专题02 相似三角形重要模型之母子型（共边共角模型）-2024-2025学年九年级数学下册常见几何模型全归纳之模型解读与提分精练（人教版）

专题02 相似三角形重要模型之母子型（共边共角模型） 相似三角形是初中几何中的重要的内容，常常与其它知识点结合以综合题的形式呈现，其变化很多，是中考的常考题型。在相似三角形中存在众多的相似模型，其中“母子型”相似模型应用较为广泛，深入理解模型内涵，灵活运用相关结论可以显著提高解题效率，本专题重点讲解相似三角形的“母子”模型。 1 模型1.“母子型”模型（共边共角模型） 1 13 【知识储备】母子型相似证明题一般思路方法: ①由线段乘积相等转化成线段比例式相等； ②分子和分子组成一个三角形、分母和分母组成一个三角形； ③第②步成立，直接从证这两个三角形相似，逆向证明到线段乘积相等； ④第②步不成立，则选择替换掉线段比例式中的个别线段，之后再重复第③步。 模型1.“母子型”模型（共边共角模型） “母子”模型的图形（通常有一个公共顶点和另外一个不是公共的顶点，由于小三角形寓于大三角形中，恰似子依母怀），也是有一个“公共角”，再有一个角相等或夹这个公共角的两边对应成比例就可以判定这两个三角形相似。 图1 图2 图3 图4 1）“母子”模型（斜射影模型） 条件：如图1，∠C=∠ABD； 结论：△ABD∽△ACB，AB2＝AD·AC. 证明：∵∠C=∠ABD，∠DAB=∠BAC，∴△ADB∽△BAC，∴，∴AB2＝AD·AC. 2）双垂直模型（射影模型） 条件：如图2，∠ACB=90o，CD⊥AB； 结论：△ACD∽△ABC∽△CBD；CA2＝AD·AB，BC2＝BD·BA，CD2＝DA·DB. 证明：∵∠ACB=90o，CD⊥AB，∴∠A+∠ACD=90°，∠A+∠B=90°，∴∠B=∠ACD， ∵∠A=∠A，∴△ACD∽△ABC，∴，∴AC2＝AD·AB. 同理可证：BC2＝BD·BA，CD2＝DA·DB. 3）“母子”模型（变形） 条件：如图3，∠D=∠CAE，AB=AC； 结论：△ABD∽△ECA； 证明：∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，∴∠DBA=∠ACE，∵∠D=∠CAE，∴△ABD∽△ECA 4）共边模型 条件：如图1，在四边形中，对角线平分，，结论：； 证明：∵对角线平分，∴∠ABD=∠CBC， ∵，∴△ADB∽△DCB，∴，∴ 例1．（2024·山西吕梁·九年级校考阶段练习）如图，在中，是边上的一点，当 时，．    【答案】 【分析】根据相似三角形的性质进行求解即可． 【详解】解：∵，∴，即，∴， ∴当时，，故答案为：． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质，熟知相似三角形对应边成比例是解题的关键． 例2．（2024·陕西汉中·九年级期末）如图，是等腰直角斜边的中线，以点为顶点的绕点旋转，角的两边分别与、的延长线相交，交点分别为点、，与交于点，与交于点，且．(1)如图1，若，求证：；(2)如图2，若，求证：；(3)如图2，过作于点，若，，求的长． 【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析；(3)． 【分析】（1）由题意可得∠BCD=∠ACD=45°，∠BCE=∠ACF= 90°，从而可得∠DCE=∠DCF = 135°，于是可证得，则有DE= DF；（2）结合（1）可求得∠CDF +∠F= 45°从而可得∠F =∠CDE，则，利用相似三角形的性质即可求解；（3）由DG⊥BC，∠ACB=90°，∠BCD=∠ACD=45°，结合（2）可求得CE = 2，从而可求得CG= DG=，可证得，从而可求得GN =，再利用勾股定理即可求得DN． （1）证明∶∵∠ACB=90°，AC= BC，CD是中线， ∴∠BCD=∠ACD=45°，∠BCE=∠ACF= 90°，∴∠DCE=∠DCF= 135° ∵在△DCE与△DCF中， ，∴，∴DE= DF； （2）证明∶∵∠DCE= ∠DCF= 135°∴∠CDF+∠F=180°-135°=45°， ∵∠CDF +∠CDE=45°，∴∠F=∠CDE， ∴ ，∴，即； （3）解：如图， ∵DG⊥BC，∠ACB=90°，∠BCD=∠ACD=45°， ∴∠DGN=∠ECN=90°， ∠GCD=∠CDG=45°，∴CG= DG 当CD=2，CF=时，由可得，CE=2， 在Rt△DCG中， ∵∠ECN =∠DGN，∠ENC=∠DNG，∴， ∴，∴， ∴． 【点睛】本题主要考查全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质以及勾股定理，作出适当的辅助线，并熟记相似三角形的判定条件与性质是解题的关键． 例3．（22-23八年级下·辽宁锦州·期末）如图，在中，于点，，若，，则的长为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】延长到，使得．证明，推出，再证明，利用相似三角形的性质求解即可． 【详解】解：如图，延长到，使得．    ，， ，， ，， ，，， ，，，， ，即，．故选：B． 【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题，属于中考常考题型． 例4．（2024.浙江中考模拟预测）如图，在ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB． （1）图1中共有　 　对相似三角形，写出来分别为　 （不需证明）： （2）已知AB＝5，AC＝4，请你求出CD的长： （3）在（2）的情况下，如果以AB为x轴，CD为y轴，点D为坐标原点O，建立直角坐标系（如图2），若点P从C点出发，以每秒1个单位的速度沿线段CB运动，点Q出B点出发，以每秒1个单位的速度沿线段BA运动，其中一点最先到达线段的端点时，两点即刻同时停止运动；设运动时间为t秒是否存在点P，使以点B、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）3，ABC∽ACD，ABC∽CBD，ACD∽CBD；（2）； （3）存在，(，)，(，) 【分析】（1）根据两角对应相等的两三角形相似即可得到3对相似三角形，分别为：△ABC∽△ACD，△ABC∽△CBD，△ACD∽△CBD．（2）先在△ABC中由勾股定理求出BC的长，再根据△ABC的面积不变得到AB•CD＝AC•BC，即可求出CD的长．（3）由于∠B公共，所以以点B、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似时，分两种情况进行讨论：①△PQB∽△ACB；②△QPB∽△ACB． 【详解】解：（1）图1中共有3对相似三角形，分别为：△ABC∽△ACD，△ABC∽△CBD，△ACD∽△CBD． 证明：∵CD⊥AB，∴∠ADC=∠ACB=90°， 又∵∠A=∠A，∴△ADC∽△ACB 同理可证：△ABC∽△CBD，△ACD∽△CBD． 故答案为：3；△ABC∽△ACD，△ABC∽△CBD，△ACD∽△CBD． （2）如图2中，在△ABC中，∵∠ACB＝90°，AB＝5，AC＝4， ∴BC＝＝＝3． ∵△ABC的面积＝AB•CD＝AC•BC，∴CD＝＝． （3）存在点P，使以点B、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似，理由如下： 在△BOC中，∵∠COB＝90°，BC＝3，OC＝，∴OB＝． 分两种情况：①当∠BQP＝90°时，如图2①，此时△PQB∽△ACB， ∴＝，∴，解得t＝，即，∴． 在△BPQ中，由勾股定理，得，∴点P的坐标为； ②当∠BPQ＝90°时，如图2②，此时△QPB∽△ACB，∴，∴， 解得t＝，即， 过点P作PE⊥x轴于点E．∵△QPB∽△ACB，∴，即，∴PE＝． 在△BPE中，， ∴，∴点P的坐标为， 综上可得，点P的坐标为(，)；(，)． 【点睛】本题属于相似形综合题，考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型． 例5．（2023·山东淄博·九年级统考期末）如图，已知，点，在边上，连接，，使，且．(1)请判定的形状，并说明理由；(2)若，，求的面积．    【答案】(1)是等边三角形，理由见解析(2) 【分析】（1）根据相似三角形的性质得出，然后根据邻补角得出，进而即可得出结论；（2）根据相似三角形的性质即可求解． 【详解】（1）解：是等边三角形，理由如下， ∵，∴， ∴，∴是等边三角形， （2）解：∵是等边三角形，设等边三角形的边长为， ∵， ∴，又∵，，∴，解得：（负值舍去）， 如图所示，过点，作于点，    ∴，∴， ∴的面积为 【点睛】本题考查了相似三角形的性质，勾股定理，等边三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键． 例6．（2024·广东深圳·九年级校考期中）【基础巩固】 （1）如图1，在四边形中，对角线平分，，求证：； 【尝试应用】（2）如图2，四边形为平行四边形，在边上，，点在延长线上，连结，，，若，，，求的长； 【拓展提高】（3）如图3，在中，是上一点，连结，点，分别在，上，连结，，，若，，，，，求的值．          【答案】（1）见解析；（2）；（3） 【分析】（1）根据角平分线的定义及相似三角形的判定可知，再根据相似三角形的性质即可解答；（2）根据平行四边形的性质及相似三角形的判定可知，再根据相似三角形的性质即可解答；（3）根据平行线的性质可知即相似三角形的判定可知，再根据相似三角形的性质即可解答． 【详解】（1）证明：∵平分，∴， ∵，∴，∴，∴； （2）解：∵四边形为平行四边形， ∴，，∴，， ∵，∴，∴， ∵，，∴，∴， ∴，即，解得：，∴； （3）过点作交的延长线于点， ∵，， ∴，， ∵，∴，∴， ∵，∴，∵， ∴，∴，∴， ∵，∴，∵，∴， ∵，∴，∵，∴，∴．    【点睛】本题考查了相似三角形的性质，平行四边形的性质，平行线的性质，掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 例7．（23-24九年级上·河南·期末）三角形的布洛卡点（）是法国数学家和数学教育家克洛尔（1780﹣1855）于1816年首次发现，但他的发现并未被当时的人们所注意．1875年布洛卡点被一个数学爱好者法国军官布洛卡（1845﹣1922）重新发现，并用他的名字命名，如图1，若内一点满足，则点是的布洛卡点，是布洛卡角． (1)如图2，点为等边三角形的布洛卡点，则布洛卡角的度数是 　；、、的数量关系是 　　； (2)如图3，点为等腰直角三角形（其中的布洛卡点，且． ①请找出图中的一对相似三角形，并给出证明； ②将绕点逆时针旋转，得到四边形，若的面积为，求四边形的面积． 【答案】(1)，(2)①结论：．证明见解析部分；② 【分析】（1）证明，推出，同法可证，推出，从而，即可解决问题； （2）①由是等腰直角三角形，，即可得，而，故； ②过作交的延长线于，设，由，知是等腰直角三角形，即得，而，即可得，，，故，，，可得，即可求出，从而得到四边形的面积为． 【详解】（1）解：如图所示： 是等边三角形，，， ，， ，，同法可证，， ，故答案为：，； （2）解：①结论：．理由如下：如图所示： 是等腰直角三角形，，，， ，，即，，； ②过作交的延长线于，如图所示：设． ，而， 是等腰直角三角形，，由①知：， ，即，， ，，，， ，， ， 的面积为，，解得或（舍去）， ，∴四边形的面积为1.5． 【点睛】本题考查相似三角形综合题、等边三角形的性质、等腰直角三角形的性质、相似三角形的判定和性质、三角形的面积等知识，解题关键是准确寻找相似三角形，学会利用参数解决问题，属于中考压轴题． 例8．（2024·四川广元·中考真题）数学实验，能增加学习数学的乐趣，还能经历知识“再创造”的过程，更是培养动手能力，创新能力的一种手段．小强在学习《相似》一章中对“直角三角形斜边上作高”这一基本图形（如图1）产生了如下问题，请同学们帮他解决． 在中，点为边上一点，连接． (1)初步探究：如图2，若，求证：； (2)尝试应用：如图3，在（1）的条件下，若点为中点，，求的长； (3)创新提升：如图4，点为中点，连接，若，，，求的长． 【答案】(1)证明见解析(2)(3) 【分析】（1）根据题意，由，，利用两个三角形相似的判定定理即可得到，再由相似性质即可得证；（2）设，由（1）中相似，代值求解得到，从而根据与的相似比为求解即可得到答案； （3）过点作的平行线交的延长线于点，如图1所示，设，过点作于点，如图2所示，利用含的直角三角形性质及勾股定理即可得到相关角度与线段长，再由三角形相似的判定与性质得到，代值求解即可得到答案． 【详解】（1）证明：∵，， ∴，∴，∴； （2）解：∵点为中点，∴设， 由（1）知，∴， ∴，∴与的相似比为，∴，∵∴； （3）解：过点作的平行线交的延长线于点，过作，如图1所示： ∵点为中点，∴设，∵，∴，， 在中，，则由勾股定理可得， 过点作于点，如图2所示： ∴，∴，∴，∴，，∴，∴， ∵，点为中点，∴，，， 又∵，∴，，∴， 又∵，∴，，∴，即，∴，∴． 【点睛】本题考查几何综合，涉及相似三角形的判定与性质、含的直角三角形性质、勾股定理等知识，熟练掌握三角形相似的判定与性质是解决问题的关键． 1．（2023秋·北京延庆·九年级统考期中）如图，点是的边上一点，要使得与相似，添加一个条件，不正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用相似三角形的判定方法依次判断可求解． 【详解】解：若，则，故选项A不合题意； 若，则，故选项B不合题意； 若，则，故选项C不合题意； 若，不能证明，故选项D符合题意；故选：D． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，证明三角形相似是解题的关键． 2．（2023春·浙江台州·九年级校考阶段练习）如图，在中，，过点C作于点D，点M为线段的中点，连接，过点D作于点E．设，，则图中可以表示为的线段是（　　）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】证明，根据相似三角形的性质得，则，再证明，可得出，则，由点M为线段的中点，得，即可得出． 【详解】解：∵，∴， ∵，∴，∴， ∴，∴，∴， 同理得，∴，∴， ∵点M为线段的中点，∴，∴．故选：B． 【点睛】本题主要考查相似三角形的判定及性质，直角三角形性质等知识点，熟练掌握这些知识点是解题的关键． 3．（2024·上海青浦·九年级校考阶段练习）如图，中，，、在边上，（在的左边）且是边长为6的等边三角形，则 ． 【答案】9或4 【分析】先根据等边三角形的性质及三角形的内角和定理得出，即可证明，再根据相似三角形的性质得出，求解即可． 【详解】∵是边长为6的等边三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得或4， 故答案为：9或4． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，解一元二次方程，等边三角形的性质，熟练掌握知识点是解题的关键． 4．（2023秋·山东聊城·九年级校联考阶段练习）如图，，则 ．    【答案】 【分析】根据图形可知，利用相似性质得到，代值求解即可得到答案． 【详解】解：，， ， ， ， ，即，解得或（负值舍去）， 故答案为：． 【点睛】本题考查相似求线段长，熟记相似三角形的判定定理，掌握三角形相似的性质是解决问题的关键． 5．（2023秋·上海普陀·九年级校考阶段练习）如图，等腰梯形中，，，点在边上，与交于点，且．    (1)求证： ； (2)求证： ． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）证明，即可求证； （2）先证明，可得，从而得到，进而证明，可得，再由，即可求证． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵等腰梯形中，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 6．（2024·江苏无锡·九年级统考期中）如图，在中，点为上一点，且满足.    (1)求证：； (2)当，时，求的长. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据两角分别相等的两个三角形相似即可证明； （2）先根据相似三角形性质求出，再根据即可求出的长． 【详解】（1）证明：∵，， ∴． （2）解：∵， ∴， ∵，， ∴， 解得：， ∴． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判断方法是解题的关键． 7．（2023秋·安徽六安·九年级统考期中）如图，在中，点是上一点，且，，，．求的长．    【答案】 【分析】根据“对应边成比例，对应边的夹角相等” 可判定两个三角形相似，再根据相似三角形的性质即可求解． 【详解】证明：∵，，，， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， ∴． 【点睛】本题主要考查相似三角形的判定和性质，掌握以上知识是解题的关键． 8．（2023秋·吉林长春·九年级校考阶段练习）如图，在中，，于点．    (1)求证： ； (2)若 ， ，则 的长为__________． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据三角形高的定义得出，根据等角的余角相等，得出，结合公共角，即可得证； （2）根据（1）的结论，利用相似三角形的性质即可求解． 【详解】（1）证明：∵是斜边上的高． ∴， ∴， ∴ 又∵ ∴， （2）∵ ∴， 又 ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键． 9．（2022·上海·九年级专题练习）已知：如图所示，中，CD⊥AB，，BD=1，AD=4，求AC的长． 【答案】 【分析】根据题意由锐角三角函数可求∠A=∠BCD，可证△ACD∽△CBD，即可求CD的长，由勾股定理即可求出AC的长． 【详解】解：∵CD⊥AB， ∴且， ∴sin∠A=sin∠BCD， ∴∠A=∠BCD，且∠ADC=∠BDC=90°， ∴△ACD∽△CBD ∴， ∴CD2=BD•AD=4 ∴CD=2， ∴． 【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质以及锐角三角函数的定义，根据题意求出CD的长是解答本题的关键． 10．（2024·甘肃酒泉·九年级统考期末）已知：如图，在中，D是AC上一点，连接BD，且∠ABD =∠ACB． （1）求证：△ABD∽△ACB； （2）若AD=5，AB= 7，求AC的长. 【答案】(1)见详解；（2） 【详解】（1）证明：∵∠A=∠A,∠ABD =∠ACB, ∴△ABD∽△ACB. （2）解: ∵△ABD∽△ACB， ∴， ∴， ∴ 11．（2024·福建漳州·九年级校联考期中）如图，在△ABC中，D是BC上的点，E是AD上一点，且，∠BAD＝∠ECA． （1）求证：AC2＝BC•CD； （2）若AD是△ABC的中线，求的值． 【答案】（1）证明见解析；（2） 【分析】（1）首先利用相似三角形的判定得出，得，进而求出，再利用相似三角形的性质得出答案即可； （2）由可证，进而得出，再由（1）可证，由此即可得出线段之间关系． 【详解】（1）证明：，， ， ， ， ， ， ． （2）解：， ， ， ， AD是△ABC的中线， ， ，即：， ∴． 【点睛】此题主要考查了相似三角形的判定与性质以及重心的性质等知识，根据已知得出是解题关键． 12．（2023秋·上海·九年级校考阶段练习）如图，在中，，，垂足为点是的中点，的延长线与的延长线交于点． (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据直角三角形，斜边上的中线等于斜边的一半得出，可得进而证明，即可证明，根据相似三角形的性质，即可得证； （2）证明可得，由（1）可得，进而即可得证． 【详解】（1）证明：∵，是的中点， ∴，， ∴， 又， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； （2）证明：∵， ∴ 又∵， ∴ ∴ ∴ ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∴， 【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键． 13．（2023秋·陕西西安·九年级校考阶段练习）如图，矩形的对角线交于点O，过D作交的延长线于点F，的延长线交于点E．    (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据矩形的性质得到，，，既可以推出，再根据公共角证明结论即可； （2）根据相似三角形的性质可以得到，即可以求出，设则在中利用勾股定理即可解题． 【详解】（1）解：∵是矩形，， ∴，，， ∴，， ∴， 又∵， ∴， （2）解：∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 设则 在中，，即， 解得：或（舍去）， ∴． 【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，勾股定理，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键． 14．（2023·湖北·校考一模）（1）如图1，在中，D为AC边上一点，，求证：；    （2）如图2，在平行四边形ABCD中，点E为BC边的中点，点F在AB边上，且，，，求DE的长；    （3）如图3，在正方形ABCD中，点F在AB边上，点E为正方形ABCD外一点，，，．请直按写出的值．    【答案】（1）见解析；（2）；（3）的值为 【分析】（1）根据两角对应相等的两个三角形相似证出，再根据相似三角形的性质即可证明； （2）延长与的延长线相交于点，先证明，得到，再证明，所以，，，，代入到前面得到的比例式，即，从而得解； （3）设正方形边长，，根据已知得是等腰直角三角形，所以，，，，再证明，得到，用含、的式子代入，解得的值（含，再代入到中即可求解． 【详解】（1）证明：在与中， ，， ， ， ； （2）如图：延长与的延长线相交于点，    ，， ， 在中，， ， ， 在与中， ，， ， ， 点是边上的中点， ， 在与中， ，，， ， ，，， ， ，即， ， ； （3）如图3，设正方形边长，则，    ， ， 设交于，设， ，， 是等腰直角三角形，，，，， ，，即， ， 又， ， ， ， 又， ， ， ， ， 解得：，此时，舍去； ， ． 【点睛】本题属于四边形综合题，考查全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质，解题关键是熟练掌握和运用以上知识点． 15．（2023·绵阳市·九年级专题练习）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D为AB上一点． （1）如图1，若CD⊥AB，求证：AC2=AD·AB； （2）如图2，若AC=BC，EF⊥CD交CD于H，交AC于F，且，求的值； （3）如图3，若AC=BC，点H在CD上，∠AHD=45°，CH=3DH，则tan∠ACH的值为________． 【答案】（1）见解析；（2）；（3） 【分析】（1）证出，证明∽，得出，即可得出结论； （2）设，则（），同（1）得，则，在中，，过作于，易证，求出，再由平行线分线段成比例定理即可得出答案； （3）过点作于，设，则（），，证明∽，得出，，求出，证明是等腰直角三角形，得出，由勾股定理得出，由三角函数定义即可得出答案． 【详解】（1）证明：∵，∴， ∵， ∴， ∴， ∴∽， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴设，则（）， ∵，， 同（1）得：， ∴， 在中，， 过作于，如图2所示： 则， 在中，， ∵，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）解：过点作于，如图3所示： ∵， ∴设，则（）， ∴， ∵，， ∴， ∴ 又∵， ∴∽， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 【点睛】本题是相似形综合题,主要考查了相似三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、直角三角形的性质、三角函数定义、平行线分线段成比例定理等知识；熟练掌握等腰直角三角形的判定与性质,证明三角形相似是解题的关键。 16．（2024·江苏·九年级专题练习）（1）如图1，在中，为上一点，．求证：． （2）如图2，在中，是上一点，连接，．已知，，．求证：． （3）如图3，四边形内接于，、相交于点．已知的半径为2，，，，求四边形的面积． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3） 【分析】（1）由化比例，与，可证∽即可； （2）由，可得，AD=BC，根据线段比值计算，，可得，由∠EAC=∠CAB，可证∽即可； （3）连接交于点，连接，根据，，可得AC=2AE，根据线段比值计算可得，由∠BAC=∠EAB，可证∽，可证∠ABD=∠ADB，可得BF=DF，根据勾股定理OF=，可求，可证，，可得S△BCD= 即可． 【详解】（1）证明：如图1， ∵， ∴， 又∵， ∴∽， ∴． （2）证明：如图2，∵， ∴，AD=BC， ∵，，， ∴， ∴，， ∴， ∵∠EAC=∠CAB， ∴∽， ∴，即， ∴． ∴； （3）解：如图3，连接OA交于点，连接， ∵，， ∴AC=2AE， ∴，， ∴， ∵∠BAC=∠EAB， ∴∽， ∴， ∵∠ADB=∠ACB， ∴∠ABD=∠ADB， ∴点A是弧的中点，BD为弦，OA为半径， ∴，BF=DF， ∵，， ∴BF=DF= ， 在Rt△OBF中， 根据勾股定理OF=， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴S△BCD=S△BCE+S△DCE=， ∴． 【点睛】本题考查三角形相似判定与性质，垂径定理，勾股定理，与三角形高有关的计算，掌握三角形相似判定与性质，垂径定理，勾股定理，与三角形高有关的计算是解题关键． 17．（2024·安徽安庆·九年级校考阶段练习）在△ABC中，∠ABC＝2∠ACB，BD平分∠ABC交AC于点D． （1）如图（1），若AB＝3，AC＝5，求AD的长； （2）如图（2），过点A分别作AC，BD的垂线，分别交BC，BD于点E，F． ①求证：∠ABC＝∠EAF； ②求的值． 【答案】（1）AD＝；（2）①见解析；②． 【分析】（1）根据∠ABC＝2∠ACB，BD平分∠ABC，易得△ABD∽△ACB，利用相似三角形对应边成比例即可求解. （2）①根据AE⊥AC，AF⊥BD，∠ABF＝∠C，易得△ABF∽△ECA，即可证得；②取CE的中点M，连接AM，在Rt△ACE中，AM＝CE，∠AME＝2∠C，由已知条件易得. 【详解】（1）∵∠ABC＝2∠ACB，BD平分∠ABC ∴∠ABD＝∠ACB. 又∠A＝∠A， ∴△ABD∽△ACB， ∴，即 ∴AD＝ （2）①证明：∵AE⊥AC，AF⊥BD， ∴∠AFB＝∠EAC＝90°. 又∵∠ABF＝∠C， ∴△ABF∽△ECA， ∴∠BAF＝∠CEA. ∵∠BAF＝∠BAE＋∠EAF，∠AEC＝∠ABC＋∠BAE， ∴∠ABC＝∠EAP. ②如图，取CE的中点M，连接AM. 在Rt△ACE中，AM＝CE，∠AME＝2∠C. ∵∠ABC＝2∠C， ∴∠ABC＝∠AME， ∴AM＝AB， ∴． 【点睛】此题主要考查相似三角形的判定与性质，熟练证明三角形相似及利用相似三角形的性质求对应边、对应角是解题关键. 18．（2024·安徽·统考一模）如图，已知中，，是边的中点，是边上一动点，与相交于点． （1）如果，，且为的中点，求线段的长； （2）连接，如果，且，，求的值； （3）连接，如果，且，，求线段的长．        【答案】（1）；（2）；（3）． 【分析】（1）根据已知条件得到CP=4，求得BP=2，根据三角形重心的性质即可得到结论； （2）如图1，过点B作BF∥CA交CD的延长线于点F，根据平行线分线段成比例定理得到，求得，设CP=k，则PA=3k，得到PA=PB=3k根据三角函数的定义即可得到结论； （3）根据直角三角形的性质得到CD=BD=AB，推出△PBD∽△ABP，根据相似三角形的性质得到∠BPD=∠A，推出△DPE∽△DCP，根据相似三角形的性质即可得到结论． 【详解】解：（1）∵为的中点，， ∴ ∵，， ∴ ∵是边的中点，为的中点， ∴点是的重心 ∴ （2）过点作交的延长线于点 ∴ ∵，∴， ∵，，则，∴ ∴ ∴， ∴， 设，则 ∵，是边的中点，∴ ∴，∴，∵ ∴ （3）∵，是边的中点 ∴ ∵ ∴ ∵，∴ ∴ ∵，∴，∵， ，∴ ∵，，∴ 【点睛】此题考查相似三角形的判定和性质，直角三角形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 相似三角形重要模型之母子型（共边共角模型） 相似三角形是初中几何中的重要的内容，常常与其它知识点结合以综合题的形式呈现，其变化很多，是中考的常考题型。在相似三角形中存在众多的相似模型，其中“母子型”相似模型应用较为广泛，深入理解模型内涵，灵活运用相关结论可以显著提高解题效率，本专题重点讲解相似三角形的“母子”模型。 1 模型1.“母子型”模型（共边共角模型） 1 13 【知识储备】母子型相似证明题一般思路方法: ①由线段乘积相等转化成线段比例式相等； ②分子和分子组成一个三角形、分母和分母组成一个三角形； ③第②步成立，直接从证这两个三角形相似，逆向证明到线段乘积相等； ④第②步不成立，则选择替换掉线段比例式中的个别线段，之后再重复第③步。 模型1.“母子型”模型（共边共角模型） “母子”模型的图形（通常有一个公共顶点和另外一个不是公共的顶点，由于小三角形寓于大三角形中，恰似子依母怀），也是有一个“公共角”，再有一个角相等或夹这个公共角的两边对应成比例就可以判定这两个三角形相似。 图1 图2 图3 图4 1）“母子”模型（斜射影模型） 条件：如图1，∠C=∠ABD； 结论：△ABD∽△ACB，AB2＝AD·AC. 证明：∵∠C=∠ABD，∠DAB=∠BAC，∴△ADB∽△BAC，∴，∴AB2＝AD·AC. 2）双垂直模型（射影模型） 条件：如图2，∠ACB=90o，CD⊥AB； 结论：△ACD∽△ABC∽△CBD；CA2＝AD·AB，BC2＝BD·BA，CD2＝DA·DB. 证明：∵∠ACB=90o，CD⊥AB，∴∠A+∠ACD=90°，∠A+∠B=90°，∴∠B=∠ACD， ∵∠A=∠A，∴△ACD∽△ABC，∴，∴AC2＝AD·AB. 同理可证：BC2＝BD·BA，CD2＝DA·DB. 3）“母子”模型（变形） 条件：如图3，∠D=∠CAE，AB=AC； 结论：△ABD∽△ECA； 证明：∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，∴∠DBA=∠ACE，∵∠D=∠CAE，∴△ABD∽△ECA 4）共边模型 条件：如图1，在四边形中，对角线平分，，结论：； 证明：∵对角线平分，∴∠ABD=∠CBC， ∵，∴△ADB∽△DCB，∴，∴ 例1．（2024·山西吕梁·九年级校考阶段练习）如图，在中，是边上的一点，当 时，．    例2．（2024·陕西汉中·九年级期末）如图，是等腰直角斜边的中线，以点为顶点的绕点旋转，角的两边分别与、的延长线相交，交点分别为点、，与交于点，与交于点，且．(1)如图1，若，求证：；(2)如图2，若，求证：；(3)如图2，过作于点，若，，求的长． 例3．（22-23八年级下·辽宁锦州·期末）如图，在中，于点，，若，，则的长为（    ）    A． B． C． D． 例4．（2024.浙江中考模拟预测）如图，在ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB． （1）图1中共有　 　对相似三角形，写出来分别为　 （不需证明）： （2）已知AB＝5，AC＝4，请你求出CD的长： （3）在（2）的情况下，如果以AB为x轴，CD为y轴，点D为坐标原点O，建立直角坐标系（如图2），若点P从C点出发，以每秒1个单位的速度沿线段CB运动，点Q出B点出发，以每秒1个单位的速度沿线段BA运动，其中一点最先到达线段的端点时，两点即刻同时停止运动；设运动时间为t秒是否存在点P，使以点B、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 例5．（2023·山东淄博·九年级统考期末）如图，已知，点，在边上，连接，，使，且．(1)请判定的形状，并说明理由；(2)若，，求的面积．    例6．（2024·广东深圳·九年级校考期中）【基础巩固】 （1）如图1，在四边形中，对角线平分，，求证：； 【尝试应用】（2）如图2，四边形为平行四边形，在边上，，点在延长线上，连结，，，若，，，求的长； 【拓展提高】（3）如图3，在中，是上一点，连结，点，分别在，上，连结，，，若，，，，，求的值．          例7．（23-24九年级上·河南·期末）三角形的布洛卡点（）是法国数学家和数学教育家克洛尔（1780﹣1855）于1816年首次发现，但他的发现并未被当时的人们所注意．1875年布洛卡点被一个数学爱好者法国军官布洛卡（1845﹣1922）重新发现，并用他的名字命名，如图1，若内一点满足，则点是的布洛卡点，是布洛卡角． (1)如图2，点为等边三角形的布洛卡点，则布洛卡角的度数是 　；、、的数量关系是 　　； (2)如图3，点为等腰直角三角形（其中的布洛卡点，且． ①请找出图中的一对相似三角形，并给出证明； ②将绕点逆时针旋转，得到四边形，若的面积为，求四边形的面积． 例8．（2024·四川广元·中考真题）数学实验，能增加学习数学的乐趣，还能经历知识“再创造”的过程，更是培养动手能力，创新能力的一种手段．小强在学习《相似》一章中对“直角三角形斜边上作高”这一基本图形（如图1）产生了如下问题，请同学们帮他解决． 在中，点为边上一点，连接． (1)初步探究：如图2，若，求证：； (2)尝试应用：如图3，在（1）的条件下，若点为中点，，求的长； (3)创新提升：如图4，点为中点，连接，若，，，求的长． 1．（2023秋·北京延庆·九年级统考期中）如图，点是的边上一点，要使得与相似，添加一个条件，不正确的是（　　） A． B． C． D． 2．（2023春·浙江台州·九年级校考阶段练习）如图，在中，，过点C作于点D，点M为线段的中点，连接，过点D作于点E．设，，则图中可以表示为的线段是（　　）    A． B． C． D． 3．（2024·上海青浦·九年级校考阶段练习）如图，中，，、在边上，（在的左边）且是边长为6的等边三角形，则 ． 4．（2023秋·山东聊城·九年级校联考阶段练习）如图，，则 ．    5．（2023秋·上海普陀·九年级校考阶段练习）如图，等腰梯形中，，，点在边上，与交于点，且．(1)求证：；(2)求证：．    6．（2024·江苏无锡·九年级统考期中）如图，在中，点为上一点，且满足. (1)求证：；(2)当，时，求的长.    7．（2023秋·安徽六安·九年级统考期中）如图，在中，点是上一点，且，，，．求的长．    8．（2023秋·吉林长春·九年级校考阶段练习）如图，在中，，于点．    (1)求证： ； (2)若 ， ，则 的长为__________． 9．（2022·上海·九年级专题练习）已知：如图所示，中，CD⊥AB，，BD=1，AD=4，求AC的长． 10．（2024·甘肃酒泉·九年级统考期末）已知：如图，在中，D是AC上一点，连接BD，且∠ABD =∠ACB． （1）求证：△ABD∽△ACB；（2）若AD=5，AB= 7，求AC的长. 11．（2024·福建漳州·九年级校联考期中）如图，在△ABC中，D是BC上的点，E是AD上一点，且，∠BAD＝∠ECA．（1）求证：AC2＝BC•CD；（2）若AD是△ABC的中线，求的值． 12．（2023秋·上海·九年级校考阶段练习）如图，在中，，，垂足为点是的中点，的延长线与的延长线交于点．(1)求证：；(2)求证：． 13．（2023·陕西·九年级校考阶段练习）如图，矩形的对角线交于点O，过D作交的延长线于点F，的延长线交于点E．(1)求证：；(2)若，求  的长． 14．（2023·湖北·校考一模）（1）如图1，在中，D为AC边上一点，，求证：； （2）如图2，在平行四边形ABCD中，点E为BC边的中点，点F在AB边上，且，，，求DE的长；（3）如图3，在正方形ABCD中，点F在AB边上，点E为正方形ABCD外一点，，，．请直按写出的值．        15．（2023·绵阳市·九年级专题练习）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D为AB上一点． （1）如图1，若CD⊥AB，求证：AC2=AD·AB； （2）如图2，若AC=BC，EF⊥CD交CD于H，交AC于F，且，求的值； （3）如图3，若AC=BC，点H在CD上，∠AHD=45°，CH=3DH，则tan∠ACH的值为________． 16．（2024·江苏·九年级专题练习）（1）如图1，在中，为上一点，．求证：． （2）如图2，在中，是上一点，连接，．已知，，．求证：． （3）如图3，四边形内接于，、相交于点．已知的半径为2，，，，求四边形的面积． 17．（2024·安徽安庆·九年级校考阶段练习）在△ABC中，∠ABC＝2∠ACB，BD平分∠ABC交AC于点D． （1）如图（1），若AB＝3，AC＝5，求AD的长；（2）如图（2），过点A分别作AC，BD的垂线，分别交BC，BD于点E，F．①求证：∠ABC＝∠EAF；②求的值． 18．（2024·安徽·统考一模）如图，已知中，，是边的中点，是边上一动点，与相交于点．（1）如果，，且为的中点，求线段的长； （2）连接，如果，且，，求的值； （3）连接，如果，且，，求线段的长．        原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！3 学科网（北京）股份有限公司 $$