江苏省高二数学上学期期中押题试卷02（测试范围：直线与方程、圆与方程、数列、椭圆）-【上好课】2024-2025学年高二数学同步精品课堂（苏教版2019选择性必修第一册）

2024-2025学年高二数学上学期期中押题试卷02 考试时间：120分钟 满分：150分 测试范围：直线与方程、圆与方程、数列、椭圆 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．在平面直角坐标系中，直线的倾斜角是　　 A． B． C． D． 2．已知直线，，则“”是“”的　　 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．已知等差数列满足，前项和为，则　　 A．8 B．12 C．16 D．24 4．直线与圆的位置关系是　　 A．相交且过圆心 B．相切 C．相离 D．相交但不过圆心 5．直线被椭圆所截得弦的中点坐标为　　 A． B． C． D． 6．过点有一条直线，它夹在两条直线与之间的线段恰被点平分，则直线方程为　　 A． B． C． D． 7．以下四个命题表述错误的是　　 A．圆上有且仅有3个点到直线的距离都等于 B．曲线与曲线，恰有四条公切线，则实数的取值范围为 C．已知圆，为直线上一动点，过点向圆引一条切线，其中为切点，则的最小值为2 D．已知圆，点为直线上一动点，过点向圆引两条切线，，，为切点，则直线经过点 8．已知数列满足，，则　　 A． B． C．0 D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9．已知圆，则下列命题正确的是　　 A．若，则圆不可能过点 B．若圆与两坐标轴均相切，则 C．若点在圆上，则圆心到原点的距离的最小值为4 D．若圆上有两点到原点的距离为1，则 10．已知数列为等差数列，公差为；数列为等比数列，公比为，则下列说法正确的是　　 A．存在和，使得 B．若为的前项和，则，，，成等差数列 C．若为的前项和，则，，，成等比数列 D．当时，存在实数、使得 11．已知是椭圆上一点，，是其左右焦点，则下列选项中正确的是　　 A．椭圆的焦距为2 B．椭圆的离心率 C．椭圆的短轴长为4 D．△的面积的最大值是4 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．数列的前项和为，若，则　　． 13．已知圆，为过的圆的切线，为上任一点，过作圆的切线，则切线长的最小值是 　　． 14．已知点在椭圆上，为椭圆的右焦点，直线与圆相切，且为原点），则椭圆的离心率为 　　． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．求满足下列条件的直线的一般式方程： （1）直线的一个方向向量是，且经过，的交点； （2）与直线垂直，且点到直线的距离为． 16．已知数列是首项的等比数列，其前项和为，且是与的等差中项． （1）求数列的通项公式； （2）令，求数列前项和为的和． 17．已知椭圆的焦距为，离心率为． （1）求椭圆的标准方程； （2）若点，点在椭圆上，求线段长度的最大值． 18．已知圆经过两点，且圆心在直线上． （Ⅰ）求圆的标准方程； （Ⅱ）若直线过点，且被圆截得的弦长为，求直线的方程． 19．已知椭圆的离心率，短轴长为，椭圆的左焦点为，右顶点为，点在椭圆位于轴上方的部分． （1）求椭圆的方程； （2）若直线的斜率为，求弦的长度； （3）若直线与轴交于点，点是轴上一点，且满足，直线与椭圆交于点．是否存在直线，使得的面积为2，若存在，求出直线的斜率，若不存在，说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年高二数学上学期期中押题试卷01 考试时间：120分钟 满分：150分 测试范围：直线与方程、圆与方程、数列、椭圆 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．在平面直角坐标系中，直线的倾斜角是　　 A． B． C． D． 【分析】根据直线方程求出直线的倾斜角即可． 【解答】解：直线， 直线的倾斜角是， 故选：． 【点评】本题考查了直线的倾斜角问题，考查了推理能力，属于基础题． 2．已知直线，，则“”是“”的　　 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【分析】直接利用直线垂直的充要条件的应用和充分条件和必要条件的应用求出结果． 【解答】解：当时，则直线，直线，则， 当时，则，整理得，解得或2， 故“”是“”的充分不必要条件； 故选：． 【点评】本题考查的知识要点：直线垂直的充要条件，充分条件和必要条件，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题． 3．已知等差数列满足，前项和为，则　　 A．8 B．12 C．16 D．24 【分析】先利用等差数列的性质求出；再利用等差数列的性质及求和公式即可求解． 【解答】解：因为等差数列满足， 由等差数列的性质可得：，即． 所以． 故选：． 【点评】本题主要考查了等差数列的性质及求和公式的应用，属于基础题． 4．直线与圆的位置关系是　　 A．相交且过圆心 B．相切 C．相离 D．相交但不过圆心 【分析】圆的圆心，半径，圆心到直线的距离，由此能求出直线与圆的位置关系． 【解答】解：圆的圆心，半径， 圆心到直线的距离， 直线与圆的位置关系是相交但不过圆心． 故选：． 【点评】本题考查直线与圆的位置关系的判断，考查直线、圆、点到直线的距离公式等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是基础题． 5．直线被椭圆所截得弦的中点坐标为　　 A． B． C． D． 【分析】联立方程组消掉得的二次方程，设所截得弦的端点为，，，，则弦中点的横坐标为，由韦达定理即可求得，把弦中点的横坐标代入直线方程即可求得纵坐标． 【解答】解：由得， 设所截得弦的端点为，，，，则， 所以弦中点的横坐标为，代入得，即弦中点的纵坐标为， 故弦的中点坐标为，． 故选：． 【点评】本题考查直线与圆锥曲线的位置关系、中点坐标公式，考查方程思想，是基础题． 6．过点有一条直线，它夹在两条直线与之间的线段恰被点平分，则直线方程为　　 A． B． C． D． 【分析】当斜率不存在时，不合题意；当斜率存在时，设所求的直线方程为，进而得出交点，根据点为两交点的中点建立等式，求出的值，从而求出所求． 【解答】解：如果所求直线斜率不存在，则此直线方程为，不合题意． 设所求的直线方程为， 分别联立直线与，的方程得与， 解得：与， 直线与，的交点分别为，． 夹在两条直线与之间的线段恰被点平分， ，且， 解得， 所求的直线方程为．即， 故选：． 【点评】本题主要考查了直线的点斜式方程，交点坐标的求法以及中点坐标公式等知识，有一定的综合性，同时考查了运算求解的能力，属于中档题． 7．以下四个命题表述错误的是　　 A．圆上有且仅有3个点到直线的距离都等于 B．曲线与曲线，恰有四条公切线，则实数的取值范围为 C．已知圆，为直线上一动点，过点向圆引一条切线，其中为切点，则的最小值为2 D．已知圆，点为直线上一动点，过点向圆引两条切线，，，为切点，则直线经过点 【分析】选项，根据圆心到直线的距离与半径的关系来确定所求点的个数；选项，根据两曲线有四条公切线，确定曲线类型为圆，再由两圆外离列不等式求解；选项，利用圆心与切点的连线垂直切线列等式，转化为求圆心到直线上的点的距离的最小值问题；选项，设点为直线上一点，求出直线的方程即可判断． 【解答】解：选项：圆的圆心为，半径．圆心到直线的距离， 所以圆上有且仅有3个点到直线的距离都等于，故选项正确； 选项：方程可化为，故曲线表示圆心为，半径的圆， 方程可化为，因为圆与曲线有四条公切线， 所以曲线也为圆，且圆心为，半径，同时两圆的位置关系为外离，有， 即，解得，故错误； 选项：圆的圆心，半径，圆心到直线的距离， 所以直线与圆相离．由切线的性质知，为直角三角形，， 当且仅当与直线垂直时等号成立，所以的最小值为2，故选项正确； 选项：设点为直线上一点，则以，为直径的圆的方程为， 即，和圆的方程两式相减得到直线方程为， 即，所以直线过定点，正确． 故选：． 【点评】本题考查直线与圆以及圆与圆的综合应用，考查推理能力和计算能力，属于中档题． 8．已知数列满足，，则　　 A． B． C．0 D． 【分析】写出数列的前4项，可得出数列为周期数列，利用数列的周期性可求得的值． 【解答】解：因为数列满足，， 则，，， 以此类推可知，，因此，． 故选：． 【点评】本题主要考查数列递推式，考查运算求解能力，属于基础题． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9．已知圆，则下列命题正确的是　　 A．若，则圆不可能过点 B．若圆与两坐标轴均相切，则 C．若点在圆上，则圆心到原点的距离的最小值为4 D．若圆上有两点到原点的距离为1，则 【分析】对．将点代入圆的方程，进而通过判别式法判断答案； 对．根据题意得到，间的关系，进而判断答案； 对．由题意得到，将其视为圆的方程，进而根据圆的性质判断答案； 对．根据题意得到圆与圆总有两个交点，进而根据圆与圆的位置关系求得答案． 【解答】解：对．若，将点代入方程得：，即，方程无解，所以正确； 对．若圆与两坐标轴均相切，则，则可以有，所以错误； 对．由题意可得，则到原点的距离的最小值为：，所以正确； 对．由题意可得圆与圆总有两个交点，圆心距，所以，所以正确． 故选：． 【点评】本题考查了点与圆关系及利用点与圆关系求最值问题，属于基础题． 10．已知数列为等差数列，公差为；数列为等比数列，公比为，则下列说法正确的是　　 A．存在和，使得 B．若为的前项和，则，，，成等差数列 C．若为的前项和，则，，，成等比数列 D．当时，存在实数、使得 【分析】对于：距离说明即可；对于：根据等差数列的定义和性质分析判断；对于：令，代入运算即可判断． 【解答】解：对于选项：例如，，，故正确； 对于选项：因为 ， 所以，，，成等差数列，故正确； 对于选项：例如，则， 可得，，，不一定成等比数列，故错误； 对于选项：因为数列为等差数列，设， 又因为，则，， 令， 则， 即存在实数、使得，故正确． 故选：． 【点评】本题考查等比数列的应用，考查运算求解能力，是基础题． 11．已知是椭圆上一点，，是其左右焦点，则下列选项中正确的是　　 A．椭圆的焦距为2 B．椭圆的离心率 C．椭圆的短轴长为4 D．△的面积的最大值是4 【分析】由题意可得，即可判断，，；当为椭圆短轴的一个顶点时，△以为底时的高最大，面积最大，求出面积的最大值即可判断． 【解答】解：因椭圆方程为， 所以， 所以椭圆的焦距为，离心率，短轴长为， 故错误，，正确； 对于，当为椭圆短轴的一个顶点时，△以为底时的高最大，为2， 此时△的面积取最大为，故正确． 故选：． 【点评】本题主要考查椭圆的性质，属于基础题． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．数列的前项和为，若，则　　． 【分析】先将数列的通项公式进行转化，再运用裂项相消法即可计算出前2024项和的值． 【解答】解：由题意，可知， 则 ． 故答案为：． 【点评】本题主要考查数列求和问题．考查了转化与化归思想，裂项相消法，以及逻辑推理能力和数学运算能力，属中档题． 13．已知圆，为过的圆的切线，为上任一点，过作圆的切线，则切线长的最小值是 　　． 【分析】由题意和点斜式方程求出直线的方程，再由切线长的求法计算即可求得． 【解答】解：由题可得，在圆上，所以直线的斜率为，所以直线的斜率为， 所以的方程为，即， 又因为到的距离， 所以切线长的最小值是． 故答案为：． 【点评】本题考查直线与圆的位置关系和点到直线的距离，直线方程的求法，属于中档题． 14．已知点在椭圆上，为椭圆的右焦点，直线与圆相切，且为原点），则椭圆的离心率为 　　． 【分析】画出图形，利用已知条件，转化求解椭圆的离心率即可． 【解答】解：设椭圆的左焦点为，点在椭圆上，为椭圆的右焦点， 为原点），所以是直角三角形， 直线与圆相切，圆的圆心，，半径为，圆的圆心是的中点， 可得，由椭圆的定义可知， 所以，即，可得， 所以椭圆的离心率为：． 故答案为：． 【点评】本题考查椭圆的几何性质，考查直线与圆的位置关系，确定几何量的关系是关键，属于中档题． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．求满足下列条件的直线的一般式方程： （1）直线的一个方向向量是，且经过，的交点； （2）与直线垂直，且点到直线的距离为． 【分析】（1）根据直线方向向量，可求得直线斜率，联立直线方程，求交点，根据点斜式，可得答案； （2）由直线与垂直，可设直线一般式方程为，再根据点到直线距离公式可求得直线的方程． 【解答】解：（1）根据直线方向向量，可求得直线斜率为， 联立，，可求得， 根据点斜式可得，化简可得． （2）直线与直线垂直，可求得， 解之可求得，设直线的一般式方程为， 根据点到直线距离公式，解之可得或， 所以直线的方程为或． 【点评】本题主要考查直线方程的求法，直线的一般式方程，考查运算求解能力，属于中档题． 16．已知数列是首项的等比数列，其前项和为，且是与的等差中项． （1）求数列的通项公式； （2）令，求数列前项和为的和． 【分析】（1）由等比数列的通项公式、等差数列的中项性质，解方程可得公比，进而得到所求通项公式； （2）求得，分别讨论为奇数和偶数，求得，再对分奇数和偶数，结合等差数列的求和公式，计算可得所求和． 【解答】解：（1）设公比为， 因为是与的等差中项 所以，即， 即， 解得， 所以； （2）， ， 当为偶数时，； 当为奇数时，． 所以，当为偶数时， ； 当为奇数时，． 所以． 【点评】本题考查等比数列和等差数列的通项公式和求和公式的运用，考查分类讨论思想和运算能力，属于中档题． 17．已知椭圆的焦距为，离心率为． （1）求椭圆的标准方程； （2）若点，点在椭圆上，求线段长度的最大值． 【分析】（1）利用椭圆的截距，以及离心率，求出，得到，然后求解椭圆方程． （2）设出的坐标，利用距离公式以及二次函数的性质求解即可． 【解答】解：（1）因为，，所以，，， 所以椭圆的标准方程为：． （2）点，点在椭圆上， 设，，则， ，当且仅当时，取等号． 所以当时，的最大值为． 【点评】本题考查椭圆的简单性质以及椭圆方程的求法，两点间距离公式的求法，二次函数的最值，是中档题． 18．已知圆经过两点，且圆心在直线上． （Ⅰ）求圆的标准方程； （Ⅱ）若直线过点，且被圆截得的弦长为，求直线的方程． 【分析】（Ⅰ）设出圆的方程，由已知可得关于、、的方程组，求解、、的值，则圆的方程可求； （Ⅱ）分直线的斜率存在与不存在两种情况讨论，由垂径定理及勾股定理求解即可． 【解答】解：（Ⅰ）设圆的方程为：， 由题意得，解得， 圆的标准方程为； （Ⅱ）由（Ⅰ）可知圆的圆心为，半径， 当直线的斜率不存在时，直线的方程为，圆心到直线的距离， 被圆截得的弦长为，符合题意； 当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即， 则圆心到直线的距离， 由被圆截得的弦长为，可得，则， 解得，所以直线的方程为， 综上，直线的方程为或． 【点评】本题主要考查圆的标准方程的求法，直线与圆的位置关系，考查分类讨论思想与运算求解能力，属于中档题． 19．已知椭圆的离心率，短轴长为，椭圆的左焦点为，右顶点为，点在椭圆位于轴上方的部分． （1）求椭圆的方程； （2）若直线的斜率为，求弦的长度； （3）若直线与轴交于点，点是轴上一点，且满足，直线与椭圆交于点．是否存在直线，使得的面积为2，若存在，求出直线的斜率，若不存在，说明理由． 【分析】（1）由已知有，解方程组即可； （2）直线方程为，与椭圆方程联立，由弦长公式求解即可； （3）由题意求出，的坐标，进而可得直线的方程为，并与与椭圆方程联立，可得点坐标，由此可判断，关于原点对称，故直线过原点，所以，令，求解即可． 【解答】解：（1）由题意可得，，解得，，， 所以椭圆的方程为； （2）由（1）可知，，，设，，直线的方程为， 由，得， 所以，， 所以； （3）由（2）可知，即， 所以，即，，直线的方程为， 令，解得，即， 设，由题意有，，， 解得，即， 进而可得直线的方程为， 由，得， 解得，进而，即，， 因为，， 所以，关于原点对称，故直线过原点， 所以， 当时，即， 解得， 所以存在直线，使得的面积为2，此时直线的斜率． 【点评】本题考查椭圆的方程，直线与椭圆的相交问题，解题中需要一定的计算能力，属于中档题． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$