专题01 解直角三角形重要模型之实际应用模型-2024-2025学年九年级数学下册常见几何模型全归纳之模型解读与提分精练（北师大版）

专题01 解直角三角形重要模型之实际应用模型 解直角三角形是中考的重要内容之一（也可理解为相似三角形的一种特殊情况），直角三角形边、角关系的知识是解直角三角形的基础。将实际问题转化为数学问题是关键，通常是通过作高线或垂线转化为解直角三角形问题，在解直角三角形时要注意三角函数的选取，避免计算复杂。在解题中，若求解的边、角不在直角三角形中，应先添加辅助线,构造直角三角形。为了提高解题和得分能力，本专题重点讲解解直角三角形的实际应用模型。 【知识储备】 图1 图2 图3 图4 图5 如图1，30°-60°-90°三边比值； 如图2，45°-45°-90°三边比值 如图3，30°-30°-120°三边比值；如图4，30°-45°-105°三边比值 如图5，45°-60°-75°三边比值。 上面五个结论在于练习勾股定理和方程，没有用到三角函数。其实三角函数相关题目的辅助线也类似，即作垂线，把角放在直角三角形中来研究。最后希望大家能够自己动手计算并研究这些特殊角度三角形的三边比值。 2 模型1.背靠背模型 2 模型1.背靠背模型 6 模型3.拥抱模型 8 12 模型1.背靠背模型 背靠背模型：如图，若三角形中有已知角时，则通过在三角形内作高CD，构造出两个直角三角形求解，其中公共边（高）CD是解题的关键。 图1 图2 图3 图4 图5 重要等量关系：如图1，CD为公共边，则AD+BD=AB；如图2，CE=DA，CD=EA，则CE+BD=AB； 如图3，CD=EF，CE=DF，则AD+CE+BF=AB；如图4，DE=BF，BD=EF，则AE+EF=AF； 如图5，BE=CF，CE=BF，则AE+EB=AB。 例1．（2024·湖南邵阳·二模）香炉洲大桥项目位于长沙市望城区，是目前湘江上跨度最大、主塔最高的独塔斜拉桥，预计2024年5月建成．某数学兴趣小组利用无人机和所学数学知识对该桥主塔的高度进行了测量．已知他们在点处测得主塔底端的俯角为，测得主塔顶端的仰角为，如图所示，此时无人机到主塔的水平距离为200米，求香炉洲大桥的主塔高度．（结果保留整数）（参考数据：，，，，，） 例2．（2024·内蒙古呼伦贝尔·中考真题）综合实践活动中，数学兴趣小组利用无人机测量大楼的高度．如图，无人机在离地面40米的处，测得操控者的俯角为，测得楼楼顶处的俯角为，又经过人工测量得到操控者和大楼之间的水平距离是80米，则楼的高度是多少米？（点都在同一平面内，参考数据：） 例3．（2024·湖北·模拟预测）在某小区内有两栋楼房（A楼在B楼的左侧）从A楼向B楼的楼底看去，若视线大地的夹角，从B楼向A楼楼顶的最左侧看去，视线与楼顶的夹角，若两楼楼体均与地面垂直，两楼楼体均宽5米，A楼高米，求B楼的高．（可能有用的数据：、、） 例4．（2024·江西·中考真题）图1是世界第一“大碗”——景德镇昌南里文化艺术中心主体建筑，其造型灵感来自于宋代湖田窑影青斗笠碗，寓意“万瓷之母”，如图2，“大碗”的主视图由“大碗”主体和矩形碗底组成，已知，，是太阳光线，，，点M，E，F，N在同一条直线上，经测量，，，．（结果精确到） (1)求“大碗”的口径的长；(2)求“大碗”的高度的长．（参考数据：，，） 模型2.母子模型 图1 图2 图3 图4 母子模型：若三角形中有已知角，通过在三角形外作高BC，构造有公共直角的两个三角形求解，其中公共边BC是解题的关键。 重要等量关系：如图1，BC为公共边，AD+DC=AC；如图2，BC为公共边，DC- BC= DB； 如图3，DF=EC，DE=FC，BF+DE=BC，AE+DF=AC；如图4，AF=CE，AC=FE，BC+AF= BE。 图5 图6 图7 图8 图9 如图5，BE+EC= BC；如图6，EC- BC= BE；如图7，AC=FG，AF=CG，AD+DC=FG，BC+AF= BG； 如图8，BC=FG，BF=CG，AC+BF=AG，EF+ BC= EG； 如图9，BC=FG，BF=CG，EF+BC=EG，BD+DF= BF，AC+ BD+ DF=AG。 例1．（2024·黑龙江牡丹江·中考真题）如图，某数学活动小组用高度为米的测角仪，对垂直于地面的建筑物的高度进行测量，于点C．在B处测得A的仰角，然后将测角仪向建筑物方向水平移动6米至处，于点G，测得A的仰角，的延长线交于点E，求建筑物的高度（结果保留小数点后一位）．（参考数据：） 例2．（2024·安徽合肥·三模）昌景黄高铁于2023年底通车运行，在设计线路图时，有很多地方需要打隧道．如图就是某隧道示意图，为了测量隧道的长度，施工队用无人机在距地面高度为200米的C处测得隧道南北两端A、B的俯角、（已知A、B、C三点在同一平面上），求该隧道南北两端A、B的距离．（结果保留整数，参考数据：，，，，，，） 例3．（2023·江苏南京·中考真题）如图，为了测量无人机的飞行高度，在水平地面上选择观测点A，B． 无人机悬停在C处，此时在A处测得C的仰角为无人机垂直上升悬停在D处，此时在B 处测得 D的仰角为点A， B， C， D在同一平面内， A， B两点在 的同侧． 求无人机在 C 处时离地面的高度．（参考数据：） 例4．（2024·广东中山·三模）王刚同学在学习了解直角三角形及其应用的知识后，尝试利用所学知识测量河对岸大树的高度，他在点处测得大树顶端的仰角为，再从点出发沿斜坡走米到达斜坡上点，在点处测得树顶端的仰角为，若斜面的坡度为：3（点、、在同一水平线上）． (1)求王刚同学从点到点的过程中上升的高度；(2)求大树的高度（结果保留根号）． 例5．（2024·江西南昌·模拟预测）如图1，是南昌八一起义纪念塔，象征着革命的胜利．某校数学社团的同学们欲测量塔的高度．如图2，他们在第一层看台上架设测角仪，从处测得塔的最高点的仰角为，测出，台阶可抽象为线段，，台阶的坡角为，测角仪的高度为，塔身可抽象成线段．(1)求测角仪与塔身的水平距离； (2)求塔身的高度．（结果精确到）（参考数据：，，，） 例6.（2024·湖南长沙·模拟预测）奇山秀水聚宝盆——湖南首届旅游大会在张家界召开．如图①为某景区山地剖面图，为给游客提供更好的游览体验，拟在山上修建观光索道．如图②所示为索道的设计示意图，以山顶为起点，沿途修建、两段长度相等的观光索道，最终到达山脚处，中途观光平台为，且与平行．索道与水平线的夹角为，与水平线夹角为，、两处的水平距离为，，垂足为点．（参考数据：，，，） (1)求索道的长（结果精确到0.）；(2)求水平距离的长（结果精确到0.）． 模型3.拥抱模型 拥抱模型：如图，分别解两个直角三角形，其中公共边BC是解题的关键。 图1 图2 图3 图4 重要等量关系：如图1，BC为公共边；如图2，BF+ FC+CE=BE；如图3，BC+ CE= BE； 如图4，AB=GE，AG=BE，BC+CE=AG, DG+AB= DE。 例1．（23-24九年级下·河南新乡·期中）无影塔位于河南汝南城南，相传冬至正午无塔影，故称无影塔；相传为唐代和尚悟颖所建，故又称“悟颖塔”．无影塔被国务院批准为国家级重点文物保护单位．某校数学“综合与实践”小组的同学欲测量其高度，他们把测量无影塔的高度作为一项课题活动，他们制订了测量方案，并利用课余时间完成了实地测量．他们从无影塔顶部处测得无影塔附近一棵大树的底部处的俯角是，从无影塔底部处测得这棵树顶部处的仰角是，大树的高米．为了减小测量误差；小组在测量两个角的度数和大树高度时．都分别测量了两次并取它们的平均值作为测量结果，测量数据如下表（不完整）． 课题 测量无影塔的高度 成员 组长：组员：、、 测量工具 测量角度的仪器，皮尺等 测量示意图                  说明：线段表示大树，线段表示无影塔，点、在同一条直线上，且点、、、都在同竖直平面内． 测量数据 测量项目 第一次 第二次 平均值 5.9 6.1 任务一：表中______，______，______； 任务二：请你帮小组的同学求出无影塔的高度（结果精确到0.1，参考数据，，，）； 例2．（2024·贵州遵义·模拟预测）赤水河畔的“美酒河”三个大字，是世界上最大的摩崖石刻汉字．小茜想测量绝壁上“美”字的高度，根据平面镜反射原理可推出入射光线与镜面的夹角等于反射光线与镜面的夹角（如图中，），具体操作如下：将平面镜水平放置于处，小茜站在处观测，俯角时，恰好通过平面镜看到“美”字顶端处（为小茜眼睛到地面的高度），再将平面镜水平放置于处观测，俯角时，恰好通过平面镜看到“美”字底端处．测得，，点，，，在同一水平线上，点，，在同一铅垂线上．（参考数据：，，） (1)的高度为__________，的长为__________；(2)求“美”字的高度． 例3．（2024·湖南娄底·模拟预测）如图，某小山高412米，其斜坡的坡度为，它的前面有一座建筑物．为了测量建筑物的高度，在山顶D和坡底C测的建筑物顶端A的俯角和仰角分别为，．求建筑物的高度．（结果精确到0.1米，） 1．（2024·河北保定·一模）如图，为了测量空中某点离地面的高度，小敏利用测角仪在点、分别测得的仰角为，为，地面上点、、在同一水平直线上，，则点离地面的高度长为（    ）    A． B． C． D． 2．（2024·广东·模拟预测）陈垣是中国杰出的历史学家、教育家，陈垣故居位于广东省江门市，故居的前面矗立着陈垣先生的半身塑像，如图，从塑像正前方距离底座D点2米的A点处测量，塑像底部C点的仰角为，顶部B点的仰角为，点B，C，D在同一条直线上，则塑像的高度为（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 3．（23-24九年级上·山东济宁·阶段练习）如图所示，热气球的探测器显示，从热气球A处看一栋楼顶部B处的仰角为，看这栋楼底部C处的俯角为，热气球A处与楼的水平距离为120m，则这栋楼的高度为（    ） A． B． C． D． 4．（23-24九年级上·河北保定·期末）图分别是某吊车在吊一物品时的实物图与示意图，已知吊车底盘的高度为米，支架的长为米，的坡度为，吊绳与支架的夹角为，吊臂与地面成角，求吊车的吊臂顶端点距地面的高度是（   ）米？（精确到米；参考数据：，，，，） A． B． C． D． 5．（2023·湖北武汉·模拟预测）如图，建筑物高度为，从建筑物的楼顶测得点的俯角为，测得点俯角为，则的长为 ．（已知，结果保留一位小数．） 6．（2024·湖北武汉·模拟预测）2024年4月25日20时59分，运载火箭托举着神舟十八号载人飞船，在酒泉卫星发射中心点火升空，送航天员奔赴“天宫”，如图，神舟十八号载人飞船从地面处成功发射，当飞船到达点A时，地面处的雷达站测得米，仰角为37°，0.3秒后，飞船直线上升到达点处，此时地面处的雷达站测得处的仰角为，点在同一直线上，已知两处相距460米，则飞船从A到处的平均速度为 米/秒．（结果精确到1米；参考数据：） 7．（2024·河南·模拟预测）由绿地集团耗资22亿建设的“大玉米”位于河南省省会郑州市郑东新区，因为其是圆柱塔式建筑，夜晚其布景灯采用黄色设计，因此得名，如今已经成为CBD的一座新地标建筑．某数学兴趣小组为测量其高度，一人先在附近一楼房的底端A点处观测“大玉米”顶端C处的仰角是45°，然后爬到该楼房顶端B点处观测“大玉米”底部D处的俯角是30°．已知楼房AB高约是162m，根据以上观测数据求“大玉米”的高．（结果保留整数，参考数据：1.41，1.73） 8．（2024·浙江·二模）高楼和斜坡的纵截面如图所示，斜坡的底部点C与高楼的水平距离为30米，斜坡CD的坡度（坡比），坡顶D到BC的垂直距离米，在点D处测得高楼楼顶点A的仰角为，求楼的高度（结果精确到米）．（参考数据：，，） 9．（23-24九年级上·安徽合肥·期末）如图，某景区为方便游客上下山，现在从甲山处的位置向乙山处拉一段缆绳．已知甲山上点到的垂直高度米；从处往处看的仰角为，乙山上点到河边的距离米，从处看处的俯角为．（、、、在同一平面内，参考值：，，，）。(1)求乙山处到河边的垂直距离（结果保留根号）；(2)求甲山与乙山所拉缆绳的长度（结果保留整数）． 10．（2024·浙江·模拟预测）【综合与实践】 如图1，光线从空气射入水中会发生折射现象，其中代表入射角，代表折射角．学习小组查阅资料了解到，若，则把称为折射率．（参考数据：，） 【实践操作】如图2，为了进一步研究光的折射现象，学习小组设计了如下实验：将激光笔固定在处，光线可沿照射到空容器底部处，将水加至处，且时，光点移动到处，此时测得，四边形是矩形，是法线． 【问题解决】(1)求入射角的度数；(2)请求出光线从空气射入水中的折射率． 11．（2024·安徽六安·模拟预测）如图，四边形是某校九（1）班的劳动实践基地，经测量，，，，，求的长．（参考数据：，，，，）    12．（2024·贵州·模拟预测）贵阳乌当惜字塔位于贵阳市乌当区，它是贵阳当地历史悠久的古塔之一，也是唯一一座与爱惜文字有关的古塔．某校九年级的一个班级利用周末时间开展“测量乌当惜字塔高度”的实践活动，想得到乌当惜字塔的高度．如图，乌当惜字塔垂直于地面，在塔的两侧不远处取C，D两点，C，D两点之间的距离为，并测量出，．（参考数据：，，，，，，，结果保留一位小数．） (1)求乌当惜字塔的高度；(2)同学们发现，在塔身第三层的位置镌嵌着“过”、“化”、“存”、“神”四个大字，于是在D点观察第三层时测量到，求四个大字所在的第三层距离地面的高度．      13．（2024·安徽合肥·三模）一大型建筑如图所示，，测得米，米．分别求的长． 参考数据：． 14．（2024·山西·三模）学校操场的主席台安装了如图1所示的遮阳棚，其截面示意图如图2所示，其中四边形是矩形，主席台高米．上午某时刻经过点E的太阳光线恰好照射在上的点F处，测得，遮阳棚在主席台阴影区域的宽度米；一段时间后，经过点E的太阳光线恰好照射在上的点G处，测得，遮阳棚在主席台阴影区域的宽度米，点A，B，C，D，E，F，G均在同一竖直平面内，求点E距离地面的高度．（结果精确到米．参考数据：，，，，，） 15．（2024·山西大同·模拟预测）如图，某兴趣小组想利用所学过的测量知识来测量学校内旗杆和居民楼的高度，首先在旗杆与居民楼之间的A点放置测角仪，记为，测得点C和点E的仰角分别为和，然后向居民楼方向前进米到达点B处放置测角仪，记作，测得点C和点E的仰角分别为和，已知所有点都在同一竖直平面内，且点D、B、A、F在同一直线上，测角仪的高度为米，求旗杆的高度和居民楼的高度．（结果保留一位小数，参考数据：，，，） 16．（2024·湖北黄冈·模拟预测）如图，拦水坝的横断面为梯形，，坝高，斜坡的坡度为，斜坡的坡角，求坝底的长． 17．（23-24九年级上·重庆沙坪坝·期中）随着南海局势的升级，中国政府决定在黄岩岛填海造陆，修建机场，设立雷达塔．某日， 在雷达塔 A 处侦测到东北方向上的点 B 处有一艘菲律宾渔船进入我方侦测区域，且以 30 海里/时的速度往正南方向航行，我方与其进行多次无线电沟通无果后，这艘渔船行驶了 1 小时 10 分到达点 A 南偏东方向的 C 处，与此同时我方立即通知（通知时间忽略不 计）与 A 、C 在一条直线上的中国海警船往正西方向对该渔船进行侦测拦截，其中海警船位于与 A 相距 100 海里的 D 处． (1)求的距离和点 D 到直线的距离；(2)若海警船航行速度为 40 海里/时，可侦测半径为 25 海里，当海警船航行 1 小时时，是否可以侦测到菲律宾渔船，为什么？（参考数据： ， ， ） 18．（2024·江苏连云港·中考真题）图1是古代数学家杨辉在《详解九章算法》中对“邑的计算”的相关研究．数学兴趣小组也类比进行了如下探究：如图2，正八边形游乐城的边长为，南门设立在边的正中央，游乐城南侧有一条东西走向的道路，在上（门宽及门与道路间距离忽略不计），东侧有一条南北走向的道路，C处有一座雕塑．在处测得雕塑在北偏东方向上，在处测得雕塑在北偏东方向上．(1)_______，_______；(2)求点到道路的距离； (3)若该小组成员小李出南门O后沿道路向东行走，求她离处不超过多少千米，才能确保观察雕塑不会受到游乐城的影响？（结果精确到，参考数据：，，，，） 19．（2024·江苏镇江·中考真题）图1、2是一个折叠梯的实物图．图3是折叠梯展开、折叠过程中的一个主视图．图4是折叠梯充分展开后的主视图，此时点E落在上，已知，，点D、F、G、J在上，、、、均与所在直线平行，，．点N在上，、的长度固定不变．图5是折叠梯完全折叠时的主视图，此时、重合，点、、、、、在上的位置如图所示． 【分析问题】（1）如图5，用图中的线段填空：______；（2）如图4，______，由，且的长度不变，可得与之间的数量关系为_______； 【解决问题】（3）求的长． 20．（2024·黑龙江大庆·中考真题）如图，是一座南北走向的大桥，一辆汽车在笔直的公路上由北向南行驶，在处测得桥头在南偏东方向上，继续行驶米后到达处，测得桥头在南偏东方向上，桥头在南偏东方向上，求大桥的长度．（结果精确到米，参考数据：） 21．（2024·贵州·模拟预测）如图，这是一款升降电脑桌，它的升降范围是，图是它的示意图，已知，点、在上滑动，点、在上滑动，、相交于点，.（结果精确到） (1)如图，当从增加到时，这款电脑桌升高了多少？ (2)当电脑桌从图位置升到最大高度（如图）时，求的大小及点滑动的距离.（参考数据：，，，，） 22．（2023·河南商丘·一模）中原福塔又名河南广播电视塔，是郑州市著名地标之一，中原福塔由塔体(含塔座、塔身、塔楼)和桅杆两部分组成，如图1．    某数学兴趣小组的同学们开展了测量中原福塔塔体部分高度的实践活动，过程如下： 【制订方案】如图2，在塔座底部所在的水平面上，选取两个不同的测量地点，，分别由甲、乙两组同学测量塔体顶端点和桅杆天线顶部点的仰角，丙组同学测量这两个测量地点之间的距离． 【实地测量水平地面上测量地点，与塔体底端点在同一条直线上，线段，分别表示测角仪支架，线段表示桅杆天线，表示塔体． 测量一：甲组同学在处测量一次，测得塔体顶端点的仰角为； 测量二：乙组同学在处测量一次，测得桅杆天线顶部点的仰角为°； 测量三：丙组同学测量了三次，数据如下： 测量项目 第一次 第二次 第三次 ，之间的距离 (1)丙组同学三次测量，之间距离的平均值为______m； (2)已知福塔顶部桅杆天线高，测角仪支架高，求塔体的高度结果精确到．参考数据：，，)； (3)从减小误差的角度考虑，你认为哪个小组的测量方法更合理?请说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！19 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 解直角三角形重要模型之实际应用模型 解直角三角形是中考的重要内容之一（也可理解为相似三角形的一种特殊情况），直角三角形边、角关系的知识是解直角三角形的基础。将实际问题转化为数学问题是关键，通常是通过作高线或垂线转化为解直角三角形问题，在解直角三角形时要注意三角函数的选取，避免计算复杂。在解题中，若求解的边、角不在直角三角形中，应先添加辅助线,构造直角三角形。为了提高解题和得分能力，本专题重点讲解解直角三角形的实际应用模型。 【知识储备】 图1 图2 图3 图4 图5 如图1，30°-60°-90°三边比值； 如图2，45°-45°-90°三边比值 如图3，30°-30°-120°三边比值；如图4，30°-45°-105°三边比值 如图5，45°-60°-75°三边比值。 上面五个结论在于练习勾股定理和方程，没有用到三角函数。其实三角函数相关题目的辅助线也类似，即作垂线，把角放在直角三角形中来研究。最后希望大家能够自己动手计算并研究这些特殊角度三角形的三边比值。 2 模型1.背靠背模型 2 模型1.背靠背模型 6 模型3.拥抱模型 8 12 模型1.背靠背模型 背靠背模型：如图，若三角形中有已知角时，则通过在三角形内作高CD，构造出两个直角三角形求解，其中公共边（高）CD是解题的关键。 图1 图2 图3 图4 图5 重要等量关系：如图1，CD为公共边，则AD+BD=AB；如图2，CE=DA，CD=EA，则CE+BD=AB； 如图3，CD=EF，CE=DF，则AD+CE+BF=AB；如图4，DE=BF，BD=EF，则AE+EF=AF； 如图5，BE=CF，CE=BF，则AE+EB=AB。 例1．（2024·湖南邵阳·二模）香炉洲大桥项目位于长沙市望城区，是目前湘江上跨度最大、主塔最高的独塔斜拉桥，预计2024年5月建成．某数学兴趣小组利用无人机和所学数学知识对该桥主塔的高度进行了测量．已知他们在点处测得主塔底端的俯角为，测得主塔顶端的仰角为，如图所示，此时无人机到主塔的水平距离为200米，求香炉洲大桥的主塔高度．（结果保留整数）（参考数据：，，，，，） 【答案】香炉洲大桥的主塔高度约为202米 【分析】根据题意可得：，然后分别在和中，利用锐角三角函数的定义求出和的长，从而利用线段的和差关系进行计算，即可解答．本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． 【详解】解：由题意得：， 在中，米，，（米， 在中，，（米， （米，香炉洲大桥的主塔高度约为202米． 例2．（2024·内蒙古呼伦贝尔·中考真题）综合实践活动中，数学兴趣小组利用无人机测量大楼的高度．如图，无人机在离地面40米的处，测得操控者的俯角为，测得楼楼顶处的俯角为，又经过人工测量得到操控者和大楼之间的水平距离是80米，则楼的高度是多少米？（点都在同一平面内，参考数据：） 【答案】楼的高度为米． 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，矩形的判定与性质等知识．过作于，过作于，则四边形是矩形，则，，由题意知，，根据求的值，根据求的值即可． 【详解】解：如图，过作于，过作于，则四边形是矩形， ∴，，由题意知，， ∴，∴， ∴楼的高度为米． 例3．（2024·湖北·模拟预测）在某小区内有两栋楼房（A楼在B楼的左侧）从A楼向B楼的楼底看去，若视线大地的夹角，从B楼向A楼楼顶的最左侧看去，视线与楼顶的夹角，若两楼楼体均与地面垂直，两楼楼体均宽5米，A楼高米，求B楼的高．（可能有用的数据：、、） 【答案】米 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，延长交于，分别解直角三角形和直角三角形，即可求解． 【详解】解：延长交于，如图所示： ，，米，米， 米， 又， ，米，又米，米． 例4．（2024·江西·中考真题）图1是世界第一“大碗”——景德镇昌南里文化艺术中心主体建筑，其造型灵感来自于宋代湖田窑影青斗笠碗，寓意“万瓷之母”，如图2，“大碗”的主视图由“大碗”主体和矩形碗底组成，已知，，是太阳光线，，，点M，E，F，N在同一条直线上，经测量，，，．（结果精确到） (1)求“大碗”的口径的长；(2)求“大碗”的高度的长．（参考数据：，，） 【答案】(1)“大碗”的口径的长为；(2)“大碗”的高度的长为． 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，正确引出辅助线解决问题是解题的关键． （1）证明四边形是矩形，利用，代入数据计算即可求解；（2）延长交于点，求得，利用正切函数的定义得到，求得的长，据此求解即可． 【详解】（1）解：∵，，， ∴四边形是矩形，∴， 答：“大碗”的口径的长为； （2）解：延长交于点，如图， ∵矩形碗底，∴，∴四边形是矩形， ∵，∴，， ∴，∴， ∴，答：“大碗”的高度的长为． 模型2.母子模型 图1 图2 图3 图4 母子模型：若三角形中有已知角，通过在三角形外作高BC，构造有公共直角的两个三角形求解，其中公共边BC是解题的关键。 重要等量关系：如图1，BC为公共边，AD+DC=AC；如图2，BC为公共边，DC- BC= DB； 如图3，DF=EC，DE=FC，BF+DE=BC，AE+DF=AC；如图4，AF=CE，AC=FE，BC+AF= BE。 图5 图6 图7 图8 图9 如图5，BE+EC= BC；如图6，EC- BC= BE；如图7，AC=FG，AF=CG，AD+DC=FG，BC+AF= BG； 如图8，BC=FG，BF=CG，AC+BF=AG，EF+ BC= EG； 如图9，BC=FG，BF=CG，EF+BC=EG，BD+DF= BF，AC+ BD+ DF=AG。 例1．（2024·黑龙江牡丹江·中考真题）如图，某数学活动小组用高度为米的测角仪，对垂直于地面的建筑物的高度进行测量，于点C．在B处测得A的仰角，然后将测角仪向建筑物方向水平移动6米至处，于点G，测得A的仰角，的延长线交于点E，求建筑物的高度（结果保留小数点后一位）．（参考数据：） 【答案】17.5米 【分析】本题主要考查了矩形的性质与判定，解直角三角形的实际应用，由题意可得四边形是矩形，则．解直角三角形得到，进而得到，据此求出即可得到答案． 【详解】解：根据题意可知四边形是矩形，．如图，． ，． ，．（米） 答：建筑物的高度约为米． 例2．（2024·安徽合肥·三模）昌景黄高铁于2023年底通车运行，在设计线路图时，有很多地方需要打隧道．如图就是某隧道示意图，为了测量隧道的长度，施工队用无人机在距地面高度为200米的C处测得隧道南北两端A、B的俯角、（已知A、B、C三点在同一平面上），求该隧道南北两端A、B的距离．（结果保留整数，参考数据：，，，，，，） 【答案】隧道南北两端A、B的距离约为155米 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用，熟练掌握三角函数的定义是解题的关键，分别过A、B两点作于E，于F，解直角三角形得出（米）， （米），求出结果即可． 【详解】解：分别过A、B两点作于E，于F，如图所示： 在中，，米，，（米）．     在中，，，（米）． （米）． 答：隧道南北两端A、B的距离约为155米． 例3．（2023·江苏南京·中考真题）如图，为了测量无人机的飞行高度，在水平地面上选择观测点A，B． 无人机悬停在C处，此时在A处测得C的仰角为无人机垂直上升悬停在D处，此时在B 处测得 D的仰角为点A， B， C， D在同一平面内， A， B两点在 的同侧． 求无人机在 C 处时离地面的高度．（参考数据：） 【答案】 【分析】过点C作于点M， 设， 则，根据仰角，解直角三角形计算即可．本题考查了仰角解直角三角形，分式方程的应用，熟练掌握解直角三角形的应用是解题的关键． 【详解】解：过点C作于点M， 设， 则， 在中， ， 则， 则；在中， ， 则解得：， 经检验，是该分式方程的解．∴． 答：无人机在C处时离地面． 例4．（2024·广东中山·三模）王刚同学在学习了解直角三角形及其应用的知识后，尝试利用所学知识测量河对岸大树的高度，他在点处测得大树顶端的仰角为，再从点出发沿斜坡走米到达斜坡上点，在点处测得树顶端的仰角为，若斜面的坡度为：3（点、、在同一水平线上）． (1)求王刚同学从点到点的过程中上升的高度；(2)求大树的高度（结果保留根号）． 【答案】(1)1米(2)米 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用、矩形的判定与性质、解直角三角形等知识点，灵活应用所学知识成为解题的关键．（1）如图：过点D作交于点H，设米，米，在中运用勾股定理列方程求解即可；（2）如图，过点作交于点，设米，再证四边形为矩形可得米、， 进而得到，最后根据正切函数列方程求解即可． 【详解】（1）解：如图：过点D作交于点H， 由题意知米，斜面的坡度为，， 设米，米， 在中，， ，解得：，舍，米． 答：王刚同学从点到点的过程中上升的高度为米． （2）解：如图，过点作交于点，设米， ，四边形为矩形， 米，米， ，米，米， ，在中，， ，解得：，米． 答：大树的高度是米． 例5．（2024·江西南昌·模拟预测）如图1，是南昌八一起义纪念塔，象征着革命的胜利．某校数学社团的同学们欲测量塔的高度．如图2，他们在第一层看台上架设测角仪，从处测得塔的最高点的仰角为，测出，台阶可抽象为线段，，台阶的坡角为，测角仪的高度为，塔身可抽象成线段．(1)求测角仪与塔身的水平距离； (2)求塔身的高度．（结果精确到）（参考数据：，，，） 【答案】(1)(2) 【分析】本题考查了解直角三角形，解题的关键是正确作出辅助线，构造直角三角形求解． （1）延长交的延长线于点，过点作于点，过点作于点，则，，易得，根据勾股定理得出，最后即可解答；（2）由（1）可知，，根据题意得出，，，则，，根据，即可解答． 【详解】（1）解：如图，延长交的延长线于点，过点作于点，过点作于点，则，，由题意可知，，，， ，， 答：测角仪与塔身的水平距离为； （2）解：由（1）可知，，由题意可知，，，， ，， ，答：塔身的高度约为． 例6.（2024·湖南长沙·模拟预测）奇山秀水聚宝盆——湖南首届旅游大会在张家界召开．如图①为某景区山地剖面图，为给游客提供更好的游览体验，拟在山上修建观光索道．如图②所示为索道的设计示意图，以山顶为起点，沿途修建、两段长度相等的观光索道，最终到达山脚处，中途观光平台为，且与平行．索道与水平线的夹角为，与水平线夹角为，、两处的水平距离为，，垂足为点．（参考数据：，，，） (1)求索道的长（结果精确到0.）；(2)求水平距离的长（结果精确到0.）． 【答案】(1)的长约为600m(2)的长为1049m 【分析】本题考查了解直角三角形的应用．（1）通过解可求得的长； （2）延长交于G，证明四边形是矩形，可得，，再解可求解的长，进而可求解． 【详解】（1）在中，，，， ∴，即的长约为600m； （2）延长交于G， ∵，∴，∵，∴，∴四边形为矩形， ∴，，∵，， ∴， ∴，即的长为1049m． 模型3.拥抱模型 拥抱模型：如图，分别解两个直角三角形，其中公共边BC是解题的关键。 图1 图2 图3 图4 重要等量关系：如图1，BC为公共边；如图2，BF+ FC+CE=BE；如图3，BC+ CE= BE； 如图4，AB=GE，AG=BE，BC+CE=AG, DG+AB= DE。 例1．（23-24九年级下·河南新乡·期中）无影塔位于河南汝南城南，相传冬至正午无塔影，故称无影塔；相传为唐代和尚悟颖所建，故又称“悟颖塔”．无影塔被国务院批准为国家级重点文物保护单位．某校数学“综合与实践”小组的同学欲测量其高度，他们把测量无影塔的高度作为一项课题活动，他们制订了测量方案，并利用课余时间完成了实地测量．他们从无影塔顶部处测得无影塔附近一棵大树的底部处的俯角是，从无影塔底部处测得这棵树顶部处的仰角是，大树的高米．为了减小测量误差；小组在测量两个角的度数和大树高度时．都分别测量了两次并取它们的平均值作为测量结果，测量数据如下表（不完整）． 课题 测量无影塔的高度 成员 组长：组员：、、 测量工具 测量角度的仪器，皮尺等 测量示意图                  说明：线段表示大树，线段表示无影塔，点、在同一条直线上，且点、、、都在同竖直平面内． 测量数据 测量项目 第一次 第二次 平均值 5.9 6.1 任务一：表中______，______，______； 任务二：请你帮小组的同学求出无影塔的高度（结果精确到0.1，参考数据，，，）； 【答案】任务一：，，；任务二：无影塔的高度的高度米． 【分析】本题考查了解直角三角形的应用—仰角俯角问题以及平均数，熟练掌握锐角三角函数定义是解题的关键．任务一：由平均数的定义分别列式计算即可； 任务二：由锐角三角函数定义求出的长，再由锐角三角函数定义求出的长即可． 【详解】解：任务一：，，， 故答案为：，，6； 任务二：由题意可知，米，，， ，（米， ，（米， 答：无影塔的高度的高度约为米． 例2．（2024·贵州遵义·模拟预测）赤水河畔的“美酒河”三个大字，是世界上最大的摩崖石刻汉字．小茜想测量绝壁上“美”字的高度，根据平面镜反射原理可推出入射光线与镜面的夹角等于反射光线与镜面的夹角（如图中，），具体操作如下：将平面镜水平放置于处，小茜站在处观测，俯角时，恰好通过平面镜看到“美”字顶端处（为小茜眼睛到地面的高度），再将平面镜水平放置于处观测，俯角时，恰好通过平面镜看到“美”字底端处．测得，，点，，，在同一水平线上，点，，在同一铅垂线上．（参考数据：，，） (1)的高度为__________，的长为__________；(2)求“美”字的高度． 【答案】(1)，2(2) 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用—仰角俯角问题，相似三角形的判定和性质，解题的关键是： （1）证明是等腰直角三角形，即可求得，解直角三角形即可求得； （2）根据等腰直角三角形的性质得到，进一步求得，然后解直角三角形即可求得，即可求得． 【详解】（1）解：，， ，是等腰直角三角形，， 在中，，，， ；故答案为：，2； （2），，， 由题意可知， ，， 在中，， ，即“美”字的高度约为． 例3．（2024·湖南娄底·模拟预测）如图，某小山高412米，其斜坡的坡度为，它的前面有一座建筑物．为了测量建筑物的高度，在山顶D和坡底C测的建筑物顶端A的俯角和仰角分别为，．求建筑物的高度．（结果精确到0.1米，） 【答案】建筑物的高度约为米． 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，正确地作出辅助线是解题的关键． 由米，斜坡的坡度为，得到米，根据三角函数的定义得到，过A作于H，则，根据三角函数的定义即可解答． 【详解】解：在中，∵米，斜坡的坡度为，∴米， 在中，∵，∴，即, 过A作于H，则， 在中，， ∴，∴． 答：建筑物的高度约为米． 1．（2024·河北保定·一模）如图，为了测量空中某点离地面的高度，小敏利用测角仪在点、分别测得的仰角为，为，地面上点、、在同一水平直线上，，则点离地面的高度长为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查三角函数解直角三角形．根据题意可设，再利用中即可得到本题答案． 【详解】解：由题意可知，， ∴ ∵为， ∴， ∴设， ∵， ∴， ∴在中，， 解得：， 点离地面的高度长为 故选：． 2．（2024·广东·模拟预测）陈垣是中国杰出的历史学家、教育家，陈垣故居位于广东省江门市，故居的前面矗立着陈垣先生的半身塑像，如图，从塑像正前方距离底座D点2米的A点处测量，塑像底部C点的仰角为，顶部B点的仰角为，点B，C，D在同一条直线上，则塑像的高度为（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】C 【分析】此题考查了解直角三角形的应用，在中，，在中，，即可求出答案. 【详解】解：由题意得，在中， ， 在中，， ∴ 米． 故选：C 3．（23-24九年级上·山东济宁·阶段练习）如图所示，热气球的探测器显示，从热气球A处看一栋楼顶部B处的仰角为，看这栋楼底部C处的俯角为，热气球A处与楼的水平距离为120m，则这栋楼的高度为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】过点作，垂足为，根据题意可得：，然后分别在和中，利用锐角三角函数的定义求出和的长，从而利用线段的和差关系进行计算，即可解答． 【详解】解：过点作，垂足为， 由题意得：， 在中，， ， 在中，， ， ， 这栋楼的高度为， 故选：A． 4．（23-24九年级上·河北保定·期末）图分别是某吊车在吊一物品时的实物图与示意图，已知吊车底盘的高度为米，支架的长为米，的坡度为，吊绳与支架的夹角为，吊臂与地面成角，求吊车的吊臂顶端点距地面的高度是（   ）米？（精确到米；参考数据：，，，，） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了解直角三角形的应用坡度坡角问题，等腰三角形的判定和性质，由题意可得，，米，米，，，由的坡度为，可得，进而得到，即得，得到，过点作于，可得米，解得米，进而解可得米，即可得到米，据此即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：如图，由题可知， ，，米，米，，， ∵的坡度为， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 过点作于， ∴米， ∵在中，米，， ∴， ∴米， ∵在中，米，， ∴， ∴米， ∴米， ∴点到地面的距离为米， 故选：． 5．（2023·湖北武汉·模拟预测）如图，建筑物高度为，从建筑物的楼顶测得点的俯角为，测得点俯角为，则的长为 ．（已知，结果保留一位小数．） 【答案】 【分析】本题考查了解直角三角形−仰角俯角问题，矩形的判定与性质，等角对等边，过作于点，则四边形是矩形，得，，设，则，再根据解直角三角形和解方程即可求解，根据题意条件并结合适当的辅助线是解题的关键． 【详解】如图，过作于点， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， 由题意得：，， ∴， ∴， 设，则， 在中，， ∴， 解得：， 经检验：为原方程的解，且符合题意， ∴， 故答案为：． 6．（2024·湖北武汉·模拟预测）2024年4月25日20时59分，运载火箭托举着神舟十八号载人飞船，在酒泉卫星发射中心点火升空，送航天员奔赴“天宫”，如图，神舟十八号载人飞船从地面处成功发射，当飞船到达点A时，地面处的雷达站测得米，仰角为37°，0.3秒后，飞船直线上升到达点处，此时地面处的雷达站测得处的仰角为，点在同一直线上，已知两处相距460米，则飞船从A到处的平均速度为 米/秒．（结果精确到1米；参考数据：） 【答案】1133 【分析】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键. 根据题意可得：, 先在中，利用含度角的直角三角形的性质求出的长，从而求出的长，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而求出的长，进行计算即可解答. 【详解】由题意得： ,在中,米,, (米) ,， 解得：米，米， ∵米, ∴米， 在中, , ∴米， 米， ∴飞船从到处的平均速度 (米/秒) , 故答案为: . 7．（2024·河南·模拟预测）由绿地集团耗资22亿建设的“大玉米”位于河南省省会郑州市郑东新区，因为其是圆柱塔式建筑，夜晚其布景灯采用黄色设计，因此得名，如今已经成为CBD的一座新地标建筑．某数学兴趣小组为测量其高度，一人先在附近一楼房的底端A点处观测“大玉米”顶端C处的仰角是45°，然后爬到该楼房顶端B点处观测“大玉米”底部D处的俯角是30°．已知楼房AB高约是162m，根据以上观测数据求“大玉米”的高．（结果保留整数，参考数据：1.41，1.73） 【答案】280米 【分析】在Rt△ABD中由边角关系求出AD的长，在Rt△ACD中，求出CD即可． 【详解】解：如图， 由题意可知，∠CAD＝45°，∠EBD＝30°＝∠ADB，AB＝DE＝162米， 在Rt△ABD中，∵tan30°，∴AD162（米）， 在Rt△ACD中，∠CAD＝45°， ∴CD＝AD＝162280（米）， 答：“大玉米”的高约为280米． 【点睛】本题考查解直角三角形的应用，掌握直角三角形的边角关系是正确解答的前提． 8．（2024·浙江·二模）高楼和斜坡的纵截面如图所示，斜坡的底部点C与高楼的水平距离为30米，斜坡CD的坡度（坡比），坡顶D到BC的垂直距离米，在点D处测得高楼楼顶点A的仰角为，求楼的高度（结果精确到米）．（参考数据：，，） 【答案】高楼的高度为米 【分析】本题考查了解直角三角形的应用中得仰角俯角问题，坡度坡角问题，矩形的判定和性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 过点作，垂足为，根据题意可得米，，先利用斜坡的坡度，求出的长，从而求出，的长，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，进而即可解答． 【详解】解：如图，过D作， ∵， ∴四边形是矩形， ∴米，， 由题意，得， ∴米， ∵米， ∴米， 在中，， ∴米， ∴米． 答：高楼的高度AB为17.2米． 9．（23-24九年级上·安徽合肥·期末）如图，某景区为方便游客上下山，现在从甲山处的位置向乙山处拉一段缆绳．已知甲山上点到的垂直高度米；从处往处看的仰角为，乙山上点到河边的距离米，从处看处的俯角为．（、、、在同一平面内，参考值：，，，）。(1)求乙山处到河边的垂直距离（结果保留根号）；(2)求甲山与乙山所拉缆绳的长度（结果保留整数）． 【答案】(1)(2) 【分析】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题． （1）过点B作，垂足为E，根据已知可设米，则米，然后在中，利用勾股定理进行计算即可解答； （2）过点A作，垂足为F，根据题意可得：米，，从而可得，再利用（1）的结论可得米，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长即可解答． 【详解】（1）如图，过点B作，垂足为E， ∵从处往处看的仰角为， ∴， ∴设米，则米， 在中，（米）， ∵米， ∴， ∴米， ∴乙山B处到河边的垂直距离为米； （2）如图，过点A作，垂足为F， 由题意得：米，， ∴， ∵米， ∴（米）， 在中，（米）， ∴甲山与乙山所拉缆绳的长度约为米． 10．（2024·浙江·模拟预测）【综合与实践】 如图1，光线从空气射入水中会发生折射现象，其中代表入射角，代表折射角．学习小组查阅资料了解到，若，则把称为折射率．（参考数据：，） 【实践操作】如图2，为了进一步研究光的折射现象，学习小组设计了如下实验：将激光笔固定在处，光线可沿照射到空容器底部处，将水加至处，且时，光点移动到处，此时测得，四边形是矩形，是法线． 【问题解决】(1)求入射角的度数；(2)请求出光线从空气射入水中的折射率． 【答案】(1)(2) 【分析】（1）根据平行线的性质，利用正切函数解答即可； （2）作于点，利用勾股定理，折射率的定义解答即可． 【详解】（1）解：如图2，， ，入射角约为． （2）解：如图2，作于点， 在中，， 在中，， 光线从空气射入水中的折射率， 光线从空气射入水中的折射率． 【点睛】本题考查了跨学科综合，平行线的性质，勾股定理，三角函数的应用，与物理的融合，熟练掌握相关知识是解题的关键． 11．（2024·安徽六安·模拟预测）如图，四边形是某校九（1）班的劳动实践基地，经测量，，，，，求的长．（参考数据：，，，，）    【答案】的长约为 【分析】此题考查了解直角三角形的应用．过点C作于点F，过点B作于点E．证明四边形是矩形．则，，．证明是等腰直角三角形．在中，得到 ，则，得到．再求出． 即可得到． 【详解】解：如图，过点C作于点F，过点B作于点E．    又∵，∴四边形是矩形． ∴，，． ∵，∴． ∴是等腰直角三角形． 在中，，，． ∴ ∴，． 在中，，， ∴． ∴， 即的长约为． 12．（2024·贵州·模拟预测）贵阳乌当惜字塔位于贵阳市乌当区，它是贵阳当地历史悠久的古塔之一，也是唯一一座与爱惜文字有关的古塔．某校九年级的一个班级利用周末时间开展“测量乌当惜字塔高度”的实践活动，想得到乌当惜字塔的高度．如图，乌当惜字塔垂直于地面，在塔的两侧不远处取C，D两点，C，D两点之间的距离为，并测量出，．（参考数据：，，，，，，，结果保留一位小数．）      (1)求乌当惜字塔的高度； (2)同学们发现，在塔身第三层的位置镌嵌着“过”、“化”、“存”、“神”四个大字，于是在D点观察第三层时测量到，求四个大字所在的第三层距离地面的高度． 【答案】(1)(2)四个大字所在的第三层距离地面的高度约为． 【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用： （1）设，分别解和求出，，进而可得，解方程即可得到答案； （2）由（1）可得，再解求出的长即可得到答案． 【详解】（1）解：设， 在中，，∴， 在中，，∴，∴， ∵，∴，解得，∴乌当惜字塔的高度约为； （2）解：由（1）得，，∴， 在中，，∴， ∴四个大字所在的第三层距离地面的高度约为． 13．（2024·安徽合肥·三模）一大型建筑如图所示，，测得米，米．分别求的长． 参考数据：． 【答案】米；53.5米 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，过点作于于，列式得出米，米，然后再在中，，代入数值计算，得米．米，最后米，即可作答． 【详解】解：如图，过点作于于， 在中．米． 米，米， 米， （米）． ． 在中，， 米．米， （米）， 答：的长分别约为50米，53.5米． 14．（2024·山西·三模）学校操场的主席台安装了如图1所示的遮阳棚，其截面示意图如图2所示，其中四边形是矩形，主席台高米．上午某时刻经过点E的太阳光线恰好照射在上的点F处，测得，遮阳棚在主席台阴影区域的宽度米；一段时间后，经过点E的太阳光线恰好照射在上的点G处，测得，遮阳棚在主席台阴影区域的宽度米，点A，B，C，D，E，F，G均在同一竖直平面内，求点E距离地面的高度．（结果精确到米．参考数据：，，，，，） 【答案】点距离地面的高度约为米 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，正确理解题意是解题的关键．过点作于点，交于点，设的长度为米，在中，利用三角函数求得，在中，利用三角函数求得，再根据列方程，求出a值，即可得到答案． 【详解】过点作于点，交于点， 则四边形为矩形，，米， 设的长度为米， 由题意得，在中，，，， ， 在中，，，， ， 米，米， 米， 米， 即， 解得， 米． 答：点距离地面的高度约为5.8米． 15．（2024·山西大同·模拟预测）如图，某兴趣小组想利用所学过的测量知识来测量学校内旗杆和居民楼的高度，首先在旗杆与居民楼之间的A点放置测角仪，记为，测得点C和点E的仰角分别为和，然后向居民楼方向前进米到达点B处放置测角仪，记作，测得点C和点E的仰角分别为和，已知所有点都在同一竖直平面内，且点D、B、A、F在同一直线上，测角仪的高度为米，求旗杆的高度和居民楼的高度．（结果保留一位小数，参考数据：，，，） 【答案】旗杆高度为米，居民楼高度为米 【分析】此题考查了解直角三角形的应用，连接并延长分别交于点H、G，证明，再证明，得到.在中，，得到.证明四边形是矩形，则，即可得到，在中，，设，，则，在中，.则.得到，解得，则，由四边形是矩形，得到，即可得到． 【详解】解：连接并延长分别交于点H、G， 则，， ∴四边形是矩形. ∴， 根据题意得到，. ∴. ∴， ∴. 在中，， ∴. ∵ ∴四边形是矩形， ∴， ∴ 在中，，设，， ∴， 在中，. ∴. ∴ ∴ ， ∵四边形是矩形， ∴， ∴. 答：旗杆高度为米，居民楼高度为米 16．（2024·湖北黄冈·模拟预测）如图，拦水坝的横断面为梯形，，坝高，斜坡的坡度为，斜坡的坡角，求坝底的长． 【答案】 【分析】根据矩形的判定和性质，坡比的意义，解直角三角形的知识解答即可． 本题考查了矩形的判定和性质，坡比的计算，解直角三角形，熟练掌握坡比的计算，解直角三角形是解题的关键． 【详解】解：由题意得：四边形为矩形， ∴， 在中，，， ∴． ∵斜坡的坡度为， ∴， 则， 答：坝底的长为． 17．（23-24九年级上·重庆沙坪坝·期中）随着南海局势的升级，中国政府决定在黄岩岛填海造陆，修建机场，设立雷达塔．某日， 在雷达塔 A 处侦测到东北方向上的点 B 处有一艘菲律宾渔船进入我方侦测区域，且以 30 海里/时的速度往正南方向航行，我方与其进行多次无线电沟通无果后，这艘渔船行驶了 1 小时 10 分到达点 A 南偏东方向的 C 处，与此同时我方立即通知（通知时间忽略不 计）与 A 、C 在一条直线上的中国海警船往正西方向对该渔船进行侦测拦截，其中海警船位于与 A 相距 100 海里的 D 处． (1)求的距离和点 D 到直线的距离； (2)若海警船航行速度为 40 海里/时，可侦测半径为 25 海里，当海警船航行 1 小时时，是否可以侦测到菲律宾渔船，为什么？（参考数据： ， ， ） 【答案】(1)的距离为25海里，点D到直线的距离为60海里 (2)可以侦测到菲律宾渔船，理由见解析 【分析】本题考查解直角三角形的应用： （1）作于E，于F，根据方向角和锐角三角函数的定义求出，求出，根据题意求出，根据正弦的定义求出； （2）设1小时后，海警船到达点，菲律宾渔船到达点，分别求出的长，勾股定理求出的长，判断即可． 【详解】（1）解：作于E，于F， 由题意得，，设海里， ∵， ∴， ∴， 解得，， ∴， ∴， ∴， ∴， 答：的距离为25海里，点D到直线的距离为60海里； （2）能，理由如下： 设1小时后，海警船到达点，菲律宾渔船到达点，则，， 由（1）知， ∴，， 由勾股定理，得： 故可以侦测到菲律宾渔船． 18．（2024·江苏连云港·中考真题）图1是古代数学家杨辉在《详解九章算法》中对“邑的计算”的相关研究．数学兴趣小组也类比进行了如下探究：如图2，正八边形游乐城的边长为，南门设立在边的正中央，游乐城南侧有一条东西走向的道路，在上（门宽及门与道路间距离忽略不计），东侧有一条南北走向的道路，C处有一座雕塑．在处测得雕塑在北偏东方向上，在处测得雕塑在北偏东方向上． (1)__________，__________； (2)求点到道路的距离； (3)若该小组成员小李出南门O后沿道路向东行走，求她离处不超过多少千米，才能确保观察雕塑不会受到游乐城的影响？（结果精确到，参考数据：，，，，） 【答案】(1)， (2)2.0千米 (3) 【分析】本题考查正多边形的外角，解直角三角形，相似三角形的判定和性质： （1）求出正八边形的一个外角的度数，再根据角的和差关系进行求解即可； （2）过点作，垂足为，解，求出，解，求出，即可； （3）连接并延长交于点，延长交于点，过点作，垂足为，解，求出，证明，列出比例式进行求解即可． 【详解】（1）解：∵正八边形的一个外角的度数为：， ∴，； 故答案为：； （2）过点作，垂足为． 在中，，， ． 在中，， ． 答：点到道路的距离为2.0千米． （3）连接并延长交于点，延长交于点，过点作，垂足为． 正八边形的外角均为， 在中，． ． 又，， ． ∵， ∴， ，即， ， ． 答：小李离点不超过2.4km，才能确保观察雕塑不会受到游乐城的影响． 19．（2024·江苏镇江·中考真题）图1、2是一个折叠梯的实物图．图3是折叠梯展开、折叠过程中的一个主视图．图4是折叠梯充分展开后的主视图，此时点E落在上，已知，，点D、F、G、J在上，、、、均与所在直线平行，，．点N在上，、的长度固定不变．图5是折叠梯完全折叠时的主视图，此时、重合，点、、、、、在上的位置如图所示． 【分析问题】 （1）如图5，用图中的线段填空：_________； （2）如图4，_________，由，且的长度不变，可得与之间的数量关系为_________； 【解决问题】 （3）求的长． 【答案】（1）；（2），；（3） 【分析】（1）； （2）可推出四边形是平行四边形，从而，从而，进而得出，根据，得出，进一步得出结果； （3）作于，解直角三角形求得和，进而表示出，在直角三角形中根据勾股定理列出方程，进而得出结果． 【详解】解：（1）， ， 故答案为：； （2）、、、均与所在直线平行， ， ， 四边形是平行四边形， ， ， ， ，， ， ， ， ， 故答案为：，； （3）如图， 作于， ， ，， ， 设，则，， ， ， ． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，平行四边形的判定和性质，勾股定理，线段之间的数量关系，解决问题的关键是理解题意，熟练应用有关基础知识． 20．（2024·黑龙江大庆·中考真题）如图，是一座南北走向的大桥，一辆汽车在笔直的公路上由北向南行驶，在处测得桥头在南偏东方向上，继续行驶米后到达处，测得桥头在南偏东方向上，桥头在南偏东方向上，求大桥的长度．（结果精确到米，参考数据：） 【答案】米 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，分别过点作的垂线，垂足分别为，根据题意得出，解求得，，进而求得，根据，即可求解． 【详解】解：如图所示，分别过点作的垂线，垂足分别为， ∴四边形是矩形， ∴，， 依题意，， ∴， ∴， ∴； 在中，， ； 在中，， ∴． 答：大桥的长度约为米． 21．（2024·贵州·模拟预测）如图，这是一款升降电脑桌，它的升降范围是，图是它的示意图，已知，点、在上滑动，点、在上滑动，、相交于点，.（结果精确到） (1)如图，当从增加到时，这款电脑桌升高了多少？ (2)当电脑桌从图位置升到最大高度（如图）时，求的大小及点滑动的距离.（参考数据：，，，，） 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）过点作于点，易证得，因而升高量，利用含度角的直角三角形的性质可求得，进而可求得升高量； （2）过点作于点，由升降范围可求得，利用锐角三角函数可求得的大小，进而可求得点滑动的距离． 【详解】（1）解：如图，过点作于点， ，， ， 升高量， ， 在中，， 升高量， 答：这款电脑桌升高了； （2）解：如图，过点作于点， 它的升降范围是， ， 在中，， ， ， 由（1）得：， 点滑动的距离为． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，含度角的直角三角形的性质，锐角三角函数，勾股定理等知识点，熟练掌握上述知识点并能加以灵活运用是解题的关键． 22．（2023·河南商丘·一模）中原福塔又名河南广播电视塔，是郑州市著名地标之一，中原福塔由塔体(含塔座、塔身、塔楼)和桅杆两部分组成，如图1．    某数学兴趣小组的同学们开展了测量中原福塔塔体部分高度的实践活动，过程如下： 【制订方案】如图2，在塔座底部所在的水平面上，选取两个不同的测量地点，，分别由甲、乙两组同学测量塔体顶端点和桅杆天线顶部点的仰角，丙组同学测量这两个测量地点之间的距离． 【实地测量水平地面上测量地点，与塔体底端点在同一条直线上，线段，分别表示测角仪支架，线段表示桅杆天线，表示塔体． 测量一：甲组同学在处测量一次，测得塔体顶端点的仰角为； 测量二：乙组同学在处测量一次，测得桅杆天线顶部点的仰角为°； 测量三：丙组同学测量了三次，数据如下： 测量项目 第一次 第二次 第三次 ，之间的距离 (1)丙组同学三次测量，之间距离的平均值为______m； (2)已知福塔顶部桅杆天线高，测角仪支架高，求塔体的高度结果精确到．参考数据：，，)； (3)从减小误差的角度考虑，你认为哪个小组的测量方法更合理?请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)丙组得到测量方法更合理，因为多次测量的结果取平均值可以减小误差． 【分析】（1）根据三次测量结果直接求平均值就可以得到答案； （2）设 解直角三角形即可得到结论； （3）乙组得到测量方法更合理，因为多次测量的结果取平均值可以减小误差． 【详解】（1） 答：丙组同学三次测量，之间距离的平均值为； 故答案为：； （2）如图，延长交于点，则，      ， ． 设 ，则， ， ， 在中，， 则， 即， 解得， 则， 答：塔体的高度约为； （3）丙组的测量方法更合理．因为对多次测量结果取平均值可以减小误差． 【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用-仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！28 学科网（北京）股份有限公司 $$