第一章直角三角形的边角关系基础检测2024-2025学年北师大版数学九年级下册

2024-2025学年北师大版数学九年级下册 第一章 直角三角形的边角关系 基础检测 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.在中，，、、所对的边分别为、、，则下列选项中正确的是(    ) A. B. C. D. 2.化简等于(    ) A. B. C. D. 3.如图，海中有一小岛，在点测得小岛在北偏东方向上，渔船从点出发由西向东航行到达点，在点测得小岛恰好在正北方向上，此时渔船与小岛的距离为(    ) A. B. C. D. 4.、、的大小关系是(    ) A. B. C. D. 5.在等腰三角形中，，，则等于(    ) A. B. 或 C. 或 D. 6.如图，在中，于点，若，分别为，的中点，则的长为(    ) A. B. C. D. 7.小明去爬山，在山脚看山顶角度为，小明在坡比为：的山坡上走，此时小明看山顶的角度为如图所示，则山高为(    ) A. B. C. D. 8.如图，过的边上的一点不与点重合作于点，过点作于点，则下列线段的比等于的是(    ) A. B. C. D. 9.如图，某数学兴趣小组测量一棵树的高度，在点处测得树顶的仰角为，在点处测得树顶的仰角为，且、、三点在同一直线上，若，则这棵树的高度是(    ) A. B. C. D. 10.如图，在平面直角坐标系中，，连接并延长至点，连接，若满足，，则点的坐标为(    ) A. B. C. D. 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。 11.如图，河堤横断面迎水坡的坡比是：，堤高，则坡面的长度为           12.如图，在“镖形”中，，，，则点到的距离为______． 13.如图，从航拍无人机看一栋楼顶部的仰角为，看这栋楼底部的俯角为，无人机与楼的水平距离为，则这栋楼的高度为          ． 14.如图，折叠矩形的一边，使点落在边的点处，已知折痕，且，则的长是          ． 15.图，从甲楼底部处测得乙楼顶部处的仰角是，从甲楼顶部处测得乙楼底部处的俯角是，已知甲楼的高是，则乙楼的高是          结果保留根号 16.如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，点在轴的正半轴上，四边形是平行四边形，，反比例函数在第一象限内的图象经过点，与交于点，若点为的中点，且的面积为，则的值为______． 三、解答题：本大题共5小题，共46分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17.求锐角：； 计算：． 18.本小题分如图是一座人行天桥的示意图，已知天桥的高度米，坡面的倾斜角，距点米处有一建筑物，为了方便行人推自行车过天桥，市政府决定降低坡面的坡度，把倾斜角由减至，即使得新坡面的倾斜角为． 求新坡面的长度； 试求新坡面底部点到建筑物的距离． 19.本小题分如图，一枚运载火箭从地面处发射，当火箭到达点处时．地面处的雷达站测得的距离是，仰角为经过后，火箭直线上升到达点处，此时地面处的雷达站测得处的仰角为求火箭从到处的平均速度结果精确到，参考数据：， 20.本小题分数学活动小组到某广场测量标志性建筑的高度．如图，他们在地面上点测得最高点的仰角为，再向前至点，又测得最高点的仰角为，点，，在同一直线上，求该建筑物的高度．参考数据：，， 21.本小题分八年级数学兴趣小组开展了测量体育馆高度的实践活动测量方案如表： 课题 测量体育馆高度 测量工具 测角仪、皮尺等 测量方案示意图 测量步骤 在体育馆外的地面选定一点； 测量的度数； 测量的长度； 放置一根与长度相同的标杆，垂直于地面共线； 测量的度数． 测量数据 ，，，． 请你根据兴趣小组的测量方案及数据，计算体育馆的高度． 答案和解析 1.【答案】  【解析】在中，．，故 A错误；．，故B错误；．，故 C正确；．，故 D错误．故选C． 2.【答案】  【解析】解：， ． 原式． 故选：． 根据特殊角的三角函数值确定与的大小关系化简即可． 本题考查特殊角的三角函数值的计算和二次根式的化简，在中考中经常出现． 3.【答案】  【解析】如图，连接，由题意得，，在中，，，，此时渔船与小岛的距离为，故选 D． 4.【答案】  【解析】解：． ， ， ． 故选C． 先把正弦化成余弦，然后根据锐角三角函数值的变化规律：锐角余弦值随着角度的增大而减小进行排列大小． 本题考查了锐角三角函数的增减性以及互余角的三角函数关系，当角度在间变化时，正弦值随着角度的增大或减小而增大或减小；余弦值随着角度的增大或减小而减小或增大；正切值随着角度的增大或减小而增大或减小也考查了互余两角的三角函数之间的关系． 5.【答案】  【解析】【分析】 本题考查了解直角三角形以及等腰三角形的性质，分及两种情况，求出的值是解题的关键． 分及两种情况考虑：当时，过点作于点，利用等于三角形的性质可得出，，再通过解直角三角形可求出的值；当时，过点作于点，利用等于三角形的性质可得出，，再通过解直角三角形可求出的值．综上，此题得解． 【解答】 解：当时，过点作于点，如图所示． ，， ，． 在中，，，， ； 当时，过点作于点，如图所示． ，， ，． 在中，，，， ． 综上所示：或． 故选：． 6.【答案】  【解析】【分析】根据条件可知为等腰直角三角形，则，是、的直角三角形，可求出长，再根据中位线定理可知。 【详解】解：因为垂直， 则和都是直角三角形， 又因为 所以， 因为， 所以， 因为为的中位线， 所以， 故选：． 7.【答案】  【解析】【分析】 本题考查俯角、仰角的定义，要求学生能借助坡比、仰角构造直角三角形并结合图形利用三角函数解直角三角形． 构造两个直角三角形与，分别求解可得与的值，再利用图形关系，进而可求出答案． 【解答】 解：：：， ， ：：：：， 米， 米， 米， 设米， ， 米． 又， ． 即：， 解得． ， 米． 答：山高为米． 故选：． 8.【答案】  【解析】【分析】 此题主要考查了锐角三角函数定义，关键是掌握锐角的对边与邻边的比叫做的正切． 根据垂直定义可得，，进而可得，再利用正切定义可得答案． 【解答】 解：由题意，， 此时，没有符合的选项； ， ， ， ， ， ． 只有选项C正确， 故选C． 9.【答案】  【解析】【分析】 本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．设米，则米，在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，然后在中，利用锐角三角函数列出关于的方程，进行计算即可解答． 【解答】 解：设米， 米， 米， 在中，， 米， 在中，， ， ， 经检验：是原方程的根， ， 这棵树的高度是． 故选A． 10.【答案】  【解析】解：过点作轴，垂足为， ， ， ， ∽， ， ，， ， ， ， ， 在中，， ， ， ， 在中，， ， ，， ∽， ， ， ， ， ， 故选：． 本题考查了锐角三角函数定义，勾股定理，坐标与图形的性质，相似三角形的判定与性质． 过点作轴，垂足为，根据已知易证∽，从而可得，然后在中求出与的长，最后证明∽，利用相似三角形的性质即可解答． 11.【答案】  【解析】解：中，，：， ， ． 故答案为：． 在中，已知了坡面的坡比以及铅直高度的值，通过解直角三角形即可求出斜面的长． 此题主要考查学生对坡度坡角的掌握及三角函数的运用能力，熟练运用勾股定理是解答本题的关键． 12.【答案】  【解析】解：延长交于点，过点作于点，过点作于点，如图． ， ，． 又， ， ， ． 又，， ． ． 即到距离为． 故答案为：． 延长交于点，过点作于点，过点作于点，如图．根据三角函数的定义得到，求得根据三角函数的定义即可得到结论． 本题考查了解直角三角形、等腰三角形性质等知识，关键是作出正确辅助线，构造直角三角形解题． 13.【答案】  【解析】【分析】本题考查解直角三角形的实际应用，作于点，利用三角函数分别解和即可． 【详解】解：如图，作于点，则，    在中，， ， 在中，， ， ， 即这栋楼的高度为， 故答案为：． 14.【答案】  【解析】解：折叠矩形的一边，使点落在边的点处， ，， 设，则，由勾股定理得， ， ，， ， ， ，， 在中由勾股定理得， ， ， 故AD． 故答案为：． 根据，设，在中可得，，根据，利用三角函数的知识求出，然后在中利用勾股定理求出，继而代入可得出答案． 此题考查了翻折变换的知识，解答本题关键是根据三角函数值，表示出每条线段的长度，然后利用勾股定理进行解答，有一定难度． 15.【答案】  【解析】【分析】利用等腰直角三角形的性质得出，再利用锐角三角函数关系得出答案． 【详解】解：由题意可得：， 则． 又， 在中， ， ． 故答案为：． 16.【答案】  【解析】解：设，过点作轴于，过点作轴于点， 平行四边形， ，， ≌， ， ， ， ，， ， ， ， 为的中点， ， ，， ，， ， ， 点，都在的图象上， ， ， ， ， ，， ， ， 故答案为：． 先设，过点作轴于，根据，得出，，求出的值，根据，求出平行四边形的面积，根据为的中点，求出，根据，，得出，，再根据点，都在的图象上，，求出，得出，的长，即可得答案． 此题考查了反比例函数的综合，用到的知识点是全等三角形、平行四边形、反比例函数、三角形的面积等，要注意运用数形结合的思想． 17.【答案】【小题】 ． 【小题】 原式．   【解析】 略  略 18.【答案】解：在中，，米， 则米， 答：新坡面的长度为米； 在中，，米， 米， 米， 米， 在中，，米， 则米， 米， 答：新坡面底部点到建筑物的距离为米．  【解析】根据含角的直角三角形的性质计算； 根据等腰直角三角形的性质求出，进而求出，根据正切的定义求出，计算即可． 本题考查的是解直角三角形的应用坡度坡角问题，熟记锐角三角函数的定义是解题的关键． 19.【答案】  【解析】【分析】本题考查解直角三角形的实际应用，分别解，求出的长，利用路程除以时间，求出速度即可． 【详解】解：由题意，得：，， 在中，； 在中，， ， 火箭从到处的平均速度为． 20.【答案】  【解析】【分析】设，分别在和中，利用锐角三角形求出的长，即可求解． 【详解】解：根据题意得：， 设， 在中，， ， 在中，， ， ， ， 解得：， 即该建筑物的高度． 21.【答案】解：由题意得：，， ， ， ， ， ， ， ≌， ， 体育馆高度的值为．  【解析】根据题意可得：，，从而可得，再根据直角三角形的两个锐角互余可得，然后利用证明≌，从而利用全等三角形的性质可得，即可解答． 本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，全等三角形的应用，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 第17页，共17页 学科网（北京）股份有限公司 $$