重难点突破：带电粒子在复合场中的运动（9大题型）-2024-2025学年高二物理同步题型分类讲与练（人教版2019选择性必修第二册）

重难点突破：带电粒子在复合场中的运动 知识点1 带电粒子在复合场中的运动 1、复合场分类 （1）叠加场：重力场、磁场、电场中三者或任意两者共存的场。 （2）组合场：电场与磁场各位于一定的区域内，并不重叠（相邻或相离），或电场、磁场交替出现。 2、受力分析 （1）受力分析的顺序：先场力（包括重力、电场力、磁场力），后弹力，再摩擦力，最后其他力。 （2）是否考虑粒子重力 ①对于微观粒子，如电子、质子、离子等，因为一般情况下其重力与电场力或洛伦兹力相比太小，故可以忽略；而对于一些实际物体，如带电小球、液滴、尘埃等一般应当考虑其重力。 ②在题目中有明确说明是否要考虑重力的，按题目要求处理。 ③不能直接判断是否要考虑重力的，在进行受力分析与运动分析时，要结合运动状态确定是否要考虑重力。 （3）场力分析 ①重力场：，方向竖直向下。 重力做功：，重力做功改变物体的重力势能。 ②静电场：，正电荷受力方向与场强方向相同；负电荷受力方向与场强方向相反。静电力做功：，静电力做功改变带电粒子的电势能。 ③磁场：，方向：符合左手定则。洛伦兹力不做功，带电粒子的动能不变。 知识点2 带电粒子在组合场中运动的问题 1、题型分析 组合场是由电场和磁场或磁场和磁场组成的，互不重叠，分别位于某一边界的两侧，因而带电粒子在每个区域时仅受到一个场力的作用，且粒子在运动过程中从前一个场的区域出射时的速度即为进入下一个场的区域时的初速度，利用这一特点即可找到与两个场相关联的物理量。 解答带电粒子在电场中偏转的问题，一般是将带电粒子在电场中的运动沿垂直于电场方向和平行于电场方向分解。 2、带电粒子在电、磁组合场中运动 知识点3 带电粒子在叠加场中运动的问题 1、题型分析 叠加场是指在同一空间区域有重力场、电场、磁场中的两种场或三种场互相并存叠加的情况。常见的叠加场有：电场与重力场的叠加，磁场与电场的叠加，磁场、电场、重力场的叠加等。不同场力同时作用时粒子会出现不同的运动状态，因此应根据带电粒子的具体受力情况确定其运动情况。 2、带电粒子在叠加场中的运动分析 （1）直线运动：当带电粒子（无轨道约束），在叠加场中的直线运动是匀变速直线运动时，运动方向沿磁场方向，不受洛伦兹力。若受洛伦兹力且做直线运动，则其他场力的合力与洛伦兹力等大反向，则一定做速直线运动。 （2）匀速圆周运动：带电粒子受到的合力为洛伦兹力。当带电粒子在叠加场中重力与电场力大小相等、方向相反，粒子运动方向与匀强磁场方向垂直时，带电粒子就做匀速圆周运动。此种情况下要同时应用平衡条件和向心力公式来进行分析。 （3）一般曲线运动：当带电粒子所受合外力是变力，且与初速度方向不在一条直线上时，粒子做非匀变速曲线运动，这时粒子的运动轨迹不是圆弧，也不是抛物线，首选应用动能定理或功能关系求解。 知识点4 带电粒子在交变场中的运动 1、题型分析 求解这类问题时首先要明确是电场在周期性变化还是磁场在周期性变化，或是电场、磁场都在周期性变化，另外分析判断粒子是否考虑重力。这类问题中，电场或磁场变化的周期一般会与粒子做圆周运动的周期存在某种关系。在某段时间内若带电粒子受力平衡，则做匀速直线运动。在某段时间内若带电粒子只受电场力，则可能做类平抛运动，应用运动的合成与分解的方法分析求解。或做直线运动，应用牛顿第二定律和运动学公式或动能定理分析求解。在某段时间内若带电粒子只受洛伦兹力，则做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力。 2、分析思路 ①读图：看清并明白场的变化情况。 ②受力分析：分析粒子在不同的变化场中的受力情况。 ③过程分析：分析粒子在不同场区、不同阶段的运动情况。 ④找衔接点：找出衔接相邻两过程的物理量。 ⑤选规律求解：联立不同阶段的方程求解。 题型1 组合场—粒子从电场进入磁场 【例1】（2024·安徽芜湖·一模）如图所示，氕、氘、氚三种核子分别从静止开始经过同一加速电压（图中未画出）加速，再经过同一偏转电压偏转，后进入垂直于纸面向里的有界匀强磁场，氕的运动轨迹如图。则氕、氘、氚三种核子射入磁场的点和射出磁场的点间距最大的是（    ） A．氕 B．氘 C．氚 D．无法判定 【变式1-1】（23-24高二下·河南·月考）如图所示，第一象限内存在方向垂直纸面向外、磁感应强度大小为B的匀强磁场，第二象限内存在方向向右垂直y轴、场强为E的匀强电场。一带电粒子从A（-L，L）点由静止释放，经电场加速后从C（0，L）点进入磁场，最后从D（L，0）点垂直x轴射出磁场，不计粒子的重力，则带电粒子射出磁场时的速度为（　　） A． B． C． D． 【变式1-2】（多选）（24-25高三上·广西·开学考试）在竖直平面内存在垂直于纸面向外、半径为R的圆形匀强磁场区域，在磁场左侧存在竖直向上的匀强电场，电场强度大小未知，电场区域的宽度为d。如图所示，一质量为m、电荷量为q的带正电粒子，以大小为v0的初速度沿与竖直方向成30°角的方向斜向下进入电场，经过电场作用，粒子的速度方向改变60°后恰好从电场与磁场的切点进入磁场，在磁场中经过磁场作用后正好以原来进入电场的速度方向离开磁场，不计带电粒子受到的重力，下列说法正确的是（　　） A．粒子在电场中运动的时间为 B．粒子在电场中沿竖直方向运动的位移大小为 C．匀强磁场的磁感应强度大小为 D．粒子在电场和磁场中运动的总时间为 【变式1-3】（多选）（23-24高二下·江西上饶·期末）如图所示，在xOy平面直角坐标系中，虚线OO'与x轴正方向的夹角为，与y轴之间存在垂直纸面向里磁感应强度为B的匀强磁场，第二象限存在沿y轴正方向的匀强电场。一带负电的粒子从x轴负半轴的P点以初速度进入电场，与x轴正方向的夹角为，经电场偏转后从点M（0，L）垂直y轴进入磁场，粒子恰好不从O'O边界射出磁场。不计粒子重力，下列正确的是（　　） A．P点坐标 B．粒子在电场中运动的时间 C．粒子的比荷为 D．电场强度大小为 【变式1-4】（24-25高三上·安徽芜湖·月考）如图所示，直角坐标系，轴水平，轴竖直。第一象限内存在沿轴正方向匀强电场，且在第一象限内的某圆形区域存在垂直于坐标平面向外的匀强磁场，第二象限内存在平行于坐标平面的匀强电场（大小、方向均未知）一带正电小球由轴上点P(，0)以初速度竖直向上抛出，当其经过轴上的A点时速度水平，且动能为初动能的3倍，再经过一段时间小球由轴上点（）飞出磁场，此时小球速度方向与轴负方向的夹角为。已知小球质量为、电荷量为，，空气阻力忽略不计，重力加速度为。求： （1）A点坐标； （2）磁场的磁感应强度； 【变式1-5】（2025·安徽·一模）芯片制造中的重要工序之一是离子的注入，实际生产中利用电场和磁场来控制离子的运动。如图所示，MN为竖直平面内的一条水平分界线，MN的上方有方向竖直向下的匀强电场，电场强度大小为E，MN的下方有垂直于竖直平面向外的匀强磁场。一质量为m，电荷量为q（）的带正电粒子从MN上的A点射入电场，从MN上的C点射入磁场，此后在电场和磁场中沿闭合轨迹做周期性运动。粒子射入电场时的速度方向与MN的夹角，速度大小为，不计带电粒子受到的重力。 （1）求A、C两点间的距离L； （2）求电场强度与磁感应强度大小之比； （3）若只通过减小电场强度的大小，使粒子能从下往上经过C点，求电场强度的最小值。 题型2 组合场—粒子从磁场进入电场 【例2】（2024高三下·江苏·专题练习）圆心为O、半径为R的圆形区域内存在磁感应强度大小为B、方向垂直纸面的匀强磁场（未画出），磁场边缘上的A点有一带正电粒子源，半径OA竖直，MN与OA平行，且与圆形边界相切于B点，在MN的右侧有范围足够大且水平向左的匀强电场，电场强度大小为E。当粒子的速度大小为v0且沿AO方向时，粒子刚好从B点离开磁场，不计粒子重力和粒子间的相互作用，下列说法不正确的是（　　） A．圆形区域内磁场方向垂直纸面向外 B．粒子的比荷为 C．粒子在磁场中运动的总时间为 D．粒子在电场中运动的总时间为 【变式2-1】（23-24高三上·湖南常德·月考）如图所示，厚度非常薄的铅板的上方、下方分别分布有垂直于纸面向外、磁感应强度分别为、的有界匀强磁场，一比荷为k、电荷量为q的粒子（不计重力）从a点射入第一个磁场，经过铅板的b点射入第二个磁场，从c点射出第二个磁场，紧接着进入虚线（与平行）下方的与垂直的匀强电场，粒子到达d点时速度正好与平行。已知两个圆弧轨迹的圆心均在铅板的O点，、，粒子与铅板的作用时间忽略不计，下列说法正确的是（　　） A．该粒子带正电 B．粒子从a到c的运动时间为 C．粒子与铅板碰撞产生的热量为 D．c点与d点的电势差为 【变式2-2】（多选）（23-24高三下·四川成都·开学考试）圆心为O、半径为R的圆形区域内存在磁感应强度为B、方向垂直纸面向外的匀强磁场，在磁场边缘上有A、B两点，。放射源从A点沿纸面向圆形区域各个方向均匀发射速度大小为的带电粒子。圆的右边有边长有2R的正方形MNQP，与圆相切于B点，且，其区域内有水平向左的匀强电场。当粒子初速沿AO方向时，粒子刚好从B点离开磁场，进入电场后又刚好到达边界QP并返回，重新进入并最终离开磁场。不计重力和粒子间的相互作用。下列说法正确的是（　　） A．粒子的比荷为 B．粒子在磁场中运动的总时间与入射方向无关 C．若将电场E方向变为竖直向下，则从电场边界QP与NQ射出的粒子数之比为 D．若电场E竖直向下，且粒子要全部从NQ边界射出，则场强大小至少为原来的4倍 【变式2-3】（多选）（23-24高三上·河北廊坊·期末）如图所示，平面直角坐标系内有过原点和轴上点的圆形虚线边界，其直径为，边界内存在垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为．第四象限存在沿轴负方向的匀强电场，虚线半圆弧的半径为，直径与圆心在轴上，两点之间的距离也为，一质量为的带正电粒子（不计重力），从点以沿着轴负方向的速度射入磁场，其圆弧轨迹的圆心在点，粒子从点射出磁场后立即进入电场，最后运动到半圆弧上的点，已知，下列说法正确的是（　　） A．粒子在磁场中圆周运动的轨迹半径为 B．粒子的带电荷量为 C．匀强电场的电场强度为 D．若粒子离开点运动到虚线半圆弧的顶点，则粒子从到的运动时间为 【变式2-4】（多选）（23-24高三上·山西吕梁·开学考试）如图所示，平面直角坐标系，在且区域中有磁感应强度为B的匀强磁场，在直线右边区域有与x轴负方向成角的匀强电场，—质量为m，带电量为q的粒子（不计重力）从y轴上的a点沿y轴负方向射入磁场，从b点沿x轴的正方向离开磁场进入电场，达到c点时粒子的速度恰好沿y轴的负方向，且c点的横坐标为，、，下列说法正确的是（    ） A．粒子在磁场中做圆周运动的半径为 B．粒子在b点的速度为 C．电场强度大小为 D．粒子从b到c的运动时间为 【变式2-5】（2025·四川·一模）如图，在竖直平面内，第一象限内存在方向竖直向上、电场强度为的匀强电场，第二、三象限内存在垂直于平面向内、磁感应强度为的匀强磁场。现有质量为，电荷量为，速度为的带电粒子甲和质量为，电荷量为，速度为的带电粒子乙，先后从点分别沿轴正方向和负方向射入匀强磁场，已知带电粒子甲刚好沿轴正方向进入电场，经过轴上P点时与轴正方向成，且两粒子恰好同时到达第四象限中的点（未画出），不计重力，不考虑带电粒子间的相互作用力。已知，求： （1）磁场强度和电场强度的大小； （2）点的坐标； （3）甲乙两粒子出发的时间间隔。 题型3 组合场—粒子在电场和磁场中往复运动 【例3】（多选）（2024·辽宁·模拟预测）如图所示，真空室中轴右侧存在连续排列的4个圆形边界磁场，圆心均在轴上，相邻两个圆相切，半径均为，磁感应强度均为。其中第1、3个圆形边界的磁场方向垂直于纸面向里，第2、4个圆形边界的磁场方向垂直于纸面向外，第4个磁场右侧有一个粒子接收屏与轴垂直，并与第4个磁场相切，切点为，在磁场上方和下方分别有一条虚线与磁场相切，上方虚线以上有一向下的范围无限大的匀强电场，下方虚线以下有一向上的范围无限大的匀强电场，电场强度大小均为。现将一群质量均为、电荷量均为（）的带电粒子从坐标原点向第一、四象限各个方向发射（不考虑平行于轴方向发射的粒子），射出速度大小均为。不计粒子重力，则下列说法正确的是（    ） A．所有粒子从点射出到最终被接收屏接收的过程中在电场中运动的时间均为 B．所有粒子从点射出到最终被接收屏接收的过程中在磁场中运动的时间均为 C．所有粒子从点射出到最终被接收屏接收的时间不相同 D．所有被接收屏接收的粒子均从点沿轴正方向射出 【变式3-1】（多选）（23-24高三上·河南周口·月考）跑道式回旋加速器其工作原理如图所示，两个匀强磁场区域Ⅰ、Ⅱ的边界平行，相距为，磁感应强度大小相同均为，方向垂直纸面向里。两条横向虚线之间的区域内存在水平向右、场强大小为的匀强电场（虚线之间的距离忽略不计），方向与磁场边界垂直。质量为、电荷量为的粒子从电场的P端飘入电场（初速度忽略不计），多次经过电场加速和磁场偏转后，从位于边界上的出射口射出，，不计粒子的重力，下列说法正确的是（　　） A．粒子第一次加速后的速度 B．增加匀强电场，粒子最终从射出的速度变大 C．粒子从射出的速度大小与磁场的距离无关 D．该粒子加速次后从射出 【变式3-2】（24-25高三上·海南·月考）如图所示，在平面直角坐标系确定的平面内，虚线OM与x轴负方向的夹角为45°，虚线OM右侧区域I内存在垂直xOy平面向里的匀强磁场，虚线OM左侧区域II内存在沿y轴正方向的匀强电场。一质量为m、电荷量为q的带正电粒子从原点O沿x轴正方向以速度射入磁场，此后当粒子第一次穿过边界线OM时速度方向与y轴平行，并恰好能到达x轴上的P点。已知原点O与P点间的距离为d，不计粒子受到的重力，求： （1）匀强磁场的磁感应强度大小B； （2）匀强电场的电场强度大小E； （3）粒子从O点射出至第四次穿过边界线OM所用的时间以及此时到O点的距离。 【变式3-3】（24-25高三上·河北·开学考试）如图所示的平面内，轴上方存在平行于轴向下的匀强电场，轴下方存在垂直平面向外的匀强磁场，一质量为电荷量为的带电粒子，从轴上某点以的速度平行轴进入电场中，运动过程中带电粒子从轴上的点（图中未标出）首次进入磁场中，粒子在磁场中做匀速圆周运动，随后从轴上的点（图中未标出）首次离开磁场，此时粒子的速度方向与首次进入磁场时垂直，已知粒子首次离开磁场后恰能回到点，匀强磁场的磁感应强度大小为，不计粒子重力，求： （1）粒子在磁场中做圆周运动的半径； （2）匀强电场的场强大小； （3）若匀强磁场的磁感应强度大小变为为正整数），粒子能再次经过点，求可能的值及粒子相邻两次经过点的时间间隔。 【变式3-4】（23-24高三上·江苏南京·月考）如图所示，在的空间中存在匀强电场，场强沿y轴负方向；在的空间中，存在匀强磁场，磁场方向垂直xOy平面（纸面）向外。一电量为q、质量为m的带正电的运动粒子，经过y轴上处的P1点时速率为v0，方向沿x轴正方向，然后，经过x轴上处的P2点进入磁场，并经过y轴上处的P3点，不计重力，求： （1）粒子到达P2时速度v的大小和方向； （2）磁感应强度B的大小； （3）粒子从P1运动到第二次通过P2点所用的时间。 题型4 组合场与动量的综合 【例4】（2024·福建厦门·二模）如图所示，直角坐标系xOy平面内，第一、二象限分别存在垂直纸面向里的匀强磁场B和沿y轴正方向的匀强电场E，E、B大小均未知。质量为m、电荷量为－q（q > 0）的粒子从x轴负半轴M点与x轴正方向成60°射入电场，经电场偏转后以速度v0从点P（0，d）垂直y轴进入磁场，最后从N点与x轴正方向成60°射出磁场，不计粒子重力。 （1）求粒子进入电场时的速度大小； （2）求磁感应强度B的大小； （3）若粒子在磁场中受到与速度大小成正比的阻力f = kv（k为已知常量），粒子恰好从Q点（图中未标出）垂直x轴射出磁场，求Q点的坐标； （4）在第（3）问的情况下，求粒子从P点运动到Q点的轨迹长度。 【变式4-1】（23-24高三上·河南周口·月考）科学家们常利用电场、磁场控制粒子运动进行科学实验研究。如图所示，在的区域存在方向沿轴负方向的匀强电场；在的区域存在方向垂直于xOy平面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为。时刻，两个带正电粒子甲和乙同时以各自的初速度分别从轴上点和原点射出（甲发射方向未知，乙沿轴负方向）。经过一段时间后，甲和乙同时第一次到达轴并发生弹性正碰（速度共线），碰撞后两粒子带电量不发生变化。已知两个粒子的质量均为，所带电荷量均为。不考虑重力和两粒子间库仑力的影响。求： （1）两粒子发生正碰前瞬间甲粒子的速度大小； （2）若甲粒子与乙粒子发生正碰后经过一段时间甲再次经过轴上点，则匀强电场的场强大小为多少。 【变式4-2】（2023·天津西青·模拟预测）如图所示，在x轴的上方存在垂直纸面向里，磁感应强度大小为B0的匀强磁场。位于x轴下方的离子源C发射质量为m、电荷量为q的一束负离子，其初速度大小范围，这束离子经电势差的电场加速后，从小孔O（坐标原点）垂直x轴并垂直磁场射入磁场区域，最后打到x轴上。在x轴上区间水平固定放置一探测板（），假设每秒射入磁场的离子总数为N0，打到x轴上的离子数均匀分布（离子重力不计）。 （1）求离子束从小孔O射入磁场后打到x轴最远处位置（用含的物理量a表示）； （2）调整磁感应强度的大小，可使速度最大的离子恰好打在探测板右端，求此时的磁感应强度大小B1； （3）保持磁感应强度B1不变，求每秒打在探测板上的离子数N；若打在板上的离子80%被吸收，20%被反向弹回，弹回速度大小为打板前速度大小的0.6倍，被吸收和被弹回的离子数在探测板上沿x轴均匀分布，求探测板受到的作用力大小。 【变式4-3】（2024·江苏扬州·模拟预测）中国航天科技集团自主研制的300瓦霍尔电推进系统已经顺利完成低轨卫星的机动变轨任务，整个卫星的运行轨道被抬升了300公里。我国现阶段霍尔推进器，在地面实验中，其推力达到了牛级，处于国际领先水平。小明同学受到启发设计了如图所示装置研究电荷运动及作用力，三束比荷为、速度为、相邻间距的平行带正电粒子a、b、c持续均匀射入一半径的圆形匀强磁场区域后汇聚于点，随后进入右侧间距、边界为M、N的区域中。在边界N处放置一个足够大荧光屏，圆形磁场圆心与点及荧光屏上坐标原点连线共轴且垂直荧光屏。 （1）求圆形磁场区域的磁感应强度的大小； （2）若在MN的区域中加上水平向右、磁感应强度的匀强磁场，求a束粒子打在屏上的位置坐标； （3）若在MN的区域中加上（2）中磁场的同时再加上水平向右、电场强度的匀强电场。某次实验中，整个装置安装在一个飞船模型上，把荧光屏变更为粒子喷射出口。已知粒子质量，单位时间内每束粒子有个喷出，求粒子持续从射入磁场到喷出过程对飞船模型的冲力大小。（冲力计算结果请保留根号） 题型5 叠加场—直线运动 【例5】（24-25高三上·河北沧州·月考）如图所示，空间内存在相互垂直的匀强电场和匀强磁场，电场方向水平向右，磁场方向水平向里，磁感应强度大小为B，一电荷量为q、质量为m的小球，在与磁场垂直的平面内沿直线运动，该直线与电场方向夹角为45°。a、b（图中未标出）为轨迹直线上的两点，两点间距离为d，重力加速度为g，小球由a运动到b的过程中所用时间t及电势能的变化量分别为（　　） A．， B．， C．， D．， 【变式5-1】（24-25高二下·全国·课后作业）带电油滴以速度大小水平向右垂直进入磁场，恰做匀速直线运动，如图所示，若油滴质量为m，磁感应强度大小为B，重力加速度为g，则下列说法正确的是（  ） A．油滴必带正电荷，电荷量为 B．油滴必带正电荷，比荷为 C．油滴必带负电荷，电荷量为 D．油滴带什么电荷都可以，只要满足 【变式5-2】（多选）（24-25高二上·安徽合肥·月考）如图所示，在垂直纸面向外的匀强磁场中，一质量为m、电荷量为的带电滑块从光滑绝缘斜面的顶端由静止释放，滑至底端时恰好不受弹力，已知磁感应强度的大小为B，斜面的倾角为，重力加速度为g，滑块可视为质点，下列说法正确的是（　　） A．滑块滑至底端时的速率为 B．滑块滑至底端时的速率为 C．滑块经过斜面中点时的速率为 D．斜面的高度为 【变式5-3】（24-25高三上·北京·开学考试）如图所示，在真空中两块带电金属板a、b水平正对放置，在板间形成匀强电场，电场方向竖直向上。板间同时存在与匀强电场正交的匀强磁场，方向垂直纸面向外。假设电场、磁场只存在于两板间的空间区域。一束电子以一定的初速度从两板的左端中央，沿垂直于电场、磁场的方向射入场中，恰好无偏转地通过场区。已知板长为l，两板间距为d，两板间电势差为U，电子的质量为m、电荷量为e，不计电子所受重力和电子之间的相互作用力。 （1）求磁感应强度B的大小； （2）若撤去磁场，求电子离开电场时偏离入射方向的距离y； （3）若撤去磁场，求电子穿过电场的整个过程中动能的增加量。 【变式5-4】（22-23高三上·广西百色·月考）如图所示，水平面上方有正交电磁场区域足够宽，匀强磁场方向沿水平方向（图中所示），磁感应强度大小为B，匀强电场方向竖直向下，场强大小为E；不计厚度、内壁光滑的竖直小圆筒内底部静止放有一质量为m、带电荷量为+q的带电微粒。现让小圆筒以加速度a由静止开始向右平动，在微粒开始沿筒壁上升瞬间，立即让小圆筒以此刻速度的2倍做匀速运动，已知小圆筒匀速运动的距离为小圆筒长度的2倍时，微粒恰好离开小圆筒，并在此刻撤去匀强电场。不计重力大小，则： （1）小圆筒由静止开始运动，经过多长时间微粒将沿筒壁上升； （2）小圆筒的长度； （3）求微粒离开小圆筒后能上升的最大高度（距离圆筒上端口的最大高度）。 【变式5-5】（23-24高二下·天津南开·期末）如图所示，平行的两极板a、b间存在正交的匀强电场和匀强磁场I，正离子以的速度沿极板中线匀速飞出极板，进入匀强磁场区域II，匀强磁场I和匀强磁场II的磁感应强度大小、方向均相同。已知极板板长板间距板间电压（离子比荷不计离子重力，求： （1）匀强电场电场强度E的大小和匀强磁场磁感应强度B的大小； （2）撤去磁场I，离子离开电场时速度的大小； （3）撤去磁场I后，要使离子不从边界射出，磁场II的宽度至少为多少。 题型6 叠加场—匀速圆周运动 【例6】（23-24高二下·江苏扬州·月考）如图所示，在匀强电场和匀强磁场共存的区域内，电场的场强为E，方向竖直向下，磁场的磁感应强度为B方向垂直于纸面向里，一质量为m的带电粒子，在场区内的一竖直平面内做半径为R的匀速圆周运动，已知重力加速度为g，则可判断该带电粒子（　　） A．带有电荷量为的负电荷 B．沿圆周逆时针运动 C．粒子运动到最低点的时电势能最低 D．运动的速率为 【变式6-1】（多选）（2025·湖北·一模）如图所示，在绝缘挡板的上方有一无限大的匀强电场和匀强磁场复合区域，匀强磁场垂直纸面向外且磁感应强度，匀强电场方向竖直向上。在P处弹射装置能够弹射质量为0.01kg，电荷量大小为的小球，小球的速度方向竖直向上，大小为。小球经过磁场偏转后与挡板发生碰撞，每一次碰撞前后小球电荷量不变且碰撞后小球速度变为碰撞前的一半，形成的部分轨迹为一系列相连的半圆。重力加速度的大小，下列说法正确的是（   ） A．小球带正电 B．电场强度的大小为 C．小球相邻两次与挡板碰撞的时间间隔不变，均为 D．小球最终位置与P点的距离为2m 【变式6-2】（24-25高三上·河北承德·开学考试）卫星磁聚焦霍尔电推进系统的基本原理为：等离子体以恒定速率向上射入两个网状极板EF、之间的区域Ⅰ，此区域存在着磁感应强度大小为B、垂直于纸面向里的匀强磁场，当等离子体不再发生偏转时，撤去磁场并关闭粒子通道，就在EF、之间形成了一个稳定电场。在间距为d的CD、AG两极板间存在着磁感应强度大小也为B、垂直于纸面向外的匀强磁场区域Ⅱ，磁场右边界为半圆，半圆与两极板相切，两切点、O分别为两极板的中点。在O处有一氙离子源，能以某一速率沿各方向发射带正电的氙离子，经过该磁场区域后形成宽度为d的平行向右的离子束，经过EF、间的电场加速后从右边喷出。已知CD、AG两极板长L=2d，EF、两极板的间距，氙离子的电荷量为q，质量为m，不计离子重力及离子间相互作用力。 （1）求在两个网状极板间产生的电压； （2）求氙离子从喷出时的动能； （3）若CD、AG两极板间的磁感应强度减半，且充满在CD、AG两极板间的整个区域，求能通过网状极板的离子在磁场中运动的最短时间。 【变式6-3】（23-24高二上·安徽合肥·期末）如图所示，直角坐标系xOy位于竖直平面内，在第二、三、四象限内存在平行于y轴向上的匀强电场，在第三、四象限内存在磁应强度为B、方向垂直xOy平面向外的匀强磁场。质量为m、电荷量为q的带正电小球，从y轴上的A点水平向右抛出，记为小球第一次通过y轴，经x轴上的M点进入电场和磁场，恰能做匀速圆周运动，已知，磁感应强度，不计空气阻力，重力加速度为g。求： （1）电场强度E的大小和粒子经过M点的速度大小； （2）粒子第三次经过y轴时的纵坐标。 【变式6-4】（23-24高二下·安徽蚌埠·期末）如图所示，在平面直角坐标系xOy中，有沿x轴正向的匀强电场和垂直坐标平面向外的匀强磁场，电场强度大小为，磁感应强度大小为B。从O点发射一比荷为的带正电微粒，该微粒恰能在xOy坐标平面内做直线运动。已知y轴正方向竖直向上，重力加速度为g。 （1）求微粒发射时的速度大小和方向； （2）若仅撤去磁场，微粒以（1）中的速度从O点射出后，求微粒通过y轴时到O点的距离； （3）若仅撤去电场，微粒改为从O点由静止释放，求微粒运动的轨迹离x轴的最大距离。 题型7 叠加场—一般曲线运动 【例7】（多选）（2025·安徽蚌埠·一模）如图甲所示，M和N是竖直放置的足够长的不带电平行金属板，间距为d，两板间有垂直纸面向外磁感应强度为B的匀强磁场。一电子从M板上的小孔垂直金属板射入，打到N板时的速度方向与射入方向的夹角为30°。若让两板分别带上图乙所示的等量异种电荷，电子以同样的速度射入后恰好打不到N板，已知电子的比荷为k，则（　　） A．图甲中电子的轨迹半径为d B．图甲中电子从射入到打在N板所需的时间为 C．电子从小孔射入时的速度大小为2Bkd D．图乙中两极板间的电势差大小为 【变式7-1】（多选）（23-24高二下·江西九江·期末）如图所示，在磁感应强度大小为B、水平向里的匀强磁场中，直线MN既水平又垂直于磁场，磁场空间还有电场强度大小为E、竖直向下的匀强电场。质量为m、电荷量为q的带正电粒子从MN上的a点以大小为v的速度沿MN向右射出，粒子运动的部分轨迹如图中的实线所示，轨迹上的b点在MN上，c点是轨迹的最高点。已知，不计空气阻力和粒子的重力。在粒子从a运动到b的过程中，下列说法正确的是（　　） A．c点距MN的距离为 B．a、b两点间的距离为 C．粒子在c点受到的向心力大小为 D．粒子运动的加速度大小恒定不变 【变式7-2】（多选）（2024·广东·模拟预测）空间中存在竖直向下、电场强度为E的匀强电场和垂直纸面向里、磁感应强度大小为B的匀强磁场。电场、磁场均未画出。一质量为m、电荷量为q（）的粒子只在电场力和洛伦兹力作用下，从I点由静止开始运动，以I点为原点建立平面直角坐标系，粒子运动轨迹如图所示，粒子在轨迹上任意一点的坐标为（x，y）。J点是轨迹上的第一个最低点，以粒子开始运动时为计时起点，则下列说法正确的是（　　） A．J点的坐标为 B．粒子在轨迹上任意点的速率为 C．时，粒子速度与轴正方向夹角为 D．若电场强度的大小突然加倍，则粒子可能做匀速直线运动 【变式7-3】（23-24高三上·云南昆明·月考）如图所示，在直角坐标系xOy中，存在着场强为，在第二、三象限内存在着磁感应强度均为，方向垂直纸面向里的匀强磁场。一长为L的绝缘细线，一端固定在坐标原点，另一端拴着质量为m、电荷量为q的正电小球，现将细线拉直到水平位置，当小球运动到最高点时，细线受到的拉力恰好达到它能承受的最大值而断裂。当细线断裂，并多次经过x轴。已知在第二象限内小球第一次到x轴的坐标绝对值为，重力加速度为g （1）细线能承受的最大拉力； （2）小球进入第二象限后运动过程中的最小速率； （3）小球从进入第二象限开始至第一次到达x轴所用的时间。 【变式7-4】（24-25高三上·山东济南·开学考试）如图所示，在坐标系轴右侧存在垂直于纸面向里的匀强磁场，磁场内有一足够长的挡板垂直于轴放置，挡板与轴的水平距离为；轴左侧某矩形区域内（图中未画出）存在匀强电场，第二象限内有一粒子源，坐标为。某时刻一带正电粒子从点以初速度沿轴负方向射出，经电场偏转后经过点水平向右进入磁场，速度大小也为，此过程中粒子的轨迹全部位于电场内，粒子进入磁场后运动轨迹恰好与挡板相切。已知粒子质量为，电荷量为，不计粒子的重力，不考虑场的边界效应，求 （1）匀强磁场的磁感应强度的大小； （2）轴左侧电场强度的大小及电场区域的最小面积； （3）若在轴右侧磁场区域施加与轴左侧电场场强大小相等、方向水平向右的匀强电场，并改变挡板与轴的距离，使带电粒子的运动轨迹仍恰好与挡板相切，求此时挡板与轴的水平距离。 题型8 叠加场与动量的综合 【例8】（23-24高二下·安徽·月考）如图所示，光滑绝缘的水平面上有甲、乙两个绝缘小球，乙球静止在垂直纸面向里的磁场内，甲球静止在磁场外，甲、乙两球质量分别为、，甲球不带电，乙球带有的正电荷。某时刻给甲球一个大小为的初速度，甲球进入磁场后与乙球发生正碰，碰后乙球电荷量不变，向右运动过程中刚好对水平面没有压力，已知匀强磁场的磁感应强度大小为0.5T，重力加速度g取，下列说法正确的是（　　） A．碰撞后甲球运动速度大小为 B．碰撞后乙球运动速度大小为 C．碰撞过程乙球对甲球的冲量大小为 D．甲对乙所做的功与乙对甲所做的功绝对值相等 【变式8-1】（多选）（23-24高二上·湖北荆州·期末）如图所示，光滑的细直硬杆水平固定放置，磁感应强度大小为的匀强磁场垂直纸面向里，质量为、带电量为的带正电圆环（视为质点）套在硬杆上，在斜向右下方与水平方向成夹角的恒定拉力的作用下，从静止开始运动，重力加速度为，下列说法正确的是（　　） A．圆环的加速度先增大后减小 B．经过一段时间，拉力的冲量大小为，合力的冲量大于 C．当硬杆对圆环的弹力为0时，圆环的速度为 D．当杆对圆环的弹力向上且大小等于时，圆环的动量为 【变式8-2】（24-25高三上·河北保定·开学考试）如图所示，直角坐标系xOy平面内，第一、二象限分别存在垂直纸面向里的匀强磁场B和沿y轴正方向的匀强电场E，E、B大小均未知。质量为m、电荷量为的粒子从x轴负半轴M点与x轴正方向成60°射入电场，经电场偏转后以速度从点P（0，d）垂直y轴进入磁场，最后从N点与x轴正方向成60°射出磁场，不计粒子重力。 （1）求磁感应强度B的大小； （2）若粒子在磁场中受到与速度大小成正比的阻力f=kv（k为已知常量），粒子恰好从Q点（图中未标出）垂直x轴射出磁场，求Q点的坐标； （3）在第（2）问的情况下，求粒子从P点运动到Q点的轨迹长度。 【变式8-3】（2024·江苏南通·一模）利用磁场实现离子偏转是科学仪器中广泛应用的技术。如图所示，在xOy平面内存在区域足够大的方向垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B。位于坐标原点O处的离子源能在xOy平面内持续发射质量为m、电荷量为q的负离子，其速度方向与y轴夹角的最大值为45°，且各个方向速度大小随变化的关系为，式中为未知定值，且的离子恰好通过坐标为（L，L）的P点。不计离子的重力及离子间的相互作用，并忽略磁场的边界效应。 （1）求关系式中的值； （2）求离子通过界面时y坐标的最大值和最小值； （3）为回收离子，在界面右侧加一宽度为L且平行于轴的匀强电场，如图所示，为使所有离子都不能穿越电场区域，求电场强度的最小值E。 【变式8-4】（2024·全国·一模）如图所示，光滑水平地面上放置一质量为m的不带电绝缘长木板，空间中存在水平向右的匀强电场E和垂直纸面向里的匀强磁场B，E、B大小均未知。时，在木板上表面静止释放一个质量为m的带正电物块，物块所受电场力大小为mg（g为重力加速度），物块与木板间的动摩擦因数。（已知）时，物块速度为且恰好飞离木板，再经过时间，物块速度的水平分量第一次减到0，且恰好到达右侧光滑竖直墙壁的P点。已知物块可视为质点，忽略木板厚度，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，物块飞离木板前木板未与墙壁发生碰撞，求： （1）电场强度与磁感应强度的大小之比； （2）时，木板速度的大小； （3）时间内，物块与木板间摩擦发热量： （4）物块运动过程中距地面的最大高度。 题型9 粒子在交变场中的运动 【例9】（2024·福建莆田·三模）如图甲所示，平面直角坐标系xOy的第一象限（含坐标轴）内有垂直平面周期性变化的均匀磁场（未画出），规定垂直xOy平面向里的磁场方向为正，磁场变化规律如图，已知磁感应强度大小为，不计粒子重力及磁场变化影响。某一带负电的粒子质量为m、电量为q，在时从坐标原点沿y轴正向射入磁场中，将磁场变化周期记为，要使粒子在时距y轴最远，则的值为（　　） A． B． C． D． 【变式9-1】（多选）（2024·青海·一模）如图甲所示，、为竖直放置且彼此平行的两块不带电平板，板间距离为，两板中央各有一个小孔、正对，在两板间有垂直于纸面方向的磁场，磁感应强度随时间的变化如图乙所示，取垂直纸面向里的磁场方向为正方向。有一正离子（受到的重力不计）在时垂直于板从小孔射入磁场，且正离子在磁场中做匀速圆周运动的周期与磁感应强度变化的周期都为，不考虑由于磁场变化而产生的电场的影响。要使正离子从孔垂直于板射出磁场，正离子射入磁场时的速度大小的可能值为（　　） A． B． C． D． 【变式9-2】（2024·福建漳州·二模）如图甲的空间中存在随时间变化的磁场和电场，规定磁感应强度B垂直xOy平面向内为正方向，电场强度E沿x轴正方向为正方向，B随时间t的变化规律如图乙，E随时间t的变化规律如图丙。时，一带正电的粒子从坐标原点O以初速度沿y轴负方向开始运动。已知、、，带电粒子的比荷为，粒子重力不计。 （1）求粒子在磁场中做圆周运动的周期T； （2）求时，粒子的位置坐标； （3）在内，若粒子的最大速度是，求与的比值。 【变式9-3】（23-24高二下·福建厦门·月考）如图1所示，竖直边界分别为P和Q的区域，其内部分布着垂直纸面向里的匀强磁场和竖直方向上的周期性变化的电场，电场随时间变化的关系如图2所示，表示电场方向竖直向上。在时刻，一带电量为+q、质量为m的带电微粒从边界P上的A点处水平射入该区域，先沿直线运动到某点，再经历一次完整的半径为L的匀速圆周运动，最后沿直线运动从边界Q上的B点处离开磁场，重力加速度为g。求： （1）图2中的； （2）微粒刚进入磁场时的速度及磁场的磁感应强度B。 【变式9-4】（24-25高三上·广东珠海·月考）如图甲所示，长度为、内径为的圆柱形直管道水平固定，放置在水平方向且磁感应强度大小为的匀强磁场中（磁场方向可变）。位于管道一端管口的水平轴线上，处固定一粒子源，其可发射质量为、带电荷量为的电子。 （1）若从发出的电子的速度方向竖直向上，磁场的方向垂直纸面向里，粒子在管道内运动时，恰好不与管壁碰撞，求从发出的电子的速率； （2）若从发出的电子的速度大小和方向与（1）问相同，以点为原点，沿轴线向右建立坐标轴x，磁感应强度与坐标按图乙所示规律分布，磁场方向以垂直纸面向里为正。设电子经过磁场边界时，会立即进入另一磁场，则要使电子从管道轴线的另一端离开管道，求图中的值和管道长度的值； （3）若从发出的电子的速度大小为，方向斜向右上方，与水平轴线方向的夹角为。磁场的方向平行于轴线方向向右。经过一段时间后电子恰好从管道轴线的另一端离开管道，且整个过程粒子都不会与管道碰撞，则、分别应满足什么条件？ 【变式9-5】（23-24高二下·江苏无锡·期中）平面内存在着变化电场和变化磁场，变化规律如图所示，磁感应强度的正方向为垂直纸面向里、电场强度的正方向为方向。时刻，一电荷量为、质量为的粒子从坐标原点以初速沿方向入射（不计粒子重力）。图中，图中。求： （1）粒子在磁场中运动时的轨道半径的大小； （2）时刻粒子的坐标； （3）时间段内粒子轨迹纵坐标的最大值。 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 重难点突破：带电粒子在复合场中的运动 知识点1 带电粒子在复合场中的运动 1、复合场分类 （1）叠加场：重力场、磁场、电场中三者或任意两者共存的场。 （2）组合场：电场与磁场各位于一定的区域内，并不重叠（相邻或相离），或电场、磁场交替出现。 2、受力分析 （1）受力分析的顺序：先场力（包括重力、电场力、磁场力），后弹力，再摩擦力，最后其他力。 （2）是否考虑粒子重力 ①对于微观粒子，如电子、质子、离子等，因为一般情况下其重力与电场力或洛伦兹力相比太小，故可以忽略；而对于一些实际物体，如带电小球、液滴、尘埃等一般应当考虑其重力。 ②在题目中有明确说明是否要考虑重力的，按题目要求处理。 ③不能直接判断是否要考虑重力的，在进行受力分析与运动分析时，要结合运动状态确定是否要考虑重力。 （3）场力分析 ①重力场：，方向竖直向下。 重力做功：，重力做功改变物体的重力势能。 ②静电场：，正电荷受力方向与场强方向相同；负电荷受力方向与场强方向相反。静电力做功：，静电力做功改变带电粒子的电势能。 ③磁场：，方向：符合左手定则。洛伦兹力不做功，带电粒子的动能不变。 知识点2 带电粒子在组合场中运动的问题 1、题型分析 组合场是由电场和磁场或磁场和磁场组成的，互不重叠，分别位于某一边界的两侧，因而带电粒子在每个区域时仅受到一个场力的作用，且粒子在运动过程中从前一个场的区域出射时的速度即为进入下一个场的区域时的初速度，利用这一特点即可找到与两个场相关联的物理量。 解答带电粒子在电场中偏转的问题，一般是将带电粒子在电场中的运动沿垂直于电场方向和平行于电场方向分解。 2、带电粒子在电、磁组合场中运动 知识点3 带电粒子在叠加场中运动的问题 1、题型分析 叠加场是指在同一空间区域有重力场、电场、磁场中的两种场或三种场互相并存叠加的情况。常见的叠加场有：电场与重力场的叠加，磁场与电场的叠加，磁场、电场、重力场的叠加等。不同场力同时作用时粒子会出现不同的运动状态，因此应根据带电粒子的具体受力情况确定其运动情况。 2、带电粒子在叠加场中的运动分析 （1）直线运动：当带电粒子（无轨道约束），在叠加场中的直线运动是匀变速直线运动时，运动方向沿磁场方向，不受洛伦兹力。若受洛伦兹力且做直线运动，则其他场力的合力与洛伦兹力等大反向，则一定做速直线运动。 （2）匀速圆周运动：带电粒子受到的合力为洛伦兹力。当带电粒子在叠加场中重力与电场力大小相等、方向相反，粒子运动方向与匀强磁场方向垂直时，带电粒子就做匀速圆周运动。此种情况下要同时应用平衡条件和向心力公式来进行分析。 （3）一般曲线运动：当带电粒子所受合外力是变力，且与初速度方向不在一条直线上时，粒子做非匀变速曲线运动，这时粒子的运动轨迹不是圆弧，也不是抛物线，首选应用动能定理或功能关系求解。 知识点4 带电粒子在交变场中的运动 1、题型分析 求解这类问题时首先要明确是电场在周期性变化还是磁场在周期性变化，或是电场、磁场都在周期性变化，另外分析判断粒子是否考虑重力。这类问题中，电场或磁场变化的周期一般会与粒子做圆周运动的周期存在某种关系。在某段时间内若带电粒子受力平衡，则做匀速直线运动。在某段时间内若带电粒子只受电场力，则可能做类平抛运动，应用运动的合成与分解的方法分析求解。或做直线运动，应用牛顿第二定律和运动学公式或动能定理分析求解。在某段时间内若带电粒子只受洛伦兹力，则做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力。 2、分析思路 ①读图：看清并明白场的变化情况。 ②受力分析：分析粒子在不同的变化场中的受力情况。 ③过程分析：分析粒子在不同场区、不同阶段的运动情况。 ④找衔接点：找出衔接相邻两过程的物理量。 ⑤选规律求解：联立不同阶段的方程求解。 题型1 组合场—粒子从电场进入磁场 【例1】（2024·安徽芜湖·一模）如图所示，氕、氘、氚三种核子分别从静止开始经过同一加速电压（图中未画出）加速，再经过同一偏转电压偏转，后进入垂直于纸面向里的有界匀强磁场，氕的运动轨迹如图。则氕、氘、氚三种核子射入磁场的点和射出磁场的点间距最大的是（    ） A．氕 B．氘 C．氚 D．无法判定 【答案】C 【解析】设核子的质量为m，带电量为q，偏转电场对应的极板长为L，板间距离为d，板间电场强度为E，进入偏转电场的速度为v0，进入磁场的速度为v，在偏转电场的侧移量为y，速度偏转角为。核子在加速电场运动过程，由动能定理得 核子在偏转电场做类平抛运动，将运动沿极板方向和垂直极板方向分解。沿极板方向做匀速直线运动，则有 垂直极板方向做匀加速直线运动，则有 由牛顿第二定律得 联立解得 速度偏转角的正切值为 可见核子在偏转电场的侧移量y与速度偏转角均与核子的质量和带电量无关，故三种核子进入磁场的位置和速度方向均相同。进入磁场的速度 核子在匀强磁场只受洛伦兹力而做匀速圆周运动，轨迹如图所示 由牛顿第二定律得 由几何关系可得，射入磁场的点和射出磁场的点间距s为 联立解得 对于氕、氘、氚三种核子电荷量相等，质量越大，两点间的距离越大，氚核的最大，C正确。 故选C。 【变式1-1】（23-24高二下·河南·月考）如图所示，第一象限内存在方向垂直纸面向外、磁感应强度大小为B的匀强磁场，第二象限内存在方向向右垂直y轴、场强为E的匀强电场。一带电粒子从A（-L，L）点由静止释放，经电场加速后从C（0，L）点进入磁场，最后从D（L，0）点垂直x轴射出磁场，不计粒子的重力，则带电粒子射出磁场时的速度为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】带电粒子在电场中加速时，由动能定理得 带电粒子在磁场中运动时，有 由几何关系得 联立解得 故选B。 【变式1-2】（多选）（24-25高三上·广西·开学考试）在竖直平面内存在垂直于纸面向外、半径为R的圆形匀强磁场区域，在磁场左侧存在竖直向上的匀强电场，电场强度大小未知，电场区域的宽度为d。如图所示，一质量为m、电荷量为q的带正电粒子，以大小为v0的初速度沿与竖直方向成30°角的方向斜向下进入电场，经过电场作用，粒子的速度方向改变60°后恰好从电场与磁场的切点进入磁场，在磁场中经过磁场作用后正好以原来进入电场的速度方向离开磁场，不计带电粒子受到的重力，下列说法正确的是（　　） A．粒子在电场中运动的时间为 B．粒子在电场中沿竖直方向运动的位移大小为 C．匀强磁场的磁感应强度大小为 D．粒子在电场和磁场中运动的总时间为 【答案】BC 【解析】A．带电粒子在电场中做类平抛运动，将速度分解，带电粒子在电场方向上做匀减速直线运动，在水平方向上以做匀速直线运动，则粒子在电场中运动的时间为 故A错误； B．粒子在竖直方向上以做匀减速直线运动，则 解得 故B正确； C．粒子进入磁场时速度方向改变60°，则粒子以的速度水平进入磁场，经过偏转后速度方向以原来的方向离开磁场，说明粒子在磁场中偏转60°，根据几何关系，带电粒子在磁场中的偏转半径为 由洛伦兹力提供向心力有 解得磁感应强度大小 故C正确； D．粒子在磁场中运动的轨迹所对应的圆心角为60°，则粒子在磁场中运动的时间为 所以粒子在电场和磁场中运动的总时间为 故D错误。 故选BC。 【变式1-3】（多选）（23-24高二下·江西上饶·期末）如图所示，在xOy平面直角坐标系中，虚线OO'与x轴正方向的夹角为，与y轴之间存在垂直纸面向里磁感应强度为B的匀强磁场，第二象限存在沿y轴正方向的匀强电场。一带负电的粒子从x轴负半轴的P点以初速度进入电场，与x轴正方向的夹角为，经电场偏转后从点M（0，L）垂直y轴进入磁场，粒子恰好不从O'O边界射出磁场。不计粒子重力，下列正确的是（　　） A．P点坐标 B．粒子在电场中运动的时间 C．粒子的比荷为 D．电场强度大小为 【答案】AC 【解析】AB．根据逆向思维，粒子从P点到M点的逆运动为从M点到P点的类平抛运动，则 ， ， 解得 ， 故P点坐标为，粒子在电场中运动的时间为，故A正确，B错误； C．粒子恰好不从O'O边界射出磁场，粒子在磁场中的运动轨迹如图所示 根据几何关系有 根据洛伦兹力提供向心力 解得粒子的比荷为 故C正确； D．根据动能定理有 且 联立可得电场强度大小为 故D错误。 故选AC。 【变式1-4】（24-25高三上·安徽芜湖·月考）如图所示，直角坐标系，轴水平，轴竖直。第一象限内存在沿轴正方向匀强电场，且在第一象限内的某圆形区域存在垂直于坐标平面向外的匀强磁场，第二象限内存在平行于坐标平面的匀强电场（大小、方向均未知）一带正电小球由轴上点P(，0)以初速度竖直向上抛出，当其经过轴上的A点时速度水平，且动能为初动能的3倍，再经过一段时间小球由轴上点（）飞出磁场，此时小球速度方向与轴负方向的夹角为。已知小球质量为、电荷量为，，空气阻力忽略不计，重力加速度为。求： （1）A点坐标； （2）磁场的磁感应强度； 【答案】（1）（0，） （2），方向垂直于坐标平面向外 【解析】（1）小球从P点到A点水平和竖直方向均为匀变速直线运动，由小球在A点动能为P点的倍，则有 可得A点速度为 水平方向 竖直方向 解得 故A点坐标为（0，）。 （2）由题意可得 可知小球在第一象限中的磁场中做匀速圆周运动，如图所示 由几何关系得 由洛伦兹力提供向心力得 联立解得 方向垂直于坐标平面向外 【变式1-5】（2025·安徽·一模）芯片制造中的重要工序之一是离子的注入，实际生产中利用电场和磁场来控制离子的运动。如图所示，MN为竖直平面内的一条水平分界线，MN的上方有方向竖直向下的匀强电场，电场强度大小为E，MN的下方有垂直于竖直平面向外的匀强磁场。一质量为m，电荷量为q（）的带正电粒子从MN上的A点射入电场，从MN上的C点射入磁场，此后在电场和磁场中沿闭合轨迹做周期性运动。粒子射入电场时的速度方向与MN的夹角，速度大小为，不计带电粒子受到的重力。 （1）求A、C两点间的距离L； （2）求电场强度与磁感应强度大小之比； （3）若只通过减小电场强度的大小，使粒子能从下往上经过C点，求电场强度的最小值。 【答案】（1） （2） （3） 【解析】（1）带正电粒子在电场中做类斜抛运动，则水平方向有 竖直方向 由牛顿第二定律 联立可得，A、C两点间的距离为 （2）如图 粒子在磁场中做匀速圆周运动，由几何关系 由洛伦兹力提供向心力 联立可得电场强度与磁感应强度大小之比为 （3）如图 粒子第一次从磁场返回电场时经过C点，此时电场强度最小，则电场中从A点到D点，有 由牛顿第二定律 粒子在磁场中做匀速圆周运动，半径不变，则有 由几何关系 联立可得 题型2 组合场—粒子从磁场进入电场 【例2】（2024高三下·江苏·专题练习）圆心为O、半径为R的圆形区域内存在磁感应强度大小为B、方向垂直纸面的匀强磁场（未画出），磁场边缘上的A点有一带正电粒子源，半径OA竖直，MN与OA平行，且与圆形边界相切于B点，在MN的右侧有范围足够大且水平向左的匀强电场，电场强度大小为E。当粒子的速度大小为v0且沿AO方向时，粒子刚好从B点离开磁场，不计粒子重力和粒子间的相互作用，下列说法不正确的是（　　） A．圆形区域内磁场方向垂直纸面向外 B．粒子的比荷为 C．粒子在磁场中运动的总时间为 D．粒子在电场中运动的总时间为 【答案】C 【解析】A．根据题意可知，粒子从A点进入磁场时，受到洛伦兹力的作用，根据左手定则可知，圆形区域内磁场方向垂直纸面向外，故A正确，不符合题意； B．根据题意可知，粒子在磁场中的运动轨迹如图甲所示 根据几何关系可知，粒子做圆周运动的半径为R，粒子在磁场中运动轨迹所对圆心角为，根据洛伦兹力提供向心力有 所以 故B正确，不符合题意； C．根据题意可知，粒子从B点进入电场之后，先向右做减速运动，再向左做加速运动，再次到达B点时，速度的大小仍为v0，再次进入磁场，运动轨迹如图乙所示 粒子在磁场中的运动时间为 故C错误，符合题意； D．粒子在电场中，根据牛顿第二定律有 解得 结合对称性可得，粒子在电场中运动的总时间为 故D正确，不符合题意。 故选C。 【变式2-1】（23-24高三上·湖南常德·月考）如图所示，厚度非常薄的铅板的上方、下方分别分布有垂直于纸面向外、磁感应强度分别为、的有界匀强磁场，一比荷为k、电荷量为q的粒子（不计重力）从a点射入第一个磁场，经过铅板的b点射入第二个磁场，从c点射出第二个磁场，紧接着进入虚线（与平行）下方的与垂直的匀强电场，粒子到达d点时速度正好与平行。已知两个圆弧轨迹的圆心均在铅板的O点，、，粒子与铅板的作用时间忽略不计，下列说法正确的是（　　） A．该粒子带正电 B．粒子从a到c的运动时间为 C．粒子与铅板碰撞产生的热量为 D．c点与d点的电势差为 【答案】D 【解析】A．由左手定则可知该粒子带负电，故A错误； B．粒子从a到c运动的时间为 结合 可得 故B错误； C．分析可知粒子在两个磁场中运动的圆，弧轨迹半径相等，设为R，由洛伦兹力提供向心力可得 ， 联立可得 ， 由能量守恒，粒子与铅板的碰撞所产生的热量为 结合 联立可得 故C错误； D．分析可知粒子从c点到d点做类斜抛运动，粒子在c点的速度与的夹角为，把粒子在c点的速度分别沿着和电场线的方向分解，沿着方向的分速度为 粒子到达盘点时沿电场线方向的分速度为0，由动能定理得 结合 ， 解得 故D正确。 故选D。 【变式2-2】（多选）（23-24高三下·四川成都·开学考试）圆心为O、半径为R的圆形区域内存在磁感应强度为B、方向垂直纸面向外的匀强磁场，在磁场边缘上有A、B两点，。放射源从A点沿纸面向圆形区域各个方向均匀发射速度大小为的带电粒子。圆的右边有边长有2R的正方形MNQP，与圆相切于B点，且，其区域内有水平向左的匀强电场。当粒子初速沿AO方向时，粒子刚好从B点离开磁场，进入电场后又刚好到达边界QP并返回，重新进入并最终离开磁场。不计重力和粒子间的相互作用。下列说法正确的是（　　） A．粒子的比荷为 B．粒子在磁场中运动的总时间与入射方向无关 C．若将电场E方向变为竖直向下，则从电场边界QP与NQ射出的粒子数之比为 D．若电场E竖直向下，且粒子要全部从NQ边界射出，则场强大小至少为原来的4倍 【答案】BD 【解析】A．根据题意，做出粒子在圆形磁场中运动的轨迹如图所示 根据几何关系可知粒子在磁场中的轨迹半径为，根据洛伦兹力充当向心力有 则可得粒子的比荷为 故A错误； B．粒子从A点进入磁场到从B点进入电场后再从电场回到B点时，因电场力做功为零，因此再次进入磁场时的速度大小不变，则再次进入磁场做圆周运动的轨迹半径不变，到最终离开磁场的运动过程中，其运动轨迹如图所示 在磁场中运动的总时间 而粒子无论从A点向哪个方向射入磁场，到最终离开磁场时在磁场中偏转的总角度 因此，粒子在磁场中运动的总时间与入射方向无关，均为，故B正确； C．在A点的粒子源向磁场中的各个方向发射速度大小均为的带电粒子，由于粒子在磁场中做圆周运动的轨迹半径与磁场的半径相同，因此所有粒子离开圆形磁场时将平行于电场方向进入电场，根据沿AO方向射入的粒子进入从MN中点B进入电场后，刚好到达边界QP并返回，则由动能定理有 解得电场力 根据牛顿第二定律可得粒子在电场中运动时的加速度大小为 而若将电场E的方向改为竖直向下，则粒子在进入电场后将做类平抛运动，而粒子恰好打到Q处，则应有 ， 解得 由于能进入电场的粒子的总高度为为，则可知高度小于的粒子范围均从NQ射出，高度大于而又小于范围内的粒子均从PQ射出，分别做出从高度、处进入电场的粒子在磁场中的运动轨迹如图所示 根据几何关系可知，从高度处进入电场的粒子在磁场中A点入射速度方向与水平方向的夹角为，则从电场边界QP与NQ射出的粒子数之比为 故C错误； D．电场E竖直向下，且粒子要全部从NQ边界射出，则进入电场范围高度为的粒子恰好打在Q处，则有 ， 解得 由此可得 因此可知，若电场E竖直向下，且粒子要全部从NQ边界射出，则场强大小至少为原来的4倍，故D正确。 故选BD。 【变式2-3】（多选）（23-24高三上·河北廊坊·期末）如图所示，平面直角坐标系内有过原点和轴上点的圆形虚线边界，其直径为，边界内存在垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为．第四象限存在沿轴负方向的匀强电场，虚线半圆弧的半径为，直径与圆心在轴上，两点之间的距离也为，一质量为的带正电粒子（不计重力），从点以沿着轴负方向的速度射入磁场，其圆弧轨迹的圆心在点，粒子从点射出磁场后立即进入电场，最后运动到半圆弧上的点，已知，下列说法正确的是（　　） A．粒子在磁场中圆周运动的轨迹半径为 B．粒子的带电荷量为 C．匀强电场的电场强度为 D．若粒子离开点运动到虚线半圆弧的顶点，则粒子从到的运动时间为 【答案】BD 【解析】AB．画粒子由点到点的运动轨迹如图甲所示，依题意有，是圆弧轨迹的半径，粒子在点的速度与轴平行，与半径垂直，则与轴垂直，则有是等腰直角三角形，由圆的几何知识可知是圆形边界的直径，设粒子的轨迹半径为，则有 又 综合解得 选项A错误，B正确； C．分析可知，粒子在磁场中偏转了，粒子在点的速度沿轴的正方向，与匀强电场垂直，则粒子从到做类平抛运动，沿轴方向的分位移为 沿轴方向的分位移为 设匀强电场的电场强度为，由类平抛运动的规律可得 综合解得 选项C错误； D．画粒子由点到点的运动轨迹如图乙所示，由题意知，粒子从到做类平抛运动，由几何关系可得沿轴方向的分位移为 沿轴方向的分位移为 设此时匀强电场的电场强度为，由类平抛运动的规律可得 综合解得 粒子从到的运动时间为 粒子从到的运动时间为 综合可得 选项D正确。 故选BD。 【变式2-4】（多选）（23-24高三上·山西吕梁·开学考试）如图所示，平面直角坐标系，在且区域中有磁感应强度为B的匀强磁场，在直线右边区域有与x轴负方向成角的匀强电场，—质量为m，带电量为q的粒子（不计重力）从y轴上的a点沿y轴负方向射入磁场，从b点沿x轴的正方向离开磁场进入电场，达到c点时粒子的速度恰好沿y轴的负方向，且c点的横坐标为，、，下列说法正确的是（    ） A．粒子在磁场中做圆周运动的半径为 B．粒子在b点的速度为 C．电场强度大小为 D．粒子从b到c的运动时间为 【答案】BC 【解析】A．过a、b两点分别做速度的垂线，交点是轨迹圆的圆心，、是轨迹圆两个互相垂直的半径，由几何关系可得是正方形，则轨迹圆的半径为，故A错误； B．由洛伦兹力提供向心力可得 解得 故B正确； C．把粒子受到的电场力分别沿着x轴和y轴分解，则有 由牛顿第二定律可得 粒子在c点的速度沿着y轴的负方向，则粒子在c点沿x轴正方向的速度恰好为0，粒子沿着x轴正方向的分位移为，则有 解得 故C正确； D．根据匀变速运动的特点知，粒子从b到c的运动时间 故D错误。 故选BC。 【变式2-5】（2025·四川·一模）如图，在竖直平面内，第一象限内存在方向竖直向上、电场强度为的匀强电场，第二、三象限内存在垂直于平面向内、磁感应强度为的匀强磁场。现有质量为，电荷量为，速度为的带电粒子甲和质量为，电荷量为，速度为的带电粒子乙，先后从点分别沿轴正方向和负方向射入匀强磁场，已知带电粒子甲刚好沿轴正方向进入电场，经过轴上P点时与轴正方向成，且两粒子恰好同时到达第四象限中的点（未画出），不计重力，不考虑带电粒子间的相互作用力。已知，求： （1）磁场强度和电场强度的大小； （2）点的坐标； （3）甲乙两粒子出发的时间间隔。 【答案】（1）， （2）（14R，-12.5R） （3） 【解析】（1）带电粒子甲刚好沿轴正方向进入电场，则粒子甲的圆周运动半径为R，根据洛伦兹力提供向心力有 解得 粒子甲经过轴上P点时与轴正方向成，则有 且 ， 解得 （2）设P点的坐标为（x0，0），粒子甲在电场中做类平抛运动，如图： 有 ， 联立解得 粒子乙在磁场中做圆周运动，有 解得 根据几何关系可知粒子乙进入第四象限的坐标为（0，2R），速度方向与y轴负方向成53°。 两粒子恰好同时到达第四象限中的点，设C点的坐标为（x，-y）根据几何关系有 ， 解得 ， C点的坐标为（14R，-12.5R）。 （3）甲粒子到达C点的时间 根据几何关系可知乙粒子进入第四象限的水平分速度为 到达C点的时间 则甲乙两粒子出发的时间间隔 题型3 组合场—粒子在电场和磁场中往复运动 【例3】（多选）（2024·辽宁·模拟预测）如图所示，真空室中轴右侧存在连续排列的4个圆形边界磁场，圆心均在轴上，相邻两个圆相切，半径均为，磁感应强度均为。其中第1、3个圆形边界的磁场方向垂直于纸面向里，第2、4个圆形边界的磁场方向垂直于纸面向外，第4个磁场右侧有一个粒子接收屏与轴垂直，并与第4个磁场相切，切点为，在磁场上方和下方分别有一条虚线与磁场相切，上方虚线以上有一向下的范围无限大的匀强电场，下方虚线以下有一向上的范围无限大的匀强电场，电场强度大小均为。现将一群质量均为、电荷量均为（）的带电粒子从坐标原点向第一、四象限各个方向发射（不考虑平行于轴方向发射的粒子），射出速度大小均为。不计粒子重力，则下列说法正确的是（    ） A．所有粒子从点射出到最终被接收屏接收的过程中在电场中运动的时间均为 B．所有粒子从点射出到最终被接收屏接收的过程中在磁场中运动的时间均为 C．所有粒子从点射出到最终被接收屏接收的时间不相同 D．所有被接收屏接收的粒子均从点沿轴正方向射出 【答案】BC 【解析】AB．根据 代入粒子速度得 根据左手定则，粒子在第1个圆形磁场中做逆时针的圆周运动，由于粒子运动半径等于圆形磁场的半径。根据几何关系，粒子入射点、出射点、圆形磁场圆心、圆周运动圆心构成菱形，故粒子在第1个圆形磁场的出射方向均沿y轴正方向。粒子进入电场后先做匀减速直线运动，再反向做匀加速直线运动，返回磁场的速度率与射出时相等。同理，粒子第二次射出磁场的位置均在圆形磁场切点，所有粒子在第1个磁场中的运动时间相等，均为。粒子在第2个磁场中的运动为顺时针，运动规律同理于第1个磁场中的运动。最终所有粒子均到达M点。综上所述，所有粒子从点射出到最终被接收屏接收的过程中在电场中运动的时间均为 所有粒子从点射出到最终被接收屏接收的过程中在磁场中运动的时间均为 A错误，B正确； C．所有粒子在电场和磁场中的运动时间都相同，在真空中的运动路程一般不同，时间不同，则运动的总时间不同，C正确； D．由AB选项可知，所有被接收屏接收的粒子到达点的速度方向不同，只有沿轴正方向射入的粒子会沿轴正方向射出，D错误。 故选BC。 【变式3-1】（多选）（23-24高三上·河南周口·月考）跑道式回旋加速器其工作原理如图所示，两个匀强磁场区域Ⅰ、Ⅱ的边界平行，相距为，磁感应强度大小相同均为，方向垂直纸面向里。两条横向虚线之间的区域内存在水平向右、场强大小为的匀强电场（虚线之间的距离忽略不计），方向与磁场边界垂直。质量为、电荷量为的粒子从电场的P端飘入电场（初速度忽略不计），多次经过电场加速和磁场偏转后，从位于边界上的出射口射出，，不计粒子的重力，下列说法正确的是（　　） A．粒子第一次加速后的速度 B．增加匀强电场，粒子最终从射出的速度变大 C．粒子从射出的速度大小与磁场的距离无关 D．该粒子加速次后从射出 【答案】AD 【解析】A．粒子第一次在匀强电场中加速，则有 解得粒子第一次加速后的速度为 故A正确； BC．粒子从出射口C射出时的速度最大，大小为vmax，此时粒子在磁场中做匀速圆周运动的轨道半径最大，为，粒子在磁场中做匀速圆周运动，由洛伦兹力提供向心力，则有 解得粒子最终从射出的速度为 则粒子最终从射出的速度与匀强电场场强大小无关，与磁场的距离有关，故B、C错误； D．粒子在电场中加速次数是n，粒子在电场中加速过程，则有 而最大动能为 则最大加速次数为 故D正确。 故选AD。 【变式3-2】（24-25高三上·海南·月考）如图所示，在平面直角坐标系确定的平面内，虚线OM与x轴负方向的夹角为45°，虚线OM右侧区域I内存在垂直xOy平面向里的匀强磁场，虚线OM左侧区域II内存在沿y轴正方向的匀强电场。一质量为m、电荷量为q的带正电粒子从原点O沿x轴正方向以速度射入磁场，此后当粒子第一次穿过边界线OM时速度方向与y轴平行，并恰好能到达x轴上的P点。已知原点O与P点间的距离为d，不计粒子受到的重力，求： （1）匀强磁场的磁感应强度大小B； （2）匀强电场的电场强度大小E； （3）粒子从O点射出至第四次穿过边界线OM所用的时间以及此时到O点的距离。 【答案】（1） （2） （3）， 【解析】（1）由题意，可画出粒子在磁场和电场中的运动轨迹如图所示 由于粒子在磁场中的匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力公式，根据牛顿第二定律可得 由几何关系得 解得 （2）粒子在电场中的匀减速运动，由动能定理，得 解得 （3）粒子在磁场中运动的周期为 粒子第一次在磁场中运动的时间为 第一次穿过边界线OM时到O点的距离为 在电场中的加速度为 粒子第一次在电场中来回的时间为 粒子第二次在磁场中还是以速度运动，则粒子第二次在磁场中的时间为 此时沿边界线OM移动的距离为 粒子第二次在电场中以初速度做类平抛运动，则 在x方向 在y方向 联立解得 此时沿边界线OM移动的距离为 则粒子从O点射出至第四次穿过边界线OM的时间 第四次穿过边界线OM时到O点的距离为 【变式3-3】（24-25高三上·河北·开学考试）如图所示的平面内，轴上方存在平行于轴向下的匀强电场，轴下方存在垂直平面向外的匀强磁场，一质量为电荷量为的带电粒子，从轴上某点以的速度平行轴进入电场中，运动过程中带电粒子从轴上的点（图中未标出）首次进入磁场中，粒子在磁场中做匀速圆周运动，随后从轴上的点（图中未标出）首次离开磁场，此时粒子的速度方向与首次进入磁场时垂直，已知粒子首次离开磁场后恰能回到点，匀强磁场的磁感应强度大小为，不计粒子重力，求： （1）粒子在磁场中做圆周运动的半径； （2）匀强电场的场强大小； （3）若匀强磁场的磁感应强度大小变为为正整数），粒子能再次经过点，求可能的值及粒子相邻两次经过点的时间间隔。 【答案】（1） （2） （3）当，；当大于1， 【解析】（1）带电粒子进入磁场后做匀速圆周运动，如图所示： 设粒子进入磁场时速度与轴夹角为，则粒子再次从轴上点离开磁场时速度与轴夹角仍为，由题意可知 则 粒子进入磁场速度大小 由洛伦兹力提供向心力可得 解得 （2）粒子在电场中做平抛运动，由牛顿第二定律得 由运动学公式可得 联立解得 （3）①由题意可知，当时带电粒子可再次从电场中经过点，在电场中运动时间为，在磁场运动的时间为，有 ， 粒子相邻两次经过点的时间间隔 代入数据得 ②当大于1时带电粒子可再次从磁场中经过点，由洛伦兹力提供向心力可得 粒子第次从磁场中出来时恰好从点离开，由几何关系可知 解得 当时 一个周期内粒子在电场中的时间仍为，在磁场中的时间为，有 代入数据得 【变式3-4】（23-24高三上·江苏南京·月考）如图所示，在的空间中存在匀强电场，场强沿y轴负方向；在的空间中，存在匀强磁场，磁场方向垂直xOy平面（纸面）向外。一电量为q、质量为m的带正电的运动粒子，经过y轴上处的P1点时速率为v0，方向沿x轴正方向，然后，经过x轴上处的P2点进入磁场，并经过y轴上处的P3点，不计重力，求： （1）粒子到达P2时速度v的大小和方向； （2）磁感应强度B的大小； （3）粒子从P1运动到第二次通过P2点所用的时间。 【答案】（1），方向与x轴正方向成45°斜向右下方 （2） （3） 【解析】（1）粒子在电场中做类平抛运动，设粒子到达P2时速度v1与x轴正方向的夹角为α，根据平抛运动的推论得 解得 粒子到达P2时速度v的大小为 粒子到达P2时速度v的大小为，方向与x轴正方向成45°斜向右下方。 （2）粒子在磁场中做匀速圆周运动，根据牛顿第二定律得 P1P2是直径，根据勾股定理得 解得 （3）粒子从P1到P2的时间为 粒子从P2再次回到x轴的时间 解得 粒子从P1运动到第二次通过P2点所用的时间 解得 题型4 组合场与动量的综合 【例4】（2024·福建厦门·二模）如图所示，直角坐标系xOy平面内，第一、二象限分别存在垂直纸面向里的匀强磁场B和沿y轴正方向的匀强电场E，E、B大小均未知。质量为m、电荷量为－q（q > 0）的粒子从x轴负半轴M点与x轴正方向成60°射入电场，经电场偏转后以速度v0从点P（0，d）垂直y轴进入磁场，最后从N点与x轴正方向成60°射出磁场，不计粒子重力。 （1）求粒子进入电场时的速度大小； （2）求磁感应强度B的大小； （3）若粒子在磁场中受到与速度大小成正比的阻力f = kv（k为已知常量），粒子恰好从Q点（图中未标出）垂直x轴射出磁场，求Q点的坐标； （4）在第（3）问的情况下，求粒子从P点运动到Q点的轨迹长度。 【答案】（1）；（2）；（3）（）；（4） 【解析】（1）粒子进入电场后做斜抛运动，水平方向做匀速直线运动，竖直方向做类竖直上抛运动，则有 解得 （2）粒子在磁场中做匀速圆周运动，其轨迹如图所示 根据几何关系可得粒子在磁场中做圆周运动的轨迹半径为 解得 由洛伦兹力充当向心力有 解得 （3）对粒子受力分析可知，速度的轴的分量会产生轴的阻力与轴负方向的洛伦兹力；速度轴的分量，会产生轴的阻力与轴负方向的洛伦兹力，其受力分析如图所示 在x轴上，由动量定理有 由微元法累加后可得 其中 解得 则Q点的坐标为（）。 （4）同理在轴上有 微元法叠加后可得 解得 ，方向沿轨迹切线方向 阻力使得粒子速度减小，在切线方向有 由于沿着轨迹切线方向列动量定理，可得速度的变化量 微元叠加后可得 解得轨迹的长度为 【变式4-1】（23-24高三上·河南周口·月考）科学家们常利用电场、磁场控制粒子运动进行科学实验研究。如图所示，在的区域存在方向沿轴负方向的匀强电场；在的区域存在方向垂直于xOy平面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为。时刻，两个带正电粒子甲和乙同时以各自的初速度分别从轴上点和原点射出（甲发射方向未知，乙沿轴负方向）。经过一段时间后，甲和乙同时第一次到达轴并发生弹性正碰（速度共线），碰撞后两粒子带电量不发生变化。已知两个粒子的质量均为，所带电荷量均为。不考虑重力和两粒子间库仑力的影响。求： （1）两粒子发生正碰前瞬间甲粒子的速度大小； （2）若甲粒子与乙粒子发生正碰后经过一段时间甲再次经过轴上点，则匀强电场的场强大小为多少。 【答案】（1）；（2） 【解析】（1）设甲和乙发生正碰前瞬间速度分别为、，依据题意有 根据 所以 运动时间 联立得 （2）质量相等的甲、乙发生弹性正碰，碰撞前后速度交换，即碰撞后瞬间甲和乙的速度分别变为、，依据题意有 根据牛顿第二定律 联立得 根据 得 联立得 【变式4-2】（2023·天津西青·模拟预测）如图所示，在x轴的上方存在垂直纸面向里，磁感应强度大小为B0的匀强磁场。位于x轴下方的离子源C发射质量为m、电荷量为q的一束负离子，其初速度大小范围，这束离子经电势差的电场加速后，从小孔O（坐标原点）垂直x轴并垂直磁场射入磁场区域，最后打到x轴上。在x轴上区间水平固定放置一探测板（），假设每秒射入磁场的离子总数为N0，打到x轴上的离子数均匀分布（离子重力不计）。 （1）求离子束从小孔O射入磁场后打到x轴最远处位置（用含的物理量a表示）； （2）调整磁感应强度的大小，可使速度最大的离子恰好打在探测板右端，求此时的磁感应强度大小B1； （3）保持磁感应强度B1不变，求每秒打在探测板上的离子数N；若打在板上的离子80%被吸收，20%被反向弹回，弹回速度大小为打板前速度大小的0.6倍，被吸收和被弹回的离子数在探测板上沿x轴均匀分布，求探测板受到的作用力大小。 【答案】（1）4a；（2）；（3） 【解析】（1）粒子进入电场中有 在磁场中有 打到x轴的距离为 由上述分析可知，当粒子在磁场中的半径最大，即最远，此时粒子从粒子源出来时的速度最大，解得 （2）由题意可知，速度最大粒子打在探测板最右侧，则由几何关系有 磁场中有 结合（1）中数据，解得 （3）对初速度为零的离子，经过电场加速度后，有 解得 在磁场中有 解得 磁感应强度为时，粒子打在x轴上的区间为[1.5a，3a]，每秒打在探测板上的离子数为 对打探测器最左端（）的离子，轨道半径为a，则离子在磁场中 解得 打到x轴上的离子均匀分布，所以打在探测板上的离子的平均速度为 被吸收和弹回的离子数在探测板上沿x轴均匀分布，由动量定理可得 解得单位时间内探测板受到的作用力 【变式4-3】（2024·江苏扬州·模拟预测）中国航天科技集团自主研制的300瓦霍尔电推进系统已经顺利完成低轨卫星的机动变轨任务，整个卫星的运行轨道被抬升了300公里。我国现阶段霍尔推进器，在地面实验中，其推力达到了牛级，处于国际领先水平。小明同学受到启发设计了如图所示装置研究电荷运动及作用力，三束比荷为、速度为、相邻间距的平行带正电粒子a、b、c持续均匀射入一半径的圆形匀强磁场区域后汇聚于点，随后进入右侧间距、边界为M、N的区域中。在边界N处放置一个足够大荧光屏，圆形磁场圆心与点及荧光屏上坐标原点连线共轴且垂直荧光屏。 （1）求圆形磁场区域的磁感应强度的大小； （2）若在MN的区域中加上水平向右、磁感应强度的匀强磁场，求a束粒子打在屏上的位置坐标； （3）若在MN的区域中加上（2）中磁场的同时再加上水平向右、电场强度的匀强电场。某次实验中，整个装置安装在一个飞船模型上，把荧光屏变更为粒子喷射出口。已知粒子质量，单位时间内每束粒子有个喷出，求粒子持续从射入磁场到喷出过程对飞船模型的冲力大小。（冲力计算结果请保留根号） 【答案】（1）；（2）；（3） 【解析】（1）由洛伦兹力提供向心力得 解得 （2）由 得 粒子运动周期 运动时间 运动半径 则a束粒子打在屏上的位置坐标为。 （3）由 得 在向右的方向上 由 解得 由动量定理 得 在y方向上 解得 则粒子持续从射入磁场到喷出过程对飞船模型的冲力大小 题型5 叠加场—直线运动 【例5】（24-25高三上·河北沧州·月考）如图所示，空间内存在相互垂直的匀强电场和匀强磁场，电场方向水平向右，磁场方向水平向里，磁感应强度大小为B，一电荷量为q、质量为m的小球，在与磁场垂直的平面内沿直线运动，该直线与电场方向夹角为45°。a、b（图中未标出）为轨迹直线上的两点，两点间距离为d，重力加速度为g，小球由a运动到b的过程中所用时间t及电势能的变化量分别为（　　） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【解析】带电小球做直线运动，合力方向沿直线或合力为零，洛伦兹力与速度方向垂直，大小与速度成正比，重力及电场力均恒定，若速度大小变化必为曲线运动，所以小球只能做匀速直线运动，受力情况如图所示 由平衡条件可得 电场力方向与电场方向相同，小球一定带正电，根据左手定则可知，小球一定斜向右上方运动，由a到b的过程中，电场力做正功 则电势能的减少量为 根据平衡条件，洛伦兹力大小 解得 故小球的运动时间 故选B。 【变式5-1】（24-25高二下·全国·课后作业）带电油滴以速度大小水平向右垂直进入磁场，恰做匀速直线运动，如图所示，若油滴质量为m，磁感应强度大小为B，重力加速度为g，则下列说法正确的是（  ） A．油滴必带正电荷，电荷量为 B．油滴必带正电荷，比荷为 C．油滴必带负电荷，电荷量为 D．油滴带什么电荷都可以，只要满足 【答案】C 【解析】由于带电油滴在磁场中恰好做匀速直线运动，且受到的重力方向竖直向下，因此洛伦兹力方向必定向上。由左手定则可知油滴一定带负电荷，且满足 所以 故选C。 【变式5-2】（多选）（24-25高二上·安徽合肥·月考）如图所示，在垂直纸面向外的匀强磁场中，一质量为m、电荷量为的带电滑块从光滑绝缘斜面的顶端由静止释放，滑至底端时恰好不受弹力，已知磁感应强度的大小为B，斜面的倾角为，重力加速度为g，滑块可视为质点，下列说法正确的是（　　） A．滑块滑至底端时的速率为 B．滑块滑至底端时的速率为 C．滑块经过斜面中点时的速率为 D．斜面的高度为 【答案】AC 【解析】AB．由左手定则可知，滑块所受洛伦兹力垂直斜面向上，滑块滑至底端时恰不受弹力，则有 解得 故A正确，B错误； C．设斜面的高度为，设滑块经过斜面中点时的速率为，由动能定理得 解得 故C正确； D．滑块从斜面顶端运动到底端的过程中，由动能定理得 代入数据解得 故D错误。 故选AC。 【变式5-3】（24-25高三上·北京·开学考试）如图所示，在真空中两块带电金属板a、b水平正对放置，在板间形成匀强电场，电场方向竖直向上。板间同时存在与匀强电场正交的匀强磁场，方向垂直纸面向外。假设电场、磁场只存在于两板间的空间区域。一束电子以一定的初速度从两板的左端中央，沿垂直于电场、磁场的方向射入场中，恰好无偏转地通过场区。已知板长为l，两板间距为d，两板间电势差为U，电子的质量为m、电荷量为e，不计电子所受重力和电子之间的相互作用力。 （1）求磁感应强度B的大小； （2）若撤去磁场，求电子离开电场时偏离入射方向的距离y； （3）若撤去磁场，求电子穿过电场的整个过程中动能的增加量。 【答案】（1） （2） （3） 【解析】（1）电子恰好无偏转地通过场区，根据平衡条件有 解得 （2）撤去磁场，电子做类平抛运动，则有 根据牛顿第二定律有 解得 （3）根据动能定理有 解得 【变式5-4】（22-23高三上·广西百色·月考）如图所示，水平面上方有正交电磁场区域足够宽，匀强磁场方向沿水平方向（图中所示），磁感应强度大小为B，匀强电场方向竖直向下，场强大小为E；不计厚度、内壁光滑的竖直小圆筒内底部静止放有一质量为m、带电荷量为+q的带电微粒。现让小圆筒以加速度a由静止开始向右平动，在微粒开始沿筒壁上升瞬间，立即让小圆筒以此刻速度的2倍做匀速运动，已知小圆筒匀速运动的距离为小圆筒长度的2倍时，微粒恰好离开小圆筒，并在此刻撤去匀强电场。不计重力大小，则： （1）小圆筒由静止开始运动，经过多长时间微粒将沿筒壁上升； （2）小圆筒的长度； （3）求微粒离开小圆筒后能上升的最大高度（距离圆筒上端口的最大高度）。 【答案】（1） （2） （3） 【解析】（1）设经过时间微粒的速度大小为时，微粒开始沿管壁上升，有 解得 （2）开始沿管壁上升后，受力分析如图所 竖直方向上由牛顿第二定律可得 解得 由此可知，微粒沿竖直方向上做初速度为0的匀加速运动，设微粒在小圆筒内运动的时间为，离开小圆筒时竖直速度为，该过程由题意有 解得 则小圆筒的长度为 联立解得 （3）微粒离开小圆筒后在竖直平面内做匀速圆周运动，速度大小为 设微粒离开小圆筒时速度方向与水平方向夹角为，有 解得 洛伦兹力提供向心力，有 微粒离开小圆筒后能上升的最大高度为 联立解得 【变式5-5】（23-24高二下·天津南开·期末）如图所示，平行的两极板a、b间存在正交的匀强电场和匀强磁场I，正离子以的速度沿极板中线匀速飞出极板，进入匀强磁场区域II，匀强磁场I和匀强磁场II的磁感应强度大小、方向均相同。已知极板板长板间距板间电压（离子比荷不计离子重力，求： （1）匀强电场电场强度E的大小和匀强磁场磁感应强度B的大小； （2）撤去磁场I，离子离开电场时速度的大小； （3）撤去磁场I后，要使离子不从边界射出，磁场II的宽度至少为多少。 【答案】（1），；（2）；（3） 【解析】（1）根据匀强电场的电势差与电场强度关系有 带电粒子沿极板中线匀速飞出极板，由平衡条件有 解得 （2）撤去磁场I，离子离开电场时，在方向有 在电场强度方向上 离子离开电场时速度 解得 （3）设粒子进入磁场时速度与方向所成夹角为，则有 进入磁场II由洛伦兹力提供向心力，有 解得 撤去磁场I后，要使离子不从边界射出，磁场II的宽度至少为 解得 题型6 叠加场—匀速圆周运动 【例6】（23-24高二下·江苏扬州·月考）如图所示，在匀强电场和匀强磁场共存的区域内，电场的场强为E，方向竖直向下，磁场的磁感应强度为B方向垂直于纸面向里，一质量为m的带电粒子，在场区内的一竖直平面内做半径为R的匀速圆周运动，已知重力加速度为g，则可判断该带电粒子（　　） A．带有电荷量为的负电荷 B．沿圆周逆时针运动 C．粒子运动到最低点的时电势能最低 D．运动的速率为 【答案】A 【解析】A．带电粒子在竖直平面内做匀速圆周运动，重力与电场力平衡，电场力方向竖直向上，与电场方向相反，则粒子带负电，令电荷量大小为q，则有 解得电荷量 故A正确； B．粒子做圆周运动，由洛伦兹力提供向心力，粒子带负电，根据左手定则可判断粒子沿顺时针方向运动，故B错误； C．结合上述可知，电场力方向竖直向上，粒子运动到最低点，电场力做负功最多，则粒子运动到最低点的时电势能最高，故C错误； D．粒子做圆周运动，由洛伦兹力提供向心力，则有 结合上述有 解得 故D错误。 故选A。 【变式6-1】（多选）（2025·湖北·一模）如图所示，在绝缘挡板的上方有一无限大的匀强电场和匀强磁场复合区域，匀强磁场垂直纸面向外且磁感应强度，匀强电场方向竖直向上。在P处弹射装置能够弹射质量为0.01kg，电荷量大小为的小球，小球的速度方向竖直向上，大小为。小球经过磁场偏转后与挡板发生碰撞，每一次碰撞前后小球电荷量不变且碰撞后小球速度变为碰撞前的一半，形成的部分轨迹为一系列相连的半圆。重力加速度的大小，下列说法正确的是（   ） A．小球带正电 B．电场强度的大小为 C．小球相邻两次与挡板碰撞的时间间隔不变，均为 D．小球最终位置与P点的距离为2m 【答案】AD 【解析】AB．小球的运动轨迹是圆弧，故带电小球在复合场内做圆周运动，电场力与重力平衡，有 小球受到的电场力竖直向上，故小球带正电，且电场强度的大小为 故A正确，B错误； C．带电小球在磁场中运动的周期为 小球每相邻两次与挡板碰撞的时间间隔等于带电小球在磁场中运动周期的一半，故小球每相邻两次与挡板碰撞的时间间隔不变，为 故C错误； D．根据洛伦兹力提供向心力可得 带电小球在磁场中运动的半径为 每次碰撞后速度变为原来的一半，半径也变为原来的一半，则有 小球最终停止的位置与P点的距离为 故D正确。 故选AD。 【变式6-2】（24-25高三上·河北承德·开学考试）卫星磁聚焦霍尔电推进系统的基本原理为：等离子体以恒定速率向上射入两个网状极板EF、之间的区域Ⅰ，此区域存在着磁感应强度大小为B、垂直于纸面向里的匀强磁场，当等离子体不再发生偏转时，撤去磁场并关闭粒子通道，就在EF、之间形成了一个稳定电场。在间距为d的CD、AG两极板间存在着磁感应强度大小也为B、垂直于纸面向外的匀强磁场区域Ⅱ，磁场右边界为半圆，半圆与两极板相切，两切点、O分别为两极板的中点。在O处有一氙离子源，能以某一速率沿各方向发射带正电的氙离子，经过该磁场区域后形成宽度为d的平行向右的离子束，经过EF、间的电场加速后从右边喷出。已知CD、AG两极板长L=2d，EF、两极板的间距，氙离子的电荷量为q，质量为m，不计离子重力及离子间相互作用力。 （1）求在两个网状极板间产生的电压； （2）求氙离子从喷出时的动能； （3）若CD、AG两极板间的磁感应强度减半，且充满在CD、AG两极板间的整个区域，求能通过网状极板的离子在磁场中运动的最短时间。 【答案】（1） （2） （3） 【解析】（1）设某一等离子的电荷量为时恰好可以匀速穿过磁场区域，则有 解得 （2）氙离子在磁场中的圆周半径 则氙离子在磁场中的速度，则有 解得 设粒子穿过的动能为，由动能定理可知 整理可得 （3）由于CD、AG两极板间的磁感应强度减半，此时粒子在磁场中的圆周半径为 要使粒子运动时间最短，粒子运动轨迹如图所示 设粒子在磁场中运动时间为，则 在EF、两极板间做匀加速直线运动，由牛顿第二定律可得 解得 氙离子从喷出时的动能 对应喷出的速度 所以离子在EF、磁场中运动的时间 故离子在磁场中运动的最短时间 【变式6-3】（23-24高二上·安徽合肥·期末）如图所示，直角坐标系xOy位于竖直平面内，在第二、三、四象限内存在平行于y轴向上的匀强电场，在第三、四象限内存在磁应强度为B、方向垂直xOy平面向外的匀强磁场。质量为m、电荷量为q的带正电小球，从y轴上的A点水平向右抛出，记为小球第一次通过y轴，经x轴上的M点进入电场和磁场，恰能做匀速圆周运动，已知，磁感应强度，不计空气阻力，重力加速度为g。求： （1）电场强度E的大小和粒子经过M点的速度大小； （2）粒子第三次经过y轴时的纵坐标。 【答案】（1）；（2） 【解析】（1）因小球在第四象限做匀速圆周运动，故重力和电场力平衡，故： 解得 小球在第Ⅰ象限平抛，由运动学规律，有 联立解得 竖直方向速度 经过M点的速度大小为 （2）小球在第四和第三象限做匀速圆周运动，为圆心，MN为弦长，；小球在第二象限做匀速直线运动，第三次经过y轴的点记为Q，如图所示 设半径为r，小球在磁场中做匀速圆周运动，有 由几何关系知 由 小球在第二象限做匀速直线运动，有 联立求得 【变式6-4】（23-24高二下·安徽蚌埠·期末）如图所示，在平面直角坐标系xOy中，有沿x轴正向的匀强电场和垂直坐标平面向外的匀强磁场，电场强度大小为，磁感应强度大小为B。从O点发射一比荷为的带正电微粒，该微粒恰能在xOy坐标平面内做直线运动。已知y轴正方向竖直向上，重力加速度为g。 （1）求微粒发射时的速度大小和方向； （2）若仅撤去磁场，微粒以（1）中的速度从O点射出后，求微粒通过y轴时到O点的距离； （3）若仅撤去电场，微粒改为从O点由静止释放，求微粒运动的轨迹离x轴的最大距离。 【答案】（1），轴负方向夹角为；（2）；（3） 【解析】（1）由题意知，粒子做匀速直线运动，受力分析如图 则 解得 粒子出射的速度方向与轴负方向夹角为 解得 即微粒发射的速度大小为 与轴负方向夹角为； （2）撤去磁场后，粒子做类平抛运动，如图 将速度分解可得 轴方向的加速度大小 经过轴时的时间 。 距点的距离 （3）解法1： 微粒运动的轨迹离轴的距离最大时，速度与轴平行，设最大距离为，在方向上，由动量定理得 即 由动能定理得 解得 解法2： 将静止释放的微粒看成同时有大小相等、方向水平向左和向右的初速度，向左的速度产生的洛伦兹力与重力大小相等（如图） 则 解得 向左的分速度使微粒水平向左匀速直线运动，向右的分速度使微粒在洛伦兹力下做匀速圆周运动，即 解得 微粒运动的轨迹离轴的最大距离 题型7 叠加场—一般曲线运动 【例7】（多选）（2025·安徽蚌埠·一模）如图甲所示，M和N是竖直放置的足够长的不带电平行金属板，间距为d，两板间有垂直纸面向外磁感应强度为B的匀强磁场。一电子从M板上的小孔垂直金属板射入，打到N板时的速度方向与射入方向的夹角为30°。若让两板分别带上图乙所示的等量异种电荷，电子以同样的速度射入后恰好打不到N板，已知电子的比荷为k，则（　　） A．图甲中电子的轨迹半径为d B．图甲中电子从射入到打在N板所需的时间为 C．电子从小孔射入时的速度大小为2Bkd D．图乙中两极板间的电势差大小为 【答案】CD 【解析】ABC．图甲中电子的运动轨迹如图所示 根据几何关系可得 可得电子的轨迹半径为 由洛伦兹力提供向心力可得 可得电子从小孔射入时的速度大小为 电子从射入到打在N板所需的时间为 故AB错误，C正确； D．图乙中设电场强度大小为，将电子射入速度进行如图分解 其中竖直向下分速度产生的洛伦兹力与电场力平衡，则有 可得 可知电子在复合场中将以竖直向下做运动直线运动，同时以速率逆时针做匀速圆周运动，电子以同样的速度射入后恰好打不到N板，则对于圆周运动的轨迹如图所示 根据几何关系可得 由洛伦兹力提供向心力可得 联立可得 可得 又 联立解得 则图乙中两极板间的电势差大小为 故D正确。 故选CD。 【变式7-1】（多选）（23-24高二下·江西九江·期末）如图所示，在磁感应强度大小为B、水平向里的匀强磁场中，直线MN既水平又垂直于磁场，磁场空间还有电场强度大小为E、竖直向下的匀强电场。质量为m、电荷量为q的带正电粒子从MN上的a点以大小为v的速度沿MN向右射出，粒子运动的部分轨迹如图中的实线所示，轨迹上的b点在MN上，c点是轨迹的最高点。已知，不计空气阻力和粒子的重力。在粒子从a运动到b的过程中，下列说法正确的是（　　） A．c点距MN的距离为 B．a、b两点间的距离为 C．粒子在c点受到的向心力大小为 D．粒子运动的加速度大小恒定不变 【答案】ACD 【解析】A．由题意可知，粒子的运动可以分为一个向右的匀速直线运动的分运动，粒子这个分运动所受的洛伦兹力与粒子所受的电场力平衡 速度大小为 则另一个分运动是匀速圆周运动，速度大小为 粒子做匀速圆周运动的周期为 由 解得 粒子从a到c是半个周期，c点距MN的距离为 故A正确； B．粒子从a到b是做匀速圆周运动的一个周期，分运动匀速圆周运动的位移为零，分运动匀速直线运动的位移大小就是a、b两点间的距离为 故B错误； C．粒子在c处时速度产生的洛伦兹力与重力平衡，此时速度水平向左沿轨迹的切线方向，故产生的洛伦兹力提供向心力，即 故C正确； D．粒子做匀速直线运动的分加速度为零，做匀速圆周运动的分加速度大小不变，两个分运动的加速度的矢量和大小不变，故D正确。 故选ACD。 【变式7-2】（多选）（2024·广东·模拟预测）空间中存在竖直向下、电场强度为E的匀强电场和垂直纸面向里、磁感应强度大小为B的匀强磁场。电场、磁场均未画出。一质量为m、电荷量为q（）的粒子只在电场力和洛伦兹力作用下，从I点由静止开始运动，以I点为原点建立平面直角坐标系，粒子运动轨迹如图所示，粒子在轨迹上任意一点的坐标为（x，y）。J点是轨迹上的第一个最低点，以粒子开始运动时为计时起点，则下列说法正确的是（　　） A．J点的坐标为 B．粒子在轨迹上任意点的速率为 C．时，粒子速度与轴正方向夹角为 D．若电场强度的大小突然加倍，则粒子可能做匀速直线运动 【答案】ABD 【解析】A．粒子在I点的速度为0，根据配速法，将粒子在I点的速度配成沿x轴正方向的与沿x轴负方向的，且使得x轴正方向的所受洛伦兹力与电场力平衡，即有 粒子的运动可以看为x轴正方向的匀速直线运动与逆时针运动的匀速圆周运动两个分运动，则有 解得 圆周运动的周期 当粒子运动到J点时，根据分运动的等时性与独立性有 ， 解得 ， 即J点的坐标为，故A正确； B．粒子运动过程中，洛伦兹力不做功，根据动能定理有 解得 故B正确； C．结合上述可知 此时，圆周分运动的线速度方向与匀速直线分运动的速度方向垂直，由于两分速度大小相等，可知，此时粒子合速度与轴正方向夹角为，故C错误； D．结合上述可知，当粒子运动到最低点时，圆周分运动的线速度方向与匀速直线分运动的速度方向均沿x轴正方向，此时的洛伦兹力 根据左手定则可知，此时洛伦兹力的分析沿y轴负方向，于电场方向相反。若此时电场强度的大小突然加倍，即电场力与洛伦兹力大小相等，方向相反，粒子所受合力为0，则粒子随后将以的速度，沿x轴正方向做匀速直线运动，故D正确。 故选ABD。 【变式7-3】（23-24高三上·云南昆明·月考）如图所示，在直角坐标系xOy中，存在着场强为，在第二、三象限内存在着磁感应强度均为，方向垂直纸面向里的匀强磁场。一长为L的绝缘细线，一端固定在坐标原点，另一端拴着质量为m、电荷量为q的正电小球，现将细线拉直到水平位置，当小球运动到最高点时，细线受到的拉力恰好达到它能承受的最大值而断裂。当细线断裂，并多次经过x轴。已知在第二象限内小球第一次到x轴的坐标绝对值为，重力加速度为g （1）细线能承受的最大拉力； （2）小球进入第二象限后运动过程中的最小速率； （3）小球从进入第二象限开始至第一次到达x轴所用的时间。 【答案】（1）3mg （2）0 （3） 【解析】（1）小球在竖直平面内做圆周运动，在最高点根据牛顿第二定律有 根据动能定理有 代入数据解得 T=3mg （2）小球进入第二象限后向下偏转，多次经过x轴，由动能定理 联立，解得 y=L，v1=0 所以，小球运动到x轴时有最小速率为0。 （3）小球进入第二象限后，做复杂曲线运动将任意时刻的速度沿x轴和y轴分解为vx和vy，洛伦兹力也分解成对应的fx，fy，则有 fx=qBvy，fy=qBvx 由动量定理知，以x方向为正方向有 即 qBL=mv 以y方向为正方向有 即 qBx﹣mgt=0 联立，解得 【变式7-4】（24-25高三上·山东济南·开学考试）如图所示，在坐标系轴右侧存在垂直于纸面向里的匀强磁场，磁场内有一足够长的挡板垂直于轴放置，挡板与轴的水平距离为；轴左侧某矩形区域内（图中未画出）存在匀强电场，第二象限内有一粒子源，坐标为。某时刻一带正电粒子从点以初速度沿轴负方向射出，经电场偏转后经过点水平向右进入磁场，速度大小也为，此过程中粒子的轨迹全部位于电场内，粒子进入磁场后运动轨迹恰好与挡板相切。已知粒子质量为，电荷量为，不计粒子的重力，不考虑场的边界效应，求 （1）匀强磁场的磁感应强度的大小； （2）轴左侧电场强度的大小及电场区域的最小面积； （3）若在轴右侧磁场区域施加与轴左侧电场场强大小相等、方向水平向右的匀强电场，并改变挡板与轴的距离，使带电粒子的运动轨迹仍恰好与挡板相切，求此时挡板与轴的水平距离。 【答案】（1） （2）， （3） 【解析】（1）根据洛伦兹力提供向心力 粒子进入磁场后运动轨迹恰好与挡板相切，根据几何关系可得 联立解得 （2）粒子从点以初速度沿轴负方向射出，经电场偏转后经过点水平向右进入磁场，可知速度变化量与轴正方向的夹角为，则电场强度轴正方向的夹角为，将点的速度沿电场方向和垂直于电场方向分解，如图所示 垂直电场方向有 沿电场方向 加速度为 联立解得 电场区域的最小面积 （3）将分解成，，其中满足 解得 根据左手定则可知方向沿轴正方向，根据速度的合成分解可得 且 如图所示 则粒子的运动可看成速度大小为的匀速直线运动与速度大小为的匀速圆周运动的合运动。根据洛伦兹力提供向心力 解得 带电粒子的运动轨迹仍恰好与挡板相切，求此时挡板与轴的水平距离 题型8 叠加场与动量的综合 【例8】（23-24高二下·安徽·月考）如图所示，光滑绝缘的水平面上有甲、乙两个绝缘小球，乙球静止在垂直纸面向里的磁场内，甲球静止在磁场外，甲、乙两球质量分别为、，甲球不带电，乙球带有的正电荷。某时刻给甲球一个大小为的初速度，甲球进入磁场后与乙球发生正碰，碰后乙球电荷量不变，向右运动过程中刚好对水平面没有压力，已知匀强磁场的磁感应强度大小为0.5T，重力加速度g取，下列说法正确的是（　　） A．碰撞后甲球运动速度大小为 B．碰撞后乙球运动速度大小为 C．碰撞过程乙球对甲球的冲量大小为 D．甲对乙所做的功与乙对甲所做的功绝对值相等 【答案】B 【解析】AB．碰撞过程，根据动量守恒定律有 碰后乙球电荷量不变，向右运动过程中刚好对水平面没有压力，则有 解得 ， 故A错误，B正确； C．结合上述可知，碰撞过程乙球对甲球的冲量大小为 故C错误； D．乙对甲所做的功的大小 甲对乙所做的功的大小 即甲对乙所做的功与乙对甲所做的功绝对值不相等，故D错误。 故选B。 【变式8-1】（多选）（23-24高二上·湖北荆州·期末）如图所示，光滑的细直硬杆水平固定放置，磁感应强度大小为的匀强磁场垂直纸面向里，质量为、带电量为的带正电圆环（视为质点）套在硬杆上，在斜向右下方与水平方向成夹角的恒定拉力的作用下，从静止开始运动，重力加速度为，下列说法正确的是（　　） A．圆环的加速度先增大后减小 B．经过一段时间，拉力的冲量大小为，合力的冲量大于 C．当硬杆对圆环的弹力为0时，圆环的速度为 D．当杆对圆环的弹力向上且大小等于时，圆环的动量为 【答案】CD 【解析】A．把分别沿着水平方向和竖直方向分解，竖直方向的分力为 圆环的合力为 由牛顿第二定律可得圆环的加速度为 所以圆环的加速度不变，做初速度为0的匀加速直线运动，A错误； B．经过一段时间，拉力的冲量大小为 合力的冲量大小为 B错误； C．当硬杆对圆环的弹力为0时，竖直方向由三力平衡可得 综合解得 C正确； D．同理，当杆对圆环的弹力向上且大小等于时，有 圆环的动量为 综合可得 D正确。 故选CD。 【变式8-2】（24-25高三上·河北保定·开学考试）如图所示，直角坐标系xOy平面内，第一、二象限分别存在垂直纸面向里的匀强磁场B和沿y轴正方向的匀强电场E，E、B大小均未知。质量为m、电荷量为的粒子从x轴负半轴M点与x轴正方向成60°射入电场，经电场偏转后以速度从点P（0，d）垂直y轴进入磁场，最后从N点与x轴正方向成60°射出磁场，不计粒子重力。 （1）求磁感应强度B的大小； （2）若粒子在磁场中受到与速度大小成正比的阻力f=kv（k为已知常量），粒子恰好从Q点（图中未标出）垂直x轴射出磁场，求Q点的坐标； （3）在第（2）问的情况下，求粒子从P点运动到Q点的轨迹长度。 【答案】（1） （2） （3） 【解析】（1）粒子进入电场后做斜抛运动，水平方向做匀速直线运动，竖直方向做类竖直上抛运动，则有 解得 粒子在磁场中做匀速圆周运动，其轨迹如图所示 根据几何关系可得粒子在磁场中做圆周运动的轨迹半径为 解得 由洛伦兹力充当向心力有 解得 （2）对粒子受力分析可知，速度的x轴的分量会产生x轴的阻力与y轴负方向的洛伦兹力；速度y轴的分量，会产生y轴的阻力与x轴负方向的洛伦兹力，其受力分析如图所示 在x轴上，由动量定理有 由微元法累加后可得 解得 则Q点的坐标为 （3）同理在y轴上有 微元法叠加后可得 解得 切线方向，阻力使得粒子速度减小，在切线方向有 - 微元叠加后可得 - 解得轨迹的长度为 【变式8-3】（2024·江苏南通·一模）利用磁场实现离子偏转是科学仪器中广泛应用的技术。如图所示，在xOy平面内存在区域足够大的方向垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B。位于坐标原点O处的离子源能在xOy平面内持续发射质量为m、电荷量为q的负离子，其速度方向与y轴夹角的最大值为45°，且各个方向速度大小随变化的关系为，式中为未知定值，且的离子恰好通过坐标为（L，L）的P点。不计离子的重力及离子间的相互作用，并忽略磁场的边界效应。 （1）求关系式中的值； （2）求离子通过界面时y坐标的最大值和最小值； （3）为回收离子，在界面右侧加一宽度为L且平行于轴的匀强电场，如图所示，为使所有离子都不能穿越电场区域，求电场强度的最小值E。 【答案】（1）；（2），；（3） 【解析】（1）根据题意可知，当时，即沿轴正方向发射的离子恰好通过坐标为（L，L）的P点，则其轨迹的圆心一定在轴上，设轨迹的半径为，由几何关系有 解得 即圆心在界面与轴的交点，又有 其中 解得 （2）根据题意，由牛顿第二定律有 解得 由几何关系可知，所有离子运动轨迹圆心均在的界面上，则离子通过界面的临界轨迹如图所示 即离子沿左侧射出时，通过界面的坐标最大，离子沿右侧射出时，通过界面的坐标最小，此时离子运动的半径为 由几何关系可得 （3）综合上述分析可知，离子通过界面时，速度与界面垂直，则为使所有离子都不能穿越电场区域，即保证速度最大的离子不能通过即可，即当离子以射入时速度最大，最大速度为 离子在轴方向上运动方向最大位移为L，此时速度为，在复合场区域任意时间，由动量定理可得 两边求和有 解得 由动能定理有 解得 即电场强度的最小值 【变式8-4】（2024·全国·一模）如图所示，光滑水平地面上放置一质量为m的不带电绝缘长木板，空间中存在水平向右的匀强电场E和垂直纸面向里的匀强磁场B，E、B大小均未知。时，在木板上表面静止释放一个质量为m的带正电物块，物块所受电场力大小为mg（g为重力加速度），物块与木板间的动摩擦因数。（已知）时，物块速度为且恰好飞离木板，再经过时间，物块速度的水平分量第一次减到0，且恰好到达右侧光滑竖直墙壁的P点。已知物块可视为质点，忽略木板厚度，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，物块飞离木板前木板未与墙壁发生碰撞，求： （1）电场强度与磁感应强度的大小之比； （2）时，木板速度的大小； （3）时间内，物块与木板间摩擦发热量： （4）物块运动过程中距地面的最大高度。 【答案】（1）；（2）；（3）；（4） 【解析】（1）物块在电场力作用下向右运动，则受向右的电场力qE=mg，向下的重力mg，竖直向上的洛伦兹力f洛以及木板的摩擦力f，开始时假设物块和木板相对静止，则共同加速度为 此时木板受摩擦力 可知，假设成立； 时，物块速度为且恰好飞离木板，则此时 可得电场强度与磁感应强度的大小之比 （2）在时间内对木块 对木板 解得 （3）0 ~ t1时间内，对物块分析有 [Eq－μ（mg－qvB）]t = mv 微元叠加有 mgt1–μmgt1＋μqBL = mv0 得 根据能量守恒有 解得 （4）从t1时刻经过t2时间，对物块水平方向由动量定理 竖直方向由动量定理 由动能定理 而 可得 到达P点后物块向上做匀减速运动，则还能上升的高度为 则物块运动过程中距地面的最大高度 题型9 粒子在交变场中的运动 【例9】（2024·福建莆田·三模）如图甲所示，平面直角坐标系xOy的第一象限（含坐标轴）内有垂直平面周期性变化的均匀磁场（未画出），规定垂直xOy平面向里的磁场方向为正，磁场变化规律如图，已知磁感应强度大小为，不计粒子重力及磁场变化影响。某一带负电的粒子质量为m、电量为q，在时从坐标原点沿y轴正向射入磁场中，将磁场变化周期记为，要使粒子在时距y轴最远，则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】粒子在磁场中做匀速圆周运动，0~时间内，有 解得 周期为 时间内，有 解得 周期为 要求在T0时，粒子距y轴最远，做出粒子运动轨迹如图 根据几何关系，可得 解得 则0~时间内圆周运动转过的圆心角为 可得 联立，解得 故选A。‍ 【变式9-1】（多选）（2024·青海·一模）如图甲所示，、为竖直放置且彼此平行的两块不带电平板，板间距离为，两板中央各有一个小孔、正对，在两板间有垂直于纸面方向的磁场，磁感应强度随时间的变化如图乙所示，取垂直纸面向里的磁场方向为正方向。有一正离子（受到的重力不计）在时垂直于板从小孔射入磁场，且正离子在磁场中做匀速圆周运动的周期与磁感应强度变化的周期都为，不考虑由于磁场变化而产生的电场的影响。要使正离子从孔垂直于板射出磁场，正离子射入磁场时的速度大小的可能值为（　　） A． B． C． D． 【答案】BD 【解析】要使正离子从O′孔垂直于N板射出磁场，v0的方向应如图所示 结合粒子运动的方向可知，当运动的轨迹是多个周期，所以 t=nT0（n=1.2.3…） 其中 且 （n=1.2.3…） 联立上式可得，正离子的速度 （n=1.2.3…） 故选BD。 【变式9-2】（2024·福建漳州·二模）如图甲的空间中存在随时间变化的磁场和电场，规定磁感应强度B垂直xOy平面向内为正方向，电场强度E沿x轴正方向为正方向，B随时间t的变化规律如图乙，E随时间t的变化规律如图丙。时，一带正电的粒子从坐标原点O以初速度沿y轴负方向开始运动。已知、、，带电粒子的比荷为，粒子重力不计。 （1）求粒子在磁场中做圆周运动的周期T； （2）求时，粒子的位置坐标； （3）在内，若粒子的最大速度是，求与的比值。 【答案】（1）；（2）；（3） 【解析】（1）粒子在磁场中做圆周运动的周期 （2）内，粒子在磁场中做匀速圆周运动，根据牛顿运动定律有 解得 由（1）问可知粒子在磁场中做圆周运动的周期 则粒子在内运动了半周期恰好又回到x轴，速度方向沿y轴正方向      即此时粒子位置的坐标为 （3）内粒子的运动轨迹如图所示，在内，粒子受到沿x轴正方向电场力的作用，粒子做类平抛运动，粒子在x方向做匀加速运动 当时，粒子具有最大速度，粒子沿x轴方向的分速度为      沿y轴方向的分速度为 则      解得 【变式9-3】（23-24高二下·福建厦门·月考）如图1所示，竖直边界分别为P和Q的区域，其内部分布着垂直纸面向里的匀强磁场和竖直方向上的周期性变化的电场，电场随时间变化的关系如图2所示，表示电场方向竖直向上。在时刻，一带电量为+q、质量为m的带电微粒从边界P上的A点处水平射入该区域，先沿直线运动到某点，再经历一次完整的半径为L的匀速圆周运动，最后沿直线运动从边界Q上的B点处离开磁场，重力加速度为g。求： （1）图2中的； （2）微粒刚进入磁场时的速度及磁场的磁感应强度B。 【答案】（1）；（2）， 【解析】（1）由题可知，粒子在复合场中做匀速圆周运动，则 解得 （2）粒子开始做直线运动时 做圆周运动时 联立解得 【变式9-4】（24-25高三上·广东珠海·月考）如图甲所示，长度为、内径为的圆柱形直管道水平固定，放置在水平方向且磁感应强度大小为的匀强磁场中（磁场方向可变）。位于管道一端管口的水平轴线上，处固定一粒子源，其可发射质量为、带电荷量为的电子。 （1）若从发出的电子的速度方向竖直向上，磁场的方向垂直纸面向里，粒子在管道内运动时，恰好不与管壁碰撞，求从发出的电子的速率； （2）若从发出的电子的速度大小和方向与（1）问相同，以点为原点，沿轴线向右建立坐标轴x，磁感应强度与坐标按图乙所示规律分布，磁场方向以垂直纸面向里为正。设电子经过磁场边界时，会立即进入另一磁场，则要使电子从管道轴线的另一端离开管道，求图中的值和管道长度的值； （3）若从发出的电子的速度大小为，方向斜向右上方，与水平轴线方向的夹角为。磁场的方向平行于轴线方向向右。经过一段时间后电子恰好从管道轴线的另一端离开管道，且整个过程粒子都不会与管道碰撞，则、分别应满足什么条件？ 【答案】（1） （2），（，，） （3），（，，） 【解析】（1）粒子在管道内做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，有 粒子恰好不与管壁碰撞，则有 解得 （2）画出电子的运动轨迹，如图所示 由图可知，要满足题意，必有 （，，） （3）将速度v沿竖直方向和水平方向分解，电子在管道内螺旋转动，它可分解为沿轴线方向的匀速直线运动和垂直轴线方向的匀速圆周运动；轴线方向有 垂直轴线方向有 因不能与管壁碰撞，则有 解得 粒子的运动周期为 又 联立解得 （，，） 【变式9-5】（23-24高二下·江苏无锡·期中）平面内存在着变化电场和变化磁场，变化规律如图所示，磁感应强度的正方向为垂直纸面向里、电场强度的正方向为方向。时刻，一电荷量为、质量为的粒子从坐标原点以初速沿方向入射（不计粒子重力）。图中，图中。求： （1）粒子在磁场中运动时的轨道半径的大小； （2）时刻粒子的坐标； （3）时间段内粒子轨迹纵坐标的最大值。 【答案】（1）；（2）（，）；（3） 【解析】（1）粒子在磁场中做圆周运动，由洛伦兹力提供向心力，则有 解得 （2）粒子在磁场中圆周运动的周期 在时间内，粒子所受合力为电场力，根据牛顿第二定律有 解得 粒子在电场中做类平抛运动，则有 ， 在时间内，粒子完成了一个完整的圆周运动，即时刻粒子的坐标为（，）。 （3）结合上述，作出粒子的运动轨迹，如图所示 根据轨迹图可知 ， 时间段内粒子轨迹纵坐标的最大值 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$