5.4.3 正切函数的图象与性质课件-2024-2025学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

5.4.3 正切函数的图象与性质 作者编号：32101 学习目标 1.了解正切函数图象的画法，理解并掌握正切函数的性质. 2.能够利用正切函数的图象与性质解决相关问题. 作者编号：32101 新课讲授 思考:(1)根据研究正弦函数、余弦函数的经验，你认为应如何研究正切函数的图象与性质? (2)你能用不同的方法研究正切函数吗？ 有了前面的知识准备，我们可以换个角度，即从正切函数的定义出发研究它的性质，再利用性质研究正切函数的图象. 作者编号：32101 一、周期性 设正切函数f(x)=tanx ，由诱导公式得f(x+π)=tan(x+π)=tan x=f(x)， 这里x∈R，且x≠+kπ，k∈Z， 所以y=tan x是周期函数，周期是π． 二、奇偶性 设正切函数f(x)=tanx ，由诱导公式得f(-x)=tan(-x)=-tan x=-f(x)， 这里x∈R，且x≠+kπ，k∈Z， 所以正切函数y=tan x是奇函数． 作者编号：32101 思考：你认为正切函数的周期性和奇偶性对研究它的图象及其他性质会有什么帮助？ 可以先观察函数y=tanx ，x∈[0，)的图象与性质，然后再根据奇偶性、周期性进行拓展. 探究：画函数y=tanx ，x∈[0，)的图象. 如图设x∈[0，)，在直角坐标系中画出角x的终边与单位圆的交点B(x0，y0). 过点B作x轴的垂线，垂足为M；过点A(1, 0)作x轴的垂线与角x的终边交于点T， 作者编号：32101 则 由此可见当x∈[0，)时，线段AT的长度就是相应角x的正切值. 我们可以利用线段AT画出函数y=tan x，x∈[0，)的图象. 作者编号：32101 观察右图可知，当x∈[0，)时，随着x的增大，线段AT的长度也在增大. 当x→时，AT的长度趋向无穷大. 相应地，函数y=tan x，x∈[0，)的图象从左向右呈不断上升趋势，且向右上方无限逼近直线x=. 作者编号：32101 借助以上结论，并根据正切函数的性质，画出正切函数的图象吗？正切函数的图象有怎样的特征？ 正切函数是奇函数，只要画函数y=tanx ，x∈[0，)的图象关于原点的对称图形，就可以得到y=tanx ，x∈(-，0]的图象. 正切函数的周期是π，只要把函数y=tanx ，x∈(-，)的图象向左、右平移，每次平移π个单位，就可得到正切函数y=tanx ， x∈R，x≠+kπ，k∈Z的图象，我们把它叫做正切曲线. 作者编号：32101 问题1:正余弦函数的的周期公式是，那正切函数是否有类似的周期公式呢？为什么？ 小组间合作探究下函数的周期. 令，则 作者编号：32101 问题2:观察正切函数图像，你能归纳出正切函数的单调性是怎样的？它的值域是多少呢？ 单调性：观察正切曲线可知，正切函数在区间上单调递增. 由正切函数的周期性可得，正切函数在每一个区间上单调递增.（分段单调） 当时，在内可取到任意实数值，但没有最大值、最小值. 因此，正切函数的值域是实数集R. 函数的定义域是： 渐近线： 作者编号：32101 函数 y=tan x 定义域 值域 周期 奇偶性 渐近线 单调性 对称中心 归纳总结 R 奇函数 + 在单调递增 作者编号：32101 例1 求函数的定义域、周期及单调区间. 解：自变量的取值应满足 即 所以，函数的定义域是. 周期： 单调区间：由得， ∴单调区间为：(，)(k∈Z). 作者编号：32101 A 作者编号：32101 C 作者编号：32101 C 作者编号：32101 例2 比较tan 1，tan 2，tan 3，tan 4的大小. 解：tan 2＝tan(2－π)，tan 3＝tan(3－π)，tan 4＝tan(4－π). ∴tan(2－π)<tan(3－π)<tan(4－π)<tan 1， 即tan 2<tan 3<tan 4<tan 1. 作者编号：32101 课堂总结 定义域： 值域： 周期性： 奇偶性： 单调性： 全体实数R 周期函数，最小正周期T=π 正切函数在开区间　 　　　　　　　内都是增函数 （1）正切函数图象 （2）正切函数性质 奇函数，对称中心为： 作者编号：32101 当堂检测 C 作者编号：32101 当堂检测 A < < 作者编号：32101 练1.函数f(x)=的定义域为(　　) A. B. C. D. 练2.下列四个函数中,以π为最小正周期，且在区间上单调递增的是(　　) A.y=sin 2x B.y=cos 2x C.y=tan x D.y=sin 解析：在区间上,2x∈(0,π),则y=sin 2x不单调,故A错误; 在区间上,2x∈(0,π),y=cos 2x单调递减,故B错误; 在区间上,y=tan x单调递增,且其最小正周期为π,故C正确; 根据函数以π为最小正周期,但y=sin的周期为=4π,故D错误.故选C. 练3.函数y=2tan的对称中心是(　　) A.(k∈Z) B.(k∈Z) C.(k∈Z) D.(k∈Z) 解析：由x-,k∈Z,得x=kπ+,k∈Z, ∴函数的对称中心是,k∈Z. 又∵－<2－π<3－π<4－π<1<且y＝tan x在(-，)上单调递增， 2.函数y＝3tan()的单调递减区间为 . 1.函数y=tan的图象的一个对称中心是(　　) A.(0,0) B. C. D.(π,0) 4.比较下列两个数的大小(用“>”或“<”填空)： (1)tan ______tan ； (2)tan ______tan. 3.已知函数y＝tan(2x＋φ)的图象过点(，0)，则φ可以是( ) A.－ B. C.－ D. $$