期中模拟卷（基础卷）（考试范围：立体几何+直线和圆+椭圆）-2024-2025学年高二第一学期数学重难热点提升精讲与过关测试（人教A版）

期中模拟卷（基础卷） 题号 一 二 三 四 总分 得分 练习建议用时：120分钟 满分：150分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题绐岀的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．无论为何值，直线过定点（    ） A． B． C． D． 2．已知向量，若，且，则的值为（    ） A．0 B．4 C．0或4 D．1或4 3．以下方程表示椭圆的是（    ） A． B． C． D． 4．已知平行六面体的各棱长均为，，则（    ） A． B． C． D． 5．在中，点，点，点A满足，则面积的最大值为（    ） A． B． C． D． 6．已知圆与圆相交于，两点，且，则实数（   ） A．或 B． C． D． 7．我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的棱柱称为堑堵.已知在堑堵中，，，分别是所在棱的中点，则下列3个直观图中满足的有（    ）    A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 8．已知椭圆：的左、右焦点分别为，，P是上一点，且，H是线段上靠近的四等分点，且，则的离心率为（   ） A． B． C． D． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多顶符合题目要求。全部选对的得6分，有选错的得0分，若只有2个正确选顶，每选对一个得3分，若有3个正确选顶，每选对一个得2分. 9．点P在圆上，点Q在圆上，则（    ） A．的最小值为0 B．的最大值为7 C．两个圆心所在直线的斜率为 D．两个圆的公共弦所在直线的方程为 10．已知椭圆：的离心率为，长轴长为6，，分别是椭圆的左、右焦点，是一个定点，是椭圆上的动点，则下列说法正确的是（   ） A． B．椭圆的标准方程为 C． D．的最大值为 11．在三棱锥中，已知，，点分别是的中点，则（    ） A． B．平面平面 C．三棱锥的体积为 D．三棱锥的外接球的表面积为11 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共计15分. 12．直线与轴交于点，将绕点顺时针旋转得到直线，则直线的一般式方程为 . 13．如图，在正四棱柱中，为棱上的一个动点，给出下列四个结论： ①； ②三棱锥的体积为定值； ③存在点，使得平面； ④存在点，使得平面. 其中所有正确结论的序号是 . 14．已知为坐标原点，为椭圆上任意一点，延长至，使，记点的轨迹为曲线，则曲线的方程为 ；若过点的直线交曲线于两点，则面积的最大值为 . 四、解答题：本题共5小题，共计77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．已知直线和的交点为． (1)若直线经过点且与直线平行，求直线的方程； (2)若直线经过点且与两坐标轴围成的三角形的面积为，求直线的方程． 16．棱长为2的正方体中，分别是的中点，在棱上，且是的中点.建立适当的空间直角坐标系，解决下列问题： (1)求证：； (2)求； (3)求的长. 17．已知圆 (1)若直线过定点，且与圆C相切，求直线的方程； (2)若圆D的半径为3，圆心在直线上，且与圆C外切，求圆D的方程． 18．已知椭圆的离心率为，且经过点． (1)求椭圆的标准方程； (2)不经过点的直线与椭圆交于，两点，若直线和的斜率互为相反数，证明：直线的斜率为定值． 19．如图，在四棱锥中，底面为正方形，侧棱底面，，，为的中点，点在线段上运动.    (1)线段上是否存在点，满足∥平面？若存在，求的值，若不存在，说明理由； (2)当直线与平面所成的角最大时，求线段的长度. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 期中模拟卷（基础卷） 题号 一 二 三 四 总分 得分 练习建议用时：120分钟 满分：150分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题绐岀的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．无论为何值，直线过定点（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由得：， 由得 ∴直线恒过定点. 故选：A. 2．已知向量，若，且，则的值为（    ） A．0 B．4 C．0或4 D．1或4 【答案】C 【详解】因为且，所以，解得， 又因为，所以， 当时解得，此时， 当时解得，此时， 故选：C 3．以下方程表示椭圆的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】A选项，方程，即，表示圆，不是椭圆，A选项错误. B选项，方程，即，方程中间是减号，不是椭圆，B选项错误. C选项，方程，即， 表示焦点在轴上的椭圆，C选项正确. D选项，方程右边不是，不是椭圆，D选项错误. 故选：C 4．已知平行六面体的各棱长均为，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】    如图，不妨取 则 因， 故 ，则. 故选：A. 5．在中，点，点，点A满足，则面积的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设，则， 由得， 化简得， 故点的轨迹为以为圆心，为半径的圆（除去与轴的两个交点）， 故点到直线的距离最大值为， 故面积的最大值为. 故选：B 6．已知圆与圆相交于，两点，且，则实数（   ） A．或 B． C． D． 【答案】A 【详解】由圆与圆的两方程相减可得： 相交弦的直线方程为：， 又由圆的圆心坐标为，半径为2，结合弦长， 可得圆心到相交弦的距离为：， 则由点到直线的距离公式可得：，化简得：， 解得或. 故选：A. 7．我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的棱柱称为堑堵.已知在堑堵中，，，分别是所在棱的中点，则下列3个直观图中满足的有（    ）    A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【详解】在从左往右第一个图中，因为，所以， 因为侧棱垂直于底面，所以面， 如图，以为原点建立空间直角坐标系，设，    因为分别是所在棱的中点，所以 所以，，故， 即得证，在从左往右第二个图中，我们建立同样的空间直角坐标系，    此时，所以，， 故，所以， 在从左往右第三个图中，我们建立同样的空间直角坐标系，    此时， 故，，即，所以不垂直， 则3个直观图中满足的有个，故C正确. 故选：C 8．已知椭圆：的左、右焦点分别为，，P是上一点，且，H是线段上靠近的四等分点，且，则的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意可作图如下： 由题意可知：， ∴中点：，即 ∴四等分点：，即 ∴， ∴，即 又∵， ∴ ∴ ∴ ∵离心率 ∴ ∴ 故选：C 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多顶符合题目要求。全部选对的得6分，有选错的得0分，若只有2个正确选顶，每选对一个得3分，若有3个正确选顶，每选对一个得2分. 9．点P在圆上，点Q在圆上，则（    ） A．的最小值为0 B．的最大值为7 C．两个圆心所在直线的斜率为 D．两个圆的公共弦所在直线的方程为 【答案】BC 【详解】圆，圆心，半径. 圆的一般方程化成标准方程，得，则圆心，半径， 两圆圆心距，，， A选项错误，B选项正确. 两个圆心所在直线的斜率， C选项正确. 又，所以两圆外离，不相交，没有公共弦， D选项错误. 故选：BC. 10．已知椭圆：的离心率为，长轴长为6，，分别是椭圆的左、右焦点，是一个定点，是椭圆上的动点，则下列说法正确的是（   ） A． B．椭圆的标准方程为 C． D．的最大值为 【答案】ABD 【详解】由题意可知：，解得， ∴，A选项正确； ∴ ∴椭圆：，B选项正确； ∵，∴，C选项错误； ， 当且仅当在之间且它们三点共线时等号成立，D选项正确； 故选：ABD 11．在三棱锥中，已知，，点分别是的中点，则（    ） A． B．平面平面 C．三棱锥的体积为 D．三棱锥的外接球的表面积为11 【答案】ABD 【详解】三棱锥中，已知，,三棱锥补形为长方体，如图所示， 则有，解得，以为原点，的方向为轴，轴，轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，点M，N分别是AD，BC的中点， 则有, 所以， 所以,故A选项正确； 设平面的法向量为，, 所以，则，即， 同理可得，平面的法向量为， 所以，所以， 所以平面平面，故B选项正确； 三棱锥，三棱锥，三棱锥，三棱锥，体积都为， 三棱锥的体积等于长方体体积减去这四个三棱锥体积为， 故C选项错误；长方体的外接球的半径为， 这个外接球也是三棱锥的外接球，其表面积为，故D选项正确. 故选：ABD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共计15分. 12．直线与轴交于点，将绕点顺时针旋转得到直线，则直线的一般式方程为 . 【答案】 【详解】在中令得，所以， 又直线的斜率为，倾斜角为，将绕点顺时针旋转得到直线的倾斜角为， 所以直线的斜率为，直线方程为， 一般式为. 故答案为：． 13．如图，在正四棱柱中，为棱上的一个动点，给出下列四个结论： ①； ②三棱锥的体积为定值； ③存在点，使得平面； ④存在点，使得平面. 其中所有正确结论的序号是 . 【答案】①②③ 【详解】以为原点，所在的直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 如图所示，则， 设，则， 因为，所以，即，所以①正确； 由，因为的面积为定值，点到平面的距离也是定值， 所以为定值，所以②正确； 又由 设平面的法向量为，则， 取，可得，所以， 因为，由，解得，所以③正确； 又因为，，则， 所以不存在点，使得平面，所以④错误. 故选：①②③. 14．已知为坐标原点，为椭圆上任意一点，延长至，使，记点的轨迹为曲线，则曲线的方程为 ；若过点的直线交曲线于两点，则面积的最大值为 . 【答案】 . 【详解】    设，因为，则， 将点代入椭圆方程可得， 即曲线的方程为； 连接，由可知，所以， 设， 当直线的斜率存在时，设直线的方程为， 代入曲线的方程可得， 则， 所以 ， 将直线的方程为代入曲线的方程可得， 因为与曲线有公共点，所以， 化简可得，令，则， 所以； 当直线的斜率不存在时，设直线的方程为， 代入曲线的方程可得， 所以， 令，则，则； 综上所述，面积的最大值为， 则面积的最大值为. 故答案为：； 四、解答题：本题共5小题，共计77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．已知直线和的交点为． (1)若直线经过点且与直线平行，求直线的方程； (2)若直线经过点且与两坐标轴围成的三角形的面积为，求直线的方程． 【答案】(1) (2)或 【详解】（1）解：联立的方程，解得，即 设直线的方程为：，将带入可得 所以的方程为：； （2）解：法①：易知直线在两坐标轴上的截距均不为，设直线方程为：， 则直线与两坐标轴交点为，由题意得， 解得：或 所以直线的方程为：或， 即：或. 法②：设直线的斜率为，则的方程为， 当时， 当时， 所以，解得：或 所以m的方程为或 即：或. 16．棱长为2的正方体中，分别是的中点，在棱上，且是的中点.建立适当的空间直角坐标系，解决下列问题： (1)求证：； (2)求； (3)求的长. 【答案】(1)证明见解析； (2)； (3). 【详解】（1）证明：以为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图所示， 则由题意得， 因为，， 所以， 所以，所以. （2）由（1）可得， 所以. （3）由（1）得，所以. 17．已知圆 (1)若直线过定点，且与圆C相切，求直线的方程； (2)若圆D的半径为3，圆心在直线上，且与圆C外切，求圆D的方程． 【答案】(1)或 (2)或 【详解】（1）圆 化为标准方程为， 所以圆C的圆心为，半径为 ①若直线的斜率不存在，即直线为，符合题意． ②若直线的斜率存在，设直线的方程为即 由题意知，圆心到已知直线的距离等于半径2， 所以，即， 解得，所以直线方程为 综上，所求直线的方程为或 （2）依题意，设 又已知圆C的圆心为，半径为2， 由两圆外切，可知， 所以， 解得或所以或， 所以所求圆D的方程为或 【点睛】本题考查圆的方程，直线与圆的位置关系及圆与圆的位置关系，属于中档题． 先求出圆心和半径，然后分成直线斜率存在或不存在两种情况，利用圆心到直线的距离等于半径列方程可求得直线的方程． 设出圆D圆心坐标，利用两圆外切，连心线等于两圆半径的和列方程，可求得a的值，从而求得圆D的方程． 18．已知椭圆的离心率为，且经过点． (1)求椭圆的标准方程； (2)不经过点的直线与椭圆交于，两点，若直线和的斜率互为相反数，证明：直线的斜率为定值． 【答案】(1) (2)证明见解析 【详解】（1）因为，所以． 又在上，所以， 解得，， 则椭圆的方程为． （2）证明：由题可知，直线的斜率显然存在， 设的方程为，，， 则，得， 则，， ． 又， 整理可得， 化简得， 即， 所以或． 当时，直线过点，不符合题意， 所以，即直线的斜率为定值． 19．如图，在四棱锥中，底面为正方形，侧棱底面，，，为的中点，点在线段上运动.    (1)线段上是否存在点，满足∥平面？若存在，求的值，若不存在，说明理由； (2)当直线与平面所成的角最大时，求线段的长度. 【答案】(1)存在， (2) 【详解】（1）存在符合题意的点，此时点为线段的中点. 底面为正方形， 也为线段的中点， 又为的中点，则为的中位线， . 又平面， 平面， 平面， 此时.    （2）如图，以为原点，分别以的方向分别为轴的正方向，建立空间直角坐标系， 则，则，， 设平面的一个法向量为, 则，即, 令，则，即， 因为点在线段上运动，可设,则, 设直线与平面所成角为, 则， 所以. 设，则, 因为当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减, 所以当时，取得最大值，即取得最大值, 又时，函数单调递增. 所以直线与平面所成角最大时，线段的长度为.    2 学科网（北京）股份有限公司 $$