2025届全国高考分科模拟调研卷（二）数学试题

2025 届全国高考分科模拟调研卷 数 学 (二) 注意事项: 1. 本卷满分 150 分, 考试时间 120 分钟。答题前, 先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上,并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。 2. 选择题的作答: 每小题选出答案后, 用 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。 写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 3. 非选择题的作答: 用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 4. 考试结束后, 请将本试题卷和答题卡一并上交。 一、选择题: 本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分。在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符 合题目要求的。 1. 已知集合 ,则 A. B. C. D. 2. 顶点在原点,对称轴为 轴,并且经过点 的抛物线方程为 A. B. C. D. 3. 在 中,角 的对边分别为 ,且 ,则 A. B. C. 1 D. 2 4. 小李是一名健身运动爱好者, 如图所示的统计图记录了他过去一个月 (30 天) 每天花在健身运动上的时间 (单位: 分钟), 记这组数据的众数为 ,中位数为 ,平均数为 ,则 A. B. C. D. 5. A. B. C. -1 D. 1 6. 已知 是偶函数,当 时, 恒成立,设 , ,则 A. B. C. D. 7. 已知函数 ,若方程 在 上最少有 2 个不同的根,最多有 3 个不同的根,则 的取值范围是 A. B. C. D. 8. 已知两平行平面 与 之间的距离为 3,过平面 与 之间的一点 作两条直线 与 ,其中 与 所成角为 . 以 为轴将 旋转一周,并用 截取得到两个同顶点 的圆锥, 设这两个圆锥的体积分别为 ,则 的最小值为 A. B. C. D. 二、选择题: 本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分。在每小题给出的选项中, 有多项符合题目要 求。全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分。 9. 某射手射击 1 次, 击中目标的概率是 0.9 , 他连续射击 3 次, 且各次射击是否击中目标相互之 间没有影响,则 A. 他第 3 次没有击中目标的概率是 0.1 B. 他恰好击中目标 2 次的概率是 0.081 C. 他至少击中目标 1 次的概率是 0.999 D. 他恰好有连续 2 次击中目标的概率为 0.162 10. 已知 ,且 ,则 A. B. C. D. 11. 已知 ,则下列结论正确的是 A. B. 若 ,则 C. 是 的小数部分 D. 三、填空题: 本题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分。 12. 已知函数 在 上单调递减,则实数 的取值范围为_____. 13. 设复数 满足: ,则 _____. 14. 已知点 在双曲线 上,点 满足 ,则直线 的斜率为_____. 四、解答题: 本题共 5 小题, 共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15. (本小题满分 13 分) 某新能源汽车公司对其产品研发投资额 (单位:百万元)与其月销售量 (单位:千辆)的数据进行统计,得到如下统计表. 1 2 3 4 5 1-6 2 5 6 8 9 1-6 (1) 通过分析知月销售量 关于产品研发投资额 成线性回归关系,根据统计表数据,求出 关于 的回归方程; (2) 当投资额为 11 百万元时, 公司决策层决定停止产品研发, 转为投资产品促销. 根据以往的经验,当投资 11 百万元进行产品促销后,月销售量 的分布列为: 18 19 21 1-4 1-4 结合回归方程和 的分布列,试分析公司的决策是否合理. 参考公式: . 16. (本小题满分 15 分) 如图所示多面体 中,四边形 是边长为 2 的正方形, 平面 , 平面 ,且 为线段 上的动点. (1)求证: ; (2) 求 的最小值,并求此时 与平面 所成角的正弦值. 17. (本小题满分 15 分) 已知数列 的前 项和为 ,且 . (1) 求数列 的通项公式; (2) 设 ,计算 的值. 18. (本小题满分 17 分) 设椭圆 的左、右顶点分别为 ,左、右焦点分别为 ,已知点 是椭圆上第一象限内一动点,直线 交 轴于点 的周长为 (1)求椭圆的方程; (2) 若 的面积是 面积的 2 倍,求直线 的方程. 19. (本小题满分 17 分) 若一个正整数 的各位数字从中间用逗号隔开,可以分成左右两个数字,左边数字所表示的数正好是右边数字所表示的数的 2 倍,则称 为 “双倍数”. 例如:21,105,2010,10050, 222111 等都是“双倍数”. (1) 假设双倍数 是一个两位数或三位数,证明: 一定为 42 的倍数; (2) 假设双倍数 是一个五位数,在整数的除法中,只有能整除与不能整除两种情况. 当不能整除时,就产生余数,取余数运算: 表示整数 除以整数 所得余数为 ,如 7 除以 3 所得余数为 1,记为 ,求 的最大数 ; (3)若双倍数 的最大公因数是 ,求 的最小值与最大值. 模拟卷・数学 (二) 参考答案 1. C 集合 或 ,所以 . 故选 C. 2. C 由题意设抛物线的方程为 ,因为 在抛物线上,所以 ,解得 ,即所求抛物线方程为 . 故选 C. 3. A 因为 ,由正余弦定理得 ,化简得 . 故选 A. 4. B 由统计图可得,众数 ; 处在中间位置的两个数据为 50,60,所以中位数 ; 平均数 ,所以 . 故选 B. 5. A . 故 选 A. 6. D 因为当 时, 恒成立,所以 在 上是增函数,又因为函数 是偶函数,则 ,所以 ,因为 ,所以 ,即 a. 故选 D. 7. D 由 ,得 ,由正弦曲线 的周期为 , 知 的相邻两根的距离为 或 ,因为方程 在 上最少有 2 个不同的根,最多有 3 个不同的根,所以 ,所以 ,解得 . 故选 D. 8. B 两个圆锥的轴截面如图所示, 分别为两圆锥的底面圆的圆心,设半径分别为 ,直线 分别为两圆锥的轴截面与 的交线. 因为 与 之间的距离为 3,所以设 ,易知 与 的夹 5 B 角为 ,所以 ,由圆锥的性质知, ,所以 为等边三角形,所以 ,所以 ,同理 ,所以 . 令 ,所以当 时, ,当 时, ,所以 在 上单调递减,在 上单调递增,所以 . 所以 的最小值为 . 故选 B. 9. ACD 因为射击一次击中目标的概率是0.9,所以他第 3 次没有击中目标的概率是 ,故 正确; 恰好击中目标 2 次的概率是 ,故 错误; 至少击中目标 1 次的概率是 0.999,故 正确; 他恰好有连续 2 次击中目标是指他的射击情况是 “中中否” 或 “否中中”,其概率为 ,故 D 正确. 故选 ACD. 10. BC 对于 ,因为 ,即 ,所以 ,当且仅当 ,即 时等号成立,由于函数 在 上单调递减,所以 ,故 A 错误; 对于 ,因为 ,当且仅当 ,即 时等号成立,故 正确; 对于 ,因为 ,所以 ,设 ,则 恒成立,所以 在(0,1)上单调递减,则 ,则 ,即 ,故 正确; 对于 ,所以 ,所以 ,当 时等号成立,故 D 错误. 故选 BC. 11. BCD 对于 A,不妨取 ,则 ,而 ,故 A 错误; 对于 ,所以 ,即 ,所以 ,故 正确; 对于 为正整数,又 ,所以 是 的小数部分,故 正确; 对于 ,故 D 正确. 故选 BCD. 12. ,令 ,得 ,设函数 ,则 ,所以 单调递减,所以 ,所以 . 13. 设复数 对应的向量分别为 ,如图所示,设 ,则 为等边三角形, 14. 当直线 的斜率为 0 时, 为 的顶点,此时 与 方向相反,不可能有 ,不满足题意,所以直线 的斜率不为 0 . 设 的方程为 ,联立 , 消去 得 ,所以 ①; 由 ,得 ,即 ②,由①②,解得 ,从而 ,解得 ,所以直线 的斜率为 . 15. 解: (1) 由题可得 , 2 分 则 , 4 分 所以回归方程为 . 6 分 (2) 当 时, . 8 分 因为 且 ,所以 , 10 分 所以 , 所以公司的决策合理. 13 分 16. (1)证明: 因为 平面 平面 , 所以 ,又四边形 为正方形, 所以 两两垂直. 2 分 以 为原点,以 分别为 轴, 轴, 轴的正方向建立空间 直角坐标系 ,如图所示,则 , , 3 分 所以 , ,所以 ,即 . 5 分 (2) 解: 由 (1) 知, ,设 ,则 , 6 分 所以 故当 时, 取得最小值为 11 . 10 分 此时 ,又 , 设平面 的一个法向量为 , 则 即 令 ,则 ,所以 , 13 分 设直线 与平面 所成角为 , 则 , 所以直线 与平面 所成角的正弦值为 . 15 分 17. 解: (1) 由题意,得 ,得 ,又 , 所以 是首项为 1,公差为 1 的等差数列, 所以 . 4 分5B 当 时, , 又 符合上式,所以 . 7 分 (2) 当 时, 11 分 设 , 则 , 所以 , 所以 . 15 分 18. 解: (1)如图, 因为 , 所以 ,则 ,① 1 分 因为 的周长为 6, 所以 ,② 2 分 联立①②解得 ,所以 , 4 分 所以椭圆的方程为 . 5 分 (2) 由题意得,直线 的斜率存在,由椭圆的方程 可得 , 设直线 的方程为 , 6 分 联立方程组 整理得 , 则 , 8 分 由韦达定理得 ,所以 , 所以 . 10 分5 B 所以 , 12 分 所以 , 即 , 所以 ,即 , 15 分 解得 ,所以直线 的方程为 ,即 . 17 分 19. (1) 证明: 若双倍数 是一个两位数或三位数,则可设 且 为整数, 所以 1 分 当 为奇数时,设 ,此时 都为偶数,则 与 都能被 2 整 除,则 能被 4 整除,又 能被 21 整除,所以 能被 84 整除,即 能被 42 整除,所以 3 分 当 为偶数时,设 ,此时 1 都为奇数,则 能被 42 整除,所 以 是 42 的倍数. 5 分 综上, 一定为 42 的倍数. 6 分 (2) 解: 若双倍数 是一个五位数,则设 且 为整数, 7 分 若 ,则 , 8 分 当 时, 是能够满足 的最大值, 9 分 所以最大数 . 10 分 (3) 解: 当 是一个两位数或三位数时,设 且 为整数,显然最大公因数是 21 ; 当 是一个四位数或五位数时,设 且 为整数,显然最大公因数是 201; 当 是一个六位数或七位数时,设 且 为整数,显然最大公因数是 2001; 13 分 以此类推,当 是一个 位数或 位数时,设 , 且 为整数,最大公因数是 , 15 分 所以 的最小值为 ,最大值为 . 17 分 学科网（北京）股份有限公司 $$