专题23 导数的概念及运算六种考法-【常考压轴题】2024-2025学年高二数学压轴题攻略（苏教版2019选择性必修第一册）

专题23 导数的概念及运算六种考法 解题知识必备 1 压轴题型讲练 1 类型一、求某点的导数………………………………………………………… 2 类型二、已知切线求参数（范围）…………………………………………………4 类型三、求切线方程 5 类型四、两条切线平行、垂直、重合（公切线）问题 6 类型五、切点、切线有关的其他问题 8 类型五、抽象函数的导数综合 9 压轴能力测评（10题） 10 1.导数的概念： 函数在处瞬时变化率是，我们称它为函数在处的导数，记作或． 注意： ①增量可以是正数，也可以是负，但是不可以等于0．的意义：与0之间距离要多近有 多近，即可以小于给定的任意小的正数； ②当时，在变化中都趋于0，但它们的比值却趋于一个确定的常数，即存在一个常数与 无限接近； ③导数的本质就是函数的平均变化率在某点处的极限，即瞬时变化率．如瞬时速度即是位移在这一时 刻的瞬间变化率，即 2. 导数的几何意义及物理意义： 函数在处的导数的几何意义即为函数在点处的切线的斜率； 函数在点处的导数是物体在时刻的瞬时速度，即；在点的导数是物体在时刻的瞬时加速度，即 3.导数运算： . （1）求导的基本公式 基本初等函数 导函数 （为常数） （2）导数的四则运算法则 ①函数和差求导法则：； ②函数积的求导法则：； ③函数商的求导法则：，则． （3）复合函数求导数 ①复合函数的导数和函数，的导数间关系为： 4.切线方程： .（1）在点的切线方程： 函数在点处的切线方程为，抓住关键 （2）过点的切线方程： 设切点为，则斜率，过切点的切线方程为：， 又因为切线方程过点，所以然后解出的值．（有几个值，就有几条切线） 注意：在做此类题目时要分清题目提供的点在曲线上还是在曲线外． 类型一、求某点的导数 例．（1）若为可导函数，且，则过曲线上点处的切线斜率为 ． （2）已知函数满足满足；则的解析式为____________ （3）在等比数列中，，若函数，则（     ） A． B． C． D． 【变式训练1】已知函数，则 ． 【变式训练2】设为可导函数，且满足，则曲线在点处的切线的斜率是（     ） A． B． C． D． 【变式训练3】若函数的导函数为，且满足，则（     ） A． B． C． D． 类型二、已知切线求参数（范围） 例．若直线是函数的图象在某点处的切线，则实数 ． 【变式训练1】若曲线在点处的切线与直线垂直，则实数等于（     ） A． B． C． D． 【变式训练2】若曲线在点处的切线与平行，曲线在点处的切线与直线垂直，则__________． 类型三、求切线方程 例．过原点与曲线相切的一条切线的方程为 . 【变式训练1】已知直线与曲线的某条切线平行，则该切线方程为 【变式训练2】过点作曲线的切线，写出一条切线的方程_______． 类型四、两条切线平行、垂直、重合（公切线）问题 例．已知函数若对任意，曲线在点和处的切线互相平行或重合，则实数（     ） A．0 B．1 C．2 D．3 （2）曲线在处的切线与曲线相切于点，若且，则实数的值为 . 【变式训练1】若直线与曲线相切，直线与曲线相切，则的值为（     ） A． B．1 C．e D． 【变式训练2】若直线与曲线相切，切点为，与曲线也相切，切点为，则的值为（     ） A． B． C．0 D．1 类型五、切点、切线有关的其他问题 例．已知实数满足，其中是自然对数的底数，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 【变式训练1】曲线在点处的切线与坐标轴围成的图形的面积为 . 【变式训练2】设点P在曲线上，点Q在直线y=2x上，则PQ的最小值为（     ） A．2 B．1 C． D． 类型六、抽象函数的导数综合 例．（多选）已知函数，及其导函数，的定义域均为，若的图象关于直线对称，，，且，则（     ） A．为偶函数 B．的图象关于点对称 C． D． 【变式训练1】已知为定义在上的奇函数，设为的导函数，若，则（     ） A．1 B． C．2 D．2023 1．已知函数在点处的切线与直线垂直，则（     ） A． B． C． D．0 2．已知，，直线与曲线相切，则的最小值是（     ） A．16 B．12 C．8 D．4 3．函数的图象在处的切线对应的倾斜角为，则sin2=（     ） A． B．± C． D．± 4．已知函数是定义在上的奇函数且在上可导，若恒成立，则（     ） A． B．0 C．1 D．2 5．已知函数的图象上存在不同的两点，使得曲线在点处的切线都与直线垂直，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 6．（多选）已知曲线及点，则过点且与曲线相切的直线可能有（     ） A．0条 B．1条 C．2条 D．3条 7．（多选）已知函数的定义域为，设，且，若，则（     ） A． B． C． D． 8．若曲线只有一条经过点的切线，则的值可以为______，此时切线方程为______． 9．若曲线有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是________________． 10．已知函数和，其中为常数且．若存在斜率为1的直线与曲线同时相切，则的最小值为 ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题23 导数的概念及运算六种考法 解题知识必备 1 压轴题型讲练 1 类型一、求某点的导数………………………………………………………… 2 类型二、已知切线求参数（范围）…………………………………………………4 类型三、求切线方程 5 类型四、两条切线平行、垂直、重合（公切线）问题 6 类型五、切点、切线有关的其他问题 8 类型五、抽象函数的导数综合 9 压轴能力测评（10题） 10 1.导数的概念： 函数在处瞬时变化率是，我们称它为函数在处的导数，记作或． 注意： ①增量可以是正数，也可以是负，但是不可以等于0．的意义：与0之间距离要多近有 多近，即可以小于给定的任意小的正数； ②当时，在变化中都趋于0，但它们的比值却趋于一个确定的常数，即存在一个常数与 无限接近； ③导数的本质就是函数的平均变化率在某点处的极限，即瞬时变化率．如瞬时速度即是位移在这一时 刻的瞬间变化率，即 2. 导数的几何意义及物理意义： 函数在处的导数的几何意义即为函数在点处的切线的斜率； 函数在点处的导数是物体在时刻的瞬时速度，即；在点的导数是物体在时刻的瞬时加速度，即 3.导数运算： . （1）求导的基本公式 基本初等函数 导函数 （为常数） （2）导数的四则运算法则 ①函数和差求导法则：； ②函数积的求导法则：； ③函数商的求导法则：，则． （3）复合函数求导数 ①复合函数的导数和函数，的导数间关系为： 4.切线方程： .（1）在点的切线方程： 函数在点处的切线方程为，抓住关键 （2）过点的切线方程： 设切点为，则斜率，过切点的切线方程为：， 又因为切线方程过点，所以然后解出的值．（有几个值，就有几条切线） 注意：在做此类题目时要分清题目提供的点在曲线上还是在曲线外． 类型一、求某点的导数 例．（1）若为可导函数，且，则过曲线上点处的切线斜率为 ． 【答案】2 【分析】直接根据导数的定义计算得到答案. 【解析】，故. 故答案为：2 （2）已知函数满足满足；则的解析式为____________ 【答案】 【解析】 令得： 得： 故答案为： （3）在等比数列中，，若函数，则（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设， 则，， 所以，. 因为是等比数列，且， 所以，， 所以，， 所以，. 故选：A. 【变式训练1】已知函数，则 ． 【答案】. 【分析】根据函数在处的导数的定义即可求解. 【解析】 . 故答案为： 【变式训练2】设为可导函数，且满足，则曲线在点处的切线的斜率是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】，则根据导数值的定义：， 由导数的几何意义可知，在点处的切线的斜率为. 故选：B 【变式训练3】若函数的导函数为，且满足，则（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由，得，令，则，解得，所以，. 故选：D 类型二、已知切线求参数（范围） 例．若直线是函数的图象在某点处的切线，则实数 ． 【答案】 【分析】利用求得切点坐标，代入切线方程，从而求得. 【解析】令，解得，所以切点为， 将代入切线得. 故答案为： 【变式训练1】若曲线在点处的切线与直线垂直，则实数等于（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】∵，∴， ∴曲线在点处的切线的斜率， ∵切线与直线垂直，∴直线的斜率为， ∴. 故选：C. 【变式训练2】若曲线在点处的切线与平行，曲线在点处的切线与直线垂直，则__________． 【答案】 【解析】设，. 则，. 直线的斜率为，由导数的几何意义可得，，所以. 又，. 直线的斜率为，由导数的几何意义可得，，所以. 所以. 故答案为：. 类型三、求切线方程 例．过原点与曲线相切的一条切线的方程为 . 【答案】或或(写出其中一条即可) 【分析】根据曲线表示抛物线的一部分，设其切线方程为，利用判别式法求解；设的切线的切点为，利用导数法求解. 【解析】解：设曲线表示抛物线的一部分， 设其切线方程为，代入， 得.由，得. 当时，，符合题意， 当时，，均符合题意， 所以切线方程. 设的切线的切点为. 由，得，， 得切线方程为. 将的坐标代入切线方程，得， 所以，所以切线方程为. 故答案为：或或(写出其中一条即可) 【变式训练1】已知直线与曲线的某条切线平行，则该切线方程为 【答案】 【详解】，设切点为，则，解得，所以切点为， 故切线方程为，即. 故答案为：. 【变式训练2】过点作曲线的切线，写出一条切线的方程_______． 【答案】（1）（2）（答案不唯一） 【解析】（1）由函数，可得， 设切点坐标为，可得切线方程为， 把原点代入方程，可得，即， 解得，所以切线方程为，即.故选：A. （2），， 设切点坐标为，则切线斜率为，得方程， 代入点，得，即，解得或， 当时，切线方程为；当时，切线方程为. 故答案为：（或）. 类型四、两条切线平行、垂直、重合（公切线）问题 例．已知函数若对任意，曲线在点和处的切线互相平行或重合，则实数（     ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【详解】由函数， 可得， 因为曲线在点和处的切线互相平行或重合， 可得为偶函数，所以，解得. 故选：C. （2）曲线在处的切线与曲线相切于点，若且，则实数的值为 . 【答案】 【详解】函数在处的切线斜率为则切线方程为， 函数在处的切线斜率为，则切线方程为，即， 由题意有①且②，故，， 从而，整理得， 所以，即. 代入式②，得，即. 故答案为： 【变式训练1】若直线与曲线相切，直线与曲线相切，则的值为（     ） A． B．1 C．e D． 【答案】B 【分析】设出切点，求出，，根据斜率列出方程，得到，，构造，利用函数单调性和图象特征，求出，从而求出答案. 【详解】设直线与曲线相切于点，直线与曲线相切于点， 则，且，所以，，且，所以， 令，，当时，，单调递减， 当时，，单调递增，且，，所以当时，， 因为，，即， 所以，所以，故 故选：B 【变式训练2】若直线与曲线相切，切点为，与曲线也相切，切点为，则的值为（     ） A． B． C．0 D．1 【答案】B 【解析】因为直线与曲线相切，切点为， 可知直线的方程为， 又直线与曲线也相切，切点为， 可知直线的方程为， 所以，两式相除，可得，所以. 故选：B 类型五、切点、切线有关的其他问题 例．已知实数满足，其中是自然对数的底数，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由已知得点在直线上，点在曲线上，的几何意义就是直线到曲线上点的距离最小值的平方，由此能求出的最小值. 【详解】实数满足，， 点在直线上，点在曲线上， 的几何意义就是直线到曲线上点的距离最小值的平方， 考查曲线平行于直线的切线，，令， 解得，切点为， 该切点到直线的距离，就是所求的直线与曲线间的最小距离，故的最小值为. 故选：D 【变式训练1】曲线在点处的切线与坐标轴围成的图形的面积为 . 【答案】/0.25 【分析】先求出切线方程，后求围成的三角形面积即可. 【解析】易知的定义域为，而，故切点为， 设切线斜率为，且，故， 切线方程为，化简得， 当时，，当时，， 易知围成的图形是三角形，设面积为，故. 故答案为： 【变式训练2】设点P在曲线上，点Q在直线y=2x上，则PQ的最小值为（     ） A．2 B．1 C． D． 【答案】D 【解析】先求曲线上切线斜率为的点的横坐标：令，解得，代入曲线方程求得，故切点为，斜率为的直线方程为，将两条平行直线的方程化为一般式得，故两平行直线的距离为. 故选：D. 类型六、抽象函数的导数综合 例．（多选）已知函数，及其导函数，的定义域均为，若的图象关于直线对称，，，且，则（     ） A．为偶函数 B．的图象关于点对称 C． D． 【答案】BC 【详解】由的图象关于直线对称，可得的图象关于直线对称， 即的图象关于直线对称，则 由，可得，又， 所以，所以的图象关于点对称，即为奇函数， 所以，即，即函数的周期为4， 由，可得，因为的周期为4， 所以， 则，即， 所以的图象关于点对称，故B正确； 因为的图象关于直线对称，则， 所以，所以， 因为的周期为4，所以的周期也为4.由， 可得，所以，故C正确； 由，可得，所以， 即 ，故D错误. 故选：BC 【变式训练1】已知为定义在上的奇函数，设为的导函数，若，则（     ） A．1 B． C．2 D．2023 【答案】C 【分析】根据进行奇偶性和周期性的推导，得到是周期为4的偶函数，从而算出的值. 【解析】因为，所以两边求导，得， 即① 因为为定义在上的奇函数，则， 所以两边求导，得，所以是定义在上的偶函数， 所以，结合①式可得，， 所以，两式相减得，， 所以是周期为4的偶函数， 所以. 由①式，令，得，所以. 故选：C. 1．已知函数在点处的切线与直线垂直，则（     ） A． B． C． D．0 【答案】B 【解析】，故，故图象在点处的切线的斜率为， 所以即， 故选：B 2．已知，，直线与曲线相切，则的最小值是（     ） A．16 B．12 C．8 D．4 【答案】D 【解析】对求导得， 由得，则，即， 所以， 当且仅当时取等号． 故选：D． 3．函数的图象在处的切线对应的倾斜角为，则sin2=（     ） A． B．± C． D．± 【答案】C 【解析】因为所以 当时，，此时， ∴． 故选：C. 4．已知函数是定义在上的奇函数且在上可导，若恒成立，则（     ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】D 【分析】借助复合函数的导数计算与函数奇偶性的性质可得函数的周期性，结合赋值法计算即可得解. 【解析】由，则， 即， 由函数为奇函数，故， 则， 则， 即， 即，故为周期为的周期数列， 故， 对，令，有，即， 故. 故选：D. 5．已知函数的图象上存在不同的两点，使得曲线在点处的切线都与直线垂直，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意知，因为切线与直线垂直， 所以曲线在点处的切线斜率都是， 即关于的方程有两个不相等的正实数根， 化简得，有两个不相等的正实数根， 则，解得. 故选：A. 6．（多选）已知曲线及点，则过点且与曲线相切的直线可能有（     ） A．0条 B．1条 C．2条 D．3条 【答案】BC 【解析】因为，所以， 设切点， 在点处的导数为， 根据导数的几何意义等于切线斜率，以及导数的比值定义式有： 整理得 ，所以， ①当时，可化为， 由函数定义域知分母不为0，， 所以只能解得，因此过只能找到一条与曲线相切的直线； ②当时，可化为， 是关于的二次方程，，且两根之积为， 所以所求根之中一定不含0，此时对任意能够找到两个满足条件. 综上所述，过点且与曲线相切的直线可能有1或2条. 故选：BC. 7．（多选）已知函数的定义域为，设，且，若，则（     ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】本题考查抽象函数与复合函数的导数，根据题目所给条件以及，利用赋值法求出各函数值，从而得出答案. 【解析】对于选项A，由于任意，，即若函数满足题意，则也满足题意，不能确定的值，故A错误. 对于选项B， 令得： ； 或恒成立，若恒成立，则，结合分析可知不可能为常数函数，舍去. 令得： ， ，可得，； 可得，. 令可得： ，由之前结论不为常数函数，得，B选项正确. 对C选项，可令 ，代入前面结论，可得 ，两边求导数，得，代入， 可得，选项C正确. 对选项D，可令特殊函数满足题目中的条件，经检验，D选项不正确. 故选：BC 8．若曲线只有一条经过点的切线，则的值可以为______，此时切线方程为______． 【答案】     0或4  或4 【解析】设切点坐标为． 由，得， 所以切线方程为． 将点的坐标代入，得．整理，得． 由题意可知，方程有两个相等的实数根，则，解得或． 当时，，此时切线方程为，即； 当时，，此时切线方程为，即． 故答案为：0或4；或4 9．若曲线有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是________________． 【答案】 【解析】∵，∴， 设切点为,则,切线斜率, 切线方程为：, ∵切线过原点，∴, 整理得：, ∵切线有两条，∴,解得或, ∴的取值范围是, 故答案为： 10．已知函数和，其中为常数且．若存在斜率为1的直线与曲线同时相切，则的最小值为 ． 【答案】2 【分析】分别设出切点，用导数的几何意义得到两切点坐标，利用两点间斜率公式得到的关系，变形后使用三个正数的基本不等式求解最小值. 【解析】定义域为R，的定义域为，又，， 设在切点处的切线即为斜率为1的直线，故，所以，则， 设在切点，处的切线即为斜率为1的直线，则，则， 则，由两点间斜率公式得：，则，由于b>0， 则，当且仅当， 即时，此时等号成立，故的最小值为2. 故答案为：2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$