精品解析：重庆市第十八中学2024—2025学年九年级上学期期中考试数学试题

重庆市第十八中学2024—2025学年九年级上学期期中考试数学试题 一、选择题：本大题共10个小题，每小题4分，开40分．请将答题卡上对应题目的正确答案标号涂黑． 1. 下面图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据中心对称图形与轴对称图形的概念，进行判断即可．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形． 【详解】解：A．该图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意； B．该图形既是轴对称图形又是中心对称图形，故此选项符合题意； C．该图形是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意； D．该图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念，常见的中心对称图形有平行四边形、圆形、正方形、长方形等等．常见的轴对称图形有等腰三角形，矩形，正方形，等腰梯形，圆等等． 2. 在函数中，自变量x的取值范围是（　　） A. B. C. 且 D. 且 【答案】A 【解析】 【分析】根据二次根式和分式有意义的条件，列出不等式，即可求解． 【详解】由题意得：， 解得：， 故选：A． 【点睛】本题考查求函数自变量取值范围，掌握二次根式和分式有意义的条件是关键． 3. 估算的结果（ ） A. 在6和7之间 B. 在7和8之间 C. 在8和9之间 D. 在9和10之间 【答案】C 【解析】 【分析】首先计算，并确定范围，然后再利用不等式的基本性质确定的范围即可． 【详解】解： 故选C 【点睛】本题考查了二次根式的乘法、确定二次根式的范围、不等式的基本性质等知识点，范围的确定是解题关键． 4. 下表记录了甲、乙、丙、丁四名同学最近几次数学考试成绩的平均数与方差： 甲 乙 丙 丁 平均数（分） 92 95 95 95 方差 3.6 3.6 7.4 8.1 要选择一名成绩好且发挥稳定的同学参加数学比赛，应该选择（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 【答案】B 【解析】 【分析】根据平均数越高，成绩越好；方差越小，发挥越稳定判断即可． 【详解】解：∵甲、乙两名同学的方差较小，故该两名同学发挥稳定 又∵乙的平均分大于甲的平均分 ∴乙的成绩较好 综上，应该选择乙同学去参加比赛 故选：B 【点睛】本题考查平均数和方差的统计意义．理解平均数越高，成绩越好；方差越小，发挥越稳定是解题关键． 5. 二次函数的顶点坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的顶点式．熟练掌握二次函数的顶点式是解题的关键． 根据，求解作答即可． 【详解】解：∵， ∴顶点坐标为， 故选：A． 6. 关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是（ ）． A. B. 且 C. 且 D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义和根的判别式，即可解答． 【详解】解：∵是一元二次方程， ∴，解得：， ∵一元二次方程有实数根， ∴， 解得：， 综上：k的取值范围是且， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了已知一元二次方程根的情况求参数的取值范围，解题的关键是熟练掌握当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根． 7. 如图，将绕B点顺时针方向旋转一个角α到，点A的对应点D恰好落在上，且．若，则α的度数为（ ） A. 30° B. 40° C. 45° D. 36° 【答案】B 【解析】 【分析】此题主要考查了旋转的性质，等腰三角形的性质与平行线的性质，三角形内角和定理．首先利用旋转的性质和等腰三角形的性质得到，，然后利用已知条件可以求出，然后利用三角形内角和定理列式计算即可求解． 【详解】解：∵将绕点B顺时针旋转到，， ∴，，， ∴，， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴， 解得， 故选：B． 8. 如图，是的切线，B为切点，连接交于点C，延长交于点D，连接，若，且，则的长是（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由圆周角定理可得，等量代换可得，进而可得，根据切线的定义得出，利用勾股定理求出，则． 【详解】解：如图，连接． 由圆周角定理可得， ， ， ， ， ． 是的切线， ， ． ． 故选：D． 【点睛】本题考查圆周角定理，切线的性质，勾股定理，等腰三角形的判定等，难度不大，解题的关键是先利用圆周角定理得出，进而利用上述知识点逐步求解． 9. 如图，矩形中，点E为边的中点，连接，过E作交于点F，连接，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的判定和性质，三角形外角的性质．延长交于点G，证明，可得，从而得到，进而得到，然后根据余角的性质可得，再根据三角形外角的性质可得，即可求解． 【详解】解：如图，延长交于点G， ∵四边形是矩形， ∴， ∴，， ∵点E为边的中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：A 10. 在多项式（其中）中，对每个字母及其左边的符号（不包括括号外的符号）称为一个数，即：为“数1”，为“数2”，为“数3”，为“数4”，若将任意两个数交换位置，后得到一个新多项式，再写出新多项式的绝对值，这样的操作称为对多项式的“绝对换位变换”，例如：对上述多项式的“数3”和“数4”进行“绝对换位变换”，得到，将其化简后结果为，．下列说法： ①对多项式的“数1”和“数2”进行“绝对换位变换”后的运算结果一定等于对“数3”和“数4”进行“绝对换位变换”后的运算结果； ②不存在“绝对换位变换”，使其运算结果与原多项式相等； ③所有的“绝对换位变换”共有5种不同运算结果． 其中正确的个数是（　　） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了整式的加减运算，对于新定义的理解及绝对值的性质的应用是解题关键．按照所提供的运算，将所有存在的结果计算，即可解题． 【详解】解：对多项式的“数1”和“数2”进行“绝对换位变换”后的运算，，故①正确； 对多项式的“数1”和“数3”进行“绝对换位变换”后的运算，， 对多项式的“数1”和“数4”进行“绝对换位变换”后的运算，或 对多项式的“数2”和“数3”进行“绝对换位变换”后的运算，或对多项式的“数2”和“数4”进行“绝对换位变换”后的运算，， 综上共4种结果，故③错误； 其中存在“绝对换位变换”，使其运算结果与原多项式相等，故②错误． 故选：B． 二、填空题：本大题共有8个小题，每小题4分，共32分．请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上． 11. 计算：的结果是________． 【答案】0 【解析】 【分析】此题主要考查了负指数幂、绝对值以及零指数幂，正确化简各数是解题关键． 直接利用负指数幂的性质、绝对值以及零指数幂的性质进而得出答案． 【详解】解：原式． 故答案为：0． 12. 如图，是直径，点C，D是圆上两点，若，则________． 【答案】##26度 【解析】 【分析】本题考查圆周角定理，先求出的度数，再根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半，进行求解即可． 【详解】解：∵是直径，， ∴， ∵点C，D是圆上两点， ∴； 故答案为：． 13. 不透明的盒子中有3个红球，1个白球，这些球除颜色外无其他差别，从中随机摸出一个球不放回，再从中随机摸出一个球，两次摸出的恰好都是红球的概率是_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，画出树状图，展示所有等可能的结果，再利用概率公式，即可求解． 【详解】画树状图如下： 一共有12种等可能的结果，两次摸出的恰好都是红球有6种， ∴两次摸出的恰好都是红球的概率=6÷12=， 故答案是： 【点睛】本题主要考查等可能事件的概率，熟练画出树状图，展示所有等可能的结果，是解题的关键． 14. 已知二次函数的图象如图所示，有下列结论：①；②；③；④；其中正确的结论番号有________． 【答案】②③④ 【解析】 【分析】本题考查二次函数图象与系数之间的关键，二次函数的图象和性质，抛物线的开口方向，对称轴，与轴的交点位置判断①，特殊点判断②，抛物线与轴的交点个数判断③，最值判断④． 【详解】解：由图象可知，抛物线的开口向下，对称轴为直线，与轴交于正半轴，与轴有两个交点， ∴， ∴，；故①错误，③正确； 由图象可知，当时，， ∴，故②正确； ∵抛物线的开口向下，对称轴为直线， ∴当时，函数有最大值为， ∴， ∴；故④正确； 故答案为：②③④． 15. 如图，圆心角为的扇形内，以为直径作半圆，连接．若，阴影部分的面积为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据为直径可知，在等腰直角三角形中，垂直平分，，点D为半圆的中点，阴影部分的面积可以看作是扇形的面积与的面积之差． 【详解】解：如图，连接， 在中， ∵， ∴， ∵是半圆的直径， ∴， 在等腰中， ∵垂直平分，， ∴D为半圆的中点， ∴ ． 故答案为：． 【点睛】本题考查的是扇形面积的计算，熟记扇形的面积公式是解答此题的关键． 16. 如图，在矩形中，，，对角线相交于点E，将沿着翻折到，连接，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】连接，交于点，说明为的中位线，再利用勾股定理列方程即可求解． 【详解】解：连接，交于点，如下图： ∵将沿着翻折到， ∴垂直平分 ∴， ∵四边形为矩形 ∴，， ∴为的中位线 ∴ 设，则 由勾股定理可得： 解得 故答案为： 【点睛】此题考查了翻折变换，矩形的性质，三角形中位线定理，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握相关基础性质． 17. 若关于x的一元一次不等式组至少有4个整数解，且关于y的分式方程的解为非负数，则所有满足条件的整数a的值之和为 _____． 【答案】8 【解析】 【分析】先求出不等式组的解集，根据至少有4个整数解，确定出a的范围，再由分式方程解为非负数，确定出满足题意整数a的值，求出之和即可． 【详解】解：， 解①得，， 解②得，， ∴， ∵不等式组至少有4个整数解，即，0，1，2， ∴， 解得：， 根据分式方程解得：， ∵分式方程解为非负数， ∴且， 解得：且， ∴a的范围是且， 则整数解为，0，2，3，4, 整数a的值之和为． 故答案为：8． 【点睛】此题考查了解一元一次不等式组，分式方程的解，解一元一次不等式，熟练掌握各自的解法是解本题的关键． 18. 对于一个各数位上的数字均不为0且互不相等的三位自然数，将它各个数位上的数字分别乘以3后再取其个位数，得到三个新的数字，再将这三个新数字重新组合成不同的三位数，当的值最小时，称此时的为自然数p的“魅力数”，并规定．例如：时，其各个数位上数字分别乘以3后的三个数的个位数分别是：3、5、1，重新组合后的数为，因为的值最小，所以315是157的“魅力数”，此时，则________，若s、t都是各数位上的数字均不为0且互不相等的三位自然数，且，，其中（，，a、b均为整数）．若能被5整除，能被整除，则的最大值为________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题考查了含乘方的有理数的混合运算，整式的加减运算．理解运算规则是解题的关键． 根据定义可求的值；由，，可得，，由能被5整除，可知也能被5整除，进而可得或，由能被整除，可得也能被整除，进而可得，则或；然后分别计算，，比大小后作答即可． 【详解】解：由题意知，时，其各个数位上数字分别乘以3后的三个数的个位数分别是：6、2、4，重新组合后的数为， ∵的值最小， ∴是的“魅力数”，此时； ∵，， ∴，， ∵能被5整除， ∴也能被5整除， ∵，a为整数， ∴或， ∵能被整除， ∴也能被整除， ∵，b为整数， ∴， 当，时，； 其各个数位上数字分别乘以3后的三个数的个位数分别是：3、6、2，重新组合后的数为， ∵的值最小，所以是的“魅力数”， ∴， 当，时，； 其各个数位上数字分别乘以3后的三个数的个位数分别是：3、6、7，重新组合后的数为， ∵的值最小，所以是的“魅力数”， ∴， ∵， ∴的最大值为， 故答案为：，． 三、解答题：本大题共8小题，共78分．解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，请将解答过程写在答题卡中对应的位置上． 19. 计算： （1） ； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先根据分式的加减计算括号内的，同时将除法转化为乘法，再根据分式的性质化简即可求解． （2）先化为一般形式，然后根据因式分解法解一元二次方程，即可求解． 【小问1详解】 解： 【小问2详解】 整理，得：， ， ∴或， 解得． 【点睛】本题考查了分式的化简，因式分解法解一元二次方程，熟练掌握分式的化简，解一元二次方程是解题的关键． 20. 已知四边形是平行四边形，． （1）利用尺规作图作的角平分线交于点，在上截取，连接；（要求保留作图痕迹，不写作法）； （2）求证：四边形是菱形．（请补全下面的证明过程） 证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴ ① ， ∵平分， ∴ ∴ ② ， ∴ 又∵， ∴ ③ ， 又∵ ④ ， ∴四边形为平行四边形， 又∵ ⑤ ， ∴四边形是菱形． 【答案】（1） 如图，为所作； （2）；；；； 【解析】 【分析】（1）利用基本作图作的平分线和作一条线段等于已知线段即可； （2）先证明，则利用，可判断四边形为平行四边形，然后加上邻边相等可判断四边形是菱形． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查了作图-复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了平行四边形的性质和菱形的判定． 21. 北京时间2021年6月17日9时22分，搭载神舟十二号载人飞船的“长征二号F遥十二”运载火箭，在酒泉卫星发射中心准时点火发射，顺利将聂海胜、刘伯明、汤洪波3名航天员送入太空，发射取得圆满成功，此举激发了广大青少年了解航天知识的热情，因此某校组织了航天知识的相关讲座和课程，并进行了测试．现从该校七、八年级各随机选取20名学生的测试成绩（满分100分，90分及以上为优秀）进行整理描述和分析，以下是部分信息： 七年级20名学生测试成绩的扇形统计图如图： A：100分：B：90﹣99分C：80﹣89分：D：80分以下 其中C等级的学生分数为： 85，87，84，80，88，86，89，80，83，85． 八年级20名学生的测试成绩整理如表： 分数 73 80 82 85 89 90 93 95 96 100 人数 1 3 2 3 1 3 1 4 1 1 两组数据的平均数，众数，中位数，优秀率如表所示： 年级 平均分 众数 中位数 优秀率 七年级 88 91 a 40% 八年级 88 b 89.5 c 据以上信息，解答下列问题： （1）a＝　 　，b＝　 　，c＝　 　； （2）根据上述数据，你认为该校七、八年级中，哪个年级掌握航天知识更好？请说明理由； （3）为鼓励学生继续关注航天知识，该校对测试成绩大于等于90分的同学颁发“航天小达人”荣誉称号．已知该校七、八年级各有1500名学生，请你估计这两个年级得到该荣誉称号的学生一共有多少名． 【答案】（1），95，； （2）八年级学生掌握航天知识更好，理由：八年级的90分以上人数所占百分比大于七年级，八年级学生的中位数、众数大于七年级，故八年级学生掌握航天知识更好； （3）1350． 【解析】 【分析】（1）根据扇形统计图的制作方法可求出“ABC组”的人数，再根据中位数意义可求出a、由八年级成绩表和众数的意义可求出的值；再根据90分及以上为优秀，求得优秀率； （2）统计表中的数据，通过中位数、众数、优秀率进行分析得出答案； （3）根据样本中的优秀率，求出总体中的优秀人数． 【详解】解：（1）七年级20名学生的测试成绩中A组人数 为 ， B组人数为 ， C组成绩由低到高排列为80，80，83，84，85，85，86，87， 88，89． 故第10个、第11个数分别是80、83，故； 八年级20名学生的测试成绩表可知95分人数为4人，人数最多，故八年级众数为b=95； 八年级优秀率． 故答案为：，95，； （2）略 （3）统计表可知，七年级成绩优秀率为40%，八年级成绩优秀率为50%， 参加此次测试活动成绩优秀的学生有（人）． 故参加此次测试活动成绩优秀的学生大约有1350人． 【点睛】本题考查了条形统计图、中位数、众数、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 22. 正所谓“道路通达，百业兴旺”，某村决定对村里的部分道路进行整改，将工程交由甲、乙两个工程队来完成．已知甲工程队每天比乙工程队多修，如果甲工程队修所用的天数是乙工程队修所用天数的一半． （1）求甲，乙两个工程队每天各修路多少？ （2）现计划再修建长度为的道路，由甲、乙两个工程队来完成，若甲队每天所需费用为万元，乙队每天所需费用为万元，求在总费用不超过万元的情况下，至少安排乙工程队施工多少天？ 【答案】（1）甲工程队每天修，乙工程队每天修 （2）至少安排乙工程队施工天 【解析】 【分析】本题主要考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，找准等量关系是解题的关键． （1）设乙工程队每天修，则甲工程队每天修，根据题意列出分式方程计算并检验即可； （2）设安排乙工程队施工天，则甲施工天，根据题意列出不等式进行计算即可． 【小问1详解】 解：设乙工程队每天修，则甲工程队每天修， 根据题意得：， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ， 答：甲工程队每天修，乙工程队每天修； 【小问2详解】 解：设安排乙工程队施工天，则甲施工天， 由题意得：， 解得， 的最小值为， 答：至少安排乙工程队施工天． 23. 如图1，是直角三角形，，，，点P从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿着方向运动到A点停止，设，点P的运动时间为x秒． （1）直接写出y与x之间的函数表达式，并写出对应x的取值范围． （2）在平面直角坐标系中画出y的图像，并写出y的一条性质 （3）结合作出的图像直接写出它与函数相交时x的值．（保留一位小数，误差不超过） 【答案】（1） （2） 如图所示： 当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小 （3）或 【解析】 【分析】（1）分两种情况，点P在上，点P在上，分别根据三角形的面积公式求出结果即可； （2）描点再顺次连接可得函数图象，由图象可得函数的一条性质； （3）观察图象可得答案． 【小问1详解】 解：当点P在上时，，此时， 当点P在上时，，此时， 综上分析可知：； 【小问2详解】 解：把代入得：， 则图象经过点， 把代入得：， 则图象经过点， ∴连接点和，连接点和，且点和除外， 根据函数图象可知，当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小； 【小问3详解】 解：根据函数图象可知，作出的图像与函数的交点的横坐标约为，， 即此时或． 【点睛】本题主要考查了求一次函数解析式，一次函数的性质，画一次函数图象，直线的交点坐标，解题的关键是数形结合，熟练掌握一次函数的性质． 24. 在公园里，同一平面内的五处景点的道路分布如图所示，经测量，点均在点的正北方向且米，点在点的正西方向，且米，点在点A的南偏东方向且米，点在点A的东北方向．（参考数据：） （1）求道路的长度（结果保留根号）； （2）若甲从A点出发沿的路径去点，与此同时乙从点出发，沿的路径去点，在两人速度相同的情况下谁先到达点E？（结果精确到十分位） 【答案】（1）道路的长度约为米 （2）乙先到达点E 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用方向角问题，勾股定理的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． （1）过点A作，交的延长线于点，过点A作，垂足为，根据题意可得：，，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出，的长，从而求出的长，再在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，即可解答； （2）利用（1）的结论可求出的长，再在中，利用勾股定理可求出的长，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而求出甲和乙的路程，最后进行判定即可解答． 【小问1详解】 解：过点A作，交的延长线于点，过点A作，垂足为，如图所示： 由题意得： ，， 在中，，米， （米， （米， 米， 米， （米， 米， 在中，， （米， 道路的长度约为米； 【小问2详解】 解：米，米， （米， 在中，米， （米， 在中，， （米， 甲的路程（米）， 乙的路程（米， ∵，两人速度相同， ∴乙先到达点E． 25. 如图，已知抛物线与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，过点B作直线交抛物线于点D． （1）求点D的坐标； （2）点P是直线上方的抛物线上一点，连接，交于点E，连接，，求面积的最大值及此时点P的坐标． （3）将抛物线沿射线CA方向平移单位得到新的抛物线，点M是新抛物线对称轴上一点，点N为平面直角坐标系内一点，直接写出所有以A，C，M，N为顶点的四边形为矩形的点N的坐标，并写出其中一个点N的坐标的求解过程． 【答案】（1）； （2）当时，的最大值为：，此时； （3）点N的坐标为或或， 或  【解析】 【分析】（1）令，求出x的值，进而可求出点A，B的坐标，令，得出y的值，可得出点C的坐标，利用待定系数法可求出直线的坐标，再利用可得出直线的解析式，联立直线与抛物线的解析式即可得出点D的坐标； （2）过点P作轴交BD于点Q，设点P的横坐标为m，由此可得出点P和点Q的坐标，进而求出的长，由三角形面积公式可得出的面积；连接，由平行可知，的面积与的面积相等，根据，可表达S与m的函数关系，再根据二次函数的性质求解即可； （3）将抛物线沿射线CA方向平移 单位即抛物线先左平移1个单位，再向下平移 个单位，由此可得 的解析式，得出抛物线的对称轴，得出点M的横坐标，若以A，C，M，N为顶点的四边形为矩形，则为直角三角形，需要分类讨论：点A为直角顶点；点C为直角顶点；点M为直角顶点，求出点M的坐标，再根据矩形的性质可得出点N的坐标． 【小问1详解】 解：令，即， 解得或， ； 令，则， ， ∴直线的解析式为：， ， ∴直线的解析式为：， 将点的坐标代入直线，可得， ， ∴直线的解析式为：， 令， 解得（舍）或， ． 【小问2详解】 如图，过点P作轴交于点Q，设点P的横坐标为m， 则， ， ， 连接， ， ， ， ， ∴当时，的最大值为：，此时； 【小问3详解】 将抛物线沿射线CA方向平移 单位即抛物线先左平移1个单位，再向下平移个单位， ， ， ∴抛物线 的对称轴为； 设点M的纵坐标为t，则， ， ， ， 若以A，C，M，N为顶点的四边形为矩形，则为直角三角形，需要分类讨论： ①点A为直角顶点， ， 即 ， 解得， 由矩形的性质可知，； ②点C为直角顶点， ， 即 ， 解得， ， 由矩形的性质可知，； ③点M为直角顶点， ， 即 ， 解得 或 ， 或 ， 由矩形的性质可知， 或， 综上，若以A，C，M，N为顶点的四边形为矩形时，点N的坐标为或或， 或 ． 【点睛】本题属于二次函数综合题，主要考查待定系数法求函数的解析式，三角形的面积问题，二次函数的性质，矩形的性质等相关问题，（2）得出S与x的函数关系式是解题关键． 26. 如图，已知在直角中，，E为边上一点，连接，过E作，交边于点D． （1）如图1，连接，若，，求的面积； （2）如图2，作的角平分线交于点F，连接，若，求证：； （3）如图3，若，将沿折叠，得到，且与交于点G，连接，点E在边上运动的过程中，当时，直接写出的值． 【答案】（1） （2） 证明：如图2中，过点B作交的延长线于点T， ∵， ， ∵， ， ， ， ∴， 平分， ， 又 ∴， ， ∵， ， ∵， ， ∴， ，， ∴； （3） 【解析】 【分析】（1）根据，可得都得等腰直角三角形，由此可求出的值，由此即可求解； （2）如图2中，过点B作交的延长线于点T．根据直角三角形的性质可证，可得，再证得，可得，由此可得是等腰直角三角形，由此即可求解； （3）根据折叠的性质性质得到，，，可证是等边三角形，得到，，从而得到，推出；设，可求出，连接，可得是等边三角形，再结合勾股定理可求出，由此即可求解． 【小问1详解】 解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 在直角中，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图， ∵，， 当时， ∴， ∵将沿折叠，得到， ∴，， ， ∴，， ∴是等边三角形， ，， ， ， ， ，， ， ， 设，则， 在中， ， 如图，连接， ∵， ， ， ∴是等边三角形， ∴，， ， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了折叠的性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形，勾股定理的运用，等腰三角形、等边三角形的判定和性质等知识的综合，掌握勾股定理，添加合适的辅助线，是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 重庆市第十八中学2024—2025学年九年级上学期期中考试数学试题 一、选择题：本大题共10个小题，每小题4分，开40分．请将答题卡上对应题目的正确答案标号涂黑． 1. 下面图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 在函数中，自变量x的取值范围是（　　） A. B. C. 且 D. 且 3. 估算的结果（ ） A. 在6和7之间 B. 在7和8之间 C. 在8和9之间 D. 在9和10之间 4. 下表记录了甲、乙、丙、丁四名同学最近几次数学考试成绩的平均数与方差： 甲 乙 丙 丁 平均数（分） 92 95 95 95 方差 3.6 3.6 7.4 8.1 要选择一名成绩好且发挥稳定的同学参加数学比赛，应该选择（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 5. 二次函数的顶点坐标为（ ） A. B. C. D. 6. 关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是（ ）． A. B. 且 C. 且 D. 7. 如图，将绕B点顺时针方向旋转一个角α到，点A的对应点D恰好落在上，且．若，则α的度数为（ ） A. 30° B. 40° C. 45° D. 36° 8. 如图，是的切线，B为切点，连接交于点C，延长交于点D，连接，若，且，则的长是（ ） A. 1 B. C. D. 9. 如图，矩形中，点E为边的中点，连接，过E作交于点F，连接，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 10. 在多项式（其中）中，对每个字母及其左边的符号（不包括括号外的符号）称为一个数，即：为“数1”，为“数2”，为“数3”，为“数4”，若将任意两个数交换位置，后得到一个新多项式，再写出新多项式的绝对值，这样的操作称为对多项式的“绝对换位变换”，例如：对上述多项式的“数3”和“数4”进行“绝对换位变换”，得到，将其化简后结果为，．下列说法： ①对多项式的“数1”和“数2”进行“绝对换位变换”后的运算结果一定等于对“数3”和“数4”进行“绝对换位变换”后的运算结果； ②不存在“绝对换位变换”，使其运算结果与原多项式相等； ③所有的“绝对换位变换”共有5种不同运算结果． 其中正确的个数是（　　） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 二、填空题：本大题共有8个小题，每小题4分，共32分．请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上． 11. 计算：的结果是________． 12. 如图，是直径，点C，D是圆上两点，若，则________． 13. 不透明的盒子中有3个红球，1个白球，这些球除颜色外无其他差别，从中随机摸出一个球不放回，再从中随机摸出一个球，两次摸出的恰好都是红球的概率是_______． 14. 已知二次函数的图象如图所示，有下列结论：①；②；③；④；其中正确的结论番号有________． 15. 如图，圆心角为的扇形内，以为直径作半圆，连接．若，阴影部分的面积为________． 16. 如图，在矩形中，，，对角线相交于点E，将沿着翻折到，连接，则的长为______． 17. 若关于x的一元一次不等式组至少有4个整数解，且关于y的分式方程的解为非负数，则所有满足条件的整数a的值之和为 _____． 18. 对于一个各数位上的数字均不为0且互不相等的三位自然数，将它各个数位上的数字分别乘以3后再取其个位数，得到三个新的数字，再将这三个新数字重新组合成不同的三位数，当的值最小时，称此时的为自然数p的“魅力数”，并规定．例如：时，其各个数位上数字分别乘以3后的三个数的个位数分别是：3、5、1，重新组合后的数为，因为的值最小，所以315是157的“魅力数”，此时，则________，若s、t都是各数位上的数字均不为0且互不相等的三位自然数，且，，其中（，，a、b均为整数）．若能被5整除，能被整除，则的最大值为________． 三、解答题：本大题共8小题，共78分．解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，请将解答过程写在答题卡中对应的位置上． 19. 计算： （1） ； （2）． 20. 已知四边形是平行四边形，． （1）利用尺规作图作的角平分线交于点，在上截取，连接；（要求保留作图痕迹，不写作法）； （2）求证：四边形是菱形．（请补全下面的证明过程） 证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴ ① ， ∵平分， ∴ ∴ ② ， ∴ 又∵， ∴ ③ ， 又∵ ④ ， ∴四边形为平行四边形， 又∵ ⑤ ， ∴四边形是菱形． 21. 北京时间2021年6月17日9时22分，搭载神舟十二号载人飞船的“长征二号F遥十二”运载火箭，在酒泉卫星发射中心准时点火发射，顺利将聂海胜、刘伯明、汤洪波3名航天员送入太空，发射取得圆满成功，此举激发了广大青少年了解航天知识的热情，因此某校组织了航天知识的相关讲座和课程，并进行了测试．现从该校七、八年级各随机选取20名学生的测试成绩（满分100分，90分及以上为优秀）进行整理描述和分析，以下是部分信息： 七年级20名学生测试成绩的扇形统计图如图： A：100分：B：90﹣99分C：80﹣89分：D：80分以下 其中C等级的学生分数为： 85，87，84，80，88，86，89，80，83，85． 八年级20名学生的测试成绩整理如表： 分数 73 80 82 85 89 90 93 95 96 100 人数 1 3 2 3 1 3 1 4 1 1 两组数据的平均数，众数，中位数，优秀率如表所示： 年级 平均分 众数 中位数 优秀率 七年级 88 91 a 40% 八年级 88 b 89.5 c 据以上信息，解答下列问题： （1）a＝　 　，b＝　 　，c＝　 　； （2）根据上述数据，你认为该校七、八年级中，哪个年级掌握航天知识更好？请说明理由； （3）为鼓励学生继续关注航天知识，该校对测试成绩大于等于90分的同学颁发“航天小达人”荣誉称号．已知该校七、八年级各有1500名学生，请你估计这两个年级得到该荣誉称号的学生一共有多少名． 22. 正所谓“道路通达，百业兴旺”，某村决定对村里的部分道路进行整改，将工程交由甲、乙两个工程队来完成．已知甲工程队每天比乙工程队多修，如果甲工程队修所用的天数是乙工程队修所用天数的一半． （1）求甲，乙两个工程队每天各修路多少？ （2）现计划再修建长度为的道路，由甲、乙两个工程队来完成，若甲队每天所需费用为万元，乙队每天所需费用为万元，求在总费用不超过万元的情况下，至少安排乙工程队施工多少天？ 23. 如图1，是直角三角形，，，，点P从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿着方向运动到A点停止，设，点P的运动时间为x秒． （1）直接写出y与x之间的函数表达式，并写出对应x的取值范围． （2）在平面直角坐标系中画出y的图像，并写出y的一条性质 （3）结合作出的图像直接写出它与函数相交时x的值．（保留一位小数，误差不超过） 24. 在公园里，同一平面内的五处景点的道路分布如图所示，经测量，点均在点的正北方向且米，点在点的正西方向，且米，点在点A的南偏东方向且米，点在点A的东北方向．（参考数据：） （1）求道路的长度（结果保留根号）； （2）若甲从A点出发沿的路径去点，与此同时乙从点出发，沿的路径去点，在两人速度相同的情况下谁先到达点E？（结果精确到十分位） 25. 如图，已知抛物线与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，过点B作直线交抛物线于点D． （1）求点D的坐标； （2）点P是直线上方的抛物线上一点，连接，交于点E，连接，，求面积的最大值及此时点P的坐标． （3）将抛物线沿射线CA方向平移单位得到新的抛物线，点M是新抛物线对称轴上一点，点N为平面直角坐标系内一点，直接写出所有以A，C，M，N为顶点的四边形为矩形的点N的坐标，并写出其中一个点N的坐标的求解过程． 26. 如图，已知在直角中，，E为边上一点，连接，过E作，交边于点D． （1）如图1，连接，若，，求的面积； （2）如图2，作的角平分线交于点F，连接，若，求证：； （3）如图3，若，将沿折叠，得到，且与交于点G，连接，点E在边上运动的过程中，当时，直接写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $