第四章 概率与统计（单元重点综合测试）-2024-2025学年高二数学单元速记•巧练（人教B版2019选择性必修第二册）

第四章 概率与统计（单元重点综合测试） （考试时间：150分钟 试卷满分：150分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知随机变量，则（    ） A．21 B．20 C．11 D．10 2．研究数据表明，某校高中生的数学成绩与物理成绩、物理成绩与化学成绩均有正相关关系．现从该校抽取某班50位同学的数学、物理、化学三科成绩作为样本，设数学、物理、化学成绩分别为变量x，y，z若x，y的样本相关系数为，y，z的样本相关系数为，则x、z的样本相关系数的最大值为（    ） 附：相关系数 A． B． C． D．1 3．如图为对某高中学生是否对父母说过“我爱你”这样的话的统计结果，则下列统计分析中不正确的是：（    ）. A．男性被调查者没有对父母说过“我爱你”这样的话的人数比例高于女性 B．无论男女对母亲说“我爱你”这类话的比例都高于对父亲所说 C．大部分调查者没有对父母说过“我爱你”这样的话 D．经常对父母说“我爱你”这样的话的人数总计比例较女生比例有所下降，说明这张统计图的结果可能存在错误 4．已知一道解答题共有两小问，第一问5分，第二问8分，现每10个人有6个人能够解答出第一问，在第一问解答不出的情况下，解答出第二问的概率为0.1，第一问解答出来的情况下，第二问解答不出来的概率为0.7，则解答出第二问的概率为（    ） A．0.04 B．0.18 C．0.22 D．0.46 5．已知随机变量，，那么的值为（   ） A． B． C． D． 6．高二某班共有名学生，其中女生有名，“三好学生”人数是全班人数的，且“三好学生”中女生占一半，现从该班学生中任选1人参加座谈会，则在已知没有选上女生的条件下，选上的学生是“三好学生”的概率为（    ） A． B． C． D． 7．某校高二年级下学期期末考试数学试卷满分为150分，90分以上（含90分）为及格．阅卷结果显示，全年级1200名学生的数学成绩近似服从正态分布，试卷的难度系数（难度系数平均分/满分）为0.49，标准差为22，则该次数学考试及格的人数约为（    ）附：若，记，则． A．136人 B．272人 C．328人 D．820人 8．设随机变量，记，，下列说法正确的是（    ） A．当k由0增大到n时，先增后减，当且仅当k取某一个正整数时达到最大 B．如果为正整数，当且仅当时，取最大值 C．如果为非整数，当且仅当k取的整数部分时，取最大值 D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．甲、乙两个不透明的袋子中分别装有两种颜色不同但是大小相同的小球，甲袋中装有5个红球和5个绿球；乙袋中装有4个红球和6个绿球.先从甲袋中随机摸出一个小球放入乙袋中，再从乙袋中随机摸出一个小球，记表示事件“从甲袋摸出的是红球”，表示事件“从甲袋摸出的是绿球”，记表示事件“从乙袋摸出的是红球”，表示事件“从乙袋摸出的是绿球”.下列说法正确的是（   ） A．是互斥事件 B．是独立事件 C． D． 10．已知函数，其中分别是将一枚质地均匀的骰子抛掷两次得到的点数．设“函数的值域为”为事件，“函数为偶函数”为事件，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 11．下列判断正确的是（    ） A．若随机变量服从分布，且，则 B．若随机变量，则 C．若随机变量，则 D．若随机变量，，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．为了回馈长期以来的顾客群体，某健身房在五周年庆活动期间设计出了一种游戏活动，顾客需投掷一枚骰子两次，若两次投掷的数字都是偶数，则该顾客获得该健身房的免费团操券5张，且有2次终极抽奖机会（2次抽奖结果互不影响）；若两次投掷的数字之和是5或9，则该顾客获得该健身房的免费团操券5张，且有1次终极抽奖机会；其余情况顾客均获得该健身房的免费团操券3张，不具有终极抽奖机会.已知每次在终极抽奖活动中的奖品和对应的概率如下表所示. 奖品 一个健身背包 一盒蛋白粉 概率 则一位参加游戏活动的顾客获得蛋白粉的概率为 . 13．从一副去掉大小王的52张扑克牌中无放回地任意抽取两次.在第一次抽到的条件下，第二次也抽到的概率为 .（结果用最简分数表示） 14．某市为了传承中华优秀传统文化，组织该市中学生进行了一次文化知识答题竞赛.已知某同学答对每道题的概率均为，且每次答题相互独立，若该同学连续作答20道试题后结束比赛，记该同学答对道试题的概率为，则当 时，取得最大值. 四、解答题：本题共5小题，其中第15题13分，第16,17题15分，第18,19题17分，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．(13分）为了了解广大消费者购买新能源汽车意向与年龄是否具有相关性，某汽车APP采用问卷调查形式对400名消费者进行调查，数据显示这400人中中老年人共有150人，且愿意购买新能源车的人数是愿意购买燃油车的2倍；青年中愿意购买新能源车的人数是愿意购买燃油车的4倍. 年龄段 购车意向 合计 愿意购买新能源车 愿意购买燃油车 青年 中老年 合计 (1)完善2×2列联表，请根据小概率值的独立性检验，分析消费者对新能源车和燃油车的意向购买与年龄是否有关； (2)采用分层随机抽样从愿意购买新能源车的消费者中抽取9人，再从这9人中随机抽取5人，求这5人中青年人数的分布和期望. 附：，. 0.05 0.01 0.001 3.841 6.635 10.828 16．(15分）某校为了厚植文化自信､增强学生的爱国情怀，特举办“中国诗词精髓”知识竞赛活动，比赛中只有两道题目，比赛按先题后题的答题顺序各答1次，答对题得2分，答对题得3分，答错得0分.已知学生甲答对题的概率为，答对题的概率为，其中，学生乙答对题的概率为，答对题的概率为，且甲乙各自在答两题的结果互不影响.已知甲比赛后得5分的概率为，得3分的概率为. (1)求的值； (2)求比赛后，甲乙总得分不低于8分的概率. 17．(15分）数独是源自18世纪瑞士的一种数学游戏，玩家需要根据盘面上的已知数字，推理出所有剩余空格的数字，并满足每一行、每一列、每一个粗线宫（）内的数字均含1～9，且不重复．数独爱好者小明打算报名参加“丝路杯”全国数独大赛初级组的比赛． 参考数据： 1750 0.37 0.55 参考公式：对于一组数据，，⋯，，其经验回归方程的斜率和截距的最小二乘估计分别为，． (1)赛前小明进行了一段时间的训练，每天解题的平均速度y（秒/题）与训练天数x（天）有关，经统计得到如下数据： x（天） 1 2 3 4 5 6 7 y（秒/题） 910 800 600 440 300 240 210 现用作为回归方程模型，请利用表中数据，求出该回归方程；（用分数表示） (2)小明和小红玩“对战赛”，每局两人同时开始解一道数独题，先解出题的人获胜，不存在平局，两人约定先胜3局者赢得比赛．若小明每局获胜的概率为，且各局之间相互独立，设比赛X局后结束，求随机变量X的分布列及均值． 18．(17分）泉州市举办庆“七一”知识竞赛活动，初赛采用两轮制方式进行，要求每个区（县）派出两个小组，且每个小组都要参加两轮比赛，两轮比赛都通过的小组才具备参加决赛的资格.德化县派出甲､乙两个小组参赛，在初赛中，若甲､乙两组通过第一轮比赛的概率分别是，通过第二轮比赛的概率分别是，且各个小组所有轮次比赛的结果互不影响. (1)德化县派出的两个组获得决赛资格的小组的个数为，求的分布列和期望； (2)已知德化县的甲､乙两组在决赛中相遇，决赛以抢答和两道题的方式进行，抢到并答对一题得10分，答错不得分.其中一方的得分多于另一方的得分即为获胜，假设这两组在决赛中对每个问题回答正确的概率恰好是各自获得决赛资格的概率，甲､乙两组随机等可能抢到每道题，求甲组获胜的概率. 19．(17分）聊天机器人（chatterbot）是一个经由对话或文字进行交谈的计算机程序.当一个问题输入给聊天机器人时，它会从数据库中检索最贴切的结果进行应答.在对某款聊天机器人进行测试时，如果输入的问题没有语法错误，则应答被采纳的概率为80%，若出现语法错误，则应答被采纳的概率为30%.假设每次输入的问题出现语法错误的概率为10%. (1)求一个问题的应答被采纳的概率； (2)在某次测试中，输入了8个问题，每个问题的应答是否被采纳相互独立，记这些应答被采纳的个数为，事件（）的概率为，求当最大时的值. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！8 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！8 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第四章 概率与统计（单元重点综合测试） （考试时间：150分钟 试卷满分：150分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知随机变量，则（    ） A．21 B．20 C．11 D．10 【答案】D 【分析】根据二项分布的性质计算方差，再利用方差性质即可得解. 【详解】由得，， 所以. 故选：D． 2．研究数据表明，某校高中生的数学成绩与物理成绩、物理成绩与化学成绩均有正相关关系．现从该校抽取某班50位同学的数学、物理、化学三科成绩作为样本，设数学、物理、化学成绩分别为变量x，y，z若x，y的样本相关系数为，y，z的样本相关系数为，则x、z的样本相关系数的最大值为（    ） 附：相关系数 A． B． C． D．1 【答案】B 【分析】利用相关系数公式，可看成两个维向量的夹角公式，从而把相关系系数问题转化为向量夹角问题，即可得解. 【详解】设，，, 则有，，， 由相关系数公式可知：， 设与夹角为，与夹角为， 由x，y的样本相关系数为，所以，， 由这两个夹角均为锐角且，所以与夹角的可能性是， 则与夹角余弦值的最大值为，此时x与z样本相关系数最大， 即， 故选：B. 3．如图为对某高中学生是否对父母说过“我爱你”这样的话的统计结果，则下列统计分析中不正确的是：（    ）. A．男性被调查者没有对父母说过“我爱你”这样的话的人数比例高于女性 B．无论男女对母亲说“我爱你”这类话的比例都高于对父亲所说 C．大部分调查者没有对父母说过“我爱你”这样的话 D．经常对父母说“我爱你”这样的话的人数总计比例较女生比例有所下降，说明这张统计图的结果可能存在错误 【答案】D 【分析】根据统计图中的数据进行分析，判断每个选项的正确性. 【详解】对于A选项，观察统计图，比较男性和女性未对父母说过“我爱你”的比例， 发现男性未说的比例高于女性，所以A选项正确. 对于B选项，分别对比男女对母亲和对父亲说“我爱你”的比例， 能看出无论男女对母亲说的比例都高于对父亲说的比例，所以B选项正确. 对于C选项，从统计图整体来看，未说过“我爱你”的人数比例较大， 所以大部分调查者没有对父母说过“我爱你”这样的话，C选项正确. 对于D选项，经常对父母说“我爱你”的人数总计比例较女生比例有所下降， 并不能直接说明统计图结果存在错误，有可能是实际调查结果就是如此，所以D选项错误. 故选：D 4．已知一道解答题共有两小问，第一问5分，第二问8分，现每10个人有6个人能够解答出第一问，在第一问解答不出的情况下，解答出第二问的概率为0.1，第一问解答出来的情况下，第二问解答不出来的概率为0.7，则解答出第二问的概率为（    ） A．0.04 B．0.18 C．0.22 D．0.46 【答案】C 【分析】设相应事件，由题意可得，根据对立事件求出所需事件的概率，依据全概率公式求解. 【详解】设“解出第二问”为事件，“解出第二问”为事件， 由题意可得：， 则， 所以， ， 所以. 故选：C 5．已知随机变量，，那么的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据已知条件得出，且有，进而根据对称性求得即可. 【详解】已知随机变量，， 则，， 根据正态密度曲线的对称性得出 故选：A. 6．高二某班共有名学生，其中女生有名，“三好学生”人数是全班人数的，且“三好学生”中女生占一半，现从该班学生中任选1人参加座谈会，则在已知没有选上女生的条件下，选上的学生是“三好学生”的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分别计算“三好学生”人数，女“三好学生”与男“三好学生”人数，再利用条件概率计算公式即可得出结论． 【详解】“三好学生”人数是全班人数的， “三好学生”人数是人，男生人数为人， “三好学生”中女生占一半，女“三好学生”与男“三好学生”各是人． 现从该班学生中任选1人参加座谈会，则在已知没有选上女生的条件下， 选上的学生是“三好学生”的概率， 故选：D． 7．某校高二年级下学期期末考试数学试卷满分为150分，90分以上（含90分）为及格．阅卷结果显示，全年级1200名学生的数学成绩近似服从正态分布，试卷的难度系数（难度系数平均分/满分）为0.49，标准差为22，则该次数学考试及格的人数约为（    ）附：若，记，则． A．136人 B．272人 C．328人 D．820人 【答案】B 【分析】首先求出平均数，即可得到学生的数学成绩，再根据所给条件求出，即可求出，即可估计人数． 【详解】由题得， ， ， ， 该校及格人数为（人）， 故选：B． 8．设随机变量，记，，下列说法正确的是（    ） A．当k由0增大到n时，先增后减，当且仅当k取某一个正整数时达到最大 B．如果为正整数，当且仅当时，取最大值 C．如果为非整数，当且仅当k取的整数部分时，取最大值 D． 【答案】C 【分析】对于ABC：根据二项分布的概率公式列式，结合组合公式计算分析最值；对于D：根据二项分布的期望公式分析判断. 【详解】对于ABC：因为，，， 由，得， 解得， 若为正整数，则或时，取最大值，故B错误； 若为非整数，则取的整数部分时，取最大值，故C正确； 综上所述，当k由0增大到n时，先增后减，在某一个（或两个）k值处达到最大. 故A错误； 对于D：因为，故D错误. 故选：C. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．甲、乙两个不透明的袋子中分别装有两种颜色不同但是大小相同的小球，甲袋中装有5个红球和5个绿球；乙袋中装有4个红球和6个绿球.先从甲袋中随机摸出一个小球放入乙袋中，再从乙袋中随机摸出一个小球，记表示事件“从甲袋摸出的是红球”，表示事件“从甲袋摸出的是绿球”，记表示事件“从乙袋摸出的是红球”，表示事件“从乙袋摸出的是绿球”.下列说法正确的是（   ） A．是互斥事件 B．是独立事件 C． D． 【答案】ACD 【分析】根据互斥事件的定义可判断A；求出是否相等可判断B；计算出可判断C；计算出可判断D. 【详解】对于A，依题意，因为每次只摸出一个球，， 所以，是互斥事件，故A正确； 对于B，，， 则， 所以，故B错误； 对于C，，故C正确； 对于D，，故D正确. 故选：ACD. 10．已知函数，其中分别是将一枚质地均匀的骰子抛掷两次得到的点数．设“函数的值域为”为事件，“函数为偶函数”为事件，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】根据给定条件，求出事件的所有可能结果，并求出概率，再结合事件的和与积、条件概率逐项分析即可. 【详解】将一枚质地均匀的骰子抛掷两次出现的点数共有种情况， 由函数的值域为， 则，即， 满足的有，，共2种情况， 则，. 由函数为偶函数，得， 满足的有，，，，，，共6种情况， 则. 对于A，满足事件A，B同时发生的有，共1种情况， 则，故A错误； 对于B，事件包含的有，，，，，，，共7种情况， 因此，故B正确； 对于C，，故C正确； 对于D，满足事件，B同时发生的有，，，，，共5种情况， 因此，则，故D错误．故选：BC. 11．下列判断正确的是（    ） A．若随机变量服从分布，且，则 B．若随机变量，则 C．若随机变量，则 D．若随机变量，，则 【答案】BCD 【分析】对A，根据0-1分布的概率公式求解即可；对B，根据二项分布的数学期望公式求解即可；对C，根据超几何分布的数学期望公式求解即可；对D，根据正态分布的对称性求解即可. 【详解】对A，若X服从0-1分布，则，故A错误； 对B，若随机变量，则，故B正确； 对C，若随机变量，则，故C正确； 对D，若随机变量，， 则，故D正确； 故选：BCD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．为了回馈长期以来的顾客群体，某健身房在五周年庆活动期间设计出了一种游戏活动，顾客需投掷一枚骰子两次，若两次投掷的数字都是偶数，则该顾客获得该健身房的免费团操券5张，且有2次终极抽奖机会（2次抽奖结果互不影响）；若两次投掷的数字之和是5或9，则该顾客获得该健身房的免费团操券5张，且有1次终极抽奖机会；其余情况顾客均获得该健身房的免费团操券3张，不具有终极抽奖机会.已知每次在终极抽奖活动中的奖品和对应的概率如下表所示. 奖品 一个健身背包 一盒蛋白粉 概率 则一位参加游戏活动的顾客获得蛋白粉的概率为 . 【答案】 【分析】记事件“顾客有两次终极抽奖机会”，事件“顾客有一次终极抽奖机会”，事件“获得蛋白粉”，求出，，利用全概率公式即可求解. 【详解】记事件“顾客有两次终极抽奖机会”， 事件“顾客有一次终极抽奖机会”，事件“获得蛋白粉”， ，，， 两次投掷的数字之和是5的情况有：“1,4”，“4,1”，“2,3”，“3,2”， 两次投掷的数字之和是9的情况有：“6,3”，“3,6”，“4,5”，“5,4”， 所以， . 故答案为：. 13．从一副去掉大小王的52张扑克牌中无放回地任意抽取两次.在第一次抽到的条件下，第二次也抽到的概率为 .（结果用最简分数表示） 【答案】 【分析】记事件第一次抽到，事件第二次抽到，利用条件概率公式可求得所求事件的概率. 【详解】记事件第一次抽到，事件第二次抽到， 则，， 因此，. 故答案为：. 14．某市为了传承中华优秀传统文化，组织该市中学生进行了一次文化知识答题竞赛.已知某同学答对每道题的概率均为，且每次答题相互独立，若该同学连续作答20道试题后结束比赛，记该同学答对道试题的概率为，则当 时，取得最大值. 【答案】13或14 【分析】先得到，利用解不等式即可. 【详解】由题意得，且， 则，即 故又，所以或， 故当或时，取得最大值. 故答案为：13或14. 四、解答题：本题共5小题，其中第15题13分，第16,17题15分，第18,19题17分，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．(13分）为了了解广大消费者购买新能源汽车意向与年龄是否具有相关性，某汽车APP采用问卷调查形式对400名消费者进行调查，数据显示这400人中中老年人共有150人，且愿意购买新能源车的人数是愿意购买燃油车的2倍；青年中愿意购买新能源车的人数是愿意购买燃油车的4倍. 年龄段 购车意向 合计 愿意购买新能源车 愿意购买燃油车 青年 中老年 合计 (1)完善2×2列联表，请根据小概率值的独立性检验，分析消费者对新能源车和燃油车的意向购买与年龄是否有关； (2)采用分层随机抽样从愿意购买新能源车的消费者中抽取9人，再从这9人中随机抽取5人，求这5人中青年人数的分布和期望. 附：，. 0.05 0.01 0.001 3.841 6.635 10.828 【答案】(1)列联表见解析，有关(2)分布列见解析， 【分析】（1）根据题意分别求出愿意购买新能源车的中年人数和青年人数以及愿意购买燃油车中年人数和青年人数，即可补全列联表，再根据公式计算出，根据表格即可判断； （2）先求出抽取9人中青年人数和中年人数，求出青年人数的可能取值及其对应的概率，即可求出分布列，再由数学期望公式即可求解. 【详解】（1）中老年共有150人，且愿意购买新能源车的人数是愿意购买燃油车的2倍， 所以愿意购买新能源车的中老年人数为100人，愿意购买燃油车的中老年人数为50人， 青年共有250人，愿意购买新能源车是愿意购买燃油车的4倍， 所以青年中愿意购买新能源车为200人，愿意购买燃油车为50人， 故2×2列联表如下： 年龄段 购车意向 合计 愿意购买新能源车 愿意购买燃油车 青年 200 50 250 中老年 100 50 150 合计 300 100 400 零假设：消费者购买新能源车和燃油车的意向与年龄无关， 根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立， 即认为消费者购买新能源车和燃油车的意向与年龄有关； （2）愿意购买新能源车的共有300人，青年人与中老年人的比例为， 所以分层随机抽样抽取的9人中6人是青年人，3人是中老年人，记这5人中， 青年的人数为，则的可能取值为， ， . 所以的分布列如下： X 2 3 4 5 P 则， 所以这5人中青年人数的期望为. 16．(15分）某校为了厚植文化自信､增强学生的爱国情怀，特举办“中国诗词精髓”知识竞赛活动，比赛中只有两道题目，比赛按先题后题的答题顺序各答1次，答对题得2分，答对题得3分，答错得0分.已知学生甲答对题的概率为，答对题的概率为，其中，学生乙答对题的概率为，答对题的概率为，且甲乙各自在答两题的结果互不影响.已知甲比赛后得5分的概率为，得3分的概率为. (1)求的值； (2)求比赛后，甲乙总得分不低于8分的概率. 【答案】(1)(2). 【分析】（1）由概率乘法公式列出等式求解即可. （2）记甲得分为i分的事件为，乙得分为i分的事件为，从而得到不低于8分的事件为，再结合概率加法、乘法公式即可求解. 【详解】（1）由题意得， 解得. （2）比赛结束后，甲､乙个人得分可能为. 记甲得分为i分的事件为，乙得分为i分的事件为， 相互独立， 记两轮投篮后甲总得分不低于8分为事件E， 则，且彼此互斥. 易得. ， 所以 所以两轮投篮后，甲总得分不低于8分的概率为. 17．(15分）数独是源自18世纪瑞士的一种数学游戏，玩家需要根据盘面上的已知数字，推理出所有剩余空格的数字，并满足每一行、每一列、每一个粗线宫（）内的数字均含1～9，且不重复．数独爱好者小明打算报名参加“丝路杯”全国数独大赛初级组的比赛． 参考数据： 1750 0.37 0.55 参考公式：对于一组数据，，⋯，，其经验回归方程的斜率和截距的最小二乘估计分别为，． (1)赛前小明进行了一段时间的训练，每天解题的平均速度y（秒/题）与训练天数x（天）有关，经统计得到如下数据： x（天） 1 2 3 4 5 6 7 y（秒/题） 910 800 600 440 300 240 210 现用作为回归方程模型，请利用表中数据，求出该回归方程；（用分数表示） (2)小明和小红玩“对战赛”，每局两人同时开始解一道数独题，先解出题的人获胜，不存在平局，两人约定先胜3局者赢得比赛．若小明每局获胜的概率为，且各局之间相互独立，设比赛X局后结束，求随机变量X的分布列及均值． 【答案】(1)(2)分布列见解析， 【分析】（1）由，得出，由参考公式求解出，从而求出和的回归方程； （2）根据随机变量的可能取值逐一分析，当时，小明连胜3局或小红连胜3局；当时，小明前3局胜2局最后一局胜或小红前3局胜2局最后一局胜；当时，小明前4局胜2局最后一局胜或小红前4局胜2局最后一局胜；分别求出每个取值的概率．最后代入期望公式计算即可． 【详解】（1）因为，， 所以， 因为，， ， 所以， 所以， 所以所求回归方程为； （2）随机变量X的所有可能取值为3，4，5， 则，， ， 所以随机变量X的分布列为： X 3 4 5 P 所以． 18．(17分）泉州市举办庆“七一”知识竞赛活动，初赛采用两轮制方式进行，要求每个区（县）派出两个小组，且每个小组都要参加两轮比赛，两轮比赛都通过的小组才具备参加决赛的资格.德化县派出甲､乙两个小组参赛，在初赛中，若甲､乙两组通过第一轮比赛的概率分别是，通过第二轮比赛的概率分别是，且各个小组所有轮次比赛的结果互不影响. (1)德化县派出的两个组获得决赛资格的小组的个数为，求的分布列和期望； (2)已知德化县的甲､乙两组在决赛中相遇，决赛以抢答和两道题的方式进行，抢到并答对一题得10分，答错不得分.其中一方的得分多于另一方的得分即为获胜，假设这两组在决赛中对每个问题回答正确的概率恰好是各自获得决赛资格的概率，甲､乙两组随机等可能抢到每道题，求甲组获胜的概率. 【答案】(1)分布列见解析，(2) 【分析】（1）根据概率乘法公式求解对应的概率，利用分布列和期望的概念，即可求解； （2）分类讨论，利用概率加法公式即可求解. 【详解】（1）设甲乙通过初赛分别为事件，， 则， 由题意可得，的取值有0，1，2， ， . 所以的分布列为： 0 1 2 P 所以. （2）依题意甲，乙抢到并答对一题的概率为， 甲组若想获胜情况有： 甲得10分，乙得分：其概率为， 甲得20分：其概率为， 故甲组获胜的概率为． 19．(17分）聊天机器人（chatterbot）是一个经由对话或文字进行交谈的计算机程序.当一个问题输入给聊天机器人时，它会从数据库中检索最贴切的结果进行应答.在对某款聊天机器人进行测试时，如果输入的问题没有语法错误，则应答被采纳的概率为80%，若出现语法错误，则应答被采纳的概率为30%.假设每次输入的问题出现语法错误的概率为10%. (1)求一个问题的应答被采纳的概率； (2)在某次测试中，输入了8个问题，每个问题的应答是否被采纳相互独立，记这些应答被采纳的个数为，事件（）的概率为，求当最大时的值. 【答案】(1)0.75(2)6 【分析】（1）根据全概率公式即可求解， （2）根据二项分布的概率公式，利用不等式即可求解最值. 【详解】（1）记“输入的问题没有语法错误”为事件， “一次应答被采纳”为事件， 由题意，，，则 ， . （2）依题意，，， 当最大时，有 即解得：，， 故当最大时，. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！8 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！8 学科网（北京）股份有限公司 $$