5.4.2 课时1 正弦函数、余弦函数的性质(周期性与奇偶性 课件-2024-2025学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

5.4.2 课时1 正弦函数、余弦函数的性质(周期性与奇偶性) 作者编号：32101 学习目标 1.理解周期函数的概念，能熟练地求出简单三角函数的周期. 2.会根据之前所学结合函数的图象研究三角函数的奇偶性，能正确判断一些三角函数的变式的奇偶性. 作者编号：32101 复习回顾 上节课的学习中，我们学了正弦、余弦函数的图象.其中有五个点在函数图象中起着关键作用，请同学们回顾一下在正余弦函数中的“五点”. 与轴的交点 图象的最高点 图象的最低点 正弦函数的五个关键点： 与轴的交点 图象的最高点 图象的最低点 余弦函数的五个关键点： 作者编号：32101 新课讲授 问题1:根据正弦函数和余弦函数的图像，你能说出它们具有哪些性质？ x 1 -1 y o y=sinx x 1 -1 y o y=cosx 单调性 周期性 最大（小）值 奇偶性 作者编号：32101 问题2:回忆正弦函数（余弦函数）图像的作画顺序，我们先画哪个区间的图像？为什么？ x 1 -1 y o y=sinx 数学上用周期性来定量地刻画这种“周而复始”的规律. 诱导公式1： 同时观察正弦函数的图象，横坐标每隔个单位长度，就会出现纵坐标相同的点，这就是正弦函数值具有的“周而复始”的变化规律.即自变量的值加上的整数倍时所对应的函数值，与所对应的函数值相等. 即 作者编号：32101 一般地，设函数的定义域为，如果存在一个非零常数，使得对每一个都有，且，那么函数就叫做周期函数，非零常数叫做这个函数的周期. 概念讲解 作者编号：32101 问题3:正弦函数、余弦函数的周期是多少呢？ (1)周期函数的周期不止一个(取不同的k值). (2)若函数的周期是，则也是的周期. 由诱导公式1： 正弦函数是周期函数，都是它的的周期，例如以及等.都是正弦函数的周期.它的最小正周期是. 由诱导公式知余弦函数也是周期函数. 以及等都是余弦函数的周期. 即常数都是它的周期，最小正周期是. 常数都是正弦函数、余弦函数的周期，最小正周期是 作者编号：32101 如果在周期函数的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做的最小正周期. 注：①如果不加特别说明，以后所涉及的周期，一般都是指函数的最小正周期. ②并非所有的周期函数都有最小正周期，如：常数函数 f(x)=c任意一个正实数都是它的周期，因而不存在最小正周期. 归纳总结 作者编号：32101 例1 求下列三角函数的周期： . 提示：利用三角函数的周期性，通过代数变形，得出等式而求出相应的周期． 紧扣定义 解：(1)对任意x∈R ，有3sin(x＋2π)＝3sinx， 由周期函数的定义知，y＝3sinx的周期为2π； (2)令z=2x，由x∈R得z∈R，且y=cosz的周期为2π，即cos (z＋2π)＝cos z， cos(2x＋2π)＝cos 2x ∴cos2(x＋π)＝cos 2x， 由周期函数的定义知，y＝cos 2x的周期为π. 整体 x的系数为1 作者编号：32101 . (3)令z=， 由x∈得z∈R，且y=2sin z的周期为2π， 即2sin(z+2π)=2sin z ∴= ， 由周期函数的定义知，原函数的周期为4π 作者编号：32101 回顾例1的解答过程，你能发现这些函数的周期与解析式中哪些量有关吗？ 从例1中可以看出，这些函数的周期仅与自变量的系数有关. 本例是利用求周期，并由此观察周期与自变量系数的关系. 在中， 是相对于自变量而言的. 作者编号：32101 问题4:根据上述的规律，有没有其他方法求正弦函数、余弦函数的周期呢？请大家阅读课本203页的探究与发现，寻找出答案. 对形如或是常数，的函数， 令, 作者编号：32101 练1.求下列三角函数的最小正周期： (1)y＝|sin x|；(2)y＝cos 4x； 解：f(x)＝|sin x|的最小正周期为π 作者编号：32101 归纳总结 求函数最小正周期的方法： 1.定义法，即利用周期函数的定义求解. 2.公式法，对形如或是常数， 的函数，. 3.图像法，即通过画出函数的图象，通过图象直接观察即可. 三种方法各有所长，要根据函数式的结构特征，选择适当的方法求解. 作者编号：32101 观察正弦曲线和余弦曲线图像的对称性，你有什么发现？ x y 0 - -1 2 3 4 -2 -3 1  正弦曲线关于原点对称 y x 0 - -1 2 3 4 -2 -3 1  余弦曲线关于y轴对称 余弦函数是偶函数 正弦函数是奇函数 作者编号：32101 思考：如何从理论上验证他们的奇偶性？ f(x)=sinx(xR) f(-x)=sin(-x)= -sinx (xR) y=sinx是奇函数 f(-x)=cos(-x)=cosx(xR) f(x)=cosx(xR) y=cosx是偶函数 定义域都关于原点对称 作者编号：32101 例2 判断下列函数的奇偶性: (1)f(x)=|sin x|+cos x； 解：(1)函数f(x)=|sin x|+cos x的定义域为R. ∵f(-x)=|sin(-x)|+cos(-x)=|sin x|+cos x=f(x)，∴函数f(x)是偶函数. 作者编号：32101 例3 下列函数中是奇函数，且最小正周期是的函数是( ) A. B. C. D. 解析：是偶函数， 是偶函数， 是偶函数， 是奇函数，且由周期公式可知其最小正周期为. D 作者编号：32101 问题5:(1)正弦函数y＝sin x是奇函数，正弦曲线关于原点对称，即原点是正弦曲线的对称中心，除原点外，正弦曲线还有其他对称中心吗？如果有，那么对称中心的坐标是多少？ (2)正弦曲线是轴对称图形吗？如果是，其对称轴方程是什么？ (3)类比正弦函数的对称轴和对称中心，你能写出余弦函数的对称轴和对称中心吗？ 有，(kπ，0)(k∈Z) 是轴对称图形，方程为x=+kπ，k∈Z 对称轴方程为x=kπ(k∈Z)， 对称中心的坐标为(+kπ，0)(k∈Z) 作者编号：32101 例4 函数的图象的对称轴是直线 ， 对称中心是 . 解析： x=(k∈Z) (，0)(k∈Z) 作者编号：32101 课堂总结 回顾本节课，说说下列三个函数性质： (1)正、余弦函数的周期性； (2)正、余弦函数的奇偶性. (2)正、余弦函数的对称性. 作者编号：32101 当堂检测 D C 作者编号：32101 4.(多选)已知函数f(x)=2sin(2x+)，则(　　) A.函数f(x)的最小正周期为π B.f(x)的图象关于直线x=对称 C.f(x)的图象关于点(，0)对称 D.f(x)在区间(0，π)上有两个零点 3.(多选)下列函数中周期为π,且为偶函数的是(　　) 当堂检测 AC ABD 作者编号：32101 (4)y＝2cos. 由y＝3sin，T＝＝＝4π. 由y＝2cos(2x-)，T＝＝＝π. 由y＝cos 4x，T＝＝＝. (3)y＝3sin； (2)f(x)=sin. (2)f(x)=sin=-cosx，x∈R. ∵f(-x)=-cos=-cosx=f(x)， ∴函数f(x)=sin是偶函数. 要使sin＝±1，必有2x＋＝kπ＋(k∈Z)，∴x＝＋(k∈Z)， ∵函数y＝sin的图象与x轴的交点为对称中心，令y＝0，即sin＝0，∴2x＋＝kπ(k∈Z)，即x＝－(k∈Z). 1.函数f(x)＝sin(--)，x∈R的最小正周期为( ) A. B.π C.2π D.4π 2.下列函数中是奇函数的为(　　) A.y=sin B.y=sin C.y=3x-sin x D.y=x2+sin x A.y=|cos x| B.y=sin 2x C.y=sin D.y=cosx $$