专题08 几何综合题分类训练（3种类型50道）-2024-2025学年八年级数学上册期末复习高频考题专项训练（人教版）

专题08 几何综合题分类训练（3种类型50道） 目录 【题型1 三角形综合问题】 1 【题型2 全等三角形综合问题】 6 【题型3 轴对称综合问题】 11 【题型1 三角形综合问题】 1．如图，∠ABC＝∠ACB，BD，CD，AD分别平分△ABC的内角∠ABC，外角∠ACF，外角∠EAC．以下结论：①AD∥BC；②∠ACB＝2∠ADB；③④2∠ADB+∠CDB＝90°；⑤∠ADC+∠ABD＝135°．其中正确的结论有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 2．如图，在△ABC中，点D在BC边上，∠BAC＝100°，∠ABC＝40°，射线DC绕点D逆时针旋转一定角度α，交AC于点E，∠ABC的平分线与∠ADE的平分线交于点P．下列结论：①∠C＝40°；②∠BAD＝2∠P；③α+∠BAD＝2∠P；④若∠ADE＝∠AED，则∠BAD＝2α，其中正确的结论有几个（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．三角形中，如果一个角是另一个角的3倍，这样的三角形我们称之为“灵动三角形”．例如，三个内角分别为120°、40°、20°的三角形是“灵动三角形”．如图，∠MON＝60°，在射线OM上找一点A，过点A作AB⊥OM交ON于点B，以A为端点作射线AD，交线段OB于点C（我们规定0°＜∠OAC＜90°）． ①∠ABO的度数为30°； ②△AOB是“灵动三角形”； ③若∠BAC＝70°，则△AOC是“灵动三角形”； ④当△ABC为“灵动三角形”时，则满足条件的∠OAC的值有3个． 以上结论正确的有（　　）个． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．如图，△ABC的角平分线CD、BE相交于F，∠A＝90°，EG∥BC，且CG⊥EG于G，下列结论：①∠CEG＝2∠DCB；②CA平分∠BCG；③∠ADC＝∠GCD；④∠DFB＝∠CGE．其中正确的结论有（　　）个 A．1 B．2 C．3 D．4 5．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD是高，BE是中线，CF是角平分线，CF交AD于点G，交BE于点H，给出以下结论：①BF＝AF；②∠AFG＝∠AGF；③∠FAG＝2∠ACF；④S△ABE＝S△BCE；⑤BH＝CH．其中结论正确的有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 6．如图，在△ABC中，∠A＝∠ABC，BH是∠ABC的平分线，BD和CD是△ABC两个外角的平分线，D、C、H三点在一条直线上，下列结论中：①DB⊥BH；②；③DH∥AB；④；⑤∠CBD＝∠D，其中正确的结论有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 7．如图，△ABC中，BD、BE分别是高和角平分线，点F在CA的延长线上，FH⊥BE，交BD于点G，交BC于点H下列结论：①∠DBE＝∠F；②∠F＝∠BAC﹣∠C；③2∠BEF＝∠BAF+∠C；④∠BGH＝∠ABE+∠C，其中正确的结论有（　　） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 8．如图，在△ABC中，BD，BE分别是△ABC的高线和角平分线，点F在CA的延长线上，FH垂直于BE，交BD于点G，交BC于点H．下列结论正确的有（　　）个． ①∠DBE＝∠F； ②2∠BEF＝∠BAF+∠C； ③∠FEB＝∠ABE+∠C； ④2∠F＝∠BAC﹣∠C． A．1 B．2 C．3 D．4 9．如图，△ABC的角平分线AD、中线BE相交于点O，则①AO是△ABE的角平分线；②BO是△ABD的中线；③DE是△ADC的中线；④ED是△EBC的角平分线的结论中正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 10．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD是高，BE是中线，CF是角平分线，CF交AD于点G，交BE于点H，给出以下结论：①S△ABE＝S△BCE；②∠AFG＝∠AGF；③∠FAG＝2∠ACF；④BH＝CH．其中结论正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 11．如图，在△ABC中，∠1＝∠2，G为AD的中点，BG的延长线交AC于点E，F为AB上的一点，CF与AD垂直，交AD于点H，则下面判断正确的有（　　） ①AD是△ABE的角平分线； ②BE是△ABD的边AD上的中线； ③CH是△ACD的边AD上的高； ④AH是△ACF的角平分线和高． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 12．将一副学生用三角板（一个锐角为30°的直角三角形，一个锐角为45°的直角三角形）如图叠放，则下列4个结论中正确的个数有（　　） ①OE平分∠AOD； ②∠AOC＝∠BOD； ③∠AOC﹣∠CEA＝15°； ④∠COB+∠AOD＝180°． A．0 B．1 C．2 D．3 13．如图，在三角形ABC中，AH⊥BC，BF平分∠ABC，BE⊥BF，EF∥BC，以下四个结论：①AH⊥EF；②∠ABF＝∠EFB；③AC∥BE；④∠E＝∠ABE；⑤∠ADF＝∠AFB．其中正确的结论有（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 14．三角形中，如果一个角是另一个角的3倍，这样的三角形我们称之为“灵动三角形”．例如，三个内角分别为120°、40°、20°的三角形是“灵动三角形”．如图，∠MON＝60°， 在射线OM上找一点A，过点A作AB⊥OM交ON于点B，以A为端点作射线AD，交线段OB于点C（我们规定0°＜∠OAC＜90°）． ①∠ABO的度数为30°； ②△AOB是“灵动三角形”； ③若∠BAC＝70°，则△AOC是“灵动三角形”； ④当△ABC为“灵动三角形”时，∠OAC为30°或52.5° 结论正确的有（　　）个． A．1 B．2 C．3 D．4 15．如图，∠ABC＝∠ACB，BD、CD分别平分△ABC的内角∠ABC、外角∠ACP，BE平分外角∠MBC交DC的延长线于点E，以下结论：①∠BDE＝∠BAC； ②DB⊥BE；③∠BDC+∠ACB＝90°；④∠BAC+2∠BEC＝180°．其中正确的结论有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【题型2 全等三角形综合问题】 16．如图，△AOB的外角∠CAB，∠DBA的平分线AP，BP相交于点P，PE⊥OC于E，PF⊥OD于F，下列结论：（1）PE＝PF；（2）点P在∠COD的平分线上；（3）∠APB＝90°﹣∠O，其中正确的有（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 17．如图，在△ABC中，AB＝AC，BD为AC边上的高，BE平分∠ABD，点F在BD上，连接EF并延长交BC于点G，若BG＝EG，∠A＝2∠DEF，有下列结论：①∠DEF＝∠CBD；②∠ABE+∠CBD＝45°； ③EG⊥BC； ④BF＝CE．其中正确的结论有（　　） A．1个 B．4个 C．3个 D．2个 18．如图，等腰直角△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于D，∠ABC的平分线分别交AC、AD于E、F两点，M为EF的中点，延长AM交BC于点N，连接DM，NE．下列结论：①AE＝AF；②AM⊥EF；③△AEF是等边三角形；④DF＝DN，⑤AD∥NE． 其中正确的结论有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 19．如图，∠ACB＝90°，CD是Rt△ABC斜边上的高，∠BAC的平分线AE交CD于H，EF⊥AB于F．则下列结论中不正确的有（　　） A．∠ACD＝∠B B．CH＝HD C．CH＝CE＝EF D．AC＝AF 20．如图，在△ABC中，AD⊥BC交BC于D，AE平分∠BAC交BC于E，F为BC延长线上一点，FG⊥AE交AE的延长线于点M，交AD的延长线于点G，AC的延长线交FC于点H，连接BG，则下列结论：①∠BAG＝∠F；②∠AGH＝∠MEF；③S△AEB：S△AEC＝AB：AC；④若GM＝EM，则△AGM≌△FEM．其中正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 21．如图，AD是△ABC的中线，E，F分别是AD和AD延长线上的点，且DE＝DF，连接BF，CE，下列说法：①△ABD和△ACD的面积相等；②∠BAD＝∠CAD；③BF∥CE；④CE＝AE．其中说法正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 22．如图，Rt△ACB中，∠ACB＝90°，△ACB的角平分线AD，BE相交于点P，过P作PF⊥AD交BC的延长线于点F，交AC于点H，则下列结论：①∠APB＝135°；②AD＝PF+PH；③DH平分∠CDE；④S四边形ABDE＝S△ABP；⑤S△APH＝S△ADE，其中正确的结论有（　　）个． A．2 B．3 C．4 D．5 23．如图，D为△BAC的外角平分线上一点并且满足BD＝CD，过D作DE⊥AC于E，DF⊥AB交BA的延长线于F，则下列结论： ①△CDE≌△BDF；②CE＝AB+AE；③∠BDC＝∠BAC；④∠DAF＝∠ACD．其中正确的结论有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 24．如图，∠C＝90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于点E，有下列结论：①CD＝ED；②∠BDE＝∠BAC；③当∠B＝30°时，点E是AB的中点；④当BC＝3，AB＝5时，DE＝；其中结论正确的个数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 25．如图，△ABC中，AD⊥BC交BC于D，AE平分∠BAC交BC于E，F为BC的延长线上一点，FG⊥AE交AD的延长线于G，AC的延长线交FG于H，连接BG，下列结论：①∠DAE＝∠F；②；③S△AEB：S△AEC＝AB：AC；④∠AGH＝∠BAE+∠ACB，其中正确的结论有（　　） A．②③④ B．①②③④ C．①②③ D．①④ 26．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，△ABC的角平分线AD、BE相交于点P，过P作PF⊥AD交BC的延长线于点F，交AC于点H，则下列结论：①∠APB＝135°；②PF＝PA；③AH+BD＝AB；④S四边形ABDE＝S△ABP．其中正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 27．如图，已知∠E＝∠F＝90°，∠B＝∠C，AE＝AF，下列结论：①EM＝FN；②CM＝EM；③∠FAN＝∠EAM；④△ACN≌△ABM，其中正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 28．如图，在△ABC中，∠ACB＝60°，D为△ABC边AC上一点，BC＝CD，点M在BC的延长线上，CE平分∠ACM，且AC＝CE．连接BE交AC于F，G为边CE上一点，满足CG＝CF，连接DG交BE于H．以下结论：①△ABC≌△EDC；②△BCF≌△DCG；③∠DHF＝60°．正确的有（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 29．如图，在△ABC中，∠ABC＝45°，过点C作CD⊥AB于点D，过点B作BM⊥AC于点M，连接MD，过点D作DN⊥MD，交BM于点N．CD与BM相交于点E，若点E是CD的中点，则下列结论：①AC＝BE；②DM＝DN；③∠AMD＝45°；④NE＝3ME．其中正确的有（　　）个． A．4 B．3 C．2 D．1 30．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠CBA的外角平分线交AC的延长线于点F，FB的延长线交斜边上的高CD的延长线于点E，EG∥AC交AB的延长线于点G，连接CG，则下列结论：①∠F＝∠CEF；②GE＝CE；③EF⊥CG，其中正确的结论有（　　） A．0个 B．3个 C．2个 D．1个 【题型3 轴对称综合问题】 31．如图，在等边△ABC中，CD⊥AB于D，E是线段CD上一点，F是边AC上一点，且满足BE＝EF，G是AF的中点，连接EG，则下列四个结论：①AD＝BD；②∠BEF＝150°；③∠AFE＝∠CBE；④EG＝EC；⑤当∠ABE＝15°时，EG＝FG，其中正确的有 　 　．（填序号） 32．如图，等腰△ABC，AB＝AC，∠BAC＝120°，AD⊥BC于D，点P是BA延长线上一点，点O是线段AD上一点，OP＝OC，下面结论：①∠APO＝∠ACO；②∠APO+∠PCB＝90°；③PC＝PO．其中正确的有 　 　．（填正确结论序号） 33．如图，C为线段AE上一动点（不与点A，E重合），在AE同侧分别作等边△ABC和等边△CDE，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连结PQ．以下五个结论： ①AD＝BE；②PQ∥AE；③OP＝OQ；④△CPQ为等边三角形；⑤∠AOB＝60°．其中正确的有 　 　．（注：把你认为正确的答案序号都写上） 34．如图，△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点F，过点F作DE∥BC交AB于点D，交AC于点E，那么下列结论：①BF＝CF；②△ADE的周长等于AB与AC的和；③DE＝BD+CE；④△BDF和△CEF都是等腰三角形．其中正确的有 　 　．（填入序号） 35．如图，在△ABC中，BD、CE分别是∠ABC和∠ACB的平分线，AM⊥CE于P，交BC于M，AN⊥BD于Q，交BC于N，∠BAC＝100°，AB＝7，AC＝6，MN＝2，结论①AP＝MP；②BC＝11；③∠MAN＝40°；④AM＝AN．其中正确的序号有 　 　.（填序号） 36．如图，点P是∠AOB内一点，OP＝m，∠AOB＝α，点P关于直线OA的对称点为点Q，关于直线OB的对称点为点T，连接QT，分别交OA，OB于点M，N，连接PM，PN，下列结论：①∠OTQ＝90°﹣α；②当α＝30°时，△PMN的周长为m；③0＜QT＜2m；④∠MPN＝180°﹣2α，其中正确的有 　 　（填序号）． 37．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC，∠ABC的平分线BE交AD于点F，AG平分∠DAC，有下列结论：①∠BAD＝∠C；②∠AEF＝∠AFE；③∠EBC＝∠C；④AG⊥EF，其中正确的结论有 　 　（填序号）． 38．如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，过点O作EF∥BC交AB于E，交AC于F，过点O作OD⊥AC于D．下列三个结论： ①； ②EF＝BE+CF； ③设OD＝m，AE+AF＝n，则． 其中正确的结论有 　 　．（填序号） 39．已知如图等腰△ABC，AB＝AC，∠BAC＝120°，AD⊥BC于点D，点P是BA延长线上一点，点O是线段AD上一点，OP＝OC，下面结论：①∠APO+∠DCO＝30°；②△OPC是等边三角形；③AC＝AO+AP；④S△ABC＝S四边形ADCP；其中正确的有　 　（填上所有正确结论的序号） 40．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，则下列说法：①DA平分∠EDF；②AE＝AF，DE＝DF；③AD上任意一点到B、C两点的距离相等；④图中共有3对全等三角形，其中正确的有　 　． 41．如图，△DAC和△EBC均是等边三角形，AE、BD分别与CD、CE交于点M、N，有如下结论：①△ACE≌△DCB；②CM＝CN；③AC＝DN；④∠DAE＝∠DBC．其中正确的有　 　（填番号） 42．如图，△ABC中，AB＝AC，BD平分∠ABC交AC于G，DM∥BC交∠ABC的外角平分线于M，交AB、AC于F、E，下列结论： ①MB⊥BD；②FD＝EC；③EC＝EF+DG；④CE＝MD． 其中正确的有　 　（填序号）． 43．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝2AC，以A为圆心，任意长为半径画弧交AB于M、AC于N，再分别以M、N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，连接AP并延长交BC于D，下列三个结论：①AD是∠BAC的平分线；②∠ADC＝60°；③S△ACD：S△ACB＝1：3．其中正确的有 　 　．（填序号） 44．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC，垂足是点D，BE平分∠ABC交AC于E，交AD于F，点G，点H分别为线段BE，AB上动点，下面四个结论：①∠CAD＝2∠ABE；②∠AEF＝∠AFE；③AC•AB＝AD•BC；④AG+GH＞AD．其中正确的有 　 　（写出所有正确结论的序号）． 45．在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4，点D为AB的中点，M，N分别在BC，AC上，且BM＝CN现有以下三个结论：①DN＝DM；②∠NDM＝90°；③四边形CMDN的面积为4；其中正确的结论有 　 　． 46．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，以点B为圆心，任意长为半径画弧分别交BC，AB于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，连接BP并延长交AC于点D．则①∠BDC＝60°；②点D在AB的垂直平分线上；③S△ABD＝2S△BDC．以上正确的结论有 　 　（填写序号）． 47．如图，在△ABC中，AC＝BC，AF，BF，CF分别平分△ABC的内角∠BAC，外角∠CBD，外角∠BCE，以下结论：①AB∥CF；②∠ABC＝2∠AFC；③∠AFB+∠FAC＝90°；④，其中正确的结论有 　 　（填写所有正确结论的序号）． 48．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，E，F分别为垂足，则下列四个结论：（1）∠DEF＝∠DFE；（2）AE＝AF；（3）AD平分∠EDF；（4）AD垂直平分EF，其中正确的有 　 　．（填序号） 49．如图，在Rt△BCA中，∠BAC＝90°，∠C＝30°．AD⊥BC垂足为D，BE是△ABC的角平分线分别交AD，AC于点P，E．则下列说法正确的有 　 　．（写出所有正确的序号） ①BE＝CE； ②△APE是等边三角形； ③S△ABE＝； ④AP＝2PD． 50．在△ABC中，已知AB＝AC，∠A＝36°，AB的垂直平分线MN交AC于D．在下列结论中： ①∠C＝72°；②BD是∠ABC的平分线；③∠BDC＝72°；④AD＝BD＝BC．上述结论中，正确的有 　 　．（填写序号） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题08 几何综合题分类训练（3种类型50道） 目录 【题型1 三角形综合问题】 1 【题型2 全等三角形综合问题】 17 【题型3轴对称综合问题】 37 【题型1 三角形综合问题】 1．如图，∠ABC＝∠ACB，BD，CD，AD分别平分△ABC的内角∠ABC，外角∠ACF，外角∠EAC．以下结论：①AD∥BC；②∠ACB＝2∠ADB；③④2∠ADB+∠CDB＝90°；⑤∠ADC+∠ABD＝135°．其中正确的结论有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【解答】解：①∵AD平分∠EAC， ∴∠EAC＝2∠EAD， ∵∠EAC＝∠ABC+∠ACB，∠ABC＝∠ACB， ∴∠EAC＝2∠ABC， ∴∠EAD＝∠ABC， ∴AD∥BC，故①正确， ②∵AD∥BC， ∴∠ADB＝∠DBC， ∵BD平分∠ABC，∠ABC＝∠ACB， ∴∠ABC＝∠ACB＝2∠DBC＝2∠ADB，故②正确； ③∵∠DCF+∠ACD+∠ACB＝180°，∠ACD＝∠DCF， ∴2∠DCF+∠ACB＝180°， ∵∠BDC+∠DBC＝∠DCF， ∴2∠BDC+2∠DBC+∠ACB＝180°， ∴∠ABC+2∠BDC+∠ACB＝180°， ∵∠BAC+∠ABC+∠ACB＝180°， ∴∠BAC＝2∠BDC， ∴，故③正确； ④∵BD平分∠ABC， ∴∠ABD＝∠DBC， ∵AD∥BC， ∴∠ADB＝∠DBC， ∴∠ABD＝∠ADB， ∵CD平分∠ACF， ∴∠ACF＝2∠DCF， ∵∠ADB+∠CDB＝∠DCF，2∠DCF+∠ACB＝180°， ∴2∠DCF+∠ABC＝2∠DCF+2∠ABD＝180°， ∴∠DCF+∠ABD＝90°， ∴∠ADB+∠CDB+∠ADB＝90°， ∴， ∴2∠ADB+∠CDB＝90°，故④正确； ⑤由④得，∠DCF+∠ABD＝90°， ∵AD∥BC， ∴∠ADC＝∠DCF， ∴∠ADC+∠ABD＝90°，故⑤不正确． 故选：C． 2．如图，在△ABC中，点D在BC边上，∠BAC＝100°，∠ABC＝40°，射线DC绕点D逆时针旋转一定角度α，交AC于点E，∠ABC的平分线与∠ADE的平分线交于点P．下列结论：①∠C＝40°；②∠BAD＝2∠P；③α+∠BAD＝2∠P；④若∠ADE＝∠AED，则∠BAD＝2α，其中正确的结论有几个（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【解答】解：∵∠BAC＝100°，∠ABC＝40°， ∴∠C＝180°−∠BAC−∠ABC＝40°，故①正确； ∵∠ABC的平分线与∠ADE的平分线交于点P， ∴∠PDE＝∠ADE，∠PBD＝∠ABC， 又∵∠ADC＝∠ADE+∠EDC＝∠ADE+α＝∠ABC+∠DAB①， ∠PDC＝∠PDE+∠EDC＝∠PDE+α＝∠PBD+∠P＝∠ABC+∠P， ∴2∠PDE+2α＝∠ABC+2∠P， 即∠ADE+2α＝∠ABC+2∠P②， ②﹣①得：α＝2∠P﹣∠DAB， ∴α+∠BAD＝2∠P，故②错误，③正确； ∵∠ADC＝∠ADE+α＝∠ABC+∠DAB，∠AED＝∠C+∠EDC＝∠C+α，∠ADE＝∠AED， ∴∠C+α+α＝∠ABC+∠DAB， 又∵∠C＝40°，∠ABC＝40°， ∴∠C＝∠ABC， ∴∠BAD＝2α，故④正确； ∴正确的结论有3个， 故选：C． 3．三角形中，如果一个角是另一个角的3倍，这样的三角形我们称之为“灵动三角形”．例如，三个内角分别为120°、40°、20°的三角形是“灵动三角形”．如图，∠MON＝60°，在射线OM上找一点A，过点A作AB⊥OM交ON于点B，以A为端点作射线AD，交线段OB于点C（我们规定0°＜∠OAC＜90°）． ①∠ABO的度数为30°； ②△AOB是“灵动三角形”； ③若∠BAC＝70°，则△AOC是“灵动三角形”； ④当△ABC为“灵动三角形”时，则满足条件的∠OAC的值有3个． 以上结论正确的有（　　）个． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【解答】解：∵∠MON＝60°，AB⊥OM， ∴∠ABO＝30°， 故①正确； ∵∠BAO＝90°＝3∠ABO＝3×30°， ∴△AOB是“灵动三角形”， 故②正确； ∵∠ABO＝30°，∠BAC＝70° ∴∠ACO＝70°+30°＝100°，∠OAC＝90°﹣70°＝20°， ∵∠AOC＝60°＝3∠OAC＝3×20°， ∴△AOC是“灵动三角形”， 故③正确； ∵△ABC为“灵动三角形”，∠ABO＝30°，0°＜∠OAC＜90°， ∴∠BCA＝3∠ABO＝90°或∠BCA＝3∠BAC或∠ABC＝3∠BAC， ∠BCA＝3∠ABO＝90°时， ∴∠CAB＝60°， ∴∠OAC＝30°； ∠BCA＝3∠BAC时， 根据题意，得4∠BAC＝180°﹣∠ABC＝150°， 解得∠BAC＝37.5°， 故∠OAC＝52.5°， ∠ABC＝3∠BAC时，∠BAC＝10°， ∴∠OAC＝80°， 故④正确， 故选：D． 4．如图，△ABC的角平分线CD、BE相交于F，∠A＝90°，EG∥BC，且CG⊥EG于G，下列结论：①∠CEG＝2∠DCB；②CA平分∠BCG；③∠ADC＝∠GCD；④∠DFB＝∠CGE．其中正确的结论有（　　）个 A．1 B．2 C．3 D．4 【解答】解：①∵EG∥BC， ∴∠CEG＝∠ACB， 又∵CD是△ABC的角平分线， ∴∠CEG＝∠ACB＝2∠DCB，故①正确； ②∵∠CEG＝∠ACB，而∠GEC与∠GCE不一定相等， ∴CA不一定平分∠BCG，故②错误； ③∵∠A＝90°， ∴∠ADC+∠ACD＝90°， ∵CD平分∠ACB， ∴∠ACD＝∠BCD， ∴∠ADC+∠BCD＝90°． ∵EG∥BC，且CG⊥EG， ∴∠GCB＝90°，即∠GCD+∠BCD＝90°， ∴∠ADC＝∠GCD，故③正确； ④∵∠ABC+∠ACB＝90°， ∵CD平分∠ACB，BE平分∠ABC， ∴∠EBC＝∠ABC，∠DCB＝∠ACB， ∴∠DFB＝∠EBC+∠DCB＝（∠ABC+∠ACB）＝45°， ∵∠CGE＝90°， ∴∠DFB＝∠CGE，故④正确． 故选：C． 5．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD是高，BE是中线，CF是角平分线，CF交AD于点G，交BE于点H，给出以下结论：①BF＝AF；②∠AFG＝∠AGF；③∠FAG＝2∠ACF；④S△ABE＝S△BCE；⑤BH＝CH．其中结论正确的有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【解答】解：∵BE是△ABC的中线， ∴S△ABE＝S△BCE， 故④正确，符合题意； ∵CF是角平分线， ∴∠ACF＝∠BCF， ∵AD⊥BC， ∴∠BCF+∠CGD＝90°， ∵∠BAC＝90°， ∴∠ACF+∠AFG＝90°， ∴∠CGD＝∠AFG， ∵∠CGD＝∠AGF， ∴∠AGF＝∠AFG， 故②正确，符合题意； ∵AD⊥BC，∠BAC＝90°， ∴∠FAG＝∠ACB＝2∠ACF， 故③正确，符合题意； 由已知条件不能确定∠HBC＝∠HCB， ∴BH与CH的关系不能确定，故⑤错误，不符合题意； ∵CF是角平分线，∠BAC＝90°， ∴BF≠AF， 故①错误，不符合题意； 综上，符合题意的有3个， 故选：B． 6．如图，在△ABC中，∠A＝∠ABC，BH是∠ABC的平分线，BD和CD是△ABC两个外角的平分线，D、C、H三点在一条直线上，下列结论中：①DB⊥BH；②；③DH∥AB；④；⑤∠CBD＝∠D，其中正确的结论有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【解答】解：①∵BH、BD是∠ABC与∠CBE的平分线， ∴∠ABC＝2∠CBH，∠CBE＝2∠CBD， ∵∠ABC+∠CBE＝180°， ∴∠CBH+∠CBD＝90°，即∠DBH＝90°， ∴DB⊥BH，故①正确； ②∵BD和CD是△ABC两个外角的平分线， ∴∠D＝180°﹣∠DBC﹣∠DCB ＝ ＝ ＝ ＝ ＝，故②正确； ③∵∠A＝∠ABC， ∴∠BCF＝∠A+∠ABC＝2∠ABC， ∵CD是∠BCF的平分线， ∴， ∴DH∥AB，故③正确； ④∵， ∴，故④正确； ⑤∵∠ABC+∠CBE＝180°，BD平分∠CBE， ∴， ∵∠A＝∠ABC， ∴， ∵， ∴∠CBD＝∠D，故⑤正确． 综上所述，正确的有5个． 故选：D． 7．如图，△ABC中，BD、BE分别是高和角平分线，点F在CA的延长线上，FH⊥BE，交BD于点G，交BC于点H下列结论：①∠DBE＝∠F；②∠F＝∠BAC﹣∠C；③2∠BEF＝∠BAF+∠C；④∠BGH＝∠ABE+∠C，其中正确的结论有（　　） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 【解答】解：∵BD⊥FD， ∴∠FGD+∠F＝90°， ∵FH⊥BE， ∴∠BGH+∠DBE＝90°， ∵∠FGD＝∠BGH， ∴∠DBE＝∠F， 故①正确，符合题意； ∵BD⊥FD， ∴∠ABD＝90°﹣∠BAC， ∴∠DBE＝∠ABE﹣∠ABD＝∠ABE﹣90°+∠BAC＝∠CBD﹣∠DBE﹣90°+∠BAC， ∵∠CBD＝90°﹣∠C， ∴∠DBE＝∠BAC﹣∠C﹣∠DBE， 由①得，∠DBE＝∠F， ∴∠F＝∠BAC﹣∠C﹣∠DBE， 故②错误，不符合题意； ∵BE平分∠ABC， ∴∠ABE＝∠CBE＝∠ABC， ∵∠BEF＝∠CBE+∠C， ∴2∠BEF＝∠ABC+2∠C， ∵∠BAF＝∠ABC+∠C， ∴2∠BEF＝∠BAF+∠C， 故③正确，符合题意； ∵∠AEB＝∠EBC+∠C，∠ABE＝∠CBE， ∴∠AEB＝∠ABE+∠C， ∵BD⊥FC，FH⊥BE， ∴∠FGD＝∠FEB， ∴∠BGH＝∠ABE+∠C， 故④正确，符合题意； 故选：C． 8．如图，在△ABC中，BD，BE分别是△ABC的高线和角平分线，点F在CA的延长线上，FH垂直于BE，交BD于点G，交BC于点H．下列结论正确的有（　　）个． ①∠DBE＝∠F； ②2∠BEF＝∠BAF+∠C； ③∠FEB＝∠ABE+∠C； ④2∠F＝∠BAC﹣∠C． A．1 B．2 C．3 D．4 【解答】解：①∵BD⊥FD， ∴∠FGD+∠F＝90°， ∵FH⊥BE， ∴∠BGH+∠DBE＝90°， ∵∠FGD＝∠BGH， ∴∠DBE＝∠F，故①正确； ②∵BE平分∠ABC， ∴∠ABE＝∠CBE， ∠BEF＝∠CBE+∠C， ∴2∠BEF＝∠ABC+2∠C， ∠BAF＝∠ABC+∠C， ∴2∠BEF＝∠BAF+∠C，故②正确； ③∵∠FEB＝∠EBC+∠C， ∵∠ABE＝∠CBE， ∴∠FEB＝∠ABE+∠C，故③正确； ④∠ABD＝90°﹣∠BAC， ∠DBE＝∠ABE﹣∠ABD＝∠ABE﹣90°+∠BAC＝∠CBD﹣∠DBE﹣90°+∠BAC， ∵∠CBD＝90°﹣∠C， ∴∠DBE＝∠BAC﹣∠C﹣∠DBE， 由①得，∠DBE＝∠F， ∴∠F＝∠BAC﹣∠C﹣∠DBE， ∴2∠F＝∠BAC﹣∠C，故④正确； 故选：D． 9．如图，△ABC的角平分线AD、中线BE相交于点O，则①AO是△ABE的角平分线；②BO是△ABD的中线；③DE是△ADC的中线；④ED是△EBC的角平分线的结论中正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【解答】解：∵△ABC的角平分线AD、中线BE相交于点O， ∴∠BAD＝∠CAD，AE＝CE， ①在△ABE中，∠BAD＝∠CAD，∴AO是△ABE的角平分线，故①正确； ②AO≠OD，所以BO不是△ABD的中线，故②错误； ③在△ADC中，AE＝CE，DE是△ADC的中线，故③正确； ④∠ADE不一定等于∠EDC，那么ED不一定是△EBC的角平分线，故④错误； 正确的有2个选项．故选：B． 10．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD是高，BE是中线，CF是角平分线，CF交AD于点G，交BE于点H，给出以下结论：①S△ABE＝S△BCE；②∠AFG＝∠AGF；③∠FAG＝2∠ACF；④BH＝CH．其中结论正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【解答】解：∵BE是△ABC的中线， ∴S△ABE＝S△BCE，①正确； ∵CF是角平分线， ∴∠ACF＝∠BCF， ∵AD⊥BC， ∴∠BCF+∠CGD＝90°， ∵∠BAC＝90°， ∴∠ACF+∠AFG＝90°， ∴∠CGD＝∠AFG， ∵∠CGD＝∠AGF， ∴∠AGF＝∠AFG，②正确； ∵AD⊥BC，∠BAC＝90°， ∴∠FAG＝∠ACB＝2∠ACF，③正确； 由已知条件不能确定∠HBC＝∠HCB， ∴BH与CH的关系不能确定，④错误； 故选：C． 11．如图，在△ABC中，∠1＝∠2，G为AD的中点，BG的延长线交AC于点E，F为AB上的一点，CF与AD垂直，交AD于点H，则下面判断正确的有（　　） ①AD是△ABE的角平分线； ②BE是△ABD的边AD上的中线； ③CH是△ACD的边AD上的高； ④AH是△ACF的角平分线和高． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【解答】解：对于①，由∠1＝∠2可知AD平分∠BAE，但AD不是△ABE内的线段，由三角形角平分线的概念，故①错误； 对于②，BE经过△ABD的边AD的中点G，但BE不是△ABD内的线段，由三角形中线的概念，故②错误； 对于③，由于CH⊥AD于H，由三角形高线的概念可知CH是△ACD的边AD上的高，故③正确； 对于④，由AH平分∠FAC并且在△ACF内，故AH是△ACF的角平分线．又因为AH⊥CF，所以AH也是△ACF的高，故④正确． 故选：B． 12．将一副学生用三角板（一个锐角为30°的直角三角形，一个锐角为45°的直角三角形）如图叠放，则下列4个结论中正确的个数有（　　） ①OE平分∠AOD； ②∠AOC＝∠BOD； ③∠AOC﹣∠CEA＝15°； ④∠COB+∠AOD＝180°． A．0 B．1 C．2 D．3 【解答】解：∵∠DOC＝∠AOB＝90°， ∴∠DOC﹣∠BOC＝∠AOB﹣∠COB， 即∠AOC＝∠BOD，故②正确； ∵∠AOB＝∠COD＝90°， ∴∠COB+∠AOD＝∠AOB+∠COD＝180°，故④正确； 如图，AB与OC交于点P， ∵∠CPE＝∠APO，∠C＝45°，∠A＝30°，∠CEA+∠CPE+∠C＝∠AOC+∠APO+∠A＝180°， ∴∠AOC﹣∠CEA＝15°．故③正确； 没有条件能证明OE平分∠AOD，故①错误． 故选：D． 13．如图，在三角形ABC中，AH⊥BC，BF平分∠ABC，BE⊥BF，EF∥BC，以下四个结论：①AH⊥EF；②∠ABF＝∠EFB；③AC∥BE；④∠E＝∠ABE；⑤∠ADF＝∠AFB．其中正确的结论有（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【解答】解：∵AH⊥BC，EF∥BC， ∴AH⊥EF，故①正确； ∵BF平分∠ABC， ∴∠ABF＝∠CBF， ∵EF∥BC， ∴∠EFB＝∠CBF， ∴∠ABF＝∠EFB，故②正确； ∵BE⊥BF，而AC与BF不一定垂直， ∴BE∥AC不一定成立，故③错误； ∵BE⊥BF， ∴∠E和∠EFB互余，∠ABE和∠ABF互余，而∠EFB＝∠ABF， ∴∠E＝∠ABE，故④正确． 由③可知BE∥AC不一定成立， ∵∠ADF＝∠BDH， 又∴∠BDH+∠DBH＝90°， ∴∠ADF+∠DBH＝90°， 又∵∠BAF不一定等于90°， ∴∠ADF＝∠AFB不一定成立，故⑤不一定正确． 故选：B． 14．三角形中，如果一个角是另一个角的3倍，这样的三角形我们称之为“灵动三角形”．例如，三个内角分别为120°、40°、20°的三角形是“灵动三角形”．如图，∠MON＝60°， 在射线OM上找一点A，过点A作AB⊥OM交ON于点B，以A为端点作射线AD，交线段OB于点C（我们规定0°＜∠OAC＜90°）． ①∠ABO的度数为30°； ②△AOB是“灵动三角形”； ③若∠BAC＝70°，则△AOC是“灵动三角形”； ④当△ABC为“灵动三角形”时，∠OAC为30°或52.5° 结论正确的有（　　）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【解答】解：∵AB⊥OM， ∴∠BAO＝90°， ∵∠AOB＝60°， ∴∠ABO＝90°﹣60°＝30°， ∵90°＝3×30°， ∴△AOB是“灵动三角形”，故①②正确， ∵∠OAB＝90°，∠BAC＝70°， ∴∠OAC＝20°， ∵∠AOC＝60°＝3×20°， ∴△AOC是“灵动三角形”．故③正确， ∵△ABC是“灵动三角形”， ①∠ACB＝3∠ABC时，∠CAB＝60°，∠OAC＝30°； ②当∠ABC＝3∠CAB时，∠CAB＝10°，∠OAC＝80°． ③当∠ACB＝3∠CAB时，∠CAB＝37.5°，可得∠OAC＝52.5°． 综上所述，满足条件的值为30°或52.5°或80°．故④错误， 综上所述，正确的有：①②③，共3个． 故选：C． 15．如图，∠ABC＝∠ACB，BD、CD分别平分△ABC的内角∠ABC、外角∠ACP，BE平分外角∠MBC交DC的延长线于点E，以下结论：①∠BDE＝∠BAC； ②DB⊥BE；③∠BDC+∠ACB＝90°；④∠BAC+2∠BEC＝180°．其中正确的结论有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【解答】解：①∵∠DCP＝∠BDC+∠CBD，2∠DCP＝∠BAC+2∠DBC， ∴2（∠BDC+∠CBD）＝∠BAC+2∠DBC， ∴∠BDE＝∠BAC，故①正确． ②∵BD、BE分别平分△ABC的内角∠ABC、外角∠MBC， ∴∠DBE＝∠DBC+∠EBC＝∠ABC+∠MBC＝×180°＝90°， ∴EB⊥DB，故②正确， ③∵∠DCP＝∠BDC+∠CBD，2∠DCP＝∠BAC+2∠DBC， ∴2（∠BDC+∠CBD）＝∠BAC+2∠DBC， ∴∠BDC＝∠BAC， ∵∠BAC+2∠ACB＝180°， ∴∠BDC+∠ACB＝90°，故③正确， ④∵∠BEC＝180°﹣（∠MBC+∠NCB）＝180°﹣（∠BAC+∠ACB+∠BAC+∠ABC）＝180°﹣（180°+∠BAC）， ∴∠BEC＝90°﹣∠BAC， ∴∠BAC+2∠BEC＝180°，故④正确， 故选：D． 【题型2 全等三角形综合问题】 16．如图，△AOB的外角∠CAB，∠DBA的平分线AP，BP相交于点P，PE⊥OC于E，PF⊥OD于F，下列结论：（1）PE＝PF；（2）点P在∠COD的平分线上；（3）∠APB＝90°﹣∠O，其中正确的有（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【解答】解：（1）证明：作PH⊥AB于H， ∵AP是∠CAB的平分线， ∴∠PAE＝∠PAH， 在△PEA和△PHA中， ， ∴△PEA≌△PHA（AAS）， ∴PE＝PH， ∵BP平分∠ABD，且PH⊥BA，PF⊥BD， ∴PF＝PH， ∴PE＝PF， ∴（1）正确； （2）与（1）可知：PE＝PF， 又∵PE⊥OC于E，PF⊥OD于F， ∴点P在∠COD的平分线上， ∴（2）正确； （3）∵∠O+∠OEP+∠EPF+∠OFP＝360°， 又∵∠OEP+∠OFP＝90°+90°＝180°， ∴∠O+∠EPF＝180°， 即∠O+∠EPA+∠HPA+∠HPB+∠FPB＝180°， 由（1）知：△PEA≌△PHA， ∴∠EPA＝∠HPA， 同理：∠FPB＝∠HPB， ∴∠O+2（∠HPA+∠HPB）＝180°， 即∠O+2∠APB＝180°， ∴∠APB＝90°﹣， ∴（3）错误； 故选：C． 17．如图，在△ABC中，AB＝AC，BD为AC边上的高，BE平分∠ABD，点F在BD上，连接EF并延长交BC于点G，若BG＝EG，∠A＝2∠DEF，有下列结论：①∠DEF＝∠CBD；②∠ABE+∠CBD＝45°； ③EG⊥BC； ④BF＝CE．其中正确的结论有（　　） A．1个 B．4个 C．3个 D．2个 【解答】解：如图，作AH⊥BC于H， ∵AB＝AC， ∴∠BAC＝2∠CAH， ∵BD⊥AC， ∴∠CBD+∠C＝∠CAH+∠C＝90°， ∴∠CAH＝∠CBD， ∴∠BAC＝2∠CBD， ∵∠BAC＝2∠DEF， ∴∠DEF＝∠CBD，故①正确； ∵BE平分∠ABD， ∴∠ABE＝∠ABD， ∵∠CBD＝∠BAC， ∴∠ABE+∠CBD＝（∠ABD+∠BAC）， ∵∠BDC＝∠ABD+∠BAC＝90°， ∴∠ABE+∠CBD＝×90°＝45°，故②正确； ∵∠FBG＝∠CEG，∠BFG＝∠EFD， ∴∠FGB＝∠EDF＝90°， ∴EG⊥BC，故③正确； ∵EG⊥BC， ∴∠BGF＝∠EGC＝90°， 在△BFG和△ECG中， ， ∴△BFG≌△ECG（ASA）， ∴BF＝CE，故④正确； 综上所述：正确的结论有4个， 故选：B． 18．如图，等腰直角△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于D，∠ABC的平分线分别交AC、AD于E、F两点，M为EF的中点，延长AM交BC于点N，连接DM，NE．下列结论：①AE＝AF；②AM⊥EF；③△AEF是等边三角形；④DF＝DN，⑤AD∥NE． 其中正确的结论有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【解答】解：∵∠BAC＝90°，AC＝AB，AD⊥BC， ∴∠ABC＝∠C＝45°，AD＝BD＝CD，∠ADN＝∠ADB＝90°， ∴∠BAD＝45°＝∠CAD， ∵BE平分∠ABC， ∴∠ABE＝∠CBE＝∠ABC＝22.5°， ∴∠BFD＝∠AEB＝90°﹣22.5°＝67.5° ∴∠AFE＝∠BFD＝∠AEB＝67.5°， ∴AF＝AE，故①正确；③错误， ∵M为EF的中点， ∴AM⊥EF，故②正确； ∵AM⊥EF， ∴∠AMF＝∠AME＝90°， ∴∠DAN＝90°﹣67.5°＝22.5°＝∠MBN， 在△FBD和△NAD中， ， ∴△FBD≌△NAD（ASA）， ∴DF＝DN，故④正确； ∵∠BAM＝∠BNM＝67.5°， ∴BA＝BN， ∵∠EBA＝∠EBN，BE＝BE， ∴△EBA≌△EBN（SAS）， ∴∠BNE＝∠BAE＝90°， ∴∠ENC＝∠ADC＝90°， ∴AD∥EN．故⑤正确， 故选：D． 19．如图，∠ACB＝90°，CD是Rt△ABC斜边上的高，∠BAC的平分线AE交CD于H，EF⊥AB于F．则下列结论中不正确的有（　　） A．∠ACD＝∠B B．CH＝HD C．CH＝CE＝EF D．AC＝AF 【解答】解：∵CD是Rt△ABC斜边上的高， ∴AB⊥CD， ∴∠ADC＝90°， ∴90°＝∠BCD+∠B， ∵∠ACB＝90°， ∴90°＝∠BCD+∠ACD， ∵△ABC是直角三角形， ∴∠ACD＝∠B，故选项A正确，不符合题意； 过点H作HG⊥AC于点G，如图所示： ∵CD⊥AB，AE是∠BAC的角平分线， ∴HD＝HG， ∵HC＞HG， ∴HD＜HC，故选项B不正确，符合题意； ∵AE是∠BAC的角平分线，EF⊥AB，∠ACE＝90°， ∴CE＝EF， ∵EF⊥AB，∠ACE＝90°， ∴CE＝EF， ∵AE＝AE， ∴Rt△AEF≌Rt△AEC（HL）， ∴∠CEA＝∠FEA，AC＝AF，故选项D正确，不符合题意； ∵CD⊥AB，EF⊥AB， ∴CD∥EF， ∴∠FEA＝∠CHE， ∵∠CEA＝∠FEA，∠FEA＝∠CHE， ∴∠CHE＝∠CEA， ∴CH＝CE， ∵CE＝EF，CH＝CE， ∴CH＝CE＝EF，故选项C正确，不符合题意． 故选：B． 20．如图，在△ABC中，AD⊥BC交BC于D，AE平分∠BAC交BC于E，F为BC延长线上一点，FG⊥AE交AE的延长线于点M，交AD的延长线于点G，AC的延长线交FC于点H，连接BG，则下列结论：①∠BAG＝∠F；②∠AGH＝∠MEF；③S△AEB：S△AEC＝AB：AC；④若GM＝EM，则△AGM≌△FEM．其中正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【解答】解：∵AD⊥BC，AM⊥GF， ∴∠DAM+∠AGM＝90°，∠F+∠FGD＝90°， ∴∠GAM＝∠F， 而无法判断∠BAG＝∠MAG， ∴无法判断∠BAG＝∠F，故①错误； ∵AD⊥BC，AM⊥GF， ∴∠AGH+∠F＝90°，∠F+∠MEF＝90°， ∴∠AGH＝∠MEF，故②正确； ∵AE平分∠BAC， ∴E到AB、AC的距离相等，设这个距离为h， ∴，故③正确； 在△AGM和△FEM中， ， ∴△AGM≌△FEM，故④正确， 故选：C． 21．如图，AD是△ABC的中线，E，F分别是AD和AD延长线上的点，且DE＝DF，连接BF，CE，下列说法：①△ABD和△ACD的面积相等；②∠BAD＝∠CAD；③BF∥CE；④CE＝AE．其中说法正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【解答】解：∵AD是△ABC的中线， ∴BD＝CD， ∵点A到BD、CD的距离相等， ∴△ABD和△ACD的面积相等，故①正确； 若在△ABC中，当AB≠AC时，AD不是∠BAC的平分线，即∠BAD≠∠CAD，故②不一定正确； 在△BDF和△CDE中， ， ∴△BDF≌△CDE（SAS）， ∴∠F＝∠CED， ∴BF∥CE，故③正确； 无法证明CE＝AE，故④不一定正确； 综上所述，正确的有①③，共2个， 故选：B． 22．如图，Rt△ACB中，∠ACB＝90°，△ACB的角平分线AD，BE相交于点P，过P作PF⊥AD交BC的延长线于点F，交AC于点H，则下列结论：①∠APB＝135°；②AD＝PF+PH；③DH平分∠CDE；④S四边形ABDE＝S△ABP；⑤S△APH＝S△ADE，其中正确的结论有（　　）个． A．2 B．3 C．4 D．5 【解答】解：在△ABC中，∠ACB＝90°， ∴∠CAB+∠CBA＝90°， 又∵AD、BE分别平分∠BAC、∠ABC， ∴∠BAD+∠ABE＝（∠CAB+∠CBA）＝45°， ∴∠APB＝180°﹣（∠BAD+∠ABE）＝135°，故①正确． ∴∠BPD＝180°﹣∠APB＝45°， 又∵PF⊥AD， ∴∠FPB＝90°+45°＝135°， ∴∠APB＝∠FPB， 在△ABP和△FBP中， ， ∴△ABP≌△FBP（ASA）， ∴∠BAP＝∠BFP，AB＝FB，PA＝PF， ∴∠PAH＝∠BAP＝∠PFD， 在△APH和△FPD中， ， ∴△APH≌△FPD（ASA）， ∴PH＝PD， ∴AD＝AP+PD＝PF+PH．故②正确． ∵△ABP≌△FBP，△APH≌△FPD， ∴S△APB＝S△FPB，S△APH＝S△FPD，PH＝PD， ∵∠HPD＝90°， ∴∠HDP＝∠DHP＝45°＝∠BPD， ∴HD∥EP， ∴S△EPH＝S△EPD， ∴S△APH＝S△AED，故⑤正确， ∵S四边形ABDE＝S△ABP+S△AEP+S△EPD+S△PBD ＝S△ABP+（S△AEP+S△EPH）+S△PBD ＝S△ABP+S△APH+S△PBD ＝S△ABP+S△FPD+S△PBD ＝S△ABP+S△FBP ＝2S△ABP，故④不正确． 若DH平分∠CDE，则∠CDH＝∠EDH， ∵DH∥BE， ∴∠CDH＝∠CBE＝∠ABE， ∴∠CDE＝∠ABC， ∴DE∥AB， 这个显然与已知条件不符，故③错误， 综上所述，正确的结论有3个， 故选：B． 23．如图，D为△BAC的外角平分线上一点并且满足BD＝CD，过D作DE⊥AC于E，DF⊥AB交BA的延长线于F，则下列结论： ①△CDE≌△BDF；②CE＝AB+AE；③∠BDC＝∠BAC；④∠DAF＝∠ACD．其中正确的结论有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【解答】解：∵AD平分∠CAF，DE⊥AC，DF⊥AB， ∴DE＝DF， 在Rt△CDE和Rt△BDF中， ， ∴Rt△CDE≌Rt△BDF（HL），故①正确； ∴CE＝AF， 在Rt△ADE和Rt△ADF中， ， ∴Rt△ADE≌Rt△ADF（HL）， ∴AE＝AF， ∴CE＝AB+AF＝AB+AE，故②正确； ∵Rt△CDE≌Rt△BDF， ∴∠DBF＝∠DCE， ∴A、B、C、D四点共圆， ∴∠BDC＝∠BAC，故③正确； ∠DAE＝∠CBD， ∵Rt△ADE≌Rt△ADF， ∴∠DAE＝∠DAF， ∴∠DAF＝∠CBD， ∵BD＝CD， ∴∠DBC＝∠DCB， ∵∠DCB＞∠ACD， ∴∠DAF＞∠ACD， ∴∠DAF≠∠ACD，故④错误； 故选：C． 24．如图，∠C＝90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于点E，有下列结论：①CD＝ED；②∠BDE＝∠BAC；③当∠B＝30°时，点E是AB的中点；④当BC＝3，AB＝5时，DE＝；其中结论正确的个数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【解答】解：①∵∠C＝90°， ∴DC⊥AC， 又∵AD平分∠BAC，DE⊥AB， ∴CD＝ED，故①正确； ②∵DE⊥AB， ∴∠BED＝90°， ∴∠B+∠BDE＝90°， ∵∠C＝90°， ∴∠B+∠BAC＝90°， ∴∠BDE＝∠BAC，故②正确； ③当∠B＝30°时，∠BAC＝90°﹣30°＝60°， ∵AD平分∠BAC， ∴， ∴∠B＝∠BAD， ∴BD＝AD， 又∵DE⊥AB， ∴BD＝AE， 即点E是AB的中点，故③正确； ④∵BC＝3，AB＝5，∠C＝90°， ∴， ∴， ∵S△ACD+S△ABD＝S△ABC， ∴， ∵CD＝ED， ∴， 解得，故④正确； ∴结论正确的有4个， 故选：D． 25．如图，△ABC中，AD⊥BC交BC于D，AE平分∠BAC交BC于E，F为BC的延长线上一点，FG⊥AE交AD的延长线于G，AC的延长线交FG于H，连接BG，下列结论：①∠DAE＝∠F；②；③S△AEB：S△AEC＝AB：AC；④∠AGH＝∠BAE+∠ACB，其中正确的结论有（　　） A．②③④ B．①②③④ C．①②③ D．①④ 【解答】解：设FG与AE的延长线交于点M， ∵AD⊥BC，FG⊥AE，∠AED＝∠FEM， ∴∠ADE＝∠FME＝90°， ∴∠DAE＝∠F，故①正确； ∴∠DEA＝∠AGH＝90°﹣∠DAE， ∵AD⊥BC， ∴∠DAE＝90°﹣∠AED， ∵∠AED＝∠EAC+∠ACE， ∴∠DAE＝90°﹣∠EAC﹣∠ACE， ∵AE平分∠BAC， ∴， ∴， ∵∠BAC＝180°﹣∠ABC﹣∠ACE， ∴ ＝ ＝，故②正确； ∵∠AED＝∠EAC+∠ACE，AE平分∠BAC， ∴∠AED＝∠BAE+∠ACE， ∴∠AGH＝∠BAE+∠ACB，故④正确； ∵AE平分∠BAC， ∴点E到AB，AC的距离相等，都设为h， ∴，故③正确． 故选：B． 26．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，△ABC的角平分线AD、BE相交于点P，过P作PF⊥AD交BC的延长线于点F，交AC于点H，则下列结论：①∠APB＝135°；②PF＝PA；③AH+BD＝AB；④S四边形ABDE＝S△ABP．其中正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【解答】解：在△ABC中，AD、BE分别平分∠BAC、∠ABC， ∵∠ACB＝90°， ∴∠BAC+∠ABC＝90°， 又∵AD、BE分别平分∠BAC、∠ABC， ∴∠BAD+∠ABE＝（∠A+∠B）＝45°， ∴∠APB＝135°，故①正确． ∴∠BPD＝45°， 又∵PF⊥AD， ∴∠FPB＝90°+45°＝135°， ∴∠APB＝∠FPB， 又∵∠ABP＝∠FBP，BP＝BP， ∴△ABP≌△FBP（ASA）， ∴∠BAP＝∠BFP，AB＝FB，PA＝PF，故②正确． 在△APH和△FPD中， ∵∠APH＝∠FPD＝90°，∠PAH＝∠BAP＝∠BFP，PA＝PF， ∴△APH≌△FPD（ASA）， ∴AH＝FD， 又∵AB＝FB， ∴AB＝FD+BD＝AH+BD．故③正确． 连接HD，如图： ∵△ABP≌△FBP，△APH≌△FPD， ∴S△APB＝S△FPB，S△APH＝S△FPD，PH＝PD， ∵∠HPD＝90°， ∴∠HDP＝∠DHP＝45°＝∠BPD， ∴HD∥EP， ∴S△EPH＝S△EPD， ∵S四边形ABDE＝S△ABP+S△AEP+S△EPD+S△PBD ＝S△ABP+（S△AEP+S△EPH）+S△PBD ＝S△ABP+S△APH+S△PBD ＝S△ABP+S△FPD+S△PBD ＝S△ABP+S△FBP ＝2S△ABP，故④不正确． ∴正确的有①②③，共3个； 故选：C． 27．如图，已知∠E＝∠F＝90°，∠B＝∠C，AE＝AF，下列结论：①EM＝FN；②CM＝EM；③∠FAN＝∠EAM；④△ACN≌△ABM，其中正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【解答】解：∵∠E＝∠F＝90°，∠B＝∠C，AE＝AF， ∴△AEB≌△AFC（AAS）， ∴∠EAB＝∠FAC， ∴∠FAN＝∠EAM， 故③符合题意； ∵∠E＝∠F＝90°，AE＝AF，∠FAN＝∠EAM， ∴△AEM≌△AFN（ASA）， ∴EM＝FN， 故①符合题意； 由△AEM≌△AFN（ASA），得到EM＝FN，得不到EM＝CM， 故②不符合题意； ∵△AEB≌△AFC（AAS）， ∴AC＝AB， ∵∠C＝∠B，∠CAN＝∠BAM， ∴△ACN≌△ABM（ASA）， 故④符合题意， ∴正确的有3个． 故选：C． 28．如图，在△ABC中，∠ACB＝60°，D为△ABC边AC上一点，BC＝CD，点M在BC的延长线上，CE平分∠ACM，且AC＝CE．连接BE交AC于F，G为边CE上一点，满足CG＝CF，连接DG交BE于H．以下结论：①△ABC≌△EDC；②△BCF≌△DCG；③∠DHF＝60°．正确的有（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【解答】解：∵∠ACB＝60°， ∴∠ACM＝120°， ∵CE平分∠ACM， ∴∠ACE＝60°， 在△ABC和△EDC中， ， ∴△ABC≌△EDC（SAS），所以①正确； 在△BCF和△DCG中， ， ∴△BCF≌△DCG（SAS），所以②正确； ∴∠CDG＝∠CBF， ∵∠DFH＝∠BFC， ∴∠DHF＝∠BCF＝60°，所以③正确． 故选：D． 29．如图，在△ABC中，∠ABC＝45°，过点C作CD⊥AB于点D，过点B作BM⊥AC于点M，连接MD，过点D作DN⊥MD，交BM于点N．CD与BM相交于点E，若点E是CD的中点，则下列结论：①AC＝BE；②DM＝DN；③∠AMD＝45°；④NE＝3ME．其中正确的有（　　）个． A．4 B．3 C．2 D．1 【解答】证：∵CD⊥AB，BM⊥AC， ∴∠BDE＝∠CME＝90°， ∵∠DEB＝∠MEC， ∴∠DBE＝∠DCA， ∵∠ABC＝45°，CD⊥AB， ∴△BDC是等腰直角三角形， ∴BD＝CD， ∵∠BDE＝∠CDA，∠DBE＝∠DCA， ∴△BDE≌△CDA（ASA）， ∴BE＝AC， ∵∠BDC＝∠NDM＝90°， ∴∠BDN＝∠CDM， ∵∠DBN＝∠DCM，BD＝CD， ∴△BDN≌△CDM（ASA）， ∴DM＝DN， ∵∠NDM＝90°， ∴△DNM是等腰直角三角形， ∴∠DMN＝45°， ∴∠AMD＝45°， 故①②③正确， 过点D作DF⊥MN于点F，则∠DFE＝∠CME＝90°， ∵DN⊥MD，DN＝DM， ∴MN＝2FM＝2FN， ∵点E是CD的中点， ∴DE＝CE， ∵∠DEF＝∠CEM，∠DFE＝∠CME， ∴△DEF≌△CEM（AAS）， ∴ME＝EF， ∴MN＝2MF＝4ME， ∴NE＝3ME， 故④正确， 本题选：A． 30．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠CBA的外角平分线交AC的延长线于点F，FB的延长线交斜边上的高CD的延长线于点E，EG∥AC交AB的延长线于点G，连接CG，则下列结论：①∠F＝∠CEF；②GE＝CE；③EF⊥CG，其中正确的结论有（　　） A．0个 B．3个 C．2个 D．1个 【解答】解：①∵BF平分∠CBG， ∴∠GBF＝∠CBF， ∵∠GBF＝∠EBD， ∴∠CBF＝∠EBD， ∵∠ACB＝90°，CD为Rt△ABC斜边上的高， ∴∠F+∠CBF＝90°，∠EBD+∠CEF＝90°， ∴∠F＝∠CEF， 故结论①正确； ②∵EG∥AC， ∵∠GEB＝∠F， 由①可知：∠F＝∠CEF， ∴∠GEB＝∠CEF， 即∠GEB＝∠CEB， ∵∠GBF＝∠CBF，∠GBE+∠GBF＝180°，∠CBE+∠CBF＝180°， ∴∠GBE＝∠CBE， 在△GBE和△CBE中， ， ∴△GBE≌△CBE（SAS）， ∴GE＝CE， 故结论②正确； ③由②可知：GE＝CE，∠GEB＝∠CEB， 根据等腰三角形三线合一定理得：BE⊥CG， 即EF⊥CG， 故结论③正确， 综上所述：正确的结论是①②③，共3个， 故选：B． 【题型3轴对称综合问题】 31．如图，在等边△ABC中，CD⊥AB于D，E是线段CD上一点，F是边AC上一点，且满足BE＝EF，G是AF的中点，连接EG，则下列四个结论：①AD＝BD；②∠BEF＝150°；③∠AFE＝∠CBE；④EG＝EC；⑤当∠ABE＝15°时，EG＝FG，其中正确的有 　①③④⑤　．（填序号） 【解答】解：如图：连接AE， ∵△ABC是等边三角形， ∴AC＝BC，∠BAC＝∠ACB＝60°， ∵CD⊥AB， ∴CD是等边△ABC的底边AB上的高， ∴AD＝BD＝AB， 故①正确； ∠ACD＝∠BCD＝ACB＝×60°＝30°， ∵CD⊥AB，AD＝BD， ∴CD是线段AB的垂直平分线， ∴AE＝BE ∴∠ABE＝∠BAE， ∵BE＝EF， ∴AE＝EF， ∴∠FAE＝∠AFE， ∵∠AFE是△EFC的外角， ∴∠AFE＝∠ACD+∠CEF， ∵∠ACD＝30°， ∴∠CEF＝∠AFE﹣∠ACD＝∠FAE﹣30°， ∵CD⊥AB， ∴∠BDC＝90°， ∵∠CEB是△DBE的外角， ∴∠CEB＝∠BDC+∠ABE＝90°+∠BAE， ∵∠BAC＝60°， ∴∠BEF＝∠CEB+∠CEF ＝90°+∠BAE+∠FAE﹣30° ＝90°+∠BAC﹣30° ＝90+60°﹣30°＝120°， 故②错误； 在△CBE和△CAE中， ， ∴△CBE≌△CAE（SSS）， ∴∠CBE＝∠FAE， ∵∠AFE＝∠FAE， ∴∠AFE＝∠CBE， 故③正确； ∵AE＝EF，G是AF的中点 ∴EG是等腰△EAF的底边AF上的中线， ∵EG⊥AF， ∴∠CGE＝90°， ∵∠ACD＝30° ∴EG＝EC， 故④正确； ∵∠ABE＝15°，∠ABE＝∠BAE， ∴∠BAE＝15°， ∵∠BAC＝60°， ∵∠FAE＝∠BAC﹣∠BAE＝60°﹣15°＝45°， ∵∠FAE＝∠AFE， ∴∠AFE＝45°， ∵∠CGE＝90°， ∵∠GEF＝∠AFE＝45°， ∴EG＝FG， 故⑤正确； 其中正确的有①③④⑤． 故答案为：①③④⑤． 32．如图，等腰△ABC，AB＝AC，∠BAC＝120°，AD⊥BC于D，点P是BA延长线上一点，点O是线段AD上一点，OP＝OC，下面结论：①∠APO＝∠ACO；②∠APO+∠PCB＝90°；③PC＝PO．其中正确的有 　①②③　．（填正确结论序号） 【解答】解：如图，连接BO， ∵AB＝AC，AD⊥BC， ∴BD＝CD， ∴AD垂直平分BC， ∵OB＝OC， ∴∠OBC＝∠OCB， 又∵OP＝OC， ∴OP＝OB， ∴∠OBP＝∠OPB， 又∵在等腰△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝AC， ∴∠ABC＝∠ACB＝30°， ∴∠OBC+∠OBP＝∠OCB+∠ACO， ∴∠OBP＝∠ACO， ∴∠APO＝∠ACO，故①正确； 又∵∠ABC＝∠PBO+∠CBO＝30°， ∴∠APO+∠DCO＝30°， ∵∠PBC+∠BPC+∠BCP＝180°，∠PBC＝30°， ∴∠BPC+∠BCP＝150°， 又∵∠BPC＝∠APO+∠CPO，∠BCP＝∠BCO+∠PCO， ∴∠APO+∠CPO+∠BCO+∠PCO＝150°， ∵∠APO+∠BCO＝30°， ∴∠CPO+∠PCO＝120°， 又∵∠POC+∠CPO+∠PCO＝180°， ∴∠POC＝60°， 又∵OP＝OC， ∴△OPC是等边三角形， ∴PC＝PO，∠PCO＝60°，故③正确； ∴∠APO+∠BCO+∠PCO＝30°+60°＝90°， 即：∠APO+∠PCB＝90°，故②正确； 综上可知：①②③正确， 故答案为：①②③． 33．如图，C为线段AE上一动点（不与点A，E重合），在AE同侧分别作等边△ABC和等边△CDE，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连结PQ．以下五个结论： ①AD＝BE；②PQ∥AE；③OP＝OQ；④△CPQ为等边三角形；⑤∠AOB＝60°．其中正确的有 　①②④⑤　．（注：把你认为正确的答案序号都写上） 【解答】解：∵△ABC和△CDE都是等边三角形， ∴AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝60°， ∴∠ACB+∠BCD＝∠DCE+∠BCD， ∴∠ACD＝∠BCE， 在△ACD和△BCE中， AC＝BC，∠ACD＝∠BCE，CD＝CE， ∴△ACD≌△BCE（SAS）， ∴AD＝BE，结论①正确． ∵△ACD≌△BCE， ∴∠CAD＝∠CBE， 又∵∠ACB＝∠DCE＝60°， ∴∠BCD＝180°﹣60°﹣60°＝60°， ∴∠ACP＝∠BCQ＝60°， 在△ACP和△BCQ中， ∠ACP＝∠BCQ，∠CAP＝∠CBQ，AC＝BC， ∴△ACP≌△BCQ（AAS）， ∴AP＝BQ，CP＝CQ， 又∵∠PCQ＝60°， ∴△PCQ为等边三角形，结论④正确； ∴∠PQC＝∠DCE＝60°， ∴PQ∥AE，结论②正确． ∵△ACD≌△BCE， ∴∠ADC＝∠AEO， ∴∠AOB＝∠DAE+∠AEO＝∠DAE+∠ADC＝∠DCE＝60°， ∴结论⑤正确． 没有条件证出OP＝OQ，③错误； 综上，可得正确的结论有4个：①②④⑤． 故答案为：①②④⑤． 34．如图，△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点F，过点F作DE∥BC交AB于点D，交AC于点E，那么下列结论：①BF＝CF；②△ADE的周长等于AB与AC的和；③DE＝BD+CE；④△BDF和△CEF都是等腰三角形．其中正确的有 　②③④　．（填入序号） 【解答】解：∵DE∥BC， ∴∠DFB＝∠FBC，∠EFC＝∠FCB， ∵△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点F， ∴∠DBF＝∠FBC，∠ECF＝∠FCB， ∴∠DBF＝∠DFB，∠ECF＝∠EFC， ∴DB＝DF，EF＝EC， 即△BDF和△CEF都是等腰三角形； 故④正确，符合题意； ∴DE＝DF+EF＝BD+CE， 故③正确，符合题意； ∴△ADE的周长为：AD+DE+AE＝AB+BD+CE+AE＝AB+AC； 故②正确，符合题意； ∵∠ABC不一定等于∠ACB， ∴∠FBC不一定等于∠FCB， ∴BF与CF不一定相等， 故①错误，不符合题意． 故答案为：②③④． 35．如图，在△ABC中，BD、CE分别是∠ABC和∠ACB的平分线，AM⊥CE于P，交BC于M，AN⊥BD于Q，交BC于N，∠BAC＝100°，AB＝7，AC＝6，MN＝2，结论①AP＝MP；②BC＝11；③∠MAN＝40°；④AM＝AN．其中正确的序号有 　①②③　.（填序号） 【解答】解：①∵CE平分∠ACE， ∴∠ACP＝∠MCP， ∵AM⊥CE， ∴∠APC＝∠MPC＝90°， ∴∠CAM＝∠CMA， ∴AC＝CM， ∴AP＝PM，①正确； ②同理得：BN＝AB＝7， ∵CM＝AC＝6， ∴BC＝BN+CM﹣MN＝7+6﹣2＝11，②正确； ③∵∠BAC＝∠MAC+∠BAN﹣∠MAN＝100°， 由①知：∠CMA＝∠CAM，∠BNA＝∠BAN， △AMN中，∠CMA+∠BNA＝180°﹣∠MAN＝∠BAN+∠MAC， ∴180°﹣∠MAN﹣∠MAN＝100°， ∴∠MAN＝40°， ③正确； ④当∠AMN＝∠ANM时，AM＝AN， ∵AB＝7≠AC＝6， ∴∠ABC≠∠ACB， ∴∠AMN≠∠ANM，则AM与AN不相等， ④不正确； 所以本题不正确的有④， 故答案为：①②③． 36．如图，点P是∠AOB内一点，OP＝m，∠AOB＝α，点P关于直线OA的对称点为点Q，关于直线OB的对称点为点T，连接QT，分别交OA，OB于点M，N，连接PM，PN，下列结论：①∠OTQ＝90°﹣α；②当α＝30°时，△PMN的周长为m；③0＜QT＜2m；④∠MPN＝180°﹣2α，其中正确的有 　①②④　（填序号）． 【解答】解：∵点P关于直线OA的对称点为点Q，关于直线OB的对称点为点T， ∴OQ＝OP，OT＝OP，∠QOM＝∠POM，∠PON＝∠TON，PM＝QM，PN＝TN， ∴OQ＝OT， ∴∠OTQ＝∠OQT， ∵∠AOB＝α， ∴∠QOM+∠TON＝∠POM+∠PON＝∠AOB＝α， 即∠QOT＝2α， ∴∠OTQ＝∠OQT＝（180°﹣∠QOT）＝（180°﹣2α）＝90°﹣α，故①正确； ∵PM＝QM，PN＝TN， ∴△PMN的周长＝MN+PN+PM＝TN+MN+QM＝QT， ∵α＝30°， ∴∠QOT＝2α＝60°， ∵OQ＝OT， ∴△QOT是等边三角形， ∴OQ＝QT， ∴OQ＝OP＝m， ∴QT＝m， ∴△PMN的周长是m，故②正确； 当a等于90度时，Q、P、T三点共线，此时QT＝m，故③错误； 在△QOM和△POM中， ， ∴△QOM≌△POM（SAS）， ∴∠MPO＝∠OQM， 同理∠NPO＝∠OTN， ∵∠QOT＝2α，∠OQM＝∠OTN， ∴∠MPN＝∠MPO+∠NPO＝∠OQM+∠OTN＝180°﹣∠QOT＝180°﹣2α，故④正确． 故答案为：①②④． 37．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC，∠ABC的平分线BE交AD于点F，AG平分∠DAC，有下列结论：①∠BAD＝∠C；②∠AEF＝∠AFE；③∠EBC＝∠C；④AG⊥EF，其中正确的结论有 　①②④　（填序号）． 【解答】解：∵∠BAC＝90°， ∴∠ABC+∠C＝90°， ∵AD⊥BC， ∴∠ADB＝∠ADC＝90°， ∴∠ABC+∠BAD＝90°，∠C+∠DAC＝90°， ∴∠BAD＝∠C，∠ABC＝∠DAC， ∵BE平分∠ABC，AG平分∠DAC， ∴∠1＝∠2＝∠ABC，∠3＝∠4＝∠DAC， ∴∠1＝∠2＝∠3＝∠4， ∵∠AEF＝∠2+∠C，∠AFE＝∠1+∠BAD， ∴∠AEF＝∠AFE， ∴AE＝AF， 又∵AG平分∠EAF， ∴AG⊥EF， 无法得出∠EBC＝∠C， 所以正确的是①②④， 故答案为：①②④． 38．如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，过点O作EF∥BC交AB于E，交AC于F，过点O作OD⊥AC于D．下列三个结论： ①； ②EF＝BE+CF； ③设OD＝m，AE+AF＝n，则． 其中正确的结论有 　①②③　．（填序号） 【解答】解：∵在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O， ∴∠OBC＝∠ABC，∠OCB＝∠ACB，∠A+∠ABC+∠ACB＝180°， ∴∠OBC+∠OCB＝90°﹣∠A， ∴∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝90°+∠A， 故①正确，符合题意； ∵在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O， ∴∠EBO＝∠OBC，∠FCO＝∠OCB， ∵EF∥BC， ∴∠EOB＝∠OBC，∠FOC＝∠OCB， ∴∠EBO＝∠EOB，∠FOC＝∠FCO， ∴EB＝EO，FO＝FC， ∴EF＝EO+FO＝BE+CF， 故②正确，符合题意； 过点O作OM⊥AB于M，作ON⊥BC于N，连接OA， ∵在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O， ∴ON＝OD＝OM＝m， ∴， 故③正确，符合题意； ∴其中正确的结论是①②③． 故答案为①②③． 39．已知如图等腰△ABC，AB＝AC，∠BAC＝120°，AD⊥BC于点D，点P是BA延长线上一点，点O是线段AD上一点，OP＝OC，下面结论：①∠APO+∠DCO＝30°；②△OPC是等边三角形；③AC＝AO+AP；④S△ABC＝S四边形ADCP；其中正确的有　①②③　（填上所有正确结论的序号） 【解答】解：如图， ①连接OB， ∵AB＝AC，BD＝CD， ∴AD是BC垂直平分线， ∴OB＝OC＝OP， ∴∠APO＝∠ABO，∠DBO＝∠DCO， ∵∠ABO+∠DBO＝30°， ∴∠APO+∠DCO＝30°．故①正确； ②∵△OBP中，∠BOP＝180°﹣∠OPB﹣∠OBP， △BOC中，∠BOC＝180°﹣∠OBC﹣∠OCB， ∴∠POC＝360°﹣∠BOP﹣∠BOC＝∠OPB+∠OBP+∠OBC+∠OCB， ∵∠OPB＝∠OBP，∠OBC＝∠OCB， ∴∠POC＝2∠ABD＝60°， ∵PO＝OC， ∴△OPC是等边三角形，故②正确； ③在AB上找到Q点使得AQ＝OA，则△AOQ为等边三角形， 则∠BQO＝∠PAO＝120°， 在△BQO和△PAO中， ， ∴△BQO≌△PAO（AAS）， ∴PA＝BQ， ∵AB＝BQ+AQ， ∴AC＝AO+AP，故③正确； ④作CH⊥BP， ∵∠HCB＝60°，∠PCO＝60°， ∴∠PCH＝∠OCD， 在△CDO和△CHP中， ， ∴△CDO≌△CHP（AAS）， ∴S△OCD＝S△CHP ∴CH＝CD， ∵CD＝BD， ∴BD＝CH， 在Rt△ABD和Rt△ACH中， ， ∴Rt△ABD≌Rt△ACH（HL）， ∴S△ABD＝S△AHC， ∵四边形OAPC面积＝S△OAC+S△AHC+S△CHP，S△ABC＝S△AOC+S△ABD+S△OCD ∴四边形OAPC面积＝S△ABC．故④错误． 故答案为：①②③． 40．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，则下列说法：①DA平分∠EDF；②AE＝AF，DE＝DF；③AD上任意一点到B、C两点的距离相等；④图中共有3对全等三角形，其中正确的有　①②③④　． 【解答】解：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC， ∴∠DAE＝∠DAF，∠DEA＝∠DFA， 在△ADE和△ADF中， ， ∴△ADE≌△ADF（AAS）， ∴AE＝AF，DE＝DF，∠ADE＝∠ADF， ∴①②正确； 又∵AB＝AC，AD是∠BAC的角平分线， ∴AD垂直平分线段BC， ∴③正确； 在△ABD和△ACD中， ， ∴△ABD≌△ACD（SAS）， 在Rt△BDE和Rt△CDF中， ， ∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL）， ∴全等的三角形共有三对， ∴④正确， 综上可知正确的为①②③④， 故答案为：①②③④． 41．如图，△DAC和△EBC均是等边三角形，AE、BD分别与CD、CE交于点M、N，有如下结论：①△ACE≌△DCB；②CM＝CN；③AC＝DN；④∠DAE＝∠DBC．其中正确的有　①②④　（填番号） 【解答】解：∵△DAC和△EBC均是等边三角形，∴AC＝DC，BC＝CE，∠ACE＝∠BCD，∴△ACE≌△DCB，①正确 由①得∠AEC＝∠CBD，∴△BCN≌△ECM，∴CM＝CN，②正确 假使AC＝DN，即CD＝CN，△CDN为等边三角形，∠CDB＝60°， 又∵∠ACD＝∠CDB+∠DBC＝60°，∴假设不成立，③错误； ∵∠DBC+∠CDB＝60°∠DAE+∠EAC＝60°，而∠EAC＝∠CDB，∴∠DAE＝∠DBC，④正确， ∴正确答案①②④ 42．如图，△ABC中，AB＝AC，BD平分∠ABC交AC于G，DM∥BC交∠ABC的外角平分线于M，交AB、AC于F、E，下列结论： ①MB⊥BD；②FD＝EC；③EC＝EF+DG；④CE＝MD． 其中正确的有　①②④　（填序号）． 【解答】解：①∵BD平分∠ABC，BM是∠ABC的外角平分线， ∴∠MBF＝∠MBH＝∠ABH，∠ABD＝∠CBD＝∠ABC， ∴∠MBD＝∠MBF+∠ABD＝（∠ABH+∠ABC）＝×180°＝90°， ∴MB⊥BD；正确； ②∵DM∥BC， ∴∠MBH＝∠M，∠D＝∠CBD， ∴∠M＝∠MBF，∠D＝∠ABD， ∴BF＝FM＝FD， ∵AB＝AC， ∴∠ABC＝∠C， ∵DM∥BC， ∴∠AFE＝∠AEF， ∴AF＝AE， ∴BF＝CE， ∴FD＝EC；正确； ③∵∠C与∠BGC的大小不确定， ∴DE不一定等于DG， ∵EC＝DF＝EF+DE， ∴EC不一定等于EF+DG；故错误； ④∵∠DBM＝90°，FM＝DF， ∴BF＝MD， ∴CE＝MD；故正确． 故答案为：①②④． 43．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝2AC，以A为圆心，任意长为半径画弧交AB于M、AC于N，再分别以M、N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，连接AP并延长交BC于D，下列三个结论：①AD是∠BAC的平分线；②∠ADC＝60°；③S△ACD：S△ACB＝1：3．其中正确的有 　①②③　．（填序号） 【解答】解：由作图可知，AD为∠BAC的平分线， 故①正确； ∵∠C＝90°，AB＝2AC， ∴∠B＝30°，∠BAC＝60°， ∵AD为∠BAC的平分线， ∴∠CAD＝∠BAD＝30°， ∴∠ADC＝∠BAD+∠B＝60°， 故②正确； 过点D作DE⊥AB于点E， ∵AD为∠BAC的平分线， ∴CD＝DE， 在Rt△ACD和Rt△ADE中， AC＝，AE＝， ∴AC＝AE， ∴S△ACD＝S△ADE， ∵点D在AB的中垂线上， ∴S△ADE＝S△BDE， ∴S△ACD＝S△ADE＝S△BDE， ∴S△ACD：S△ACB＝1：3， 故③正确； 综上所述，正确的有①②③． 故答案为：①②③． 44．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC，垂足是点D，BE平分∠ABC交AC于E，交AD于F，点G，点H分别为线段BE，AB上动点，下面四个结论：①∠CAD＝2∠ABE；②∠AEF＝∠AFE；③AC•AB＝AD•BC；④AG+GH＞AD．其中正确的有 　①②③　（写出所有正确结论的序号）． 【解答】解：在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC， ∴∠BAC＝∠ADC＝∠ADB＝90°， ∴∠C+∠CAD＝∠C+∠ABC＝90°， ∴∠CAD＝∠ABC， ∵BE平分∠ABC， ∴∠ABC＝2∠ABE＝2∠CBE， ∴∠CAD＝2∠ABE＝2∠CBE；故①正确，符合题意； ∵∠BAC＝∠ADB＝90°， ∴∠ABE+∠AEF＝∠CBE+∠BFD＝90°， ∵∠ABE＝∠CBE， ∴∠AEF＝∠BFD＝∠AFE，故②正确，符合题意； ∵S△ABC＝AC•AB＝AD•BC， ∴AC•AB＝AD•BC，故③正确，符合题意； 作点H关于BE的对称点H′，则AG+GH＝AG+GH′≥AH′≥AD，故④错误，不符合题意； 故答案为：①②③． 45．在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4，点D为AB的中点，M，N分别在BC，AC上，且BM＝CN现有以下三个结论：①DN＝DM；②∠NDM＝90°；③四边形CMDN的面积为4；其中正确的结论有 　①②③　． 【解答】解：连接DC， 在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4，点D为AB的中点， ∴，CD⊥AB，∠ACD＝∠BCD＝45°，∠A＝∠B＝45°， 在△CDN和△BDM中， ， ∴△CDN≌△BDM（SAS）， ∴∠NDC＝∠MDB，DN＝DM， 故①正确， ∵∠CDM+∠MDB＝∠CDB＝90°， ∴∠NDC+∠CDM＝90°， 即∠NDM＝90°， 故②正确， ∵四边形CMDN的面积等于△NDC与△CDM的面积之和， ∴四边形CMDN的面积等于△MDB与△CDM的面积之和， ∴四边形CMDN的面积是：， 故③正确， 故答案为：①②③． 46．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，以点B为圆心，任意长为半径画弧分别交BC，AB于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，连接BP并延长交AC于点D．则①∠BDC＝60°；②点D在AB的垂直平分线上；③S△ABD＝2S△BDC．以上正确的结论有 　①②③　（填写序号）． 【解答】解：①∵∠C＝90°，∠A＝30°， ∴∠CBA＝60°， 由题意得BD平分∠CBA， ∴∠ABD＝∠CBD＝30°， ∴∠BDC＝∠A+∠ABD＝60°， 因此∠BDC＝60°，①正确； ②∵∠ABD＝30°，∠A＝30°， ∴∠ABD＝∠A ∴AD＝BD， ∴点D在AB的垂直平分线上，故②说法正确； ③∵在Rt△BCD中，∠CBD＝30°， ∴， ∴BD＝AD＝2CD， ∴S△ADB＝2S△BDC，故③说法正确， 故答案为：①②③． 47．如图，在△ABC中，AC＝BC，AF，BF，CF分别平分△ABC的内角∠BAC，外角∠CBD，外角∠BCE，以下结论：①AB∥CF；②∠ABC＝2∠AFC；③∠AFB+∠FAC＝90°；④，其中正确的结论有 　①②④　（填写所有正确结论的序号）． 【解答】解：∵AF平分∠BAC，CF平分∠BCE， ∴，， 又∵AC＝BC， ∴∠ABC＝∠BAC， 又∵∠ABC+∠BAC＝2∠BAC＝∠BCE， ∴， ∴AB∥CF，故①正确； ∴∠AFC＝∠BAF＝∠FAC， ∴∠ABC＝2∠AFC，故②正确， ∵∠ABC+∠CBD＝180°，即：∠CBD＝180°﹣∠ABC， 又∵BF平分∠CBD， ∴， ∵AB∥CF， ∴∠DBF＝∠CFB＝∠AFB+∠AFC， 即：∠AFB+∠AFC＝90°﹣∠AFC， ∴2∠AFC＝90°﹣∠AFB， ∴，故④正确， ∵∠AFC＝∠BAF＝∠FAC， ∴2∠FAC＝90°﹣∠AFB，则∠AFB+2∠FAC＝90°，故③错误， 综上，正确的结论有①②④． 故答案为：①②④． 48．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，E，F分别为垂足，则下列四个结论：（1）∠DEF＝∠DFE；（2）AE＝AF；（3）AD平分∠EDF；（4）AD垂直平分EF，其中正确的有 　（1）（2）（3）（4）　．（填序号） 【解答】解：（1）∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC， ∴DE＝DF， ∴∠DEF＝∠DFE；正确； （2）∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC， ∴∠ADE＝∠ADF，ED＝FD， ∴AE＝AF，正确； （3）∵AE＝AF，AD平分∠BAC， ∴AD垂直平分EF，故（4）正确； 由（2）知ED＝FD， ∴AD平分∠EDF； 故（3）正确． 故答案为：（1）（2）（3）（4）． 49．如图，在Rt△BCA中，∠BAC＝90°，∠C＝30°．AD⊥BC垂足为D，BE是△ABC的角平分线分别交AD，AC于点P，E．则下列说法正确的有 　①②④　．（写出所有正确的序号） ①BE＝CE； ②△APE是等边三角形； ③S△ABE＝； ④AP＝2PD． 【解答】解：∵∠BAC＝90°，∠C＝30°， ∴∠ABC＝60°， ∵BE是△ABC的角平分线， ∴∠ABE＝∠EBC＝30°， ∴∠EBC＝∠C， ∴BE＝CE； ∵AD⊥BC垂足为D， ∴∠ADC＝90°， ∴∠DAC＝90°﹣∠C＝60°， ∵AEP＝∠C+∠EBC＝60°， ∴∠APE＝∠AEP＝∠PAE＝60°， ∴△APE是等边三角形； 在Rt△ABE中，∠ABE＝30°， ∴AE＝BE＝EC， ∴S△ABE＝S△BEC， 在Rt△BPD中，∠PBD＝30°， ∴PD＝， ∵∠ABP＝∠BAP＝30°， ∴PA＝PB， ∴PA＝2PD， ∴正确的是①②④． 故答案为：①②④． 50．在△ABC中，已知AB＝AC，∠A＝36°，AB的垂直平分线MN交AC于D．在下列结论中： ①∠C＝72°；②BD是∠ABC的平分线；③∠BDC＝72°；④AD＝BD＝BC．上述结论中，正确的有 　①②③④　．（填写序号） 【解答】解：∵△ABC中，∠A＝36°，AB＝AC， ∴∠ABC＝∠C＝＝72°， 故①正确； ∵DM是AB的垂直平分线， ∴AD＝BD， ∴∠ABD＝∠A＝36°， ∴∠DBC＝∠ABC﹣∠DBC＝72°﹣36°＝36°， ∴BD是∠ABC的平分线， 故②正确； 在△BCD中，∠DBC＝36°，∠C＝72°， ∴∠BDC＝180°﹣（∠DBC+∠C）＝180°﹣（36°+72°）＝72°． 故③正确； ∵DM是AB的垂直平分线， ∴AD＝BD ∵∠BDC＝∠C＝36°， ∴BD＝BC， ∴AD＝BD＝BC，故④正确． 故答案为：①②③④． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$