球的条件下，获得二等奖的概率为 C．甲获奖的条件下，第一次取到绿球的概率为 D．甲第一次取球取到红球获奖的概率最大 【答案】ABC 【分析】设分别表示第一次抽取到的是红球，黄球，绿球，分别表示获得一等奖，二等奖，根据事件的关系与条件概率公式逐项求解即可得结论. 【详解】设分别表示第一次抽取到的是红球，黄球，绿球， 分别表示获得一等奖，二等奖， 对于，所以A正确； 对于，所以B正确； 对于C，设甲获奖为事件，甲获得一等奖的概率为 甲获得二等奖的概率为，所以， 甲第一次取到绿球且获奖的概率为， 所以甲获奖的条件下，第一次取到绿球的概率为，故C正确； 对于D，甲第一次取球取到红球获奖的概率为， 甲第一次取球取到黄球获奖的概率为， 甲第一次取球取到绿球获奖的概率为， 则甲第一次取球取到绿球或者黄球获奖的概率最大，故D错误. 故选：ABC. 4．某公司计划招聘一名技术人员，招聘方式如下：应聘者从公司准备的6道题目中依次选择任意2道题解答，2道题全答对就录用，否则不予录用．已知应聘者甲会做其中的4道题，记事件为“第一题答对”，事件为“第二题答错”，事件为“甲被录用”，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】由互斥事件的加法公式可得A错误，利用独立事件的乘法公式可得B正确，C正错误；再由条件概率的计算公式可求得D正确. 【详解】根据题意易知，A错误； 由独立事件的乘法公式可得，B正确； 易知，C错误； 由题可知，而, 所以正确． 故选：BD 5．已知为随机事件，，则下列说法正确的有（    ） A．若相互独立，则 B．若相互独立，则 C．若两两独立，则 D．若互斥，则 【答案】AD 【分析】由独立事件的乘法公式即可判断A；由事件的和运算即可判断B；由三个事件两两独立，不能判断三个事件是否独立，即可判断C；由互斥事件及条件概率公式即可判断D． 【详解】对于A，若相互独立，则，故A正确； 对于B，若相互独立，则，故B错误； 对于C，若两两独立，由独立事件的乘法公式得，，， ，无法确定，故C错误； 对于D，若互斥，则，， 两边同时除以得，，即，故D正确； 故选：AD． 6．随机事件满足，则下列说法正确的是（    ） A．事件互不独立 B． C． D． 【答案】ACD 【分析】利用条件概率、独立事件、对立事件、互斥事件的概率公式，结合概率的性质及独立事件的定义逐项判断可得. 【详解】因为，所以， 又，所以， 所以，而， 所以，所以事件互不独立，故A正确； ，故B错误； ，故C正确； ， ，所以，故D正确. 故选：ACD 题型六：利用全概率公式求概率 1．南昌二中一直有个优秀的传统“毕业学习经验分享会”：每届高考结束后，各班推荐优秀学生代表与下一届学生进行学习经验分享．2024届高三年级班号依次为0，1，2，…，27，高三0班推荐2名男生和2名女生，其余各班均推荐1名男生和1名女生参加分享会；第一场分享会的4名学生嘉宾是从高三0班的优秀学生代表中选出的2名和高三1班的2名优秀学生代表共同形成，第二场分享会的4名学生嘉宾是从上一场4名嘉宾中选出的2名和高三2班的2名优秀学生代表共同形成，…，按照这样的方式，依次进行到第二十七场分享会． (1)求在第一场分享会学生嘉宾中有2名男生的概率； (2)求在第二场分享会学生嘉宾中有2名男生的概率． 【答案】(1)(2) 【分析】（1）设出事件，第一场分享会需从高三0班推荐2名男生中选1人，2名女生中选1人，从而利用组合知识得到概率； （2）分三种情况，利用全概率公式进行求解. 【详解】（1）设第场分享会学生嘉宾中有1名男生为事件，有2名男生为事件，有3名男生为事件， 第一场分享会学生嘉宾中有2名男生，则需从高三0班推荐2名男生中选1人，2名女生中选1人， 则； （2）在第二场分享会学生嘉宾中有2名男生，分三种情况， 第一场分享会有1男3女，2男2女和3男1女， ． 2．某学校有，两家餐厅，王同学开学第1天（9月1日）午餐时去餐厅用餐的概率是.如果第1天去餐厅，那么第2天继续去餐厅的概率为；如果第1天去餐厅，那么第2天去餐厅的概率为，如此往复. (1)计算王同学第2天去餐厅用餐的概率. (2)记王同学第天去餐厅用餐概率为，求； (3)求九月（30天）王同学去餐厅用餐的概率大于去餐厅用餐概率的天数. 【答案】(1)(2)(3)1天 【分析】（1）设表示第1天去餐厅，表示第2天去餐厅，利用全概率公式计算可得； （2）设表示第天去餐厅用餐，则，由全概率公式可得，即可得到，从而求出； （3）依题意只需，从而得到，再结合指数函数的性质计算可得. 【详解】（1）设表示第1天去餐厅，表示第2天去餐厅，则表示第1天去餐厅， 根据题意得，，，，， 所以. （2）设表示第天去餐厅用餐，则，， 根据题意得，，， 由全概率公式得，， 即， 整理得，，又， 所以是以为首项，为公比的等比数列， （3）由题意，只需，即， 则，即， 显然必为奇数，为偶数时不成立， 当时，考虑的解， 当时，显然成立，当时，，不成立， 由单调递减得，时，也不成立， 综上，该同学只有1天去餐厅用餐的概率大于去餐厅用餐概率. 3．为抽查车辆文明驾驶情况，在某路口设有高清摄像头，对经过的车辆进行抓拍．抓拍系统设定：经过该路口的每一辆车被抓拍的概率均为 但为保证抽查量，设定前2 辆车经过该路口都没有被抓拍时，第 3辆车必被抓拍．假设汽车依次通过该路口． (1)从某一时刻开始，记第n辆车经过该路口时被抓拍的概率为 求 (2)当任意连续有2辆车经过该路口时， 表示 2 辆车均未被抓拍的概率， 表示第1辆车未被抓拍，且第2 辆车被抓拍的概率， 表示第1辆车被抓拍，且第2辆车未被抓拍的概率， 表示2 辆车均被抓拍的概率． ①试用 和 表示 ②求 的值． 【答案】(1)(2) 【分析】（1）根据全概率公式即可求解. （2）根据全概率公式即可列出关系式，联立即可求解， 【详解】（1）记事件“第辆车经过路口时被抓拍”为 则 （2）①由已知对应事件“2两辆车均未被抓拍”的前一状态只能为所对应事件，故，同样可得 ②由全概率公式可得又， 解得 4．某运动队为评估短跑运动员在接力赛中的作用，对运动员进行数据分析，运动员甲在接力赛中跑第一棒、第二棒、第三棒、第四棒四个位置，统计以往多场比赛，其出场率与出场时比赛获胜率如下表所示. 比赛位置 第一棒 第二棒 第三棒 第四棒 出场率 0.2 0.3 0.3 0.2 比赛胜率 0.6 0.8 0.7 0.7 (1)当甲出场比赛时，求该运动队获胜的概率； (2)当甲出场比赛时，在该运动队获胜的条件下，求甲跑第四棒的概率. 【答案】(1)0.71(2) 【分析】（1）根据全概率公式即得出答案. （2）根据条件概率的计算公式即可求解. 【详解】（1）记“甲跑第一棒”为事件，“甲跑第二棒”为事件，“甲跑第三棒”为事件， “甲跑第四棒”为事件，“运动队获胜”为事件. 则 . （2）. 5．采购员要购买10个一包的电器元件．他的采购方法是：从一包中随机抽查3个，如果这3个元件都是好的，他才买下这一包．假定含有4个次品的包数占，而其余包中各含1个次品．求： (1)采购员拒绝购买的概率； (2)在采购员拒绝购买的条件下，抽中的一包中含有4个次品的概率． 【答案】(1)(2) 【分析】（1）设“取到的一包含4个次品”，“取到的一包含1个次品”，“采购员拒绝购买”，求出，，，，根据全概率公式求出； （2）求出. 【详解】（1）设“取到的一包含4个次品”，“取到的一包含1个次品”，“采购员拒绝购买”， ，，，， 由全概率公式得到． （2）. 6．某企业生产手机加密芯片，有3台机器生产同一型号的芯片，质量合格的为正品，不合格的为次品，第1台生产的次品率为，第2，3台生产的次品率均为，将生产出来的芯片混放在一起，已知第1，2，3台机器生产的芯片数分别占总数的． (1)任取一个芯片，求它是正品的概率； (2)任取一个芯片，如果它是次品，求它分别是第1，2，3台机器生产的概率． 【答案】(1)(2)它分别是第1，2，3台机器生产的概率为，， 【分析】（1）结合全概率公式，以及对立事件概率和为1，即可求解； （2）利用条件概率，结合贝叶斯公式，即可求解． 【详解】（1）任取一个芯片是次品的概率为：， 则它是正品的概率为：； （2）次品是第1台机器生产的概率为：； 次品是第2台机器生产的概率为：， 次品是第3台机器生产的概率为：． 题型七：求二项分布分布列及期望与方差 1．某试验机床生产了12个电子元件，其中8个合格品，4个次品.从中随机抽出4个电子元件作为样本，用X表示样本中合格品的个数. (1)若有放回的抽取，求X的分布列； (2)若不放回的抽取，求样本中合格品的比例与总体中合格品的比例之差的绝对值不超过的概率. 【答案】(1)答案见解析(2) 【分析】（1）依题意可得X的可能取值为0、1、2、3、4，求出对应的概率，即可列出分布列、求出数学期望. （2）总体中合格品的比例为，样本中合格品的比例与总体中合格品的比例之差的绝对值不超过，即样品中合格品的比例大于等于且小于等于，即样本中合格品的个数为2或3，求出对应概率，相加即可得所求概率. 【详解】（1）有放回的抽取时，P（取到合格品）（取到次品）， 根据题意可得X的所有可能取值为0，1，2，3，4， 所以， ， ， ， . X的分布列为 X 0 1 2 3 4 P （2）由题意得总体中合格品的比例为， 因为样本中合格品的比例与总体中合格品的比例之差的绝对值不超过， 所以样本中合格品的比例大于等于且小于等于，即样本中合格品的个数为2或3， ， ， 所以P（样本中合格品的比例与总体中合格品的比例之差的绝对值不超过）. 2．一个袋子中装有60个大小、质地完全相同的球，其中有20个黄球、40个白球，从中随机地摸出10个球作为样本，用表示样本中黄球的个数. (1)有放回地摸球，求的分布列； (2)不放回地摸球，求的分布列. 【答案】(1)分布列见详解 (2)分布列见详解 【分析】（1）根据题意分析可知，结合二项分布求分布列； （2）根据题意分析可知服从超几何分布，结合超几何分布求分布列. 【详解】（1）若有放回地摸球，则每次摸到黄球的概率均为， 可知，且的可能取值为， 则， 所以的分布列为 0 1 10 （2）若不放回地摸球，可知服从超几何分布，且的可能取值为， 则， 所以的分布列为 0 1 10 3．小王积极响应国家鼓励青年创业的号召，和朋友合伙开了一家小型工厂，该工厂有4台大型机器，在一年中，一台机器至多出现1次故障，且每台机器是否出现故障是相对独立的，出现故障时需要1名工人进行维修，每台机器出现故障需要维修的概率为． (1)若出现故障的机器台数为X，求X的分布； (2)该厂至少有多少名工人才能保证每台机器在任何时刻同时出现故障时，能及时维修的概率不小于90％？ 【答案】(1)答案见解析.(2)至少有3名工人． 【分析】（1）分析得出X服从二项分布，然后用二项分布的概率公式求解概率，进而得到分布列即可. （2）设该厂有n名工人，则“每台机器在任何时刻同时出现故障能及时进行维修”为事件，对于分情况讨论，求出概率判断即可. 【详解】（1）一台机器是否出现故障可看作一次试验，在一次试验中，设机器出现故障为事件A，则事件A的概率为， 该厂有4台机器，即进行4次独立重复试验， 用X表示出现故障的机器台数，故X服从二项分布，那么 ， ， ， ， ， 所以X的分布为 X P （2）设该厂有n名工人，则“每台机器在任何时刻同时出现故障能及时进行维修”为事件，则， ，， ， ， 因为，所以至少有3名工人，才能保证每台机器在任何时刻同时出现故障及时进行维修的概率不小于90％． 4．历史悠久的杨柳青年画，全称“杨柳青木版年画”，属木版印绘制品，是我国著名民间传统木版年画．它起源于明代崇祯年间，距今已有近400年的历史，是首批国家级非物质文化遗产．杨柳青年画制作特别之处是它采用“印画结合”的独特工艺，制作程序大致是：创稿、分版、刻版、套印、彩绘、装裱，前期工序与其他木彼年画大致相同，而杨柳青年画的后期制作艺术风格迥然不同．一个优秀的作品除了需要有很好的素材外，更要有制作上的技术要求，已知某年工艺画师在后期套印、彩绘、装裱每个环节制作成功的概率分别为，只有当每个环节制作都成功才认为是一次优秀制作． (1)设事件“制作一件优秀作品”，求事件A的概率； (2)若该工艺画师进行3次制作，事件”恰有一件优秀作品”，求事件B的概率； (3)若该工艺画师制作3次，其中优秀作品数为X，求X的分布列和数学期望． 【答案】(1)(2)(3)分布列见解析；期望为 【分析】（1）运用独立事件概率乘法公式求解即可； （2）运用二项分布概率公式求解即可； （3）运用二项分布概率公式求解概率分布列，进而求出数学期望即可. 【详解】（1）由题意得； （2）该工艺画师进行3次制作，恰有一件优秀作品为事件B ； （3）随机变量X的取值为 由题意可知： 随机变量X的分布列为 X 0 1 2 3 P 或者． 5．某大型企业准备把某一型号的零件交给甲工厂或乙工厂生产.经过调研和试生产，质检人员抽样发现：甲工厂试生产的一批零件的合格品率为：乙工厂试生产的另一批零件的合格品率为；若将这两批零件混合放在一起，则合格品率为. (1)混合零件中甲厂零件和乙厂零件的比例是多少？ (2)从混合放在一起的零件中随机抽取4个，用频率估计概率，记这4个零件中来自甲工厂的个数为，求的分布列和数学期望. 【答案】(1)(2)分布列见解析， 【分析】（1）设甲工厂有件，乙工厂有件，得到，，根据题意，列出方程，求得，即可求解； （2）由（1）知所以，且的可能取值为，取得相应的概率，列出分布列，利用二项分布的期望公式，即可求解. 【详解】（1）解：设甲工厂试生产的这批零件有件，乙工厂试生产的这批零件有件， 事件“混合放在一起零件来自甲工厂”，事件“混合放在一起零件来自乙工厂”，事件“混合放在一起的某一零件是合格品”， 则，，，解得，即. （2）解：由（1）知所以， 随机变量的可能取值为，且， 可得，， ，， ， 所以随机变量的分布列为： 0 1 2 3 4 所以期望为. 6．某工厂制造甲、乙、丙三件产品，制造过程必须先后经过两道工序.当第一道工序完成并合格后方可进入第二道工序，两道工序过程相互独立.根据该厂现有的技术水平，经过第一道工序后，甲、乙、丙三件合格的概率依次为，，经过第二道工序后，甲、乙、丙三件产品合格的概率依次为，，. (1)求第一道工序完成后至少有一件产品合格的概率； (2)若前后两道工序均合格的产品为合格产品，记合格产品的个数为，求随机变量的分布列与数学期望. 【答案】(1)(2)答案见解析 【分析】（1）利用对立事件求概率即可； （2）由已知确定随机变量ξ的可能取值，再求其取各值的概率，由此可得其分布列，再由期望公式求期望. 【详解】（1）分别记甲、乙、丙经第一次烧制后合格为事件，，，则，，， 设E表示第一次烧制后至少有一件合格， ， 所以 即第一次烧制后至少有一件产品合格的概率为. （2）设甲、乙、丙经第二次烧制后合格为事件，分别记甲、乙、丙经过两次烧制后合格为事件， 则，，， ， ， 所以，，， ． 所以的分布列如下： 0 1 2 3 P 于是期望 题型八：求超几何分布分布列及期望与方差 1．袋中有8个白球，2个黑球，这些球除颜色外完全相同，从中随机地连续抽取3次，每次取1个球，求； (1)有放回抽样时，取到黑球的次数X的分布列； (2)不放回抽样时，取到黑球的个数Y的分布列． 【答案】(1)分布列见解析；(2)分布列见解析. 【分析】（1）有放回抽样时，取到黑球的次数X可能的取值为0，1，2，3，分别求出对应的概率，即可得X的分布列． （2）不放回抽样时，取到的黑球个数Y可能的取值为0，1，2，分别求出对应的概率，即可得Y的分布列． 【详解】（1）有放回抽样时，取到黑球的次数X可能的取值为0，1，2，3， 每次抽到黑球的概率均为，3次取球可以看成3次独立重复试验，则， ， ， 所以X的分布列为： X 0 1 2 3 P （2）不放回抽样时，取到的黑球个数Y可能的取值为0，1，2， ， 故Y的分布列为： Y 0 1 2 P 2．台风是我国东部沿海地区夏秋季节常见的自然灾害，当台风来临之际，沿海居民点的居民必须提前进行疏散.某地有关部门为了解居民疏散所需时间，在当地随机抽取100处居民点进行疏散所需时间的调查，所得数据如下表： 疏散时间（最接近的时间，取整数）单位：小时 12 13 14 15 16 17 18 频率 0.04 0.05 0.25 0.35 0.18 0.10 0.03 (1)根据以上数据，视频率为概率，估计这一地区居民点疏散所需时间的均值和方差； (2)根据工作安排，需要在超过16小时的13个居民点中再抽取5个进行深入调查，从而寻求缩短疏散时间的办法.设为抽到的居民点中疏散时间为18小时的居民点数量，求的分布列. 【答案】(1)均值为15，方差为1.66.(2)答案见解析 【分析】（1）根据均值与方差的概念，计算即可求解； （2）根据超几何分布及古典概型的概率公式即可求解． 【详解】（1）， 估计这一地区居民点疏散所需时间的均值为15， ， 估计这一地区居民点疏散所需时间的方差为1.66； 均值为15，方差为1.66. （2）小时，18小时两组的频率之比为， 在超过16小时的13个居民点中，17小时抽10人，18小时抽3人， 再从这13个居民点中抽取5个，为抽到的居民点中疏散时间为18小时的居民点数量， 可取0，1，2，3. ；； ；； 的分布列为 0 1 2 3 3．某中学将举行趣味运动会．某班共有8名同学报名参加“四人五足”游戏，其中男同学4名，女同学4名．按照游戏规则，每班只能选4名同学参加这个游戏，因此要从这8名报名的同学中随机选出4名． (1)求选出的4名同学中有男生的概率； (2)记选出的4名同学中女同学的人数为X，求随机变量X的分布列及数学期望． 【答案】(1)(2)分布列见解析， 【分析】（1）根据古典概型求解即可； （2）先写出随机变量的所有可能取值，再求出对应随机变量的概率，即可得出分布列，再根据期望公式求出期望即可. 【详解】（1）选出的4名同学中有男生的概率为； （2）随机变量可取， ，， ，， ， 则分布列为 期望. 4．某校准备从报名的7位教师（其中男教师4人，女教师3人）中选3人去边区支教． (1)设所选3人中女教师的人数为X，写出X的分布列，求X的数学期望及方差； (2)若选派的三人依次到甲、乙、丙三个地方支教，求甲地是男教师的情况下，乙地为女教师的概率． 【答案】(1)分布列详见解析，，；(2) 【分析】（1）确定X的所有可能取值，求出相应的概率，由此能求出X的分布列，E(X)和D(X)； （2）设事件A为“甲地是男教师”，事件B为“乙地是女教师”，利用条件概率公式，即可求出概率. 【详解】（1）解：(1)X的所有可能取值为0，1，2，3， 且，， ，， 所以X的分布列为： X 0 1 2 3 P 故， （2）设事件A为“甲地是男教师”，事件B为“乙地是女教师”， 则，， 所以. 5．设甲盒有3个白球，2个红球，乙盒有2个白球，3个红球，现从甲盒任取2球放入乙盒，再从乙盒任取1球． (1)记随机变量X表示从甲盒取出的红球个数，求X的分布列； (2)求从乙盒取出的1个球为红球的概率． 【答案】(1)答案见解析；(2). 【分析】（1）由题意分析出X的可能取值，分别求概率，写出分布列； （2）对从甲盒所取出的2个小球颜色分类讨论，利用古典概型的概率公式计算概率，即可求解. 【详解】（1）由题意可知：X的可能取值为：0，1，2. 所以；；. 分布列为： X 0 1 2 P （2）i.若，则甲盒任取2白球放入乙盒，所以乙盒的小球4白3红，再从乙盒任取1球为红球的概率为； ii. 若，则甲盒所取放入乙盒的两个小球为1白1红，所以乙盒的小球3白4红，再从乙盒任取1球为红球的概率为； iii. 若，则甲盒任取2红球放入乙盒，，所以乙盒的小球2白5红，再从乙盒任取1球为红球的概率为. 所以从乙盒取出的1个球为红球的概率为. 6．某药厂研制了治疗某种疾病的新药，该药的治愈率为p，现用该药给10位病人治疗，记被治愈的人数为X． (1)若，从这10人中随机选2人进行用药访谈，求被选中的治愈人数Y的分布列； (2)已知，集合{概率最大}，且A中仅有两个元素，求． 【答案】(1)答案见解析(2) 【分析】（1）根据超几何分布的概率计算，可求得概率，即得分布列； （2）根据二项分布的概率公式列出不等式组，求得满足集合A的k的范围，结合条件确定p的值，继而根据二项分布的均值求得答案. 【详解】（1）由题意知，Y的所有可能取值为， 则，，， 所以Y的分布列为 Y 0 1 2 P （2）由题意知，则, 由, 得,解得, 因为A为双元素集合且元素为正整数，且， 所以，且需为正整数， 因为，所以． 因为为正整数，所以，即． 由题意，，因此． 题型九：线性回归方程所有考点 1．近些年来，短视频社交软件日益受到追捧，用户可以通过软件选择歌曲，拍摄音乐短视频，创作自己的作品.某用户对自己发布的视频个数x与收到的点赞个数之和y之间的关系进行了分析研究，得到如下数据： x 3 4 5 6 7 y 45 50 60 65 70 (1)计算x，y的相关系数r（计算结果精确到0.01），并判断是否可以认为发布的视频个数与收到的点赞数之和的相关性很强； (2)请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程. 参考公式：，，.参考数据：，. 【答案】(1)，可以认为发布的视频个数与收到的点赞数之和的相关性很强 (2) 【分析】（1）根据相关系数公式直接求解即可，然后再判断 （2）根据回归方程公式直接求解即可 【详解】（1）因为，， 所以，. 因为，所以 所以， 由此可以认为发布的视频个数与收到的点赞数之和的相关性很强. （2）由（1）知，， 所以. 因为， 所以y关于x的线性回归方程为. 2．某医科大学实习小组为研究实习地昼夜温差与感冒人数之间的关系，分别到当地气象部门和某医院抄录了1月至3月每月5日、20日的昼夜温差情况与因感冒而就诊的人数，得到如表资料： 日期 1月5日 1月20日 2月5日 2月20日 3月5日 3月20日 昼夜温差x（℃） 10 11 13 12 8 6 就诊人数y（个） 22 25 29 26 16 12 该小组确定的研究方案是：先从这6组数据中随机选取4组数据求线性回归方程，再用剩余的2组数据进行检验． 参考公式：，． (1)求剩余的2组数据都是20日的概率； (2)若选取的是1月20日、2月5日、2月20日、3月5日这4组数据． ①请根据这4组数据，求出y关于x的线性回归方程； ②若某日的昼夜温差为7℃，请预测当日就诊人数．（结果保留整数）． 【答案】(1)(2)① ；②14人 【分析】（1）利用列举法求解，先列出从这6组中随机选取4组数据，剩余的2组数据所有等可能的情况，然后找出其中2组数据都是20日的情况，然后利用古典概型的概率公式求解， （2）①根据表中的数据和公式求出y关于x的线性回归方程，②把代入回归方程求解即可 【详解】（1）记6组依次为1，2，3，4，5，6，从这6组中随机选取4组数据，剩余的2组数据所有等可能的情况为，，，，，，，，，，，，，，共15种， 其中2组数据都是20日，即都取自2，4，6组的情况有3种． 根据古典概型概率计算公式，剩余的2组数据都是20日的概率． （2）①由所选数据，得，， 所以， 所以， 所以y关于x的线性回归方程为． ②当时，， 所以某日的昼夜温差为7℃，预测当日就诊人数约为14人． 3．为了更好的开展高中数学综合实践课的教学，结合高中数学与物理紧密联系的特点，某高级中学数学组与物理组进行联合教学实践活动，在一次实践活动中，某班学生分成五组进行物理实验(研究某物理现象中两个物理量､之间的关系)，得到五组数据如下表所示 组号 1 2 3 4 5 物理量 12 11 13 10 9 物理量 27 25 29 24 20 （1）为了减少一定的运算量，同学们决定用前三组的数据研究两个物理量､的线性回归方程，并由该回归方程预估第4，5组物理量的值，若产生的残差的绝对值不超过1，则认为本次实践活动成功，请问本次实践活动是否成功？并说明理由； （2）老师打算从这五组学生中随机选取两组学生进行校本科研课题《数学与物理深度融合研究》的问卷调查，记组号差的绝对值为，求随机事件“”发生的概率. 参考公式：，. 【答案】（1）本次实践活动是成功的，理由见解析；（2）. 【分析】（1）结合题目给出的数据求出线性回归方程，算出残差的绝对值与1比较即可. （2）用列举法写出基本事件总数，找出满足条件的基本事件个数，用古典概型概率计算公式计算出概率. 【详解】（1）由题意知， 所以： 所以回归方程为： 当时，； 当时， 所以本次实践活动是成功的. （2）该随机试验的基本事件有12，13，14，15，23，24，25，34，35，45共10个. 随机事件“”含有的基本事件有13，24，35共3个. 故所求概率为. 4．某地区2021年清明节前后3天每天下雨的概率为50%，通过模拟实验的方法来计算该地区这3天中恰好有2天下雨的概率．用随机数x（，且）表示是否下雨：当时表示该地区下雨，当时，表示该地区不下雨，从随机数表中随机取得20组数如下： 332  714  740  945  593  468  491  272  073  445 992  772  951  431  169  332  435  027  898  719 （1）求出m的值，并根据上述数表求出该地区清明节前后3天中恰好有2天下雨的概率； （2）从2012年到2020年该地区清明节当天降雨量（单位：）如表：（其中降雨量为0表示没有下雨）． 时间 2012年 2013年 2014年 2015年 2016年 2017年 2018年 2019年 2020年 年份t 1 2 3 4 5 6 7 8 9 降雨量y 29 28 26 27 25 23 24 22 21 经研究表明：从2012年至2021年，该地区清明节有降雨的年份的降雨量y与年份t成线性回归，求回归直线方程，并计算如果该地区2021年（）清明节有降雨的话，降雨量为多少？（精确到0.01） 参考公式：，． 参考数据：，，，． 【答案】（1），；（2）；该地区2020年清明节有降雨的话，降雨量为20.2mm． 【分析】（1）利用概率模拟求概率； （2）套用公式求回归直线方程即可. 【详解】解：（1）由题意可知，，解得，即表示下雨，表示不下雨， 所给的20组数据中714,740,491,272,073,445,435,027,共8组表示3天中恰有两天下雨， 故所求的概率为； （2）由题中所给的数据可得，， 所以，， 所以回归方程为， 当时，， 所以该地区2020年清明节有降雨的话，降雨量为20.2mm． 5．有一种速度叫中国速度，有一种骄傲叫中国高铁.中国高铁经过十几年的发展，取得了举世瞩目的成就，使我国完成了从较落后向先进铁路国的跨越式转变.中国的高铁技术不但越来越成熟，而且还走向国外，帮助不少国家修建了高铁.高铁可以说是中国一张行走的名片.截至到2020年，中国高铁运营里程已经达到3.9万公里.下表是2013年至2020年中国高铁每年的运营里程统计表，它反映了中国高铁近几年的飞速发展： 年份 2013 2014 2015 2016 2017 2018 2019 2020 年份代码 1 2 3 4 5 6 7 8 运营里程万公里 1.3 1.6 1.9 2.2 2.5 2.9 3.5 3.9 根据以上数据，回答下面问题. （1）甲同学用曲线y=bx+a来拟合，并算得相关系数r1=0.97，乙同学用曲线y=cedx来拟合，并算得转化为线性回归方程所对应的相关系数r2=0.99，试问哪一个更适合作为y关于x的回归方程类型，并说明理由； （2）根据（1）的判断结果及表中数据，求y关于x的回归方程(系数精确到0.01). 参考公式：用最小二乘法求线性回归方程的系数公式：；参考数据：令 【答案】（1）答案见解析；（2）. 【分析】(1)比较已知的相关系数大小关系即可得出正确答案;(2)由已知数据求出，结合回归方程变形为，求出和，从而可求出回归方程. 【详解】解：（1）∵，∴更适合作为y关于x的回归方程类型. （2），由得， 即，则， ，所以. 6．某机构为了解某大学中男生的体重单位：)与身高x(单位：)是否存在较好的线性关系，该机构搜集了7位该校男生的数据，得到如下表格： 序号 1 2 3 4 5 6 7 身高() 161 175 169 178 173 168 180 体重() 52 62 54 70 66 57 73 根据表中数据计算得到关于的线性同归方程为 （1）求 （2）已知且当时，回归方程的拟合效果非常好；当时，回归方程的拟合效果良好.试问该线性回归方程的拟合效果是非常好还是良好？说明你的理由.参考数据： 【答案】（1）；（2）该线性回归方程的拟合效果是良好，理由见解析. 【分析】（1）先求，代入回归方程即可求得； （2）先根据题意求出，根据参数范围进行判断即可. 【详解】解析：（1）∵ 将（172,62）代入回归方程得： ∴ （2） y关于x的线性同归方程为 ∴ ∴ 故该线性回归方程的拟合效果是良好. 题型十：非线性回归的处理技巧 1．某人新房刚装修完，为了监测房屋内空气质量的情况，每天在固定的时间测一次甲醛浓度（单位：mg/m3），连续测量了10天，所得数据绘制成散点图如下：用表示第天测得的甲醛浓度，令，经计算得，，. (1)由散点图可知，与可用指数型回归模型进行拟合，请利用所给条件求出回归方程；（系数精确到0.01） (2)已知房屋内空气中的甲醛浓度的安全范围是低于0.08 mg/m3，则根据（1）中所得回归模型，该新房装修完第几天开始达到此标准？（参考数据：） 附：，. 【答案】(1)；(2)第35天. 【分析】（1）设出回归直线方程，利用最小二乘法求出，再求出与的回归方程. （2）利用（1）中回归模型建立不等式，再求解不等式即可. 【详解】（1）令，而，， 则，， 因此，即， 所以所求回归方程为. （2）由（1）知：，即，解得， 所以，即在新房装修完第35天开始达到此标准. 2．肥胖不仅影响形体美，而且给生活带来不便，此外还有关节软组织损伤､心脏病､糖尿病､脂肪肝､痛风等危害.小王通过运动和节食进行减肥，并将时间x（单位：周）和体重（单位：）记录制作如下统计表： 1 2 3 4 6 8 90.1 87.6 87.2 86.2 84.2 84.3 (1)若和满足经验回归模型，求； (2)求该模型的决定系数，并判断该经验回归方程是否有价值（认为有价值）； (3)当某组数据残差的绝对值不超过0.3时，称该组数据为“身材有效管理数据”，现从这六组数据中任意抽取两组，设抽取的“身材有效管理数据”的个数为，求的分布列和期望. 附：经验回归方程中，， 参考数据：. 【答案】(1)；. (2)；该经验回归方程有价值. (3)分布列见解析；数学期望是1. 【分析】（1）设得，计算，继而得到和； （2）分别计算和，计算出，即得结论； （3）依题意，残差的绝对值不超过0.3的有三组，由此确定的可能值有，利用超几何分布计算概率，写出分布列，计算出数学期望即可. 【详解】（1）设则， 因 ， 则 又且经验回归直线过点， 故得，， （2）由（1）， 1 2 3 4 6 8 90.1 87.6 87.2 86.2 84.2 84.3 90 88 86.8 86 84.8 84 0.01 0.16 0.16 0.04 0.36 0.09 12.25 1 0.36 0.16 5.76 5.29 则，因,则该经验回归方程有价值； （3）经计算，这六组数据中，残差的绝对值不超过0.3的有三组，分别是第一组、第四组和第八组， 故从这六组数据中任意抽取两组,的可能值有， 于是，, 则的分布列为： 0 1 2 故数学期望为. 3．某研发团队实现了从单点光谱仪到超光谱成像芯片的跨越.为制定下一年的研发投入计划，该研发团队需要了解年研发资金投入量（单位：亿元）对年销售额（单位：亿元）的影响.结合近12年的年研发资金投入量和年销售额，该团队建立了两个函数模型：①，②，其中均为常数，为自然对数的底数.经对历史数据的初步处理，得到散点图如图.令，计算得到如下数据.    20 66 770 200 14 460 4.20 3125000 0.308 21500 (1)设变量和变量的样本相关系数为，变量和变量的样本相关系数为，请从样本相关系数的角度，选择一个与相关性较强的模型. (2)（i）根据（1）的选择及表中数据，建立关于的经验回归方程（系数精确到0.01）； （ii）若下一年销售额需达到80亿元，预测下一年的研发资金投入量. 附：；样本相关系数；经验回归方程，其中. 【答案】(1)模型中与的相关性较强. (2)（i）；（ii）27.1亿元. 【分析】（1）分别将表中数据代入相关系数公式求出，比较大小即可判断； （2）（i）由取对数，换元得，由表中数据分别求和，得经验回归方程，利用指数式和对数式的互化，即得； （ii）将代入回归方程，利用题设条件，即可预测下一年的研发资金投入量. 【详解】（1）由题意知 . 因为，所以， 故从样本相关系数的角度，模型中与的相关性较强. （2）（i）由，得，即. 因为， 所以， 故关于的经验回归方程为，即 ,所以. （ii）将代入得. ，故得，解得， 故预测下一年的研发资金投入量是27.1亿元. 4．放行准点率是衡量机场运行效率和服务质量的重要指标之一.某机场自2012年起采取相关策略优化各个服务环节，运行效率不断提升.以下是根据近10年年份数与该机场飞往A地航班放行准点率（）（单位：百分比）的统计数据所作的散点图及经过初步处理后得到的一些统计量的值. 2017.5 80.4 1.5 40703145.0 1621254.2 27.7 1226.8 其中，. (1)根据散点图判断，与哪一个适宜作为该机场飞往A地航班放行准点率y关于年份数x的经验回归方程类型（给出判断即可，不必说明理由），并根据表中数据建立经验回归方程，由此预测2023年该机场飞往A地的航班放行准点率； (2)已知2023年该机场飞往A地､B地和其他地区的航班比例分别为0.2､0.2和0.6.若以（1）中的预测值作为2023年该机场飞往A地航班放行准点率的估计值，且2023年该机场飞往B地及其他地区（不包含A､B两地）航班放行准点率的估计值分别为和，试解决以下问题： （i）现从2023年在该机场起飞的航班中随机抽取一个，求该航班准点放行的概率； （ii）若2023年某航班在该机场准点放行，判断该航班飞往A地的概率.（保留3位小数） 附：对于一组数据，，…，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为， 参考数据：，，. 【答案】(1)适宜，， (2)（i）0.778；（ii） 【分析】（1）根据散点图可判断适宜作为该机场飞往地航班放行准点率关于年份数的经验回归方程类型，再根据所给数据求出关于的线性回归方程，即求出，，从而得到关于的回归方程，再代入计算可得； （2）（i）根据全概率公式计算可得；（ii）根据条件概率公式计算可得. 【详解】（1）由散点图判断适宜作为该机场飞往地航班放行准点率关于年份数的经验回归方程类型. 令，先建立关于的线性回归方程， 由于， ， 该机场飞往地航班放行准点率关于的线性回归方程为， 因此关于年份数的回归方程为， 所以当时，该机场飞往地航班放行准点率y的预报值为 ， 所以2023年该机场飞往地航班放行准点率的预报值为. （2）设“该航班飞往地”，“该航班飞往地”，“该航班飞往其他地区”，“该航班准点放行”， 则，，， ，，. （i）由全概率公式得， ， 所以该航班准点放行的概率为. （ii）该航班飞往地的概率为 ， 即若年某航班在该机场准点放行，判断该航班飞往地的概率约为. 5．某公司为了解年研发资金（单位：亿元）对年产值（单位：亿元）的影响，对公司近8年的年研发资金和年产值（，）的数据对比分析中，选用了两个回归模型，并利用最小二乘法求得相应的关于的经验回归方程： ①；②． (1)求的值； (2)已知①中的残差平方和，②中的残差平方和，请根据决定系数选择拟合效果更好的经验回归方程，并利用该经验回归方程预测年研发资金为20亿元时的年产值． 参考数据：，，，． 参考公式；刻画回归模型拟合效果的决定系数． 【答案】(1) (2)经验回归方程②的拟合效果更好；亿元． 【分析】（1）求出样本中心点，代入经验回归方程求出； （2）根据公式求出两个经验回归方程的决定系数，并判断拟合效果；利用方程预测. 【详解】（1）根据题意，，， 所以样本中心点为，代入经验回归方程， 得，解得. 所以的值为. （2）设经验回归方程①的决定系数为，由， 则， 设经验回归方程②的决定系数为，由， 则， 因为，所以经验回归方程②的拟合效果更好； 当时，， 所以年研发资金为20亿元时的年产值约为亿元． 6．广东省深圳市是全国七大电动车生产基地之一，拥有完整的产业链和突出的设计优势.某电动车公司为了抢占更多的市场份额，计划加大广告投入.该公司近5年的年广告费（单位：百万元）和年销售量（单位：百万辆）关系如图所示： 令，数据经过初步处理得： 44 4.8 10 40.3 1.612 19.5 8.06 现有①和②两种方案作为年销售量关于年广告费的回归分析模型，其中，，，均为常数. (1)请从相关系数的角度，分析哪一个模型拟合程度更好？（不能整除的相关系数保留2位小数） (2)根据（1）的分析选取拟合程度更好的回归分析模型及表中数据，求出关于的回归方程，并预测年广告费为6（百万元）时，产品的年销售量是多少？ 附：①相关系数，回归直线中公式分别为，， ②参考数据：，，，. 【答案】(1)模型②的拟合程度更好 (2)，13（百万辆） 【分析】（1）分别求出两个模型的相关系数，比较大小即可解答. （2）令，则，结合题目数据，最小二乘法求得回归方程，然后将代入方程运算求解即可. 【详解】（1）设模型①和②的相关系数分别为，. 由题意可得：， （说明：若化简成，再比较与的大小亦可） 令，则， 则， 所以，由相关系数的相关性质可得，模型②的拟合程度更好； （2）由条件得：， 又由，，得， 所以，即回归方程为， 当时，， 因此当年广告费为6（百万元）时，产品的销售量大概是13（百万辆）. 题型十一：独立性检验（列联表） 1．双十一购物狂欢节，是指每年11月11日的网络促销日，源于淘宝商城（天猫）2009年11月11日举办的网络促销活动，已成为中国电子商务行业的年度盛事．某生产商为了了解其生产的产品在不同电商平台的销售情况，统计了A，B两个电商平台各十个网络销售店铺的销售数据： A电商平台 64 71 81 70 79 69 82 73 75 60 B电商平台 60 80 97 77 96 87 76 83 94 96 (1)填写下面关于店铺个数的2×2列联表，并根据列联表判断是否有的把握认为销售量与电商平台有关； 销售量 销售量 总计 A电商平台 B电商平台 总计 (2)生产商要从这20个网络销售店铺销售量前五名的店铺中，随机抽取三个店铺进行销售返利，其中恰好有两个店铺的销售量在95以上的概率是多少？ 附：，其中． P k 【答案】(1)列联表见解析，没有(2) 【分析】（1）根据题中数据将列联表补充完整，根据公式可算得，即可得到结论； （2）根据已知数据得到前五名的店铺，随机选三个店铺共有10种情况，其中恰好两个店铺的销售量在95以上的情况有6种，由古典概型求概率即可. 【详解】（1）由题中数据可得列联表如下： 销售量 销售量 总计 A电商平台 2 8 10 B电商平台 6 4 10 总计 8 12 20 所以的观测值， 所以没有的把握认为销售量与电商平台有关； （2）由已知数据，得销售量前五名的店铺，销售量分别为97，96，96，94，87， 设对应的店铺分别为， 从中选取三个店铺共有10种情况，如下： ， ， 其中恰好有两个店铺的销售量在95以上的情况有6种： ， 所以其中恰好有两个店铺的销售量在95以上的概率. 2．中国共产党第二十届中央委员会第三次全体会议，于2024年7月15日至18日在北京举行.全会提出，中国式现代化是物质文明和精神文明相协调的现代化.必须增强文化自信，发展社会主义先进文化，弘扬革命文化，传承中华优秀传统文化，加快适应信息技术迅猛发展新形势，培育形成规模宏大的优秀文化人才队伍，激发全民族文化创新创造活力.为此，某学校举办了“传承中华优秀传统文化”宣传活动，学校从全体学生中抽取了100人对该宣传活动的了解情况进行问卷调查，统计结果如下： 男 女 合计 了解 20 不了解 20 40 合计 (1)将列联表补充完整； (2)根据的独立性检验，能否认为该校学生对该宣传活动的了解情况与性别有关联？ (3)若把上表中的频率视作概率，现从了解该活动的学生中随机抽取3人参加传统文化知识竞赛.记抽取的3人中女生人数为，求随机变量的分布列和数学期望. 附：，其中 0.100 0.050 0.010 0.001 2.706 3.841 6.635 10.828 【答案】(1)表格见解析； (2)根据的独立性检验，不能认为该校学生对该宣传活动的了解情况与性别有关联； (3)分布列见解析；. 【分析】（1）由题意以及表格数据即可填写. （2）零假设该校学生对该宣传活动的了解情况与性别无关，根据列联表中的数据计算，再根据小概率值作出判断即可. （3）先求随机变量，接着依次求各随机变量取值相应的概率即可得分布列，再由二项分布的数学期望公式去计算即可得. 【详解】（1）由题得列联表如下： 男 女 合计 了解 40 20 60 不了解 20 20 40 合计 60 40 100 （2）零假设该校学生对该宣传活动的了解情况与性别无关， 由（1）可得， 则根据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断不成立， 即可以认为成立，故不能认为该校学生对该宣传活动的了解情况与性别有关联. （3）由（1）可知抽取的100名学生中了解该活动的学生男生和女生分别为40人和20人， 所以从了解该活动的学生中随机抽取1人参加传统文化知识竞赛，抽取的是女生的概率为， 则由题意可知，且， 所以，， ，， 所以随机变量的分布列为 0 1 2 3 所以随机变量的数学期望为. 3．某大学生创客实践基地，甲、乙两个团队同时生产创新产品，现对其生产的产品进行质量检验． (1)为测试其生产水准，从甲、乙生产的产品中各抽检15个样本，评价结果如图所示． 甲 乙 总和 合格 不合格 总和 15 15 30 0.100 0.050 0.010 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 现将“一、二、三等”视为产品质量合格，其余为产品质量不合格，请完善列联表，开说明根据小概率值的独立性检验，能否认为“产品质量与生产团队有关”； (2)将甲，乙生产的产品各自进行包装，每5个产品包装为一袋，现从中抽取一袋检测（假定抽取的这袋产品来自甲生产的概率为，来自乙生产的概率为，检测结果显示这袋产品中恰有4件合格品，求该袋产品由甲团队生产的概率．（以（1）中各自产品的合格频率代替各自产品的合格概率） 【答案】(1)列联表见解析，可以认为“产品质量与生产团队有关(2) 【分析】（1）根据题意完善列联表，计算得出结论； （2）分别用A、B、C表示事件，根据全概率公式求出，再由计算即可得解. 【详解】（1） 甲 乙 总和 合格 12 6 18 不合格 3 9 12 总和 15 15 30 零假设：产品质量与生产团队无关， 因为， 故根据小概率值的独立性检验，可以认为“产品质量与生产团队有关”. （2）记事件A代表“一袋中有4个合格产品”，事件B代表“所抽取的这袋来自甲生产团队”，事件C代表“所抽取的这袋来自乙生产团队”， 故，，，， 由， 故. 4．为提高学生的身体素质，某校决定开展一次学生自愿报名参加的体能训练活动.已知该校学生人数为，参加体能训练活动的男生人数为，不参加体能训练活动的男生人数为，参加体能训练活动的女生人数为. (1)若该校有1200名学生，根据题意完成如图所示的列联表，并依据小概率值的独立性检验，分析学生参加体能训练活动的意愿与性别是否有关联； 参加 不参加 合计 男生 女生 (2)按是否参加体能训练活动，采用按比例分配的分层随机抽样方法从该校男生中抽取14人，再从这14人中随机抽取2人，设这2人中参加体能训练活动的人数为，求的分布列和数学期望. 参考公式：，其中. 0.1 0.05 0.01 0.001 2.706 3.841 6.635 10.828 【答案】(1)答案见解析；(2)分布列见解析；数学期望 【分析】（1）根据已知数据补全列联表，再由卡方公式计算，由独立性检验得到结论； （2）先由分层抽样确定人数，再计算概率，列出分布列，由期望公式计算即可； 【详解】（1）参加体能训练活动的男生人数为，即人， 不参加体能训练活动的男生人数为，即人， 参加体能训练活动的女生人数为，即人， 所以 参加 不参加 合计 男生 400 300 700 女生 300 200 500 ， 所以根据小概率的独立性检验，没有证据说明学生参加体能训练活动的意愿与性别有关联， （2）按是否参加体能训练活动，采用按比例分配的分层随机抽样方法从该校男生中抽取14人， 则抽取参加体能训练人数为8人，不参加的为6人， 由题意可得的可能取值为0,1,2 ，，， 所以的分布列为： 0 1 2 ，期望为， 5．某品牌方便面每袋中都随机装入一张卡片卡片有、、三种，规定：如果集齐、、卡片各一张，便可获得一份奖品． (1)已知该品牌方便面有两种口味，为了了解这两种口味方便面中卡片所占比例情况，小明收集了以下调查数据： 口味 口味 合计 卡片 非卡片 合计 依据小概率值的独立性检验，分析以上数据，能否据此推断“该品牌方便面中卡片所占比例与方便面口味有关”？ (2)根据中华人民共和国反不正当竞争法，经营者举办有奖销售，应当向购买者明示奖品种类、中奖概率、奖品金额或者奖品种类、兑奖时间和方式经小明查询，该方便面中卡片、卡片和卡片的比例分别为，，若小明一次购买袋该方便面． ①求小明中奖的概率 ②若小明未中奖，求小明未获得卡的概率． 附：，， 【答案】(1)没有(2)①；② 【分析】（1）求得的值，再与临界值表对照下结论； （2）①记“小明一次购买3袋该方便面，中奖”为事件，利用独立事件的概率求解；②记“小明一次购买3袋该方便面，未获得卡”为事件，由求解. 【详解】（1）提出假设：该品牌方便面中卡片所占比例与方便面口味无关. 又， 所以没有的把握认为“该品牌方便面中卡片所占比例与方便面口味有关”. （2）①记“小明一次购买3袋该方便面，中奖”为事件， . ②记“小明一次购买3袋该方便面，未获得卡”为事件. ， . 答：①小明中奖的概率为；②小明为中奖，未获得卡的概率为. 6．2024年4月25日，第18届北京国际汽车展览会在中国国际展览中心开幕，本届展会以“新时代新汽车”为主题，在展览会上国内新能源车引得了国内外车友的关注.为了解人们的买车意向，在车展现场随机调查了50名男观众和50名女观众，已知男观众中有40人偏向燃油车，女观众中有20人偏向燃油车，剩余被调查的观众则偏向新能源车. (1)根据已知条件，填写下列列联表，并根据小概率值的独立性检验，判断男观众和女观众买车意向的偏向情况是否有差异； 偏向燃油车 偏向新能源车 男观众 女观众 (2)现按比例用分层随机抽样的方法从被调查的偏向燃油车的观众中抽取9人，再从这9人中随机抽取4人，记表示这4人中女观众的人数，求的分布列和数学期望. 附：. 0.1 0.05 0.01 0.001 2.706 3.841 6.635 10.828 【答案】(1)列联表见解析，有差异(2)分布列见解析， 【分析】（1）根据题意即可填写列联表，然后计算，根据独立性检验的思想判断即可； （2）根据分层随机抽样可知有6名男观众，3名女观众，由此可知的可能取值，根据古典概型的概率计算公式求解概率即可得到分布列，最后求数学期望即可. 【详解】（1）由题意可得列联表： 偏向燃油车 偏向新能源车 总计 男观众 40 10 50 女观众 20 30 50 总计 60 40 100 零假设：男观众和女观众买车意向的偏向情况没有差异， 则 根据小概率值的独立性检验可知，零假设不成立， 所以可以认为男观众和女观众买车意向的偏向情况有差异. （2）因为抽取的9人中有名男观众，名女观众， 所以的可能取值为， 则， ， 所以的分布列为： 0 1 2 3 则. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 8 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 8 学科网（北京）股份有限公司 $$