4.1 相交线（3个知识点+7类热点题型讲练+强化训练）-【帮课堂】2024-2025学年七年级数学上册同步学与练（华东师大版2024）

4.1相交线 课程标准 学习目标 1 了解两直线相交所成的角的位置和大小关系，理解邻补角和对顶角概念，掌握对顶角的性质； ②理解垂直作为两条直线相交的特殊情形，掌握垂直的定义及性质； ③理解点到直线的距离的概念，并会度量点到直线的距离； ④能依据对顶角、邻补角及垂直的概念与性质，进行简单的计算. 1.了解相交线和对顶角的概念. 2.理解对顶角相等. 3.会利用余角、补角和对顶角的性质进行有关角的计算. 4.解垂线的概念，会用符号表示两条直线互相垂直，会用三角尺或量角器过已知点画已知直线的垂线. 5.了解“过一点有一条而且仅有一条直线和已知直线垂直” 6.了解“垂线段最短”的性质，理解点到直线的距离的概念. 知识点01邻补角与对顶角 1．邻补角： 如果两个角有一条公共边，并且它们的另一边互为反向延长线，那么具有这种关系的两个角叫做互为邻补角． 注意： (1)邻补角的定义既包含了位置关系，又包含了数量关系：“邻”指的是位置相邻，“补”指的是两个角的和为180°． (2)邻补角是成对出现的，而且是“互为”邻补角． (3)互为邻补角的两个角一定互补，但互补的两个角不一定互为邻补角． (4)邻补角满足的条件：①有公共顶点；②有一条公共边；另一边互为反向延长线. 2. 对顶角及性质： （1）定义：由两条直线相交构成的四个角中，有公共顶点没有公共边(相对)的两个角，互为对顶角． （2）性质：对顶角相等． 注意： (1)由定义可知只有两条直线相交时，才能产生对顶角． (2)对顶角满足的条件：①相等的两个角；②有公共顶点且一角的两边是另一角两边的反向延长线. 3. 邻补角与对顶角的关系 角的名称 特 征 性 质 相 同 点 不 同 点 对顶角 1 条直线相交形成的角； ②有一个公共顶点； 1 有公共边. 对顶角相等. ①都是两条直线相交而成的角； ②都有一个公共顶点； ③都是成对出现的. ①有无公共边； ②两直线相交时，对顶角只有2对；邻补角有4对. 邻补角 1 条直线相交而成； 2 一个公共顶点； 3 一条公共边. 邻补角互补. 注意：两直线相交，一个角的对顶角有1个，但一个角与它相等的角有无数个，邻补角最多有2个，而补角则可以有无数个；即对顶角和邻补角，不仅包含数量关系，而且包含位置关系。 【即学即练1】 （21-22七年级下·湖北武汉·阶段练习）如图，直线相交于点O，则的对顶角是_______，的邻补角是_______． 【答案】 和 【分析】对顶角:有公共顶点且两条边都互为反向延长线的两个角称为对顶角.邻补角的定义：两个角有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，叫做邻补角.根据这两个定义求解即可． 【详解】解：的对顶角是； 的邻补角是，； 故答案为：；，． 【点评】此题主要考查了对顶角和邻补角，关键是掌握定义，邻补角有两个，不要漏解． 知识点02 垂线 1．垂线的定义：两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就称这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫垂足．如下图． 【微点拨】 (1)记法：直线a与b垂直，记作：；直线AB和CD垂直于点O，记作：AB⊥CD于点O. (2) 垂直的定义具有二重性，既可以作垂直的判定，又可以作垂直的性质，即有： CD⊥AB． 2．垂线的画法： 过一点画已知直线的垂线，可通过直角三角板来画，具体方法是： ①使直角三角板的一条直角边和已知直线重合； ②沿直线左右移动三角板，使另一条直角边经过已知点； ③沿此直角边画直线，则所画直线就为已知直线的垂线(如图所示)． 【微点拨】 (1)如果过一点画已知射线或线段的垂线时，指的是它所在直线的垂线，垂足可能在射线的反向延长线上，也可能在线段的延长线上． (2)过直线外一点作已知直线的垂线，这点与垂足间的线段为垂线段． 3．垂线的性质： （1）平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直． （2）直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短．简单说成：垂线段最短． 【微点拨】 （1）性质（1）成立的前提是在“同一平面内”，“有”表示存在，“只有”表示唯一，“有且只有”说明了垂线的存在性和唯一性． （2）性质（2）是“垂线段最短．”实际上，连接直线外一点和直线上各点的线段有无数条，但只有一条最短，即垂线段最短．在实际问题中经常应用其“最短性”解决问题． 4．点到直线的距离： 定义：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离． 【微点拨】 (1)点到直线的距离是垂线段的长度，是一个数量，不能说垂线段是距离； （2）求点到直线的距离时，要从已知条件中找出垂线段或画出垂线段，然后计算或度量垂线段的长度． 【即学即练2】 （24-25七年级上·全国·课后作业）如图，直线与直线相交于点O，则下列条件不能判断的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了垂线，对顶角，解答本题的关键是通过条件计算出其中一个角为．根据垂直定义：当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直进行判定即可． 【详解】解：A、是对顶角，对顶角相等，不能判定垂直，故此选项符合题意； B、可以判定两直线垂直，故此选项不符合题意； C、和是邻补角，邻补角的和是，所以可以得到，能判定垂直，故此选项不符合题意； D、和是对顶角，对顶角相等，和又是，所以可得到，故此选项不符合题意； 故选：A． 知识点03 同位角、内错角、同旁内角 1. “三线八角”模型 如图，直线AB、CD与直线EF相交(或者说两条直线AB、CD被第三条直线EF所截)，构成八个角，简称为“三线八角”，如图. 【微点拨】⑴两条直线AB,CD与同一条直线EF相交． ⑵“三线八角”中的每个角是由截线与一条被截线相交而成． 2. 同位角、内错角、同旁内角的定义 在“三线八角”中，如上图1， （1）同位角：像∠1与∠5，这两个角分别在直线AB、CD的同一方，并且都在直线EF的同侧，具有这种位置关系的一对角叫做同位角. （2）内错角：像∠3与∠5，这两个角都在直线AB、CD之间，并且在直线EF的两侧，像这样的一对角叫做内错角. （3）同旁内角：像∠3和∠6都在直线AB、CD之间，并且在直线EF的同一旁，像这样的一对角叫做同旁内角. 【微点拨】 (1)“三线八角”是指上面四个角中的一个角与下面四个角中的一个角之间的关系，显然是没有公共顶点的两个角. (2)“三线八角”中共有4对同位角，2对内错角，2对同旁内角． 3.同位角、内错角、同旁内角位置特征及形状特征 【微点拨】 巧妙识别三线八角的两种方法： (1)巧记口诀来识别： 一看三线，二找截线，三查位置来分辨. (2)借助方位来识别 根据这三种角的位置关系，我们可以在图形中标出方位，判断时依方位来识别，如图． 【即学即练3】 （23-24七年级下·全国·单元测试）如图，直线a，b 被直线c 所截， 与的位置关系是（   ）    A．同位角 B．内错角 C．同旁内角 D．对顶角 【答案】C 【分析】本题考查三线八角．找准截线，确定角的位置关系，是解题的关键． 根据两角在截线的两旁，在两条被截线的内侧，即可得出结论． 【详解】解：∵ 直线a，b 被直线c 所截， 与两个角都在截线c的同侧，且夹在两条被截直线a，b之间 与 是同旁内角．故选：C． 题型01 对顶角的识别 【典例1】（23-24七年级下·全国·单元测试）下列四个图形中，与为对顶角的图形是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了对顶角的定义，有公共顶点，且角的两边互为反向延长线的两个角叫做对顶角，据此求解即可． 【详解】解：根据对顶角的定义可知，只有B选项中的与为对顶角，故选：B． 【变式1】（2024·河北唐山·三模）如图，直线与直线交于点，此时图中有两对对顶角，若过点再画一条不与直线，重合的直线，则新增加的对顶角有（   ） A．2对 B．3对 C．4对 D．5对 【答案】C 【分析】此题考查了对顶角，画出图形，再判断增加的对顶角即可. 【详解】解：如图， 直线c与直线相交得到两对对顶角，直线c与直线b相交得到两对对顶角，共增加了4对对顶角， 故选：C 【变式2】（23-24七年级下·山东菏泽·期中）如图，直线a，b，c，d两两相交，图中共有对顶角（　　） A．9对 B．10对 C．11对 D．12对 【答案】D 【分析】本题考查了对顶角，找出交点的个数与对顶角组数的数量关系是解决此类问题的关键．两条直线相交有一个交点，在交点处有两对对顶角；三条直线交于一点对顶角有六对，根据交点与对顶角的数量关系求解即可． 【详解】解：图中的对顶角有（对），故选D 【变式3】（2024·湖北宜昌·模拟预测）如图，当光线从空气射入水中，会发生折射与反射现象，其中与互为对顶角的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了对顶角，根据对顶角的定义即可求解，掌握对顶角的定义是解题的关键． 【详解】解：由图可得，与互为对顶角的是，故选：． 题型02 与对顶角、邻补角有关的计算 【典例2】（23-24七年级下·全国·单元测试）如图，直线与相交于点，，射线平分，若，则_______． 【答案】 【分析】本题考查了角平分线的定义，对顶角相等，邻补角性质，角度和差，由与是对顶角，则，从而求出，故有，最后根据角平分线的定义和角度和差即可求解，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵与是对顶角， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵ 射线平分， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式1】（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，直线、相交于点，且，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查邻补角和对顶角，熟练掌握领补角和对顶角的性质是解题的关键．利用领补角的性质结合，求出，再利用对顶角即可求解． 【详解】解：∵直线、相交于点， ∴， ∵， ∴， ∴，解得：， ∴， 故选：A． 【变式2】（23-24八年级上·河南南阳·开学考试）如图所示，与相交所成的四个角中，的邻补角是________，的对顶角是_______．    【答案】和 【分析】本题主要考查了邻补角和对顶角的定义，熟练掌握相关定义是解题的关键． 根据邻补角和对顶角的定义即可直接得出答案． 【详解】解：由图形可知，的邻补角是和， 的对顶角是， 故答案为：和，． 【变式3】（24-25七年级上·全国·课后作业）如图，直线相交于点把分成两个角，且与的度数之比是． (1)求的大小． (2)如果平分，那么是的平分线吗？试说明理由． 【答案】(1)；(2)是的角平分线，见解析 【分析】本题主要考查了对顶角的性质、按比例分配、角平分线的定义、角的和差等知识点，灵活运用相关性质成为解题的关键． （1）根据对顶角的性质可得，然后根据角的和差和即可解答； （2）根据角的和差可得，再根据角平分线的定义可得，即，从而解决问题． 【详解】（1）解：∵与为对顶角，且， ∴， 又∵， ∴． （2）解：是的角平分线，理由如下： ∵， ∴． 又∵平分， ∴． ∴， ∴是的角平分线． 题型03 垂线定义的理解 【典例3】（24-25七年级上·全国·课后作业）如图，，垂足为O，直线经过点，则_______． 【答案】40 【分析】本题考查了垂线的定义，对顶角相等，解决本题的关键是熟练掌握对顶角相等的性质，垂线的定义． 利用对顶角相等的性质，垂线的定义计算． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：40． 【变式1】（24-25七年级上·山东滨州·阶段练习）如图，点O在直线上，当与满足_______时，． 【答案】 【分析】本题主要考查了垂直的定义理解，补角的定义，根据当时，则，然后利用补角的定义求出，即可得出答案． 【详解】解：当时，则， ∵， ∴， 即当时，． 故答案为：． 【变式2】（23-24七年级下·黑龙江鹤岗·期末）如图所示，直线，交于点，，平分，则_______． 【答案】 【分析】本题利用垂直的定义，邻补角和角平分线的性质的性质计算，要注意领会由垂直得直角这一要点． 由垂直的定义得到，根据角平分线的定义得到，根据平角的定义即可得到结论． 【详解】解：∵， ， 平分， ， 故答案为：． 【变式3】（23-24七年级下·全国·单元测试）如图，直线、相交于点O，，． (1)写出图中的余角 ； (2)如果，求的度数． 【答案】(1)、、；(2) 【分析】本题主要考查的是垂线、余角的定义、对顶角、邻补角的定义，掌握相关性质是解题的关键． （1）由垂直的定义可知，，从而可知与是的余角，由对顶角的性质从而的得到是的余角； （2）依据同角的余角相等可知，，从而得到平角． 【详解】（1）解：∵，， ∴，． ∴与是的余角． ∵由对顶角相等可知：， ∴． ∴与互为余角． ∴的余角为，，；故答案为：，，． （2）解：∵，°，， ∴． ∴． 题型04 画垂线 【典例4】（21-22七年级下·全国·课后作业）下列各图中，过直线l外一点P画它的垂线，三角板操作正确的是（    ） A．  B．  C．  D．   【答案】D 【分析】根据垂线的作法，用直角三角板的一条直角边与l重合，另一条直角边过点P后沿直角边画直线即可；. 【详解】观察各选项图形，可知D的画法正确；故选D． 【点评】本题主要考查了垂线的作法，准确理解是解题的关键． 【变式1】（23-24七年级下·山东滨州·期末）在平面内，过一点画已知直线的垂线，可画垂线的条数是（   ） A．1 B．2 C．无数 D．不存在 【答案】A 【分析】本题主要考查了垂线的性质，根据垂线的性质解答即可，理解性质是解题的关键．即在平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直． 【详解】在平面内，过一点画已知直线的垂线，可画垂线的条数是， 故选：． 【变式2】（23-24七年级下·云南·期中）下列四个图形中，过点作的垂线，正确的是（         ） A．B．C．D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了用画垂线，根据画垂线的方法进行判断即可． 【详解】解：过点作的垂线，则垂足在直线上，只有A选项符合题意， 故选：A． 【变式2】（23-24七年级上·浙江金华·期末）如图，已知A，B是直线l上两点，C是直线l外一点． (1)画射线AC，线段BC； (2)过点C作l的垂线段． 【答案】见详解 【分析】本题考查了作图复杂作图，射线，线段，垂线段，解决本题的关键是掌握基本作图方法． （1）根据射线、线段的定义即可画出射线，线段即可； （2）根据垂线的定义，画出过点作的垂线段即可． 【详解】（1）解：如图，射线，线段即为所作； （2）如图，垂线段即为所作． 题型05 垂线段最短 【典例5】（24-25九年级上·广西南宁·开学考试）数学源于生活，寓于生活，用于生活．下列各选项中能用“垂线段最短”来解释的现象是（    ） A．测量跳远成绩 B．木板上弹墨线 C．弯曲河道改直 D．两钉子固定木条 【答案】A 【分析】本题考查了垂线段最短，线段的性质．根据垂线段最短，线段的性质分别判断即可． 【详解】解：A、测量跳远成绩是求脚后跟到起跳线的距离，数学常识为垂线段最短，故该选项符合题意； B、木板上弹墨线，能弹出一条笔直的墨线，数学常识为两点确定一条直线，故该选项不符合题意； C、弯曲河道改直，就能够缩短路程，数学常识为两点之间，线段最短，故该选项不符合题意； D、两钉子固定木条，数学常识为两点确定一条直线，故该选项不符合题意； 故选：A． 【变式1】（23-24七年级下·全国·单元测试）点A是直线l外一点，点B 是直线l上一点，点A到l的距离为，则________．(填“小于”“大于” “不小于”或“不大于”) 【答案】不小于 【分析】据点到直线距离的定义进行解答即可．本题考查了点到直线的距离．解题的关键是明确垂线段最短，即从直线外一点到这条直线所作的垂线段最短． 【详解】解：为直线外一点，是直线上一点，点到的距离为， 当时，；当不与直线垂直时，． ． 故答案为：不小于． 【变式2】（23-24七年级下·全国·单元测试）如图所示，想在河的两岸搭建一座桥，搭建方式最短的是，理由是________________________． 【答案】 垂线段最短 【分析】本题主要考查了垂线段最短，熟练掌握直线外一点到直线的距离最短的是垂线段的长度是解题的关键．根据直线外的点P到直线的距离最短的是垂线段的长度即可得到答案． 【详解】解：∵于M， ∴搭建方式最短的是，理由是垂线段最短， 故答案为：；垂线段最短． 【变式3】（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）根据下列要求画图： (1)连接，画直线，画射线； (2)在直线上找到一点C，使线段是点B与直线上各点的所有线段中长度最短的线段． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了画直线，画射线和线段，垂线段最短： （1）根据直线，射线，线段的画法，画图即可； （2）过点B作于C，根据垂线段最短可知点C即为所求． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）解：如图所示，过点B作于C，点C即为所求． 题型06 点到直线的距离 【典例6】（22-23七年级下·上海·期中）如图，在三角形中，，D为垂足，则下列说法中，错误的是（    ） A．点B到的距离是线段的长 B．点B到的距离是线段的长 C．点C到的距离是线段的长 D．点C到的距离是线段的长 【答案】A 【分析】本题考查的是点到直线的距离．利用点到直线的距离定义判断即可． 【详解】解：A、点B到的距离是线段的长，本选项错误，符合题意； B、点B到的距离是线段的长，本选项正确，不符合题意； C、点C到的距离是线段的长，本选项正确，不符合题意； D、点C到的距离是线段的长，本选项正确，不符合题意， 故选：A． 【变式1】（23-24七年级下·山东枣庄·阶段练习）点P为直线l外一点，点A、B在直线l上，若，，则点P到直线l的距离是（　　） A． B．小于 C．不大于 D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了垂线段最短，点到直线的距离，根据垂线段最短，得出点P到直线l的距离应小于等于的长度． 【详解】解：∵点P到直线l的距离是点P到直线l所有点的连线中最短的线段的长度， ∴点P到直线l的距离应小于等于的长度， 即点P到直线l的距离是不大于． 故选：C． 【变式2】（23-24七年级下·福建厦门·期末）若P为直线l外一定点，A为直线l上一点，且，d为点P到直线l的距离，则d的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查点的直线的距离，根据垂线段最短即可求出答案． 【详解】解：由垂线段最短可知：， 当时，此时,故选：C． 【变式3】（23-24七年级下·全国·单元测试）在已知平面内，点P是直线l上一点，点M，N到直线l的距离分别是，且，则线段的长度是___________． 【答案】或 【分析】本题主要考查了线段的和差、点到直线的距离等知识点，根据题意正确画出图形以及掌握分类讨论思想成为解题的关键． 分点M，N在直线l的同侧和异侧两种情况，分别画出图形进行计算即可． 【详解】解：①如图：当点M，N在直线l的同侧时，； ②如图：当点M，N在直线l的异侧时，； 综上，线段的长度是或． 故答案为：或． 题型07 同位角、内错角、同旁内角的识别 【典例7】（22-23七年级上·吉林长春·期末）下列所示的四个图形中，和是同位角的是（    ） A．②④ B．①②④ C．①②③ D．①④ 【答案】B 【分析】此题在于考查同位角的概念，在截线的同侧，并且在被截线的同一方的两个角是同位角，所以①②④符合要求．判断是否是同位角，必须符合三线八角中，在截线的同侧，并且在被截线的同一方的两个角是同位角． 【详解】解：图①、②、④中，与在截线的同侧，并且在被截线的同一方，是同位角； 图③中，与的两条边都不在同一条直线上，不是同位角． 故选：B． 【变式1】（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，按各组角的位置，说法正确的是（   ） A．与是同旁内角 B．与是内错角 C．与是同旁内角 D．与是同位角 【答案】B 【分析】本题主要考查了同位角，内错角，对顶角，同旁内角的定义，两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的同侧，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同位角；两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）的两旁，则这样一对角叫做内错角；两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同旁内角,据此求解即可． 【详解】解：A、与不是同旁内角，原说法错误，不符合题意； B、与是内错角，原说法正确，符合题意； C、与不是同旁内角，原说法错误，不符合题意； D、与是内错角，原说法错误，不符合题意； 故选：B． 【变式2】（23-24七年级下·广东清远·期中）由图可知，和是一对（    ） A．对顶角 B．同位角 C．内错角 D．同旁内角 【答案】D 【分析】本题考查了同旁内角的概念，两条直线被第三条直线所截，在截线同旁，且在被截线之内的两角，叫做同旁内角．据此即可求解． 【详解】解：和符合同旁内角的定义， 故选：D． 【变式3】（24-25七年级上·全国·课后作业）如图，直线上有一点和是直线被直线_______所截形成的______角；和是直线和被直线_____所截形成的_____角；和是直线______和______被直线______所截形成的_______角． 【答案】 同位 内错 同旁内 【分析】此题主要考查了三线八角，关键是掌握同位角的边构成“F“形，内错角的边构成“Z“形，同旁内角的边构成“U”形．根据同位角、内错角、同旁内角的定义解答即可． 【详解】解：直线上有一点和是直线被直线所截形成的同位角；和是直线和被直线所截形成的内错角；和是直线和被直线所截形成的同旁内角． 故答案为：，同位；，内错；，，，同旁内． 1．（23-24七年级下·广东肇庆·期中）如图，直线，相交，，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了对顶角，邻补角的计算，根据题意可得，，由此即可求解． 【详解】解：根据图示可得，，， ∴， ∴， 故选：C ． 2．（2024七年级下·全国·专题练习）数学课上老师用双手表示了“三线八角”图形，如图所示（两大拇指代表被截直线，食指代表截线）．从左至右依次表示（ ） A．同旁内角、同位角、内错角 B．同位角、内错角、同旁内角 C．内错角、同旁内角、同位角 D．内错角、同位角、同旁内角 【答案】D 【分析】本题考查了同位角、内错角、同旁内角，解题的关键是掌握同位角、内错角、同旁内角，并能区别它们． 两条线a、b被第三条直线c所截，在截线的同旁，被截两直线的同一方，把这种位置关系的角称为同位角；两个角分别在截线的异侧，且夹在两条被截线之间，具有这样位置关系的一对角互为内错角；两个角都在截线的同一侧，且在两条被截线之间，具有这样位置关系的一对角互为同旁内角．据此作答即可． 【详解】解：根据同位角、内错角、同旁内角的概念，可知 第一个图是内错角，第二个图是同位角，第三个图是同旁内角． 故选：D． 3．（22-23七年级下·山东聊城·开学考试）如图所示，下列说法正确的是（    ） A．和是同位角 B．和是内错角 C．和是内错角 D．∠1和是同旁内角 【答案】D 【分析】本题考查了同位角、内错角、同旁内角，根据定义注意判断即可． 【详解】解：A、和是内错角，原说法错误，不符合题意； B、和是同位角，原说法错误，不符合题意； C、和是同旁内角，原说法错误，不符合题意； D、∠1和是同旁内角，原说法正确，符合题意； 故选：D． 4．（23-24七年级下·全国·单元测试）如图，已知直线、被直线所截，那么的同位角是（    ） A． B． C． D．∠5 【答案】A 【分析】本题考查了同位角，利用同位角的定义是解题关键．根据同位角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的同侧，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同位角可得答案． 【详解】解：的同位角是，故选A． 5．（23-24七年级下·北京丰台·期末）用三角板过点作所在直线的垂线，如图三角板的位置摆放正确的是（     ） A．   B．   C．   D．   【答案】B 【分析】本题考查作垂线，根据过点作已知直线的垂线方法进行判断即可． 【详解】解：选项A中三角板过点，但不垂直，故不符合题意； 选项B中三角板过点且垂直，故符合题意； 选项C中三角板不过点，故不符合题意； 选项D中三角板过点但不垂直，故不符合题意， 故选：B． 6．（22-23八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，是对顶角的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了对顶角的识别，如果一个角的两边分别是另一个角两边的反向延长线，那么这两个角是对顶角；根据对顶角的定义判断即可． 【详解】解：由对顶角的定义知，中的两个角都不是对顶角，选项C中的两个角是对顶角； 故选：C． 7．（2024·山东日照·中考真题）如图，直线相交于点O．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查对顶角的定义，几何中角度的计算，由对顶角相等得到，即可解答． 【详解】解：， ． 故选：B． 8．（23-24七年级下·山东济宁·阶段练习）如图，点P是直线外的一点，点在直线上，且，垂足是点，则下列判断不正确的是（   ） A．线段的长是点P到直线的距离 B．三条线段中，最短 C．线段的长是点A到直线的距离 D．线段的长是点C到直线的距离 【答案】C 【分析】本题主要考查了点到直线的距离的定义，垂线段最短，点到一直线的垂线段的长度叫做点到该直线的距离，据此可判断A、C、D，根据垂线段最短可判断B． 【详解】解：A、∵， ∴线段的长是点P到直线的距离，原说法正确，不符合题意； B、∵， ∴由垂线段最短可知，三条线段中，最短，原说法正确，不符合题意； C、∵， ∴线段的长是点A到直线的距离，原说法错误，符合题意； D、∵， ∴线段的长是点C到直线的距离，原说法正确，不符合题意； 故选：C． 9．（23-24七年级下·全国·期末）如图，一辆汽车在笔直的公路上由A向B行驶，M是学校的位置，当汽车行驶到下列哪一位置时，汽车离学校最近（    ） A．D点 B．E点 C．F点 D．N点 【答案】B 【分析】本题主要考查的是垂线段最短，理解垂线段最短是解题的关键． 根据点到直线的连线中垂线段最短求解即可． 【详解】∵ ∴当汽车行驶到E点时，汽车离学校最近． 故选：B． 10．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，直线相交于点O，于点O，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了对顶角相等、垂直的定义等知识点，灵活运用相关性质成为解题的关键． 根据垂直的定义可得，进而可得，然后根据对顶角相等即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：C． 11．（23-24七年级下·广东肇庆·期中）如图，和是直线_______，被直线_______所截构成的_______角． 【答案】, 内错 【分析】本题考查了内错角的定义，熟练掌握内错角的定义是解题的关键．根据内错角的定义，结合图形分析即可求解．内错角的概念：两条直线被第三条直线所截，两个角分别在截线的两侧，且夹在两条被截直线之间，具有这样位置关系的一对角叫做内错角． 【详解】解：和是直线和被直线所截而成的内错角， 故答案为：；；；内错． 12．（22-23七年级下·新疆博尔塔拉·期中）如图是小凡同学在体育课上跳远后留下的脚印，他的跳远成绩是线段的长度，这样测量的依据是_______________． 【答案】垂线段最短 【分析】本题考查了垂线段最短，理解相关含义是解题关键． 【详解】解：测量的依据是垂线段最短， 故答案为：垂线段最短． 13．（23-24七年级下·全国·期末）如图所示，直线，，两两相交，，，则_____． 【答案】 【分析】本题主要考查了对顶角的性质，根据对顶角相等得出，根据，求出，根据对顶角相等得出的度数即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 14．（24-25七年级上·全国·课后作业）如图，直线与相交于点与互余，，则_____． 【答案】55 【分析】本题主要考查对顶角，互余的定义（两角相加等于），理解题意，掌握对顶角的性质，互余的定义是解题的关键． 首先根据对顶角相等得到，然后根据互余的概念求解即可． 【详解】∵， ∴； ∵与互余， ∴． 故答案为：55． 15．（22-23七年级下·全国·课后作业）如图，和是直线，被直线所截而成的_____角；和是直线，被直线所截而成的_____角；和是直线，被直线所截而成的__________角． 【答案】 同位 内错 同旁内 【分析】根据两直线被第三条直线所截，在截线的同一侧，在截线的同一方向的两个角是同位角；在截线的两侧在截线的内部的两个角是内错角；在截线的同一侧，在截线的内部的两个角是同旁内角，结合图形解答． 【详解】解：和是直线，被直线所截而成的是同位角；和是直线，被直线所截而成的是内错角；和是直线，被直线所截而成的同旁内角； 故答案为：同位、内错、同旁内． 【点评】本题考查了同位角，内错角，同旁内角属于三线八角的问题，熟记概念是解题关键． 16．（24-25七年级上·全国·课后作业）已知直线相交于点平分． （1）如图①，若，则_____，_____； （2）如图②，若，则_____，与互补的角有_______________． 【答案】 40 50 30 ，， 【分析】（1）根据角平分线的定义可求得的度数，再利用对顶角即可求得的度数； （2）利用角平分线的定义及角的和差即可求得的度数；根据补角的定义即可求得答案． 本题考查对顶角相等，补角，角平分线的定义，补角及角的运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【详解】（1）∵平分， ∴； ∵， ∴． ∵与是对顶角， ∴； 故答案为：40，50； （2）∵平分， ∴； ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ，，，， ， 与互补的角为：，，． 故答案为：，，， 17．（23-24七年级下·广西梧州·期末）在△ABC中，，点D是边上的动点（除点外），则线段的取值范围是__________． 【答案】 【分析】本题考查了垂线段最短，三角形的面积，根据垂线段最短可知，当时，的长度最小，利用三角形的面积求出的最小值，再根据当点D与点A重合时，取的最大值为4，即可得出的取值范围． 【详解】解：由垂线段最短可知，当时，的长度最小，如下图∶ ∵ ∴， ∴， ∴， 当点D与点A重合时，取的最大值为4， ∴的取值范围为：． 故答案为：． 18．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图所示，如果，则的度数为_____． 【答案】 【分析】本题主要考查了对顶角的性质，邻补角的性质，先根据对顶角线段得到，再由邻补角互补即可得到答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， 故答案为：． 19．（23-24七年级下·四川成都·阶段练习）如图，直线、相交于点O，平分，于O，若，则_____． 【答案】 【分析】本题考查了垂线的定义，角平分线的定义，对顶角相等的性质，熟练掌握这些知识点是解题的关键．先根据对顶角相等求出的度数，再根据角平分线的定义求出的度数，根据垂线的定义得出的度数，即可求出的度数． 【详解】解：∵和是对顶角， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 20．（23-24七年级下·全国·期末）如图，直线相交于点O，平分，，则等于_____． 【答案】 【分析】本题考查了与角平分线有关的角的运算，互补关系等知识；由及互补关系可求得，再由平分及对顶角相等即可求得结果． 【详解】解：∵，， ∴； ∵平分， ∴， ∴； 故答案为：． 21．（23-24七年级下·陕西安康·期中）如图，l为河岸（视为直线），要想开一条水渠将河里的水从点A处引到田里去，请在河边l上求作一点P，使水渠最短，作出水渠的示意图． 【答案】见解析 【分析】本题考查作垂线，垂线段最短，过点A作于点P，即为所求． 【详解】解：如图，过点A作于点P，即为所求． 22．（24-25七年级上·黑龙江绥化·阶段练习）如图，直线、相交于点O，平分，．求的度数． 【答案】 【分析】本题主要考查了角平分线的定义、对顶角的性质等知识，理解并掌握角平分线的定义、对顶角相等的性质是解题关键．首先根据角平分线的定义可得，根据“对顶角相等”的性质可得，即可获得答案． 【详解】解：∵平分，， ∴， ∴． 23．（23-24七年级下·全国·期末）噪声对环境的影响与距离有关，与噪声来源距离越近，噪声越大．如图，一辆汽车在笔直的公路上由点向点行驶，是位于一侧的某所学校．通过画图回答下列问题，并说明理由． (1)汽车行驶到什么位置时，学校受噪声影响最严重？ (2)在什么范围内，学校受噪声影响越来越大？在什么范围内，学校受噪声影响越来越小？ 【答案】(1)汽车行驶到点；(2)汽车行驶在段时，学校受噪声影响越来越大；汽车行驶在段时，学校受噪声影响越来越小 【分析】此题主要考查了应用与设计作图，以及垂线段的性质． （1）过点作的垂线，垂足为，根据垂线段最短可得汽车行驶到此处时，对学校影响最大； （2）根据图象得出点P左侧和右侧对学校影响情况． 【详解】（1）解：如图，根据“垂线段最短”，过点作的垂线，垂足为，所以汽车行驶到点时，与学校距离最近，学校受噪声影响最严重； ； （2）解：如图，汽车行驶在段时，与学校的距离越来越近，学校受噪声影响越来越大；汽车行驶在段时，与学校的距离越来越远，学校受噪声影响越来越小． 24．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，直线相交于点O，平分，． (1)证明：平分； (2)如果，过点O作射线，请在备用图中画出射线，并求的度数． 【答案】(1)见解析；(2)或 【分析】本题考查了角平分线的定义及证明、垂直的定义等知识点，掌握各个角之间的和差关系是解题关键． （1）由可得、，结合即可求证； （2）由题意得，可推出 ，；进而得，从而得，分类讨论在上方和下方两种情况即可求解； 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵平分， ∴ ∵ ∴， ∴平分 （2）解：由（1）得， ∵， ∴， ∵ ∴， ∴ ∴ 如图： 则； 如图： 则； 综上所述：的度数为或 25．（24-25七年级上·全国·课后作业）如图，直线相交于点平分平分吗？为什么？    【答案】平分，理由见解析 【分析】本题考查了角平分线的定义，平角，解题的关键是理由角平分线的定义得到，再根据得到两组互余的角，等量代换可得． 【详解】解：平分，理由如下： ∵平分， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴．即平分 26．（23-24七年级下·全国·期中）如图，直线，相交于点，平分． (1)若，求的度数； (2)若，求的度数． 【答案】(1)；(2) 【分析】（1）根据角平分线定义得到，然后根据对顶角相等得到； （2）根据题意列式计算即可． 此题主要考查了角平分线的定义，对顶角、邻补角，正确得出度数是解题关键． 【详解】（1）解：平分，， ， 又与是对顶角， ， （2）解：和是邻补角， ， 又， ， ， ． 27．（23-24七年级下·全国·单元测试）如图，已知直线和相交于O点，是直角，平分，，求和的度数． 【答案】， 【分析】本题主要考查了几何图中角度的计算，角平分线的有关计算，由平角的定义可得出，由对顶角相等可得出，根据角的和差关系即可得出，由角平分线的定义可得出，再根据角的和差关系即可得出． 【详解】解：∵是直角， ∴， 又， ∴， ∵平分， ∴， ∴． 28．（23-24七年级下·全国·单元测试）如图，直线，相交于点，平分，平分． (1)求的度数． (2)若，求的度数． 【答案】(1)；(2) 【分析】本题考查了几何图形中的角度计算，对顶角相等，角平分线的定义，采用数形结合的思想，熟练掌握角平分线的定义是解题的关键． （1）由角平分线定义得到，，即可得到答案； （2）由平角定义得到，由对顶角的性质得到，由角平分线的定义可得，即可求解． 【详解】（1）解：平分，平分， ，， ， ； （2）解：，， ， ， 平分， ， ． 29．（23-24七年级下·全国·单元测试）如图，直线与相交于O，，分别是，的平分线． (1)写出的补角； (2)若，求和的度数； (3)试问射线与之间有什么特殊的位置关系？为什么？ 【答案】(1)；(2)，；(3)，理由见解析 【分析】本题主要考查了角平分线，熟练掌握角平分线定义，对顶角相等，补角定义，垂线的定义，是解决问题的关键． （1）根据角平分线定义得，根据补角定义得，， 根据对顶角性质得，即得的补角； （2）先根据角平分线的定义得出和的度数，再由邻补角定义可得；先根据邻补角定义可得，再由角平分线定义即得度数； （3）运用角平分线的定义，得，根据平角的定义得，即得直线的位置关系． 【详解】（1）∵平分， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴ 的补角有； （2）∵平分，， ∴ ∴，， ∴， 又∵平分， ∴； （3）射线与互相垂直．理由如下： ∵，分别是，的平分线， ∴， ∴， ∴． 即射线的位置关系是互相垂直． 30．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图1，点O为直线上一点，过点O作射线，使，点M在射线上，射线在直线的下方，且． (1)将图1中的绕点O逆时针旋转至图2，使射线在的内部并恰好平分，求的度数． (2)在（1）的条件下，反向延长射线得到射线，如图3所示，判断射线是否平分，请说明理由． (3)将图1中的绕点O按每秒的速度沿顺时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第t秒时，边所在的直线恰好平分锐角，则t的值为__________秒．（直接写出答案） 【答案】(1)；(2)射线平分，理由见解析；(3)6或15 【分析】本题主要考查了几何图形中角度的计算，角平分线的定义，垂线的定义： （1）先由平角的定义得到，再由角平分线的定义得到，由垂线的定义得到，据此根据角的和差关系可得答案； （2）由平角的定义得到，则可得，据此可得射线平分； （3）当旋转到图3中和时都满足题意，求出对应的旋转角度即可得到答案． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：射线平分，理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴射线平分； （3）解：由（1）（2）可知当开始旋转使得到第一次到达图3中的位置时，此时直线恰好平分， ∴旋转角度为， ∴； 当继续旋转到到图3中的位置时，此时直线恰好平分， ∴此时旋转的角度为， ∴； 综上所述，t的值为6或15． ( 36 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 4.1相交线 课程标准 学习目标 1 了解两直线相交所成的角的位置和大小关系，理解邻补角和对顶角概念，掌握对顶角的性质； ②理解垂直作为两条直线相交的特殊情形，掌握垂直的定义及性质； ③理解点到直线的距离的概念，并会度量点到直线的距离； ④能依据对顶角、邻补角及垂直的概念与性质，进行简单的计算. 1.了解相交线和对顶角的概念. 2.理解对顶角相等. 3.会利用余角、补角和对顶角的性质进行有关角的计算. 4.解垂线的概念，会用符号表示两条直线互相垂直，会用三角尺或量角器过已知点画已知直线的垂线. 5.了解“过一点有一条而且仅有一条直线和已知直线垂直” 6.了解“垂线段最短”的性质，理解点到直线的距离的概念. 知识点01邻补角与对顶角 1．邻补角： 如果两个角有一条公共边，并且它们的另一边互为反向延长线，那么具有这种关系的两个角叫做互为邻补角． 注意： (1)邻补角的定义既包含了位置关系，又包含了数量关系：“邻”指的是位置相邻，“补”指的是两个角的和为180°． (2)邻补角是成对出现的，而且是“互为”邻补角． (3)互为邻补角的两个角一定互补，但互补的两个角不一定互为邻补角． (4)邻补角满足的条件：①有公共顶点；②有一条公共边；另一边互为反向延长线. 2. 对顶角及性质： （1）定义：由两条直线相交构成的四个角中，有公共顶点没有公共边(相对)的两个角，互为对顶角． （2）性质：对顶角相等． 注意： (1)由定义可知只有两条直线相交时，才能产生对顶角． (2)对顶角满足的条件：①相等的两个角；②有公共顶点且一角的两边是另一角两边的反向延长线. 3. 邻补角与对顶角的关系 角的名称 特 征 性 质 相 同 点 不 同 点 对顶角 1 条直线相交形成的角； ②有一个公共顶点； 1 有公共边. 对顶角相等. ①都是两条直线相交而成的角； ②都有一个公共顶点； ③都是成对出现的. ①有无公共边； ②两直线相交时，对顶角只有2对；邻补角有4对. 邻补角 1 条直线相交而成； 2 一个公共顶点； 3 一条公共边. 邻补角互补. 注意：两直线相交，一个角的对顶角有1个，但一个角与它相等的角有无数个，邻补角最多有2个，而补角则可以有无数个；即对顶角和邻补角，不仅包含数量关系，而且包含位置关系。 【即学即练1】 （21-22七年级下·湖北武汉·阶段练习）如图，直线相交于点O，则的对顶角是_______，的邻补角是_______． 知识点02 垂线 1．垂线的定义：两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就称这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫垂足．如下图． 【微点拨】 (1)记法：直线a与b垂直，记作：；直线AB和CD垂直于点O，记作：AB⊥CD于点O. (2) 垂直的定义具有二重性，既可以作垂直的判定，又可以作垂直的性质，即有： CD⊥AB． 2．垂线的画法： 过一点画已知直线的垂线，可通过直角三角板来画，具体方法是： ①使直角三角板的一条直角边和已知直线重合； ②沿直线左右移动三角板，使另一条直角边经过已知点； ③沿此直角边画直线，则所画直线就为已知直线的垂线(如图所示)． 【微点拨】 (1)如果过一点画已知射线或线段的垂线时，指的是它所在直线的垂线，垂足可能在射线的反向延长线上，也可能在线段的延长线上． (2)过直线外一点作已知直线的垂线，这点与垂足间的线段为垂线段． 3．垂线的性质： （1）平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直． （2）直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短．简单说成：垂线段最短． 【微点拨】 （1）性质（1）成立的前提是在“同一平面内”，“有”表示存在，“只有”表示唯一，“有且只有”说明了垂线的存在性和唯一性． （2）性质（2）是“垂线段最短．”实际上，连接直线外一点和直线上各点的线段有无数条，但只有一条最短，即垂线段最短．在实际问题中经常应用其“最短性”解决问题． 4．点到直线的距离： 定义：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离． 【微点拨】 (1)点到直线的距离是垂线段的长度，是一个数量，不能说垂线段是距离； （2）求点到直线的距离时，要从已知条件中找出垂线段或画出垂线段，然后计算或度量垂线段的长度． 【即学即练2】 （24-25七年级上·全国·课后作业）如图，直线与直线相交于点O，则下列条件不能判断的是（   ） A． B． C． D． 知识点03 同位角、内错角、同旁内角 1. “三线八角”模型 如图，直线AB、CD与直线EF相交(或者说两条直线AB、CD被第三条直线EF所截)，构成八个角，简称为“三线八角”，如图. 【微点拨】⑴两条直线AB,CD与同一条直线EF相交． ⑵“三线八角”中的每个角是由截线与一条被截线相交而成． 2. 同位角、内错角、同旁内角的定义 在“三线八角”中，如上图1， （1）同位角：像∠1与∠5，这两个角分别在直线AB、CD的同一方，并且都在直线EF的同侧，具有这种位置关系的一对角叫做同位角. （2）内错角：像∠3与∠5，这两个角都在直线AB、CD之间，并且在直线EF的两侧，像这样的一对角叫做内错角. （3）同旁内角：像∠3和∠6都在直线AB、CD之间，并且在直线EF的同一旁，像这样的一对角叫做同旁内角. 【微点拨】 (1)“三线八角”是指上面四个角中的一个角与下面四个角中的一个角之间的关系，显然是没有公共顶点的两个角. (2)“三线八角”中共有4对同位角，2对内错角，2对同旁内角． 3.同位角、内错角、同旁内角位置特征及形状特征 【微点拨】 巧妙识别三线八角的两种方法： (1)巧记口诀来识别： 一看三线，二找截线，三查位置来分辨. (2)借助方位来识别 根据这三种角的位置关系，我们可以在图形中标出方位，判断时依方位来识别，如图． 【即学即练3】 （23-24七年级下·全国·单元测试）如图，直线a，b 被直线c 所截， 与的位置关系是（   ）    A．同位角 B．内错角 C．同旁内角 D．对顶角 题型01 对顶角的识别 【典例1】（23-24七年级下·全国·单元测试）下列四个图形中，与为对顶角的图形是（    ） A． B． C． D． 【变式1】（2024·河北唐山·三模）如图，直线与直线交于点，此时图中有两对对顶角，若过点再画一条不与直线，重合的直线，则新增加的对顶角有（   ） A．2对 B．3对 C．4对 D．5对 【变式2】（23-24七年级下·山东菏泽·期中）如图，直线a，b，c，d两两相交，图中共有对顶角（　　） A．9对 B．10对 C．11对 D．12对 【变式3】（2024·湖北宜昌·模拟预测）如图，当光线从空气射入水中，会发生折射与反射现象，其中与互为对顶角的是（    ） A． B． C． D． 题型02 与对顶角、邻补角有关的计算 【典例2】（23-24七年级下·全国·单元测试）如图，直线与相交于点，，射线平分，若，则_______． 【变式1】（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，直线、相交于点，且，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24八年级上·河南南阳·开学考试）如图所示，与相交所成的四个角中，的邻补角是________，的对顶角是_______．    【变式3】（24-25七年级上·全国·课后作业）如图，直线相交于点把分成两个角，且与的度数之比是． (1)求的大小． (2)如果平分，那么是的平分线吗？试说明理由． 题型03 垂线定义的理解 【典例3】（24-25七年级上·全国·课后作业）如图，，垂足为O，直线经过点，则_______． 【变式1】（24-25七年级上·山东滨州·阶段练习）如图，点O在直线上，当与满足_______时，． 【变式2】（23-24七年级下·黑龙江鹤岗·期末）如图所示，直线，交于点，，平分，则_______． 【变式3】（23-24七年级下·全国·单元测试）如图，直线、相交于点O，，． (1)写出图中的余角 ； (2)如果，求的度数． 题型04 画垂线 【典例4】（21-22七年级下·全国·课后作业）下列各图中，过直线l外一点P画它的垂线，三角板操作正确的是（    ） A．  B．  C．  D．   【变式1】（23-24七年级下·山东滨州·期末）在平面内，过一点画已知直线的垂线，可画垂线的条数是（   ） A．1 B．2 C．无数 D．不存在 【变式2】（23-24七年级下·云南·期中）下列四个图形中，过点作的垂线，正确的是（    ） A．B．C．D． 【变式2】（23-24七年级上·浙江金华·期末）如图，已知A，B是直线l上两点，C是直线l外一点． (1)画射线AC，线段BC； (2)过点C作l的垂线段． 题型05 垂线段最短 【典例5】（24-25九年级上·广西南宁·开学考试）数学源于生活，寓于生活，用于生活．下列各选项中能用“垂线段最短”来解释的现象是（    ） A．测量跳远成绩 B．木板上弹墨线 C．弯曲河道改直 D．两钉子固定木条 【变式1】（23-24七年级下·全国·单元测试）点A是直线l外一点，点B 是直线l上一点，点A到l的距离为，则________．(填“小于”“大于” “不小于”或“不大于”) 【变式2】（23-24七年级下·全国·单元测试）如图所示，想在河的两岸搭建一座桥，搭建方式最短的是，理由是________________________． 【变式3】（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）根据下列要求画图： (1)连接，画直线，画射线； (2)在直线上找到一点C，使线段是点B与直线上各点的所有线段中长度最短的线段． 题型06 点到直线的距离 【典例6】（22-23七年级下·上海·期中）如图，在三角形中，，D为垂足，则下列说法中，错误的是（    ） A．点B到的距离是线段的长 B．点B到的距离是线段的长 C．点C到的距离是线段的长 D．点C到的距离是线段的长 【变式1】（23-24七年级下·山东枣庄·阶段练习）点P为直线l外一点，点A、B在直线l上，若，，则点P到直线l的距离是（　　） A． B．小于 C．不大于 D． 【变式2】（23-24七年级下·福建厦门·期末）若P为直线l外一定点，A为直线l上一点，且，d为点P到直线l的距离，则d的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【变式3】（23-24七年级下·全国·单元测试）在已知平面内，点P是直线l上一点，点M，N到直线l的距离分别是，且，则线段的长度是___________． 题型07 同位角、内错角、同旁内角的识别 【典例7】（22-23七年级上·吉林长春·期末）下列所示的四个图形中，和是同位角的是（    ） A．②④ B．①②④ C．①②③ D．①④ 【变式1】（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，按各组角的位置，说法正确的是（   ） A．与是同旁内角 B．与是内错角 C．与是同旁内角 D．与是同位角 【变式2】（23-24七年级下·广东清远·期中）由图可知，和是一对（    ） A．对顶角 B．同位角 C．内错角 D．同旁内角 【变式3】（24-25七年级上·全国·课后作业）如图，直线上有一点和是直线被直线_______所截形成的______角；和是直线和被直线_____所截形成的_____角；和是直线______和______被直线______所截形成的_______角． 1．（23-24七年级下·广东肇庆·期中）如图，直线，相交，，则等于（   ） A． B． C． D． 2．（2024七年级下·全国·专题练习）数学课上老师用双手表示了“三线八角”图形，如图所示（两大拇指代表被截直线，食指代表截线）．从左至右依次表示（ ） A．同旁内角、同位角、内错角 B．同位角、内错角、同旁内角 C．内错角、同旁内角、同位角 D．内错角、同位角、同旁内角 3．（22-23七年级下·山东聊城·开学考试）如图所示，下列说法正确的是（    ） A．和是同位角 B．和是内错角 C．和是内错角 D．∠1和是同旁内角 4．（23-24七年级下·全国·单元测试）如图，已知直线、被直线所截，那么的同位角是（    ） A． B． C． D．∠5 5．（23-24七年级下·北京丰台·期末）用三角板过点作所在直线的垂线，如图三角板的位置摆放正确的是（     ） A． B．．D．  6．（22-23八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，是对顶角的是（　 　） A． B． C． D． 7．（2024·山东日照·中考真题）如图，直线相交于点O．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 8．（23-24七年级下·山东济宁·阶段练习）如图，点P是直线外的一点，点在直线上，且，垂足是点，则下列判断不正确的是（   ） A．线段的长是点P到直线的距离 B．三条线段中，最短 C．线段的长是点A到直线的距离 D．线段的长是点C到直线的距离 9．（23-24七年级下·全国·期末）如图，一辆汽车在笔直的公路上由A向B行驶，M是学校的位置，当汽车行驶到下列哪一位置时，汽车离学校最近（    ） A．D点 B．E点 C．F点 D．N点 10．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，直线相交于点O，于点O，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 11．（23-24七年级下·广东肇庆·期中）如图，和是直线______，被直线______所截构成的______角． 12．（22-23七年级下·新疆博尔塔拉·期中）如图是小凡同学在体育课上跳远后留下的脚印，他的跳远成绩是线段的长度，这样测量的依据是_______________． 13．（23-24七年级下·全国·期末）如图所示，直线，，两两相交，，，则_____． 14．（24-25七年级上·全国·课后作业）如图，直线与相交于点与互余，，则_____． 15．（22-23七年级下·全国·课后作业）如图，和是直线，被直线所截而成的_____角；和是直线，被直线所截而成的_____角；和是直线，被直线所截而成的__________角． 16．（24-25七年级上·全国·课后作业）已知直线相交于点平分． （1）如图①，若，则_____，_____； （2）如图②，若，则_____，与互补的角有_______________． 17．（23-24七年级下·广西梧州·期末）在△ABC中，，点D是边上的动点（除点外），则线段的取值范围是__________． 18．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图所示，如果，则的度数为_____． 19．（23-24七年级下·四川成都·阶段练习）如图，直线、相交于点O，平分，于O，若，则_____． 20．（23-24七年级下·全国·期末）如图，直线相交于点O，平分，，则等于_____． 21．（23-24七年级下·陕西安康·期中）如图，l为河岸（视为直线），要想开一条水渠将河里的水从点A处引到田里去，请在河边l上求作一点P，使水渠最短，作出水渠的示意图． 22．（24-25七年级上·黑龙江绥化·阶段练习）如图，直线、相交于点O，平分，．求的度数． 23．（23-24七年级下·全国·期末）噪声对环境的影响与距离有关，与噪声来源距离越近，噪声越大．如图，一辆汽车在笔直的公路上由点向点行驶，是位于一侧的某所学校．通过画图回答下列问题，并说明理由． (1)汽车行驶到什么位置时，学校受噪声影响最严重？ (2)在什么范围内，学校受噪声影响越来越大？在什么范围内，学校受噪声影响越来越小？ 24．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，直线相交于点O，平分，． (1)证明：平分； (2)如果，过点O作射线，请在备用图中画出射线，并求的度数． 25．（24-25七年级上·全国·课后作业）如图，直线相交于点平分平分吗？为什么？    26．（23-24七年级下·全国·期中）如图，直线，相交于点，平分． (1)若，求的度数； (2)若，求的度数． 27．（23-24七年级下·全国·单元测试）如图，已知直线和相交于O点，是直角，平分，，求和的度数． 28．（23-24七年级下·全国·单元测试）如图，直线，相交于点，平分，平分． (1)求的度数． (2)若，求的度数． 29．（23-24七年级下·全国·单元测试）如图，直线与相交于O，，分别是，的平分线． (1)写出的补角； (2)若，求和的度数； (3)试问射线与之间有什么特殊的位置关系？为什么？ 30．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图1，点O为直线上一点，过点O作射线，使，点M在射线上，射线在直线的下方，且． (1)将图1中的绕点O逆时针旋转至图2，使射线在的内部并恰好平分，求的度数． (2)在（1）的条件下，反向延长射线得到射线，如图3所示，判断射线是否平分，请说明理由． (3)将图1中的绕点O按每秒的速度沿顺时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第t秒时，边所在的直线恰好平分锐角，则t的值为__________秒．（直接写出答案） ( 14 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$