精品解析：2024-2025学年人教版九年级数学上册期中模拟试题

九年级数学上册期中模拟试题 考试范围：人教版21-24.1；考试时间：100分钟；总分：120分 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1. 中国“二十四节气”已被列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录，如图四幅作品分别代表“立春”，“立夏”“芒种”“大雪”，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 2. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是（ ） A B. C. D. 3. 如图，点，，在⊙O上，，则度数为（ ） A. B. C. D. 4. 将抛物线y=3x2+2向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，则得到的抛物线的解析式为（　　） A. y=3（x﹣2）2﹣1 B. y=3（x﹣2）2+5 C. y=3（x+2）2﹣1 D. y=3（x+2）2+5 5. 若关于一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（ ） A B. 且 C. D. 6. 下列说法：（1）长度相等的弧是等弧；（2）相等的圆周角所对的弧相等；（3）劣弧一定比优弧短；（4）直径是圆中最长的弦．其中正确的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 7. 小区新增了一家快递店，第一天揽件200件，第三天揽件242件，设该快递店揽件日平均增长率为，根据题意，下面所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 已知两点M（6，y1），N（2，y2）均在抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）上，点P（x0，y0）是抛物线的顶点，若y0≤y2＜y1，则x0的取值范围是（　　） A. x0＜4 B. x0＞﹣2 C. ﹣6＜x0＜﹣2 D. ﹣2＜x0＜2 9. 二次函数的图象如图所示，则一次函数的图象不经过（     ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 10. 如图，的顶点，点B在第二象限，将绕点O顺时针旋转得到，当点A的对应点落在x轴正半轴上时，点B的对应点恰好落在的延长线上，则点的坐标是（ ） A. B. C. D. 二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分） 11. 若是关于的一元二次方程，则的值为___________. 12. 如图，将△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△EDC，若点A，D，E在同一条直线上，且AB=1，BC=2，则AD的值为________． 13. 设a，b是方程的两个实数根，则的值为_________． 14. 已知抛物线的部分图像如图所示，则方程的解是___________ 15. 如图所示，在中，，，为斜边中线，点P为线段上一动点，将线段绕点P逆时针旋转得线段，连接，，当垂直于的一边时，线段的值为 _________． 三．解答题（共8小题，满分75分，每小题9分） 16. 嘉嘉解方程的过程如表所示． 解方程： 解：第一步 第二步 ， 第三步 （1）嘉嘉是用       填“配方法”“公式法”或“因式分解法”来求解的；从第      步开始出现错误； （2）请你用不同于（1）中的方法解该方程． 17. 如图，平面直角坐标系内，小正方形网格的边长为1个单位长度，的顶点均在格点上． （1）画出关于原点O的中心对称图形． （2）将绕点E顺时针旋转得到，画出． （3）若由绕着某点旋转得到的，则这点的坐标为 ． 18. 已知关于x的一元二次方程 （1）求证：无论k为何实数，方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程的一根为3，求k的值及方程的另一根． 19. 直播购物逐渐走进了人们的生活．某电商在某上对一款成本价为元件的小商品进行直播销售，如果按每件元销售，每月可卖出件．通过市场调查发现，每件小商品的售价每上涨元，每月的销售件数就减少件，为了使每月的销售利润为元，且让顾客得到实惠，每件小商品的售价应定为多少元？这时电商每月能售出小商品多少件？ （1）解法1：设每件小商品涨价元，由题意得方程：______． 解法2：设每件小商品的售价应定为元，由题意得方程：______． （2）请你选择(1)中一种解法完成解答． 20. 某位同学做实验考察电流变化情况时，可以选择若干定值电阻进行并联（假设可以选择任何数值的电阻），已知电源电压U为（注：公式，其中I是电流强度、U是电压，R是电阻） （1）若只选择一个电阻，测得电流强度I为，求该电阻R的值． （2）若所选的两个电阻分别为，且，恰好使总电流强度I最小，求对应电阻的值．（注并联时总电阻）（在求对应的值时，用数学的方法书写过程） 21. 某居民小区一处圆柱形的输水管道破裂，维修人员为更换管道，需确定管道圆形截面的半径，下图是水平放置的破裂管道有水部分的截面． （1）若这个输水管道有水部分的水面宽，水面最深地方的高度为4，求这个圆形截面的半径； （2）在（1）的条件下，小明把一只宽12的方形小木船放在修好后的圆柱形水管里，已知船高出水面13，问此小船能顺利通过这个管道吗？ 22. 如图1所示的某种发石车是古代一种远程攻击的武器，将发石车置于山坡底部处，以点为原点，水平方向为轴方向，建立如图所示的平面直角坐标系，将发射出去的石块当作一个点看，其飞行路线可以近似看作抛物线的一部分，山坡上有一堵防御墙，其竖直截面为，墙宽米，与轴平行，点与点的水平距离为米、垂直距离为米． （1）若发射石块在空中飞行的最大高度为米， ①求抛物线的解析式； ②试通过计算说明石块能否飞越防御墙； （2）若要使石块恰好落在防御墙顶部上（包括端点、），求的取值范围， 23. 如图，两个等腰直角△ABC和△CDE中，∠ACB＝∠DCE＝90°． （1）观察猜想如图1，点E在BC上，线段AE与BD的数量关系是　 　，位置关系是　 　． （2）探究证明把△CDE绕直角顶点C旋转到图2的位置，（1）中的结论还成立吗？说明理由； （3）拓展延伸：把△CDE绕点C在平面内自由旋转，若AC＝BC＝13，DE＝10，当A、E、D三点在同一条直线上时，请直接写出AD的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 九年级数学上册期中模拟试题 考试范围：人教版21-24.1；考试时间：100分钟；总分：120分 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1. 中国“二十四节气”已被列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录，如图四幅作品分别代表“立春”，“立夏”“芒种”“大雪”，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了中心对称图形和轴对称图形的识别．根据轴对称图形和中心对称图形的概念，对各选项分析判断即可得解，把一个图形绕某一点旋转180度，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形． 【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； D、是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项符合题意， 故选：D． 2. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据关于原点对称的点的横、纵坐标都互为相反数，即可得到答案． 【详解】解：点P(−2，−4)关于原点对称的点的坐标是（2，4）． 故选：B． 【点睛】本题考查了关于原点对称的点的坐标的特点：关于原点轴对称的点的横、纵坐标都互为相反数．熟记关于原点对称的点的坐标特点是解题关键． 3. 如图，点，，在⊙O上，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】直接利用圆周角定理即可得． 【详解】解：， 由圆周角定理得：， 故选：B． 【点睛】本题考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题关键． 4. 将抛物线y=3x2+2向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，则得到的抛物线的解析式为（　　） A. y=3（x﹣2）2﹣1 B. y=3（x﹣2）2+5 C. y=3（x+2）2﹣1 D. y=3（x+2）2+5 【答案】C 【解析】 【分析】根据“左加右减、上加下减”的原则进行解答即可． 【详解】将抛物线y=3x2+2向左平移2个单位所得直线解析式为：y=3（x+2）2+2； 再向下平移3个单位为：y=3（x+2）2+2﹣3，即y=3（x+2）2﹣1． 故选C． 【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减． 5. 若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（ ） A. B. 且 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根． 根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到且，由此即可求得答案． 【详解】解：∵方程是一元二次方程， ∴， ∵一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， ∵，，， ∴， 解得：， ∴的取值范围为且． 故选：B． 6. 下列说法：（1）长度相等的弧是等弧；（2）相等的圆周角所对的弧相等；（3）劣弧一定比优弧短；（4）直径是圆中最长的弦．其中正确的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查圆中有关定义，利用等弧的定义、圆周角定理、弧的定义及弦的定义分别判断后即可确定正确的选项． 【详解】解：（1）长度相等的弧不一定是等弧，弧的度数必须相同，故原说法错误； （2）同圆或等圆中相等的圆周角所对的弧相等，故原说法错误； （3）同圆或等圆中劣弧一定比优弧短，故原说法错误； （4）直径是圆中最长的弦，故原说法正确， 正确的只有1个， 故选：A． 7. 小区新增了一家快递店，第一天揽件200件，第三天揽件242件，设该快递店揽件日平均增长率为，根据题意，下面所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】平均增长率为x，关系式为：第三天揽件量＝第一天揽件量×（1＋平均增长率）2，把相关数值代入即可． 【详解】解：由题意得：第一天揽件200件，第三天揽件242件， ∴可列方程为：， 故选：A． 【点睛】此题考查一元二次方程的应用，得到三天的揽件量关系式是解决本题的突破点，难度一般． 8. 已知两点M（6，y1），N（2，y2）均在抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）上，点P（x0，y0）是抛物线的顶点，若y0≤y2＜y1，则x0的取值范围是（　　） A. x0＜4 B. x0＞﹣2 C. ﹣6＜x0＜﹣2 D. ﹣2＜x0＜2 【答案】A 【解析】 【分析】由于点P（x0，y0）是该抛物线的顶点且y0≤y2＜y1，可得出抛物线开口向上，利用二次函数图象上点的坐标特征可找出a、b之间的关系，进而可得出4，即x0＜4，此题得解． 【详解】∵点C（x0，y0）是抛物线的顶点，y1＞y2≥y0，∴抛物线有最小值，函数图象开口向上，∴a＞0，36a+6b+c＞4a+2b+c，∴8a＞﹣b，∴4，∴x0＜4． 故选A． 【点睛】本题考查了二次函数的性质以及二次函数图象上点的坐标特征，利用二次函数图象上点的坐标特征找出8a＞﹣b是解题的关键． 9. 二次函数的图象如图所示，则一次函数的图象不经过（     ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质、一次函数的图象与性质，由二次函数的图象得出二次函数开口向下，对称轴在轴右侧，交轴于正半轴，推出，，，再结合一次函数的性质即可得出答案． 【详解】解：由图象可得：二次函数开口向下，对称轴在轴右侧，交轴于正半轴， ∴，，， ∴， ∴， ∴一次函数的图象不经过第二象限， 故选：B． 10. 如图，的顶点，点B在第二象限，将绕点O顺时针旋转得到，当点A的对应点落在x轴正半轴上时，点B的对应点恰好落在的延长线上，则点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由旋转的性质得，由平行四边形的性质得，，可证，过点作于点E，由三线合一的性质求出，由勾股定理求出，进而可求出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵将绕点O顺时针旋转得到， ∴， ∵四边形和四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴， ∴， 过点作于点E， ∵， ∴， ∴，， ∴． 故选：B． 【点睛】本题考查了旋转的性质，平行四边形的性质，三线合一的性质，勾股定理，熟练掌握旋转的性质是解题的关键． 二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分） 11. 若是关于的一元二次方程，则的值为___________. 【答案】3 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义，可知且，由此即可求得m的值． 【详解】解：由题意可知，且， 解得：，且， ∴， 故答案为：3． 【点睛】本题主要考查的是一元二次方程的定义：只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的整式方程，同时需要注意未知数的二次项系数不为0． 12. 如图，将△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△EDC，若点A，D，E在同一条直线上，且AB=1，BC=2，则AD的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】连接BD，根据旋转的性质可得BC＝CD＝2，∠BCD＝90°，CA＝CE，∠ACE＝90°，从而求出BD，∠CAE＝∠E＝45°，进而可得∠BAD＝90°，然后在Rt△ABD中，利用勾股定理进行计算即可解答． 【详解】解：连接BD， 由旋转得： BC＝CD＝2，∠BCD＝90°， ∴BD＝， 由旋转得： CA＝CE，∠ACE＝90°， ∴∠CAE＝∠E＝45°， 由旋转得： ∠CAB＝∠E＝45°， ∴∠BAD＝∠CAB+∠CAE＝90°， 在Rt△ABD中，AB＝1， ∴AD＝ ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了旋转的性质、勾股定理、等腰直角三角形的性质等知识，熟练掌握旋转的性质是解题的关键． 13. 设a，b是方程的两个实数根，则的值为_________． 【答案】2021 【解析】 【分析】本题考查了根与系数的关系以及一元二次方程的解，根据一元二次方程的解及根与系数的关系找出、是解题的关键．根据一元二次方程的解及根与系数的关系可得出、，将其代入中即可求出结论． 【详解】解：，是方程的两个实数根， ，， ． 故答案为：2021 14. 已知抛物线的部分图像如图所示，则方程的解是___________ 【答案】或 【解析】 【分析】根据抛物线的轴对称性即可求得抛物线与x轴的另一个交点的坐标，这两个交点的横坐标就是方程的解． 【详解】解：由图像可知抛物线与x轴的一个交点坐标为，对称轴为直线， 设抛物线与x轴的另一个交点为，则， 解得：． ∴方程的解为或． 故答案为：或 【点睛】本题考查的是利用二次函数的图像求解一元二次方程，以及抛物线的对称性问题，正确理解抛物线与x轴的交点的横坐标与相应的一元二次方程的根之间的关系是解题的关键． 15. 如图所示，在中，，，为斜边中线，点P为线段上一动点，将线段绕点P逆时针旋转得线段，连接，，当垂直于的一边时，线段的值为 _________． 【答案】或 【解析】 【分析】根据和两种情况进行讨论，当时，根据得到，在中根据直角三角函数计算出和，从而计算出，当时，证明，得到，得到，再根据勾股定理计算出． 【详解】解：①当时，如图1所示， ，， ， ． 为斜边中线， ， ． 在中，，， ，， ，， ； ②当时；如图2所示，过点Q作于点D． ，， ． ． ，． ． 在中，． 综上，线段的长为或， 故答案为：或． 【点睛】本题考查直角三角形的性质和解直角三角形，勾股定理，旋转的性质，解题的关键是掌握解直角三角形的相关知识． 三．解答题（共8小题，满分75分，每小题9分） 16. 嘉嘉解方程的过程如表所示． 解方程： 解：第一步 第二步 ， 第三步 （1）嘉嘉是用       填“配方法”“公式法”或“因式分解法”来求解的；从第      步开始出现错误； （2）请你用不同于（1）中的方法解该方程． 【答案】（1）配方法，二 （2），，方法见解析 【解析】 【分析】（1）根据配方法解一元二次方程的步骤求解即可； （2）利用十字相乘将方程的左边因式分解，继而得出两个关于的一元一次方程，再进一步求解即可． 【小问1详解】 解：嘉嘉是用配方法来求解的；从第二步开始出现错误； 故答案为：配方法，二； 【小问2详解】 解：， ， 则或， 解得，． 【点睛】本题主要考查解一元二次方程，解一元二次方程常用的方法有：直接开平方法、因式分解法、公式法及配方法，解题的关键是根据方程的特点选择简便的方法． 17. 如图，平面直角坐标系内，小正方形网格的边长为1个单位长度，的顶点均在格点上． （1）画出关于原点O的中心对称图形． （2）将绕点E顺时针旋转得到，画出． （3）若由绕着某点旋转得到的，则这点的坐标为 ． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了作图-旋转变换，熟练掌握旋转的性质是解题的关键． （1）根据中心对称的性质即可画出； （2）根据旋转的性质即可画出； （3）根据旋转中心为两组对应点连线的垂直平分线的交点可得到答案． 【小问1详解】 解：如图，即为所求； 【小问2详解】 解：如图，即为所求； 【小问3详解】 解：如图，根据旋转的性质：旋转中心到两对应点的距离相等； 旋转中心在线段的中垂线上，即为图中点P； 由图象可知，该点的坐标为． 故答案为：． 18. 已知关于x的一元二次方程 （1）求证：无论k为何实数，方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程的一根为3，求k的值及方程的另一根． 【答案】（1）见解析 （2）的值为3，方程的另一根为1 【解析】 【分析】（1）根据一元二次方程的根的判别式，结合完全平方公式的非负性分析求证； （2）把一根为3代入一元二次方程求出k的值，再解方程求出另一根． 【小问1详解】 证明：∵ ∴无论为何实数，方程总有两个不相等的实数根； 小问2详解】 解：当时，， 解得：， 把代入原方程：，（舍去） 故的值为3，方程的另一根为1． 【点睛】本题考查了根的判别式以及根与系数的关系，熟练掌握当方程有两个不相等的实数根时Δ＞0是解题的关键． 19. 直播购物逐渐走进了人们的生活．某电商在某上对一款成本价为元件的小商品进行直播销售，如果按每件元销售，每月可卖出件．通过市场调查发现，每件小商品的售价每上涨元，每月的销售件数就减少件，为了使每月的销售利润为元，且让顾客得到实惠，每件小商品的售价应定为多少元？这时电商每月能售出小商品多少件？ （1）解法1：设每件小商品涨价元，由题意得方程：______． 解法2：设每件小商品的售价应定为元，由题意得方程：______． （2）请你选择(1)中的一种解法完成解答． 【答案】（1）； （2）每件小商品的售价元，每月能售出小商品件 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用； （1）①设每件小商品涨价元，根据售价乘以数量等于利润列出一元二次方程，即可求解； ②设每件小商品的售价应定为元，根据售价乘以数量等于利润列出一元二次方程，即可求解； （2）根据（1）的方程，解方程，即可求解． 【小问1详解】 解：解法1：设每件小商品涨价元，由题意得方程：， 解法2：设每件小商品的售价应定为元，由题意得方程：， 故答案为：；． 【小问2详解】 解法1：． 整理，得，解得． 为了让顾客得到实惠 舍去 即 当时，每件小商品的售价(元)，每月售出小商品(件)； 答：每件小商品的售价50元，每月能售出小商品500件； 解法2：． 整理，得，解得． 为了让顾客得到实惠 舍去 即 当时，每件小商品的售价为50元，每月能售出小商品(件)； 答：每件小商品的售价50元，每月能售出小商品500件； 20. 某位同学做实验考察电流变化情况时，可以选择若干定值电阻进行并联（假设可以选择任何数值的电阻），已知电源电压U为（注：公式，其中I是电流强度、U是电压，R是电阻） （1）若只选择一个电阻，测得电流强度I为，求该电阻R的值． （2）若所选的两个电阻分别为，且，恰好使总电流强度I最小，求对应电阻的值．（注并联时总电阻）（在求对应的值时，用数学的方法书写过程） 【答案】（1）30Ω；（2）R1=R2=10Ω． 【解析】 【分析】 （1）根据公式I=，代入即可求解． （2）根据题意写出总电流表达式，利用R1+R2=20Ω进行化简配方即可求出最小值． 【详解】解：（1）根据题意知：U=3V，I=0.1A． ∴R＝＝30Ω． （2）∵R1+R2=20Ω． ∴并联时总电阻R=． ∵I=． ∴总电流强度I= =． 故当R1=10Ω时，总电流强度I取最小值，此时R2=10Ω． 即：恰好使总电流强度I最小，对应电阻R1，R2值都为10Ω． 【点睛】本题考查二次函数求最值，关键在于利用已知进行化简配方找到最值，本题属于跨学科之间的题型，值得考生多加关注． 21. 某居民小区一处圆柱形的输水管道破裂，维修人员为更换管道，需确定管道圆形截面的半径，下图是水平放置的破裂管道有水部分的截面． （1）若这个输水管道有水部分的水面宽，水面最深地方的高度为4，求这个圆形截面的半径； （2）在（1）的条件下，小明把一只宽12的方形小木船放在修好后的圆柱形水管里，已知船高出水面13，问此小船能顺利通过这个管道吗？ 【答案】（1） （2）能顺利通过 【解析】 【分析】（1）过作于，交弧于，连接，根据垂径定理得到，然后根据勾股定理列出关于圆形截面半径的方程求解． （2）连接，设，可求得此时的高，即可求得的长，比较，即可得到此时小船能顺利通过这个管道． 【小问1详解】 解：过作于，交弧于，连接． ， ， 由题意可知，， 设半径为，则， 在中，由勾股定理得： 解得． 即这个圆形截面的半径为． 【小问2详解】 如图，小船能顺利通过这个管道．理由： 连接，设． ，， 在中， ， 小船能顺利通过这个管道． 【点睛】此题考查了垂径定理、勾股定理的应用．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想与方程思想的应用． 22. 如图1所示的某种发石车是古代一种远程攻击的武器，将发石车置于山坡底部处，以点为原点，水平方向为轴方向，建立如图所示的平面直角坐标系，将发射出去的石块当作一个点看，其飞行路线可以近似看作抛物线的一部分，山坡上有一堵防御墙，其竖直截面为，墙宽米，与轴平行，点与点的水平距离为米、垂直距离为米． （1）若发射石块在空中飞行的最大高度为米， ①求抛物线的解析式； ②试通过计算说明石块能否飞越防御墙； （2）若要使石块恰好落在防御墙顶部上（包括端点、），求的取值范围， 【答案】（1）；②石块能飞越防御墙； （2） 【解析】 【分析】（1）①根据题意得抛物线解析式为：，待定系数法求解析式即可求解； ②根据题意，得出，将代入解析式计算，即可求解． （2）依题意得出，进而根据以及原点分别待定系数法求解析式即可求解． 【小问1详解】 解：①∵发射石块在空中飞行的最大高度为米， ∴抛物线解析式为：， 将点代入得，， 解得：， ∴抛物线解析式为， ∴， ②∵点与点水平距离为米、垂直距离为米． ∴， 当时，， ∴石块能飞越防御墙； 【小问2详解】 ∵，， ∴ 当经过点，时， ，解得：. 当经过点，时， ，解得： ∴要使石块恰好落在防御墙顶部上（包括端点、），的取值范围为 【点睛】本题考查了二次函数的实际应用，熟练掌握待定系数法求解析式是解题的关键． 23. 如图，两个等腰直角△ABC和△CDE中，∠ACB＝∠DCE＝90°． （1）观察猜想如图1，点E在BC上，线段AE与BD的数量关系是　 　，位置关系是　 　． （2）探究证明把△CDE绕直角顶点C旋转到图2的位置，（1）中的结论还成立吗？说明理由； （3）拓展延伸：把△CDE绕点C在平面内自由旋转，若AC＝BC＝13，DE＝10，当A、E、D三点在同一条直线上时，请直接写出AD的长． 【答案】（1）AE＝BD，AE⊥BD （2）结论成立，AE＝BD，AE⊥BD．理由见解析 （3）满足条件的AD的值为17或7 【解析】 【分析】（1）利用SAS证明△ACE≌△BCD，得出AE＝BD，∠EAC＝∠CBD，进一步证明出AE⊥BD． （2）利用SAS证明△ACE≌△BCD，得出AE＝BD，∠EAC＝∠CBD，进一步证明出AE⊥BD． （3）作CH⊥AD于H，利用等腰直角三角形的性质求出CH＝DE＝5，利用勾股定理求出AH＝12，然后分射线AD在直线AC的下方和上方两种情况求解． 【小问1详解】 如图1中，延长AE交BD于H． ∵AC＝CB，∠ACE＝∠BCD，CE＝CD， ∴△ACE≌△BCD， ∴AE＝BD，∠EAC＝∠CBD， ∵∠EAC+∠AEC＝90°，∠AEC＝∠BEH， ∴∠BEH+∠EBH＝90°， ∴∠EHB＝90°，即AE⊥BD， 故答案AE＝BD，AE⊥BD． 【小问2详解】 结论：AE＝BD，AE⊥BD． 理由：如图2中，延长AE交BD于H，交BC于O． ∵∠ACB＝∠ECD＝90°， ∴∠ACE＝∠BCD， ∵AC＝CB，∠ACE＝∠BCD，CE＝CD， ∴△ACE≌△BCD， ∴AE＝BD，∠EAC＝∠CBD， ∵∠EAC+∠AOC＝90°，∠AOC＝∠BOH， ∴∠BOH+∠OBH＝90°， ∴∠OHB＝90°， 即AE⊥BD． 小问3详解】 当射线AD在直线AC的上方时，作CH⊥AD于H． ∵CE＝CD，∠ECD＝90°，CH⊥DE， ∴EH＝DH，CH＝DE＝5， 在Rt△ACH中， ∵AC＝13，CH＝5， ∴AH＝＝12， ∴AD＝AH+DH＝12+5＝17． ②当射线AD在直线AC的下方时，作CH⊥AD于H． 同法可得：AH＝12，故AD＝AH﹣DH＝12﹣5＝7， 综上所述，满足条件的AD的值为17或7． 【点睛】本题考查几何变换，解决问题的思路是从特殊到一般，注意解决后面问题参照前面的思路方法是解决问题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$