第26章 反比例函数与一次函数的交点问题 专题训练 2023--2024学年人教版九年级数学下册

学习是一个快乐而充满挑战的过程！ 第26章 反比例函数与一次函数的交点问题 专题训练（解析版） 1．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，，则不等式的解集是（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】A 【分析】此题主要考查函数与不等式之间的关系，解题的关键是正确理解函数图象和性质． 观察函数图象即可求解． 【详解】解： 观察图象可得，当或时，一次函数的图象位于反比例函数图象的上方， ∴不等式的解集为或． 故选：A． 2．已知正比例函数的图象与反比例函数的图象的一个交点坐标为，则它们的另一个交点坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了正比例函数与反比例函数的交点问题，以及关于原点对称的点的坐标互为相反数，据此即可作答． 【详解】解：∵正比例函数的图象与反比例函数的图象的一个交点坐标为， ∴则它们的另一个交点坐标是 故选：D 3．数形结合是数学中的一种重要思想方法，在解题中运用数形结合常常可以优化解题思路，简化解题过程．如图，直线与双曲线相交于点．根据图象可知关于的方程的解是（    ）    A．或1 B．或2 C．1或2 D．或 【答案】A 【分析】根据反比例函数图象和一次函数图像的交点直接判断即可． 【详解】解：∵直线与双曲线相交于点， ∴关于的方程的解是或1． 故选：A． 【点睛】本题主要考查反比例函数图象和一次函数图像的交点问题，明确函数图像上各交点坐标代表的意义是解决本题的关键． 4．如图，直线与轴交于点，与反比例函数的图象交于点，过点作轴于点，，则反比例函数的表达式为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是反比例函数与一次函数的交点问题．先求出点的坐标，然后表示出、的长度，根据，求出点的横坐标，代入直线解析式求出纵坐标，用待定系数法求出即可． 【详解】解：∵直线与轴交于点， 当时， ∴，即， ∵， ∴， ∴点的横坐标为， ∵点在直线上， ∴点， 将代入， ∴， ∴， ∴反比例函数的解析式． 故选：B． 5．在同一直角坐标平面内，若直线与双曲线没有交点，则（   ） A． B． C．，同号 D．，异号 【答案】D 【分析】本题主要考查了一次函数与比例函数的交点问题，由已知条件可得出无解，即，解可求解． 【详解】解：∵直线与双曲线没有交点， ∴， ∴无解， 即， ∴，异号， 故选：D． 6．如图，在直角坐标系中，直线与函数的图象相交于点A、B，设A点的坐标为，那么长为，宽为的矩形面积和周长分别是（  ） A．4，12 B．4，6 C．8，12 D．8，6 【答案】A 【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数综合，二次根式的混合计算，解一元二次方程，先联立两函数解析式求出，则，再根据矩形面积公式和周长公式求解即可． 【详解】解：联立，解得 或， 经检验，这两组解都是方程组的解， ∴， ∴， ∴长为，宽为的矩形面积为，周长为， 故选：A． 7．如图，在直角坐标系中，直线与坐标轴交于，两点，与双曲线交于点，连接，过点作轴，垂足为点，且．则下列结论正确的个数是（    ） ①；②点到的距离为；③方程有一个解为；④当，． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】先求出，，得，，从而得，．从而，利用面积公式计算判断①，利用面积法求出点到的距离判断②，利用数形相结合判断③和④即可． 【详解】解：直线中，当时，，令，则，解得， ∴，， ∴， ∴， ∵轴轴， ∴ ∵轴， ∴， ∴， ∵． ∴． ∴， ∴，故①错误； 设点到的距离为为， ∵轴，， ∴， ∵，即， ∴点到的距离为为，故②正确； ∵，， ∴， ∵直线与坐标轴交于，两点，与双曲线交于点， ∴方程有一个解为，故③正确； ∵当时，直线在双曲线的下方， ∴当时，，故④正确． ∴正确的个数是个， 故选∶． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的判定及性质，直角三角形的性质，一次函数与坐标轴的交点及一次函数与双曲线的交点问题，熟练掌握直角三角形的性质，一次函数与坐标轴的交点及一次函数性质是解题的关键． 8．如图，一次函数的图像与反比例函数在第一象限的图像交于和两点，与x轴交于点C，下列说法：①反比例函数的关系式；②根据图像，当时，x的取值范围为或；③若点P在x轴上，且，点P的坐标．其中所有正确结论的序号是（    ）    A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】A 【分析】本题考查用待定系数法求反比例函数解析式，反比例函数图象性质，一次函数与反比例函数交点问题，直线与坐标围成的三角形面积问题．①先把点代入中求出a得到，然后利用待定系数法即可得到反比例函数的表达式；②根据图象得出取值范围；③先求得，进而得出，设，则，利用三角形面积公式得到关于t的方程，求解即可． 【详解】解：把点点代入，得， ∴， 把代入反比例函数， ∴； ∴反比例函数的表达式为，故结论①正确； 把代入，得：， ∴， 根据图象可知，当时，x的取值范围为或，故结论②正确； 如图，连接，    对于， 当时，， ∴点， ∵， 又∵， ∴， 设，则， ∴， 解得：或， ∴或，故结论③错误． 故选：A． 9．如图，平面直角坐标系中，在反比例函数的图象上取点A，连接，与的图象交于点B，过点B作轴交函数的图象于点C，过点C作轴交函数的图象于点E，连接，，，与交于点F，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设点的坐标为则求出，，的坐标，从而得出，的长度，得出直线，直线的解析式，进而求出直线的解析式，然后求出点的坐标，将直线的解析式与反比例函数联立方程组，求出点的坐标，从而计算，，即可计算出比值． 【详解】解：设的坐标为， 由轴，可知点，点的横坐标相等， 则点的坐标为，的坐标为 ∴，， 设直线的解析式为，将点，代入得， 所以直线的解析式为①， 设直线的解析式为，将点代入得， 所以直线的解析式为③， 设直线的坐标为，将，的坐标代入得， ，解得 , ∴， 联立①②，得，解得：， ， 将③与联立得，， 解得：，，则， 所以 故选：B． 【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数的综合运用，以及求三角形的面积，解题的关键是通过假设未知数表示点的坐标，再将点的坐标代入解析式当中，联立方程组，求出其它一些相关点的坐标，再求出一些相关的线段的长度，根据三角形的面积公式求面积，再计算比值． 10．如图，在平面直角坐标系中，点B在第一象限，轴于点A，反比例函数的图象与线段相交于点C，且C是线段的中点，点C关于直线的对称点的坐标为，若的面积为4．则下列结论：①；②；③不等式的解集是；④，其中正确结论的序号是（   ） A．①②③ B．①④ C．②④ D．③④ 【答案】C 【分析】本题主要考查反比例函数图像与一次函数图像的交点问题，熟练掌握一次函数和反比例函数的性质是解题的关键．根据对称性求出点的坐标，进而得到与的长度，再根据已知三角形的面积列出的方程求出，求出待定系数法求出，解直角三角形求出的值，根据图像即可得到不等式的解集． 【详解】解：点C关于直线的对称点的坐标为， ， ， ， 的面积为， ， 解得，故①错误； ， ， ，故②正确； 解解得或， 反比例函数的图像与直线的交点为， 有图像可知，不等式的解集是，故③错误； 点在第一象限，轴于点，，， ，故④正确． 故答案为：②④． 故选C． 11．如图，点A、B是函数与的图象的两个交点，作轴于C，作轴于D，则四边形的面积为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查反比例函数的几何意义和三角形的面积公式 根据函数的解析式得到各线段的长度，将四边形分为四个小三角形即可求出面积 【详解】解：根据反比例函数的对称性可知，， ∴的面积都等于， ∴四边形的面积为， 故选：D. 12．在平面直角坐标系中，正比例函数与反比例函数的图象交于，两点，则的值是 ． 【答案】0 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合，根据正比例函数与反比例函数的两个交点关于原点对称进行求解即可． 【详解】解：∵正比例函数与反比例函数的图象交于，两点， ∴，两点关于原点对称， ∴， ∴， 故答案为：0． 13．若正比例函数与反比例函数图象的一个交点坐标为，则另一个交点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查正比例函数与反比例函数图象的交点问题，解题的关键是掌握：正比例函数与反比例函数图象的交点关于原点对称． 【详解】解：∵正比例函数与反比例函数的图象均关于原点对称， ∴两函数的交点关于原点对称， ∵一个交点的坐标是， ∴另一个交点的坐标是． 故答案为：． 14．如图，与相交于A．B两点，若在y轴有点C，满足，则C点坐标为    【答案】或 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，勾股定理，已两点求距离，熟练掌握知识点是解题的关键． 先联立直线表达式和反比例函数解析式求出点，设，借助于两点间距离公式和勾股定理建立方程求解即可． 【详解】解：由题意得， 解得：或， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∴， 解得：或， ∴或， 故答案为：或． 15．如图，正比例函数与反比例函数的图象相交于A、B两点，轴于点C，则的面积为 【答案】1 【分析】此题考查了一次函数和反比例函数综合题，由A与点B关于原点对称得到，再根据反比例函数的比例系数的几何意义即可求出答案. 【详解】∵正比例函数与反比例函数的图象相交于A、B两点， ∴点A与点B关于原点对称， ∴， ∵轴， ∴的面积 故答案为：1 16．如图，直线与y轴交于点A，与反比例函数的图象交于点C，过点C作轴于点B，，则k的值为 ． 【答案】5 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，确定点C坐标是解题的关键．先求出点坐标，进而求出点坐标，得到点坐标，即可得出结论． 【详解】∵直线与轴交于点，与反比例函数的图像交于点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴时，， 故， ∴， 故答案为：5． 17．如图，和都是等腰直角三角形，，点是正半轴上一点，点是反比例函数的图象上一点，点是AB上一点，OA与该反比例函数的图象交于点． （1）点的坐标为 ； （2）与的面积之差 ． 【答案】 8 【分析】本题主要考查了反比例函数的性质，等腰直角三角形的性质，求正比例函数解析式，坐标与图形，数形结合，熟练掌握待定系数法求出正比例函数解析式，是解题的关键． （1）设点A的坐标为，设直线的解析式为：，把代入得：，求出，得出直线的解析式为：，令，求出，得出点E的坐标为； （2）设点，则，得出，，根据得出m、n的关系，得出，表示出，，再求出结果即可． 【详解】解：（1）∵和都是等腰直角三角形， ∴，， ∵， ∴轴，， ∴点A的横纵坐标相同， 设点A的坐标为，设直线的解析式为：， 把代入得：， 解得：， ∴直线的解析式为：， 令， 解得：， ∵点E在第一象限， ∴舍去， ∴点E的坐标为； 故答案为：； （2）设点，则， ∴，， ∵， ∴， 解得：， ∴， ∵， ， ∴ ． 故答案为：8． 18．如图，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，与反比例函数的图象交于C，D两点，点M为线段的中点，轴交反比例函数图像于点N，P为x轴上任一点，若，则k的值为 ． 【答案】2 【分析】本题考查的是一次函数与反比例函数的综合应用，先求解，，，可得，再利用面积公式建立方程求解即可． 【详解】解：∵直线与x轴交于点A，与y轴交于点B， ∴，， ∵点M为线段的中点， ∴， ∵轴交反比例函数图像于点N， ∴， ∵， ∴， 解得：， 故答案为： 19．如图，一次函数与反比例函数的图象相交于，两点，连接． （1）k的值为 ； （2）若点M位于第一象限反比例函数的图象上，点N在线段上，若以O，B，M，N为顶点的四边形是平行四边形，则点M的坐标为 ． 【答案】 8 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合，平行四边形的性质，平移的性质等等： （1）先把A、B坐标代入一次函数解析式求出A、B坐标，再把点A坐标代入反比例函数解析式中求出k的值即可； （2）根据题意只存在平行四边形，则，，过点作轴的垂线，垂足为点，过作轴的垂线，过作轴的垂线，交点为，由于点B到点O的平移方式与点N到点M的平移方式相同，则，，可设，则，再把点N坐标代入中求出m的值即可得到答案． 【详解】解：（1），两点在一次函数图象上， ，， ，， ，， 点在反比例函数的图象上， ， ∴， 故答案为：8； （2）如图，由题意得只存在平行四边形 ∴，， 过点作轴的垂线，垂足为点，过作轴的垂线，过作轴的垂线，交点为， ∵， ∴点B到点O的平移方式与点N到点M的平移方式相同， ，， 反比例函数的图象上， 可设，则， 在上， ，即， ，， 经检验是原方程的根且符合题意，（不合题意，舍去）， 当时，， ， 故答案为：． 20．如图，的顶点在反比例函数的图象上，顶点在轴的正半轴上，，过原点作的平行线，交反比例函数的图象于点，连结交轴于点，连结．若，则的值为 ，四边形的面积为 ． 【答案】 / 【分析】本题考查反比例函数的几何意义，关键是掌握反比例函数的性质和待定系数法求函数解析式． 设点坐标为，，然后根据已知条件求出点坐标，用待定那个系数法求直线的解析式，再根据求出直线解析式，然后解方程组求出点坐标，求出点坐标，然后把，，坐标代入直线解析式，从而求出的值，再根据面积公式求面积． 【详解】解：设点坐标为，， ，点在轴上， ， 设的表达式为， 代入，得， 解得， 的表达式为， ， 的表达式为， 联立方程组， 解得， ，， ， 点，， 设直线的表达式为，代入，得：， 把点坐标代入得：， ， 解得， 点所在反比例函数解析式为， 则． 故答案为：，． 21．如图，一次函数与反比例函数的图象交于A，B两点，若将一次函数的图象向上平移个单位长度，与反比例函数图象的一个交点为M，已知点M的纵坐标为． （1）k的值为 ． （2）连接，，则的面积为 ． （3）当时，x的取值范围是 ． 【答案】 或 【分析】本题考查的反比例函数与一次函数的交点问题、一次函数图象上点的坐标特征、函数与不等式的关系． （1）先求出平移后的一次函数解析式，然后把M的纵坐标代入，求出M的坐标，最后由待定系数法即可求解； （2）联立方程组，求出A、B的坐标，由，即可求解； （3）观察函数图象即可求解． 【详解】解：（1）一次函数的图象向上平移个单位长度，新函数解析式为， 将代入，解得， ∴， 把代入，得， 解得， 故答案为：； （2）由（1）知， 设直线与y轴相交于点C， 当时，， ∴， ∴， 联立方程组，解得或， ∴，， ∴ ， 故答案为：8； （3）由图象知，当时，x的取值范围是或， 故答案为：或． 22．当直线与函数的图象至少有两个公共点时，关于k的不等式无解，则实数a的取值范围是 ． 【答案】或 【分析】本题考查一次函数与反比例函数的综合应用，根据必过点，求出当与以及与只有一个交点时的值，进而得到值的范围，再根据不等式无解，求出的范围即可． 【详解】解：∵， ∴当时，， ∴直线必过点， ∴当，与至少有一个交点时，满足题意， 令，则：， ∴， 解得：， 当，与至少有一个交点时，满足题意， 令，则：， ∴， 解得：， ∴当，直线与函数的图象至少有两个公共点， ∴， ∵ ∴， ∵， ∴， ∴， ∵不等式无解， ∴或； 故答案为：或． 23．如图，一次函数的图象与反比例函数（为常数且）的图象交于，两点，在反比例函数图象上存在一点P（不与A、B重合），连接，，使得，如果这样的P点恰好有两个，则m的取值范围是 ． 【答案】 【分析】先用待定系数法求出一次函数和反比例函数的解析式，根据条件求出与直线平行并且与双曲线只有一个交点的直线和，设、与双曲线的交点分别为，和是的两个临界值，即可得解． 【详解】解：将点代入中，得到， 反比例函数为， 将点代入中，得到， 点坐标为， 将点，代入中，得到， 解得， 一次函数为， 设与直线平行的直线为， 联立， 整理得：， 当直线与双曲线只有一个交点时，有， ， 如图，与双曲线只有一个交点并且与直线平行的直线为和，设、与双曲线的交点分别为，、与直线的距离分别为， 直线与轴的交点坐标为，直线轴的交点坐标为，直线与轴的交点坐标为，与轴的交点坐标为，作直线于点，直线于点， ， ， 和是等腰直角三角形， ，， 直线与的距离为， 直线与的距离为， ， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题是反比例函数与一次函数的综合问题，考查了待定系数法求函数解析式，反比例函数与一次函数的交点，一次函数的的图象和性质，反比例函数的图象和性质，两点间的距离公式等，灵活运用相关知识并数形结合分析问题是解题的关键． 24．在平面直角坐标系中，一次函数经过点，，． (1)求这个一次函数的解析式； (2)①当双曲线经过点时，求的值； ②当时，对于的每一个值，永远有成立，直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2)①6；②且 【分析】（1）待定系数法求解析式； （2）①将点坐标代入解析式即可； ②解不等式，时求出的值，即可确定的取值范围． 【详解】（1）解：将点，代入一次函数解析式； 得， 解得， 一次函数解析式：； （2）解：①将点代入反比例函数解析式， 得． ②当时，， ， 满足条件的的取值范围是：且． 【点睛】本题考查反比例函数与一次函数的综合，熟练掌握待定系数法求解析式是解决本题的关键． 25．如图，已知一次函数与反比例函数的图象相交于点，连接． (1)求出一次函数和反比例函数的解析式； (2)填空：①的面积为_______； ②当时，自变量x的取值范围为_______． 【答案】(1)， (2)①12；②或． 【分析】（1）待定系数法求出两个函数解析式即可； （2）①根据坐标和三角形面积公式计算即可；②根据函数图象及交点坐标，直接写出不等式的解集即可． 本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，待定系数法求解析式，交点坐标满足两个函数解析式是关键． 【详解】（1）解： 两函数图象相交于点，， ，则， 反比例函数解析式为，， ，在一次函数图象上， ， 解得， 一次函数解析式为． （2）解：①设直线与轴交于点，当时，， ， ． ②当时，自变量的取值范围为：或． 故答案为：①12；②或． 26．学习数学，也要善用现代工具用绘图软件绘制过的双曲线与动直线：，且交于一点，图1为时的视窗情形． (1)当时，求：动直线与双曲线的交点坐标； (2)视窗的大小不变，但其可视范围可以变化，且变化前后原点始终在视窗中心．例如，为在视窗中看到（1）中的交点，可将图1中坐标系的单位长度变为原来的，其可视范围就由及变成了及（如图2）．当和时，动直线与双曲线的交点分别是点A和，为能看到双曲线在A和之间的一整段图象，需要将图1中坐标系的单位长度至少变为原来的，求：k的取值范围． 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）设双曲线的解析式为，代入点，求出解析式，结合题意，联立直线和双曲线的解析式列分式方程并求解，即可得到答案； （2）当和时，根据一次函数、反比例函数和直角坐标系的性质，得出，结合题意即可得到答案． 【详解】（1）解：设双曲线的解析式为，代入点， 则， 解得：， ∴双曲线的解析式为， 根据题意，得 ∴ ∴当时，动直线与双曲线的交点坐标为：； （2）解：当时，得 ∴ ∴ 当时，得 ∴ ∴ ∴要能看到在和之间的一整段图象，则， ∴． 【点睛】本题考查了一次函数、反比例函数、分式方程、直角坐标系的知识；解题的关键是熟练掌握一次函数、反比例函数、分式方程、直角坐标系的性质，从而完成求解． 27．如图，直线与轴交于点，与反比例函数的图象交于点，过作轴于点，且．    (1)求反比例函数表达式； (2)点是反比例函数图象上的点，在y轴上是否存在点P，使得最小？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由； 【答案】(1) (2)存在， 【分析】（1）根据直线解析式求点坐标，得的长度；根据三角函数定义可求的长度，得点的横坐标；根据点在直线上可求点的坐标．从而可求的值； （2）根据反比例函数解析式可求点坐标；作点关于轴的对称点，连接与轴的交点就是满足条件的点位置，进而即可求解． 此题考查反比例函数与一次函数的综合应用，三角函数定义，涉及线路最短问题，难度中等． 【详解】（1）解：由可知，即． ， ． 轴， 点的横坐标为1． 点在直线上， 点的纵坐标为4．即． 点在上， ． ∴反比例函数解析式为． （2）解：存在．过程如下： 过点作关于轴的对称点，连接，交轴于，连接，如图所示：    此时最小． 点在反比例函数上， ，即点的坐标为． 与关于轴的对称， 的坐标为． 设直线的解析式为． 把和代入，得， 解得 直线的解析式为． 令，得． 点坐标为， 28．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图像与轴、轴分别交于点、，与反比例函数的图像交于点．已知点坐标为，点坐标为． (1)求反比例函数及一次函数的表达式； (2)点在线段上，过点且平行于轴的直线交于点，交反比例函数图像于点．当时，求点的坐标． 【答案】(1)， (2)点的坐标为 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合： （1）利用待定系数法求解即可； （2）设，则，，根据，得到，解得，据此求出点F的纵坐标，进而求出点F的坐标即可． 【详解】（1）解：把点代入得，，解得， 反比例函数的表达式为， 把点，点代入得， ， 解得， 一次函数的表达式为； （2）解：设， 平行于轴， ， ， ， ，解得， ， 点的纵坐标为， 把代入得，解得， 点的坐标为． 29．如图1，一次函数与反比例函数的图象相交于点，与x轴交于点B，与y轴交于点C，已知． (1)求反比例函数与一次函数解析式； (2)若直线过点，且与反比例函数交于点D，点F是y轴上的一个动点．点P是直线上的一个动点，当最小时，求的最小值及此时点F的坐标： (3)如图2，若点，连接，将线段以点D为圆心逆时针旋转，得到线段，连接，在反比例函数图像上是否存在一点Q，使得？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)一次函数解析式为；反比例函数解析式为 (2)的最小值为，点F的坐标 (3)在反比例函数上存在一点，使得，点Q的坐标为或 【分析】（1）由得出，从而得到，，再利用待定系数法求解即可； （2）待定系数法求出直线的解析式为，作轴于，轴于，交直线于，设，则，表示出，，，解直角三角形得出，推出，则，当、、再同一直线上，且轴时，值最小，此时最小值为，求出，作点关于轴的对称点为，连接交轴于，由轴对称的性质可得，，则，由两点之间，线段最短可得此时的值最小，由勾股定理计算出最小值，再由待定系数法求出直线的解析式为，当时，，即可得出点F的坐标； （3）过点作轴的垂线，过点、作垂线的垂线交于点、，则，由旋转的性质可得，，证明，，，从而得出，设直线与直线交于，证明，得出，作于，则，得到的横坐标为，待定系数法求出直线的解析式为，得到，待定系数法得出直线的解析式为，联立，解得：，即可得解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴，， 将，代入得：， 解得：， ∴一次函数解析式为； 将代入得：， ∴， 将代入得：， ∴， ∴反比例函数解析式为； （2）解：设直线的解析式为， 将，代入解析式得， 解得：， ∴直线的解析式为， 如图，作轴于，轴于，交直线于， ， 设，则， ∴，，， ∴， ∴， ∴， 当、、再同一直线上，且轴时，值最小，此时最小值为， ∵， ∴在中，当时，，即， 如图，作点关于轴的对称点为，连接交轴于， 由轴对称的性质可得，， ∴，由两点之间，线段最短可得此时的值最小，最小值为， 设直线的解析式为， 将，代入解析式得， 解得：， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴，即点F的坐标； （3）解：在反比例函数上存在一点，使得，理由如下： 过点作轴的垂线，过点、作垂线的垂线交于点、，则， ， 由旋转的性质可得，， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∵，， ∴，， ∴，， ∴， ∴，即， 设直线与直线交于， ∵，， ∴， ∴， 作于，则， ∴的横坐标为， 设直线的解析式为， 将，代入解析式得， 解得：， ∴直线的解析式为， 当时，，即， 设直线的解析式为， 将，代入解析式得， 解得：， ∴直线的解析式为， 联立， 解得：， 当时，，当时，， ∴点Q的坐标为或． 【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题、全等三角形的判定与性质、旋转的性质、解直角三角形、待定系数法求函数解析式、等腰三角形的判定与性质、两点间的距离公式等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． 30．定义：把能被一条对角线分成两个全等直角三角形的四边形叫做勾股四边形，比如：矩形就是勾股四边形． (1)如图，在直角坐标系中，直线与双曲线相交于两点，点在轴负半轴上，为直角坐标平面上一点． ①分别求出两点的坐标； ②如图，当四边形是平行四边形时，请证明平行四边形是勾股四边形． (2)在（）的条件下，当以为顶点的四边形是勾股四边形时，请直接写出点的坐标． 【答案】(1)①，；②证明见解析； (2)点的坐标为或或或． 【分析】（）①联立函数解析式解方程组即可求解； ②利用两点距离公式求出，进而由勾股定理的逆定理可得，再根据平行四边形的性质证明即可求证； （）设点的坐标为， 分、、和四种情况，利用全等三角形的性质和平移的性质解答即可求解． 【详解】（1）解：①由，解得，， ∴，； ②证明：∵，，， ∴，，， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴平行四边形是勾股四边形； （2）解：由（）知，，，， 设点的坐标为， ①如图，当时， ∵，， ∴， 解得， ∴； ②如图，当时， ∵，， ∴， 解得， ∴； ③如图，当时，设直线与轴交于点，过点作轴于点，作轴，过点作于点，则， ∵直线， 令，则， 解得， ∴， ∵，轴， ∴， ∴，，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵轴， ∴， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， 解得， ∴； ④如图，当时， ∵，， ∴， 解得， ∴； 综上，点的坐标为或或或． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，反比例函数与一次函数交点问题，勾股定理及逆定理，平移的性质等知识，运用数形结合的思想和分类讨论的思想解决问题是解题的关键． 31．如图，直线与双曲线交于A，B两点，点A的坐标为，点C是双曲线第一象限分支上的一点，连接并延长交x轴于点D，且． (1)求的值并直接写出点的坐标； (2)点、是轴上的动点(在上方)且满足，连接，，求的最小值； (3)点是双曲线上一个动点，是否存在点，使得，若存在，请直接写出所有符合条件的点的横坐标． 【答案】(1)，； (2)； (3)点P的横坐标为：，， 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数交点问题，相似三角形的性质与判定； （1）运用一次函数与反比例函数的交点坐标即可求解； （2）根据，求得点的坐标，再把将军饮马模型在坐标系中直接运用，根据勾股定理求解即可； （3）根据题意画图分析，根据平行求相关函数关系式，再求两条线的交点解方程组，即可得解． 【详解】（1）解：根据题意可知点，在直线和双曲线的图象上， ，解得， 点的坐标为，代入双曲线得： ， 由图象可知点与点关于原点对称， ∴； （2）过点、分别作轴的垂线，垂足分别为、，作点关于轴的对称点点，并向下平移一个单位记为，连接， 则，， ， ， ，，，， ，， ，即点的纵坐标为， 点在反比例函数的图象上， ，， 的最小值即为； （3）当时，当在轴下方时，， 设直线的解析式为， 由（2）可知：，， 解得， ， 当时，，解得， ， ，直线的解析式为， 设直线的解析式为， 把代入得：， ， ， 由是直线与反比例函数的交点可得： 解得， 此时点在第三象限，不符合题意， 当在轴上方时，则与下方的关于轴对称， 可得直线的解析式为：， 联立得， 此时点在第一象限，两个都符合题意， 点的横坐标为：． 1 1 教育是一个优雅而漫长的过程! 学科网（北京）股份有限公司 $$ 学习是一个快乐而充满挑战的过程！ 第26章 反比例函数与一次函数的交点问题 专题训练（原卷版） （包含选择题11道，填空题12道，解答题8道，共计31道题） 1．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，，则不等式的解集是（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 第1题 第3题 第4题 第6题 2．已知正比例函数的图象与反比例函数的图象的一个交点坐标为，则它们的另一个交点坐标是（    ） A． B． C． D． 3．数形结合是数学中的一种重要思想方法，在解题中运用数形结合常常可以优化解题思路，简化解题过程．如图，直线与双曲线相交于点．根据图象可知关于的方程的解是（    ）   A．或1 B．或2 C．1或2 D．或 4．如图，直线与轴交于点，与反比例函数的图象交于点，过点作轴于点，，则反比例函数的表达式为（    ） A． B． C． D． 5．在同一直角坐标平面内，若直线与双曲线没有交点，则（   ） A． B． C．，同号 D．，异号 6．如图，在直角坐标系中，直线与函数的图象相交于点A、B，设A点的坐标为，那么长为，宽为的矩形面积和周长分别是（  ） A．4，12 B．4，6 C．8，12 D．8，6 7．如图，在直角坐标系中，直线与坐标轴交于，两点，与双曲线交于点，连接，过点作轴，垂足为点，且．则结论正确的个数是（    ） ①；②点到的距离为；③方程有一个解为；④当，． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 8．如图，一次函数的图像与反比例函数在第一象限的图像交于和两点，与x轴交于点C，下列说法：①反比例函数的关系式；②根据图像，当时，x的取值范围为或；③若点P在x轴上，且，点P的坐标．其中所有正确结论的序号是（    ）   A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 第8题 第9题 第10题 第11题 9．如图，平面直角坐标系中，在反比例函数的图象上取点A，连接，与的图象交于点B，过点B作轴交函数的图象于点C，过点C作轴交函数的图象于点E，连接，，，与交于点F，则（   ） A． B． C． D． 10．如图，在平面直角坐标系中，点B在第一象限，轴于点A，反比例函数的图象与线段相交于点C，且C是线段的中点，点C关于直线的对称点的坐标为，若的面积为4．则下列结论：①；②；③不等式的解集是；④，其中正确结论的序号是（   ） A．①②③ B．①④ C．②④ D．③④ 11．如图，点A、B是函数与的图象的两个交点，作轴于C，作轴于D，则四边形的面积为（　　） A． B． C． D． 12．在平面直角坐标系中，正比例函数与反比例函数的图象交于，两点，则的值是 ． 13．若正比例函数与反比例函数图象的一个交点坐标为，则另一个交点的坐标为 ． 14．如图，与相交于A．B两点，若在y轴有点C，满足，则C点坐标为 .    15．如图，正比例函数与反比例函数的图象相交于A、B两点，轴于点C，则的面积为 第15题 第16题 第17题 第18题 16．如图，直线与y轴交于点A，与反比例函数的图象交于点C，过点C作轴于点B，，则k的值为 ． 17．如图，和都是等腰直角三角形，，点是正半轴上一点，点是反比例函数的图象上一点，点是AB上一点，OA与该反比例函数的图象交于点． （1）点的坐标为 ；（2）与的面积之差 ． 18．如图，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，与反比例函数的图象交于C，D两点，点M为线段的中点，轴交反比例函数图像于点N，P为x轴上任一点，若，则k的值为 ． 19．如图，一次函数与反比例函数的图象相交于，两点，连接． （1）k的值为 ；（2）若点M位于第一象限反比例函数的图象上，点N在线段上，若以O，B，M，N为顶点的四边形是平行四边形，则点M的坐标为 ． 第19题 第20题 第21题 20．如图，的顶点在反比例函数的图象上，顶点在轴的正半轴上，，过原点作的平行线，交反比例函数的图象于点，连结交轴于点，连结．若，则的值为 ，四边形的面积为 ． 21．如图，一次函数与反比例函数的图象交于A，B两点，若将一次函数的图象向上平移个单位长度，与反比例函数图象的一个交点为M，已知点M的纵坐标为． （1）k的值为 ． （2）连接，，则的面积为 ． （3）当时，x的取值范围是 ． 22．当直线与函数的图象至少有两个公共点时，关于k的不等式无解，则实数a的取值范围是 ． 23．如图，一次函数的图象与反比例函数（为常数且）的图象交于，两点，在反比例函数图象上存在一点P（不与A、B重合），连接，，使得，如果这样的P点恰好有两个，则m的取值范围是 ． 24．在平面直角坐标系中，一次函数经过点，，．(1)求这个一次函数的解析式； (2)①当双曲线经过点时，求的值；②当时，对于的每一个值，永远有成立，直接写出的取值范围． 25．如图，已知一次函数与反比例函数的图象相交于点，连接． (1)求出一次函数和反比例函数的解析式；(2)填空：①的面积为_______；②当时，自变量x的取值范围为_______． 26．学习数学，也要善用现代工具用绘图软件绘制过的双曲线与动直线：，且交于一点，图1为时的视窗情形． (1)当时，求：动直线与双曲线的交点坐标； (2)视窗的大小不变，但其可视范围可以变化，且变化前后原点始终在视窗中心．例如，为在视窗中看到（1）中的交点，可将图1中坐标系的单位长度变为原来的，其可视范围就由及变成了及（如图2）．当和时，动直线与双曲线的交点分别是点A和，为能看到双曲线在A和之间的一整段图象，需要将图1中坐标系的单位长度至少变为原来的，求：k的取值范围． 27．如图，直线与轴交于点，与反比例函数的图象交于点，过作轴于点，且．  (1)求反比例函数表达式；(2)点是反比例函数图象上的点，在y轴上是否存在点P，使得最小？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由； 28．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图像与轴、轴分别交于点、，与反比例函数的图像交于点．已知点坐标为，点坐标为．(1)求反比例函数及一次函数的表达式； (2)点在线段上，过点且平行于轴的直线交于点，交反比例函数图像于点．当时，求点的坐标． 29．如图1，一次函数与反比例函数的图象相交于点，与x轴交于点B，与y轴交于点C，已知．(1)求反比例函数与一次函数解析式；(2)若直线过点，且与反比例函数交于点D，点F是y轴上的一个动点．点P是直线上的一个动点，当最小时，求的最小值及此时点F的坐标：(3)如图2，若点，连接，将线段以点D为圆心逆时针旋转，得到线段，连接，在反比例函数图像上是否存在一点Q，使得？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 30．定义：把能被一条对角线分成两个全等直角三角形的四边形叫做勾股四边形，比如：矩形就是勾股四边形． (1)如图，在直角坐标系中，直线与双曲线相交于两点，点在轴负半轴上，为直角坐标平面上一点．①分别求出两点的坐标；②如图，当四边形是平行四边形时，请证明平行四边形是勾股四边形．(2)在（）的条件下，当以为顶点的四边形是勾股四边形时，请直接写出点的坐标． 31．如图，直线与双曲线交于A，B两点，点A的坐标为，点C是双曲线第一象限分支上的一点，连接并延长交x轴于点D，且．(1)求的值并直接写出点的坐标；(2)点、是轴上的动点(在上方)且满足，连接，，求的最小值；(3)点是双曲线上一个动点，是否存在点，使得，若存在，请直接写出所有符合条件的点的横坐标． 1 1 教育是一个优雅而漫长的过程! 学科网（北京）股份有限公司 $$