专题01 相似三角形重要模型之（双）A字型与（双）8字型-2024-2025学年九年级数学下册常见几何模型全归纳之模型解读与提分精练（苏科版）

专题01 相似三角形重要模型之（双）A字型与（双）8字型 相似三角形是几何中重要的证明模型之一，是全等三角形的推广，分析图形间的关系离不开数量的计算。相似和勾股是产生等式的主要依据（其他依据还有面积法，三角函数等），因此要掌握相似三角形的基本图形，体会其各种演变和联系。相似三角形是初中几何中的重要的内容，常常与其它知识点结合以综合题的形式呈现，其变化很多，是中考的常考题型。本专题重点讲解相似三角形的（双）A字模型和（双）8（X）字模型． 2 模型1.“A”字模型 2 模型2.“X”字模型（“8”字模型） 5 模型3.“AX”字模型（“A8”字模型） 8 11 大家在掌握几何模型时，多数同学会注重模型结论，而忽视几何模型的证明思路及方法，导致本末倒置。要知道数学题目的考察不是一成不变的，学数学更不能死记硬背，要在理解的基础之上再记忆，这样才能做到对于所学知识的灵活运用，并且更多时候能够启发我们解决问题的关键就是基于已有知识、方法的思路的适当延伸、拓展，所以学生在学习几何模型要能够做到的就是：①认识几何模型并能够从题目中提炼识别几何模型；②记住结论，但更为关键的是记住证明思路及方法；③ 明白模型中常见的易错点，因为多数题目考察的方面均源自于易错点。当然，以上三点均属于基础要求，因为题目的多变性，若想在几何学习中突出，还需做到的是，在平时的学习过程中通过大题量的训练，深刻认识几何模型，认真理解每一个题型，做到活学活用！ 【知识储备】A字型和8（X）字型的应用难点在于过分割点（将线段分割的点）作平行线构造模型，有的是直接作平行线，有的是间接作平行线（倍长中线就可以理解为一种间接作平行线），这一点在模考中无论小题还是大题都是屡见不鲜的。 模型1.“A”字模型 “A”字模型图形（通常只有一个公共顶点）的两个三角形有一个“公共角”（是对应角），再有一个角相等或夹这个公共角的两边对应成比例，就可以判定这两个三角形相似。 ①“A”字模型 ②反“A”字模型 ③同向双“A”字模型 ④内接矩形模型 图1　 　图2 　 　 图3 图4 ①“A”字模型 条件：如图1，DE∥BC；结论：△ADE∽△ABC⇔＝＝。 证明:∵DE∥BC，∴∠ADE=∠ABC，∠AED=∠ACB，∴△ADE∽△ABC，∴＝＝。 ②反“A”字模型 条件：如图2，∠AED＝∠B；结论：△ADE∽△ACB⇔＝＝。 证明:∵∠AED＝∠B，∴∠A=∠A，（公共角） ∴△ADE∽△ACB，∴＝＝。 ③同向双“A”字模型 条件：如图3，EF∥BC； 结论：△AEF∽△ABC，△AEG∽△ABD，△AGF∽△ADC⇔。 证明:∵EF∥BC，∴∠AEF=∠ABC，∠AFE=∠ACB，∴△AEF∽△ABC， 同理可证：△AEG∽△ABD，△AGF∽△ADC，∴＝＝。 ④内接矩形模型 条件：如图4，△ABC的内接矩形DEFG的边EF在BC边上，D、G分别在AB、AC边上，且AM⊥BC；结论：△ADG∽△ABC，△ADN∽△ABM，△AGN∽△ACM⇔。 证明:∵DEFG是矩形 ∴DG∥EF，∴∠ADG=∠ABC，∠AGD=∠ACB，∴△ADG∽△ABC， 同理可证：△ADN∽△ABM，△AGN∽△ACM，∴。 例1．（2024·江苏无锡·模拟预测）如图，和都是等边三角形，点在的延长线上．，若，，则的长为（    ） A．4 B． C． D．2 例2．（23-24九年级上·广西南宁·阶段练习）如图，，垂足为，，垂足为，与相交于点，(1)判断与是相似三角形吗？请说明理由；(2)连接，求证：； (3)若，，，求的长． 例3.（23-24九年级·江苏·阶段练习）如图，在中，，，，平分，交边于点，过点作的平行线，交边于点．（1）求线段的长；（2）取线段的中点，联结，交线段于点，延长线段交边于点，求的值． 例4．（23-24九年级上·福建莆田·开学考试）如图，在中，点、在上，点、在、上，四边形是矩形，，是的高，，，那么的长为 ．    变式1．（23-24九年级下·江苏淮安·阶段练习）如图，中，，，．如果一质点开始时在边的处，．第一步从跳到边的（第次落点）处，且；第二步从跳到边的（第次落点）处，且；第三步从跳到边的（第次落点）处，且；；质点按照上述规则一直跳下去，第次落点为（n为正整数），则点与点之间的距离为 ． 变式2．（2024·四川泸州·二模）如图，在中，，，分别平分，，且相交于点F，则的长为（　　）    A． B． C． D． 模型2.“X”字模型（“8”字模型） “8”字模型图形的两个三角形有“对顶角”，再有一个角相等或夹对顶角的两边对应成比例就可以判定这两个三角形相似． ①“8”字模型 ②反“8”字模型 ③平行双“8”字模型 ④斜双“8”字模型 图1 图2 图3 图4 ①“8”字模型 条件：如图1，AB∥CD；结论：△AOB∽△COD⇔＝＝。 证明:∵AB∥CD，∴∠A=∠C，∠B=∠D，∴△AOB∽△COD，∴＝＝。 ②反“8”字模型 条件：如图2，∠A＝∠D；结论：△AOB∽△DOC⇔＝＝。 证明:∵∠A＝∠D，∴∠AOB=∠DOC，（对顶角） ∴△AOB∽△DOC，∴＝＝。 ③平行双“8”字模型 条件：如图3，AB∥CD；结论：。 证明:∵AB∥CD，∴∠A=∠D，∠AEO=∠DFO，∴△AEO∽△DFO， 同理可证：△BEO∽△CFO，△ABO∽△DCO，∴。 ④斜双“8”字模型 条件：如图4，∠1＝∠2；结论：△AOD∽△BOC，△AOB∽△DOC⇔∠3＝∠4。 证明:∵∠1＝∠2，∠AOD=∠BOC（对顶角）， ∴△AOD∽△BOC，∴AO:BO=DO:CO，即AO:DO=BO:CO； ∵∠AOB=∠DOC（对顶角），∴△AOB∽△DOC，∴∠3＝∠4。 例1．（2024·陕西咸阳·模拟预测）如图，在矩形中，，，若，则线段的长为（    ） A． B．3 C． D．4 例2．（2024·辽宁朝阳·三模）如图，点D是等边边上一动点，线段绕点C顺时针旋转得到线段，连接，连接并延长交与点E，若，，则的长是 ．    例3.（2024.重庆九年级期中）如图，AD与BC交于点O，EF过点O，交AB与点E，交CD与点F，BO＝1，CO＝3，AO，DO．（1）求证：∠A＝∠D．（2）若AE＝BE，求证：CF＝DF． 例4.（2024.山东九年级期中）如图，四边形ABCD和四边形ACED都是平行四边形，点R为DE的中点，BR分别交AC、CD于点P、Q．（1）求证：△PCQ∽△RDQ；（2）求BP：PQ：QR的值． 变式1．（2024·甘肃临夏·中考真题）如图1，在矩形中，点为边上不与端点重合的一动点，点是对角线上一点，连接，交于点，且． 【模型建立】（1）求证：；【模型应用】（2）若，，，求的长； 【模型迁移】（3）如图2，若矩形是正方形，，求的值． 变式2．（2023·河南信阳·校考三模）综合与实践：莹莹复习教材时，提前准备了一个等腰三角形纸片，如图，．为了找到重心，以便像教材上那样稳稳用笔尖顶起，她先把，点B与点C重叠对折，得折痕，展开后，她把点B与点A重叠对折，得折痕，再展开后连接，交折痕于点O，则点O就是的重心． 教材重现： 如图，用铅笔可以支起一张均匀的三角形卡片．你知道怎样确定这个点的位置吗？    在三角形中，连接一个顶点与它对边中点的线段，叫做这个三角形的中线（median）如图，是的边上的中线． (1)初步观察：连接，则与的数量关系是：________；(2)初步探究：请帮助莹莹求出的面积； (3)猜想验证：莹莹通过测量惊奇地发现．她的发现正确吗？请说明理由； (4)拓展探究：莹莹把剪下后得，发现可以与拼成四边形，且拼的过程中点不与点重合，直接写出拼成四边形时的长．    模型3.“AX”字模型（“A8”字模型） ①一“A”+“8”模型 ②两“A”+“8”模型（反向双“A”字模型） ③四“A”+“8”模型 图1 图2 图3 ①一“A”+“8”模型 条件：如图1，DE∥BC； 结论：△ADE∽△ABC，△DEF∽△CBF，⇔。 证明:∵DE∥BC，∴∠ADE=∠ABC，∠AED=∠ACB，∴△ADE∽△ABC，∴＝＝。 ∵DE∥BC，∴∠FDE=∠FCB，∠DEF=∠CBF，∴△DEF∽△CBF，∴。 ∴。 ②两“A”+“8”模型 条件：如图2，DE∥AF∥BC； 结论：△DAF∽△DBC，△CAF∽△CED，⇔。 证明:∵AF∥BC，∴∠DAF=∠B，∠DFA=∠DCB，∴△DAF∽△DBC，∴。 ∵DE∥AF，∴∠CAF=∠E，∠CFA=∠CDE，∴△CAF∽△CED，∴。 两式相加得到：，即，故。 ③四“A”+“8”模型3 条件：如图3，DE∥GF∥BC；结论：AF=AG，。 证明:同②中的证法，易证：，， ∴，即AF=AG，故。 例1．（2022·山东东营·中考真题）如图，点D为边上任一点，交于点E，连接相交于点F，则下列等式中不成立的是（    ） A． B． C． D．例2．（22-23八年级下·上海普陀·期末）已知：如图，，与交于点，，，那么 ．    例3．（2024·湖北·模拟预测）（1）【问题背景】如图1，，与相交于点E，点F在上．求证：；    小雅同学的想法是将结论转化为来证明，请你按照小雅的思路完成原题的证明过程． （2）【类比探究】如图2，，，，与相交于点G，点H在上，．求证：． （3）【拓展运用】如图3，在四边形中，，连接，交于点M，过点M作，交于点E，交于点F，连接交于点N，过点N作，交于点G，交于点H，若，，直接写出的长． 变式1．（23-24八年级下·福建福州·期末）如图，在平行四边形中，是上一点，交于点，的延长线交的延长线于，，则下列结论正确的是（   ）    A． B． C． D． 变式2．（2024·江苏泰州·三模）综合与实践 在初中物理学中，凸透镜成像原理与相似三角形有密切的联系．请耐心阅读以下材料： 【光学模型】如图1，通过凸透镜光心的光线，其传播方向不变，经过焦点的光线经凸透镜折射后平行于主光轴沿射出，与光线交于点，过点作主光轴的垂线段，垂足为，即可得出物体所成的像． 【模型验证】设焦点到光心的距离称为焦距，记为；物体到光心的距离称为物距，记为；像到光心的距离称为像距，记为．已知，，当时，求证：． 证明：∵，，∴ 又∵，∴，∴，即，同理可得， ∴，即 ① ，∴ ② ，∴，∴，即． 请结合上述材料，解决以下问题： (1)请补充上述证明过程中①②所缺的内容(用含的代数式表示)；(2)若该凸透镜的焦距为20，物体距凸透镜的距离为30，物高为10，则物体所成的像的高度为__________； (3)如图2，由物理学知识知“经过点且平行于主光轴的光线经凸透镜折射后经过点”，小明在做凸透镜成像实验时，不断改变物距发现光线始终经过主光轴上一定点．若该凸透镜的焦距为20，物高为10，试说明这一物理现象． 1．（2024·湖南·中考真题）如图，在中，点分别为边的中点．下列结论中，错误的是（    ） A． B． C． D． 2．（2024·山西晋中·九年级统考阶段练习）如图，点F在平行四边形的边上，延长交的延长线于点E，交于点O，若，则的值为（    ）    A． B． C．2 D． 3．（2023春·山东烟台·八年级统考期末）如图，在矩形中，是边的中点，于点，则下列结论：①；②；③．其中正确结论的个数是（    ）    A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 4．（2023秋·广东惠州·九年级校考阶段练习）如图，将平行四边形绕点A逆时针旋转到平行四边形的位置，使点落在上，与交于点E，若，，，则的长为（    ）    A． B． C． D．1 5．（2024·甘肃临夏·中考真题）如图，等腰中，，，将沿其底边中线向下平移，使的对应点满足，则平移前后两三角形重叠部分的面积是 ． 6．（2023·辽宁大连·中考真题）如图，在正方形中，，延长至E，使，连接平分交于F，连接，则的长为 ． 7．（2023春·重庆九龙坡·八年级校考期末）如图，小明站在两路灯之间的点处，两路灯底部的距离，两路灯的高度均为，小明身高，他在路灯下的影子，在路灯下的影子为，则 ．    8．（2023·湖北十堰·统考中考真题）如图，在菱形中，点E，F，G，H分别是，，，上的点，且，若菱形的面积等于24，，则 ．    9．（2023春·福建福州·八年级校考期末）如图，已知在中，，，是边上的一点，与交于点，若，则 ． 10．（2023·广东深圳·校考三模）如图，在中，，D是上一点，点E在上，连接交于点F，若，则＝ ． 11．（2023春·山东东营·八年级统考期末）如图，在中，D，E，F分别是，，上的点，且，，，，则 cm．    12．如图，在△ABC中，点D、E、F分别在BC、AB、AC上，EF∥BC，交AD于点G． （1）图中共有几对相似三角形？请把它们分别表示出来； （2）若G为EF的中点，试判断BD与CD的数量关系，并说明理由． 13．（2024•武汉模拟）在△ABC中，CD是中线，E，F分别为BC，AC上的一点，连接EF交CD于点P． （1）如图1，若F为AC的中点，CE＝2BE，求的值； （2）如图2，设＝m，＝n（n＜），若m+n＝4mn，求证：PD＝PC； （3）如图3，F为AC的中点，连接AE交CD于点Q，若QD＝QP，直接写出的值． 14．（2024·湖南常德·九年级校考期中）如图1，ΔABC中，AB=AC，点D在BA的延长线上，点E在BC上，DE=DC，点F是DE与AC的交点． （1）求证：∠BDE=∠ACD；（2）若DE=2DF，过点E作EG//AC交AB于点G，求证：AB=2AG； （3）将“点D在BA的延长线上，点E在BC上”改为“点D在AB上，点E在CB的延长线上”，“点F是DE与AC的交点”改为“点F是ED的延长线与AC的交点”，其它条件不变，如图2． ①求证：AB·BE=AD·BC；②若DE=4DF，请直接写出SΔABC:SΔDEC的值． 15．（2023秋·山西运城·九年级统考期末）综合与实践 问题情境：如图1，在中，，，，点是上一点，将沿直线折叠，点落在上的点，连接． 独立思考(1)如图，求的值； 问题拓展 如图，点是图1中AB上一动点，连接，交于点． (2)当点是的中点时，求证：；(3)当点是的中点时，请你直接写出的值．      16．（2023春·山东烟台·八年级统考期末）己知四边形中，E，F分别是边上的点，与交于点G． 特例解析：   　　     (1)如图1，若四边形是矩形，且，求证：； 类比探究：(2)如图2，若四边形是平行四边形，且，求证：． 17．（2023春·广东河源·九年级校考开学考试）如图，已知梯形中，，又，． (1)对角线与相交于点，交于点，试求的长． (2)如图，动点由点出发沿向点移动，速度为单位/分，同时动点由点出发沿向点移动，速度为单位/分，又与交于点，与交于点．猜想：对于动点和在运动过程中的任一时刻（分别不与，和，重合），始终有，请加以证明． (3)设梯形的面积为，试问，在（）题点，的运动过程中，四边形的面积是否发生变化？如发生变化，请加以说明；如不发生变化，请求出它的面积（用的代数式表示）．       18．（2022秋·广东清远·九年级统考期中）如图，在平行四边形中，，交于点，点是的中点，连接交于点，．(1)求证：；(2)求的长； (3)若的面积为2，直接写出四边形的面积．    原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！19 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 相似三角形重要模型之（双）A字型与（双）8字型 相似三角形是几何中重要的证明模型之一，是全等三角形的推广，分析图形间的关系离不开数量的计算。相似和勾股是产生等式的主要依据（其他依据还有面积法，三角函数等），因此要掌握相似三角形的基本图形，体会其各种演变和联系。相似三角形是初中几何中的重要的内容，常常与其它知识点结合以综合题的形式呈现，其变化很多，是中考的常考题型。本专题重点讲解相似三角形的（双）A字模型和（双）8（X）字模型． 1 模型1.“A”字模型 2 模型2.“X”字模型（“8”字模型） 16 模型3.“AX”字模型（“A8”字模型） 33 44 大家在掌握几何模型时，多数同学会注重模型结论，而忽视几何模型的证明思路及方法，导致本末倒置。要知道数学题目的考察不是一成不变的，学数学更不能死记硬背，要在理解的基础之上再记忆，这样才能做到对于所学知识的灵活运用，并且更多时候能够启发我们解决问题的关键就是基于已有知识、方法的思路的适当延伸、拓展，所以学生在学习几何模型要能够做到的就是：①认识几何模型并能够从题目中提炼识别几何模型；②记住结论，但更为关键的是记住证明思路及方法；③ 明白模型中常见的易错点，因为多数题目考察的方面均源自于易错点。当然，以上三点均属于基础要求，因为题目的多变性，若想在几何学习中突出，还需做到的是，在平时的学习过程中通过大题量的训练，深刻认识几何模型，认真理解每一个题型，做到活学活用！ 【知识储备】A字型和8（X）字型的应用难点在于过分割点（将线段分割的点）作平行线构造模型，有的是直接作平行线，有的是间接作平行线（倍长中线就可以理解为一种间接作平行线），这一点在模考中无论小题还是大题都是屡见不鲜的。 模型1.“A”字模型 “A”字模型图形（通常只有一个公共顶点）的两个三角形有一个“公共角”（是对应角），再有一个角相等或夹这个公共角的两边对应成比例，就可以判定这两个三角形相似。 ①“A”字模型 ②反“A”字模型 ③同向双“A”字模型 ④内接矩形模型 图1　 　图2 　 　 图3 图4 ①“A”字模型 条件：如图1，DE∥BC；结论：△ADE∽△ABC⇔＝＝。 证明:∵DE∥BC，∴∠ADE=∠ABC，∠AED=∠ACB，∴△ADE∽△ABC，∴＝＝。 ②反“A”字模型 条件：如图2，∠AED＝∠B；结论：△ADE∽△ACB⇔＝＝。 证明:∵∠AED＝∠B，∴∠A=∠A，（公共角） ∴△ADE∽△ACB，∴＝＝。 ③同向双“A”字模型 条件：如图3，EF∥BC； 结论：△AEF∽△ABC，△AEG∽△ABD，△AGF∽△ADC⇔。 证明:∵EF∥BC，∴∠AEF=∠ABC，∠AFE=∠ACB，∴△AEF∽△ABC， 同理可证：△AEG∽△ABD，△AGF∽△ADC，∴＝＝。 ④内接矩形模型 条件：如图4，△ABC的内接矩形DEFG的边EF在BC边上，D、G分别在AB、AC边上，且AM⊥BC；结论：△ADG∽△ABC，△ADN∽△ABM，△AGN∽△ACM⇔。 证明:∵DEFG是矩形 ∴DG∥EF，∴∠ADG=∠ABC，∠AGD=∠ACB，∴△ADG∽△ABC， 同理可证：△ADN∽△ABM，△AGN∽△ACM，∴。 例1．（2024·江苏无锡·模拟预测）如图，和都是等边三角形，点在的延长线上．，若，，则的长为（    ） A．4 B． C． D．2 【答案】B 【分析】此题考查了相似三角形的判定与性质，等边三角形的性质，含的直角三角形的性质．过点作，垂足为点，设，时而可表示出相关线段长，再根据列出方程求得，最后根据可得答案． 【详解】解：过点作，垂足为点， 设，，，， ，和都是等边三角形， ，，， ，，，， ，，，，，， ，，，， ，∴，，，即，．故选：B． 例2．（23-24九年级上·广西南宁·阶段练习）如图，，垂足为，，垂足为，与相交于点，(1)判断与是相似三角形吗？请说明理由；(2)连接，求证：； (3)若，，，求的长． 【答案】(1)，理由见解析；(2)证明见解析；(3)． 【分析】（）由垂直的定义得到，再利用两角对应相等的两个三角形相似即可求解； （）根据相似三角形的性质和判定定理即可得到求证；（）利用等腰三角形的“三线合一”定理可得，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可求出长，最后代入，解方程即可；本题考查了等腰三角形的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半和相似三角形的判定和性质的应用，能熟练地运用定理进行推理是解题的关键． 【详解】（1），理由如下，∵ ，，∴ ， ∵ ，，∴ ； （2）由（）得，∴，∴， ∵，∴，∴，∴； （3）∵，，∴，∴，∴，由（）得， ∵，∴，∵，∴，∴． 例3.（23-24九年级·江苏·阶段练习）如图，在中，，，，平分，交边于点，过点作的平行线，交边于点．（1）求线段的长；（2）取线段的中点，联结，交线段于点，延长线段交边于点，求的值． 【答案】（1）4；（2） 【解析】解：（1）∵平分，，∴． 在中，，，，∴． 在中，，，，∴．∴． ∵，∴∴．∴． （2）∵点是线段的中点，∴． ∵，∴∴．∴． ∵，∴∴∴． 例4．（23-24九年级上·福建莆田·开学考试）如图，在中，点、在上，点、在、上，四边形是矩形，，是的高，，，那么的长为 ．    【答案】 【分析】设交于点，由矩形的边在上证明，，则，得，其中，，，可以列出方程“解方程求出的值即可． 【详解】解：设交于点，∵矩形的边在上，∴，，    ∴，，， ∴，∴，∵于点，∴，∴， ∵，，，，∴四边形是矩形,∴， ∵，，∴，∴ 解得，∴的长为，故答案为∶． 【点睛】此题重点考查矩形的性质、两条平行线之间的距离处处相等、相似三角形的判定与性质等知识，根据“相似三角形对应高的比等于相似比”列方程是解题的关键． 变式1．（23-24九年级下·江苏淮安·阶段练习）如图，中，，，．如果一质点开始时在边的处，．第一步从跳到边的（第次落点）处，且；第二步从跳到边的（第次落点）处，且；第三步从跳到边的（第次落点）处，且；；质点按照上述规则一直跳下去，第次落点为（n为正整数），则点与点之间的距离为 ． 【答案】 【分析】本题考查了图形类变化规律，勾股定理，相似三角形的判定和性质，由勾股定理得，由得，进而由比例式得，得到，同理可得，据此可得点跳了次回到了起点，由可得与重合，，证明，得到，由此即可求解，根据比例式根据比例式求出点位置的变化规律是解题的关键． 【详解】解：∵，，，∴， ∵，∴，∵，∴，∴，∴， ∵，∴，∴，∴， ∵，∴，∴，∴， ∵，∴，∴，∴， ∵，∴，∴，∴， ∵，∴，∴，即此时点回到了起点，∴跳次为一个循环， ∵，∴与重合，∴， ∵，，∴，∴，即，∴，故答案为：． 变式2．（2024·四川泸州·二模）如图，在中，，，分别平分，，且相交于点F，则的长为（　　）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】过点D作于点H，过点F作于点G，证明，由全等三角形的性质得出，由勾股定理求出，证明，得出，可求出，则可由勾股定理求出答案． 【详解】解：过点D作于点H，过点F作于点G，    ∵平分，∴， 在和中，，∴，∴， ∵，∴，∴， 设，则，∵，∴，∴． ∵分别平分，，∴， ∵，∴是等腰直角三角形．设， ∵，∴，∴，∴，∴， ∴，∴，∴．故选：D． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键． 模型2.“X”字模型（“8”字模型） “8”字模型图形的两个三角形有“对顶角”，再有一个角相等或夹对顶角的两边对应成比例就可以判定这两个三角形相似． ①“8”字模型 ②反“8”字模型 ③平行双“8”字模型 ④斜双“8”字模型 图1 图2 图3 图4 ①“8”字模型 条件：如图1，AB∥CD；结论：△AOB∽△COD⇔＝＝。 证明:∵AB∥CD，∴∠A=∠C，∠B=∠D，∴△AOB∽△COD，∴＝＝。 ②反“8”字模型 条件：如图2，∠A＝∠D；结论：△AOB∽△DOC⇔＝＝。 证明:∵∠A＝∠D，∴∠AOB=∠DOC，（对顶角） ∴△AOB∽△DOC，∴＝＝。 ③平行双“8”字模型 条件：如图3，AB∥CD；结论：。 证明:∵AB∥CD，∴∠A=∠D，∠AEO=∠DFO，∴△AEO∽△DFO， 同理可证：△BEO∽△CFO，△ABO∽△DCO，∴。 ④斜双“8”字模型 条件：如图4，∠1＝∠2；结论：△AOD∽△BOC，△AOB∽△DOC⇔∠3＝∠4。 证明:∵∠1＝∠2，∠AOD=∠BOC（对顶角）， ∴△AOD∽△BOC，∴AO:BO=DO:CO，即AO:DO=BO:CO； ∵∠AOB=∠DOC（对顶角），∴△AOB∽△DOC，∴∠3＝∠4。 例1．（2024·陕西咸阳·模拟预测）如图，在矩形中，，，若，则线段的长为（    ） A． B．3 C． D．4 【答案】B 【分析】此题考查了勾股定理以及相似三角形的判定与性质，根据勾股定理求出，再证明，进行解答即可． 【详解】解：∵在矩形中，，，，∴，∴， ∵ ，，∴， ∴，即，∴，故选：B． 例2．（2024·辽宁朝阳·三模）如图，点D是等边边上一动点，线段绕点C顺时针旋转得到线段，连接，连接并延长交与点E，若，，则的长是 ．    【答案】或 【分析】证明得，，证明得，作于点M，根据勾股定理求出，，然后分两种情况求解即可． 【详解】解：∵是等边三角形，∴． 由旋转的性质得，，∴，∴，． ∵，∴，∴．如图，作于点M，    ∵，∴，∴，． 当点D靠近点C时，，∴，∴； 当点D靠近点A时，  ，∴，∴．故答案为：或． 【点睛】本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，三线合一等知识，分类讨论是解答本题的关键． 例3.（2024.重庆九年级期中）如图，AD与BC交于点O，EF过点O，交AB与点E，交CD与点F，BO＝1，CO＝3，AO，DO．（1）求证：∠A＝∠D．（2）若AE＝BE，求证：CF＝DF． 【解析】证明：（1）∵BO＝1，CO＝3，AO，DO．∴， ∵∠AOB＝∠COD，∴△OAB∽△ODC，∴∠A＝∠D． （2） ∵∠A＝∠D，∴AB∥CD， ∴，，∴． ∵AE＝BE，∴CF＝DF． 例4.（2024.山东九年级期中）如图，四边形ABCD和四边形ACED都是平行四边形，点R为DE的中点，BR分别交AC、CD于点P、Q．（1）求证：△PCQ∽△RDQ；（2）求BP：PQ：QR的值． 【答案】（1）见解析；（2） 【解析】解：（1）∵，∴． 又∵．∴． （2）∵四边形和四边形都是平行四边形， ∴，．∴，． 又∵点是中点，∴． 由（1）知，∴，∴． 又∵，∴． 变式1．（2024·甘肃临夏·中考真题）如图1，在矩形中，点为边上不与端点重合的一动点，点是对角线上一点，连接，交于点，且． 【模型建立】（1）求证：；【模型应用】（2）若，，，求的长； 【模型迁移】（3）如图2，若矩形是正方形，，求的值． 【答案】（1）见解析；（2）；（3） 【分析】本题考查矩形的性质，正方形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识点，构造相似三角形，是解题的关键： （1）根据矩形的性质，结合同角的余角，求出，即可得证； （2）延长交于点，证明，得到，再证明，求出的长，进而求出的长； （3）设正方形的边长为，延长交于点，证明，得到，进而得到，勾股定理求出，进而求出的长，即可得出结果． 【详解】解：（1）∵矩形，∴，∴， ∵，∴，∴，∴； （2）延长交于点，∵矩形，∴， ∴，∴，∴， ∵，，∴， ∴，∴，∴； （3）设正方形的边长为，则：，延长交于点， ∵正方形，∴，∴， ∴，∴，∴， ∵，∴，∴． 变式2．（2023·河南信阳·校考三模）综合与实践：莹莹复习教材时，提前准备了一个等腰三角形纸片，如图，．为了找到重心，以便像教材上那样稳稳用笔尖顶起，她先把，点B与点C重叠对折，得折痕，展开后，她把点B与点A重叠对折，得折痕，再展开后连接，交折痕于点O，则点O就是的重心． 教材重现： 如图，用铅笔可以支起一张均匀的三角形卡片．你知道怎样确定这个点的位置吗？    在三角形中，连接一个顶点与它对边中点的线段，叫做这个三角形的中线（median）如图，是的边上的中线． (1)初步观察：连接，则与的数量关系是：________；(2)初步探究：请帮助莹莹求出的面积； (3)猜想验证：莹莹通过测量惊奇地发现．她的发现正确吗？请说明理由； (4)拓展探究：莹莹把剪下后得，发现可以与拼成四边形，且拼的过程中点不与点重合，直接写出拼成四边形时的长．    【答案】(1)(2)4(3)正确，理由见解析(4)或 【分析】（1）直接利用证明，即可证明； （2）先根据折叠的性质和勾股定理得出的长度，连接，由中位线的性质可得，再证明，利用相似三角形的性质得出的长，继而求出面积即可；（3），连接，由中位线的性质可得，再证明，利用相似三角形的性质得出数量关系； （4）分两种情况进行讨论：①当点与点B重合，②当点与点F重合，再利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）由折叠可得，， 又∵，∴，∴，故答案为：； （2）由折叠可得，，∵，∴，连接，       ∵点D、E分别为的中点，∴是的中位线，∴， ∴，∴，∴， ∴，∴； （3）正确，理由如下：连接， ∵点D、E分别为的中点，∴是的中位线，∴， ∴，∴，∴，∴； （4）   如图③，连接， ∵，∴，由（3）知，， ∴在中，由勾股定理得， 由折叠的性质得，∴， ∵，∴，∴，即，∴，∴， ∵与拼成四边形，且拼的过程中点不与点重合，∴共有两种情况： ①当点与点B重合，如图③，；②当点与点F重合，如图④⑤，连接， 在中，由勾股定理得； 综上，的长为或． 【点睛】本题考查了折叠的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，三角形的中位线性质定理，中线的意义，熟练掌握知识点，并添加适当的辅助线是解题的关键． 模型3.“AX”字模型（“A8”字模型） ①一“A”+“8”模型 ②两“A”+“8”模型（反向双“A”字模型） ③四“A”+“8”模型 图1 图2 图3 ①一“A”+“8”模型 条件：如图1，DE∥BC； 结论：△ADE∽△ABC，△DEF∽△CBF，⇔。 证明:∵DE∥BC，∴∠ADE=∠ABC，∠AED=∠ACB，∴△ADE∽△ABC，∴＝＝。 ∵DE∥BC，∴∠FDE=∠FCB，∠DEF=∠CBF，∴△DEF∽△CBF，∴。 ∴。 ②两“A”+“8”模型 条件：如图2，DE∥AF∥BC； 结论：△DAF∽△DBC，△CAF∽△CED，⇔。 证明:∵AF∥BC，∴∠DAF=∠B，∠DFA=∠DCB，∴△DAF∽△DBC，∴。 ∵DE∥AF，∴∠CAF=∠E，∠CFA=∠CDE，∴△CAF∽△CED，∴。 两式相加得到：，即，故。 ③四“A”+“8”模型3 条件：如图3，DE∥GF∥BC；结论：AF=AG，。 证明:同②中的证法，易证：，， ∴，即AF=AG，故。 例1．（2022·山东东营·中考真题）如图，点D为边上任一点，交于点E，连接相交于点F，则下列等式中不成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平行线分线段成比例定理即可判断A，根据相似三角形的性质即可判断B、C、D． 【详解】解：∵，∴，△DEF∽△CBF，△ADE∽△ABC，故A不符合题意； ∴，，故B不符合题意，C符合题意； ∴，故D不符合题意；故选C． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，平行线分线段成比例定理，熟知相似三角形的性质与判定，平行线分线段成比例定理是解题的关键． 例2．（22-23八年级下·上海普陀·期末）已知：如图，，与交于点，，，那么 ．    【答案】 【分析】证明，，同理可得，得到，把已知数据代入计算即可． 【详解】解：，∴，，，，∴， ∴，∴，解得：，故答案为：． 【点睛】本题考查的是相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定定理是解题的关键． 例3．（2024·湖北·模拟预测）（1）【问题背景】如图1，，与相交于点E，点F在上．求证：；    小雅同学的想法是将结论转化为来证明，请你按照小雅的思路完成原题的证明过程． （2）【类比探究】如图2，，，，与相交于点G，点H在上，．求证：． （3）【拓展运用】如图3，在四边形中，，连接，交于点M，过点M作，交于点E，交于点F，连接交于点N，过点N作，交于点G，交于点H，若，，直接写出的长． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3） 【分析】（1）由，可证，则，同理可得：，则，两边同时除以，可得． （2）由，，，，可得，，证明，则，同理，，则，两边同时除以得，，进而可得； （3）由（1）可知，，，则，解得，，则，计算求解即可． 【详解】（1）证明：∵，∴，∴．同理可得：， ∴，两边同时除以，得． （2）证明：∵，，，，∴，， ∵，∴，∴，同理，， ∴，∴， 两边同时除以得，，∴； （3）解：由（1）可知，，， ∴，解得，，∴，解得，，∴． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，等式的性质，平行线的判定．解题的关键在于明确相似三角形的判定条件． 变式1．（23-24八年级下·福建福州·期末）如图，在平行四边形中，是上一点，交于点，的延长线交的延长线于，，则下列结论正确的是（   ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查相似三角形判定及性质，平行线性质．根据题意证明，，，利用相似三角形性质逐一对选项就行分析即可得到本题答案． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，，∴，， ∵，，∴，， ∵，∴，即A选项不对，∴，即B选项不对， ∵，∴，∴， ∵，∴，即C选项对， ∵，即D选项不对，故选：D． 变式2．（2024·江苏泰州·三模）综合与实践 在初中物理学中，凸透镜成像原理与相似三角形有密切的联系．请耐心阅读以下材料： 【光学模型】如图1，通过凸透镜光心的光线，其传播方向不变，经过焦点的光线经凸透镜折射后平行于主光轴沿射出，与光线交于点，过点作主光轴的垂线段，垂足为，即可得出物体所成的像． 【模型验证】设焦点到光心的距离称为焦距，记为；物体到光心的距离称为物距，记为；像到光心的距离称为像距，记为．已知，，当时，求证：． 证明：∵，，∴ 又∵，∴，∴，即，同理可得， ∴，即 ① ，∴ ② ，∴，∴，即． 请结合上述材料，解决以下问题： (1)请补充上述证明过程中①②所缺的内容(用含的代数式表示)；(2)若该凸透镜的焦距为20，物体距凸透镜的距离为30，物高为10，则物体所成的像的高度为__________； (3)如图2，由物理学知识知“经过点且平行于主光轴的光线经凸透镜折射后经过点”，小明在做凸透镜成像实验时，不断改变物距发现光线始终经过主光轴上一定点．若该凸透镜的焦距为20，物高为10，试说明这一物理现象． 【答案】(1)①②(2)20(3)见解析 【分析】本题主要考查了相似三角形的应用，理解题意，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键． （1）分别证明，，由相似三角形的性质可得，整理可得，等号两边同时除以，即可获得答案； （2）结合（1），首先解得，结合，代入数值求解即可； （3）设与交于点，证明四边形为矩形，易得，再证明，由相似三角形的性质可得，结合（1）可得，等号两边同时加1，整理可得，结合可得出，即可说明这一物理现象． 【详解】（1）证明：∵，，∴ 又∵，∴，∴，即， 同理可得，∴，即，∴， ∴，∴，即．故答案为：①；②； （2）由（1）可知，，， 当，，时，可得，解得， ∴可有，解得，即物体所成的像的高度为．故答案为：20； （3）如下图，设与交于点，根据题意，， ∵，∴，∴四边形为矩形，∴， ∵，，∴， ∴，即，由（1）可知，，∴， ∴，∴，即，∴， ∵，∴， ∴小明在做凸透镜成像实验时，不断改变物距，光线始终经过主光轴上一定点，该定点透镜为焦点． 1．（2024·湖南·中考真题）如图，在中，点分别为边的中点．下列结论中，错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了三角形中位线的性质，相似三角形的判定和性质，由三角形中位线性质可判断；由相似三角形的判定和性质可判断，掌握三角形中位线的性质及相似三角形的判定和性质是解题的关键． 【详解】解：∵点分别为边的中点，∴，，故正确； ∵，∴，故正确； ∵，∴， ∴，故错误；故选：． 2．（2024·山西晋中·九年级统考阶段练习）如图，点F在平行四边形的边上，延长交的延长线于点E，交于点O，若，则的值为（    ）    A． B． C．2 D． 【答案】C 【分析】先由平行四边形性质得到，，证明得到，进而得到，再证明求解即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形，∴，， ∴，，∴， ∴，∴，则， ∵，，∴，∴，故选：C． 【点睛】本题考查平行四边形的性质、相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解答的关键． 3．（2023春·山东烟台·八年级统考期末）如图，在矩形中，是边的中点，于点，则下列结论：①；②；③．其中正确结论的个数是（    ）    A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 【答案】A 【分析】①先证明，再由，即可证明； ②先得到，由矩形的性质可得，由此证明，根据相似三角形对应边成比例的性质即可得到结论； ③可证根据相似三角形对应边成比例的性质即可得到结论． 【详解】解：，∴，， ∵四边形是矩形，∴，，， 又，，故①正确； 是边的中点，∴，∵四边形是矩形， ∴，，故②正确； ，， ，， ，，，故③正确，故选：A． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，矩形的性质，数控掌握相关知识是解题关键． 4．（2023秋·广东惠州·九年级校考阶段练习）如图，将平行四边形绕点A逆时针旋转到平行四边形的位置，使点落在上，与交于点E，若，，，则的长为（    ）    A． B． C． D．1 【答案】A 【分析】先结合旋转的性质证明，求出，再证点在同一条直线上，推出，再证明，得出，设，，代入可得，解出x的值即可． 【详解】解：由旋转的性质可知，，，， ∴，∴，∴，， ∵，∴，又∵，， ∴，即点在同一条直线上，∴， 又∵，，∴， ∴，即，设，， ∴，解得，∴，故选：A． 【点睛】本题考查平行四边形的性质、旋转的性质以及相似三角形的判定与性质，有一定难度，解题的关键是利6用旋转的性质得出对应边相等、对应角相等． 5．（2024·甘肃临夏·中考真题）如图，等腰中，，，将沿其底边中线向下平移，使的对应点满足，则平移前后两三角形重叠部分的面积是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查平移的性质，相似三角形的判定和性质，三线合一，根据平移的性质，推出，根据对应边上的中线比等于相似比，求出的长，三线合一求出的长，利用面积公式进行求解即可． 【详解】解：∵等腰中，，，∴， ∵为中线，∴，，∴，，∴， ∵将沿其底边中线向下平移，∴，， ∴，∴，∵，∴， ∴，∴，∴；故答案为：． 6．（2023·辽宁大连·中考真题）如图，在正方形中，，延长至E，使，连接平分交于F，连接，则的长为 ． 【答案】/ 【分析】此题主要考查了正方形的判定及性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理等，解题的关键是过点作于，作于点，首先证明为正方形，再设,则，然后证明，由相似三角形的性质求出a，进而在中由勾股定理即可求出． 【详解】如图，过点 作于，作于点． ∵四边形为正方形，， ，∴四边形为矩形， 又∵平分，，∴四边形为正方形， ，设,则， ， ， ，，， ，即，解得 ， ， ，在中, ， 由勾股定理得，故答案为 7．（2023春·重庆九龙坡·八年级校考期末）如图，小明站在两路灯之间的点处，两路灯底部的距离，两路灯的高度均为，小明身高，他在路灯下的影子，在路灯下的影子为，则 ．    【答案】 【分析】先通过证明可求得，进而得到；再证明得到求解即可． 【详解】解：∵,∴, ∴,即,解得：∴, ∵,∴,∴,即,解得：故答案为． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，灵活应用判定性质判定三角形相似是解答本题的关键． 8．（2023·湖北十堰·统考中考真题）如图，在菱形中，点E，F，G，H分别是， ，，上的点，且，若菱形的面积等于24，，则 ．    【答案】6 【分析】连接，交于点O，由题意易得，，，，则有，然后可得，设，则有，进而根据相似三角形的性质可进行求解． 【详解】解：连接，交于点O，如图所示：    ∵四边形是菱形，，∴，，，， ∵，∴，∴，∴， ∵，∴，∴， ∴，同理可得，设，则有， ∵，∴，∴，即，∴， 同理可得，即，∴，∴；故答案为6． 【点睛】本题主要考查相似三角形的性质与判定及菱形的性质，熟练掌握菱形的性质及相似三角形的性质与判定是解题的关键． 9．（2023春·福建福州·八年级校考期末）如图，已知在中，，，是边上的一点，与交于点，若，则 ． 【答案】 【分析】如图，取的中点I，连接并延长，交于点J，中，，于是，，，可证，于是，由平行线分线段成比例，得，，得，，由中位线定理，得，，推出，由可推证，所以． 【详解】如图，取的中点I，连接并延长，交于点J， 中，∴， ∵，∴∴∴， ∵，∴，∴， ∴∴∵∴，    ∴∴故答案为：． 【点睛】本题考查平行线的判定，平行线分线段成比例定理，中位线定理，相似三角形，直角三角形斜边中线性质，添加辅助线，构造中线，同时形成中位线是解题的关键． 10．（2023·广东深圳·校考三模）如图，在中，，D是上一点，点E在上，连接交于点F，若，则＝ ． 【答案】2 【分析】过D作垂直于H点，过D作交BC于G点，先利用解直角三角形求出的长，其次利用，求出的长，得出的长，最后利用求出的长，最后得出答案． 【详解】解：如图：过D作垂直于H点，过D作交于G点， ∵在中，，∴， 又∵，∴ ，∴在等腰直角三角形中，， ∴，在中，， ∵， ∴，，∴，   又∵，∴，∴， ∴ ，即，∴ ，∴， 又∵，∴，又∵，∴， 又，∴，∴，故答案为：2． 【点睛】本题考查勾股定理，等腰直角三角形性质及相似三角形的判定与性质综合，解题关键在于正确做出辅助线，利用相似三角形的性质得出对应边成比例求出答案． 11．（2023春·山东东营·八年级统考期末）如图，在中，D，E，F分别是，，上的点，且，，，，则 cm．    【答案】8 【分析】首先根据平行四边形的判定证明四边形是平行四边形，则，然后根据相似三角形的性质即可求解． 【详解】解：∵，，∴四边形是平行四边形，∴． ∵，∴．∵，∴， ∴，即，∴，∴．故的长为．故答案为：8 【点睛】本题主要考查平行四边形的判定及性质，相似三角形的判定与性质，掌握这些性质及判定是解题的关键． 12．如图，在△ABC中，点D、E、F分别在BC、AB、AC上，EF∥BC，交AD于点G． （1）图中共有几对相似三角形？请把它们分别表示出来； （2）若G为EF的中点，试判断BD与CD的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）图中有三对相似三角形，分别为：△AEF∽△ABC，△AEG∽△ABD，△AGF∽△ADC；（2）BD=DC，理由见解析 【分析】 （1）由EF∥BC，可得出△AEF∽△ABC，△AEG∽△ABD，△AGF∽△ADC，此问得解； （2）由△AEG∽△ABD，利用相似三角形的性质可得出，同理可得出，则，进而得到答案． 【详解】 解：（1）∵EF∥BC， ∴△AEF∽△ABC，△AEG∽△ABD，△AGF∽△ADC， ∴图中有三对相似三角形，分别为：△AEF∽△ABC，△AEG∽△ABD，△AGF∽△ADC； （2）BD=DC， 理由如下： ∵△AEG∽△ABD， ∴， ∵△AGF∽△ADC， ∴， ∴， ∵G为EF的中点， ∴EG=FG， ∴BD=DC． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质以及平行线分线段成比例，解题的关键是：（1）由EF∥BC，找出相似的三角形；（2）利用相似三角形的性质（或者平行线分线段成比例），找出即可 13．（2024•武汉模拟）在△ABC中，CD是中线，E，F分别为BC，AC上的一点，连接EF交CD于点P． （1）如图1，若F为AC的中点，CE＝2BE，求的值； （2）如图2，设＝m，＝n（n＜），若m+n＝4mn，求证：PD＝PC； （3）如图3，F为AC的中点，连接AE交CD于点Q，若QD＝QP，直接写出的值． 【分析】（1）根据三角形中位线定理得到DF＝BC，结合题意计算，得到答案； （2）过点D作DG∥BC交AC于H，交EF的延长线于G，根据平行线分线段成比例定理得到AH＝HC，证明△HFG∽△CFE，根据相似三角形的性质、平行线分线段成比例定理证明结论； （3）连接DF交AE于M，设EC＝1，BE＝x，QD＝QP＝m，PC＝n，根据平行线的性质得到＝，＝，解方程得到答案． 【解答】（1）解：∵AD＝DB，AF＝FC， ∴DF＝BC， ∵CE＝2BE， ∴CE＝BC， ∴＝＝； （2）证明：如图2，过点D作DG∥BC交AC于H，交EF的延长线于G， ∵AD＝DB， ∴AH＝HC， 设BC＝x，AC＝y，则CE＝mx，CF＝ny， ∴FH＝x﹣ny， ∵DG∥BC， ∴△HFG∽△CFE， ∴＝， ∴＝＝， ∴HG＝（﹣m）x， ∵DH＝BC＝x，m+n＝4mn， ∴DG＝DH+HG＝x+（﹣m）x＝mx， ∴DG＝CE， ∵DG∥BC， ∴＝＝1， ∴PD＝PC； （3）解：连接DF交AE于M， 设EC＝1，BE＝x，QD＝QP＝m，PC＝n， ∵AD＝DB，AF＝FC， ∴DF∥BC， ∴＝，即＝， ∴＝， ∴DF∥BC， ∴＝，即＝， ∴＝， ∴＝， 整理得：x2+3x﹣2＝0， 解得：x1＝，x2＝（舍去）， ∴＝． 【点评】本题考查的是相似三角形的判定和性质、三角形中位线定理，正确作出辅助线、掌握相似三角形的对应边成比例是解题的关键． 14．（2024·湖南常德·九年级校考期中）如图1，ΔABC中，AB=AC，点D在BA的延长线上，点E在BC上，DE=DC，点F是DE与AC的交点． （1）求证：∠BDE=∠ACD；（2）若DE=2DF，过点E作EG//AC交AB于点G，求证：AB=2AG； （3）将“点D在BA的延长线上，点E在BC上”改为“点D在AB上，点E在CB的延长线上”，“点F是DE与AC的交点”改为“点F是ED的延长线与AC的交点”，其它条件不变，如图2． ①求证：AB·BE=AD·BC；②若DE=4DF，请直接写出SΔABC:SΔDEC的值． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）①见解析；②． 【分析】（1）运用等腰三角形的性质及三角形的外角性质就可解决问题． （2）如图1，证明△DCA≌△EDG（AAS），得AD=EG，根据等腰三角形的判定得：DG=AB，由平行线分线段成比例定理得：，由此可得结论； （3）①如图2，作辅助线，构建三角形全等，证明△DCA≌△EDG（AAS），得DA=EG，再证明△ACB∽△GEB，列比例式可得结论； ②如图3，作辅助线，构建△ABC和△DCE的高线，先得，设AF=a，则EG=AD=4a，DG=16a，根据AH∥PD，得，设PD=3h，AH=4h，根据EG∥AC，同理得，设BE=y，BC=4y，利用三角形面积公式代入可得结论． 【详解】（1）证明：∵AC=AB，∴∠ACB=∠B， ∵DC=DE，∴∠DCE=∠DEC，∴∠ACD+∠ACB=∠B+∠BDE，∴∠BDE=∠ACD； （2）证明：如图1， ∵EG∥AC， ∴∠DAC=∠DGE，∠BEG=∠ACB， 由（1）知：∠DCA=∠BDE， ∵DC=DE， ∴△DCA≌△EDG（AAS）， ∴AD=EG， ∵∠B=∠ACB=∠BEG， ∴EG=BG=AD， ∴DG=AB， ∵DE=2DF，AF∥EG， ∴， ∴DG=2AD=2AG， ∴AB=DG=2AG； （3）解：①如图2，过点E作EG∥AC，交AB的延长线于点G， 则有∠A=∠G， ∵AB=AC，CD=DE， ∴∠ACB=∠ABC，∠DCE=∠DEC， ∴∠ACD+∠DCE=∠EDG+∠DEC， ∴∠ACD=∠EDG， 在△DCA和△EDG中， ∵， ∴△DCA≌△EDG（AAS）． ∴DA=EG， ∵AC∥EG， ∴△ACB∽△GEB， ∴， ∵EG=AD，AC=AB， ∴AB•BE=AD•BC； ②如图3，过A作AH⊥BC于H，过D作DP⊥BC于P，则AH∥PD， ∵AF∥EG， ∴， ∵DE=4DF， ∴， 设AF=a，则EG=AD=4a，DG=16a， ∵∠ACB=∠ABC， ∴∠GBE=∠BEG， ∴BG=EG=4a， ∴BD=12a， ∵AH∥PD， ∴， 设PD=3h，AH=4h， ∵EG∥AC， ∴， 设BE=y，BC=4y， ∴S△ABC=BC•AH===8yh， S△DCE=CE•PD==yh， ∴S△ABC：S△DEC=8yh：yh=16：15． 【点睛】本题是三角形的综合题，考查了相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、平行线分线段成比例、等腰三角形的性质和判定等知识，第三问有难度，利用参数表示各线段的长是本题的关键，综合性较强． 15．（2023秋·山西运城·九年级统考期末）综合与实践 问题情境：如图1，在中，，，，点是上一点，将沿直线折叠，点落在上的点，连接． 独立思考(1)如图，求的值； 问题拓展 如图，点是图1中AB上一动点，连接，交于点． (2)当点是的中点时，求证：；(3)当点是的中点时，请你直接写出的值．      【答案】（1）；（2）见解析；（3） 【分析】（1）由折叠性质可知，利用等面积求出长即可； （2）添加辅助线构造全等三角形和相似三角形，利用性质即可证明； （3）作平行线构造全等三角形和相似三角形，利用性质即可求解． 【详解】解：（1）方法一：在中，， ， 由折叠可知：， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，，， 方法二：在中，， ， 由折叠可知：，， ， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， 方法三：在中，， ， 由折叠可知：，． ， ∴， 在中，，， 在中，，， ∴， ∴ ∴， ∴， 在中，， ∴，      （2）方法一：延长到点，使，连接，      ∵，， ∴． ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 方法二：过点作交的延长线于点，      ∴，，， 又∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴． 方法三：作于点，      ∴， ∴ ∴ ∵，． ∴， ∴， 在中，，， ∴ 设， 在中，，． ∴， 在中，，． ∴． ∴ (3)如图，过作，交延长线于点，        ∴，， ∵为中点， ∴， ∵， ∴， ∴， 由得：， ∴． 【点睛】此题考查了全等三角形和相似三角形，解题的关键是如何添加辅助线，熟练掌握以上知识的性质及其应用． 16．（2023春·山东烟台·八年级统考期末）己知四边形中，E，F分别是边上的点，与交于点G． 特例解析：   　　     (1)如图1，若四边形是矩形，且，求证：； 类比探究： (2)如图2，若四边形是平行四边形，且，求证：． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）根据矩形的性质得到，，再根据同角的余角相等得到，从而可证明，利用相似三角形对应边成比例即可证明结论； （2）如图，在的延长线上取点，使，利用平行线的性质以及同角的补角相等证明，利用相似三角形对应边成比例即可得证． 【详解】（1）证明：∵四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴； （2）证明：如图，在的延长线上取点，使， ∴， ∵四边形是平行四边形，    ∴，，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质，等边对等角，平行线的性质，同等的余角（或补角）相等．熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 17．（2023春·广东河源·九年级校考开学考试）如图，已知梯形中，，又，．    (1)对角线与相交于点，交于点，试求的长． (2)如图，动点由点出发沿向点移动，速度为单位/分，同时动点由点出发沿向点移动，速度为单位/分，又与交于点，与交于点．猜想：对于动点和在运动过程中的任一时刻（分别不与，和，重合），始终有，请加以证明．    (3)设梯形的面积为，试问，在（）题点，的运动过程中，四边形的面积是否发生变化？如发生变化，请加以说明；如不发生变化，请求出它的面积（用的代数式表示）． 【答案】(1) (2)见解析 (3)面积不变，面积为 【分析】（1）证明和，进而即可得到结论； （2）设点P、Q的运动时间为x分，则，结合，，进而得到，即可求解； （3）由，可得，设梯形的高为h，结合，即可得到荅案. 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）证明：设点P、Q的运动时间为x分，则， ∴， ∵， ∴， ∴， 同理：， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：四边形的面积不发生变化，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设梯形的高为h，则， ，， ∴，， ∴，， ∴ 【点睛】本题主要考查相似三角形的性质和判定，平行线的性质，设运动时间为x，用含有x的代数式表示相关线段是关键. 18．（2022秋·广东清远·九年级统考期中）如图，在平行四边形中，，交于点，点是的中点，连接交于点，．(1)求证：；(2)求的长； (3)若的面积为2，直接写出四边形的面积．    【答案】(1)见解析(2)的长为6(3)四边形的面积为5 【分析】（1）由题意易得，然后问题可求证； （2）由（1）及题意易得，，，则有，设，然后可得，进而问题可求解； （3）由题意易得，，然后问题可求解． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴，， ∴； （2）解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∵为中点， ∴， ∴， ∴， 设， ∴， ∴，， ∴， 解得：， ∴， ∴的长为6； （3）解：∵， ∴， ∵的面积为2， ∴，， ∴， ∴， ∴四边形的面积为5． 【点睛】本题主要考查相似三角形的判定与性质及平行四边形的性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质及平行四边形的性质是解题是关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！28 学科网（北京）股份有限公司 $$