专题02 相似三角形重要模型之母子型（共边共角模型）-2024-2025学年九年级数学下册常见几何模型全归纳之模型解读与提分精练（苏科版）

专题02 相似三角形重要模型之母子型（共边共角模型） 相似三角形是初中几何中的重要的内容，常常与其它知识点结合以综合题的形式呈现，其变化很多，是中考的常考题型。在相似三角形中存在众多的相似模型，其中“母子型”相似模型应用较为广泛，深入理解模型内涵，灵活运用相关结论可以显著提高解题效率，本专题重点讲解相似三角形的“母子”模型。 1 模型1.“母子型”模型（共边共角模型） 1 12 【知识储备】母子型相似证明题一般思路方法: ①由线段乘积相等转化成线段比例式相等； ②分子和分子组成一个三角形、分母和分母组成一个三角形； ③第②步成立，直接从证这两个三角形相似，逆向证明到线段乘积相等； ④第②步不成立，则选择替换掉线段比例式中的个别线段，之后再重复第③步。 模型1.“母子型”模型（共边共角模型） “母子”模型的图形（通常有一个公共顶点和另外一个不是公共的顶点，由于小三角形寓于大三角形中，恰似子依母怀），也是有一个“公共角”，再有一个角相等或夹这个公共角的两边对应成比例就可以判定这两个三角形相似。 图1 图2 图3 图4 1）“母子”模型（斜射影模型） 条件：如图1，∠C=∠ABD； 结论：△ABD∽△ACB，AB2＝AD·AC. 证明：∵∠C=∠ABD，∠DAB=∠BAC，∴△ADB∽△BAC，∴，∴AB2＝AD·AC. 2）双垂直模型（射影模型） 条件：如图2，∠ACB=90o，CD⊥AB； 结论：△ACD∽△ABC∽△CBD；CA2＝AD·AB，BC2＝BD·BA，CD2＝DA·DB. 证明：∵∠ACB=90o，CD⊥AB，∴∠A+∠ACD=90°，∠A+∠B=90°，∴∠B=∠ACD， ∵∠A=∠A，∴△ACD∽△ABC，∴，∴AC2＝AD·AB. 同理可证：BC2＝BD·BA，CD2＝DA·DB. 3）“母子”模型（变形） 条件：如图3，∠D=∠CAE，AB=AC； 结论：△ABD∽△ECA； 证明：∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，∴∠DBA=∠ACE，∵∠D=∠CAE，∴△ABD∽△ECA 4）共边模型 条件：如图1，在四边形中，对角线平分，，结论：； 证明：∵对角线平分，∴∠ABD=∠CBC， ∵，∴△ADB∽△DCB，∴，∴ 例1．（2021·广西百色·中考真题）如图，△ABC中，AB＝AC，∠B＝72°，∠ACB的平分线CD交AB于点D，则点D是线段AB的黄金分割点．若AC＝2，则BD＝______． 例2．（2023·浙江·九年级期末）（1）如图1，在中，为上一点，．求证：． （2）如图2，在中，是上一点，连接，．已知，，．求证：． （3）如图3，四边形内接于，、相交于点．已知的半径为2，，，，求四边形的面积． 例3．（22-23八年级下·湖南衡阳·期中）如图，在矩形 中，对角线 交于点 O，于点 E，已知，，则矩形的周长为 　   　    例4．（2023·湖南·统考中考真题）在中，是斜边上的高． (1)证明：；(2)若，求的长．    例5．（2024·广东九年级课时练习）如图，点C、D在线段AB上，且△PCD是等边三角形．∠APB＝120°． （1）求证：△ACP∽△PDB；（2）当AC＝4，BD＝9时，试求CD的值． 例6．（23-24八年级下·福建福州·期末）如图，中，边上的中线与的平分线交于F点，．(1)求证：；(2)求证：．    例7．（23-24九年级上·湖南岳阳·阶段练习）问题探究：如图1，若内一点P满足，则点P是的智慧点，是智慧角．      (1)如图2，点P为等边三角形的智慧点，则智慧角的度数是________；线段、、的数量关系是________； (2)如图3，点 P为等腰直角三角形（其中）的智慧点，且． ①请判断与是否相似，如果相似给出证明并说明与的数量关系； ②若，的面积为，求m的值和的面积． 例8．（2024·四川广元·中考真题）数学实验，能增加学习数学的乐趣，还能经历知识“再创造”的过程，更是培养动手能力，创新能力的一种手段．小强在学习《相似》一章中对“直角三角形斜边上作高”这一基本图形（如图1）产生了如下问题，请同学们帮他解决． 在中，点为边上一点，连接． (1)初步探究：如图2，若，求证：； (2)尝试应用：如图3，在（1）的条件下，若点为中点，，求的长； (3)创新提升：如图4，点为中点，连接，若，，，求的长． 1．（2024·宁夏银川·一模）如图，在中，，，以点C为圆心，以为半径作弧交于点，再分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点，作射线交于点，连接．有以下结论个结论：①，②，③，④其中正确的有几个（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（2023·云南临沧·统考三模）如图，在中，D是上的点，，，，则与的面积比为（    ）    A． B． C． D． 3．（2024·上海·模拟预测）在中有一点P，满足，则点P被称为的“布卡洛点”，在中，，，点P是的一个“布卡洛点”，则 4．（2021·四川南充·中考真题）如图，在中，D为BC上一点，，则的值为________． 5．（22-23八年级下·重庆九龙坡·期末）在三角形纸片中，，，将折叠，使点与点重合，折痕为，则 ．      6．（2023秋·北京石景山·九年级校考阶段练习）已知如图，在中，，于点D，，．求的值．    7．（2024·江苏·九年级专题练习）【基础巩固】（1）如图1，在△ABC中，D为AB上一点，∠ACD＝∠B．求证：AC2＝AD•AB． 【尝试应用】（2）如图2，在▱ABCD中，E为BC上一点，F为CD延长线上一点，∠BFE＝∠A．若BF＝4，BE＝3，求AD的长． 8．（2022·江苏苏州·统考中考真题）（1）如图1，在△ABC中，，CD平分，交AB于点D，//，交BC于点E． ①若，，求BC的长；②试探究是否为定值．如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由．（2）如图2，和是△ABC的2个外角，，CD平分，交AB的延长线于点D，//，交CB的延长线于点E．记△ACD的面积为，△CDE的面积为，△BDE的面积为．若，求的值． 9．（2023春·山东烟台·八年级统考期末）如图，中，是中线，点在上，且，．(1)请直接写出图中所有的相似三角形 ；(2)求线段的长．    10．（23-24九年级下·湖北武汉·开学考试）如图，在中，，点D、B、C、E在同一条直线上，且．(1)求证：；(2)若，，求的长度． 11．（2023·陕西西安·九年级校联考期中）如图，在中，点是边上的一点，，，．求边的长．    12．（2023春·江苏·九年级统考期末）如图，在△ABC中，点D在BC边上，点E在AC边上，且AD＝AB，∠DEC＝∠B．（1）求证：△AED∽△ADC；（2）若AE＝1，EC＝3，求AB的长． 13．（2023·广西梧州·九年级校考阶段练习）如图，已知中，P是AB上一点，连接CP，B=ACP，求证：． 14．（2023秋·江苏淮安·九年级统考期末）如图，D是的边AC上的一点，连接BD，使． (1)说明．(2)，，求线段AC的长． 15．（2023秋·江苏扬州·九年级校联考阶段练习）如图，，平分，连接交于.(1)求证：；(2)若，，求的长. 16．（2024·山西阳泉·三模）综合与探究 问题情境：如图1，在中，，，．于点，的平分线交于点，交于点．试判断与的数量关系，并说明理由． 数学思考：（1）请你解答上述提出的问题； 实践探究：（2）如图2，善思小组将沿线段平移，使点恰好落在处，点，对应点分别是点，，连接． ①请你直接写出四边形的形状是______； ②请求出平移的距离； （3）智慧小组将绕点逆时针旋转，得到，使得，点，的对应点分别是点，，连接，直接写出的长． 17．（23-24九年级下·山东·期末）从三角形（不是等腰三角形）一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原三角形相似，我们把这条线段叫做这个三角形的完美分割线． (1)如图1，在中，为角平分线，，，求证：为的完美分割线； (2)如图2，中，，，是的完美分割线，且是以为底边的等腰三角形，求和长； (3)在中，，是的完美分割线，且为等腰三角形，请直接写出的度数为__________． 18．（2023·江苏扬州·模拟预测）定义：两个相似三角形共边且位于一个角的角平分线两边，则称这样的两个相似三角形为邻似三角形． (1)[初步理解]如图，四边形中，对角线平分，，求证：和为邻似三角形； (2)[尝试应用]在（1）的基础上，如图，若，，，求四边形的周长； (3)[拓展应用]如图，四边形中，和为邻似三角形，对角线平分，且．若，，，求的面积． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 相似三角形重要模型之母子型（共边共角模型） 相似三角形是初中几何中的重要的内容，常常与其它知识点结合以综合题的形式呈现，其变化很多，是中考的常考题型。在相似三角形中存在众多的相似模型，其中“母子型”相似模型应用较为广泛，深入理解模型内涵，灵活运用相关结论可以显著提高解题效率，本专题重点讲解相似三角形的“母子”模型。 1 模型1.“母子型”模型（共边共角模型） 1 12 【知识储备】母子型相似证明题一般思路方法: ①由线段乘积相等转化成线段比例式相等； ②分子和分子组成一个三角形、分母和分母组成一个三角形； ③第②步成立，直接从证这两个三角形相似，逆向证明到线段乘积相等； ④第②步不成立，则选择替换掉线段比例式中的个别线段，之后再重复第③步。 模型1.“母子型”模型（共边共角模型） “母子”模型的图形（通常有一个公共顶点和另外一个不是公共的顶点，由于小三角形寓于大三角形中，恰似子依母怀），也是有一个“公共角”，再有一个角相等或夹这个公共角的两边对应成比例就可以判定这两个三角形相似。 图1 图2 图3 图4 1）“母子”模型（斜射影模型） 条件：如图1，∠C=∠ABD； 结论：△ABD∽△ACB，AB2＝AD·AC. 证明：∵∠C=∠ABD，∠DAB=∠BAC，∴△ADB∽△BAC，∴，∴AB2＝AD·AC. 2）双垂直模型（射影模型） 条件：如图2，∠ACB=90o，CD⊥AB； 结论：△ACD∽△ABC∽△CBD；CA2＝AD·AB，BC2＝BD·BA，CD2＝DA·DB. 证明：∵∠ACB=90o，CD⊥AB，∴∠A+∠ACD=90°，∠A+∠B=90°，∴∠B=∠ACD， ∵∠A=∠A，∴△ACD∽△ABC，∴，∴AC2＝AD·AB. 同理可证：BC2＝BD·BA，CD2＝DA·DB. 3）“母子”模型（变形） 条件：如图3，∠D=∠CAE，AB=AC； 结论：△ABD∽△ECA； 证明：∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，∴∠DBA=∠ACE，∵∠D=∠CAE，∴△ABD∽△ECA 4）共边模型 条件：如图1，在四边形中，对角线平分，，结论：； 证明：∵对角线平分，∴∠ABD=∠CBC， ∵，∴△ADB∽△DCB，∴，∴ 例1．（2021·广西百色·中考真题）如图，△ABC中，AB＝AC，∠B＝72°，∠ACB的平分线CD交AB于点D，则点D是线段AB的黄金分割点．若AC＝2，则BD＝______． 【答案】 【分析】先根据AB=AC，∠B=72°求出∠A的度数，再根据CD是∠CAB的角平分线得到∠A=∠ACD，即AD=CD，再根据大角对大边得到AD>BD，最后利用黄金分割公式计算求解即可. 【详解】解：∵AB=AC，∠B=72°∴∠ACB=∠B=72°∴∠A=180°-∠B-∠ACB=36° ∵CD是∠CAB的角平分线∴∠ACD=∠BCD=∴∠A=∠ACD∴AD=CD 在△ABC与△CBD中∠A=∠BCD=36°，∠B=∠B∴△ABC∽△CBD∴ 在三角形CDB中，∠B=72°，∠BCD=36°∴∠CDB=72°∴∠CDB=∠B=72°∴AD=CD=BC ∴即∴D点为AB的黄金分割点 在三角形CDB中，∠B=72°，∠BCD=36°∴CD>BD（大角对大边）∴AD>BD ∵D是AB的黄金分割点，AD>BD∴ ∴故答案为：. 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，相似三角形的性质与判定，黄金分割点，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解. 例2．（2023·浙江·九年级期末）（1）如图1，在中，为上一点，．求证：． （2）如图2，在中，是上一点，连接，．已知，，．求证：． （3）如图3，四边形内接于，、相交于点．已知的半径为2，，，，求四边形的面积． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3） 【分析】（1）由化比例，与，可证∽即可； （2）由，可得，AD=BC，根据线段比值计算，，可得，由∠EAC=∠CAB，可证∽即可； （3）连接交于点，连接，根据，，可得AC=2AE，根据线段比值计算可得，由∠BAC=∠EAB，可证∽，可证∠ABD=∠ADB，可得BF=DF，根据勾股定理OF=，可求，可证，，可得S△BCD= 即可． 【详解】（1）证明：如图1，∵，∴， 又∵，∴∽，∴． （2）证明：如图2，∵，∴，AD=BC， ∵，，，∴， ∴，，∴， ∵∠EAC=∠CAB，∴∽， ∴，即，∴．∴； （3）解：如图3，连接OA交于点，连接， ∵，，∴AC=2AE， ∴，，∴， ∵∠BAC=∠EAB，∴∽，∴， ∵∠ADB=∠ACB，∴∠ABD=∠ADB， ∴点A是弧的中点，BD为弦，OA为半径，∴，BF=DF， ∵，，∴BF=DF= ， 在Rt△OBF中，根据勾股定理OF=， ∴，∴， ∵，∴，， ∴S△BCD=S△BCE+S△DCE=， ∴． 【点睛】本题考查三角形相似判定与性质，垂径定理，勾股定理，与三角形高有关的计算，掌握三角形相似判定与性质，垂径定理，勾股定理，与三角形高有关的计算是解题关键． 例3．（22-23八年级下·湖南衡阳·期中）如图，在矩形 中，对角线 交于点 O，于点 E，已知，，则矩形的周长为 　   　    【答案】/ 【分析】首先根据题意求出，，然后根据矩形的性质得，然后证明，得，求得，然后利用勾股定理求出和的长度，即可得出结果． 【详解】解：∵，，∴， ∵四边形是矩形，∴， ∵，，，， ，即解得（负值舍去） ∵∴， ∴矩形的周长为．故答案为：． 【点睛】本题考查了矩形的性质、同角的余角相等、相似三角形的判定与性质，证明是解题的关键． 例4．（2023·湖南·统考中考真题）在中，是斜边上的高．    (1)证明：；(2)若，求的长． 【答案】(1)见解析(2) 【分析】（1）根据三角形高的定义得出，根据等角的余角相等，得出，结合公共角，即可得证；（2）根据（1）的结论，利用相似三角形的性质即可求解． 【详解】（1）证明：∵是斜边上的高． ∴，∴，∴ 又∵∴， （2）∵∴， 又∴． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键． 例5．（2024·广东九年级课时练习）如图，点C、D在线段AB上，且△PCD是等边三角形．∠APB＝120°． （1）求证：△ACP∽△PDB；（2）当AC＝4，BD＝9时，试求CD的值． 【答案】（1）详见解析；（2）6． 【分析】（1）先证明∠ACP＝∠PDB＝120°，然后由∠A+∠B＝60°，∠DPB+∠B＝60°可证明∠A＝∠DPB，从而可证明△ACP∽△PDB．（2）由相似三角形的性质得到 ，根据等边三角形的性质得到PC＝PD＝CD，等量代换得到 ，即可得到答案． 【详解】（1）证明：∵△PCD为等边三角形， ∴∠PCD＝∠PDC＝60°．∴∠ACP＝∠PDB＝120°． ∵∠APB＝120°，∴∠A+∠B＝60°． ∵∠PDB＝120°，∴∠DPB+∠B＝60°．∴∠A＝∠DPB．∴△ACP∽△PDB． （2）解：由（1）得△ACP∽△PDB，∴， ∵△PCD是等边三角形，∴PC＝PD＝CD，∴，∴CD2＝AC•BD． ∵AC＝4，BD＝9，∴CD＝6． 【点睛】此题重点考查学生对相似三角形的判定的理解，掌握三角形相似的判定方法是解题的关键. 例6．（23-24八年级下·福建福州·期末）如图，中，边上的中线与的平分线交于F点，．(1)求证：；(2)求证：．    【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析． 【分析】（）根据等边对等角得到，由是的平分线，得到，再根据三角形外角性质得，即可证明；（）取中点，连接，利用三角形中位线的性质，得，证，得到，进而的得到，即可求证； 本题考查了三角形相似的判定与性质，等腰三角形的性质，三角形中位线的性质，熟练掌握知识点的应用及正确作出辅助线构造三角形相似是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵，∴， ∵是的平分线，∴， ∵，， ∴，∴； （2）证明：取中点，连接，如图，∴，    ∵是边上的中线，即点为的中点，∴是的中位线， ∴，∴，∴， ∵，∴，∴， 又∵，∴． 例7．（23-24九年级上·湖南岳阳·阶段练习）问题探究：如图1，若内一点P满足，则点P是的智慧点，是智慧角．      (1)如图2，点P为等边三角形的智慧点，则智慧角的度数是________；线段、、的数量关系是________； (2)如图3，点 P为等腰直角三角形（其中）的智慧点，且． ①请判断与是否相似，如果相似给出证明并说明与的数量关系； ②若，的面积为，求m的值和的面积． 【答案】(1)，(2)①相似，见解析；；②， 【分析】（1）证明，推出，同法可证，推出，从而，即可解决问题； （2）①由是等腰直角三角形，，即可得，而，故，得到，即可得解；②过作交的延长线于，设，由，知是等腰直角三角形，即得，而，即可得，，，故，，，可得，即可求出． 【详解】（1）解：如图： 是等边三角形，，， ，， ，，同法可证，， ，故答案为：，； （2）①如图：是等腰直角三角形，，，， ，，即， ，，∴，； ②过作交的延长线于，如图： 设．， 而，是等腰直角三角形，，由①知：， ，即，， ，，，， ，， ， 的面积为，，解得或（舍去），． 【点睛】本题考查相似三角形综合题、等边三角形的性质、等腰直角三角形的性质、相似三角形的判定和性质、三角形的面积，添加辅助线． 例8．（2024·四川广元·中考真题）数学实验，能增加学习数学的乐趣，还能经历知识“再创造”的过程，更是培养动手能力，创新能力的一种手段．小强在学习《相似》一章中对“直角三角形斜边上作高”这一基本图形（如图1）产生了如下问题，请同学们帮他解决． 在中，点为边上一点，连接． (1)初步探究：如图2，若，求证：； (2)尝试应用：如图3，在（1）的条件下，若点为中点，，求的长； (3)创新提升：如图4，点为中点，连接，若，，，求的长． 【答案】(1)证明见解析(2)(3) 【分析】（1）根据题意，由，，利用两个三角形相似的判定定理即可得到，再由相似性质即可得证；（2）设，由（1）中相似，代值求解得到，从而根据与的相似比为求解即可得到答案； （3）过点作的平行线交的延长线于点，如图1所示，设，过点作于点，如图2所示，利用含的直角三角形性质及勾股定理即可得到相关角度与线段长，再由三角形相似的判定与性质得到，代值求解即可得到答案． 【详解】（1）证明：∵，， ∴，∴，∴； （2）解：∵点为中点，∴设， 由（1）知，∴， ∴，∴与的相似比为，∴，∵∴； （3）解：过点作的平行线交的延长线于点，过作，如图1所示： ∵点为中点，∴设，∵，∴，， 在中，，则由勾股定理可得， 过点作于点，如图2所示： ∴，∴，∴，∴，，∴，∴， ∵，点为中点，∴，，， 又∵，∴，，∴， 又∵，∴，，∴，即，∴，∴． 【点睛】本题考查几何综合，涉及相似三角形的判定与性质、含的直角三角形性质、勾股定理等知识，熟练掌握三角形相似的判定与性质是解决问题的关键． 1．（2024·宁夏银川·一模）如图，在中，，，以点C为圆心，以为半径作弧交于点，再分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点，作射线交于点，连接．有以下结论个结论：①，②，③，④其中正确的有几个（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据作图可知，为的角平分线，根据等腰三角形的性质求出的度数可判定①正确；进而得出，可得，根据等腰三角形的性质及外角性质得出，可得，即可判定②正确；根据，为公共角证明，根据相似三角形的性质可判定③错误；过点作于，于，根据角平分线的性质得出，利用三角形面积公式可判定④正确；综上即可得答案． 【详解】解：∵，， ∴， 由作图可知：，为的角平分线， ∴，故①正确， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，故②正确， ∵，， ∴， ∴，即， 整理得：， ∴， ∵， ∴，故③错误， 如图，过点作于，于， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 整理得：， 解得：， ∴（负值舍去），即，故④正确， 综上所述：正确的结论为①②④，共个， 故选：C． 【点睛】此题考查了等腰三角形的判定与性质，相似三角形的判定和性质，角平分线的作图及性质，解一元二次方程，熟练掌握相关性质及判定定理是解题的关键． 2．（2023·云南临沧·统考三模）如图，在中，D是上的点，，，，则与的面积比为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】证明，再利用相似三角形的性质即可解答． 【详解】解：，，， ，设，则， ，与的面积比为，故选：C． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，灵活运用相似三角形的性质计算相应线段的长或表示线段之间的关系是解决问题的关键． 3．（2024·上海·模拟预测）在中有一点P，满足，则点P被称为的“布卡洛点”，在中，，，点P是的一个“布卡洛点”，则 【答案】 【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质、相似三角形的判定与性质，证明，推出，从而得到，，即可得解． 【详解】解：如图： ， ∵，， ∴，， ∵点P是的一个“布卡洛点”， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 4．（2021·四川南充·中考真题）如图，在中，D为BC上一点，，则的值为________． 【答案】． 【分析】证明△ABD∽△CBA，根据相似三角形的性质即可解答． 【详解】∵，∴，，∴， ∵∠B=∠B，∴△ABD∽△CBA，∴．故答案为：． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定及性质，证明△ABD∽△CBA是解决问题的关键． 5．（22-23八年级下·重庆九龙坡·期末）在三角形纸片中，，，将折叠，使点与点重合，折痕为，则 ．      【答案】 【分析】根据折叠的性质可得，，，根据等腰三角形的性质可得，根据相似三角形的判定和性质可求得，即可求得，即可求解． 【详解】解：∵将折叠，使点与点重合，折痕为， 即，， ∵， ∴， ∴， 又， ∴， ∴， 又∵，， 即， ∴， ∴， 故， 故答案为：． 【点睛】本题考查了折叠的性质，等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 6．（2023秋·北京石景山·九年级校考阶段练习）已知如图，在中，，于点D，，．求的值．    【答案】 【分析】根据勾股定理求出的长，再根据，列出，求出的长． 【详解】解：在中，，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴. 【点睛】本题考查了勾股定理和相似三角形的判定与性质，利用相似三角形的性质构建方程求解是解题的关键． 7．（2024·江苏·九年级专题练习）【基础巩固】（1）如图1，在△ABC中，D为AB上一点，∠ACD＝∠B．求证：AC2＝AD•AB． 【尝试应用】（2）如图2，在▱ABCD中，E为BC上一点，F为CD延长线上一点，∠BFE＝∠A．若BF＝4，BE＝3，求AD的长． 【答案】（1）见解析；（2）AD=． 【分析】（1）证明△ADC∽△ACB，即可得出结论； （2）证明△BFE∽△BCF，得出BF2=BE•BC，求出BC，则可求出AD． 【详解】（1）证明：∵∠ACD=∠B，∠A=∠A， ∴△ADC∽△ACB， ∴， ∴AC2=AD•AB． （2）∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD=BC，∠A=∠C， 又∵∠BFE=∠A， ∴∠BFE=∠C， 又∵∠FBE=∠CBF， ∴△BFE∽△BCF， ∴， ∴BF2=BE•BC， ∴BC===， ∴AD=． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质等知识，正确掌握相似三角形的判定方法是解题关键． 8．（2022·江苏苏州·统考中考真题）（1）如图1，在△ABC中，，CD平分，交AB于点D，//，交BC于点E． ①若，，求BC的长；②试探究是否为定值．如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由．（2）如图2，和是△ABC的2个外角，，CD平分，交AB的延长线于点D，//，交CB的延长线于点E．记△ACD的面积为，△CDE的面积为，△BDE的面积为．若，求的值． 【答案】（1）①；②是定值，定值为1；（2） 【分析】（1）①证明，根据相似三角形的性质求解即可； ②由，可得，由①同理可得，计算； （2）根据平行线的性质、相似三角形的性质可得，又，则，可得，设，则．证明，可得，过点D作于H．分别求得，进而根据余弦的定义即可求解． 【详解】（1）①∵CD平分， ∴． ∵， ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． ∴． ∴． ∴． ②∵， ∴． 由①可得， ∴． ∴． ∴是定值，定值为1． （2）∵， ∴． ∵， ∴． 又∵， ∴． 设，则． ∵CD平分， ∴． ∵， ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． ∴． 如图，过点D作于H． ∵， ∴． ∴． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，求余弦，掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键． 9．（2023春·山东烟台·八年级统考期末）如图，中，是中线，点在上，且，．    (1)请直接写出图中所有的相似三角形 ；(2)求线段的长． 【答案】(1)，(2) 【分析】（1）根据等边对等角可得，根据三角形的外角性质可得，，推得，根据相似三角形的判定即可证明，根据相似三角形的性质可得，推得，根据相似三角形的判定即可证明； （2）根据相似三角形的性质可得，即可求解． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵，， 且， ∴， ∵，∠BAD =∠ACE ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∵，， ∴． 故答案为：，． （2）解：由（1）可得， ∴， ∴， ∴， ∴线段的长为． 【点睛】本题考查了等边对等角，三角形的外角性质，相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 10．（23-24九年级下·湖北武汉·开学考试）如图，在中，，点D、B、C、E在同一条直线上，且． (1)求证：；(2)若，，求的长度． 【答案】(1)见解析(2) 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定方法，证明三角形相似，是解题关键． （1）等边对等角结合平角的定义，得到，结合，即可得证； （2）根据相似三角形的性质，进行求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴． 11．（2023·陕西西安·九年级校联考期中）如图，在中，点是边上的一点，，，．求边的长．    【答案】 【分析】根据条件证明，即可求出． 【详解】解：，为公共角，， ，即， ，，； 【点睛】本题考查几何问题，涉及到相似三角形的判定与性质，熟记知识点是关键． 12．（2023春·江苏·九年级统考期末）如图，在△ABC中，点D在BC边上，点E在AC边上，且AD＝AB，∠DEC＝∠B．（1）求证：△AED∽△ADC；（2）若AE＝1，EC＝3，求AB的长． 【答案】（1）见解析；（2）2 【分析】（1）利用三角形外角的性质及∠DEC=∠ADB可得出∠ADE=∠C，结合∠DAE=∠CAD即可证出△AED∽△ADC；（2）利用相似三角形的性质可求出AD的长，再结合AD=AB即可得出AB的长． 【详解】解：（1）证明：∵∠DEC=∠DAE+∠ADE，∠ADB=∠DAE+∠C，∠DEC=∠ADB，∴∠ADE=∠C． 又∵∠DAE=∠CAD，∴△AED∽△ADC． （2）∵△AED∽△ADC，∴，即， ∴AD＝2或AD＝﹣2（舍去）．又∵AD＝AB，∴AB＝2 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，解题的关键是：（1）利用“两角对应相等，两三角形相似”证出△AED∽△ADC；（2）利用相似三角形的性质，求出AD的长． 13．（2023·广西梧州·九年级校考阶段练习）如图，已知中，P是AB上一点，连接CP，B=ACP，求证：． 【答案】见解析 【分析】由图可得，两三角形已有一组角对应相等，再加一组角对应相等即可． 【详解】解：∵∠A=∠A，B=ACP，∴△ACP∽△ABC， ∴ ，∴AC2=AP•AB． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质，解题的关键是掌握有两角对应相等的三角形相似． 14．（2023秋·江苏淮安·九年级统考期末）如图，D是的边AC上的一点，连接BD，使． (1)说明．(2)，，求线段AC的长． 【答案】(1)见解析(2) 【分析】（1）根据，再由公共角，利用两对角相等的三角形相似即可得证； （2）由相似得比例，即可求出的长． 【详解】（1）∵，，∴； （2）∵，∴， ∵，，∴，∴． 【点睛】此题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解本题的关键． 15．（2023秋·江苏扬州·九年级校联考阶段练习）如图，，平分，连接交于.(1)求证：；(2)若，，求的长. 【答案】(1)证明见解析(2) 【分析】（1）根据角平分线的定义可得，根据相似三角形的判定和性质即可证明； （2）根据勾股定理求得的值，即可根据（1）中结论求解． 【详解】（1）证明：∵平分，∴， 又∵，∴，∴，即． （2）解：在中，，，则， 又∵，∴． 【点睛】本题考查了角平分线的定义，相似三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 16．（2024·山西阳泉·三模）综合与探究 问题情境：如图1，在中，，，．于点，的平分线交于点，交于点．试判断与的数量关系，并说明理由． 数学思考：（1）请你解答上述提出的问题； 实践探究：（2）如图2，善思小组将沿线段平移，使点恰好落在处，点，对应点分别是点，，连接． ①请你直接写出四边形的形状是______； ②请求出平移的距离； （3）智慧小组将绕点逆时针旋转，得到，使得，点，的对应点分别是点，，连接，直接写出的长． 【答案】（1），理由见解析；（2）①菱形；②；（3）或 【分析】（1）根据直角三角形两锐角互余及垂直的定义得，根据三角形外角的性质得，得到，即可得出结论； （2）①根据平移的性质得，，得出四边形是平行四边形，再根据（1）的结论即可得出结论； ②根据勾股定理得，由，求出，根据菱形的性质证明，得到，设，则，，代入数据即可得解； （3）过点作于点，连接，交的延长线于点，证明四边形是菱形，由（2）知：，然后分两种情况：①当在点的右边；②当在点的左边，分别画出图形并求解即可． 【详解】解：（1）， 理由：∵， ∴， ∵，即， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）①四边形的形状是菱形．理由如下： ∵将沿线段平移，使点恰好落在处，点，对应点分别是点，， ∴，， ∴四边形是平行四边形， 由（1）知：， ∴四边形是菱形， 故答案为：菱形； ②∵，，，， ∴， ∵， ∴， 由①知：四边形是菱形， ∴，， ∴，， ∴， ∴， 设，则，， ∴， 解得：， ∴， ∴平移的距离为； （3）过点作于点，连接，交的延长线于点， ∵， ∴， ∵平分，，， ∴，， 由（1）知：， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形， 由（2）知：， ①当在点的右边， ∵将绕点逆时针旋转，得到， ∴，， 在中，， ∵， ∴， ∵， ∴， 在四边形中， ， ∴， ∴、、三点共线， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中， ； ②当在点的左边， 设的延长线交于点， 由前面的结论知：，， ∵将绕点逆时针旋转，得到， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， 在四边形中， ， ∴， ∵， ∴， ∴点在上，即、、三点共线， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中， ； 综上所述，的长为或． 【点睛】本题是图形的旋转，考查了旋转的性质，角平分线的性质，等腰三角形的判定与性质，菱形的判定与性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 17．（23-24九年级下·山东·期末）从三角形（不是等腰三角形）一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原三角形相似，我们把这条线段叫做这个三角形的完美分割线． (1)如图1，在中，为角平分线，，，求证：为的完美分割线； (2)如图2，中，，，是的完美分割线，且是以为底边的等腰三角形，求和长； (3)在中，，是的完美分割线，且为等腰三角形，请直接写出的度数为__________． 【答案】(1)证明见解析 (2)， (3)或 【分析】（1）根据三角形内角和定理求得，再根据角平分线的定义可得，再由等角对等边可得为等腰三角形，再根据相似三角形的判定即可得证； （2）根据等腰三角形的性质可得，从而可得，再根据“完美分割线的定义”可得，得，即，求得，再根据相似三角形的性质可得，即可求解； （3）根据是的完美分割线，且为等腰三角形进行分类讨论：或，根据等腰三角形的性质、三角形的内角和及相似三角形的性质进行求解即可． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∵， ∴不是等腰三角形． ∵平分， ∴． ∴． ∴． ∴为等腰三角形． ∴． 又∵， ∴． ∴CD是的完美分割线； （2）解：∵是以为底边的等腰三角形， ∴， ∴． ∵是的完美分割线， ∴． ∴， ∴， ∴． 解得或（不合题意，舍去）， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． （3）解：∵是的完美分割线，且为等腰三角形， ∴时，， ∵， ∴， ∴， 当时，， ∵， ∴， ∴， 故答案为：或． 【点睛】本题考查角平分线的定义、三角形的内角和定理、等腰三角形的判定与性质、相似三角形的性质与判定、解一元二次方程及新定义，熟练掌握等腰三角形的判定与性质和似三角形的性质与判定，理解“完美分割线”是解题的关键． 18．（2023·江苏扬州·模拟预测）定义：两个相似三角形共边且位于一个角的角平分线两边，则称这样的两个相似三角形为邻似三角形． (1)[初步理解]如图，四边形中，对角线平分，，求证：和为邻似三角形； (2)[尝试应用]在（1）的基础上，如图，若，，，求四边形的周长； (3)[拓展应用]如图，四边形中，和为邻似三角形，对角线平分，且．若，，，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2)23 (3) 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，直角三角形的性质，等腰三角形的判定，理解邻似三角形的概念和性质是解题的关键． （1）根据，结合条件，可得，再由可得，即可求证； （2）由条件可推出，，再根据相似三角形的性质求出的长度即可求解； （3）过点作，过点作，先求的面积，根据相似三角形的性质求的长，再求和面积，最后根据计算即可． 【详解】（1）证明：∵平分， ∴ ∵， ∴ ∵， ∴ ∵ ∴， ∴ ∴和为邻似三角形． （2）解：∵， ∴ 由（1）得： ∴ ∴ ∵和为邻似三角形， ∴，， ∴， ∴，， ∴ 四边形的周长为： （3）过点作，过点作，垂足分别为，如图所示， ∵，， ∴，， ∴， ∵和为邻似三角形，， ∴，， ∴， ∴， ∵平分，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！3 学科网（北京）股份有限公司 $$